Deterministic Problem Introduction

이 챕터에서 다음과 같은 Inhomogeneous 타입의 Equation 을 다룰것이다

ResponseorFieldfSourcegOperatorLgfL :::)(

Deterministic Problem 에서 g 에 대한 해 L 은 유일하다 Analysis: L 과 g 가 주어졌을 때 f 를 구하는 것Synthesis: f 와 g 가 주어졌을 때 L 을 구하는 것

Functional Equations Matrix Equations 으로 바꾸는 방법 (MOM) 에 대해 살펴볼 것임

살펴볼 순서1. Deterministic Problem 을 그냥 푼다2. 적당한 Matrix Equations 으로 바꾼 다음 Matrix Inversion(Gauss

Jordan 방법이 널리 쓰임 ) 으로 해를 구한다

00

00,

,

,,,

,,

*

fif

fifff

hghfhgf

fggf

ct의InnerProdu

스칼라는

정의

)(

0,

,,

1

*

gLf

Lff

LLAdjointSelf

gLfgLfL

OperatorAdjoint

a

aa

정의의

Formulation of Problems

Solution 의 성질은 Operator 의 성질에 좌우됨 예를들어F 가 Real 인 상황에서 Lf 가 Real이라면 Operator 도 Real<f* ,Lf>>0 이라면 Operator 는 Positive definite 이다

2

2

2

2

0)1()0()(

)( )( 10)

dx

dLffxg

dx

fd

xgxfx

만족다음을있고가와사이에예

FunctionWeightingArbitaryxwdxxgxfxw

dxxgxfgf

ProblemthisforProductInnerSimple

DomainOperatoralDifferenti

:)()()()(

)()(,

1

0

1

0

갖는다해를유일한정의되어야함께이과

)(

0)1()0( 0)1()0(

,

,,

2

2

1

0

1

0

1

0 2

2

1

0

1

0

1

0 2

2

AdjointSelfdx

dLL

ggdx

dfgff

dx

dgf

TermBoundarydx

dfg

dx

dgf

dx

dfg

dx

dgfdx

dx

gdf

gdx

dfdx

dx

df

dx

df

gdxdx

fdgLf

gLfgLfOperatorAdjoint

a

a

즉

없어진다놓으면이라고는없어지고의해에는

구한다좌변을의위해찾기를

증명임을

있다수증명할임을의해에이또한

이다는이면은일때가

,

0,

21

0

1

0

*1

0

*

1

0 2

2**

*

OperatorDefinitePositivedxdx

df

dx

dffdx

dx

df

dx

df

dxdx

fdfLff

OperatorDefinitePositiveLffL

Real fOperatorRealLRealLf

'')1(

')'1()',(

)(dx

d-

)(

')'()',()(

2

2

1

1

0

1

xxxx

xxxxxxG

Operatorxgf

gLf

dxxgxxGgL

FunctionGreenOperatorInverseL

다수있증명할라는것을위식이얻어를

미분하여두번놓고라고

있다수얻을이용하여을는의

21

121

1

,,

gLgfLf

OperatorL

특징이다의적분대부분이것은않다필요하지영역에의경계조건도어떤

Method of Moments

]][[

.

.

.

,

,

.

.

.

....................................

.....,,

.....,,

) (

,,

) (

): (

)(

1

2

1

2

1

2212

2111

mmnn

mn

mn

mnmn

mn

nmn

m

nnn

nn

nn

gla

gw

gw

g

a

a

a

LfwLfw

LfwLfw

l

MatrixEquationsgal

gwLfwaf

ProductInnerLwFunctionsWeightingL

LinearityLgfLaf

SummationFinitef

FunctionsBasisfFunctionSeriesffaf

EquationLineargfL

있다수바꿀형태로은위의

하면과정의하고를있는범위에의

이용함를가진이

간주이라고는위해구하기해를근사

확장으로를

'

]][][[]][[

.........][][1

321

함라고을

함하거나따라선택에의과은

MethodsGalerkinfwchoiceParticular

eApproximatexactwfSolution

glfaff

ffff

nn

nn

mmnnnn

n

3/1

0

2/1

70/51

12/7

30/11

7/915/3

15/42/1

5/32/13/1

3/2

10/1

12/7

30/11

5/42/1

2/13/1

)4)(2(2

)83(,

1,

) Testing (

)(

326

5)(

0)1()0(41)

