digraf eksentrik dari graf komplit …lib.unnes.ac.id/7439/1/10507.pdfeksentriknya dan terakhir...
TRANSCRIPT
JUDUL
DIGRAF EKSENTRIK
DARI GRAF KOMPLIT BIPARTIT
DAN DIGRAF KOMPLIT MULTIPARTIT
skripsi
disajikan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
oleh
Abdiyati Ilmiyana
4150407018
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2011
ii
PERNYATAAN
Saya menyatakan bahwa skripsi ini bebas plagiat, dan apabila di kemudian
hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini, maka saya bersedia menerima
sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan.
Semarang, 11 Agustus 2011 Abdiyati Ilmiyana
NIM. 4150407018
iii
PENGESAHAN
Skripsi yang berjudul
Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit dan Digraf Komplit Multipartit
disusun oleh
Abdiyati Ilmiyana
4150407018
telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA Unnes pada tanggal 19 Agustus 2011
Panitia:
Ketua Sekretaris
Dr. Kasmadi Imam S., M.S. Drs. Edy Soedjoko, M.Pd 195111151979031001 195604191987031001
Ketua Penguji
Isnaini Rosyida, S.Si., M.Si 197302191998022001
Anggota Penguji/ Anggota Penguji/ Pembimbing Utama Pembimbing Pendamping
Dr. Mulyono, M.Si Drs. Amin Suyitno, M.Pd 197009021997021001 195206041976121001
iv
MOTTO HIDUP
v متفق علیھ(نیا فعلیھ بالعلم ومن اراداالخرة فعلیھ بالعلم ومن ارادھما فعلیھ بالعلم الَدمن اراد ( Barang siapa berharap akan kesuksesan dunia maka wajib baginya dengan ilmu,
barang siapa berharap akan kesuksesan akhirat maka wajib baginya dengan ilmu,
dan barang siapa berharap akan kesuksesan keduaya maka wajib baginya dengan
ilmu pula (HR. Bukhori Muslim).
v جدمن جدَّ و
Siapa yang bersungguh-sungguh pasti akan berhasil (H.R Bukhori Muslim)
v إّن مع العسر یسرا
Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan (QS. Al Insyiroh : 6).
v والذین امنوا وعملوا الصالحات لنكفرّن عنھم سّیئاتھم ولنجزیّنھم احسن الذي كانوا یعملون
Dan orang-orang yang beriman dan beramal sholih benar-benar akan dihapuskan
dosa-dosa mereka dan benar-benar akan kami beri balasan yang lebih baik dari apa
yang mereka lakukan (QS. Al Ankabut : 7).
v
PRAKATA
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat dan
hidayah-Nya, sehingga penulis memperoleh kekuatan untuk menyelesaikan
skripsi ini. Dalam kesempatan ini penulis menghaturkan terima kasih yang tak
terhingga kepada:
1. Prof. Dr. H. Sudijono Sastroatmodjo, M.Si., Rektor Universitas Negeri
Semarang yang telah memberikan fasilitas-fasilitas kepada penulis.
2. Dr. Kasmadi Imam S., M.S, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang.
3. Drs. Edy Soedjoko, M.Pd, Ketua Jurusan Matematika Universitas Negeri
Semarang.
4. Dr. Mulyono, S.Si., M.Si, Dosen Pembimbing I dan Drs. Amin Suyitno, M.Pd,
Dosen Pembimbing II yang senantiasa mengarahkan dan membimbing penulis
dalam menyusun skripsi ini dengan penuh kesabaran dan keikhlasan.
5. Ibu Isnaini Rosyida,S.Si., M.Si, Dosen penguji yang membimbing penulis
dalam menyempurnakan skripsi ini dengan penuh ketelitian.
6. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan bekal ilmu
dan pengetahuan selama kuliah.
7. Ibu Miskiyah sekeluarga yang senantiasa sabar dan ikhlas mencurahkan kasih
sayang, mendoakan, menasihati, membimbing dan menyemangati penulis
serta ayahku Bapak Shodiqun tercinta yang selalu menyayangi dan
mendoakanku di sana.
8. Kakak2 dan adik2ku, Mbak Hj. Hikmah, I.Lc yang menjadi inspiratorku,
terimakasih untuk kasih sayang, doa serta dukungan yang diberikan. Mas
Abid, mbak Etvi, mas Edzik, adik2ku Kamilatun Nisa dan Akmala
Ashlihatina yang menjadi semangatku.
vi
9. Abah Kyai Al Mamnuhin Kholid, Ibu Nyai Istighfaroh, S.Pd, Ibu Nyai Al
Mau’natul Hafidloh, S.Pdi A.H, Ustadz-Ustadzah Ponpes. Al Asror Patemon
Gunung Pati, Ustadz-Ustadzah di Madrasah Salafiyah Simbang Kulon, RA,
TPQ, serta Madrasah Diniyah Al Burhan. Terimakasih atas mutiara ilmu,
nasihat, kasih sayang, dan doa yang diberikan.
10. Pencinta kalam Tuhan, semoga Allah berkenan memasukkan kita ke dalam
surga indahNya. Amin
11. Teman2 santriwan santriwati Ponpes Al Asror, Specially for 10 bersaudara
angkatan 2007{mbak tanti, mbak im, yu end, Yu Towi, mbak Qibti, mbak
Isty, mbak Pipit, mbak Kiki, Kang Yasin dan Kang Febri} maafkan salah ilmi
ya? He… Klo ngumpul kompak bgt, nyenengke. Makasih buat doa dan
semangatnya. Buat 10 Sister’s di Pekalongan yang selalu kurindu, buat teman-
teman matematika 2007 khusushon buat riva, marya, ayu cinta, azka, mb wini
makasih atas dukungan, doa, dan semangatnya selama kuliah.
12. Segenap pihak yang membantu terselesaikannya skripsi ini dan studi penulis.
Semoga Allah SWT berkenan membalas bantuan yang diberikan dengan
balasan yang lebih baik dan berlipat ganda. Penulis berharap skripsi ini dapat
bermanfaat bagi para pembaca.
Semarang, 10 Agustus 2011
Penulis
vii
ABSTRAK
Ilmiyana, Abdiyati. 2011. Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit dan Digraf Komplit Multipartit. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang. Pembimbing I: Dr. Mulyono, S.Si, M.Si dan Pembimbing II: Drs. Amin Suyitno, M.Pd.
Kata kunci: Eksentrisitas, Titik eksentrik, Digraf Eksentrik
Dewasa ini teori graf telah memantapkan diri sebagai alat matematika yang sangat penting dan berguna dalam berbagai aplikasi kehidupan. Salah satu aplikasi dalam teori graf adalah menentukan kota terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari suatu kota ke kota lain yang terdiri dari kumpulan kota dalam suatu daerah. Masalah ini ekuivalen dengan menentukan eksentrisitas titik pada graf. Eksentrisitas e(u) dari u dalam G adalah jarak maksimal dari u ke setiap v di G, atau dapat ditulis ����� � �������, ��| � � � ��. Titik � disebut titik eksentrik jika jarak dari � ke � sama dengan ����. Digraf Eksentrik dari graf G yang dinotasikan dengan ED(G) didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di G, dengan arc dari titik v ke u pada ED(G) jika dan hanya jika u adalah titik eksentrik dari v. Sedangkan Eksentrisitas e(u) dari u dalam Digraf D adalah jarak maksimal dari u ke setiap v di D, atau dapat ditulis ����� � �������, ��| � � � ��. Titik � disebut titik eksentrik jika jarak dari � ke � sama dengan ����. Digraf Eksentrik dari digraf D yang dinotasikan dengan ED(D) didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di D, dengan arc dari titik v ke u pada ED(D) jika dan hanya jika u adalah titik eksentrik dari v. Permasalahan yang dikaji dalam skripsi adalah (1) bagaimana langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf dan digraf (2) bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit, dan (3) bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit.
Penelitian ini merupakan penelitian studi pustaka yang dilakukan dalam tiga tahap, yaitu (1) mempelajari dan mengkaji tentang eksentrisitas titik, digraf eksentrik dari graf dan digraf (2) menentukan langkah-langkah untuk mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit dengan menggunakan referensi yang ada serta bagaimana membuktikan teorema yang mendukung keberadaannya, dan (3) menggunakan kajian tentang digraf eksentrik untuk menemukan bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit. Untuk menentukan langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf dan digraf digunakan definisi eksentrisitas, titik eksentrik dan digraf eksentrik. Kemudian dengan menggunakan langkah-langkah tersebut mulai mencari bentuk digraf eksentrik dari dari graf komplit bipartit dan digraf komplit multipartit.
Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh bahwa (1) langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf dan digraf adalah menentukan jarak
viii
setiap titik di graf G ke titik yang lain di graf G atau menentukan jarak setiap titik di digraf D ke titik yang lain di digraf D, kemudian mencari eksentrisitas dan titik eksentriknya dan terakhir menggambar digraf eksentriknya (2) bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dinotasikan �� ,� dengan � , � � 2 adalah gabungan dari digraf komplit dengan m titik dan n titik yang sisinya berarah bolak-balik atau diperoleh bentuk umum ����� ,��� �� �������� �� ������ dengan � , � �2, dan (3) digraf eksentrik iterasi kedua pada digraf komplit multipartit ��,�,� ,� adalah digraf komplit multipartit ��,�,� ,� itu sendiri.
Berdasarkan hasil penelitian tersebut penulis menyarankan kepada peneliti lain untuk mengkaji bentuk digraf eksentrik iterasi pertama dari digraf komplit multipartit dan digraf eksentrik dari graf atau digraf yang lain.
