Diofanto de Alejandría

(Siglo III) Matemático griego. Sus escritos contribuyeron de forma notable al perfeccionamiento de la notación algebraica y al desarrollo de los conocimientos del álgebra de su época. Mediante artificios de cálculo supo dar soluciones particulares a numerosos problemas, y estableció las bases para un posterior desarrollo de importantes cuestiones matemáticas. De su obra se conservan varios volúmenes de la Aritmética (libro de inspiración colectiva, pero redactado por un solo autor) y fragmentos de Porismas y Números poligonales.

Nada sabemos acerca de la patria de este matemático griego y muy poco referente a su vida. Perteneció a la escuela alejandrina, nació hacia el 250 y murió a los ochenta y cuatro años. Una dedicatoria suya a cierto Dionisio, que se ha querido identificar con el coetáneo santo del mismo nombre, obispo de París, ha inducido a creerle cristiano.

Por su originalidad y sus aportaciones, Diofanto fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos. En una época de decadencia y de pura exégesis, como era el siglo en que vivió, su obra constituye una notabilísima excepción. Generalmente se le atribuye la introducción del cálculo algebraico en las matemáticas. Según parece, inició el empleo sistemático de símbolos para indicar potencias, igualdades o números negativos.

De la obra de Diofanto conservamos los seis primeros libros y un fragmento del séptimo de un tratado titulado Aritmética, integrado originariamente por trece. Los libros conservados contienen un tratado sobre las ecuaciones y sobre sistemas de ecuaciones determinados e indeterminados, en el que se busca, de modo sistemático, la solución en números racionales. Ha llegado también hasta nosotros un texto suyo sobre Números poligonales. Los antiguos juzgaban también suyos un libro de Porismas y un tratado acerca de las fracciones, Moriastica.

Históricamente, la Aritmética tuvo máxima importancia, porque ejerció una influencia notabilísima tanto sobre el desarrollo del álgebra entre los árabes (que en el siglo X la tradujeron a su lengua) como sobre la moderna teoría de los números. Traducida al latín en 1571, fue publicada en el texto griego en el siglo XVII por Bachet de Méziriac, quien halló en ella el modo de desarrollar el llamado análisis determinado.

Quizás el tratado numérico de las ecuaciones puede ser considerado en sus orígenes más como un resultado de la ciencia pitagórica que como obra de Diofanto; pero éste, con su superior habilidad en el cálculo, logró dar una colección de problemas resueltos sin recurrir a la representación geométrica constantemente empleada por Euclides, sirviéndose de artificios siempre ingeniosos, aunque la crítica moderna no sea unánime a la hora de justificar su legitimidad.

Diofanto de Alejandría

Diofanto de Alejandría (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 – fallecido alrededor de 284/298) fue un antiguo matemático griego. Se considera a Diofanto el padre delálgebra.

Es mejor conocido por su Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de números. sin embargo se sabe muy poco sobre su vida y ha existido mucho debate con respecto a la época en la que vivió.

Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega:

“Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.”

donde x es la edad que vivió Diofanto

75 x=84 x−756

756=9 x

x=84

75x = 84x – 756

756 = 9x

x = 84

Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió.

Diofanto cita la definición de un número poligonal a partir del trabajo de Hipsicles, de modo que se sabe a ciencia cierta que eso lo escribió después del año 150 a.c. Por otra parte Teón, padre de Hipatia, cita una de las definiciones de Diofanto, lo cual significa que Diofanto lo escribió antes del 350 d.c., lo cual deja un lapso de tiempo demasiado grande entre ambas fechas 500 años.

Si es el mismo astrónomo Diofanto que comentó Hipatia (fallecida en 415), habría fallecido antes del siglo V, pero si se trata de personas distintas cabe pensar que vivía a finales de dicho siglo, ya que ni Proclo ni Papo le citan, lo que resulta difícil de entender tratándose de

un matemático que pasa por ser el inventor delálgebra. En opinión de Albufaraga, Diofanto vivía en los tiempos del emperador Juliano, hacia 365, fecha que aceptan los historiadores.

Otros historiadores consideran a partir de una carta de Diofanto a Anatolio, que parece que era el Obispo de Laodicea en el año 280 y que fue su discípulo, que vivió en el siglo III.

A partir de la dedicatoria de la aritmética que está dirigida a Dionisio, que podría tratarse del Obispo de Alejandría que vivió en el año 247 d.c., también podría deducirse que vivió en el siglo III.

El matemático alejandrino debe su renombre a su obraArithmetica. Este libro, que constaba de trece libros de los que sólo se han hallado seis, fue publicado por Guilielmus Xylander en1575 a partir de unos manuscritos de la universidad de Wittenberg, añadiendo el editor un manuscrito sobre números poligonales, fragmento de otro tratado del mismo autor. Los libros faltantes parece que se perdieron tempranamente ya que no hay razones para suponer que los traductores y comentaristas árabes dispusieran de otros manuscritos además de los que aún se conservan.

