Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Dinko Pervan

Hahn-Banachov i Banach-Steinhauseov teorem

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Dinko Pervan

Hahn-Banachov i Banach-Steinhauseov teorem

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Kresimir Burazin

Osijek, 2012.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Normirani prostori 2

2.1. Vektorski prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3. Normirani i unitarni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Metricki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5. Banachovi i Hilbertovi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6. Neprekidnost i ekvivalencija normi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Normirani prostori operatora i Hahn-Banachov teorem 20

3.1. Ograniceni linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2. Normiran prostor B(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Teoremi uniformne ogranicenosti 31

4.1. Skupovi prve i druge kategorije prema Baireu . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2. Teoremi uniformne ogranicenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Literatura 38

Sazetak 39

Summary 40

Zivotopis 41

1. Uvod

U radu cemo obraditi dva osnovna teorema funkcionalne analize, Hahn-Banachov i

Banach-Steinhauseov teorem. Rad smo podijelili na tri dijela i to su: Normirani

prostori, Normirani prostori operatora i Hahn-Banachov teorem te Teoremi uniformne

ogranicenosti.

U prvom dijelu je definiran vektorski prostor i linearni operatori sa odgovarajucim

svojstvima. Zatim je definiran skalarni produkt i unitaran prostor, te norma i normi-

rani prostor. Iskazana je i dokazana Buniakowsky-Cauchy-Schwarzova nejednakost,

te Gram-Schmidtov i Jordan-von Neumannov teorem. Navedeni su primjeri normi

na odredenim vektorskim prostorima. Definirana je metrika te metricki prostor sa

odgovarajucim svojstvima. Definirani su tipovi konvergencija te Banachov, odnosno

Hilbertov prostor, te na posljetku neprekidnost i ekvivalencija normi.

U drugom dijelu definiran je normiran prostor ogranicenih linearnih operatora B(X, Y )

te dokazana odgovarajuca svojstva. Iskazan je i dokazan Hahn-Banachov teorem za pol-

unormu, realan i kompleksan vektorski prostor te normiran prostor. Na posljetku je

iskazan znacajan korolar o postojanju netrivijalnih neprekidnih funkcionala na normi-

ranom prostoru.

U trecem dijelu definirani su skupovi prve i druge kategorije te iskazan i dokazan

Baireov teorem o kategorijama. Definirani su tipovi ogranicenosti te iskazan i dokazan

Banach-Steinhauseov teorem. Navedena su tri teorema uniformne ogranicenosti te

Mazur-Orliczov teorem.

1

2. Normirani prostori

U ovom poglavlju definirat cemo osnovne pojmove te iskazati i dokazati teoreme koji

ce nam posluziti u daljnjem radu.

2.1. Vektorski prostori

Definicija 2.1 Vektorski prostor je neprazan skup X nad poljem Φ na kojem su

definirane funkcija zbrajanja na X i funkcije mnozenja skalarima sa odredenim svo-

jstvima.

Funkcija (x, y) 7→ x+ y sa X ×X u X, zbrajanje na X, ima sljedeca svojstva:

1) (x+ y) + z = x+ (y + z) (x, y ∈ X) (asocijativnost);

2) x+ y = y + x (x, y ∈ X) (komutativnost);

3) Za svako x ∈ X postoji jedinstveni element 0 ∈ X takav da je

x+ 0 = 0 + x = x;

4) Za svako x ∈ X postoji jedinstveni element −x ∈ X takav da je

x+ (−x) = (−x) + x = 0.

Funkcija (λ, x) 7→ λx sa Φ×X u X, mnozenje skalarima, ima sljedeca svojstva:

5) λ(x + y) = λx + λy (λ ∈ Φ, x, y ∈ X) (distributivnost mnozenja skalarima

prema zbrajanju u X);

6) (λ + µ)x = λx + µx (λ, µ ∈ Φ, x ∈ X) (distributivnost mnozenja skalarima

prema zbrajanju u Φ);

7) (λµ)x = λ(µx) (λ, µ ∈ Φ, x ∈ X) (kvaziasocijativnost);

8) 1 · x = x (x ∈ X) (netrivijalnost mnozenja).

Svojstva (1) - (4) pokazuju da je u odnosu na zbrajanje vektorski prostor X komu-

tativna grupa.

Element vektorskog prostora se zove vektor, a element polja skalar.

Najcesci primjeri polja su polje realnih brojeva R i polje kompleksnih brojeva C.

Prostor X je realan ako je Φ = R , odnosno kompleksan ako je Φ = C.

2

Definicija 2.2 Potprostor vektorskog prostora X je podskup W ⊆ X koji je i sam

vektorski prostor nad istim poljem s obzirom na iste operacije.

To zapravo znaci da je W neprazan skup od X i da vrijedi:

1) x, y ∈ W ⇒ x+ y ∈ W ;

2) x ∈ W,λ ∈ Φ⇒ λx ∈ W .

Kada zelimo iskazati da je W potprostor vektorskog prostora X pisat cemo W ≤ X.

Definicija 2.3 Ako su x1, ..., xn ∈ X i ako su λ1, ..., λn ∈ Φ, onda vektor

x = λ1x1 + ...+ λnxn =n∑j=1

λjxj

nazivamo linearna kombinacija ili linearni spoj vektora x1, ..., xn s koeficijentima

λ1, ..., λn.

Definicija 2.4 Za vektore x1, ..., xn ∈ X kazemo da su linearno zavisni ako postoje

skalari λ1, ..., λn ∈ Φ takvi da je

λ1x1 + ...+ λnxn = 0 i |λ1|+ ...+ |λn| > 0.

Vektori x1, ..., xn ∈ X su linearno nezavisni ako nisu linearno zavisni.

Neka je X vektorski prostor te x1, ..., xn bilo koji vektori iz X. Tvrdimo da je skup

W = {x ∈ X : x = λ1x1 + ...+ λnxn, λ1, ..., λn ∈ Φ}

vektorski potprostor. Da se uvjerimo u to, uzmimo dva elementa a, b ovog skupa:

a = λ1x1 + ...+ λnxn, b = µ1x1 + ...+ µnxn.

Onda je njihova linearna kombinacija oblika

αa+ βb = (αλ1 + βµ1)x1 + ...+ (αλn + βµn)xn (α, β, λ1, ..., λn, µ1, ..., µn ∈ Φ)

i ona ponovno pripada skupu W . Stoga je W vektorski potprostor od X. Nazivamo

ga potprostor generiran (razapet) vektorima x1, ..., xn i oznacavamo s L(x1, ..., xn).

Zovemo ga jos i linearni omotac ili linearna ljuska skupa vektora {x1, ..., xn}.

Definicija 2.5 Neka je X vektorski prostor nad poljem Φ. Kazemo da je X konacno-

dimenzionalan ako postoji n ∈ N i vektori x1, ..., xn ∈ X takvi da se svaki x ∈ X

moze prikazati u obliku x = λ1x1 + ...+ λnxn, za neke λ1, ..., λn ∈ Φ.

3

Broj n zove se dimenzija vektorskog prostora X i oznacava sa n = dim(X). Ako

takav prirodan broj n ne postoji, kazemo da je vektorski prostor X beskonacno-

dimenzionalan i pisemo dimX =∞.

Definicija 2.6 Neka je X vektorski prostor. Baza u X je svaki skup x1, ..., xn koji ima

sljedeca dva svojstva:

1) vektori x1, ..., xn su linearno nezavisni;

2) svaki drugi vektor x ∈ X moze se napisati u obliku linearne kombinacije vektora

x1, ..., xn.

Skup svih linearnih kombinacija vektora x1, ..., xn oznacili smo s L(x1, ..., xn).

Svojstvo (2) kaze da za bazu vrijedi

X = L(x1, ..., xn).

Kazemo jos da vektori baze razapinju citav prostor. Prikaz svakoga vektora u odabra-

noj bazi je jednoznacan. Zaista, iz pretpostavke da x ima dva razlicita prikaza,

x = λ1x1 + ...+ λnxn = µ1x1 + ...+ µnxn

slijedi

(λ1 − µ1)x1 + ...+ (λn − µn)xn = 0,

a odavde, zbog linearne nezavisnosti, svi koeficijenti moraju biti jednaki nuli, te je

λ1 = µ1, ..., λn = µn.

2.2. Linearni operatori

Ako su X i Y vektorski prostori, svako preslikavanje A : X → Y zove se operator.

Operator A je aditivan ako vrijedi

A(x+ y) = A(x) + A(y) (x, y ∈ X).

Ako su X i Y vektorski prostori nad istim poljem Φ, operator A je homogen ako

vrijedi

A(λx) = λA(x) (λ ∈ Φ, x ∈ X).

Definicija 2.7 Neka su X i Y vektorski prostori nad poljem Φ. Operator A : X → Y

je linearan, ako je aditivan i homogen, tj. ako vrijedi

A(λx+ µy) = λA(x) + µA(y) (λ, µ ∈ Φ, x, y ∈ X).

4

Ako je A linearan operator, obicno se umjesto A(x) pise Ax.

Za vektorske prostore X i Y nad istim poljem Φ sa L(X, Y ) cemo oznacavati skup

svih linearnih operatora A : X → Y .

U taj skup uvodimo operaciju zbrajanja: ako suA,B ∈ L(X, Y ) saA+B oznacavamo

operator sa X u Y definiran relacijom

(A+B)(x) = Ax+Bx (x ∈ X).

Nadalje, uvodimo i operaciju mnozenja elemenata od L(X, Y ) skalarima iz polja Φ:

ako je A ∈ L(X, Y ) i λ ∈ Φ sa λA oznacavamo operator sa X u Y definiran relacijom

(λA)(x) = λ(Ax) (x ∈ X).

Lako se vidi da su tako definirani operatori A+B i λA linearni, dakle elementi od

L(X, Y ).

Ako su X, Y i Z tri vektorska prostora i A : X → Y i B : Y → Z onda definiramo

BA : X → Z kao kompoziciju funkcija

(BA)(X) = B(Ax) (x ∈ X).

Tako definiran operator je linearan, jer su i A i B linearni, tj. za x, y ∈ X i λ, µ ∈ Φ

vrijedi

(BA)(λx+ µy) = B(A(λx+ µy))

= B(λAx+ µAy)

= λB(Ax) + µB(Ay)

= λ(BA)x+ µ(BA)y.

Dakle, BA ∈ L(X,Z). Taj se linearni operator, BA : X → Z, zove produkt opera-

tora B i A.

