din struk 01

Dinamika Struktur 1

DINAMIKA STRUKTUR

1. Sistim Dengan Derajat Kebebasan

Tunggal Teredam (Undamped SDOF ) BERGETAR BEBAS

1.1. Pemodelan

Sifat material & beban : kompleks, rumit

Disederhanakan terapkan solusi matematik Buat anggapan/idealisasi model matematik Derajat Kebebasan : Jumlah koordinat bebas

Struktur Nyata Anggapan Model Matematik

Gambar 1. Struktur Lantai Banyak

1.2. SDKT TT : Free body

x

mx x

k kx

k3, c3

k2, c2

k1, c1

m3

m

k

c

m3 k3

c3

m2 k2

c2

m1 k1

c1

Dinamika Struktur 2

Gaya-gaya yang bekerja :

Gaya Inersia FI = m.a = m.x Hk. Newton II Gaya pegas Fs = k.x Jumlah gaya-gaya yang bekerja :

m.x + k.x = 0 (1.1)

persamaan gerak UD-SDOF (gerak bebas, tanpa dipaksa)

Solusi :

x = A cos wt atau

x = B sin wt (1.2)

Substitusi (1.2) ke (1.1)

( k-m.w2 ) A cos wt = 0 (1.3)

w = ( k/m ) Frekuensi natural sistem

( frekuensi natural sudut )

Solusi lengkap :

x = A cos wt + B sin wt (1.4)

x = -Aw sin wt + Bw cos wt =kecepatan (1.5)

Bila saat t=0 posisi awal yo dan kecepatan awal vo :

A = yo dan B = vo/w (1.6)

Jadi: x = yo cos wt + vo/w sin wt (1.7)

w dalam radial per satuan waktu ( rad/det )

T = 2 disebut periode getaran ( det )

f = 1/T = /2 disebut frekuensi natural (cps)

Dinamika Struktur 3

1.2. Amplitudo Gerak C yo

Pers (1.7) bisa ditulis

x =C[(yo/C)cos wt+{(vo/w)/C} sin wt]

vo /w

x =C sin (wt + ) atau

x =C cos (wt - ) (1.8)

dimana C = [ yo2 + (vo /)

2 ]

-1,5

0,0

1,5

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

y o

v o

C

Respons Getaran Bebas Tak Teredam

1.3. Konstanta Pegas Ekivalen

k1 k1 k2

k2 P P

x1=P / k1 x2=p / k2

ke = k1 + k2 x=x1+x2 1/ke=1/k1+1/k2

Untuk n pegas :

ke = ki ke =ki

dimana i = 1,2,3..n

T=2

Dinamika Struktur 4

II. SDKT TEREDAM ( Damped SDOF ) BERGETAR BEBAS

2.1. Persamaan Gerak

Gaya redaman kecepatan = c.x c = redaman liat (viscous damping)

m.x +c.x + k.x = 0 (2.1)

Solusi :

x = C.e pt

(2.2)


m.p2 + c.p + k = 0 (2.3)

m

k

m

c

m

cpp

2

222,

1 (2.4)

Jadi tp

eCtp

eCx 2.2

1.1

(2.5)

Terdapat 3 kemungkinan diskriminan D

2.2. Sistem Redaman Kritis (critical damped system )

Bila D = 0

ccr = 2(km) redaman kritis (2.6)

= 2m = 2k/

Harga p1 = p2 = ccr / (2m) (2.7)

Solusi : x1=C1 e -(ccr/2m)t

Dinamika Struktur 5

x2=C2 t e -(ccr/2m)t

ini juga memenuhi pers. 2.1)

Solusi umum

x =(C1 + C2 t) e -(ccr/2m)t

(2.8)

2.3. Sistem Redaman Superkritis

D >0

c > ccr Sistem tak mungkin bergetar

(x selalu positif )

2.4. Sistem Redaman Subkritis (Underdamped sistem)

c < ccr D < 0

2

222,

1

m

c

m

ki

m

cpp (2.9)

Gunakan persamaan Euler :

eix = cos x + i sin x

e -ix

= cos x - i sin x (2.10)