En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de problemas. Importante fue también su contribución en el campo de la notación; si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida (στ) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita (δς para el cuadrado, δδς para el duplo del cuadrado, χς para el cubo, δχς para la quinta potencia, etc.).

En 1621 vio la luz una edición comentada de Bachet de Meziriac, edición reimpresa con posterioridad en 1670 por el hijo de Pierre de Fermat incluyendo los comentarios que el célebre matemático francés había realizado en los márgenes de un ejemplar de la edición de Bachet que poseía. En una de dichas anotaciones se exponía, sin demostración, el último teorema de Fermat.

Obtenido de “http://es.wikipedia.org/wiki/Diofanto_de_Alejandr%C3%ADa“

Una de las contribuciones importantes de Diofanto corresponde al campo de la notación. Los historiadores de la matemática distinguen tradicionalmente tres etapas en el desarrollo del álgebra: palabras, (b) la etapa intermedia o sincopada , en la cual se utilizan algunas abreviaturas y (c) la etapa final o simbólica. El álgebra de Diofanto se ubica de plano en la segunda de estas categorías. Los signos utilizados en la Arithmetica no son, en realidad, símbolos algebraicos, como los concebimos actualmente, sino abreviaturas (por ejemplo, para cada potencia de la incógnita existía un signo especial).

De él ha llegado hasta nosotros Sobre los números poligonales (o Numeris Multangulis), Porismas (que se cree formaba parte de la Arithmetica), Sobre los números fraccionarios y la Arithmetica.

La Arithmetica no es propiamente un texto de álgebra sino una colección de problemas (150). No se sabe cuantos de ellos son originales o tomados de otros tratados de la época; Diofanto presenta en todos ellos una solución única y no establece distinción entre problemas determinados e indeterminados. Tampoco existe ningún orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los métodos de resolución

  Arithmetica Libro I   Contiene 25 problemas de primer grado y 14 de segundo.

  Arithmetica Libro II   Consta de 35 problemas. El problema 8, sin duda el más famoso, dió lugar al llamado “teorema de Fermat”

II. 8 Descomponer un cuadrado en dos cuadrados“Si queremos descomponer 16 en dos cuadrados y suponemos que el primero es 1 aritmo, el otro tendrá 16 unidades menos un cuadrado de aritmo, y, por tanto, 16 unidades menos un cuadrado de aritmo son un cuadrado.Formenos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmos disminuido en tantas unidades como tiene la raiz de 16 unidades, y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este ciadrado tendrá cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo y sumando a uno y otro lado los téminos negativos y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos y, por tanto, 1 airtmo vale 16/5; luego uno de los números es 256/25 y otro 144/25, cuya suma es 400/25, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es un cuadrado”

Diofanto resuelve la ecuación

x 2 + x 2 = 16

haciendo y 2 = 16 – a 2 que identifica con una expresión de la forma (ka – 4)  2 y haciendo k = 2 obtiene

y 2 = 16 – a 2 = (2a – 4) 2

e identificando llega a a = 16/5 de donde x = 16/5 e y = 12/5

  Arithmetica Libro III   Consta de 21 problemas. El más famoso es el 19 en el que por primera vez acude a la geometría para solucionarlo.III. 19 Encontrar cuatro números tales que el cuadrado de la suma de los cuatro, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forma un cuadrado.

Arithmetica Libro IV   Casi todos los problemas de este libro (40) se refieren a números cúbicos. Como lo griegos no conocían las fórmula de la ecuación cúbica, la sagaz elección de los datos por parte de Diofanto hace que se llegue a una solución aceptable. Y como muestra un botónIV. 1 Descomponer un número dado en dos cubos cuya suma de raíces sea dada“Si el número es 370 y la suma de las raíces 10, supongamos que la raíz del primer cubo es 1 aritmo y 5 unidades, o sea: la mitad de la suma de las raíces. Por tanto, la raíz del otro cubo será 5 unidades menos 1 aritmo; luego la suma de los cubos valdrá 30 cuadrados de aritmo

más 250 unidades que igualaremos a las 370 unidades del número dado, de donde se deduce que 1 aritmo tiene 2 unidades; la raíz del primer cubo tendrá entonces 7 y la del segundo 3, y, por consiguientes, los cubos serán 343 y 27″

Con la notación actual, Diofanto resuelve el sistema formado por las ecuaciones

x 3 + y 3 = 370x + y = 10

Para lo que supone que x = aritmo + 5 y que y = 5 – aritmo . (en lo que sigue designaremos el aritmo por a).Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuación y desarrollando tendremos:

(a + 5) 3 + (5 – a) 3 = 30 a 2 + 250 = 370

y para a = 2 obtiene x = 7, y = 3.

Arithmetica Libro V   La mayoría de los problemas propuestos (28 de los 30 que tiene el libro) son problemas de segundo y tercer grado. En el último, el 30, