DIFFERENSIAL

Persamaan Differensial : Suatu persamaan yang melibatkansuatu fungsi yang dicari dari turunannya.

Ex :

1.dydx

= 5x + 3

PD Biasa

2. e y d2 ydx2

+ 2 ( dydx

¿2 = 1

3.d2 ydt 2

- 4 d2 ydx2

= 0 PD Parsial

Bentuk umum : y¹ = f ( X, T )

Dimana f(x,y) selalu dituliskan pembagian dua fungsi lain nya M(x,y) dan –N(x,y)

Sehingga dydx

= M (x , y)

−N (x , y )M(x,y)dx = -N(x,y)dy, equivalen dengan

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Ex:1. Tuliskan PD xy¹-y2 = 0 dalam bentuk standar

xy1 = y2

y 1= y2

x f(x,y) = y

2

x

2. ex . y¹ + e2xy = sin xex . y¹ = sin x - e2xy

y¹ = sin x−e2 x y

ex

= (sin x - e2xy) e-x

= e-x sin x – exy f(x,y) = e-x sin - exy

3. y(y . y¹ – 1) = x y2 . y¹ – y = x

y2 . y¹ = x + y

y¹ = x+ y

y2

f(x,y) = x+ y

y2

4. (xy + 3)dx + (2x – y2 + 1)dy = 0

(2x – y2 + 1)dx = -(xy + 3)dx

dydx

= −(xy+3)

(2 xy− y2+1)

f(x,y) = −(xy+3)

(2 xy− y2+1)

Persamaan Differensial Orde Pertama yang dapat dipisahkan.

A(x)dx + B(y)dy = 0 ..........................(1)

∫ A(x)dx + ∫B(y)dy = C ..................(2)

Ex:1. 5x dx + 7y dy = 0

∫5x dx + ∫7y dy = C52

x2 + 72

y2 = C

72

y2 = C - 52

x2

y2 = (C - 52

x2) 27

y = (27

C - 1014

x2)1/2

y = (k - 57

x2)1/2 dimana k = 27

C

f(x,y) = (k - 57

x2)1/2

2. Y¹ = y2 x3

dydx

= y2 x3

dy = y2 x3 dx1

y2 dy = x3 dx

x3 dx - 1

y2 dy = 0

∫x3 dx - ∫1

y2 dy = C

14

x4 + 1y

= C

1y

= C - 14

x4 y = (1

C−14x 4

)

y = (C - 14

x4)-1

3.dydx

= x2+2y

y dy = (x2 + 2)dx(x2 + 2)dx – y dy = 0∫(x2 + 2)dx - ∫y dy = C13

x3 + 2x - 12y2 = C

12

y2 = 13

x3 + 2x – C

y2 = 23

x3 + 4x - 2C

y = (23

x3 + 4x - k)1/2 k = 2C

y = ± (23

x3 + 4x - k)1/2 k = 2C

PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN

Ciri-ciri Persamaan Differensial Homogen

f(tx, ty) = f(x, y)

Ex:Tentukan apakah PD dibawah ini homogen

a. y¹ = y+ xx

c. y¹ = 2 x ye x/ y

x2+ y2 sinxy

b. y¹ = y2

xd. y¹ =

x2+ yx3

Penyelesaian;

a. y¹ = y+ xx

f(x, y) = y+ xx

f(tx, ty) = ty+txtx

= t( y)+t (x)

t (x )( Berarti Homogen )

b. y¹ = y2

x

f(x, y) = y2

x

f(tx, ty) = (ty)2

tx

= t2 y2

tx

= ty2

x f(tx, ty) ≠ f(x, y) ( Bukan Homogen )

c. y¹ = 2 x ye

xy

x2+ y2 sinxy

f(x, y) = 2 x ye

xy

x2+ y2 sinxy

f(tx, ty) = 2 t x t y .e

txty

(tx)2 .(ty)2sintxty

= 2 . x . y . e

xy

t(x¿¿2 . y2sinxy)¿

= 2 . x . y . e

xy

x2 . y2sinxy

f(tx, ty) ≠ f(x, y) (Berarti Bukan

Homogen)