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i
PERNYATAAN ........................................................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................... iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN ............................................................... iv
KATA PENGANTAR .................................................................................. v
ABSTRAK .................................................................................................... vii
DAFTAR ISI ................................................................................................. viii
DAFTAR SIMBOL ...................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR .................................................................................... xi
DAFTAR TABEL ......................................................................................... xiii
BAB 1 PENDAHULUAN ............................................................................. 1
1.1 Latar Belakang ......................................................................................... 1
1.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 2
1.3 Tujuan dan Manfaat ................................................................................ 3
1.4 Sistematika Penulisan .............................................................................. 4
BAB 2 LANDASAN TEORI ........................................................................ 5
2.1 Graf ......................................................................................................... 5
2.2 Digraf ..................................................................................................... 17
2.3 Digraf Eksentrik ...................................................................................... 23
2.4 Graf Komplit Bipartit ............................................................................. 35
2.5 Digraf Komplit Multipartit ...................................................................... 38
BAB 3 METODE PENELITIAN ................................................................. 41
3.1 Penemuan Masalah .................................................................................. 41
3.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 41
3.3 Studi Pustaka .......................................................................................... 42
3.4 Analisis Pemecahan Masalah .................................................................. 42
3.5 Penarikan Kesimpulan ............................................................................. 43
BAB 4 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ................................. 44
4.1 Langkah-langkah Mengkonstruksi Digraf Eksentrik ................................. 44
x
4.2 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit ............................................ 46
4.3 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit ..................................... 62
BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN ............................................................... 78
5.1 Simpulan .................................................................................................. 78
5.2 Saran ........................................................................................................ 80
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 81
xi
DAFTAR SIMBOL
1. � � Graf �
2. � � Digraf �
3. ������ Himpunan titik di Graf �
4. ����� Himpunan sisi di Graf �
5. ���, � �� Graf G dengan order � dan size �
6. �� � Graf G reguler dengan derajat �
7. ���, � �� ���raf G dengan order � dan size �
8. � � Sub bagian
9. �� � Reduksi Digraf D
10. ������� Komplemen reduksi Digraf D
11. ���, ��� Jarak dari � ke � pada suatu graf
12. ���, ���� Jarak dari � ke � pada suatu digraf
13. ����� Eksentrisitas dari titik �
14. ������ ���raf eksentrik pada G
15. ������ ���raf eksentrik pada �
16. ������� ���raf eksentrik iterasi ke � � pada �
17. �� � Graf komplit dengan � titik
18. �������� Digraf komplit dengan � titik
19. ������ Himpunan titik di Digraf �
20. ������������� Komplemen �����
21. ��,�,�,…,������������������� Digraf multipartit dengan � partit
22. �� ,� � Graf komplit bipartit
23. �� ,����������� Digraf komplit bipartit
24. �� ,�������� Komplemen �� ,�
25. ����� ,��� ���raf eksentrik dari �� ,�
26. �� � Himpunan graf atau digraf ke � �
27. ∞ � Tak hingga
xii
DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman
1. Gambar 2.1.1 Graf G .................................................................................. 8
2. Gambar 2.1.2 Graf G .................................................................................. 9
3. Gambar 2.1.3 Graf regular orde 4 .............................................................. 10
4. Gambar 2.1.4 Graf G dan komplemennya .................................................. 11
5. Gambar 2.1.5 Graf G ................................................................................. 12
6. Gambar 2.1.6 Graf G .................................................................................. 13
7. Gambar 2.1.7 Graf G ................................................................................. 14
8. Gambar 2.1.8 Graf G Sederhana ................................................................ 15
9. Gambar 2.1.9 Graf Ganda dan Graf Semu ................................................. 15
10. Gambar 2.1.10 Dua Graf Tak Berhingga .................................................... 16
11. Gambar 2.1.11Graf Berarah dan Tak Berarah ............................................. 17
12. Gambar 2.2.1 Digraf D .............................................................................. 17
13. Gambar 2.2.2 Digraf �� Subgraf Digraf �� ............................................... 19
14. Gambar 2.2.3 Digraf Komplit ..................................................................... 20
15. Gambar 2.2.4 Graf Berarah......................................................................... 20
16. Gambar 2.2.5 Digraf G, reduksi digraf G, komplemen redusi digraf G ....... 21
17. Gambar 2.2.6 Digraf D .............................................................................. 21
18. Gambar 2.2.7 (a) Digraf Terhubung Lemah, (b) Digraf Terhubung Kuat ... 23
19. Gambar 2.3.1 Graf G ................................................................................. 23
20. Gambar 2.3.2 Graf Hubungan Radius G dan Diameter G ........................... 25
21. Gambar 2.3.3 Eksentrisitas ........................................................................ 25
22. Gambar 2.3.4 Digraf D ............................................................................... 28
23. Gambar 2.3.5 Graf G dan Digraf Eksentrisnya ........................................... 29
24. Gambar 2.3.6 Digraf Eksentrik dari Digraf D ............................................ 30
25. Gambar 2.3.7 Digraf Eksentrik pada iterasi k pada Digraf G ..................... 31
26. Gambar 2.4.1 Graf Komplit Kn ................................................................... 37
27. Gambar 2.4.2 Graf Bipartit K3,4 .................................................................. 37
xiii
28. Gambar 2.4.3 Graf Komplit Bipartit K2,3 .................................................... 38
29. Gambar 2.5.1 Digraf Multipartit K2,2,2,3 Tak Komplit .................................. 39
30. Gambar 2.5.2 Digraf Komplit Multipartit K2,2,2,3 ......................................... 39
31. Gambar 4.2.1 Graf Komplit Bipartit K2,2 .................................................... 48
32. Gambar 4.2.2 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,2 ................... 49
33. Gambar 4.2.3 Graf Komplit Bipartit K2,3 .................................................... 50
34. Gambar 4.2.4 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,3 ................... 51
35. Gambar 4.2.5 Graf Komplit Bipartit K2,4 .................................................... 52
36. Gambar 4.2.6 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,4 ................... 53
37. Gambar 4.2.7 Graf Komplit Bipartit K2,5 .................................................... 54
38. Gambar 4.2.8 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,5 ................... 56
39. Gambar 4.2.9 Graf Komplit Bipartit K3,2 .................................................... 56
40. Gambar 4.2.10 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,2.................. 57
41. Gambar 4.2.11 Graf Komplit Bipartit K3,3 ................................................... 58
42. Gambar 4.2.12 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,3.................. 58
43. Gambar 4.2.13 Graf Komplit Bipartit K3,4 ................................................... 59
44. Gambar 4.2.14 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,4.................. 59
45. Gambar 4.2.15 Graf Komplit Bipartit K3,5 ................................................... 60
46. Gambar 4.2.16 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,5.................. 60
47. Gambar 4.3.1 Digraf Komplit Multipartit K2,2,3 ........................................... 64
48. Gambar 4.3.2 Digraf Komplit Multipartit K2,3 ............................................. 68
49. Gambar 4.3.3 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit K2,3 ........... 69
50. Gambar 4.3.4 Digraf Komplit Multipartit K2,2,3 ........................................... 70
51. Gambar 4.3.5 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit K2,2,3 ......... 72
52. Gambar 4.3.6 Digraf Eksentrik Iterasi kedua dari Digraf Komplit Multipartit
K2,3 .................………… ............................................................................. 75
53. Gambar 4.3.7 Digraf Eksentrik Iterasi kedua dari Digraf Komplit Multipartit
K2,2,3 .............. ………… ............................................................................. 77
xiv
DAFTAR TABEL Tabel Halaman
1. Tabel 2.3.1 Eksentrisitas Graf G ................................................................ 26
2. Tabel 2.3.2 Eksentrisitas Digraf � ............................................................... 29
3. Tabel 2.3.3 Eksentrisitas Digraf D pada Gambar 2.3.7 ............................... 32
4. Tabel 2.3.4 Eksentrisitas Digraf ����� pada Gambar 2.3.7 ........................ 33
5. Tabel 2.3.5 Eksentrisitas Digraf ������ pada Gambar 2.3.7....................... 34
6. Tabel 4.2.1 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K2,2 .................................... 49
7. Tabel 4.2.2 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K2,3 .................................... 50
8. Tabel 4.2.3 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K2,4 .................................... 52
9. Tabel 4.2.4 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K2,5 .................................... 55
10. Tabel 4.2.5 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K3,4 .................................... 57
11. Tabel 4.2.6 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K3,5 .................................... 60
12. Tabel 4.3.1 Eksentrisitas Digraf Komplit Multipartit K2,3 ............................ 69
13. Tabel 4.3.2 Eksentrisitas Digraf Komplit Multipartit K2,2,3 .......................... 71
14. Tabel 4.3.3 Eksentrisitas Iterasi Kedua Digraf Komplit Multipartit K2,3 ...... 74
15. Tabel 4.3.4 Eksentrisitas Iterasi Kedua Digraf Komplit Multipartit K2,2,3 .... 77
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dewasa ini teori graf telah memantapkan dirinya sebagai alat
matematika yang sangat penting dan berguna. Hal ini sangat berhubungan
dengan struktur diskrit yang ada pada sistem. Banyak ilmu yang
memanfaatkan Teori Graf (Graph Theory), mulai dari proses komputasi
sampai dengan Kimia, Genetika, Sosiologi, Kartografi dan beberapa masalah
dalam jaringan komunikasi, transportasi, ilmu komputer, riset operasi, dan
lain sebagainya. Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit
dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf
adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan, verteks atau titik.
Sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis atau edge.
Graf dapat digunakan untuk merepresentasikan beberapa struktur
objek, salah satu aplikasinya adalah menentukan jarak terjauh (maksimal
lintasan terpendek) dari suatu kota ke kota lain yang terdiri dari kumpulan
kota dalam suatu daerah. Masalah ini ekuivalen dengan menentukan
eksentrisitas titik pada graf. Kumpulan titik eksentrik yang dihubungkan
dengan garis pada suatu graf disebut digraf eksentrik pada suatu graf.
Sedangkan kumpulan titik eksentrik yang dihubungkan dengan busur pada
suatu digraf disebut digraf eksentrik pada digraf.
2
Digraf eksentrik pada graf diperkenalkan pertama kalinya oleh Fred Buckley
pada tahun 1990-an yakni digraf Eksentrik ED(G) pada graf G didefinisikan
sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan
titik di G atau V(ED(G))=V(G), di mana arc (busur) yang menghubungkan
titik � ke � , jika � adalah titik eksentrik dari �. Sedangkan Bolland dan
Miller pada tahun 2001 mulai memperkenalkan digraf eksentrik pada digraf
atau dituliskan ����� didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai
himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di D atau ���������
����, dimana arc (busur) menghubungkan titik � ke �, jika hanya jika �
adalah titik eksentrik dari �.
Berdasarkan deskripsi di atas, penulis mempunyai rasa ingin tahu lebih
dalam tentang digraf eksentrik baik dari graf maupun digraf dan untuk
mengembangkan penelitian ini, penulis tertarik untuk membahas digraf
eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf eksentrik dari digraf komplit
multipartit.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka permasalahan yang dapat
dirumuskan dalam penulisan ini adalah sebagai berikut.
1.2.1 Bagaimana langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf
dan digraf?
1.2.2 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit?
1.2.3 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit?
3
1.3 Tujuan dan Manfaat
1.3.1 Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1.3.1.1 Mengetahui bagaimana langkah-langkah mengkonstuksi digraf
eksentrik dari graf dan digraf.
1.3.1.2 Mengetahui bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf
komplit bipartit.
1.3.1.3 Mengetahui bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf
komplit multipartit.
1.3.2 Manfaat
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1.3.2.1 Bagi penulis
Untuk mengembangkan ilmu pengetahuan, terutama dalam
menentukan bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit
dan digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit.
1.3.2.2 Bagi Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang
Dapat digunakan sebagai khazanah dan sumber referensi baru
khususnya dalam kajian matematika mata kuliah Matematika
Diskrit.
1.3.2.3 Bagi pembaca
Untuk menambah ilmu pengetahuan terutama dalam hal
menentukan bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit
dan digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit.
4
1.4 Sistematika Penulisan
BAB 1 Merupakan bab pendahuluan yang berisi tentang latar belakang,
perumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian.
BAB 2 Menguraikan materi penunjang yang menjadi dasar teori
disusunnya skripsi ini.
BAB 3 Menguraikan tentang metode penelitian yaitu langkah-langkah
yang dilakukan peneliti.
BAB 4 Menguraikan pembahasan tentang langkah-langkah
mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan
digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit.
BAB 5 Berisi kesimpulan dan saran dari pembahasan tentang bentuk
digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf eksentrik
dari digraf komplit multipartit.
5
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Graf
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun
memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk
merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek
tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek
sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek
dinyatakan dengan garis. Sebelum mempelajari teori graf lebih lanjut,
diperlukan pengantar sebagaimana berikut.
2.1.1 Sejarah Graf
Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi
tentang upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal
di Eropa. Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya teori tersebut tidak ada
perkembangan berarti mengenai teori graf.
Tahun 1847, G.R. Kirchoff (1824-1887) berhasil mengembangkan
teori pohon (Theory Of Trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan
listrik. Sepuluh tahun kemudian, A. Cayley (1821-1895) juga menggunakan
konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon.
