dinámica de rotación
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Universidad nacional de ingeniería - Facultad de Ingeniería ambiental
15 de junio del 2015
Dinámica de RotaciónFísica I
Aguilar Rodríguez, Emily Rocío Cornelio Ríos, Luis Alberto[nombre de la empresa]
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Dinámica de Rotación
A. ObjetivosObservar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwel y a partir de las
mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al
eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad.
B. Fundamento Teórico Energía cinética de rotación
Las partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una
velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describenvi=w ·Ri . La
energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas.
Esta suma se puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia y la
velocidad angular de rotación
Ecuación de la dinámica de rotación
Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas
exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema.
Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza
exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza
exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.
Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las
fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y
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sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos
celestes.
Para cada una de las partículas se cumple que la
variación del momento angular con el tiempo es
igual al momento de la resultante de las fuerzas
que actúan sobre la partícula considerada.
Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y
teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que
Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos
queda
La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo
es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.
Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de
un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=I·, la ecuación anterior la escribimos
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Momento angular de un sistema de partículas
Consideremos el sistema de dos partículas de la figura anterior. El momento angular total
del sistema respecto del origen es
L=r1 m1·v1+r2 m2·v2
Calculamos el momento angular respecto del centro de masas
r1cm=r1-rcm
r2cm=r2-rcm
v1cm=v1-vcm
v2cm=v2-vcm
El momento angular respecto del origen es la suma de dos contribuciones:
L=(r1cm+rcm) m1·(v1cm+vcm)+ (r2cm+rcm) m2·(v2cm+vcm)=
(r1cm m1·v1cm)+ (r2cm m2·v2cm)+ rcm (m1·v1cm+ m2·v2cm)+ (m1·r1cm+m2·r2cm) vcm
De la definición de posición y velocidad del centro de masas, tenemos que
m1·v1cm+ m2·v2cm=0,
m1·r1cm+ m2·r2cm=(m1+m2)·rcm
L=Lcm+(m1+m2)·rcm vcm
En general, para un sistema de partículas de masa total m
L=Lcm+m·rcm vcm
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El primer término, es el momento angular interno relativo al sistema c.m. y el último
término, el momento angular externo relativo al sistema de laboratorio, como si toda la
masa estuviera concentrada en el centro de masa.
Relación entre el momento de las fuerzas exteriores M ext y el momento angular interno L cm.
El momento de las fuerzas exteriores respecto del origen es la suma de dos
contribuciones
Mext= r1F1+r2 F2=(r1cm+rcm) F1+(r2cm+rcm) F2= r1cm F1+r2cm F2+rcm (F1+F2)=
Mcm+ rcm (F1+F2).
Mext= Mcm+ rcm Fext.
El primer término es el momento de las fuerzas exteriores relativo al c.m. y el segundo es
el momento de la fuerza resultante F1+F2 como si estuviera aplicada en el centro de
masas.
Derivando respecto del tiempo el momento angular total L, tenemos
Teniendo en cuenta que el segundo término es el producto vectorial de dos vectores
paralelos y que la ecuación del movimiento del c.m. Es:
Resulta:
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Como hemos demostrado en el apartado anterior que
Se obtiene la relación
Estas dos relaciones son idénticas pero existen diferencias en su interpretación. En la
primera se evalúa el momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores
Mext respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un sistema de
referencia inercial. La segunda se evalúa el momento angular Lcm y el momento de las
fuerzas Mcm respecto al sistema de referencias del centro de masas incluso si no está en
reposo con relación al sistema inercial de referencia O.
Esta última relación, es la que emplearemos para describir el movimiento del c.m. de un
sólido rígido.
Vamos a estudiar con más detalle la validez de la relación
Siendo A un punto arbitrario, LA el momento angular del sistema de partículas respecto de
A y MA el momento total de las fuerzas externas respecto del mismo punto.