Identicno preslikavanje x 7→ x s prostora X na X je linearan operator i oznacavamo

ga sa IX odnosno sa I.

Lema 2.1 Za proizvoljan linearan operator vrijede sljedeca svojstva:

1) A(0) = 0;

2) A(−x) = −Ax.

5

Dokaz:

1) Iz svojstava linearnog vektorskog prostora i linearnosti operatora imamo

Ax = A(x+ 0) = Ax+ A(0),

a zbog jedinstvenosti neutralnog elementa za zbrajanje imamo A(0) = 0.

2) Koristeci gornje svojstvo i linearnost operatora, imamo

0 = A(0) = A(x+ (−x)) = Ax+ A(−x),

a zbog jedinstvenosti inverznog elementa za zbrajanje imamo A(−x) = −A(x).

2

2.3. Normirani i unitarni prostori

Definirat cemo skalarni produkt i normu kako bi dosli do definicije unitarnog i normi-

ranog prostora.

Definicija 2.8 Funkcija (x, y) 7→ (x|y) sa X ×X u C je skalarni produkt na kom-

pleksnom ili realnom vektorskom prostoru X ako ima sljedeca svojstva:

1) (x1 + x2|y) = (x1|y) + (x2|y) (x1, x2, y ∈ X) (aditivnost skalarnog produkta u

odnosu na prvu varijablu);

2) (λx|y) = λ(x|y) (x, y ∈ X,λ ∈ Φ) (homogenost u odnosu na prvu varijablu);

3) (x|y) = (y|x) (x, y ∈ X) (hermitska simetrija skalarnog produkta);

4) (x|x) ≥ 0 (x ∈ X) (pozitivnost);

5) (x|x) = 0⇔ x = 0 (x ∈ X) (pozitivna definitnost).

Unitaran prostor (X, (·|·)) je ureden par vektorskog prostora X i skalarnog pro-

dukta na njemu.

Za vektore x, y ∈ X kazemo da su ortogonalni (okomiti) i pisemo x ⊥ y ako je

(x|y) = 0. Za podskupove S1, S2 ⊆ X kazemo da su ortogonalni (okomiti) i pisemo

S1 ⊥ S2 ako je (x1|x2) = 0 za svako x1 ∈ S1 i za svako x2 ∈ S2.

Za vektor x ∈ X kazemo da je ortogonalan na podskup S ⊆ X i pisemo x ⊥ S ako

je (x|y) = 0 za svaki y ∈ S. Skup svih vektora x koji su ortogonalni na podskup S,

cini vektorski potprostor koji se zove ortogonalni komplement skupa S, i oznacava sa

S⊥.

6

Definicija 2.9 Funkcija x 7→ ||x|| sa vektorskog prostora X u skup realnih brojeva je

norma na X ako ona ima ova svojstva:

1) ||x|| ≥ 0 (x ∈ X) (pozitivnost);

2) ||x|| = 0⇔ x = 0 (x ∈ X) (strogost);

3) ||λx|| = |λ| · ||x|| (x ∈ X,λ ∈ Φ) (homogenost norme);

4) ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y|| (x, y ∈ X) (nejednakost trokuta).

Normiran prostor (X, ||·||) je ureden par vektorskog prostora X i norme x 7→ ||x||definirane na X.

Vektor y ∈ X je normiran ili jedinicni vektor ako je ||y|| = 1.

Teorem 2.1 (Buniakowsky-Cauchy-Schwarzova nejednakost) Ako je X unitaran

prostor, onda za sve x, y ∈ X vrijedi

|(x|y)| ≤ ||x|| · ||y||, (1)

gdje smo stavili ||x|| = (x|x)1/2. Jednakost stoji u (1) ako i samo ako su vektori x i y

linearno zavisni.

Dokaz: Pretpostavimo da je y 6= 0 jer u protivnom nemamo sto dokazivati. Neka

je t ∈ R. Tada ocito vrijedi sljedeca nejednakost

0 ≤ ||x− ty||2 = (x− ty|x− ty)

= ||x||2 − 2t(x|y) + t2||y||2.

Desnu stranu prethodne nejednakosti mozemo shvatiti kao kvadratnu funkciju u vari-

jabli t. Kako ta kvadratna funkcija (zbog izvedene nejednakosti) poprima nenegativne

vrijednosti, slijedi da je njezina diskriminanta manja ili jednaka nuli. U nasem slucaju

vrijedi

D = 4|(x|y)|2 − 4||x||2||y||2 ≤ 0,

odakle sredivanjem slijedi (1).

Ispitajmo sada slucaj jednakosti. Ako je (x|y) = ||x|| · ||y||, onda je prethodna

diskriminanta jednaka nuli, sto znaci da jednadzba ||x − ty||2 = 0 ima dvostruki ko-

rijen, oznacimo ga s t. To znaci da je x − ty = 0, odnosno x = ty, zbog cega je

(x|y) = t||y||2. S druge strane buduci da je izraz (x|y) = ||x|| · ||y|| nenegativan, slijedi

7

da je t ≥ 0, sto je i trebalo pokazati.

Pokazimo i obrat. Neka je x = ty, t ≥ 0. Tada je

(x|y) = (ty|y) = t||y||2 = ||ty|| · ||y|| = ||x|| · ||y||.

2

Propozicija 2.1 Svaki unitarni prostor je normiran prostor s normom induciranom

skalarnim produktom ||x|| = (x|x)1/2.

Dokaz: Iz svojstava skalarnog produkta produkta vidimo da su prva tri svojstva

norme ispunjena. Koristeci se sa nejednakosti (1) iz Teorema 2.1, dobivamo

||x+ y||2 = (x+ y|x+ y)

= ||x||2 + ||y||2 + (x|y) + (y|x)

≤ ||x||2 + ||y||2 + 2||x|| · ||y||= (||x||+ ||y||)2,

odakle slijedi cetvrto svojstvo norme, tj. nejednakost trokuta ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||.

2

Za vektorski prostor X = Rn elemente definiramo kao vektore stupce, a standardni

skalarni produkt sa (x|y) := x1y1 + ...+ xnyn. Nejednakost CSB u ovom slucaju glasi

|x1y1 + ...+ xnyn| ≤√x2

1 + ...+ x2n

√y2

1 + ...+ y2n,

gdje su x1, ..., xn, y1, ..., yn bilo koji realni brojevi.

Definicija 2.10 Za vektore e1, ..., en u prostoru X = Rn kazemo da cine ortogonalnu

bazu ako su svi medusobno okomiti i cine bazu.

Za svaki vektor x ∈ Rn vrijedi

x =(x|e1)

||e1||2e1 + ...+

(x|en)

||en||2en.

Ako su vektori e1, ..., en ortogonalni i jedinicni, tj. ortonormirani, onda kazemo da cine

ortonormiranu bazu u Rn. Tada je

x = (x|e1)e1 + ...+ (x|en)en.

Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije omogucava nam da se svaki niz x1, ..., xn

linearno nezavisnih vektora unitarnog prostoraX zamijeni ortonormiranim nizom e1, ..., en

koji ima svojstvo da za svako n vektori x1, ..., xn razapinju isti potprostor kao i vektori

e1, ..., en.

8

Teorem 2.2 (Gram - Schmidt) Neka je X0 n-dimenzionalan potprostor unitarnog

prostora X te neka je {x1, ..., xn} baza potprostora X0. Tada postoji ortonormirana baza

{e1, ..., en} potprostora X0, takva da je svaki vektor ej, 1 ≤ j ≤ n, linearna kombinacija

vektora x1, ..., xj.

Dokaz: Stavimo li e1 = x1||x1|| , onda vektori x1 i e1 razapinju isti potprostor. Nar-

avno, vektor e1 ima jedinicnu duljinu. Neka je x0 ortogonalna projekcija vektora x2 na

potprostor razapet vektorom e1, tj. x0 = (x2|e1)e1.

Kako je y2 = x2 − x0 = x2 − (x2|e1)e1, slijedi da je

(y2|e1) = (x2 − (x2|e1)e1|e1) = (x2|e1)− (x2|e1)(e1|e1) = 0.

Primjetimo kako y2 ne moze biti nulvektor, jer bi u protivnom vektori x2 i e1,

pa prema tome x2 i x1, bili linearno zavisni. Da bismo dobili vektor jedinicne duljine,

definiramo e2 = y2||y2|| . Vektori e1 i e2 su medusobno ortogonalni i buduci je e1 kolinearan

s x1, vektor e2 je linearna kombinacija vektora x1 i x2.

Ukoliko je n > 2, nastavljamo s opisanim postupkom. Ortogonalna projekcija vektora

x3 na potprostor razapet vektorima e1 i e2 jednaka je

(x3|e1)e1 + (x3|e2)e2.

Neka je sada

y3 = x3 − (x3|e1)e1 − (x3|e2)e2

i e3 = y3||y3|| . Na isti nacin kao i prije, zakljucujemo da je vektor y3 ortogonalan na

oba vektora e1 i e2. Prema tome, {e1, e2, e3} je ortonormirani skup koji razapinje isti

potprostor kao i skup vektora {x1, x2, x3}. Daljnji postupak ortonormiranja je jasan,

odvija se po ovoj shemi

yn+1 = xn+1 −n∑i=1

(xn+1|ei)ei, en+1 =yn+1

||yn+1||.

Primjetimo da je za svako n, (xn|en) > 0.

2

Primjer 2.1 Vektorski prostor Rn se moze normirati uvodenjem norme elemenata

x = (x1, ..., xn) pomocu

||x||p =( n∑k=1

|xk|p)1/p

(1 ≤ p < +∞) (2)

ili

||x||∞ = max1≤k≤n

|xk|.

9

Od svih normi (2), najcesce se koriste norme za p = 1 i p = 2, tj. norme

||x||1 =n∑k=1

|xk| i ||x||2 =( n∑k=1

|xk|2)1/2

.

Norma ||x||2 zadovoljava relaciju paralelograma

||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2||x||2 + 2||y||2 (x, y ∈ X). (3)

Relacija (3) dobiva se zbrajanjem ovih dviju relacija

||x+ y||2 = ||x||2 + ||y||2 + (x|y) + (y|x)

||x− y||2 = ||x||2 + ||y||2 − (x|y)− (y|x)

Da je (3) karakteristicna relacija za unitarne prostore, proizlazi iz ovog teorema.

