Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

Seminar

Diferencna dinamicna mikroskopija

Avtor: Ivana Novak

Mentor: dr. doc. Alenka Mertelj

Predstavljeno Maj 2012, Oddano Jul 2015

Povzetek

Seminar predstavi novo metodo diferencne dinamicne mikroskopije kot alternativnooziroma dopolnilno metodo klasicnemu eksperimentu dinamicnega sipanja svetlobe (DLS).Spoznamo, kako je mozno metodo uporabiti za analizo Brownovega gibanja in izracundifuzijske enacbe na primeru koloidov. Seminar vsebuje tudi rezultate prakticnega poskusaza primer osvetlive z nekoherentno svetlobo. V zakljucku pretehtamo prednosti in slabostimetode v primerjavi z DLS.

Kazalo

1 Uvod 2

2 Koloidi 3

3 Brownovo gibanje 33.1 Difuzijska konstanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Sipanje svetlobe 44.1 Dinamicno sipanje svetlobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Diferencna dinamicna mikroskopija 65.1 Uporaba koherentne svetlobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.2 Uporaba nekoherentne svetlobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.3 Rezultati eksperimenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Primerjava med DDM in DLS 11

1 Uvod

Elektromagnetno valovanje nam ponuja eno od najpomembnejsih orodij, ki nam omogoca vpo-gled v strukturo snovi in dinamiko v njej. S pomocjo absorpcije valovanja sirokega spektra smozbrali veliko informacij o elektronskih, vibracijskih in rotacijskih energijskih nivojih delcev terposledicno njihovi sestavi. Pomembne podatke o snovi pa lahko razberemo tudi iz tega, kako sesvetloba na njej siplje. Ko svetloba zadene snov, se siplje na heterogenostih v njej. Fazni zamik,kotna porazdelitev, polarizacija in intenziteta sipane svetlobe so kolicine, odvisne od velikosti,oblike in molekularnih interakcij v snovi. Zato lahko iz karakteristik sipane svetlobe s pomocjoelektromagnetne teorije in teorije casovno odvisne statisticne mehanike izluscimo informacije ostrukturi in molekularni dinamiki snovi. Razvoj laserjev je v veliki meri odpravil tezave, ki sose pojavljale pri izvedbi tovrstnih eksperimentov, kot bomo videli v pricujocem seminarju, pati niso neobhodno potrebni za to, da analiziramo sipanje svetlobe na snovi.Diferencna dinamicna mikroskopija je nova metoda za proucevanje dinamike mehke snovi. Pritej gre za kombinacijo sipanja in mikroskopije, ki sta tradicionalno obravnavani kot dve komple-mentani tehniki za raziskovanje mehke snovi. Sipanje nam da povprecno informacijo o celotnemvzorcu, medtem ko mikroskopija omogoca podrobno studijo obnasanja majhnega obmocja. Vrealnem prostoru je mogoce karakterizirati gibanje delcev tako, da sledimo njihovemu polozajuv casu. V reciprocnem prostoru pa lahko opazujemo casovno odvisne fluktuacije intenzitete, izkaterih nato izluscimo informacijo o dinamiki v snovi [1].Poznavanje velikosti in strukture delcev v snovi je pomembno z vecih vidikov. Eno izmed po-drocij, kjer se taksno znanje izkaze za kljucno, je farmacija. Pri izdelavi inhalatorjev, na primer,

2

je velikost aktivne substance kljucnega pomena za delovanje. Ce so delci preveliki, se ujamejona dlacicah sapnika in sploh ne pridejo do pljuc, v kolikor so premajhni, pa sicer pridejo vpljuca, a jih takoj izdihamo.

2 Koloidi

Koloid je snov, ki sestoji iz zvezne faze, ki predstavlja medij (ki je lahko v plinastem, tekocemali trdnem stanju, pogosto pa je to kar tekoca voda) in iz dispergirane faze. Pogosti, in zanas primer relevantni, so koloidi, kjer imamo v vodi razprsene trdne delce. Ti delci so lahkorazlicnih oblik in velikosti, za potrebe analize pa jih pogosto obravnavamo, kot da so sfericni.Med delci v koloidu delujejo razlicne interakcije - elektrostaticna in van der Waalsova sila indruge, cesar pa si pri nasem eksperimentu ne zelimo, saj bi radi opazovali Brownovo gibanje kije povezano s termicnimi fluktuacijami. Koloide je mogoce stabilizirati in jim s tem preprecitisedimentacijo in agregacijo tako, da jih nabijemo ali pa kroglice prevlecemo s surfaktanti.

