diagrama de bode
DESCRIPTION
Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase.A Bode Diagram is a graphical representation used to characterize the frequency response of a system.TRANSCRIPT
Diagrama de Bode
Diego Alejandro Villegas Oliveros
Ingeniería Telemática
Universidad Icesi
Diagrama de Bode
• Es un diagrama logarítmico.
• Si es la función de transferencia entonces
w vs. diagrama de magnitud.
w vs. ángulo de fase en frecuencia.
Diego Alejandro Villegas Oliveros 2
)(wH
)(w
)(wH
Magnitud
• La Magnitud logarítmica de
• La unidad utilizada en esta
representación es el decibel,
abreviado usualmente como db.
Diego Alejandro Villegas Oliveros 3
)()(log20)(10
dbDecibeljwGesjwG
• Una función de transferencia se
puede representar con dos
diagramas separados uno de la
magnitud en función de la
frecuencia (decibeles) y el otro
del ángulo de fase (grados).
• Además multiplicación de
Magnitudes es una suma.
• Disponemos de las
asíntotas de la curva
original para bosquejar la
curva.
• Se pueden representar
las características de alta
y baja frecuencia en el
mismo diagrama.
Diego Alejandro Villegas Oliveros 4
BAAB loglog)log(
Ángulo de fase
Diego Alejandro Villegas Oliveros 5
Punto de Inflexión
-45º
0º
-90º
Frecuencia w
Angulo
de f
ase
Factores Básicos
1. Ganancia k.
2. Factores integrales y derivativos
3. Factores de primer orden
4. Factores cuadráticos
Diego Alejandro Villegas Oliveros 6
12)/()/(21
nn
wjwwjw
1)( jw
1)1( jwT
• Una vez familiarizado con el uso de estos diagramaslogarítmicos de cada factor, se pueden usar para haceruno compuesto para cualquier trazandocurvas de cada factor y sumando gráficamente lascurvas individuales, ya que sumar logaritmos demagnitudes equivale a multiplicarlos entre sí. El procesode obtener el diagrama logarítmico se puede simplificarmás aun si se usan aproximaciones asintóticas a lasc u r v a s d e c a d a f a c t o r .
Diego Alejandro Villegas Oliveros 7
)()( jwHjwG
22
3102
jwjwjwjw
jwjwG
Ganancia K
• La curva para es una línea recta
horizontal para la ganancia k en la magnitud de
, db. El ángulo de fase es cero.
• Si se varía la ganancia k en la función de
transferencia se eleva o desciende la curva del
logaritmo para no afectar el ángulo de fase.
• Si aumentamos el valor numérico en factor de
10, el valor en decibeles aumenta un factor de
20.
Diego Alejandro Villegas Oliveros 8
kk log20log20
klog20
Ganancia K
Diego Alejandro Villegas Oliveros 9
Si expresamos el recíproco de un número en decibelesk
k1
log20log20
Para tener en cuenta…
Diego Alejandro Villegas Oliveros 10
Eje real
b
a
Eje imaginario
c = a+bi
Ф
22 babiac
biac
a
ba
b
1tan
tan
Factor integral y derivativo .
Diego Alejandro Villegas Oliveros 11
1jw
Termino .
• l a m a g n i t u d l o g a r í t m i c a e n d e c i b e l e s e s
• El ángulo de fase de es una constante igual a
-90º.
Diego Alejandro Villegas Oliveros 12
dbwjw
log201
log20
jw
1
1jw
Mas conceptos
• Octava: banda de frecuencias
• Década: banda de frecuencias
• La distancia
Diego Alejandro Villegas Oliveros 13
11 2waw
11 10waw
101303 1111 wawigualeswaw
Gráfico .
• El gráfico
es una recta.
• Pendiente
o
1jw
Diego Alejandro Villegas Oliveros 14
10
20
0
-20
-40
0.1 1 100
Pendiente
wlog20 db
décadadb /20
octavadb /6
Termino .
• l a m a g n i t u d l o g a r í t m i c a e n d e c i b e l e s e s
• El ángulo de fase de es una constante igual a 90º.