Teorem 2.3 (P. Jordan - J. von Neumann) Ako norma x 7→ ||x|| na prostoru X

zadovoljava relaciju paralelograma (3), onda je sa

(x|y) =1

4(||x+ y||2 − ||x− y||2) (4)

dan skalarni produkt na X u slucaju da je X realan prostor, odnosno sa

(x|y) =1

4(||x+ y||2 − ||x− y||2) +

i

4(||x+ iy||2 − ||x− iy||2) (5)

u slucaju da je X kompleksan prostor.

U svakom od ta dva slucaja je

||x||2 = (x|x). (6)

Lema 2.2 Ako funkcija f : X → Φ ima svojstvo da je

f(x+ y) + f(x− y) = 2f(x) + 2f(y) (x, y ∈ X), (7)

onda je funkcija

S(x, y) = f(x+ y)− f(x− y)

biaditivna, tj. aditivna u svakom argumentu.

Dokaz: Iz (7) za x = y = 0 dobivamo f(0) = 0, a za x = 0 dobivamo f(−y) = f(y),

tj. f je parna funkcija. Za x, y, u ∈ X imamo

S(x+ y, 2u) = f(x+ y + 2u)− f(x+ y − 2u)

= f [(x+ u) + (y + u)] + f [(x+ u)− (y + u)]

− f [(x− u) + (y − u)]− f [(x− u)− (y − u)]

= [2f(x+ u) + 2f(y + u)]− [2f(x− u) + 2f(y − u)]

= 2S(x, u) + 2S(y, u).

10

Odavde za y = 0 i x = z dobivamo S(z, 2u) = 2S(z, u), sto za z = x+ y povlaci

S(x+ y, u) = S(x, u) + S(y, u).

Na isti nacin dobiva se i aditivnost funkcije y → S(x, y).

2

Dokaz teorema 2.3: Buduci da funkcija f(x) = 14||x||2 zadovoljava uvjete Leme

2.2, to je funkcija

S(x, y) =||x+ y||2 − ||x− y||2

4aditivna u svakom svom argumentu. No tada je

S(rx, y) = rS(x, y)

za svaki racionalni broj r. Iz

|tx+ y| = |(t− s)x+ sx+ y| ≤ |t− s| · |x|+ |sx+ y| (x, y ∈ X, t, s ∈ R)

proizlazi |tx + y| − |sx + y|| ≤ |t − s| · |x|, sto pokazuje da je funkcija t 7→ |tx + y|neprekidna na R.

No tada je i funkcija t 7→ S(tx+ y) neprekidna na R. Ako niz (rn) racionalnih brojeva

konvergira ka t, onda

S(tx, y) = limS(rnx, y) = lim rnS(x, y) ⇒ S(tx, y) = tS(x, y) (x, y ∈ X, t ∈ R)

(8)

Na osnovi formule (8) lako se provjerava da je sa (4) odnosno sa (5) dan skalarni produkt

u realnom odnosno kompleksnom prostoru i da za tako uveden skalarni produkt vrijedi

(6).

2

Primjer 2.2 Neka je C[0, 1] skup svih neprekidnih realnih funkcija f : [0, 1] → R.

Zbrajanje i mnozenje funkcijama definiramo na sljedeci nacin:

ako su f i g realne funkcije na [0, 1] tada vrijedi

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (x ∈ [0, 1]).

Ako je λ ∈ R tada

(λf)(x) = λ(f(x)) (x ∈ [0, 1]).

S ovako definiramim operacijama, C[0, 1] je vektorski prostor nad R. Definiramo dvije

razlicite norme na C[0, 1],

||f ||1 =

∫ 1

0

|f(x)|dx i ||f ||∞ = supx∈[0,1]

|f(x)| (f ∈ C[0, 1]).

11

Primjer 2.3 Neka je c0 skup svih nizova (xn, n ∈ N) realnih brojeva koji konvergiraju

k 0. Zbrajanje i mnozenje nizova skalarima definiramo na sljedeci nacin:

ako su x = (xn, n ∈ N) i y = (yn, n ∈ N) tada vrijedi

x+ y = (xn + yn, n ∈ N).

Ako je λ ∈ R tada vrijedi

λx = (λxn, n ∈ N).

S ovako definiranim operacijama, c0 je vektorski prostor nad R. Mozemo definirati

normu na c0 sa

||x|| = supj||xj|| (x = (xn, n ∈ N) ∈ c0).

Primjer 2.4 Neka je l2 skup svih nizova (xn, n ∈ N) realnih brojeva takvih da je

∞∑j=1

x2j <∞.

Zbrajanje i mnozenje nizova skalarima definiramo kao u prethodnom primjeru. S tako

definiranim operacijama, l2 je vektorski prostor nad R. Definiramo normu na l2 sa

||x||2 =( ∞∑j=1

x2j

) 12

(x = (xn, n ∈ N) ∈ l2).

2.4. Metricki prostori

Definicija 2.11 Za funkciju d : X ×X → R kazemo da je metrika na skupu X ako

ona ima ova svojstva:

1) d(x, y) ≥ 0 (x, y ∈ X);

2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y (x, y ∈ X);

3) d(x, y) = d(y, x) (x, y ∈ X);

4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (x, y, z ∈ X) (nejednakost trokuta).

Metricki prostor (X, d) je ureden par skupa X i metrike d na X.

U metrickom prostoru X broj d(x, y) nazivamo udaljenost elemenata x, y ∈ X.

12

Definicija 2.12 Neka je (X, d) metricki prostor.

Za skup K(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) < r} kazemo da je otvorena kugla radijusa r > 0

sa sredistem u tocki x0.

Za skup K[x0, r] = {x ∈ X : d(x, x0) ≤ r} kazemo da je zatvorena kugla radijusa r > 0

sa sredistem u tocki x0.

Za skup S(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) = r} kazemo da je sfera radijusa r > 0 sa

sredistem u tocki x0.

Definicija 2.13 Neka je (X, d) metricki prostor i S ⊆ X. Kazemo da je S otvoren u

skupu X ako se moze prikazati kao unija otvorenih kugala.

Prazan skup je otvoren skup.

Skup S ⊆ X je otvoren ako za svako x0 ∈ S i r > 0 postoji otvorena kugla K(x0, r)

takva da je K(x0, r) ⊆ S.

Skup U svih otvorenih skupova metrickog prostora X je topoloska struktura na X.

Skup F ⊆ X je zatvoren ako je njegov komplement X\F otvoren.

Skup S ⊆ X je ogranicen ako je on sadrzan u nekoj kugli. U protivnom je S

neogranicen skup.

Propozicija 2.2 Ako je x 7→ ||x|| norma na vektorskom prostoru X, onda je

d(x, y) = ||x− y|| (x, y ∈ X)

metrika na X.

Dokaz: Iz svojstava norme vidimo da su za d ispunjena prva tri svojstva metrike,

a cetvrto se lako dokaze:

d(x, y) = ||x− y|| = ||(x− z) + (z − y)|| ≤ ||x− z||+ ||z − y|| = d(x, z) + d(z, y).

2

13

2.5. Banachovi i Hilbertovi prostori

Definicija 2.14 Niz (xn, n ∈ N) vektora normiranog prostora X konvergira po

normi ili jako konvergira ka vektoru x0 ∈ X ako niz brojeva (||xn − x0||, n ∈ N)

konvergira nuli.

Red∑xn konvergira ako niz (sn, n ∈ N) parcijalnih suma sn = x1 + ... + xn

konvergira po normi.

Red∑xn apsolutno konvergira ako numericki red

∑|xn| konvergira.

Ako niz (xn) konvergira ka x0 onda pisemo xn → x0 i kazemo da je x0 limes niza

(xn), sto zapisujemo u obliku x0 = limxn ili x0 = limn→∞

xn.

Ako xn → x0 i xn → x′0, onda

||x0 − x′0|| = ||(x0 − xn) + (xn − x′0)|| ≤ ||x0 − xn||+ ||xn − x′0||

za n → ∞ povlaci ||x0 − x′0|| = 0, tj. x0 = x′0. To pokazuje da konvergentan niz u X

ima samo jednu granicnu tocku (limes).

Ako xk → x0, onda za svako ε > 0 postoji prirodni broj n(ε) takav da je

||xn − x0|| < ε2

za n ≥ n(ε). No tada za p, q ≥ n(ε) dobivamo

||xp − xq|| = ||(xp − x0) + (x0 − xp)|| ≤ ||xp − x0||+ ||x0 − xq|| <ε

2+ε

2= ε.

Prema tome za svako ε > 0 postoji n(ε) ∈ N tako da

p, q ≥ n(ε)⇒ ||xp − xq|| < ε. (1)

Sa (1) je izrazeno nutarnje svojstvo konvergentnog niza i ono sluzi za definiciju tzv.

Cauchyjevog ili fundamentalnog niza.

Definicija 2.15 Niz (xk, k ∈ N) normiranog prostora X je Cauchyjev niz ako za

svako ε > 0 postoji prirodni broj n(ε) takav da vrijedi

p, q ≥ n(ε)⇒ ||xp − xq|| < ε.

Definicija 2.16 Normiran prostor X je potpun ili Banachov prostor ako svaki

Cauchyjev niz elemenata iz X konvergira u X. Potpun unitaran prostor naziva se

Hilbertov prostor.

14

Propozicija 2.3 Neka je (xk, k ∈ N) Cauchyjev niz u normiranom prostoru X. Tada

je:

1) skup {xk : k ∈ N} ogranicen;

2) za svaki padajuci niz (εk) strogo pozitivnih realnih brojeva postoji podniz (xp(n))

takav da je

||xp(k+1) − xp(k)|| < εk (k ∈ N). (2)

Dokaz:

1) Buduci da je (xk, k ∈ N) Cauchyjev niz, za svako ε > 0 postoji n(ε) ∈ N takvo

da

p, q ≥ n(ε)⇒ ||xp − xq|| < ε,

sto zajedno s nejednakosti trokuta povlaci da je za svako k ∈ N vektor xk sadrzan

u zatvorenoj kugli K(0, r), gdje je r = ε+ ||x1||+ ...+ ||xn(ε)||.

2) Za ε1 > 0 postoji broj n1 ∈ N takav da p, q ≥ n1 ⇒ ||xp − xq|| < ε1. Stavimo

p(1) = n1. Za ε2 postoji n2 ∈ N, n2 > n1 takav da p, q ≥ n2 ⇒ ||xp − xq|| < ε2.

Stavimo p(2) = n2. Matematickom indukcijom dolazimo do niza (xp(k)) za koji

vrijedi (2).

2

Lema 2.3 Neka je (xk, k ∈ N) Cauchyjev niz u normiranom prostoru X. Ako je neki

podniz (xp(n)) konvergentan, onda je i niz konvergentan i ima isti limes kao i podniz.

Dokaz: Neka je x = limxp(n), tj. za svako ε > 0 postoji n′(ε) ∈ N tako da

(n ≥ n′(ε))⇒ (||xp(n) − x|| <

ε

2) (n ∈ N).

Takoder, za svako ε > 0 postoji n′′(ε) ∈ N tako da

(n,m ≥ n′′(ε))⇒ (||xn − xm|| <

ε

2) (n,m ∈ N).

Za ε > 0 po volji uzmemo n(ε) = max{n′(ε), n

′′(ε)}. Sada za n ≥ n(ε) imamo

p(n) ≥ n ≥ n(ε). Odatle slijedi ||xn − x|| ≤ ||xn − xp(n)||+ ||xp(n) − x|| < ε2

+ ε2

= ε.

2

Propozicija 2.4 Normiran prostor X je potpun ako i samo ako svaki apsolutno kon-

vergentan red vektora iz X konvergira u X.

15

Dokaz: Uzmimo da u X svaki apsolutno konvergentan red konvergira. Neka je

(xk, k ∈ N) Cauchyjev niz u X. Prema Propoziciji 2.3 postoji podniz (xp(n)) takav da

je

||xp(k+1) − xp(k)|| ≤1

(k + 1)2(k ∈ N).

Buduci da red∑||xp(k+1) − xp(k)|| konvergira, tada po pretpostavci o prostoru X

konvergira i red∑

(xp(k+1) − xp(k)). Neka je x0 suma tog reda. Iz

x0 = limn→∞

n∑k=1

(xp(k+1) − xp(k)) = limn→∞

(xp(n+1) − xp(1))

izlazi da podniz (xp(k)) Cauchyjevog niza konvergira vektoru x0 + xp(1). No tada i

niz (xk) konvergira tome vektoru pa je time potpunost prostora X dokazana.

Obratno, uzmimo da je X potpun prostor i da red∑xk apsolutno konvergira. Tada

za ε > 0 postoji n ∈ N takvo da je∞∑

k=n+1

|xk| ≤ ε. No tada za svako p ∈ N imamo:

|sn+p − sn| =∣∣∣ n+p∑k=1

xk −n∑k=1

xk

∣∣∣ =∣∣∣ n+p∑k=n+1

xk

∣∣∣ ≤ n+p∑k=n+1

|xk| ≤ ε,

sto pokazuje da parcijalne sume sn = x1 + ... + xn cine Cauchyjev niz. Zbog

potpunosti prostora X u X postoji x0 = lim sn =∞∑k=1

xk.

2

2.6. Neprekidnost i ekvivalencija normi

Definicija 2.17 Neka su (X, ||·||X) i (Y, ||·||Y ) normirani prostori, S ⊆ X, F : S → Y

i x0 ∈ S. Kazemo da je funkcija F neprekidna u tocki x0 ako za svako ε > 0 postoji

δ > 0 takvo da

||x− x0||X ≤ δ ⇒ ||F (x)− F (x0)||Y ≤ ε (x ∈ S).

Funkcija F je neprekidna na skupu T ⊆ S ako je ona neprekidna u svakoj tocki

skupa T .

Funkcija F je jednoliko ili uniformno neprekidna na skupu T ⊆ S ako za

svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da za sve x1, x2 ∈ T

||x1 − x2||X ≤ δ ⇒ ||F (x1)− F (x2)||Y ≤ ε.

Definicija 2.18 Norme x 7→ ||x||1 i x 7→ ||x|||2 na X su ekvivalentne ako postoje

brojevi m,M > 0 takvi da je za svako x ∈ X

m||x||1 ≤ ||x||2 ≤M ||x||1. (1)

16

Iz (1) izlazi1

M||x||2 ≤ ||x||1 ≤

1

m||x||2, (2)

sto i opravdava naziv ekvivalentne norme.

Propozicija 2.5 Ako je X normiran prostor, onda su funkcije x 7→ ||x||, (λ, x) 7→ λx

i (x, y) 7→ x + y neprekidne na X,Φ × X odnosno na X × X. Norma x 7→ ||x|| i

zbrajanje (x, y) 7→ x+ y su jednoliko neprekidne na X odnosno na X ×X.

Dokaz:

I. Za x, y ∈ X imamo

||x|| = ||(x− y) + y|| ≤ ||x− y||+ ||y||

iz cega slijedi ||x|| − ||y|| ≤ ||x− y||.Zamijenom x i y imamo ||y|| − ||x|| ≤ ||x− y||. Dakle je

∣∣||x|| − ||y||∣∣ ≤ ||x− y||,sto povlaci neprekidnost i jednoliku neprekidnost norme x 7→ ||x|| na X.

II. Na X ×X uzmemo normu ||(x1, x2)|| = ||x1||+ ||x2|| pa imamo

||(x+ y)− (x0 + y0)|| = ||(x− x0) + (y − y0)|| ≤ ||x− x0||+ ||y − y0||

iz cega slijedi neprekidnost i jednolika neprekidnost zbrajanja na X ×X.

III. Iz ||λx − λ0x0|| = ||λ(x − x0) + (λ − λ0)x0|| ≤ |λ| · ||x − x0|| + |λ − λ0| · ||x0||slijedi neprekidnost i jednolika neprekidnost funkcije (λ, x) 7→ λx na svakom

ogranicenom podskupu od Φ×X.

2

Korolar 2.1 Funkcije

g(λ1, ..., λn, x1, ..., xn) = λ1x1 + ...+ λnxn,

f(λ1, ..., λn, x1, ..., xn) = ||λ1x1 + ...+ λnxn||

su neprekidne kao funkcije sa Φn ×Xn u X odnosno u R.

17

Teorem 2.4 Neka je X konacno dimenzionalan vektorski prostor i || · ||1, || · ||2 bilo

koje dvije norme na X. Tada su norme || · ||1 i || · ||2 ekvivalentne.

Dokaz: Neka je {e1, ..., en} baza u X i stavimo Mj = max{||ek||j; k = 1, ..., n},j = 1, 2. Definiramo ||x|| = |λ1|+ ...+ |λn|, za x = λ1e1 + ...+ λnen ∈ X.

Tada je || · || norma na X.

Za j = 1, 2 imamo

||x||j = ||λ1e1 + ...+ λnen||j ≤ |λ1| · ||e1||j + ...+ |λn| · ||en||j ≤Mj||x||.

Definiramo funkciju fj : Φn → R, j = 1, 2, sa

fj(λ1, ..., λn) = ||λ1e1 + ...+ λnen||j ((λ1, ..., λn) ∈ Φn).

Prema Korolaru 2.1 funkcija je neprekidna na Φn. Neka je

S = {(λ1, ..., λn) ∈ Φn; |λ1|+ ...+ |λn| = 1}.

Skup S je zatvoren i ogranicen u Φn, dakle kompaktan.

Za j ∈ {1, 2} postoji (λ(j)1 , ..., λ

(j)n ) ∈ S takav da je

fj(λ(j)1 , ..., λ(j)

n ) ≤ fj(λ1, ..., λn) ((λ1, ..., λn) ∈ S).

Stavimo xj = λ(j)1 e1 + ...+ λ

(j)n en i vrijedi xj 6= 0.

Neka je y ∈ X, ||y|| = 1. Tada je y = η1e1 + ...+ ηnen i ||y|| = |η1|+ ...+ |ηn| = 1, dakle

(η1, ..., ηn) ∈ S pa slijedi

fj(λ(j)1 , ..., λ(j)

n ) ≤ fj(η1, ..., ηn), ((η1, ..., ηn) ∈ S),

tj. za svaki y ∈ X,||xj||j ≤ ||y||j, ||y|| = 1.

Neka je x ∈ X, x 6= 0, po volji. Za y = x||x|| vrijedi ||y|| = 1 pa je

||xj||j ≤ ||y||j = || x||x||||j =

||x||j||x||

Odatle imamo ||x||j ≥ ||xj||j||x||.

Stavimo mj = ||xj||j pa za svaki x ∈ X vrijedi mj||x|| ≤ ||x||j, j = 1, 2.

Dakle, mj||x|| ≤ ||x||j ≤Mj||x||, x ∈ X.

18

Konacno, imamo

m1

M2

||x||2 ≤ m1||x|| ≤ ||x||1 ≤M1||x|| ≤M1

m2

||x||2,

tj.m1

M2

||x||2 ≤ ||x||1 ≤M1

m2

||x||2.

2

Lako se vidi da je skup S ⊂ X ogranicen u odnosu na normu x 7→ ||x||1 ako i samo

ako je on ogranicen u odnosu na normu x 7→ ||x||2.

Takoder, niz (xk, k ∈ N) iz X je Cauchyjev niz u prostoru (X, || · ||1) ako i samo

ako je on Cauchyjev niz u prostoru (X, || · ||2).

Prostor (X, || · ||1) je potpun ako i samo ako je prostor (X, || · ||2) potpun.

19

3. Normirani prostori operatora i Hahn-Banachov

teorem

Definirat cemo ogranicene linearne operatore i polunormu te iskazati i dokazati glavni

teorem, Hahn-Banachov teorem.

3.1. Ograniceni linearni operatori

Definicija 3.1 Linearan operator A : X → Y je ogranicen ako postoji realni broj

M > 0 takav da je

||Ax||Y ≤M ||x||X (x ∈ X). (1)

Propozicija 3.1 Neka su X i Y normirani prostori i A : X → Y linearan operator.

Sljedeca svojstva operatora A su ekvivalentna:

a) A je neprekidan u nekoj tocki x0 ∈ X;

b) A je neprekidan (u svakoj tocki x0 ∈ X);

c) A je uniformno neprekidan na X;

d) A je ogranicen

Dokaz: Ocito vrijede implikacije (d) ⇒ (c) ⇒ (b) ⇒ (a). Zbog ||Ax − Ax0||Y ≤M ||x− x0||X , za svaki x, x0 ∈ X, vrijedi prva implikacija.

Pokazimo sada da (a) ⇒ (b). Neka je x ∈ X proizvoljan te niz (xn) ∈ X takav

da xn → x. Tada vrijedi xn − x + x0 → x0 te A(xn − x + x0) → Ax0, buduci da je

po pretpostavci A neprekidan u x0. Slijedi Axn − Ax + Ax0 → Ax0, buduci da je A

linearan. Drugim rijecima Axn − Ax→ 0, ili Axn → Ax, tj. operator je neprekidan u

tocki x. Zbog proizvoljnosti tocke x ∈ X, zakljucujemo da je A neprekidan u svakoj

tocki iz X.

Pokazimo (b)⇒ (d). A je neprekidan u 0 i vrijedi A(0) = 0. Dakle, za ε = 1 postoji

δ > 0 takav da za svaki x ∈ X vrijedi ||x||X < δ sto povlaci ||Ax||Y ≤ 1.

Neka je x ∈ X, x 6= 0, proizvoljan. Stavimo y = δ||x||X

x, tada je ||δ x||x||X||X ≤ δ, sto

povlaci ||Aδ x||x||X||Y ≤ 1. Odavde i iz homogenosti operatora A, za M = 1

δ, slijedi

||Ax||Y ≤M ||x||X .

2

20

Dakle, A je neprekidan ako i samo ako je ogranicen.

Sa B(X, Y ) oznacavamo skup svih ogranicenih A ∈ L(X, Y ). Ocito je B(X, Y )

potprostor od L(X, Y ). Naime, neka je ||Ax||Y ≤ M ||x||X , ||Bx||Y ≤ N ||x||X , lako se

pokaze ||(λA+ µB)x||Y ≤ (|λ|M + |µ|N)||x||X .

Propozicija 3.2 Ako je X konacne dimenzije onda je B(X, Y ) = L(X, Y ).

Dokaz: Neka je A ∈ L(X, Y ) i neka je {e1, ..., en} baza od X. Tada za x ∈X, x =

∑nk=1 ξkek, stavimo ||x||∞ = max{|ξj|; 1 ≤ j ≤ n}. Slijedi da je x 7→ ||x||∞

norma na X, a kako je X konacne dimenzije, prema Teoremu 2.4 ona je ekvivalentna

s originalnom normom x 7→ ||x||X . Dakle, postoje α > 0 i β > 0 takvi da vrijedi

α||x||X ≤ ||x||∞ ≤ β||x||X , za svaki x ∈ X.

Nadalje, neka je M > 0 takav da je∑n

k=1 ||Aek||Y ≤Mβ

. Tada za x =∑n

k=1 ξkek imamo

||Ax||Y = ||n∑k=1

ξkAek||Y ≤n∑k=1

|ξk|||Aek||Y ≤ ||x||∞n∑k=1

||Aek||Y ≤M ||x||X ,

tj. A je ogranicen operator.

2

3.2. Normiran prostor B(X, Y )

Teorem 3.1 Neka su X i Y normirani prostori nad poljem Φ i neka je B(X, Y ) vek-

torski prostor ogranicenih operatora.

I. Sa

A 7→ ||A||B(X,Y ) = sup{||Ax||Y : x ∈ X, ||x||X ≤ 1} (2)

dana je norma na prostoru B(X, Y ).

II. Ako je Y Banachov prostor, onda je B(X, Y ) Banachov prostor.

Dokaz:

I. Za A,B ∈ B(X, Y ) i proizvoljni x ∈ X imamo

||(A+B)x||Y = ||Ax+Bx||Y ≤ ||Ax||Y +||Bx||Y ≤ ||A||B(X,Y )·||x||X+||B||B(X,Y )·||x||X ,

iz cega slijedi

||(A+B)x||Y ≤ (||A||B(X,Y ) + ||B||B(X,Y ))||x||X ,

21

i konacno

||A+B||B(X,Y ) ≤ ||A||B(X,Y ) + ||B||B(X,Y ).

Vrijede svojstva 1) - 3) norme za funkcijuA 7→ ||A||B(X,Y ). Ocito je ||A||B(X,Y ) ≥ 0

i ||A||B(X,Y ) = 0 ako i samo ako A = 0.

Nadalje, ocito je ||λA||B(X,Y ) = |λ| · ||A||B(X,Y ), λ ∈ Φ, A ∈ B(X, Y ), te je sa (2)

dana norma na B(X, Y ).

II. Uzmimo da je (An) Cauchyjev niz uB(X, Y ). Za ε > 0 postoji n(ε) ∈ N, n,m ∈ Ntakvo da

n,m ≥ n(ε)⇒ ||An − Am||B(X,Y ) ≤ ε.

Odavde za x ∈ X nalazimo

n,m ≥ n(ε)⇒ ||Anx− Amx||Y ≤ ε||x||X , (3)

sto pokazuje da je za svaki x ∈ X, (Anx) Cauchyjev niz u prostoru Y . Buduci da

je Y potpun prostor, postoji jedinstven vektor, oznacimo ga sa A0x, u Y takav

da A0x = limn→∞

Anx, x ∈ X.

Neka su x, y ∈ X i α, β ∈ Φ proizvoljni. Tada

A0(αx+ βy) = limn→∞

An(αx+ βy)

= limn→∞

(αAnx+ βAny)

= α limn→∞

Anx+ β limn→∞

Any

= αA0x+ βA0y,

pa je A0 linearan operator.

Buduci da je (An) Cauchyjev niz, za svaki ε > 0 postoji n(ε) ∈ N, takvo da za

n,m ∈ N,

n,m ≥ n(ε)⇒ ||An − Am||B(X,Y ) ≤ε

2.

Ako je x ∈ X, ||x||X ≤ 1, onda za n,m ≥ n(ε) vrijedi

||(An − Am)x||Y ≤ ||An − Am||B(X,Y ) <ε

2.

Drzimo li n fiksnim, a pustimo da m tezi u beskonacnost, iz posljednjeg izraza

slijedi

||(An − A0)x||Y ≤ε

2||x||X .

Dakle, za svako n ≥ n(ε), operator An−A0 je ogranicen, pa kako su An ograniceni

operatori, takav mora biti i operator A0, tj. A0 ∈ B(X, Y ). Osim toga, iz gornjeg

izraza imamo da za svaki ε > 0 postoji n(ε) ∈ N takvo da n ≥ n(ε) povlaci

22

||An −A0||B(X,Y ) ≤ ε, sto znaci da niz (An) konvergira operatoru A0 ∈ B(X, Y ),

odnosno B(X, Y ) je potpun prostor. Iz svega recenog imamo da je B(X, Y )

Banachov prostor.

2

Iz definicije norme operatora A proizlazi

||Ax||Y ≤ ||A||B(X,Y ) · ||x||X (x ∈ X).

Nadalje, za svako ε > 0 postoji vektor xs ∈ X, xs 6= 0 takav da je

||Axs||Y ≥ (||A||B(X,Y ) − ε)||xs||X .

To pokazuje da je norma ||A||B(X,Y ) operatora A najmanji od realnih brojeva M > 0

za koje vrijedi (1).

Iz Teorema 3.1 za Y = Φ dobivamo:

Korolar 3.1 Ako je X normiran prostor nad poljem Φ, onda je prostor X′= B(X,Φ)

Banachov prostor.

Definicija 3.2 Banachov prostor X′

= B(X,Φ) nazivamo dualni ili adjungiran pros-

tor prostora X.

Napomenimo da za linearni funkcional F ∈ X imamo

||F ||B(X,Φ) = sup{|F (y)| : y ∈ X, ||y||X ≤ 1}, (4)

|F (y)| ≤ ||F ||B(X,Φ) · ||y||X (F ∈ B(X,Φ), y ∈ X).

Teoremom 3.1 i Korolarom 3.1 nismo dokazali egzistenciju neprekidnog linearnog

operatora (funkcionala) koji je razlicit od nul-operatora (funkcionala). Egzistencija

netrivijalnih neprekidnih operatora zasniva se na tzv. Hahn-Banachovom teoremu o

prosirenju linearnih funkcionala. Taj teorem jedan je od najvaznijih teorema funkcionalne

analize te cemo ga ovdje formulirati u nama potrebnoj opcenitosti te dokazati.

Definicija 3.3 Neka je X vektorski prostor nad poljem Φ. Funkcija p : X → R je

1) homogena, ako je

p(λx) = λp(x) (x ∈ X;λ ∈ R, λ ≥ 0);

23

2) subaditivna, ako je

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) (x, y ∈ X).

Definicija 3.4 Neka je X vektorski prostor nad poljem Φ. Funkcija p : X → R je

polunorma na X, ako je

1) p(x) ≥ 0 (x ∈ X);

2) p(λx) = |λ| · p(x) (λ ∈ Φ;x ∈ X);

3) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) (x, y ∈ X).

Ako je funkcija p : X → R polunorma na X i ako p(x) = 0 povlaci x = 0, onda se

lako moze vidjeti da je p norma na X.

Teorem 3.2 (Hahn-Banachov teorem za polunorme) Neka je p polunorma na

realnom ili kompleksnom vektorskom prostoru X, Y potprostor od X a f : Y → Φ

linearan funkcional. Ako je

|f(y)| ≤ p(y) (y ∈ Y ),

onda postoji bar jedan linearan funkcional F : X → Φ takav da je

i) F prosirenje od f, tj. F (y) = f(y) za svaki y ∈ Y ,

ii) |F (x)| ≤ p(x) (x ∈ X).

Dokaz Teorema 3.2 dajemo najprije za realne prostore. U tom slucaju dokazujemo

i nesto opcenitiji teorem.

Teorem 3.3 (Hahn-Banachov teorem za realan vektorski prostor) Neka je X

realan vektorski prostor, p : X → R subaditivan homogen funkcional, Y realan vektorski

potprostor od X i f : Y → R linearni funkcional.

Ako f zadovoljava f(y) ≤ p(y) na Y , onda postoji linearni funkcional F : X → Rtakav da je

i) F prosirenje od f , tj. F (y) = f(y) za svaki y ∈ Y ,

ii) F (x) ≤ p(x) (x ∈ X).

Osnovni korak u dokazu teorema oblika 3.2, 3.3 daje sljedeca lema.

24

Lema 3.1 Neka je p subaditivan homogen funkcional na realnom vektorskom prostoru

X, M0 pravi potprostor od X i g0 : M0 → R linearan funkcional sa svojstvom da je

g0(y) ≤ p(y), y ∈ M0. Za svaki vektor x1 ∈ X, x1 /∈ M0 postoji bar jedan linearan

funkcional g1 : M1 → R na potprostoru M1 = L({x1} ∪ M0) razapet vektorom x1 i

potprostorom M0 takav da je

g1(x) ≤ p(x), x ∈M1 i g1(y) = g0(y), y ∈M0. (5)

Dokaz: Svaki vektor x ∈ M1 ima jedinstven prikaz oblika x = λx1 + y, gdje je

λ ∈ R i y ∈M0. Zbog toga je sa

g1(λx1 + y) = λγ1 + g0(y) (λ ∈ R, y ∈M0), (6)

definiran linearan funkcional na prostoru M1 i vrijedi g1(y) = g0(y) za svako y ∈M0.