6
Pada masa Kirchoff dan Cayley juga telah lahir dua hal penting dalam
teori graf. Salah satunya berkenaan dengan konjektur empat warna, yang
menyatakan bahwa untuk mewarnai sebuah atlas cukup dengan menggunakan
empat macam warna sedemikian hingga tiap negara yang berbatasan akan
memiliki warna yang berbeda.
Para ahli teori graf berkeyakinan bahwa orang yang pertama kali
mengemukakan masalah empat warna adalah A. F. Mobius (1970-1868)
dalam salah satu kuliahnya di tahun 1840. Sepuluh tahun kemudian, A.
Demorgan dianggap sebagai referensi pertama berkenaan dengan masalah
empat warna. Masalah empat warna ini menjadi sangat terkenal setelah
Cayley mempublikasikasikan tahun 1839 dalam Proceeding of the Royal
Geographic Society volume pertama.
Hal yang penting untuk dibicarakan sehubungan dengan
perkembangan teori graf adalah apa yang dikemukakam oleh Sir W. R.
Hamilton (1805-1865). Pada tahun 1859 ia berhasil menemukan suatu
permainan yng kemudian dijualnya ke sebuah pabrik mainan di Dublin.
Permainan tersebut dari kayu berbentuk dodecahedron beraturan yakni
berupa sebuah polyhedron dengan 12 muka dan 20 pojok. Tiap muka
berbentuk sebuah pentagon beraturan dan tiap pojoknya dibentuk oleh tiga
sisi berbeda. Tiap pojok dari dodecahedron tersebut dipasangkan dengan
sebuah kota terkenal seperti London, New York, Paris dan lain-lain. Masalah
dalam permainan ini adalah mencari suatu rute melalui sisi-sisi dodecahedron
7
sehingga tiap kota dari 20 kota yang ada dapat dilalui tepat satu kali.
Walaupun saat ini masalah tersebut dikategorikan mudah, akan tetapi saat iti
tidak ada seorangpun yang menemukan syarat perlu dan cukup dari eksistensi
rute yang dicari.
Kurang lebih setengah abad setelah masa Hamilton, aktivitas
penelitian dalam bidang graf relatif kecil. Pada tahun 1920-an kegiatan
tersebut muncul kembali yang dipelopori oleh D.Konig. Konig berupaya
mengumpulkan hasil-hasil pemikiran para ahli matematika tentang teori graf
termasuk hasil pemikirannya sendiri, kemudian dikemasnya dalam bentuk
buku yang diterbitkan pada tahun 1936.
Tiga puluh tahun terakhir ini merupakan periode yang sangat intensif
dalam aktifitas pengembangan teori graf baik murni maupun terapan.
Sejumlah penelitian telah dilakukan, ribuan artikel telah diterbitkan, dan
lusinan buku telah banyak tertulis. Di antara orang terkenal yang banyak
berkecimpung dalam bidang Graf adalah Claude Berge, Oysten Ore, Paul
Erdos, William Tutte, dan Frank Harary.
2.1.2 Definisi dan Terminologi Dasar Graf
Definisi 2.1.2.1
Graf G adalah pasangan ( ����, �����, di mana ���� adalah
himpunan berhingga titik-titik (vertices) yang tak kosong dan ���� adalah
himpunan sisi (mungkin kosong), sedemikian hingga setiap sisi (edge) di
8
���� adalah pasangan tak berurutan dari titik-titik di ����. Himpunan titik
dari � dinotasikan dengan ����, sedangkan himpunan sisi dinotasikan
dengan ���� (Budayasa, 1997).
Definisi 2.1.2.2
Jika terdapat sisi � � ��, ��� ��, ��� ��, maka sisi � dikatakan
menghubungkan titik � dan �. Jika � � ��, �� adalah sisi pada graf , maka �
dan � disebut titik yang berhubungan langsung atau bertetangga (adjacent).
Sedangkan � dan � disebut terkait (incident), sama seperti � dan � (Chartrand
and Lesniak, 1996).
Contoh
v5
Gambar 2.1.1 Graf G
Pada gambar 2.1.1, titik �� bertetangga dengan titik �� dan ��, tetapi
titik �� tidak bertetangga dengan titik ��. Sisi e1 incident (terkait) dengan
titik �� dan ��, sisi e2 incident (terkait) dengan titik �� dan ��, dan
seterusnya.
��
��
��
��
��
��
��
��
��
9
Definisi 2.1.2.3
Kardinalitas himpunan titik dari graf � disebut order dari graf � dan
dinotasikan dengan ����, |�| atau � jika graf yang dimaksudkan jelas.
Sedangkan kardinalitas dari himpunan sisi disebut size yang dinotasikan
dengan � ���, |�| atau � . Suatu graf ���, � � mempunyai order � dan size �
(Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
Graf � pada gambar 2.1.1 halaman 8, mempunyai order 4 dan size 5.
Definisi 2.1.2.4
Derajat dari titik � pada graf � adalah jumlah sisi pada � yang terkait
dengan �, yang dinotasikan dengan ����� atau deg �. Suatu titik dikatakan
ganjil atau genap sesuai dengan derajat titik tersebut ganjil atau genap
(Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
Gambar 2.1.2 Graf G
Pada gambar 2.1.2, titik �� dan �� berderajat 2 atau merupakan titik genap,
sedangkan �� dan �� berderajat 3 atau merupakan titik ganjil.
e�
e�
e�
e�
e�
v�
v� v�
G � v�
10
Definisi 2.1.2.5
Suatu graf � dikatakan reguler dengan derajat � jika deg � � � untuk
setiap titik di � (Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
Gambar 2.1.3 Graf reguler orde 4
Pada gambar 2.1.3, graf reguler �� berderajat 0, graf reguler �� berderajat 1,
graf reguler �� berderajat 2, dan graf reguler �� berderajat 3.
Definisi 2.1.2.6
Suatu graf sederhana dikatakan komplit (complete) jika setiap 2
titiknya bertetangga. Graf komplit ��, � � merupakan graf reguler dengan
derajat � � 1 dan jumlah sisi � , dengan � � �������
dan dinotasikan dengan
�� (Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
Pada gambar 2.1.3, graf reguler �� adalah graf komplit.
Definisi 2.1.2.7
Komplemen dari graf � (diberi simbol dengan �� adalah graf dengan
himpunan titik ���� di mana dua titik dikatakan bertetangga di �� jika dan
�� �� �� ��
11
hanya jika titik tersebut tidak bertetangga di � (Chartrand and Lesniak,
1996).
Contoh
Gambar 2.1.4 Graf G dan komplemennya
Definisi 2.1.2.8
Misal � dan � titik-titik pada graf �. Jalan (walk) � � � pada graf �
adalah barisan berhingga titik dan sisi
� � �� � �� � �� � �� � � � ���� � �� � �� � �
sedemikian hingga �� � �����, �� � � �� 1,2,3, … , �, dengan � adalah
panjang dari jalan. Suatu jalan � � � disebut tertutup jika � � � dan jalan
� � � disebut terbuka jika � � � (Chartrand and Lesniak, 1996).
G : �� :
12
Contoh
Gambar 2.1.5 Graf G
Pada gambar 2.1.5 jalan � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � �
adalah jalan tertutup dengan panjang 5 dan � � �� � � � �� � � � �� � � �
�� � � � �� � � � �� � � adalah jalan terbuka dengan panjang 6.
Definisi 2.1.2.9
Jika semua sisi �� � �� � �� � � � �� dalam suatu jalan adalah
berbeda, maka disebut jejak (trail) dan jika semua titik �� � �� � �� � � �
�� dalam suatu jejak juga berbeda, maka disebut lintasan (path) (Sutarno,
2003).
Contoh
Pada gambar 2.1.5, jalan � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � �
adalah jejak tetapi bukan lintasan, sedangkan � � �� � �� �� � � � �� �
� � �� � � adalah lintasan.
Definisi 2.1.2.10
Lintasan terpendek (shortest path) adalah lintasan dengan jumlah sisi
paling sedikit.
��
�� ��
��
��
�
� �
� � �
�
�� ��
13
Contoh
Pada gambar 2.1.5 halaman 12, lintasan terpendek dari titik � ke � adalah
� � �� � � � �� � � dengan panjang lintasan 2.
Definisi 2.1.2.11
Jejak tertutup disebut sirkuit. Sirkuit yang titik intervalnya berlainan
disebut siklus (Cycle) (Sutarno, 2003).
Contoh
Pada gambar 2.1.5 halaman 12, jalan � � �� � � � �� � � � �� � � � �� �
� adalah siklus.
Definisi 2.1.2.12
Suatu graf � dikatakan terhubung jika terdapat lintasan untuk setiap
pasang titik di �.
Contoh
Gambar 2.1.6 Graf G
Pada gambar 2.1.6, graf � adalah graf terhubung dan graf � adalah graf tidak
terhubung.
H :
b
a G :
c
d
a
b
d
c e
14
Definisi 2.1.2.13
Jika terdapat lebih dari dua sisi yang berkaitan dengan sepasang titik
pada graf maka sisi tersebut disebut sisi ganda (pararel edges). Sedangkan
loop adalah sisi yang kedua titik ujungnya sama.
Contoh
Gambar 2.1.7 Graf G
Pada gambar 2.1.7, titik (1,3) merupakan sisi ganda yang dihubungkan oleh
sisi e3 dan e4, titik (3,4) merupakan merupakan sisi ganda yang dihubungkan
oleh sisi e6 dan e7, sedangkan e8 merupakan loop yang kedua titik ujungnya
adalah titik 3.
2.1.3 Jenis-Jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis)
bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf
dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau loop, berdasarkan
jumlah titik, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.
15
Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau loop pada suatu graf, maka
secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis.
a. Graf sederhana (simple graph).
Graf yang tidak mengandung loop atau sisi ganda dinamakan graf
sederhana.
Contoh
Gambar 2.1.8 Graf sederhana
b. Graf tak-sederhana (unsimple-graph).
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-
sederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf tak sederhana, yaitu
graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda adalah
graf yang mengandung sisi ganda. Sedangkan graf semu adalah graf yang
mengandung loop dan terkadang memiliki sisi ganda pula.
Contoh (a) Graf ganda (b) Graf semu
Gambar 2.1.9 (a) graf ganda dan (b) graf semu
2
1
4
3
��
��
��
��
��
16
Berdasarkan jumlah titik pada suatu graf, maka secara umum graf
dapat digolongkan menjadi dua jenis:
a. Graf berhingga (limited graph)
Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya � berhingga. Dua
buah graf pada Gambar 2.1.9 adalah contoh graf yang berhingga.
b. Graf tak-berhingga (unlimited graph)
Graf yang jumlah simpulnya �, tidak berhingga banyaknya disebut
graf tak-berhingga. Dua buah graf pada Gambar 2.1.10 adalah contoh
graf yang tidak berhingga.
Gambar 2.1.10 Dua buah graf tak berhingga
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf
dibedakan atas 2 jenis:
a. Graf tak-berarah (undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf
tak-berarah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang
dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi (vj, vk) = (vk, vj) adalah
sisi yang sama. Tiga buah graf pada Gambar 2.1.9 dan dua graf pada
Gambar 2.1.10 adalah graf tak berarah.
b. Graf berarah (directed graph atau digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut
sebagai graf berarah. Sisi berarah biasa disebut busur (arc). Pada graf
17
2.1.11 merupakan graf berarah, (vj, vk) � (vk, vj) menyatakan dua buah
busur yang berbeda atau dengan kata lain vj dinamakan titik asal
(initial vertex) dan titik vk dinamakan titik terminal (terminal vertex).