Substitusikan pers. (2.9) ke (2.5) dan terapkan (2.10) :

x = e-(c/2m)t

(A cosDt + B sinDt ) (2.11)

dimana

2

2

m

c

m

kD

= (1-2) (2.12)

c / ccr ratio redaman (damping ratio)

Bila kondisi awal ( t = 0 ) dimisalkan perpindahan xo dan

kecepatan vo didapat :

Dinamika Struktur 6

t

DD

ox

ov

tDo

xtex

sincos (2.13)

atau x = C e-t

cos(Dt - ) (2.14)

C = tg

Waktu getar :

T = 2D = 2(1-2)} (2.15)

x o

-1,0

0,0

1,0

-0,4 1,6 3,6 5,6T D

x 1

x 2

2T D 3T D

Respons Getaran Bebas dengan Redaman Subkritis

2.5. Pengurangan Logaritmis ( logarithmic decrement )

Saat cos bernilai 1

x1 = C e-t1

x2 = C e-t1+TD )

= ln (x1/x2) = TD

= 2(1-2)

III. SDKT DENGAN BEBAN HARMONIK (Harmonic Excitation For SDOF)

3.1. Sistem Tak Teredam

m k

x

Dinamika Struktur 7

Fo sin t

= frekuensi beban pemaksa (fungsi harmonik ) Fo = amplitudo puncak dari beban pemaksa

m.x + k.x = Fo sin t (3.1)

Solusi umum :

x = xc + xp (3.2)

dimana

xc = A cos t + B sin t = solusi komplementer

Melihat fungsi beban harmonik, solusi partikular dipilih :

xp = X sin t (3.3)


-m2 X + k X = Fo

X = Fo / (k-m2 ) = (Fo/k)/(1-r

2) (3.4)

Dimana r = / disebut ratio frekuensi

Solusi lengkap :

x = A cos t + B sin t +{(Fo/k)/(1-r2)}sin t (3.5)

Jika kondisi awal diambil xo = o dan vo = 0

A = 0 21

/

r

ko

rFB

sehingga :

trtr

ko

rFx sinsin

21

/

(3.6)

Dinamika Struktur 8

yaitu respons sementara (trasien) + respons keadaan tetap

(steady state response). Bila r = 1, respons menjadi tak

terhingga.

3.2. Sistem Teredam

m.x + c x + k.x = Fo sin t (3.7)

Solusi umum :

x = xc + xp (3.8)

dimana

xc = e-t

(A cosDt + B sinDt )

Ambil xp = C1 sin t + C2 cos t (3.9)

Substitusi xp ke (3.7)

m(-C12sint-C2

2cost)+c(C1 cos t-C2sint) +k(C1

sin t+C2 cos t) = Fo sin t

Kumpulkan fungsi sin dan cos ; samakan dengan ruas kanan:

(-mC12 - c.C2 +kC1 ) sin t = Fo sin t (3.10)

(-mC22 - c.C1 +kC2 ) sin t = 0 (3.11)

C1{k/m2}- C2{c/m.} = Fo /m

C1{c/m.} +C2{k/m2} =0

222

2

2

1

cmk

oFmk

C

(3.12)

Dinamika Struktur 9

22

22

2

cmk

oFc

C

(3.13)

Subst. Ke (3.9)

222

2

.sin

cmk

to

F

px

222

21

.sin

rr

tst

x

px

(3.14)

dimana : sin = c / {(k-m2)2+(c)2}

cos = (k-m 2)/ {(k-m2)2+(c)2}

xst = Fo/k

Respons total : (3.15)

222

21

.sinsincos

rr

tst

xt

DBt

DAtex

A dan B dievaluasi dari kondisi awal pers terakhir ini.

Faktor pembesaran dinamis (dynamic magnification factor)

D = X / Xst = 1/ [ {(1-r2)2+(2r)2}] (3.16)

Saat r=1

D = 1/(2

Dinamika Struktur 10

0

1

2

3

4

0 1 2 3

ratio frekuensi r

Fak

tor

pem

be

sa

ran

din

am

is D

Gambar 3.1. D vs r

3.3. Pondasi Mesin

Pola Getaran Mesin

Pola perpindahan (displacement ) pondasi mesin dibedakan atas

2 bagian utama :