Pri tome je γ1 = g1(x1) bilo koji realan broj. Funkcional g1 po linearnosti prosiruje

funkcional g0 za svaki realni broj γ1. Sada se radi o tome da se γ1 izabere, ako je

moguce, tako da vrijedi nejednakost g1(x) ≤ p(x) za x ∈ M1 (dodatni uvjet!), tj. da

vrijedi

λγ1 + g0(y) ≤ p(λx1 + y) (λ ∈ R, y ∈M0). (7)

Iz (7) za λ = 1 dobivamo

γ1 ≤ p(x1 + y)− g0(y) (y ∈M0),

sto povlaci γ1 ≤ µ1, gdje je

µ1 := inf{p(x1 + y)− g0(y) : y ∈M0}. (8)

Isto tako iz (7) za λ = −1 dobivamo

−p(−x1 + y) + g0(y) ≤ γ1 (y ∈M0),

sto povlaci µ−1 ≤ γ1, gdje je

µ−1 := sup{−p(−x1 − y)− g0(y) : y ∈M0}. (9)

Ako funkcional (6) zadovoljava uvjete Leme 3.1, onda je µ−1 ≤ γ1 ≤ µ1, gdje je

γ1 = g1(x1), a brojevi µ−1 i µ1 su odredeni sa (9) i (8).

Odavde zakljucujemo da najprije treba dokazati da je µ−1 ≤ µ1 i onda za g1(x1) uzeti

bilo koji broj iz segmenta [µ−1, µ1].

25

Za y′, y

′′ ∈M0 imamo

g0(y′)− g0(y

′′) = g0(y

′ − y′′) ≤ p(y

′ − y′′) = p[(y

′+ x1)− (y

′′+ x1)]

≤ p(y′+ x1) + p(−y′′ − x1),

iz cega slijedi

−p(−x1 − y′′)− g0(y

′′) ≤ p(x1 + y

′)− g0(y

′) (y

′, y

′′ ∈M0). (10)

Iz (10) uzimanjem supremuma po y′′ ∈ M0, pa onda infimuma po y

′ ∈ M0, dobi-

vamo µ−1 ≤ µ1, gdje su brojevi µ−1, µ1 definirani sa (9) i (8). Dakle, postoji bar jedan

realan broj γ1 takav da je µ−1 ≤ γ1 ≤ µ1.

Za ovako odabran broj γ1 sa (6) definiramo linearan funkcional g1 na M1. Dokazimo

da g1 zadovoljava nejednakost (7). Ako je λ = 0, onda vrijedi (7), jer je g0(y) ≤ p(y)

za svako y ∈M0 prema uvjetima Leme 3.1. Ako je λ > 0, onda za y ∈M0 imamo

γ1 ≤ µ1 ≤ p(yλ

+ x1

)− g0

(yλ

)=

1

λ[p(y + λx1)− g0(y)],

sto povlaci (7).

Ako je λ < 0, onda za y ∈M0 imamo

γ1 ≥ µ−1 ≥ −p(− y

λ− x1

)− g0

(yλ

)=

= −p(λx1 + y

−λ

)− 1

λg0

(y)

=

= −(− 1

λ

)p(λx1 + y

)− 1

λg0

(y)

=

=1

λ

[p(λx1 + y

)− g0

(y)],

odakle ponovno slijedi (7).

2

Definicija 3.5 Za ureden par (S,≤) skupa S i binarne relacije ” ≤ ” na S kazemo da

je parcijalno ureden skup ako relacija uredaja ” ≤ ” ima ova svojstva:

1) x ≤ x za svako x ∈ S (refleksivnost);

2) ako je x ≤ y i y ≤ z, onda je x ≤ z (x, y, z ∈ S) (tranzitivnost);

3) ako je x ≤ y i y ≤ x, onda je x = y (x, y ∈ S) (antisimetricnost).

26

Parcijalno ureden skup (S,≤) je ureden ako za svaki par (x, y) ∈ S×S vrijedi x ≤ y

ili y ≤ x, x, y ∈ S.

Podskup A parcijalno uredenog skupa S je odozgo ogranicen ako postoji element L ∈ Stakav da je x ≤ L za svaki x ∈ A. Element L ∈ S nazivamo gornjom granicom ili

majorantom.

Za element L ∈ S kazemo da je maksimalan za skup S ako L ≤ y i y ∈ S povlaci

y = L.

Lema 3.2 (Zornova lema) Ako je svaki uredeni podskup parcijalno uredenog skupa

S 6= ∅ odozgo ogranicen, onda skup S ima bar jedan maksimalni element.

Dokaz: Zornova lema je ekvivalentna aksiomu izbora, te je ovdje necemo dokazivati.

Dokaz Hahn-Banachovog teorema za realan vektorski prostor:

Sa S oznacimo skup svih linearnih funkcionala h koji su prosirenje funkcionala f i

takvih da je

h(x) ≤ p(x) (x ∈ D(h)),

gdje je D(h) potprostor na kojem je h definirano. Za svaki h ∈ S je Y ⊆ D(h).

Na S definiramo relaciju ” ≤ ” na sljedeci nacin: za dva elementa h1, h2 ∈ S stavimo

h1 ≤ h2 ako je h2 prosirenje od h1. U odnosu na tu relaciju S je parcijalno ureden

skup. Uzmimo da je proizvoljni L ureden podskup od S.

Neka je

M :=⋃h∈L

D(h) ⊆ X.

M je potprostor od X buduci da za svaki x, y ∈M,α, β ∈ R vrijedi αx+ βy ∈M .

Na M definiramo funkcional H na sljedeci nacin. Ako je x ∈ M i h1, h2 ∈ L takvi da

je x ∈ D(h1) i x ∈ D(h2), onda se lako vidi da je h1(x) = h2(x). Stoga je na M dobro

definirana funkcija H izrazom H(x) := h1(x) = h2(x). Buduci da je L ureden podskup

od S, H je korektno definirana funkcija i H je element od S.

Nadalje je H prosirenje svakog funkcionala h ∈ L, dakle je h ≤ H za svako h ∈ L. To

pokazuje da parcijalno ureden skup (S,≤) zadovoljava uvjete Zornove leme, pa S ima

bar jedan maksimalni element, oznacimo ga sa F .

Tvrdimo da je F definirano na X. U protivnom bi postojao bar jedan vektor x1 ∈ X,

takav da x1 /∈ D(F ). Primjena Leme 3.1. na par M0 = D(F ) i g0 = F daje prosirenje

g1 od F na potprostor M1 razapet sa x1 i M0. Buduci da je g1 prosirenje od F i F

prosirenje od f , to je g1 prosirenje i od f ; dakle g1 ∈ S i F ≤ g1.

S druge strane je D(F ) = M0 ⊂ M1 = D(g1), pa je g1 6= F . Tu je kontradikcija s

maksimalnosti od F . Dakle je D(F ) = X, F (x) ≤ p(x) za svako x ∈ X i F (y) = f(y)

za svako y ∈ Y .

27

2

Dokaz Hahn-Banachovog teorema za kompleksan vektorski prostor:

Sa Xr odnosno Yr oznacimo prostor X odnosno Y promatran kao realan vektorski

prostor. Ocigledno je Yr potprostor od Xr. Nadalje su sa

f1 = Ref(y), f2 = Imf(y) (y ∈ Yr)

definirani linearni funkcionali f1 i f2 na realnom vektorskom prostoru Yr.

Iz f(iy) = if(y) dobivamo

f1(iy) + if2(iy) = if1(y)− f2(y),

sto daje

f1(iy) = −f2(y), f2(iy) = f1(y).

Dakle je

f(y) = f1(y)− if1(iy) (y ∈ Y ). (11)

Sa (11) je linearan funkcional f na kompleksnom prostoru Y izrazen preko samo

svojeg realnog dijela f1. Ta cinjenica ima vazne posljedice.

Na trojku Xr, Yr, f1 mozemo primijeniti Teorem 3.3., jer je

f1(y) ≤ |f1(y)| ≤ (|f1(y)|2 + |f2(y)|2)12 = |f(y)| ≤ p(y),

tj. f1(y) ≤ p(y), y ∈ Yr. Dakle, postoji linearan funkcional F1 : Xr → R takav da

je

F1(x) ≤ p(x) (x ∈ Xr) i F1(y) = f1(y) (y ∈ Yr).

Sada na X definiramo funkcional F formulom

F (x) = F1(x)− iF1(ix) (x ∈ X). (12)

Ocigledno je F aditivan funkcional na X.

Nadalje za λ = σ + iτ ,σ, τ ∈ R, i x ∈ X, zbog aditivnosti i homogenosti, imamo

F (λx) = F1(σx+ iτx)− iF1(−τx+ iσx)

= F1(σx) + F1(iτx)− iF1(−τx)− iF1(iσx)

= σF1(x) + τF1(ix) + τiF1(x)− iσF1(ix)

= λF1(x)− λiF1(ix)

= λF (x).

28

Dakle je F linearan funkcional na kompleksnom vektorskom prostoru X.

Da bismo dokazali |F (x)| ≤ p(x), za x ∈ X postoji ϕ ∈ R te pisemo F (x) = re−iϕ,

tako da je |F (x)| = eiϕF (x) = F (eiϕx) realan i pozitivan.

Stoga,

|F (x)| = |F (eiϕx)| = |F1(eiϕx)| ≤ p(eiϕx) = |eiϕ|p(x) = p(x).

Dakle, |F (x)| ≤ p(x) za svako x ∈ X. Na kraju za y ∈ Y , buduci da je F1 prosirenje

od f1 sa Yr na Xr, imamo

F (y) = F1(y)− iF1(iy)

= f1(y)− if1(iy) = f(y).

2

Teorem 3.4 (Hahn-Banachov teorem za normirane prostore) Ako je Y pravi

potprostor normiranog prostora X, onda za svaki linearni neprekidni funkcional

f : Y → Φ postoji bar jedan neprekidan funkcional F : X → Φ takav da je

||F ||B(X,Φ) = ||f ||B(Y,Φ) i F (y) = f(y) (y ∈ Y ).

Drugim rijecima, funkcional f moze se prosiriti do neprekidnog funkcionala F koji

ima istu normu kao i funkcional f .

Dokaz: Neka je x 7→ ||x||X norma na X. Za f ∈ Y ′, f 6= 0, stavimo

p(x) = ||f ||B(Y,Φ) · ||x||X (x ∈ X).

Tada je p norma na X i |f(x)| ≤ p(x) za svako x ∈ Y . Prema Hahn-Banachovom

teoremu za polunorme postoji bar jedan linearan funkcional F na X takav da je

F (y) = f(y) za y ∈ Y i |F (x)| ≤ p(x) za x ∈ X. No, |F (x)| ≤ p(x) = ||f ||B(Y,Φ)||x||Xza x = X povlaci da je F ogranicen funkcional na X i da je ||F ||B(X,Φ) ≤ ||f ||B(Y,Φ).

Buduci da je

||F ||B(X,Φ) = sup{|F (x)| : x ∈ X, ||x||X ≤ 1}≥ sup{|F (x)| : x ∈ Y, ||x||Y ≤ 1}= sup{|f(x)| : ||x||Y ≤ 1, x ∈ Y }= ||f ||B(Y,Φ),

zakljucujemo da je ||F ||B(X,Φ) = ||f ||B(Y,Φ).

Ako je f = 0, onda F = 0 zadovoljava Teorem 3.4.

29

2

Znacajna posljedica Hahn-Banachovog teorema je ovaj korolar koji nam osigurava

egzistenciju netrivijalnih neprekidnih funkcionala na normiranom prostoru.

Korolar 3.2 Ako je X normiran prostor i x0 ∈ X, onda postoji neprekidan linearan

funkcional F na X takav da je

||F ||B(X,Φ) = 1 i F (x0) = ||x0||X .

Taj korolar omogucava da formuli ||F ||B(X,Φ) = sup{|F (y)| : y ∈ X, ||y||X ≤ 1}pridruzimo dualnu formulu

||x0||X = sup{|F (x0)| : F ∈ B(X,Φ), ||F ||B(X,Φ) = 1},

kojom se norma vektora x0 ∈ X moze dobiti pomocu vrijednosti na vektoru x0 je-

dinicnih funkcionala F iz dualnog prostora.

30

4. Teoremi uniformne ogranicenosti

U ovom dijelu cemo iskazati i dokazati nekoliko teorema kako bi pojasnili princip uni-

formne ogranicenosti.

4.1. Skupovi prve i druge kategorije prema Baireu

Neka X oznacava metricki prostor i d metriku na X.

Definicija 4.1 Kazemo da je metricki prostor X potpun ako u njemu svaki Cauchyjev

niz konvergira.

Sa A oznacavamo zatvarac skupa A ⊆ X, tj. presjek svih zatvorenih skupova koji

sadrze A. Nadalje sa intA oznacavamo interior (nutrinu) skupa A ⊆ X, tj. uniju svih

otvorenih skupova sadrzanih u A.

Definicija 4.2 Za skup A ⊆ X kazemo da je rijedak (nigdje gust) u X ako je nutrina

zatvaraca skupa A prazan skup, tj. intA = ∅.

Drugim rijecima, za svaku kuglu K(x0, r) ⊆ X postoji kugla K(x′, r

′) ⊆ K(x0, r)

takva da skup A u kugli K(x′, r

′) nema nijednu tocku, tj. A∩K(x

′, r

′) = ∅. Ako je A

rijedak skup, onda je skup X\A gust u X.

Definicija 4.3 Skup A ⊆ X je prve kategorije u X ako se A moze prikazati kao unija

od prebrojivo mnogo rijetkih skupova u X. Ako A nije prve kategorije u X, onda kazemo

da je druge kategorije u X.

Ocigledno je unija od prebrojivo mnogo skupova prve kategorije ponovno skup prve

kategorije. Za skup druge kategorije je intA 6= ∅, pa je skup A gust u nekoj kugli.

Lema 4.1 Neka je X potpun metricki prostor, a An, n ∈ N, zatvoreni podskup od X

rijedak u X. Tada je⋃n∈NAn 6= X.

Dokaz: Stavimo A =⋃n∈NAn i Un = X\An, n ∈ N. Skup A1 je rijedak u X, pa je

U1 neprazan otvoren skup u X koji sadrzi zatvorenu kuglu K(x1, r1) radijusa r1 ≤ 1.

A2 je rijedak u X te ne sadrzi niti jednu kuglu. Stoga je U2 ∩ K(x1, r1) 6= ∅ otvoren

skup pa sadrzi zatvorenu kuglu K(x2, r2) radijusa r2 ≤ 12. Nastavimo li na taj nacin

dolazimo do padajuceg niza zatvorenih kugala

K(x1, r1) ⊇ K(x2, r2) ⊇ ... ⊇ K(xn, rn) ⊇ ...

s radijusima rn ≤ 1n.

Za p, q ≥ n imamo xp, xq ∈ K(xn, rn) pa je d(xp, xq) ≤ 2n.

31

Dakle, (xn, n ∈ N) je Cauchyjev niz u X i neka je x = limn xn. Kako je xp ∈K(xn, rn),∀p ≥ n, vrijedi x ∈ K(xn, rn), n ∈ N. Odatle zakljucujemo da za svaki

n ∈ N, x /∈ An, odnosno x /∈ A.

2

Teorem 4.1 (Baireov teorem o kategorijama) Potpun metricki prostor je skup druge

kategorije. Stovise, svaki neprazan otvoren podskup potpunog metrickog prostora je skup

druge kategorije.

Dokaz:

I. Pretpostavimo da je potpun metricki prostor X prve kategorije, tj.

X =⋃n∈N

Xn, intXn = ∅ (n ∈ N).

Tada je i

X =⋃n∈N

Xn

sto je u suprotnosti s Lemom 4.1, te je X skup druge kategorije.

II. Uzmimo da je U ⊆ X otvoren neprazan skup i pretpostavimo da je U prve

kategorije, tj.

U =⋃n∈N

An, intAn = ∅ (n ∈ N). (1)

Ako je K ⊂ U zatvorena kugla, onda (1) povlaci

K =⋃n∈N

K ∩ An. (2)

Buduci da je int(K∩An) ⊆ intAn = ∅ i da je zatvorena kugla potpunog metrickog

prostora potpun metricki prostor, to je (2) u kontradikciji s Lemom 4.1. Dakle

je U skup druge kategorije.

2

Korolar 4.1 Neka je X potpun metricki prostor i Un, n ∈ N, gusti otvoreni skupovi u

X. Tada je skup

A =⋂n∈N

Un (3)

gust podskup u X.

32

Dokaz: Trebamo pokazati da A =⋂n∈N Un ima neprazan presjek sa svakim

nepraznim otvorenim podskupom V ∈ X, tj. V ∩⋂n∈N Un 6= ∅. Odaberimo neki

x0 ∈ V i r0 > 0 tako da je K(x0, r0) ⊂ V .

Tada odaberimo x1 ∈ K(x0, r0) ∩ U1 i r1 > 0 tako da je

K(x1, r1) ⊂ K(x0, r0) ∩ U1 i 0 ≤ r1 <r0

2

sto je uvijek moguce buduci da je U1 otvoren i gust. Induktivno konstruirajmo dva

niza (xn) i (rn) tako da

K(xn+1, rn+1) ⊂ K(xn, rn) ∩ Un+1, n ≤ 0 i 0 ≤ rn+1 <rn2.

Slijedi da je (xn) Cauchyjev niz te x = limn xn. Buduci da je xp ∈ K(xn, rn) za svaki

p > m, vrijedi x ∈ K(xn, rn), za svaki n ∈ N. Stoga, x ∈ V i x ∈ Un za svaki n, tj.

x ∈ V ∩⋂n∈N

Un.

2

Korolar 4.2 Neka je X potpun metricki prostor i (An, n ∈ N) niz skupova prve kate-

gorije u X. Tada je skup

B =⋂n∈N

(X\An) = X\(⋃n∈N

An) (4)

gust podskup u X i on je druge kategorije u X.

Dokaz: Neka je An =⋃j∈NAnj, intAnj = ∅, te pretpostavimo da B nije gust u X.

Tada postoji kugla K(x, r) ⊂ X takva da je K(x, r) ∩B = ∅. Odavde slijedi

K(x, r) ⊂ X\B ⊆⋃n,j∈N

Anj,

sto je nemoguce jer je kugla K(x, r) druge kategorije. Dakle je B gust skup u X.

Iz X = B ∪ (X\B) = B ∪ (⋃n∈NAn) i cinjenice da je skup An, n ∈ N, prve kategorije

na osnovi Teorema 4.1 nalazimo da B nije prve kategorije.

2

33

4.2. Teoremi uniformne ogranicenosti

Definicija 4.4 Neka je X Banachov prostor, Y normiran prostor i S ⊆ B(X, Y ).

S je uniformno ogranicen ako je

sup{||A||B(X,Y ) : A ∈ S} <∞,

odnosno, postoji K > 0 takva da, za svaki A ∈ S, vrijedi ||A||B(X,Y ) ≤ K.

Kazemo da je S jako ogranicen ako je

sup{||Ax||Y : A ∈ S} <∞ (x ∈ X),

odnosno, za svaki x ∈ X, postoji Mx > 0 takva da, za svaki A ∈ S, vrijedi ||Ax||Y ≤Mx.

Skup S je slabo ogranicen ako je

sup{|f(Ax)| : A ∈ S} <∞ (x ∈ X, f ∈ Y ′).

Teorem 4.2 (Banach-Steinhausov teorem) Neka su X i Y normirani prostori,

S ⊆ B(X, Y ) i X0 ⊆ X skup druge kategorije u X takav da je

sup{||Ax||Y : A ∈ S} <∞ (x ∈ X0). (5)

Tada je skup S uniformno ogranicen, tj.

sup{||A||B(X,Y ) : A ∈ S} <∞. (6)

Dokaz: Za A ∈ S i n ∈ N stavimo En = {x ∈ X : supA∈S||Ax||Y ≤ n}. To su

zatvoreni skupovi, pa je za svaki n ∈ N zatvoren i skup

Fn =⋂A∈S

En = {x ∈ X : ||Ax||Y ≤ n,A ∈ S}.

Takoder, X0 =⋃n∈N Fn, a buduci da je X0 druge kategorije u X, postoji m ∈ N

takav da je Fm druge kategorije, tj. postoji zatvorena kugla K(x0, r) ⊆ Fm = Fm.