Gambar 2.1.11 (a) graf berarah (b) graf-ganda berarah
2.2 Digraf
Definisi 2.2.1
Graf berarah atau digraf (digraph) D adalah himpunan berhingga tak
kosong dari objek-objek yang disebut titik dengan himpunan (mungkin
kosong) pasangan berurutan dari titik di D yang disebut arc atau sisi berarah
atau busur (Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
Gambar 2.2.1. Digraf D
Seperti pada graf himpunan titik-titik dari � dinotasikan dengan ���� dan
himpunan sisi dinotasikan dengan ����. Pada gambar 2.2.1, digraf � dengan
����� ��, �, � � dan ����� ���, ��, ��, ��, ��, ���. Sisi ��, ��� ��, ��.
� : �
� �
18
Definisi 2.2.2
Order dari digraf D adalah kardinalitas himpunan titik dari digraf D
dinotasikan dengan n(D) atau �. Size dari digraf D adalah kardinalitas dari
himpunan arc digraf D dinotasikan dengan � ��� atau � . Digraf ��, � �
adalah digraf dengan order � dan size � .
Contoh
Pada gambar 2.2.1, digraf � mempunyai order 3 dan size 3.
Definisi 2.2.3
Jika � � ��, �� adalah arc dari digraf �, maka � disebut
menghubungkan � ke � jika � � ��, ��. Arc � terkait dari � dan terkait ke �,
sedangkan � terkait ke � dan � terkait dari �. Atau dapat dikatakan �
bertetangga ke � dan � bertetangga dari �. Titik � dan � pada digraf � tidak
bertetangga (nonadjacent) jika � tidak bertetangga ke � atau tidak
bertetangga dari �.
Contoh
Pada gambar 2.2.1 halaman 17, misal � � ��, �� terkait dari � dan terkait ke
�. Titik � bertetangga ke titik �, tetapi � tidak bertetangga ke titik �.
Jika terdapat � � ��, �� dan � � ��, �� maka dapat digambarkan
dalam dua bentuk yaitu dua busur � � ��, �� dan � � ��, �� atau cukup
dengan satu busur yang arahnya bolak-balik.
Contoh
Gambar 2.2.2. Digraf D dengan arc (u,v) dan (v,u)
u v u v
b
a
b
a
19
Definisi 2.2.4
Out-neighbours pada digraf � adalah himpunan titik di digraf � yang
bertetangga dari suatu titik � dinotasikan dengan � � ��� dengan kardinalitas
sama dengan derajat keluar �. In-neighbours pada digraf � adalah himpunan
titik yang bertetangga ke suatu titik � pada digraf � dinotasikan dengan
� � ��� dengan kardinalitas sama dengan derajat masuk �.
Contoh
Pada gambar 2.2.1 halaman 17, � � ���� ��, �� dan � � ���� ���.
Definisi 2.2.5
Suatu digraf �� adalah subdigraf dari � jika ������ ���� dan
������ ����.
Contoh
Gambar 2.2.3 Digraf �� adalah subdigraf dari digraf ��
Definisi 2.2.6
Suatu arc disebut pararel arc jika ada lebih dari satu arc pada arah
yang sama yang menghubungkan dua titik dalam digraf. Digraf yang memuat
pararel arc disebut multidigraf (Chartrand and Lesniak, 1996). Sebagai
contoh graf pada gambar 2.2.4(b).
�� �
�
�
�
�
� �
�� ��
��
�� ��
��
�� ��
��
�� �
20
Definisi 2.2.7
Loop adalah busur yang menghubungkan suatu titik pada dirinya
sendiri. Digraf yang mempunyai pararel arc dan loop disebut pseudodigraf
(Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
Gambar 2.2.4 Graf Berarah
Pada gambar 2.2.4, (a) pseudodigraf, (b) multidigraf.
Definisi 2.2.8
Komplemen digraf � dinotasikan dengan �� yaitu digraf yang
mempunyai himpunan titik ���� yang sama dengan � dan himpunan
komplemen arc ����� � ���, �� � � ���� � ��� | ��, �� � �����.
Misalkan suatu digraf � dengan � titik, reduksi dari � dinotasikan dengan ��
adalah digraf yang diperoleh dengan menghapus semua arc yang terkait dari
titik yang mempunyai derajat keluar � � 1.
Contoh
Gambar 2.2.5 Digraf D, reduksi digraf D, komplemen reduksi digraf D
� �
� �
�
� � � �
� �
�
�� �
� �
�
������� � �
� �
�
������� � �
� �
�
������� � �
� �
�
������� � �
(a) (b)
21
Definisi 2.2.9
Untuk setiap titik � dan � di digraf �, jalan � - � pada � adalah
barisan berhingga titik dan arc
� � �� � �� � �� � �� � � � ���� � �� � �� � �
sedemikian hingga �� � �����, �� �� �� 1,2,3, … , �, dengan � adalah
panjang dari jalan (Chartrand and Lesniak, 1996).
Contoh
Gambar 2.2.6 Digraf D
Pada gambar 2.2.6, jalan �� � � � �� � �� �� � �� �� adalah jalan dengan
panjang 3.
Definisi 2.2.10
Lintasan berarah (directed path) sama seperti pada lintasan sederhana
dan setiap arc mempunyai arah yang sama, ini berarti bahwa setiap titik
internalnya mempunyai derajat masuk dan derajat keluar 1. Titik � dikatakan
terjangkau (reachable) dari titik � jika terdapat lintasan berarah dari � ke .
Definisi 2.2.11
Lintasan berarah terpendek (shortest directed path) adalah lintasan
berarah dengan jumlah sisi paling sedikit.
��
��
��
��
a b
c
d
e f
22
Contoh
Pada gambar 2.2.6 halaman 21, lintasan yang menghubungkan titik 1 ke titik
3 adalah : �� � � � �� � �� ��, �� � �� �� � � � ��, dan �� � � � ��.
Yang memiliki jumlah sisi paling sedikit yaitu lintasan �� � � � ��, jadi
lintasan �� � � � �� adalah lintasan terpendek dari titik �� ke titik ��. Titik
�� terjangkau dari titik ��, karena terdapat lintasan berarah dari �� ke ��.
Definisi 2.2.12
Digraf � disebut terhubung kuat (strongly connected) jika untuk
setiap pasang titik sembarang � dan � di � terdapat lintasan berarah dari � ke
� dan juga lintasan berarah dari � ke �.
Definisi 2.2.13
Digraf � dikatakan terhubung lemah (weakly connected) jika tidak
terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tak berarahnya.
Contoh
Gambar 2.2.7 (a) digraf terhubung lemah, (b) digraf terhubung kuat
y
w
x
z
a
b c
(a) (b)
23
2.3 Digraf Eksentrik
Definisi 2.3.1
Jarak ���, �� dari � ke � pada graf � adalah panjang lintasan
terpendek � � � di �.(Chartrand and Lesniak, 1996). Jika tidak terdapat
lintasan dari � ke � maka ���, ��� ∞.
Contoh
Gambar 2.3.1 Graf G
Gambar 2.3.1, ���, ��= 2 sedangkan ���, ��� ∞.
Definisi 2.3.2
Eksentrisitas ���� dari � dalam � adalah jarak maksimal dari � ke
setiap � di �, atau dapat ditulis ����� � �������, ��| � � � ��. Titik �
disebut titik eksentrik jika jarak dari � ke � sama dengan ����. Radius dari
� �������� adalah eksentrisitas minimum dari setiap titik di �, dapat ditulis
������� � �������| � � � ��, sedangkan diameter dari �
����� ���� adalah eksentrisitas maksimum dari setiap titik di �, dapat ditulis
���� ���� � ��������| � � � �� (Chartrand and Lesniak, 1996). Titik �
disebut titik sentral (central) jika ����� ������. Central dari � dinotasikan
24
������ adalah subgraf pada � yang terbentuk dari titik central. Titik �
dikatakan titik eksentrik dari � jika jarak dari � ke � sama dengan titik
eksentrik dari �, dapat dituliskan ���, �� � ����.
Teorema 2.3.1
Untuk setiap graf terhubung �, antara radius dan diameter � terdapat
hubungan sebagai berikut:
������� ���� ���� 2 ������
Bukti:
Pertidaksamaan ������� ���� ��� adalah suatu konskuensi langsung dari
definisi yaitu ������� min ���� dan ���� ���� max ����. Untuk
menunjukkan ketidaksaman yang kedua, pilih titik � dan � di �, sedemikian
hingga ���, ��� ���� ���. Kemudian misalkan � sebagai titik central dari
�. Titik � ke � melalui titik sentral � karena jarak ���, �� di � merupakan
panjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan � dan � di � jika � ke
� melalui titik sentral � . Karena � adalah metrik pada ����, sedemikian
hingga terdapat sifat ketaksamaan segitiga (triangle inequality) sebagai
berikut.
���, ��� ���, ��� ���, ��� 2 ������
Sehingga grafnya dapat digambarkan pada Gambar 2.3.2
25
Gambar 2.3.2 Graf hubungan radius G dan diameter G
Eksentrisitas titik, titik eksentrik, radius, diameter dan central dari graf
dapat dilihat pada gambar 2.3.3
Contoh
Gambar 2.3.3 Eksentrisitas
Dari gambar 2.3.3 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �1, 1, 2, 2, 3�� 3, ������ ����� ��������� �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �1,2,1,1,2�� 2, ������ ����� ��������� �, �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �1,2,1,2,3�� 3, ������ ����� ��������� �.
26
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �2,1,1,1,2�� 2, ������ ����� ��������� �, �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �2,1,2,1,1�� 2, ������ ����� ��������� �, �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �3,2,3,2,1�� 3, ������ ����� ��������� �, �.
Tabel 2.3.1 Eksentrisitas Graf G dari Gambar 2.3.3
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
a 3 f
b 2 c, f
c 3 f
d 2 a, f
e 2 a, c
f 3 a, c
Diperoleh rad (G) = min {3,2,3,2,2,3}=2,
diam (G) = maks {3,2,3,2,2,3}=3, dan
titik central � = b, d dan e sehingga ��� ��� adalah
d
e
b
27
Definisi 2.3.3
Jarak (berarah) ���, �� dari � ke � adalah panjang lintasan berarah
terpendek � � � di D. Jarak ���, �� dan ���, �� tersebut didefinisikan untuk
setiap pasang titik pada digraf terhubung kuat (Chartrand and Lesniak, 1996).
Jika tidak terdapat lintasan berarah dari � ke � maka ���, ��� ∞.
Contoh
Pada gambar 2.2.7 (a), ���, ��� 1 dan ���, ��� ∞.
Definisi 2.3.4
Eksentrisitas ���� dari � dalam � adalah jarak maksimal dari � ke
setiap � di �, atau dapat ditulis ����� � �������, ��| � � � ��. Titik �
disebut titik eksentrik jika jarak dari � ke � sama dengan ����. Radius dari
� �������� adalah eksentrisitas minimum dari setiap titik di �, dapat ditulis
������� � �������| � � � ��, sedangkan diameter dari � ����� ����
adalah eksentrisitas maksimum dari setiap titik di �, dapat ditulis ���� ����
� ��������| � � � �� (Chartrand and Lesniak, 1996). Titik � disebut titik
sentral (central) jika ����� ������.