3 Brownovo gibanje

Brownovo gibanje je makroskopski pojav, ki izvira iz nakljucnega gibanja posameznih delcev,suspendiranih v tekocini. Taksno gibanje je posledica trkov vecjih delcev z molekulami tekocine.Koncentracijo delcev v tocki x in v trenutku t oznacimo s c(x, t), ki je kolicina, ki zadoscadifuzijski enacbi:

∂c(x, t)

∂t= D

∂2c(x, t)

∂x2. (1)

Pri tem je D masna difuzivnost. Resitev enacbe je:

c(x, t) =1√

4πDte−

x2

4Dt (2)

Izkaze se, da je 〈x〉 = 0, medtem, ko je 〈x2〉 = 2Dt. Difuzija sili delce k temu, da bi se snovhomogenizirala, zato v povprecju potujejo v obmocja z nizjo koncentracijo.

3.1 Difuzijska konstanta

Difuzijsko konstanto za okrogle delce, ki med sabo ne interagirajo, lahko izracunamo iz Stokes-Einstein-Sutherlandove zveze, to teoreticno napoved bomo pa nato primerjali z rezultati eks-perimenta. Zveza se glasi:

Dm =kBT

6πηR, (3)

kjer je D difuzijska konstanta, T temperatura, η viskoznost, R pa radij delcev. Viskoznost vodeizracunamo po formuli

η = A ∗ 10B/(T−C), (4)

3

pri cemer so koeficienti A = 2.414× 10−5, B= 247.8 K in C= 140 K. Iz te empriricne formuledobimo vrednost za viskoznost pri temperaturi 298 K η = 8.935 × 10−4Pa × s. V poskusu,katerega rezultate si bomo ogledali kasneje, smo uporabili polistirenske kroglice s premerom2R=153 nm, torej lahko izracunamo difuzijsko konstanto

Dm = 3.18× 10−12m2/s

4 Sipanje svetlobe

Slika 1: Vpadna in sipana svetloba.

Sipanje je fizikalni proces, pri katerem se vpadno valovanje odkloni od prvotne poti zaradilokalnih nepravilnosti v snovi, skozi katero potuje. To pomeni, da mora svetlobni zarek naletetina spremembno lomnega kolicnika, oziroma dielektricnega tenzorja. V klasicnem opisu pred-postavimo, da elektricno polje vpadne svetlobe povzroci polarizacijo v snovi, ta pa zaradi tegadipolno seva. Polje sipane svetlobe dalec proc od sipalca dobimo tako, da sestejemo prispevkesevajocih dipolov po celotnem sipalnem volumnu.

4.1 Dinamicno sipanje svetlobe

Sipanje je lahko staticno ali dinamicno. Pri staticnem sipanju opazujemo vzorec, ki miruje.Vanj usmerimo laserski zarek ter izmerimo kotno odvisnost intenzitete sipanja I(θ). Kadarpa opazujemo dinamicno sipanje, pri fiksnem kotu opazujemo fluktuacije intenzitete sipanesvetlobe I(t). Taksna metoda nam torej pride zelo prav, kadar nas zanima dinamika koloidov,v katerih se razprsene lateksove koglice Brownovo gibljejo.Na vzorec posvetimo z laserskim zarkom. Smer vpadnega zarka oznacimo z valovnim vektorjemki. Smer, v kateri opazujemo sipano svetlobo, pa oznacimo z valovnim vektorjem kf . V tej smeripostavimo detektor - fotopomnozevalko in merimo casovno odvisno intenziteto sipane svetlobev eni koherencni ploskvi Is(q, t), kjer je q = kf − ki sipalni vektor. Kot med vektorjema ki inkf imenujemo sipalni kot.