Pada homogen dapat di pisahkan dengan memasukkan y = x v

bersama dengan turunan nyadydx

= υ + x dvdx

Ex:

1. Selesaikan y¹ = y+ xx

Penyelesaian:dydx

= y+ xx

υ + x dvdx

= xv+ xx

= x(v+1)

x

υ + x dvdx

= υ + 1

x dvdx

= 1

x dυ = dx

dυ = 1xx

1xdx – dv = C

∫1xdx – ∫ dv = C

ln |x| - v = C

ln |x| - yx

= C

yx

= ln |x| - C

y = x ln |x| - xC

2. y¹ = x2+ y2

xy

Penyelesaian : dydx

= x2+ y2

xy

υ + x dvdx

= x2+xv2

x . xv

= x2+x2 v2

x2 v

= x2+(1+v2)

x2 . v

= 1+v2

v

x dvdx

= 1+v2

v – v

= 1+v2

v - v

2

v

= 1+v2−v2

v

= 1v

x dvdx

= 1v

x dv = dxv

vdv = 1x

dx

1x

dx - vdv = C

∫1x

dx - ∫ v dv = C

ln |x| - 12v2 = C

ln |x| - 12¿ yx∨¿2¿ = C

ln |x| - 12. y2

x2 = C

ln |x| - C = 12. y2

x2

2x2 ln |x| - 2x2C = y2

Y = ± (2x2 ln |x| - 2x2C)1/2

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO PERTAMA EKSAK

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 .... (1)

δM (x , y)

δy=

δN (x , y )δx

...............(2)

Ex:

Tentukan apakah PD berikut adalah eksak !1. 2xy dx + (1+x2) dy = 0

M = 2xy δMδy

=2 x

δMδy

=¿ δNδx

→PD Eksak

N = 1+x2 δNδx

=2x

2. y dx – x dy = 0

M = y δMδy

=1

δMδy

≠ δ Nδx

→PDTidak Eksak

N = -x δNδx

=−1

3. Y¹ = −(x+Siny)

(x cos y−2 y )

dydx

= −(x+Siny)

(x Cosy−2 y)

(x cos y – 2y)dy = -(x + sin y)dx (x+ Sin y)dx + (x cos y -2y)dy = 0

M = x+sin y δMδy

=cos y

δMδy

=¿ δNδx

→PD Eksak

N = x cos y – 2y δNδx

=cos y

4. Y¹ = 2+ yexy

2 y−xexy

dydx

= 2+ yexy

2 y−xexy

(2 y−xexy)dy = (2 + yexy ¿dx(2 + yexy)dx – (2y - xexy)dy = 0

M = 2 + yexy δMδy

=e xy+ x . y .e xy

δMδy

=¿ δNδx

→PD Eksak

N = x cos y – 2y δNδx

=exy+x . y . exy

Metode Solusi :

1.δg(x , y )

δy = M(x,y) ....................................... (3)

δg(x , y )δx

= N(x,y) ....................................... (4)

g(x , y)= C ....................................... (5) Penyelesain secara Implisit

2. Faktor pengintegrasi I(x,y) [M(x,y)dx + N(x,y)dy] = 0 ... (6)

Jika, IN

(δMδy

- δNδx

) = g(x), Suatu fungsi dari x saja, maka;

I(x,y)= e ∫ g ( x )dx ........................... (7)

Jika1m

( ∂m∂ y

- ∂n∂ x

) = h (y) , suatu fungsi dari λsaja, maka :

Ι (x,y) = e−5h ( y )dy ............... (8)Jika M = y f (x,y) dan N = x g (x,y), maka :

Ι (x,y) = 1

xm− yn............... (9)

Ex:

1. 2x Y dx + (1 +x2) dy = 0m = (2xy), N = (1 +x2)- Memasukkan m (x, y) ke pers (3)