Contoh
Gambar 2.3.4 Digraf D
Dari gambar 2.3.4, diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
f
a
b c
e d
28
� � ��� �1, 2, 4, 3, 4�� 4, ������ ����� ��������� �, �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �2,1,3,2,3�� 3, ������ ����� ��������� �, �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �1,2,2,1,2�� 2, ������ ����� ��������� �, � ��� �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �2,4,1,1,2�� 4, ������ ����� ��������� �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ����2,3,1,1,1�� 3, ������ ����� ��������� �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �1,2,3,5,4�� 5, ������ ����� ��������� �.
Tabel 2.3.2 Eksentrisitas Digraf D dari Gambar 2.3.4
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
a 4 d, f
b 3 d, f
c 2 b, d, f
d 4 b
e 3 b
f 5 d
Diperoleh rad (D) = min {4,3,2,4,3,5}= 2,
diam (D) = maks {4,3,2,4,3,5}= 5, dan
titik sentral D adalah c sehingga ������ adalah c itu sendiri.
29
Definisi 2.3.5
Digraf Eksentrik dari graf � (dinotasikan �����) didefinisikan
sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan
titik di � atau ��������� ����, dengan arc dari titik � ke � di ����� jika
dan hanya jika � adalah titik eksentrik dari �.
Contoh
Gambar 2.3.5 Graf G dan Digraf Eksentriknya
Definisi 2.3.6
Digraf Eksentrik dari digraf � yang dinotasikan dengan �����
didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai himpunan titik yang sama
dengan himpunan titik di �, dengan arc dari titik � ke � pada ����� jika dan
hanya jika � adalah titik eksentrik dari �.
a
c
b
d
e f f
G �����
a
c
b
d
e
30
Contoh
Dari gambar 2.3.4 halaman 28, diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 2.3.6 Digraf Eksentrik dari Digraf D
Definisi 2.3.7
Diberikan bilangan bulat positif � � 2, eksentrik digraf pada iterasi � pada
digraf D ditulis ������� ������������ di mana ������� �����.
Contoh
a
c
b
d
e f
a
c
b
d
e f
D �����
(b) (a)
f
a
b c
e d
31
Gambar 2.3.7 Digraf Eksentrik iterasi � pada digraf D
Dari digraf � pada gambar 2.3.7 (a), diperoleh digraf eksentrisitas �����
dengan perhitungan sebagai berikut.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �3, 1,2, 3, 4�� 4 , ������ ����� ��������� �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �1,2,1,1,2�� 2, ������ ����� ��������� �, �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �3,2,1,2,3�� 3, ������ ����� ��������� �, �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �2,1,3,1,2�� 3 ������� ����� ��������� ��
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ����3,2,4,1,1�� 4, ������ ����� ��������� �.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �4,3,5,2,1�� 5, ������ ����� ��������� �.
������ ������
(d) (c)
d
f e
a b
c
f
a
c
b
d
e
32
Tabel 2.3.3 eksentrisitas � dari Gambar 2.3.7
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
a 4 f
b 2 c, f
c 3 a, f
d 3 c
e 4 c
f 5 c
Diperoleh ��� ��� � � �� �4,2,3,3,4,5�� 2,
diam (D) = maks {4,2,3,3,4,5}= 5, dan titik sentral D adalah b.
Dari ED(D) pada gambar 2.3.7(b), diperoleh digraf eksentrisitas E��(D)
dengan perhitungan sebagai berikut.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �∞, 2, ∞, ∞, 1�� ∞ ������� ����� ��������� �, �, ��
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �2,1, ∞, ∞, 1�� ∞ ������� ����� ��������� �, ��
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �1, ∞, ∞, ∞, 1�� ∞ ������� ����� ��������� �, �, ��
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �2, ∞, 1, ∞, 2�� ∞ ������� ����� ��������� �, � �
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ����2, ∞, 1, ∞, 2�� ∞ ������� ����� ��������� �, ��
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �2, ∞, 1, ∞, ∞�� ∞ ������� ����� ��������� �, �, ��
33
Tabel 2.3.4 Eksentrisitas ED(D) dari Gambar 2.3.7
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
a ∞ b,d,e
b ∞ d,e
c ∞ b,d e
d ∞ b, c
e ∞ b,d
f ∞ b,d e
Diperoleh rad ED(D) = min {∞, ∞, ∞, ∞, ∞}= ∞,
diam ED(D) = maks {∞, ∞, ∞, ∞, ∞}= ∞ dan
titik sentral ED(D) adalah a,b,c,d,e,dan f.
Dari E��(D) pada gambar 2.3.7(c), diperoleh digraf eksentrisitas E��(D)
dengan perhitungan sebagai berikut.
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �1, ∞, 2,2, ∞, �� ∞ ������� ����� ��������� �, ��
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �∞, ∞, 1,1, ∞�� ∞ ������� ����� ��������� �, �, ��
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �∞, 1,1,2, ∞�� ∞ ������� ����� ��������� �, ��
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �∞, 1, ∞, 1, ∞�� ∞ ������� ����� ��������� �, �, � �
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �∞, 1, ∞, 1, ∞�� ∞ ������� ����� ��������� �, �, ��
34
����� � ��� ����, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ���
� � ��� �∞, 1, ∞, 1,1�� ∞ ������� ����� ��������� �, ��
Tabel 2.3.5 eksentrisitas E��(D) dari Gambar 2.3.7
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
a ∞ b,d,e
b ∞ d,e
c ∞ b,d e
d ∞ b, c
e ∞ b,d
f ∞ b,d e
Diperoleh rad (D) = min {∞, ∞, ∞, ∞, ∞}= ∞,
diam (D) = maks {∞, ∞, ∞, ∞, ∞}= ∞ dan
titik sentral D adalah a,b,c,d,e,dan f.
Pada gambar 2.3.7 hanya digambar sampai dengan ������, karena
������� ���������� , ������� ����������, dst.
2.4 Graf Komplit Bipartit
Graf Komplit ialah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai
sisi ke semua titik lainnya. Graf komplit dengan � buah titik dilambangkan
dengan �� (Munir, 2001: 204).
Lemma 2.4.1
Untuk setiap graf G dengan � titik dan � sisi berlaku :
35
� ������
���
� 2�
Bukti :
Misalkan � adalah banyak sisi dan � adalah banyak titik dalam graf
Jelas untuk setiap sisi akan terhubung oleh 2 titik
� ∑ ��������� == 2 kali banyak sisi
� � ������
���
� 2�
Lemma 2.4.2
Jumlah sisi pada graf komplit yang terdiri dari � buah titik adalah �������
.
Bukti:
Misalkan � adalah banyak sisi dalam graf komplit.
Ambil graf � dengan setiap pasang titik di � terdapat sebuah sisi yang
menghubungkan.
Karena tiap titik dalam graf komplit selalu dihubungkan dengan titik lain
melalui satu sisi, maka derajat tiap titik dalam sebuah graf komplit � dengan
� titik adalah � � 1.
36
Berdasarkan lemma 2.4.1,
maka ∑ ��������� � 2�
��������� 2�
� ��� � 1�� 2�
� � ���� � 1�
2 .
Akibatnya jumlah sisi pada graf komplit yang terdiri dari � buah titik adalah
�������
.
Contoh
Pada gambar 2.4.1 untuk graf komplit �� mempunyai 4 buah titik dan 6 buah
sisi. Sedangkan graf komplit �� mempunyai 5 buah titik dan 10 buah sisi.
Kemudian untuk graf komplit �� mempunyai 6 buah titik dan 15 buah sisi.
Graf G di bawah ini adalah graf bipartit, karena titik-titikya dapat
dibagi menjadi �� � ��, �, �� dan �� � ��, �, �, ��
�� �� �� �� �� ��
Gambar 2.4.1 Graf komplit� �, � � � � �
a b
c
de
f
g
37
Gambar 2.4.2 Graf bipartit � �,� Tak Lengkap
Graf � yang himpunan titiknya dapat dipisah menjadi dua himpunan
bagian �� dan ��, sehingga setiap sisi pada � menghubungkan sebuah titik di
�� ke sebuah titik di �� disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai ����, ���.
Dengan kata lain, setiap pasang titik di �� bertetangga dengan semua titik di
��, maka ����, ��� disebut graf komplit bipartit (complete bipartite graph),
dilambangkan dengan �� ,� (Munir, 2001: 206).
Graf � adalah bukan bipartisi jika himpunan titik tidak dapat dipartisi
menjadi dua himpunan bagian �� dan ��, maka setiap sisi pada �
menghubungkan sebuah titik di �� ke sebuah titik di �� (Goodaire dan
Parmenter, 1998: 550).
Contoh
Pada gambar 2.4.2 graf ��,� adalah graf komplit bipartit karena dapat
dipartisi menjadi �� � ��, �� dan �� � ��, �, �� sehingga setiap titik di �� dan
titik di �� dihubungkan dengan sisi.
Gambar 2.4.3 Graf bipartisi komplit � �,�
a b
c d e
38
2.5 Digraf Komplit Multipartit
Digraf komplit dengan �-titik dinotasikan �������� yaitu digraf yang
setiap pasang titik-titiknya terhubung dengan sisi dua arah (bidirectional
edge). Digraf n-partit (n-partite digraph) didefinisikan sebagai digraf di mana
himpunan titik V(D) dapat dipisah menjadi � himpunan titik, yaitu V1(D),
V2(D), ... , Vn(D). Busur-busur pada digraf �-partit terhubung dari titik-titik
pada Vi(D) ke titik-titik pada himpunan titik selain Vi(D) atau ������������, di mana
������������ adalah komplemen dari Vi(D). Untuk � � 2 dinamakan bipartit, jika
|��|= k dan |��|= l, maka digraf bipartit tersebut dinotasikan dengan ��,��������
sedangkan untuk � � 3, dinamakan digraf tripartit yang dinotasikan ��,�,������������.
Demikian seterusnya hingga � � � dinamakan digraf multipartit yang
dinotasikan ��,�,�,…,������������������.
Contoh Digraf Multipartit ��,�,�,� Tak Komplit pada Gambar 2.5.1 dan
Digraf Multipartit Komplit terdapat pada Gambar 2.5.2.
39
Gambar 2.5.1 Digraf Multipartit � �,�,�,� Tak Komplit
Gambar 2.5.2 Digraf Komplit Multipartit ��,�,�,�
G
G2
G4
G2 G
G
G
G
40
BAB 3
METODE PENELITIAN
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu sebagai
berikut.
1. Penemuan Masalah
Tahapan ini merupakan tahapan pertama dalam penelitian
yaitu dengan pencarian ide atau gagasan materi eksentrisitas suatu
titik, digraf eksentrik dari graf dan digraf. Kemudian menentukan
permasalahan yaitu menentukan digraf eksentrik dari graf komplit
bipartit dan digraf komplit multipartit untuk dikaji pada penelitian ini.
2. Perumusan Masalah
Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang
telah ditemukan yaitu sebagai berikut.
3.2.1 Bagaimana langkah-langkah mengkonstruksi digraf
eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf komplit
multipartit?
3.2.2 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit
bipartit?
3.2.3 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit
multipartit ?
41
3. Studi Pustaka
Studi pustaka merupakan penelaah sumber pustaka relevan
yang digunakan untuk mengumpulkan data maupun informasi yang
diperlukan dalam penelitian ini. Studi pustaka diawali dengan
mengumpulkan sumber pustaka yaitu berupa buku-buku maupun
referensi yang menjadi dasar dalam penelitian ini. Setelah sumber
pustaka terkumpul dilanjutkan dengan penelaahan isi sumber pustaka
tersebut. Pada akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk
melakukan penelitian ini.
4. Analisis Pemecahan Masalah
Pada tahap ini dilakukan analisa dan pemecahan masalah yaitu
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
i. Mempelajari dan mengkaji tentang eksentrisitas titik, digraf
eksentrik dari graf dan digraf eksentrik dari digraf.
ii. Menentukan langkah-langkah untuk mengkonstruksi digraf
eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf komplit
multipartit dengan menggunakan referensi yang ada serta
bagaimana membuktikan teorema yang mendukung
keberadaannya.
iii. Menggunakan kajian tentang digraf eksentrik untuk menemukan
bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit
dan digraf komplit multipartit.
42
5. Penarikan Simpulan
Tahap ini merupakan tahap terakhir dari penelitian. Setelah menganalisis
dan memecahkan masalah berdasarkan studi pustaka dan pembahasannya
kemudian dibuat sebagai simpulan sebagai jawaban dari permasalahan yang telah
dirumuskan sebelumnya.
43
BAB 4
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini, akan kita bahas mengenai langkah-langkah untuk
mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf komplit
multipartit, serta mencari bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan
digraf komplit multipartit.
4.1 Langkah – Langkah Mengkonstruksi Digraf Eksentrik
Pada BAB 2 telah didefinisikan tentang jarak, eksentrisitas titik, dan digraf
eksentrik. Digraf eksentrik pada graf � dinotasikan ������� didefinisikan
sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di
� atau ��������� ���� dimana arc menghubungkan titik � ke �, jika � adalah
titik eksentrik dari � (Gafur, 2008:1).
Untuk menentukan digraf eksentrik dari suatu graf �, langkah-langkahnya
sebagai berikut.
4.1.1 Menentukan jarak setiap titik �� � ����, � �� 1,2, … , � ke semua titik
di ����, dinotasikan dengan ����, ��� yaitu panjang lintasan terpendek
dari titik �� ke titik �� sehingga diperoleh juga eksentrisitas dari titik
�� � ����, � �� 1,2, … , � dan titik eksentrisnya. Titik �� � ����, � ��
1,2, … , � dan �� disebut titik eksentrik dari �� jika jarak dari �� ke ��
44
sama dengan ����� dengan �� � , � �, �� 1,2, … , �. Titik eksentrik dari
�� mungkin tidak tunggal.
4.1.2 Membangun digraf ����� dengan himpunan titik ��������� ����
dan himpunan arc ��������� ���, ��, ��, … , �� �, di mana �� �
���, ��), dengan �� 1,2, … , � , � � 1,2, … , � dan �� adalah titik
eksentrik dari ��.
Misalkan digraf D dengan himpunan titik ����� ���, ��, ��, … , ��� dan
himpunan arc ����� ���, ��, ��, … , �� �. Maka digraf eksentrik dari digraf D
dapat dikonstruksi dengan langkah-langkah sebagai berikut.
4.1.1 Menentukan jarak setiap titik �� � ����, � �� 1,2, … , � ke semua titik
di ����, dinotasikan dengan ����, ���, yaitu panjang lintasan terpendek
berarah dari titik �� ke titik �� sehingga diperoleh eksentrisitas dari titik
�� � ����, � �� 1,2, … , � dan titik eksentrisnya. Titik �� � ����, � ��
1,2, … , � dan �� disebut titik eksentrik dari �� jika jarak dari �� ke ��
sama dengan ����� dengan �� � , � �, �� 1,2, … , �. Titik eksentrik dari
�� mungkin tidak tunggal.
4.1.2 Membangun digraf ����� dengan himpunan titik ��������� ����
dan himpunan arc ��������� ���, ��, ��, … , �� �, di mana �� �
���, ��) �� 1,2, … , � , � � 1,2, … , � dan �� adalah titik eksentrik dari
��.
45
4.2 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit
Pada bagian ini akan dibahas tentang bentuk digraf eksentrik dari
graf komplit bipartit. Teorema berikut ini akan digunakan untuk
mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit.
Misal graf komplit bipartit �� ,� mempunyai himpunan titik
���� ,��� ��� � ���, ��, … , �� � �� � ��� ��, �� ��, … , �� ���
dan himpunan sisi E��� ,��� ����, ���, … , ���, ���, … , ���, … , ��� � dimana
��� � ���� �� untuk setiap �� 1,2,3, … , � dan �� 1,2,3, … , � .
Teorema 4.2.1
Eksentrisitas titik �� pada graf komplit bipartit �� ,� adalah sebagai berikut.
������ 2 untuk setiap �� 1,2,3, … , � � �.
Bukti:
Dari definisi graf komplit bipartit, jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek)
dari �� untuk setiap �� 1,2,3, … , � di �� adalah 2, dengan titik eksentriknya
adalah semua titik di �� kecuali dirinya sendiri, demikian juga jarak terjauh
dari ��, untuk setiap �� � � 1, � � 2, … , � � � di �� adalah 2 dengan titik
eksentriknya adalah semua titik di �� kecuali dirinya sendiri. Jadi ������ 2,
untuk setiap �� 1,2,3, … , � � �.
Akibat
a. Titik eksentrik pada graf komplit bipartit �� ,� adalah sebagai berikut.
46
Titik eksentrik di �� dari �� adalah ��, untuk �, �� 1,2,3, … , � dengan
�� �. Titik eksentrik di �� dari �� adalah ��, untuk �, �� � � 1, � �
2, … , � � � dengan �� �.
b. Dari teorema 4.2.1, titik eksentrik dari �� di ��, untuk setiap ��
1,2,3, … , � adalah �� di ��, untuk setiap �� 1,2,3, … , � dan �� � dan
titik eksentrik dari �� di ��, untuk setiap �� � � 1, � � 2, … , � � �
adalah �� di ��, untuk setiap �� � � 1, � � 2, … , � � � dan �� �.
Teorema 4.2.2
Digraf eksentrik dari graf komplit bipartit ����� ,�� adalah digraf dengan
himpunan titik � ������ ,���� ���, ��, … , �� ��� dan himpunan arc
� ������ ,���� � ���� untuk �, �� 1,2, … , � dengan �� � ���� untuk �, �� � � 1� � ,2, … , � � � dengan �� �
Bukti:
Titik eksentrik dari �� di ��, untuk setiap �� 1,2,3, … , � adalah �� di
��, untuk setiap �� 1,2,3, … , � dan �� � sehingga ada arc dari �� ke �� yaitu
���� untuk �, �� 1,2,3, … , � dan titik eksentrik dari �� di ��, untuk setiap
�� � � 1, � � 2, … , � � � adalah �� di ��, untuk setiap �� � � 1, � �
2, … , � � � dan �� � sehingga ada arc dari �� ke �� yaitu ���� untuk
�, �� � � 1, � � 2, … , � � �.
Jadi jelas bahwa himpunan titik � ������ ,���� ���, ��, … , �� ��� dan
himpunan arc
� ������ ,���� � ���� untuk �, �� 1,2, … , � dengan �� � ���� untuk �, �� � � 1� � ,2, … , � � � dengan �� �
47
Dari teorema 4.2.2 dapat ditarik kesimpulan bahwa digraf eksentrik dari graf
komplit bipartit ����� ,�� adalah digraf komplemen �� ,� � ����� ,�� dengan
himpunan titik � ������� ,���� ���� ,�� dimana arcnya keluar ke semua
titik di �� demikian juga di �� dengan jumlah arc �� ������ ,�����
��� � � ���� �� � ���.
Teorema 4.2.3
Misalkan �� ,� dengan � , � � 2, dapat diperoleh bentuk umum ����� ,���
�� �������� �� ������ dengan � , � � 2.
Bukti :
Misalkan �� ,� dengan � , � � 2 adalah suatu graf komplit bipartit, maka
himpunan titik dari graf �� ,� dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian X
dan Y, di mana � � ���, ��, … , �� � dan � � ���, ��, … , ���. Berdasarkan
teorema 4.2.1 disebutkan bahwa jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek)
dari vi, untuk setiap i=1,2,3,…,m di X adalah 2 dengan titik eksentriknya
adalah semua titik di X kecuali dirinya sendiri, demikian juga jarak terjauh
dari wi , untuk setiap i=1,2,3,…,n di Y adalah 2 dengan titik eksentriknya
adalah semua titik di Y kecuali dirinya sendiri. Maka eksentrisitas titik vi pada
graf komplit bipartit �� ,� dengan � , � � 2 adalah e(vi)=2, untuk setiap
i=1,2,3,…,n dan e(wi)=2, untuk setiap i=1,2,3,…,m.
Titik eksentrik dari vi di X adalah vj di X, untuk i=1,2,3…,m dan �� � dan
titik eksentrik dari wi di Y adalah wj di Y, untuk i=1,2,3…,n dan �� �
48
Dengan demikian himpunan titik di X membentuk digraf komplit dengan m
titik, sedangkan himpunan titik di Y membentuk digraf komplit dengan n titik,
sehingga digraf eksentrik dari graf komplit bipartit �� ,� dengan � , � � 2
adalah ����� ,��� �� �������� �� ������ .
Berdasarkan pembuktian di atas bahwa bentuk umum digraf
eksentrik dari graf komplit bipartit �� ,� dengan � , � � 2 adalah gabungan
dari digraf komplit Km dan Kn, atau dapat dituliskan dengan ����� ,���
�� �������� �� ������ dengan � , � � 2.
Dengan menggunakan langkah - langkah mengkonstruksi digraf
eksentrik pada bagian 4.1, akan dikonstruksi beberapa contoh digraf eksentrik
dari graf komplit bipartit.
a. Graf K2,2
Graf komplit bipartit K2,2 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.1 Graf komplit bipartit K2,2
Dari gambar 4.2.1 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �2,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �2,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
49
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2�� 2, ������ ����� ��������� ��.
Tabel 4.2.1 Eksentrisitas dari Gambar 4.2.1
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
�� 2 ��
�� 2 ��
�� 2 ��
�� 2 ��
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.2.1 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.2.2 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,2
Bentuk digraf eksentrik dari graf K2,2 adalah gabungan dari dua digraf
komplit dengan titik sebanyak 2 atau dapat dituliskan �� ������ �� �����.
50
b. Graf K2,3
Graf komplit bipartit K2,3 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.3 Graf komplit bipartit K2,3
Dari gambar 4.2.3 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �2,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �2,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
51
Tabel 4.2.2 eksentrisitas dari Gambar 4.2.3
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
�� 2 ��
�� 2 ��
�� 2 ��, ��
�� 2 ��, ��
�� 2 ��, ��
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.2.3 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.2.4 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,3
Bentuk digraf eksentrik dari graf K2,3 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 2 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 3, atau
dapat dituliskan �� ������ �� �����
52
c. Graf K2,4
Graf komplit bipartit K2,4 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.5 Graf komplit bipartit K2,4
Dari gambar 4.2.5 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �2,1,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �2,1,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��, ��. �
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2,2,2�� 2 ������ ����� ��������� ��, ��, ��.
53
Tabel 4.3 eksentrisitas dari Gambar 4.2.5
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
�� 2 ��
�� 2 ��
�� 2 ��, ��, ��
�� 2 ��, ��, ��
�� 2 ��, ��, ��
�� 2 ��, ��, ��
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.2.5 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.2.6 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,4
Bentuk digraf eksentrik dari graf K2,4 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 2 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 4, atau
dapat dituliskan �� ������ �� �����
54
d. Graf K2,5
Graf komplit bipartit K2,5 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.7 Graf komplit bipartit K2,5
Dari gambar 4.2.7 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �2,1,1,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �2,1,1,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �1,1,2,2,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �1,1,2,2,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
55
� � ��� �1,1,2,2,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �1,1,2,2,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �1,1,2,2,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��.