4

Slika 2: Sipalni vektor.

Signal nato iz detektorja vodimo na avtokorelator, ta pa izracuna avtokorelacijsko funkcijointenzitete sipane svetlobe.

8.8

8.9

9

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

0 100 200 300 400 500 600

Inte

nzite

ta

t [s]

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1e-06 0.0001 0.01 1 100 10000 1e+06

Din

am

icn

a s

tru

ktu

rna

fu

nkcija

τ [s]

Slika 3: Intenziteta v odvisnosti od casa in njena avtokorelacijska funkcija.

Normalizirana avtokorelacijska funkcija intenzitete svetlobe:

g(2)(q, τ) =〈Is(q, t)Is(q, t+ τ〉〈Is(q, t〉〈Is(q, t+ τ)〉

(5)

Intenziteta svetlobe je povezana z jakostjo elektricnega polja, zato lahko zapisemo avtokorela-cijsko funkcijo tudi za to kolicino:

G(1)(q, t) = 〈E(q, t)E∗(q, t)〉. (6)

Kot smo ze rekli, se svetloba siplje na nepravilnostih dielektricnega tenzorja. Tega lahko raz-stavimo v casovno in krajevno odvisni ter neodvisni del:

ε(r, t) = ε+ δε(r, t).

Za sipano svetlobo je pomemben le prispevek δε(r, t). Tudi to kolicino lahko Fourierovo trans-formiramo in zapisemo njeno avtokorelacijsko funkcijo. Tedaj velja med avtokorelacijskimafunkcijama dielektricnega tenzorja in elektricnega polja naslednja zveza:

G(1)(q, τ) = 〈Es(q, t)E∗s (q, t+ τ)〉 =E2ok

40V

2

(4πR)2〈δεif (q, t))δε∗if (q, t+ τ)〉 (7)

5

Ker pa velja tudi naslednja zveza med nehomogenostmi koncentracije in dielektricnega tenzorjaδε(r, t) ∝ δc(r, t), lahko to razsirimo v odvisnost:

G(1)(q, τ) ∝ 〈δc(q, t)δc∗s(q, t+ τ)〉 = 〈|δco(q)|2〉e−Dq2τ (8)

Iz grafa vidimo, da avtokorelacijska funkcija res eksponentno pada. Normalizirano jo lahko jozapisemo kot

g(1)(q, t) = e−Dq2t, (9)

od tu pa lahko izracunamo kolektivno difuzijsko konstanto.

5 Diferencna dinamicna mikroskopija

5.1 Uporaba koherentne svetlobe

Vzorec postavimo pod mikroskop in ga osvetlimo s svetlobo laserskega izvora. Za vzorcempostavimo hitro kamero (CMOS ali CCD). Slika vzorca Is(x, t) obstaja v blizini izvora, vobmocju t.i. Fresnelovega uklona. Is(x, t) je intenziteta, ki jo zaznamo na detektorju pri pikslus polozajem x.

Slika 4: Postavitev eksperimenta, izvor je laserska svetloba

Na Is(x, t) lahko naredimo dvodimenzionalno Fourierovo transformacijo:

F(I(x, t)) = I(qxy, t) =1

2π

∫ ∫I(x, t)e−iq·xdx. (10)

Pri tem velja q = qxy = (qx, qy). Na levi skici slike 5 vidimo razmerje med vektorji v primerukoherentne svetlobe. ki in ks oznacujeta valovna vektorja vpadne in sipane svetlobe, Q jetridimenzionalni sipalni vektor, ki predstavlja razliko ks − ki. Razstavimo ga lahko na 2Dprispevek qxy = q in qz. Ker vsakemu Q, oziroma q pripada en sam qz, lahko zapisemo:

Is(qxy, qz, t) = Is(qxy, t)

.

6

Slika 5: Zveza med valovnimi vektorji: za primer koherentne svetlobe na levi, prostorsko neko-herentne na sredi in casovno nekoherentne svetlobe na desni strani. [1]

Velikost sipalnega vektorja pri tem znasa:

q = k0 sin θ = 2πsin θ

λ0

.

Podobno kot pri dinamicnem sipanju svetlobe bi sedaj lahko izracunali korelacijsko funkcijoslike. Se prej pa bi se zeleli znebiti suma zaradi prepuscene svetlobe, prahu na senzorju kamerein nepravilnosti na povrsinah opticnih elementov, ki ga vsebuje posnetek. V ta namen vzamemodva v casu sosledna posnetka in ju med seboj odstejemo. Tako se znebimo casovno neodvisnegasignala in izoliramo signal, ki nosi informacijo o dinamiki sistema. Posnetka, ki ju med sebojodstejemo, sta zamaknjena za ∆t. Izkaze se, da kontrast slike, ki jo dobimo kot rezultat, narascaz vecanjem ∆t.

Slika 6: Slike, ki jih dobimo kot rezultat odstevanja posnetkov med sabo. Casovne razlike zate tri zaporedoma znasajo ∆t = 0.01, 0.1, 1s. [1]

Razliko dveh posnetkov uvedemo kot novo spremenljivko:

∆I(x, t; ∆t) = I(x, t+ ∆t)− I(x, t).

Predpostavimo, da je dinamika sistema stacionarna - to pomeni, da je odvisna od casovnezakasnitve ∆t, ne pa tudi dejansko od casa; I(x, t; ∆t)→ I(x,∆t). Na njej naredimo Fourierovo

7

transformacijo in izracunamo D(q,∆t):

D(q,∆t) = 〈|∆I(q,∆t)|2〉 = 〈|I(q, t+ ∆t)− I(q, t)|2〉 = 2〈|I(q, t)|2〉(1− g(2)(q,∆t)

)(11)

Pricakovana vrednost 〈∆I(x,∆t)〉 je enaka nic, kolicina energije fluktuacije intenzitete lahkoocenimo s prvim nenicelnim momentom, torej pricakovano vrednostjo σ2(∆t)

σ2(∆t) =

∫ ∫〈|∆I(x,∆t)|2〉dx

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

0.1 1 10 100 1000

σ(∆

t [s

])

∆t (s)

Slika 7: Prerazporejanje delcev pri Brownovem gibanju povzroci povecanje variance ∆I(x,∆t),ki pri neki vrednosti saturira. Z narascanjem ∆t postajata dva delca, ki ju med sabo odstejemo,cedalje manj korelirana. [1]

5.2 Uporaba nekoherentne svetlobe

Izkaze se, da pri izvedbi eksperimenta nismo nujno omejeni na uporabo koherentnega izvorasvetlobe.

Slika 8: Postavitev eksperimenta ob uporabi nekoherentnega svetlobnega vira.

Ob uporabi nekoherentne svetlobe moramo postopati drugace. Morebitne tezave lahko do-bro opisemo s pomocjo srednje in desne skice na sliki 5. V primeru prostorsko nekoherentne

8

svetlobe delec osvetlimo z ravnimi valovi, ki jim pripisemo valovne vektorje, ki imajo sicer enakovelikost, a razlicno smer. Iz srednje skice vidimo, da dobimo iz dveh razlicnih parov vektorjevvpadne in sipalne svetlobe dva razlicna Q1 = ks1−ki1 in Q2 = ks2−ki2. Pripadajoca ustreznak1 in k2 sta med sabo enaka, medtem ko se projekciji v smeri z qz1 in qz2 razlikujeta.Ob uporabi casovno nekoherentne svetlobe prav tako izgubimo enolicno pove-zavo med q in qz. Ker imamo svetlobo razlicnih valovnih dolzin, se valovni vektorji vpadnesvetlobe med sabo razlikujejo v velikosti. Iz desne skice na sliki 5 vidimo, kako lahko kot razlikoparov vektorjev ks1, ki1 in ks12, ki2 dobimo k1 in k2, ki sta enaka, pripadata pa jima razlicniprojekciji qz1 in qz2. Pri danem q imamo torej prispevke za razlicne qz, koliko posamezni qzprispeva, pa je odvisno od lastnosti mikroskopa. Streibl razvije opis mikroskopije z delno kohe-rentno svetlobo za tridimenzionalne sibke sipalce. [1] V tem primeru je opis slike na detektorjubolj zapleten. Intenziteto zapisemo kot:

I(x, t) = I0 +

∫ ∫ ∫dq′dz′K(x− x′,−z′)δε(x′,−z′, t), (12)

Da se pokazati, da je korelacijska funkcija slike enaka:

g(q,∆t) =

∫dqz|K(q, qz)|2F (q, qz,∆t). (13)

Pri tem jeF (q, qz,∆t) = 〈c∗(q, qz, 0)c(q, qz,∆t)〉

in je Fourierova transformacija korealcijske funkcije koncentracije, za katero smo ze pokazali,kako je povezana z intenziteto. V primeru Brownovega gibanja majhnih koloidnih delcev, kimed sabo ne interagirajo jo zapisemo kot:

F (q, qz,∆t) = F0e−Dm(q2+q2z)∆t,

kar se ujema s Fourierovo transformacijo resitve difuzijske enacbe, zapisane v poglavju 3.

s

Slika 9: Model za prenosno funkcijo |K(qxy, qz)|2 pri qxy = 0.1k0 in qxy = 0.05k0, pri cemer jek0 = 2π/λ0.

9

K(x, z) pa je prenosna funkcija mikroskopa, ki je odvisna od lastnosti kondenzorja in objek-tiva mikroskopa ter izvora. Lahko jo Fourierovo transformiramo, dobljena |K(q, qz)|2 delujekot utez pri racunanju q, nekaj primerov modeliranja funkcije pa vidimo na grafu na sliki 8.Rezultat integrala iz enacbe 12 znasa:

g(2)incoh(qxy,∆t) = A

∫dqz|K(qxys, qz)|2F (qxy, qz,∆t) ≈ e−Dq

2xy∆t 1

(1 + σ2Dq2xy∆t)

3/2. (14)

Pri tem je σ povezana z numericno aperturo kondenzorja: σ = NAc in predstavlja nas parame-ter koherence. Ob pogoju, da je clen σ2q2

xy∆t dovolj majhen, je vrednost celotnega ulomka ena.

Ce zadostimo potrebnim pogojem, je v primeru nekoherentne svetlobe merjena korelacijskafunkcija enaka 2D korelacijski funkciji sistema.

5.3 Rezultati eksperimenta

Celico, sestavljeno iz objektnega in krovnega stekla, ki ju med sabo locujeta dva distancnika,napolnimo s koloidom - v vodi razprsenimi polistirenskimi kroglicami znanega radija. Rezultati,ki bodo sledili, se nanasajo na uporabo kroglic s premerom 2R = 153 nm in 2R = 476 nm. Kon-centracija raztopine znasa 1%. Vzorec postavimo pod mikroskop in ga osvetlimo z nekoherentnobelo svetlobo. S hitro CCD kamero zajamemo zaporedje velikega stevila posnetkov. Posnetkepotem med sabo odstevamo in na podatkih ∆I(x, t) naredimo Fourierovo transformacijo, natopa izracunamo strukturno funkcijo D(q,∆t), ki jo lahko zapisemo z nastavkom:

D(q∆t) = A(q)[1− g(q,∆t)] +B(q) = A(q)[1− e−∆t/τd(q)] +B(q).

A(q) je parameter, povezan s sipalnimi lastnostmi delcev, koherenco svetlobnega izvora inlastnostmi objektiva mikroskopa. B(q) je pa odvisen od suma na detektorju in je enak dvakra-tniku jakostnega spektra suma kamere. A(q), B(q) in τd(q) obravnavamo kot parametre priprocesu prilagajanja funkcije za D(q, t).Na sliki 10 vidimo, kako izgledajo funkcije D(q,∆t) pri razlicnih vrednostih q.

0

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

5e-05

6e-05

7e-05

8e-05

9e-05

0.0001

0 1 2 3 4 5 6 7

D(q

,t)

t [s]

10

Slika 10: Funkcija D(q,∆t) pri razlicnih vrednostih sipalnega vektorja.

Funkcijo za D(q,∆t) prilagajamo posebej vsaki od krivulj in tako za vsako vrednost q do-bimo pripadajoce parametre A, τd in B.

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Dq

t (q

,t)

∆t (s)

f(x)=(a*(1-exp(-f*x)))+b

a=0.00126

f=2.66

b=-3.21e-5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2e+12 4e+12 6e+12 8e+12 1e+13 1.2e+13 1.4e+13

1/τ

[1

/s]

q2 [1/m

2]

f(x)=a*x+ba=D=1.27e-12 m

2/s

f(x)=a*x+ba=D=1.27e-12 m

2/s

eksperimentalni podatkif(x)

Slika 11: Prilagojena funkcija D(q,∆t) in odvisnost karakteristicnega casa od kvadrata sipal-nega vektorja za kroglice z 2R=476nm.

Nato narisemo nov graf, v katerega vnesemo dobljene parametre τd v odvisnosti od q2. Kervemo, da velja τd(q) = 1/Dmq

2, lahko iz naklona premice dolocimo difuzijsko konstanto.Tockam prilagodimo linearno funkcijo f(x) = ax + b in lahko iz njenega naklona a prebe-remo difuzijski koeficient, ki za konkreten primer znasa 3.32 × 10−12m2/s, kar se precej do-bro ujema z izracunano vrednostjo. Podobno lahko izmerimo difuzijsko konstanto za delcedrugacne velikosti. Desni graf na sliki 11 podaja odvisnost karakteristicnega casa od sipalnegavektorja za kroglice s premerom 476 nm. Izmerjena difuzijska konstanta v tem primeru znasaD = 1.25× 10−12m2/s, medtem ko je vrednost izracunane 1.021× 10−12m2/s.

6 Primerjava med DDM in DLS

Rep na zacetku in vecanje napake proti vrhu na slikah 12 in 13 nam precej jasno nakazuje,da je ima metoda svoje omejitve. Dokaj jasno lahko razberemo obmocje vrednosti sipalnegavektorja q, na katerem so nasi rezultati zanesljivi in se metoda dobro obnese.Metoda dinamicnega sipanja svetlobe je seveda dobro razvita in siroko uporabljana, zato imav primerjavi z diferencno dinamicno mikroskopijo dolocene prednosti. Je pa za njeno izvedbopotrebno vec opreme, med katero sodi laserski izvor svetlobe, sistem lec, detektor in avtokore-lator. Izvedba eksperimenta je pri DDM enostavnejsa - za meritev zadostuje ze navadni opticnimikroskop ter hitra kamera, vendar je po zajemu podatkov pri tej metodi vec dela z njihovoanalizo. V tem aspektu pri DLS eksperimentu veliko dela za nas opravi avtokorelator, priDDM pa je treba napisati program, ki prebere slike, jih med sabo odsteva, izracuna Fourierovo

11

transformacijo na teh podatkih in na koncu se strukturno funkcijo posamezne slike. Vsem tempodatkom je nato treba prilagajati se ustrezne funkcije ter na koncu izracunati difuzijsko kon-stanto.Ko vidimo iz spodnjega grafa, pa lahko izkoristimo obe metodi, saj se dopolnjujeta. V primer-javi z DLS lahko pri diferencni dinamicni mikroskopiji delamo pri precej manjsih vrednostih qoziroma pri manjsih kotih. Ce zdruzimo meritve iz obeh eksperimentov, lahko dobimo infor-macijo o dinamiki sistema, ki sega cez dve dekadi q.

0.001

0.01

0.1

1

10

10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08

τ [

s]

q (m-1)

DDMDLS

Slika 12: Primerjava med rezultati dinamicnega sipanja svetlobe in diferencne dinamicne mi-krokopije.

Literatura

[1] F. Giavazzi et al.: Scattering information obtained by optical microscopy: Differentialdynamic microscopy and beyond. Physical Review E 80, 031403 (2009)

[2] B. J. Berne, R. Pecora: Dynamic Light Scattering: With Application to Chemistry, Biologyand Physics. John Wiley 6 Sons, Inc., 1976, ISBN: 0-471-07100-5

[3] C. F. Bohren, D. R. Huffman Absorption and Scattering of Light by Small Particles JohnWiley Sons, Inc., 1983, ISBN: 0-471-29340-7

12