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La posición de la partícula i respecto al origen del
sistema de referencia inercial esri, la posición de
dicha partícula respecto de A es riA. En la figura,
se muestra la relación entre estos dos vectoresri=rA+riA
La velocidad de la partícula i respecto del sistema
de referencia inercial es vi, y del punto A es vA.
El momento angular del sistema de partículas respecto de A, LA es
Sea Fi la fuerza exterior que actúa sobre la partícula i. La segunda ley de Newton afirma
que
El momento de las fuerzas exteriores respecto de A es
Como la posición del centro de masas rcm se define
Siendo M la masa total del sistema de partículas, llegamos a la relación
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Podemos obtener la misma relación derivando el momento angular LA respecto del tiempo
Cuando el término M(rcm-rA)×aA desaparece, la relación MA=dLA/dt se cumple. Esto ocurre
en los siguientes casos:
Cuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA
Cuando la aceleración de A es cero aA =0, es decir, A se mueve con velocidad
constante.
Cuando la aceleración de A, aA es paralela al vector (rcm-rA)
En los ejemplos de la sección Movimiento general de un sólido rígido emplearemos
únicamente la relación
El momento angular Lcm del sólido rígido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se
calculan con respecto del centro de masas.
-Usando el nivel de burbuja para nivelar el plano que nos servirá de soporte para los
rieles.
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-Marque en los rieles los puntos A0, A1, A2, A3, A4, separándolos unos 10 cm entre si.
-mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles y todas
las otras dimensiones de la rueda de Maxwell. Y tuvimos en cuenta que el eje ha sufrido
desgaste desigual.
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-Fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un movimiento de
rodadura pura (sin patinaje), esto para que después no exista problemas en los cálculos y
no altere el experimento.
-Coloque la rueda en reposo en la posición A0, sueltela y simultáneamente comience a
medir el tiempo (es decir, t0 = 0): medimos los intervalos de tiempo t1, t2, t3, t4, correspondientes a los tramos A0A1, A0 A2, A0 A3, A0 A4, respectivamente.
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-Mida la masa de la volante y también medimos la diferencia de las alturas entre las
posiciones G0 y G4. Tome nota de todos los datos experimentales y complete las tablas.
-Modifique la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el deslizamiento de la
rueda) y medimos 3 veces t4 y la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4.
Rueda de Mawel
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Pie de rey utilizado para medir el diámetro de la rueda de Maxwel.
C. Datos ExperimentalesM disco 0,35 Kg.
Alturasho=10cm
h3=5,5cm
h4=4cm
ho' =10cm
h4' =10cm
TRAMO ∆ x (cm .) t (s)
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Radio (cm.)r1=0,51
r2=0,52
r3=0,50
r 4=¿0,49
r p=0,505
12t 1 t 2 t 3
t p t p2
Ao A1 10 5.99 5.42 5.87 5.76 33.18
Ao A2 20 8.3 8.61 8.5 8.47 71.74
Ao A3 30 10.63 10.61 8.5 8.47 71.74
Ao A4 40
11.8
7
12.1
6
12.1
3
12.5
1
11.9
5
11.7
9
12.1
8
11.9
8
12.1
1
12.1
3
11.98 143.54
D. Cálculos y Resultados
1) Considerando los tiempos promedio para t 1, t 2 , t 3 y t 4, grafique los puntos
(0 ;0 ) , (t1 , A0 A1 ) ,…(t 4 , A0 A4) ¿Es el movimiento de traslación uniformemente
acelerado?
Tramo ∆x(cm) Tiempo 1 (s)
Tiempo2 (s)
Tiempo 3 (s)
Tiempo4(s)
Tiempo 5 (s)
Tiempo6 (s)
Tiempo 7 (s)
Tiempo8 (s)
Tiempo 9 (s)
Tiempo10 (s)
Tiempo promedio
(s)
A0-A1 10 5,38 5,47 5,23 5,18 -- -- -- -- -- -- 5,315A0-A2 20 8,15 7,64 8,02 7,77 -- -- -- -- -- -- 7,895A0-A3 30 9,41 9,33 10,0
29,76 -- -- -- -- -- -- 9,63
A0-A4 40 11,27
11,26 10,99
11,28 11,28
11,34 11,02
11,31 11,21
10,9 11,186
2) Grafique también d vs t 2.