∂ y∂ x

= 2 xy

- Lingkaran Kedua Sisi Terhadap X

∫ 2g2x

dx = 2xy dx, maka :

= 2 y ∫ x dx

g (x,y) = x2y + h (y)

- Menentukan h (y) menurunkan g (x,y) FND Y∂ g∂ y

= x2+h1 (y)

karena N (x,y) + 1 + x2 ke pers (4) didapat :x2 + h1 (y) = 1 +x2

h1 (y) = 1- Integralkan h1 (y) = 1 terhadap Y

∫ h1 (y) dy = ∫1 dy h (y) = Y + c1

- Pers (5) g (x,y) = cg (x,y) = x2 y + Y + c1

karena g (x,y) = c1 ,maka : x2 y + Y = c2 dimana (c2 = c-c1 ¿

Y (+ 1) = c2

Y = c2¿¿

2. y¹ = −¿¿Bentuk lain :( x + sin y ) dx + ( x cos y – 2 y ) dy = 0

M = x + sin yN = x cos y – 2 y∂m∂ y

= ∂n∂ x

Eksak

Penyelesaian- Memasukkan N (x,y) ke pers (4) diperoleh :

∂g∂ x

= x + sin y

- Integralkan kedua sisinya:

∫∂ g∂ x

dx = ∫ (x2+sin y) dx

g(x,y) = 12

x2 + x sin y + h (y) ....... ( i )

- Menentukan h ( y ) mendiferensialkan persamaan ( i ) terhadap ( y )

∂ g∂ y

= x cos y + h1 ( y )

- Memasukan N kepersamaaan ( 4 ) N (x,y) = x cos y – 2 y

x cos y + h¹ ( y ) = x cos y – 2y h¹ ( y ) = -2y

∫h¹ (y) dy = -∫2y dy h(y) = -y2 + c g(x,y) = ½ x2 + sin y – y2 + c

c = ½ x2 + x sin y – y2 + c1

c2 = ½ x2 + siny y – y2 dengan c2 = c - 4

3. y¹ = 2+ yexy

2 y−xexy

(2 + y exy)dx + (x exy – 2y)dy = 0M = 2 + y exy

N = x exy – 2y

∂M∂ N

= ∂N∂ X

P.D EKSAK

Masuk M (x,y) kepersamaan (4)∂g∂ x

= 2 + y exy

Integralkan kedua sisinya

∫ ∂g∂ x

dx = ∫ ( 2 + y exy ) dx

g (x,y) = 2x + exy + h (y) ......... (i)

- Tentukan h(y)∂ g∂ y

= x cxy + h1 (y)

X exy + h¹ (y) = x exy - 2yh¹ (y) = -2y∫h1 (y) = -∫ ∫2y dyh (y) = - y2 + c1

g (x,y) = 2x + exy – y2 + c1

c = 2x + exy – y2 + c1

c2 = 2x + exy – y2 c2 = c – c1

4. y 2 dt + (2yt+1)dy = 0

M = y 2 dtδM (t , y)

δy = 2y

δM (t , y)

δy=

δN (t , y )δt

PD

Eksak

N = (2yt+1)dyδN ( t , y)

δt = 2y

- Masukan M(t,y) kedalam Persamaan 4δgδy

= y2 dt

- Integral kedua Sisinya

∫ δgδy

= y 2 ∫ t dt

g ( x , y )= y 2t + h(y) ... (i)- Tentukan Turunan h(y) men-DF terhadap y

δgδy

=¿2y + h’(y)

- Masukan N kepersamaan 4 N(x,y) = 2y+1 2y + h’(y) = 2y+1

h’( y) = 1 ∫ h’ ( y ) = ∫1dy h( y) =y+C1

g ( x , y ) = y 2t + y C2 = C-C1

PD ORDE PERTAMA LINEAR

Bentuk PD ORDE pertama Lineary '+ p(x) y = q(x) ... (1)

Faktor PengintegrasinyaI (x) = e ∫ p(x) dx ...(2)

Jika Persamaan (1)Kedua Sisinya Dikalikan I (x)y '+ p(x)I (x) y = I ( x )q(x) ... (3)

Persamaan (3) Disederhanakan Sebagaid ( y ' I )

dx=I ( x )q…(3a)

Mengintegrasikan Kedua Sisi Pers (3a) terhadap x dan Kemudian Menyelesaikanya Dengan Memperoleh Per Dalam Bentuk y = ...