Tabel 4.2.4 eksentrisitas dari Gambar 4.2.7
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
�� 2 ��
�� 2 ��
�� 2 ��, ��, ��,��
�� 2 ��, ��, ��, ��
�� 2 ��, ��, ��, ��
�� 2 ��, ��, ��, ��
�� 2 ��, ��, ��, ��
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.2.7 diperoleh digraf eksentrik sebagai
berikut.
56
Gambar 4.2.8 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K2,5
Bentuk digraf eksentrik dari graf K2,5 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 2 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 5, atau
dapat dituliskan �� ������ �� �����
e. Graf K3,2
Graf komplit bipartit K3,2 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.9 Graf komplit bipartit K3,2
Dari gambar 4.2.9 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �2,2,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �2,2,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �2,2,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
57
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,1,2�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ��� ����, ����
� � ��� �1,1,1,2�� 2, ������ ����� ��������� ��.
Tabel 4.2.2 eksentrisitas dari Gambar 4.2.9
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
�� 2 ��, ��
�� 2 ��, ��
�� 2 ��, ��
�� 2 ��
�� 2 ��
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.2.9 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.2.10 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,2
Bentuk digraf eksentrik dari graf K3,2 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 3 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 2, atau
dapat dituliskan �� ������ �� �����
58
Berdasarkan Teorema 4.2.3 yang menyatakan bahwa jika �� ,� adalah graf
komplit bipartit dengan � , � � 2, dapat diperoleh bentuk umum ����� ,���
�� �������� �� ������ dengan � , � � 2. Maka dengan mudah dapat diperoleh digraf eksentrik
�� ,� tanpa harus mengikuti langkah-langkah mengkontruksi digraf eksentrik pada
bagian 4.2.1
f. Graf K3,3
Graf komplit bipartit K3,3 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.11 Graf komplit bipartit K3,3
Sehingga dari gambar graf 4.2.11 diperoleh digraf eksentrik sebagai
berikut.
Gambar 4.2.12 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,3
Bentuk digraf eksentrik dari graf K3,3 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 3 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 3, atau
dapat dituliskan �� ������ �� �����.
59
g. Graf K3,4
Graf komplit bipartit K3,4 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.13 Graf komplit bipartit K3,4
Sehingga dari gambar graf 4.2.13 diperoleh digraf eksentrik sebagai
berikut.
Gambar 4.2.14 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,4
Bentuk digraf eksentrik dari graf K3,4 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 3 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 4, atau
dapat dituliskan �� ������ �� �����.
60
h. Graf K3,5
Graf komplit bipartit K3,5 digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.2.15 Graf komplit bipartit K3,5
Sehingga dari gambar graf 4.2.15 diperoleh digraf eksentrik sebagai
berikut.
Gambar 4.2.16 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3,5
Bentuk digraf eksentrik dari graf K3,5 adalah gabungan dari digraf komplit
dengan titik sebanyak 3 dan digraf komplit dengan titik sebanyak 5, atau
dapat dituliskan �� ������ �� �����.
61
4.3 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit
Pada bagian ini akan dibahas tentang bentuk digraf eksentrik dari
digraf komplit multipartit. Teorema berikut ini akan digunakan untuk
mengkonstruksi digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit.
Misal digraf komplit multipartit ��,�,� ,���������������� mempunyai himpunan titik
����,�,� ,���������������� ��
���
��
�� � ���, ��, � , ��� �� � �����, ����, � , ����� �� � �������, ������, � , ������� �
�� � ������� ����, ������ ����, � , ������ �����
dan himpunan busur
����,�,� ,���������������� �
�������
������
���, ���, … , ���, ���, ���, … , ���, … , ���, ���, … , ���, �������, �������, … , �������, �������,�������, … , �������, … , �������, �������, … , �������, ������� ������, ������� ������, … , ������� ������, �����������, �����������, … , �����������, �������������, �������������, … , �������������, �������������, �������������, … , ������������� ������� ���������� , ������� ����������, … , ������� ����������, ������� ����������, ������� ����������, … , ������� ����������, … , ������� ����������, ������� ����������, … , ������� ����������, … , ������� ����������� �����, ������� ����������� �����, … , ������� ����������� �����, ������� ����������� �����, ������� ����������� �����, … , ������� ����������� �����, … , ������� ����������� �����, ������� ����������� �����, …, ������� ����������� ����� �
������
������
dengan
busur �� ke �� :
��� � ������ ��������� dengan �� 1,2, � , � dan �� 1,2, � , � di mana
������ ��������� adalah busur yang menghubungkan titik �� ke ���� dan titik
���� ke ��.
busur �� ke �� :
��� � ������ ��������� dengan �� �� 1, �� 2, � , � � � dan �� 1,2, � , �
62
�
busur �� ke �� :
��� � ������ ��������� dengan �� �� �� � � � � 1, � , � � �� � � � � 2,
� � �� � � � � � dan �� 1,2, � , �
busur �� ke �� :
��� � ������ ��������� dengan �� �� 1, �� 2, … , � � �
dan �� � � 1, � � 2, � , � � �
busur �� ke �� :
��� � ������ ��������� dengan �� �� �� 1, �� �� 2, … , �� �� �
dan �� � � 1, � � 2, � , � � �
�
busur �� ke �� :
��� � ������ ��������� dengan �� �� �� � � � � 1, � , � � �� � � � � 2,
� � �� � � � � � dan �� � � 1, � � 2, � , � � �
�
busur ���� ke �� :
��� � ������ ��������� dengan �� �� �� � � � � 1, � , � � �� � � � � 2,
� � �� � � � � � dan
�� � � �� � � � � 1, � , � � �� � � � � 2, � � � � � � � � �
Contoh pada digraf komplit multipartit ��,�,�����������
63
Gambar 4.3.1 Digraf Komplit Multipartit � �,�,������������
mempunyai himpunan titik
����,�,����������� �� ��� � ���, ��� �� � �����, ����� � ���, ��� �� � �������, ������, �������� ���, ��, ���
dan himpunan busur ����,�,������������� ����, ���, ���, ��� ���, ���, ���, ������, ������, ���, ���,���,���, ���
dengan
busur �� ke �� :
��� � ������ ��������� dengan �� 1,2 dan �� 1,2 di mana
������ ��������� adalah busur yang menghubungkan titik �� ke ���� dan titik
���� ke �� sehingga ��� � �������� , ��� � �������� , ��� � �������� , ��� � ��������
busur �� ke �� :
��� � ������ ��������� dengan �� 2 � 1, 2 � 2, 2 � 3 � 3,4,5 dan �� 1, 2 di mana
�� �� ��
�� ��
��
��
64
������ ��������� adalah busur yang menghubungkan titik �� ke ���� dan titik
���� ke �� sehingga ��� � �������� , ��� � ��������, ��� � �������� , ��� �
�������� , ��� � �������� , ��� � �������� .
busur �� ke �� :
��� � ������ ��������� dengan �� 2+1, 2+2, 2+3 = 3,4,5
dan �� 2 � 1, 2 � 2 � 3,4 di mana
������ ��������� adalah busur yang menghubungkan titik �� ke ���� dan titik
���� ke �� sehingga ��� � �������� , ��� � ��������, ��� � �������� , ��� �
�������� , ��� � �������� , ��� � �������� .
Teorema 4.3.1
Eksentrisitas titik �� pada digraf komplit multipartit ��,�,� ,���������������� adalah sebagai
berikut.
������ 2 untuk setiap �� 1,2, � , � � � � � � � � �
Bukti:
Dari definisi digraf komplit multipartit, jarak terjauh (maksimal lintasan
terpendek) dari �� untuk setiap �� 1,2, � , � di �� adalah 2 dengan titik
eksentriknya adalah semua titik di �� kecuali dirinya sendiri. Selanjutnya
jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari �� untuk setiap �� � �
1, � � 2, � , � � � di �� adalah 2 dengan titik eksentriknya adalah semua titik
di �� kecuali dirinya sendiri dan demikian juga seterusnya jarak terjauh
(maksimal lintasan terpendek) dari �� untuk setiap �� � � � � � � � �
1, � � � � � � � � 2, � , � � �� � � � � � di �� adalah 2 dengan titik
65
eksentriknya adalah semua titik di �� kecuali dirinya sendiri. Jadi ������ 2
untuk setiap �� 1,2, � , � � � � � � � � �.
Akibat
a. Dari hasil perhitungan mencari jarak setiap digraf komplit multipartit
��,�,…,���������������� dapat dirumuskan sebagai berikut.
����, ������� 1 ����� �� 1,2, � , � ��� �� � � 1, � � 2, � , � � �
����, ������� 1 ����� �� 1,2, � , � ���
�� � � � � � � 1, � � � � � � 2, � , � � � � �
�
����, ������� 1 ����� �� � � 1,2, � , � ���
�� � � �� � � � � 1, � � � � � � � � 2, � , � � � � � � � � �
����, ������� 1 ����� �� � � 1, � � 2, � , � � � ���
�� � � � � 1, � � � � 2, � , � � � � �
�
����, ������� 1 ����� �� � � 1, � � 2, � , � � � ���
�� � � �� � � � � 1, � � � � � � � � 2, � , � � � � � � � � �
�
����, ������� 1 �����
�� � � � � � � � � 1, � � �� � � � � 2, � , � � � � � � � � � ���
�� � � � � � � � � 1, � � �� � � � � 2, � , � � � � � � � � �
dan
����, ���� 2 ����� �, �� 1,2, � , � ��� �� �
66
����, ���� 2 ����� �, �� � � 1, � � 2, � , � � � ��� �� �
����, ���� 2 ����� �, �� � � � � 1, � � � � 2, � , � � �� � ��� �� �
����, ���� 2 ����� �, �� � � � � � � � � 1, � � �� � � � �
2, � , � � � � � � � � � ��� �� �
b. Dari pencarian titik eksentrik pada digraf eksentrik pada digraf komplit
multipartit ��,�,� ,���������������� adalah sebagai berikut.
Titik eksentrik di �� dari �� adalah �� untuk �, �� 1,2, � , � ��� �� �
Titik eksentrik di �� dari �� adalah �� untuk �, �� � � 1, � �
2, � , � � � ��� �� �
�
Titik eksentrik di �� dari �� adalah �� untuk �, �� � � � � � � � �
1, � � �� � � � � 2, � , � � � � � � � � � ��� �� �
Dari teorema 3.4.1 titik eksentrik dari �� di �� untuk �� 1,2, � , �
adalah �� di �� untuk setiap �� 1,2, � , � dimana �� �. Titik eksentrik
dari �� di �� untuk �� � � 1, � � 2, � , � � � adalah �� di �� untuk setiap
�� � � 1, � � 2, � , � � � dimana �� �. Demikian seterusnya sehingga
titik eksentrik dari �� di �� untuk �� � � �� � � � � 1, � � � � � �
� � 2, � , � � � � � � � � � adalah �� di �� untuk setiap �� � � � �
� � � � 1, � � � � � � � � 2, � , � � �� � � � � � dimana �� �.
67
Ilustrasi untuk mencari titik ����� pada digraf komplit multipatit ��,�,…,���������������
adalah sebagai berikut.