1. Perpindahan cyclic akibat respons elastik tanah

2. Perpindahan permanen akibat pemadatan tanah dasar

Pondasi mesin dapat bergetar menurut satu sampai enam pola

yang mungkin, sbb. :

vertikal

Yawing

Pitching Rocking Lateral

longitudinal


Analisa Menurut Analog Lysmer

Untuk mesin dengan getaran vertikal, ( arah Z )

M.Z + cZ.Z + kZ. Z = QO.eit

Persamaan ini sama dengan persamaan (3.7)

Untuk pondasi mesin, biasanya c cukup besar sehingga

bagian transient segera diredam dan bisa ditinjau solusi

partikular saja sebagai berikut :

222

21

.sin

222

21

.sin

rr

tstZ

rr

t

zk

Fo

pz

( 3.14)

Untuk fondasi kaku berbentuk lingkaran :

Ratio massa :

3.4

1

4

1

O

zr

mbB

= frekuensi eksitasi ( f. operasi mesin )

KZ = konstanta pegas statik


=

1

.4 orG

cZ =

Gr

c oz

1

4,32

dimana G = modulus geser tanah

= rapat massa tanah

= konstanta poisson tanah

m = massa pondasi mesin

ro = jari-jari pondasi mesin

Amplitudo ( simangan maksimum )

222

21 rr

stZ

pZ

Pada gambar 3.1, nilai maksimum pembesaran dinamik D

tidak terjadi pada saat = sebagaimana yang terjadi

pada sistem tanpa redaman. Hal ini dapat dilihat sbb. :

222

21

282212

5,02

22

215,0.

rr

rrrrrst

Z

r

pZ

atau : 02221 rrr


221 r

atau : 221

Kalau frekuensi resonansi disebut

2mf , maka :

221 nm ff

Prosedur Perhitungan

A. Frekuensi Resonansi

Hitung frekuensi natural

m

kf zn

2

1

Hitung ratio redaman

mkc zcz .2 czc

c

Hitung frekuensi resonansi (pada perpindahan max)

221 nm ff untuk eksitasi gaya konstan

221 nm

ff untuk eksitasi massa berotasi

B. Amplitudi Getaran saat Resonansi

Untuk eksitasi gaya konstan


2)(

12

1

z

oresonansiz

k

FA

untuk eksitasi massa berotasi

2)(

12

1

m

UA resonansiz

dimana U = m1.e ( m1 = massa berotasi total )

C. Amplitudo Getaran Pada Frekuensi Lainnya.

Untuk eksitasi gaya konstan

2222 41 rrk

F

A z

O

z

dimana r =

untuk eksitasi massa berotasi

22222

41

./

rr

rmUAz

Rumus rumus diatas berlaku untuk pondasi kaku berbentuk

lingkaran, jari-jari rO.

Untuk pondasi persegi ukuran panjang x lebar = B x L, radius

ekivalen dicari sbb. :


ro2 = BL

atau

LBro

.

Nilai ini cukup baik untuk L/B < 2

Aturan yang umum yang perlu diperhatikan didalam merencanakan

fondasi mesin :

1. Frekuensi resonansi dari sistem tanah-fondasi tidak boleh

melebihi setengah dari frekuensi operasi mesin untuk mesin

dengan putaran mesin tinggi ( frekuensi operasi > 1000 cpm).

2. Untuk mesin dengan putaran mesin rendah ( frekuensi operasi <

350 - 400 cpm), frekuensi resonansi dari sistem tanah-fondasi

tidak boleh kurang dari dua kali frekuensi operasi mesin.

3. Untuk semua jenis pondasi, semakin berat fondasi, semakin

rendah frekuensi resonansi.

4. Semakin besar jari-jari lingkaran fondasi, semakin besar

frekuensi resonansi.

5. Semakin besar modulus geser tanah, semakin besar frekuensi

resonansi.


1. Tak disadari manusia

2. Dengan mudah dikenali

3. Menyusahkan sampai

membahayakan mns.

4. Berbahaya bagi struktur

0,0001

0,0010

0,0100

0,1000

100 1.000 10.000

Frekuensi ( cpm )

Am

plit

ud

o (

in

ch

)

1

4

3

2

Amplitudo getaran vertikal yang diizinkan

(After Richart, 1962 )

din struk 01

Documents