3

2

1

3

2

1

2

1

2

1

1

1

11

42

22

2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

NeConvergenc

mm

mmgwg

nm

mnLfwl

LwAdjointSelfL

MethodGalerkinwxxfw

xxafxxf

fSolutionSeriesPower

xxxxf

ffxdx

fd

mmnnmmn

n

nn

nn

N

n

nn

nn

보면증가시켜이위해보기살펴를

함있어야안에영역는하므로이

놓음임의로이용하여를위해을을

정함같이다음과를위해을

예

를 이용한 Solution N=3 이상부터는 Exact 함1 nn xxf

Point Matching

있다수얻을을경우인

경우인

경우인살펴보면결과를

것과같다잡는으로이것은

함만족시키도록에서각을있고떨어져등간격으로에서

잡으면들을위해을

예

같음과놓는것으로을함만족하도록식이에서만있는관심

많다경우가어려운계산하기문제에서실제연산은같은

3

3/2

18/1

9/25

9/13

42

22

2

122 1

)(

141

1)1(

10

...,.........2,11

41)()

,

2

1

2

1

1111

21

2

1

12

2

SolutionExactN

a

a

a

a

N

glN

xxwFunctionWeighting

N

mg

N

mnml

xEquationMatrixx

NmN

mx

PointsSolutionMatchingPoint

xxxdx

da

FunctionDeltaDiracFunctionTesting

PointDiscrete

Lfwl

mm

m

n

mn

m

m

N

n

nn

nmmn

Subsectional Bases

)1(2

10

)1(2

11

)(

Nx

Nx

xp

1

10

1

1)1(1

)(

Nx

NxNx

xT

Subsection 방법은 실제 문제에서 Approximation 을 하여 문제를 간단하게 만드는 데에 유용f 의 Domain 의 일부 (Subsection) 에서만 Basis Function 이 쓰임

가능하다표현으로

같은다음과경우에인가능한데표현으로

중심이이고폭이은있고수나타낼로

은등간격개의에서

5

)1/(1 1

10

0)1()0(41 22

2

FunctionPulse

Nx

NlSubintervaN

mx

Nx

ffxdx

fd

m

m

없다수쓰일으로은그래서

못한다정의하지함수를내에서범위의는때할라고

2

2

FunctionBasisFunctionPulse

LLPdx

dL

델타 함수 미분 ?

Subsectional Bases and functional Approximation

2

2

2

2

)1(

3/141

1

1

10

1)1(

)1(2

N

m

Ng

nm

nmN

nmN

l

m

mn

)]()(2)()[1()(

)(

11

1

nnnn

N

nnn

xxxxxxNxxLT

xxTaf

FunctionTriangular

있다수쓰일이대안으로그래서

Moment solutions using trian-gles for expansion and pulse for testing

Approximate Operators

복잡한 문제에서는 근사해를 얻기 위해 Operator 를 Approximate 하는 것이 좋다앞서 살펴봤던 문제를 Finite Difference Approximation 을 이용하여 살펴 본다

xfxfxfx

xf

xf

xdx

fd

xf

xf

xdx

df

121)(

1

21'

21'

1

21

21

1)

2

2

2

예

0 에서 1 까지의 구간이 N+1 개로 나누어 진다면 ( 끝점은 Xn)

LLN

Nxfxf

NxfNfL

dx

dL

NxSegmentx

d

d

1

12

1

1)1(

1

1

2

2

2

이면

놓으면라고

로하나의는

비슷해짐커질수록이이지만형태다른약간

다르다약간때문에놨기으로형태비슷한와

적용를방정식들에위의이제

1

41

)()1(

10

1)1(

)1(2

0)1()0(

41

2

2

2

2

NN

mg

xxPNw

BasisalSubsection

nm

nmN

nmN

l

ffConditionBoundary

xfL

MomentsofMethod

m

mm

mn

d

Extended Operators

, )1

0

한다하도록포함를함수포함하는를않고포함하지를영역을의있다수쓰일정의할때

를는존재한다면는않고존재하지는예

Extendf

sDerivativeFirstsDerivativeSecondL

OperatorExtendeddxdx

df

dx

dwLfw

dx

dfLf

Operator 를 정의 하는 두 요소 : Operation 과 Domain(Space of functions to which the operation may be applied) 에 의해 정의Extended Operator: Operation 을 적용할 수 있는 범위를 다시 정의 함으로서 Domain 을 넓힌것 ( 단 원래 정의 되었던 영역에서의 Original Operation 은 그대로 ) Extended Operator 를 이용하여 Solution 에 대한 더 많은 함수 (Wider Class of function) 를 사용할 수 있다 .