Ex:a. Carilah Faktor Pengintegrasian Untuk y ' – 3y = 6

I (x)= - 3 , q(x) = 6∫p(x)d x = ∫-3 d x = -3x + cSehingga Persamaan Menjadi I (x) = e ∫ p(x) dx = e -3x

b. Carilah Faktor Pengintegrasi Untuk y ' - 2xy= x

p (x) = -2x, q (x) = x∫p (x)d x = ∫-2 d x = -x2+ c Persamaan Menjadi I (x) = e –x2

c. y ' - (4x) y= x4

p (x) = 4x

, q (x) = x4

∫p (x)d x = ∫4xd x = 4⌡nx + c = ⌡nx4

I (x) = e⌡nx4 = x4

d. Carilah Faktor Pengintegrasinya Dari y ' - 2xy= sin 3x

x2

p (x) = 2x

, q (x) =sin 3x

x2

∫p (x)d x = ∫2xd x = 2⌡nx + c = ⌡nx2

I (x) = e⌡nx2 = x2

e.dydx

−3 y=x .e3x

p (x) = −3, q (x) =x .e3x

∫p (x)d x = ∫-3 d x = -3xI (x) = e -3x

Penyelesaian:a. y ' – 3y = 6

I (x) = e ∫ p(x) dx = e -3x

y ' .e−3 x−3 y . e−3x−3 y . e−3x=6 .e−3 x

d ( y . e−3 x)dx

=6.e−3x

∫ d ( y . e−3x )dx

dx=∫6.e−3x

y . e−3x=−2 x−3x+c

Membuat Dalam Persamaan yy=(−2x−3 x+c )e3 x

y=c . e3x−2

b. y ' - 2xy= xI (x) = e− x2 ,

y ' .e− x2−e−x22xy=e−x2

d ( y . e−x2)dx

=e− x2x

∫ y . e−x2

dxdx=∫ e− x2 x dx

y . e−x2=−12

e− x2+c

Persamaan = y=[c−12 e− x2]ex2

y=c . ex2−12

c. y ' - (4x) y= x4

I (x) = x4

y ' x4−4x. x 4 y=x8

y ' x4−4 x3 y=x8

d (x4 y)dx

dx=∫ x8dx

x4 y=19x9+c

y=( 19x9+c )x−4

19x5+ c

x 4

d. y ' - 2xy= sin 3x

x2

I (x) = e⌡nx2 = x2

x2 y '+ 2xx2= sin 3 x

x2x2

x2 y '+2 x=sin 3 xd (x2 y )

dxdx=∫ sin3 x

x2 y=−13cos3 x+c

y=(−13 cos3 x+c )x−2

e.dydx

−3 y=x .e3x

I (x) = e -3x

e−3 x . y '−3 y . e−3x=x . e3x . e−3x

d (e−3 y y)dx

=x

∫ d (e−3 xy)dx

dx=∫ x dx

e−3 x y=12x2+c

y=( 12 x2+c)e3x

PD BERNOULI

Bentuk y '+p (x ) y=q ( x ) yn

n = Bil.RealDengan Subtitusi z= y1−n

Ex:a. Selesaikan y '+xy=x y2

p ( x )=x ,q (x )=xn = 2

Memasukan y kedalambentuk zz= y1−n

¿ y1−2

¿ 1y

z= 1y

y=1z

y '=−z−2 . z1

[−1z2 . z1+x .1z=x .