Dakle, postoji m ∈ N, x0 ∈ X i r > 0 takvi da x ∈ K(x0, r) povlaci ||Ax||Y ≤ m,A ∈ S.

Tada za ||x|| ≤ r imamo x+ x0 ∈ Fm pa za svaki A ∈ S vrijedi

||Ax||Y = ||A(x+ x0)− Ax0||Y ≤ ||A(x+ x0)||Y + ||Ax0||Y ≤ 2n.

Drugim rijecima, A(K(0, r)) ⊂ K(0, 2n) za A ∈ S.

34

Buduci da to vrijedi za svaki A imamo

A(K(0, 1)) = A(δ 1rK(0, r)) = δ 1

rA(K(0, r)) ⊂ δ 1

rK(0, 2n) = K(0, 2n/r),

gdje δ 1r

oznacava ”sirenje” za 1r. Pokazali smo da ||x||X ≤ 1 povlaci ||Ax||Y ≤ 2n

r, te

||A||B(X,Y ) = sup{||Ax||Y : ||x||X ≤ 1} ≤ 2nr

, sto vrijedi za svaki A ∈ S.

2

U sljedecem teoremu karakteriziramo ogranicenost podskupa iz dualnog prostora

X′

pomocu djelovanja funkcionala iz toga podskupa na elemente Banachovog prostora

X.

Teorem 4.3 Neka je X Banachov prostor i S ⊆ X′. Sljedece tvrdnje su ekvivalentne:

a) sup{||F ||B(X,Φ) : F ∈ S} <∞;

b) sup{|F (x)| : F ∈ S} <∞ za svako x ∈ X.

Dokaz: Ako u Teoremu 4.2 uzmemo X0 = X, Y = R i A = F , onda tvrdnja (b)

prelazi u

sup{||Ax||Y : A ∈ S} <∞ (x ∈ X0).

Buduci da je Banachov prostor X skup druge kategorije, to je prema Teoremu 4.2

ekvivalentno s

sup{||A||B(X,Y ) : A ∈ S} <∞.

odnosno u nasem slucaju

sup{||F ||B(X,R) : F ∈ S} <∞.

2

U sljedecem teoremu pomocu neprekidnih funkcionala karakteriziramo ogranicenost

podskupa normiranog prostora.

Teorem 4.4 Neka je X normiran prostor i S ⊂ X. Sljedece tvrdnje su ekvivalentne:

a) sup{||x||X : x ∈ S} <∞;

b) sup{|F (x)| : x ∈ S} <∞ za svako F ∈ X ′.

Dokaz: Neka je κ : X → X′′

kanonsko ulaganje prostora X u X′′

definirano sa

(κx)(f) = f(x), f ∈ X ′, x ∈ X. Promatramo κ(S) ⊆ X

′′. Po pretpostavci je

sup{|(κx)(f)| : x ∈ S} = sup{|f(x)| : x ∈ S} <∞, f ∈ X ′.

35

Prema Teoremu 4.3 slijedi sup{||κ(x)||X : x ∈ S} < ∞. Odavdje zbog ||κ(x)||X =

||x||X , x ∈ X dobivamo sup{||x||X : x ∈ S} <∞ sto smo i trebali dokazati.

2

U sljedecem teoremu karakteriziramo ogranicenost podskupa prostora L(X, Y ) neprekid-

nih linearnih operatora s Banachovog prostora X u normiran prostor Y .

Teorem 4.5 Neka je X Banachov prostor, Y normiran prostor i S ⊆ B(X, Y ).

Sljedece tvrdnje su ekvivalentne:

a) sup{||A||B(X,Y ) : A ∈ S} <∞;

b) sup{||Ax||Y : A ∈ S} <∞ za svako x ∈ X;

c) sup{|f(Ax)| : A ∈ S} <∞ za svako x ∈ X i svako f ∈ Y ′.

Dokaz: Buduci da je Banachov prostor X skup druge kategorije, Teorem 4.2 daje

implikaciju (b)⇒ (a).

Pokazimo sada da (c)⇒ (b). Neka je dakle

sup{|f(Ax)| : A ∈ S} <∞ (x ∈ X, f ∈ Y ′). (7)

Ako za x ∈ X stavimo y = Ax, onda (7) prelazi u

sup{|f(y)| : y ∈ Y } <∞ (f ∈ Y ′),

sto prema Teoremu 4.4. daje

sup{||y||Y : y ∈ S} <∞.

Dakle je

sup{||Ax||Y : A ∈ S} <∞ (x ∈ X).

Time je implikacija (c)⇒ (b) dokazana.

2

Definicija 4.5 Funkcija B : X1×X2 → Y je bilinearan operator ako vrijedi linearnost

u prvoj i linearnost u drugoj varijabli, tj.

B(λ1x1 + λ2x2, y) = λ1B(x1, y) + λ2B(x2, y)

B(x, µ1y1 + µ2y2) = µ1B(x, y1) + µ2B(x, y2)

36

Teorem 4.6 (Mazur-Orlicz) Neka su X1, X2 i Y normirani prostori nad istim pol-

jem i B : X1×X2 → Y bilinearan operator neprekidan u svakoj varijabli posebno. Ako

je jedan od prostora X1, X2 potpun, onda je B neprekidan operator u obje varijable.

Dokaz: Uzmimo da je X1 potpun prostor. Za x1 ∈ X1 sa x2 7→ B(x1, x2) je defini-

ran neprekidan linearan operator na X2. Sa M(x1) oznacimo normu toga operatora i

sa K2 jedinicnu kuglu prostora X2 Tada je

||B(x1, x2)|| ≤M(x1) (x2 ∈ K2). (8)

Operator Bx2 : x1 7→ B(x1, x2) je neprekidan na X1, pa (8) daje

sup{||Bx2(x1)|| : x2 ∈ K2} <∞ (x1 ∈ X1).

Buduci da je X1 potpun prostor Teorem 4.5 ((b) ⇒ (a);X = X1, S = K2) daje

egzistenciju broja M ≥ 0 takvog da je

||Bx2|| ≤M (x2 ∈ K2).

Dakle ||x1|| ≤ 1 i ||x2|| ≤ 1 povlaci

||B(x1, x2)|| = ||Bx2(x1)|| ≤M.

Odavde nalazimo

||B(x1, x2)|| ≤M ||x1|| · ||x2|| (x1 ∈ X1, x2 ∈ X2).

2

37

Literatura

[1] A. C. R. Belton, Functional Analysis, University of Oxford, Oxford, 2006.

[2] H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations,

Springer, New York Dordrecht Heidelberg London, 2011.

[3] W. Chen, Linear Functional Analysis, Macquarie University, Sydney, 2008.

[4] B. Guljas, Metricki prostori, Zagreb, 2010.,

http://www.mathos.hr/metricki/nastavni-materijali/guljas-metprost12.pdf

[5] B. Guljas, Normirani prostori i operatori, Zagreb, 2010.,

http://web.math.pmf.unizg.hr/~guljas/skripte/normirani_prostori.pdf

[6] H. Kraljevic, Operatorske algebre, Sveuciliste u Zagreb, PMF - Matematicki odsjek,

Zagreb, 2011.

[7] H. Kraljevic, Vektorski prostori, Sveuciliste u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek,

2005.

[8] S. Kurepa, Funkcionalna analiza: Elementi teorije operatora, 2. izd., Skolska knjiga,

Zagreb, 1990.

[9] S. Serfaty, Functional Analysis, New York University, Department of Mathematics,

New York, 2006.

[10] T.B. Ward, Functional Analysis, School of Mathematics, University of East Anglia,

Norwich, 2001.

[11] I. F. Wilde, Functional Analysis, King’s College London, London, 2009.

[12] K Yosida, Functional Analysis, 6th ed., Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New

York, 1980.

38

Sazetak

U radu smo dokazali dva osnovna teorema funkcionalne analize, Hahn-Banachov te

Banach-Steinhauseov teorem. Rad pocinje definicijom vektorskog prostora i linearnih

operatora. Nakon toga smo definirali skalarni produkt, normu i normirani prostor s

odgovarajucim primjerima. Definirali smo Banachov i Hilbertov prostor te ekvivalen-

ciju normi. U drugom smo dijelu definirali ogranicene linearne operatore i normirani

prostor operatora te iskazali i dokazali Hahn-Banachov teorem za realni i kompleksni

vektorski prostor te normirani prostor. Na kraju rada smo iskazali i dokazali Baireov

teorem o kategorijama, Banach-Steinhauseov teorem te nekoliko drugih teorema uni-

formne ogranicenosti.

39

Hahn-Banach and Banach-Steinhaus Theorem

Summary

In this paper we proved two fundamental theorems in basic Functional Analysis, Hahn-

Banach and Banach-Steinhaus theorem. This paper starts with definition of vector

space and linear operators. After that, we defined scalar product, norm and normed

space with appropriet examples. We defined Banach and Hilbert space, and equivalence

of norms. In second part, we defined bounded linear operators and normed space of

operators. We proved Hahn-Banach theorem for real and complex vector space and

normed space. In the end of this paper we stated and proved Bair category theorem,

Banach-Steinhaus theorem and few other uniform boundedness theorems.

40

Zivotopis

Roden sam 28.12.1984. u Osijeku. Od 1991.-1999. godine sam pohadao Osnovnu

skolu Ivan Filipovic u Osijeku. Nakon osnovne skole, 1999. godine, upisao sam I. gim-

naziju u Osijeku koju sam zavrsio 2003. godine. 2004. godine sam upisao preddiplom-

ski sveucilisni studij matematike na Odjelu za matematiku u Osijeku. 2007. godine sam

zavrsio preddiplomski sveucilisni studij matematike i upisao sveucilisni diplomski studij

financijske i poslovne matematike na Odjelu za matematiku koji jos uvijek pohadam.

2010. godine sudjelovao sam u projektu medunarodne razmjene studenata preko stu-

dentske udruge IAESTE Croatia. Strucnu praksu obavio sam na Fakultetu matematike

i racunarstva Sveucilista u Lodzu, Poljska (Faculty of Mathematics and Computer Sci-

ence, University of Lodz, Lodz, Poland) u razdoblju 10.07.-17.08.2010. 2011. godine

zavrsio sam program Pedagosko-psiholosko-didakticko-metodicke izobrazbe na Filozof-

skom fakultetu Sveucilista u Osijeku.

41