Diego Alejandro Villegas Oliveros 15
dbwjw log20log20
jw
jw
Gráfico .
• El gráfico
es una recta.
• Pendiente
o
jw
Diego Alejandro Villegas Oliveros 16
wlog20 db
décadadb /20
octavadb /6
40
20
0
1 10 100
-20
Pendiente
0.1
)40,100()20,10(
)0,1()20,1.0(
Angulo de fase . 1jw
Diego Alejandro Villegas Oliveros 17
Factor . njw
Diego Alejandro Villegas Oliveros 18
• Para
Magnitud logarítmica
Angulo de fase
• Para
Magnitud logarítmica
Angulo de fase
Pendientes -20n db/década y 20n db/década
respectivamente y pasan por el punto (0 db en w =1).
njw
dbwn
jwn
log201
log20
n º90
njw
dbwnjwn
log20log20
nº90
Factores de primer orden ..
Diego Alejandro Villegas Oliveros 19
11
jwT
Termino .
• l a m a g n i t u d l o g a r í t m i c a e n d e c i b e l e s e s
• Si recta 0 db.
• Si línea recta
con una pendiente -20 db/década (o -6 db/octava).
• Si
dbTwjwT
221log201
1log20
Diego Alejandro Villegas Oliveros 20
11
jwT
dbTwT
w 01log201log201 22
dbwTTwT
w log201log201 22
dbdbT
w 01,32log2011log201
Curva de logaritmo de la magnitud
11
jwT
Diego Alejandro Villegas Oliveros 21
Angulo de fase .
• El ángulo de fase de
esta dado por
11
jwT
Diego Alejandro Villegas Oliveros 22
wT1tan
Tw
1
º45)1(tantan)(
0)0(tan)(
11
1
T
Tw
w
º45)( w
º90))(tan(
)(tan)( 1
w
w
w
11
jwT
w
Punto de Inflexión
-45º
0º
-90º
Ф
T/1
El error
dbwTlog20db 01log20 dbTw 221log20
Diego Alejandro Villegas Oliveros 23
-1
-2
-3
0
T/10T/2T/1
T2/1T10/1
Note corrección máxima 3db en w = 1/T
Termino .
• l a m a g n i t u d l o g a r í t m i c a e n d e c i b e l e s e s
• Si recta 0 db.
• Si línea recta
con una pendiente 20 db/década (o 6 db/octava).
• Si
jwTdbTwjwT
1
1log201log201log20 22
Diego Alejandro Villegas Oliveros 24
jwT1
dbTwT
w 01log201log201 22
dbwTTwT
w log201log201 22
dbdbT
w 01,32log2011log201
Curva de logaritmo de la magnitud
jwT1
Diego Alejandro Villegas Oliveros 25
Angulo de fase .
• El ángulo de fase de
esta dado por
jwT1
Diego Alejandro Villegas Oliveros 26
wT1tan
Tw
1
º45)1(tantan)(
0)0(tan)(
11
1
T
Tw
w
º90))(tan()(tan)( 1
ww
w
45º
90º
T/01.0 T/1 T/10
Factor . njw
1
Diego Alejandro Villegas Oliveros 27
• frecuencia de corte
• recta horizontal 0 db
• frecuencias altas, pendiente –20n I db/década o 20n db/década
• El error es n veces el correspondiente a .
• El ángulo de fase es n veces el de en
cada punto de frecuencia.
Tw
1
Tw
1
Tw
1
1)1( jwT
1)1( jwT
Factores cuadráticos
Diego Alejandro Villegas Oliveros 28
12)/ˆ()/(21 nn wwjwjw
Generalización
a) Si se puede escribir como dos de primer orden con polos reales.
b) Si producto de dos factores complejos conjugados.
• Las aproximaciones asintóticas no son exactas para valores bajos de porque la magnitud y la fase del factor cuadrático dependen de la frecuencia de cruce y del factor de amortiguamiento .
Diego Alejandro Villegas Oliveros 29
12)/ˆ()/ˆ(21 nn wwjwwj
1
10
Factor .
• la magnitud logarítmica en decibeles es
• Si recta 0 db.
• Si La
línea recta con una pendiente -40 db/década.
• Si la asíntota de alta frecuencia corta a la de
baja en
dbw
w
w
www
nn
n 01log2021log20
22
2
2
Diego Alejandro Villegas Oliveros 30
12)/ˆ()/ˆ(21
nn wwjwwj
22
2
2
221log20
ˆˆ21
1log20
nn
nn
w
w
w
w
w
wj
w
wj
dbw
w
w
w
w
w
w
www
nnnn
n log40log202log202
2
2
222
2
2
2
dbdbdbw
www
n
nn 0 1log40log40
• Las asíntotas determinadas en la diapositiva
anterior son independientes de . En
cercanía de se produce un pico de
resonancia y el factor determina la
magnitud de ese pico. Hay error en la
aproximación de asíntotas y el valor del error
depende de y es grande para pequeños.
Diego Alejandro Villegas Oliveros 31
nww
Magnitud para .
Diego Alejandro Villegas Oliveros 32
12)/ˆ()/ˆ(21
nn wwjwwj
0.1
0
db
nw
w
1.0
w
Angulo de fase .
• El ángulo de fase de
esta dado por
Diego Alejandro Villegas Oliveros33
12)/ˆ()/ˆ(21
nn wwjwwj
2
1
2
1
2
tan
ˆˆ21
1
n
n
nn w
w
w
w
w
wj
w
wj
-90
0
-180
1nw
w w
0w 0)0(tan 1
nww º90tan0
2tan 11
w
1800tan 1
Si
Si
Si
010
0
1
lim
2
2
n
n
w
w
w
w
w
Diego Alejandro Villegas Oliveros 34
Ejemplo
• Trace el diagrama de bode para las
siguiente función de transferencia:
Diego Alejandro Villegas Oliveros 35
22
3102
jwjwjwjw
jwjwG
Se pone G(jw) en forma normalizada, donde los factores
de primer orden y el factor de segundo orden están en
línea con 0db
122
)(
21)(
13
5.7
122
)(2
21)(2
133
10
2)()2)((
)3(10)(
2
22
jwjwjwjw
jw
jwjwjwjw
jw
jwjwjwjw
jwjwG
Diego Alejandro Villegas Oliveros 36
Paso 1
Paso 2
• Identificar los factores que componen la
función
Diego Alejandro Villegas Oliveros 37
122
)(
21)(
13
5.7
)(2 jwjwjw
jw
jw
jwG
;)( 1jw ;3
1w
j ;2
1
1
wj
12
122
)(
jwjw7.5;
Compuesta por:
Paso 3
• Hallar las Frecuencias de corte según el
factor
Diego Alejandro Villegas Oliveros 38
Tw
jwT
jwT c
1
1
1
1
3
31
1
3
11
31
cwjw
wj
2
21
1
2
11
21
cwjw
wj
nc
nn
wwCuandoww
jw
w
jw
2
2
21
2122
2
21
22
)(22
cw
jwjwjwjw
Diego Alejandro Villegas Oliveros 39
3536,04
2
2
22
22
222
21
2221
jwjwjwjw
Se hayan los valores aproximados de cada uno de los
factores de la función
Diego Alejandro Villegas Oliveros 40
Paso 4
Paso 5
Diego Alejandro Villegas Oliveros 41
Se grafica cada una de las funciones independientemente.
0.4 0.6 1 1.53 2 3 4
40
30
20
17.5
14
2.41
0
-3.52
-6.02
-10
-20
1
3
4
25
Paso 6
• La función de transferencia G(jw) resulta de la suma de las funciones
Diego Alejandro Villegas Oliveros 42
0.4 0.6 1 1.53 2 3 4
40
30
20
17.5
14
2.41
0
-3.52
-6.02
-10
-20
Curva exacta
G(jw)
• Para diagramas de ángulo de fase se
procede de la misma manera.
Diego Alejandro Villegas Oliveros 43
Gracias…