원래의 Operator 가 Self-Adjoint 하다면 Extended Operator 도 Self-Adjoint 하게 하는 것이 바람 직 하다

Extended Operator 는 Multivariable Problem 에서 유용한데 Original Operator 의 영역에서 Simple Function 을 찾는것이 항상 쉬운 것은 아니기 때문이다

예를 들어 f 를 Expansion 할 때 Pulse Function 을 쓴다면 이기 때문에 원래의 Operator 의 영역에 있지 않게 된다

2

2

dx

dL

Nnxwf

dx

dwfwLfdxfLw

dxxxxTgElementMatrixg

nm

nmN

nmN

Lfwl

nnn

m

mm

nmmn

,.........2,1

,)

)41)(( ][

10

1)1(

)1(2

,

1

0

1

0

*

1

0

2

예

는의

35/27

12/11

15/17

2/3

7/4055/224

55/212/73

5/222/73/82

4321

4

3

2

1

3/1

0

2/1

6/5

4

3

2

1

)()(1

mm

N

nnn xxTwFunctionTestingxxPf

Pulse Functions 과 Extended Operator 를 이용하여 Moment Methods 를 적용하기 위해 다음과 같은 함수를 정의한다

Extended Operator moment solutions using powers of x for expansion and testing

Variational InterpretationMethod of Moments 를 Linear Space 개념에 따라 해석해보자

nn

nn

wthebyspannedSpacew

LfthebyspannedSpaceLf

LofRangeLf

:)(

:)(

:)(

)( nwontoLfofprojectiontheequatesMomentsofMethod

Pictorial representation of the method of moments in function space

hfL

fFunctionAdjoint

functionalfh

functionalLinearfhhff

FunctionalfgLfEquationOperator

aa

a

정함같이다음과을

불연속는일때함수임펄스가연속는일때연속함수는

정함같이다음과을의에서주어진

)(

)( ,)(

조건충분필요위한되기가가결과는이

적용하면을조건대해에모든

적용하고에대한에식들을위의

의는에서는

대한에

0

) (,

,,

PointStationary

RitzRayleighi

FormulaVariation

wffaf

SolutionhfLfSolutiongLff

FormulaVariationfLf

hfhf

ii

mmn

a

nnn

aaa

a

a

위의 Variation interpretation 은 Testing function 을 고를 때 통찰력을 줌

Wn 의 Combination 은 그린 함수를 approximate 한다 .

함해야근사화함수를은함수는함수는

함선택되어야있도록수할근사화를은

의해서조건에와

Greenw

GreenfDeltaDirach

fw

wfffhfL

m

a

am

nmm

a

nnn

aa

Perturbation Solutions

0

0

00

000

00

0000

000000

0

0

00

,

,1

,,

,1 ,,

)(

,,,

) (

)())(()(

) ()(

fgf

MfffonPerturbati

Mffgf

MffgffLf

expansiontermonethistoMomentsofMethodofnApplicatio

gfMfffLf

SolutionOrderFirstff

LLMgfMLfL

ProblemdUnperturbefgfL

Equation

o

o

가정하면작다고항이두번째분모의작아이

쓰면다시방정식을위의이므로

가정을경우일

인해가때있을이같은다음과

풀고자 하는 문제Perturbed(Problem Under considera-tion)

정확히 풀리는 문제Unperturbed(Problem which can be solved exactly)약간 다를 때

Slightly Differ-ent

위와 같은 상황이 있을 때 Unperturbed Problem 의 해를 Moment of Meth-ods 를 위한 Basis 로 하여 풀고자 하는 문제의 해를 얻을 수 있다 (Perturbation Methods 라고 함 )해의 형식 : Unperturbed Solution+ Correction Terms

The word adjoint has a number of related meanings. In linear algebra, it refers to the conjugate transpose and is most commonly denoted . The analogous concept applied to an operator instead of a matrix, sometimes also known as the Hermitian conjugate (Griffiths 1987, p. 22), is most commonly denoted using dagger notation (Arfken 1985). The adjoint operator is very common in both Sturm-Liouville theory and quantum mechanics. For example, Dirac (1982, p. 26) denotes the adjoint of the bra vector

In mathematics, and particularly in functional analysis, a functional is traditionally a map from a vector space to the field underlying the vector space, which is usually the real numbers. In other words, it is a function that takes a vector as its argument or input and returns a scalar. Commonly the vector space is a space of functions, so the functional takes a function as its argument, and so it is sometimes referred to as a function of a function. Its use goes back to the calculus of variations where one searches for a function which min-imizes a certain functional. A particularly important application in physics is to search for a state of a system which minimizes the energy functional.Transformations of functions is a somewhat more general concept, see operator.