1

z2 ] . z2[−z1+xz=x ] . (−1 )z1−xz=−x

p ( x )=−x ,q (x )=−x

∫ p ( x )dx=∫−x dx=12x2

I ( x )=e∫ p (x )dx=e−12

x2

e−12

x2

z1−e12x2

xz=−x . e−12

x2

d (e−12

x2

z1)dx

=−x . e−12

x2

∫ d (e−12

x2

)dx

dx=∫−x . e−12

x2

dx

e−12

x2

z=e−12

x2

z=(e−12

x2

+z )e12x2

b. Selesaikan y1−3xy=x4 y

13

n = 13

z= y1− 13

z= y23 y=z

32

y1=32z12 . z1

32z12 . z1−3

x. z32=x4 (z 32)

13

z=c . e12x2

+1

32z12 . z1−3

x. z32=x4 . z

12

23.32z12 . z1−3

x.23. z32=23x4 . z

12

[ z12 . z1− 2x . z32=23x4 . z

12 ]

z1−2xz=23x4

p ( x )=−2x

,q ( x )=23x4

∫ p ( x )dx=∫−2x

dx

¿−2|n x=−|n x−2

± ( x )=e−|nx−2

=x−2

z x−2− zx. x−2=2

3x4 . x−2

z x−2−2x−3=23x2

d (2 . x−2)dx

=23x2

∫ d (2 . x−2)dx

dx=∫ 23x2dx

z

x2=29x3+c

z=29x5+c x2

PD HOMOGEN LINIER ORDE KEDUA DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Jika Yn + a1y1 + a0y = 0 … (1)

Dimana a1 & a0 adalah konstantaDigantikan dengan 2, 1, 0 maka pers(1) menjadi + a1 + a0 = 0 …(2)Pers(2) disebut persamaan karakteristik dari pers(1)Pers karakteristik dapat difaktorkan menjadi( - 1) ( - 2) = 0 …(3)Solusi UmumJika 1 & 2 dua-duanya real dan jelas, dua solusi independen yang linier adalah

dan Solusi Umum

1. …(4)

Dalam kasus pers(4) menjadi

2. , bil kompleks

Dua solusi independennya dan Solusi umumnya

…(5)Yang secara aljabar ekuivalen dengan

…(6)

Jika

Dua solusi independennya dan

Solusi umumnya Solusi-solusi tersebut tidak berlaku jika PD-nya tidak linier atau tidak memiliki koefisien konstan.!

Contoh !

1. Selesaikan

real

Solusi independennya dan

Solusi umum

2. Selesaikan Pers Karakteristik

Solusi independennya

dan

Solusi umum

3. Selesaikan Pers karakteristik

Solusi independennya

danSolusi umum

Diperoleh

Dimana :

PD HOMOGEN LINIER ORDE KE-N DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Jika Pers Karakteristik

Solusi Umum

Contoh !

1. Selesaikan

PK :

Solusi Umumnya

2. Selesaikan

PK :

Solusi Umumnya

3. Selesaikan

PK :

Solusi Umumnya Karena dan

Maka

4. Selesaikan

PK :

Solusi Umumnya

TRANSFORMASI LAPLACE

Misal F(t) adalah fungsi yang ditentukan untuk semua t positif, maka

Dirumuskan transformasi Laplace dan F(t)

dan ditulis Beberapa Rumus Transformasi Laplace :

1. F(t)

2. tn dengan T(n+1) = n!

3. eat

4. cos at

5. sin at

6. cosh at

7. sinh atSifat-sifat Transformasi Laplace

1.

Jika maka

2.

3.

4.5. Laplace dan Turunan

6. Laplace dan Integral

Contoh !1) Tentukan Transformasi dari F(t) = 1+ sin at

2) Tentukan Transformasi Laplace dari

3) Tentukan Transformasi Laplace dari - Menurut Rumus 3

- Menurut Sifat 3

- Sifat 2 dengan f(t) = t

4)