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13 Distancia
(s)Tiempo promedio
(s)
TIEMPO AL CUADRADO
A0-A1 10 5,32 28,25
A0-A2 20 7,90 62,33
A0-A3 30 9,63 92,74
A0-A4 40 11,19 125,13
3) Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la
desviación estándar y propagación de errores, calcular.
a. La aceleración del centro de masas aG.
b. La velocidad de traslación, V 4, del centro de masa en posición G4.
T1(s) T 2 (s)
T 3 (s) T4 (s) T5(s) T 6 (s)
T7 (s)
T8 (s) T 9 (s)
T 10 (s)
Tiempo promedio
A0-A4
11,27
11,26 10,99 11,28 11,28
11,39
11,02
11,31 11,21
10,9 11,186
VELOCIDAD(10-
2)
T1 (s) T 2 (s) T3 (s)
T 4 (s)
T5 (s)
T6 (s)
T7 (s)
T8 (s)
T 9 (s)
T 10 (s)
Tiempo promed
ioVELOCIDAD(m/S)
W(rad/s)
c. La velocidad angular de la rueda en el instante t 4.
d. El momento de inercia de la volante usando la ecuación (13.5).
mgh0 = mghx + (½)mVg2 + (½)IgWg
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Hallamos “I” (momento de inercia) para todos los tiempos:
Tiempo 1 (s)
Tiempo 2 (s)
Tiempo 3 (s)
Tiempo 4 (s)
Tiempo 5 (s)
Tiempo 6 (s)
Tiempo 7 (s)
Tiempo 8 (s)
Tiempo 9 (s)
Tiempo
10 (s)
Tiempo
promedio
VELOCIDAD
(m/S)
W(rad/s)
I
e. ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el
cálculo del momento de inercia?
Al momento de desarrollar el experimento, el mayor porcentaje de error se
da al momento de medir el tiempo. Pese a que se trata de medirlo varias
veces para disminuir el margen de error, éste resulta determínate para el
resultado final del problema.
f. Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I?
Para responder esta pregunta, compare el valor de i obtenido de las
mediciones en los puntos G1 , ,G2 ,G3 yG4
g. ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I?
En este caso existe una relación matemática representada por:
tramo ∆x(cm)
Tiempo 1 (s) Tiempo 2 (s)
Tiempo 3 (s) TIEMPO PROMEDIO(s)
A0-A4 40 13,16 13,45 13,42 13,34
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E. Observaciones La rueda tenía unos pequeños orificios en los bordes para la estabilidad de su
movimiento.
La rueda no giraba libremente debido a la fricción en el eje de rotación con los rieles,
dicha fricción solo disminuía a causa de que los rieles estaban recubiertos con un
lubricante.
Asimismo notamos que a causa de la fricción la rueda no giraba en una línea paralela
a los rieles sino que tenía una cierta inclinación
Se debe nivelar bien la plataforma antes de iniciar el experimento para así evitar que
la rueda no resbale
En nuestro caso la rueda experimentaba deslizamiento y lo que hicimos fue de pasarle
tiza al riel y de esa manera se solucionó el problema.
Tener en cuenta de enumerar bien la barra para así evitar confusiones en el desarrollo
del laboratorio.
F.Conclusiones Debido a este laboratorio se ha podido demostrar experimentalmente lo que
la teoría nos dice, acerca de la DINAMICA DE ROTACION. Se verifico las formulas tanto teóricas como experimentales. Podemos concluir que el momento de inercia es directamente proporcional
a la trayectoria que recorre el disco El momento de inercia para el recorrido de una misma distancia es
inversamente proporcional a la pendiente de las varillas La energía que más prevalece durante la rodadura es la energía cinética
rotación.
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