1. Menentukan jarak setiap titik �� � ����, � �� 1,2, … , � ke semua titik di
����, dinotasikan dengan ����, ���, yaitu panjang lintasan terpendek
berarah dari titik �� ke titik �� sehingga diperoleh eksentrisitas dari titik
�� � ����, � �� 1,2, … , � dan titik eksentrisnya. Titik �� � ����, � ��
1,2, … , � dan �� disebut titik eksentrik dari �� jika jarak dari �� ke ��
sama dengan ����� dengan �� � , � �, �� 1,2, … , �. Titik eksentrik dari
�� mungkin tidak tunggal.
Contoh :
a. Digraf ��,���������
Digraf komplit multipartit ��,��������� digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.3.2 Digraf komplit mutipartit ��,���������
Dari gambar 4.3.2 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � � � � �
�� ��
68
� � ��� �2,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �2,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1,1,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
Tabel 4.3.1 eksentrisitas dari Digraf pada Gambar 4.3.2
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
�� 2 ��
�� 2 ��
�� 2 ��, ��
�� 2 ��, ��
�� 2 ��, ��
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
Sehingga dari gambar graf 4.3.2 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.3.3 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit � �,���������
69
b. Digraf ��,�,�����������
Digraf komplit mutipartit ��,�,����������� digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.3.4 Digraf komplit mutipartit� �,�,������������
Dari gambar 4.3.4 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �2,1,1,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �2,1,1,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �1,1,2,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
�� �� ��
�� ��
� �
� �
70
� � ��� �1,1,2,1,1,1�� 2, ������ ����� ��������� ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �1,1,1,1,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �1,1,1,1,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �1,1,1,1,2,2�� 2, ������ ����� ��������� ��, ��, ��.
Tabel 4.3.2 Eksentrisitas dari Gambar 4.3.4
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
�� 2 ��
�� 2 ��
�� 2 ��
�� 2 ��
�� 2 ��, ��
�� 2 ��, ��
�� 2 ��, ��
Diperoleh rad (G) = diam (G) = 2.
71
Sehingga dari gambar digraf 4.3.4 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut.
Gambar 4.3.5 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Mutipartit � �,�,������������
Setelah eksentrisitas titik ����� dan titik eksentrik pada digraf komplit
multipartit ��,�,� ,���������������� diperoleh, selanjutnya diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.4.2
Digraf eksentrik iterasi kedua pada digraf komplit multipartit ��,�,� ,����������������
adalah digraf komplit multipartit ��,�,� ,���������������� itu sendiri.
Bukti:
Dari akibat kedua pada digraf eksentrik iterasi pertama, titik eksentrik dari
�� di �� � �� 1,2, � , � adalah �� di �� untuk setiap �� 1,2, � , �
dimana �� � sehingga ada busur dari �� ke �� yaitu ����, Titik eksentrik
dari �� di �� untuk �� � � 1, � � 2, � , � � � adalah �� di �� untuk setiap
�� � � 1, � � 2, � , � � � dimana �� � sehingga ada busur dari �� ke ��
V
X
W
�� ��
��
� � � �
�� ��
72
yaitu ����. Demikian seterusnya sehingga titik eksentrik dari �� di �� untuk
�� � � � � � � � � 1, � � �� � � � � 2, � , � � � � � � � � �
adalah �� di �� untuk setiap �� � � � � � � � � 1, � � � � � � � �
2, � , � � � � � � � � � dimana �� � sehingga ada busur dari �� ke ��
yaitu ����.
Sedangkan pada iterasi kedua karena tidak ada busur yang
menghubungkan antar setiap himpunan titik pada digraf eksentrik iterasi
pertama maka jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari titik ke
setiap titik yang berbeda himpunan titiknya adalah ∞ sehingga titik
eksentrik �� di ��, � �� 1,2, � , � adalah semua titik yang tidak berada di
��, titik eksentrik dari �� di �� untuk �� � � 1, � � 2, � , � � � adalah
semua titik yang tidak berada di ��, demikian seterusnya sehingga titik
eksentrik dari �� di �� untuk �� � � � � � � � � 1, � � � � � � � �
2, � , � � � � � � � � � adalah semua titik yang tidak berada di ��.
Dari teorema 4.3.2 dapat disimpulkan bahwa digraf eksentrik iterasi kedua
pada digraf komplit multipartit ��,�,� ,���������������� adalah digraf komplit multipartit
��,�,� ,���������������� itu sendiri atau dengan kata lain ������,�,� ,���������������� � = ��,�,� ,���������������� Jadi D
adalah digraf komplit multipartit maka ������� �.
Dari gambar 4.3.3(digraf eksentrik dari digraf pada gambar 4.3.2)
diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �1, ∞, ∞, ∞�� ∞, ������ ����� ��������� ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
73
� � ��� �1, ∞, ∞, ∞�� ∞, ������ ����� ��������� ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �∞, ∞, 1,1�� ∞, ������ ����� ��������� ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �∞, ∞, 1,1�� ∞, ������ ����� ��������� ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ����
� � ��� �∞, ∞, 1,1�� ∞, ������ ����� ��������� ��, ��.
Tabel 4.3.3 eksentrisitas dari Digraf pada Gambar 4.3.3
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
�� ∞ ��, ��, ��
�� ∞ ��, ��, ��
�� ∞ ��, ��
�� ∞ ��, ��
�� ∞ ��, ��
74
Sehingga dari gambar graf 4.3.3 diperoleh digraf eksentrik (iterasi kedua dari
digraf pada gambar 4.3.2) sebagai berikut.
Gambar 4.3.6 Digraf Eksentrik iterasi kedua dari Digraf Komplit
Multipartit ��,���������
Selanjutnya dari gambar 4.3.5 (digraf eksentrik dari digraf pada gambar
4.3.4) diperoleh eksentrisitas sebagai berikut.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �1, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞�� ∞,
������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ���
� � � � � �
�� ��
75
� � ��� �1, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞�� ∞,
������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �∞, ∞, 1, ∞, ∞, ∞�� ∞,
������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �∞, ∞, 1, ∞, ∞, ∞�� ∞,
������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �∞, ∞, ∞, ∞, 1,1�� ∞,
������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��.
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���,
����, ����
� � ��� �∞, ∞, ∞, ∞, 1,1�� ∞,
������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��
76
������ � ��� �����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ���, ����, ��� ,
����, ����
� � ��� �∞, ∞, ∞, ∞, 1,1�� ∞,
������ ����� ��������� ��, ��, ��, ��.
Tabel 4.3.4 Eksentrisitas dari Gambar 4.3.4
Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik
�� ∞ ��, ��, ��, ��, ��
�� ∞ ��, ��, ��, ��, ��
�� ∞ ��, ��, ��, ��, ��
�� ∞ ��, ��, ��, ��, ��
�� ∞ ��, ��, ��, ��
�� ∞ ��, ��, ��, ��
�� ∞ ��, ��, ��, ��
77
Sehingga dari gambar graf 4.3.5 diperoleh digraf eksentrik (iterasi kedua dari
digraf pada gambar 4.3.4) sebagai berikut.
Gambar 4.3.7 Digraf Eksentrik iterasi kedua dari Digraf pada Gbr. 4.3.4
�� �� ��
�� ��
� �
� �
78
BAB 5
SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, maka kesimpulan yang
dapat diambil mengenai digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dan digraf
komplit multipartit adalah sebagai berikut.
5.1.1 Langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari suatu graf
adalah sebagai berikut.
(1) Menentukan jarak setiap titik �� � ����, � �� 1,2, … , � ke semua
titik di ����, dinotasikan dengan ����, ���, yaitu panjang lintasan
terpendek dari titik �� ke titik �� sehingga diperoleh eksentrisitas
dari titik �� � ����, � �� 1,2, … , � dan titik eksentrisnya. Titik
�� � ����, � �� 1,2, … , � dan �� disebut titik eksentrik dari ��
jika jarak dari �� ke �� sama dengan ����� dengan �� � , � �, ��
1,2, … , �. Titik eksentrik dari �� mungkin tidak tunggal, dan
(2) Membangun digraf ����� dengan himpunan titik ���������
���� dan himpunan arc ��������� ���, ��, ��, … , �� �, di
mana �� � ���, ��) �� 1,2, … , � , � � 1,2, … , � dan �� adalah
titik eksentrik dari ��.
79
5.1.2 Langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari suatu digraf
adalah sebagai berikut.
(1) Menentukan jarak setiap titik �� � ����, � �� 1,2, … , � ke semua
titik di ����, dinotasikan dengan ����, ���, yaitu panjang lintasan
berarah terpendek dari titik �� ke titik �� sehingga diperoleh
eksentrisitas dari titik �� � ����, � �� 1,2, … , � dan titik
eksentrisnya. Titik �� � ����, � �� 1,2, … , � dan �� disebut titik
eksentrik dari �� jika jarak dari �� ke �� sama dengan
����� dengan �� � , � �, �� 1,2, … , �. Titik eksentrik dari
�� mungkin tidak tunggal, dan
(2) Membangun digraf ����� dengan himpunan titik ���������
���� dan himpunan arc ��������� ���, ��, ��, … , �� �, di mana
�� � ���, ��) �� 1,2, … , � , � � 1,2, … , � dan �� adalah titik
eksentrik dari ��.
5.1.3 Bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dinotasikan �� ,�
dengan � , � � 2 adalah gabungan dari digraf komplit dengan m titik
dan � titik dengan sisi berarah bolak-balik atau diperoleh bentuk
umum ����� ,��� �� �������� �� ������ dengan � , � � 2.
5.1.4 Digraf eksentrik iterasi kedua pada digraf komplit multipartit
��,�,� ,���������������� adalah digraf komplit multipartit ��,�,� ,���������������� itu sendiri.
80
5.2 Saran
1. Berkaitan dengan hasil penelitian, ada beberapa hal yang perlu mendapat
perhatian yaitu penelitian ini hanya mengkaji digraf eksentrik dari graf
komplit bipartit dan digraf komplit multipartit. Untuk itu perlu penelitian lebih
lanjut tentang digraf eksentrik iterasi pertama dari digraf komplit multipartit
dan pada klasifikasi graf maupun digraf lainnya.
81
DAFTAR PUSTAKA
Budayasa, I Ketut. 2007. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa University Press.
Chartrand, G. and Lesniak, 1996, Graphs & Digraphs, 3rd edition. London: Chapman & Hill.
Gimbert, J. et al., 2006. Characterization of Eccentric Digraphs. Tersedia di: http://www.lingkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0012365X05005911 [14 Agustus 2009].
Goodaire, Edgar G., 2003. Discrete Mathematics with Graph Theory. New Delhi: Prentice Hall of India Private Limited.
J. Boland dan M. Miller, 2001. The Eccentric Digraph of a Digraph. Tersedia di : www.etsu.edu/math/boland/papers/mirka.ps [13 September 2009]
Kumalasari, Retno Catur. 2008. Eksentrik Digraf pada Graf sikel, Digraf Komplit dan Digraf Komplit Multipartit. Jurnal Matematika FMIPA UNDIP. Semarang.
Munir, Rinaldi. 2001. Buku Teks Ilmu Komputer Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung.
Setyaningrum, Vera Widi. 2010. Eksentrik Digraf dari Digraf Komplit Simetri dan Siklus Berarah. Skripsi Matematika UNNES. Semarang
Sutarno, Heri. 2003. Matematika Diskrit. Bandung: JICA.
Weisstein, Eric W, 2009. Graph. Tersedia di : http://mathworld.wolfram.com [13 September 2009]
Wilson. Robin J dan Walkins, John J. 1990. Graphs An Introductory Approach: A first Course in Discrete Mathematic. New York: John Wiley & Sons, Inc.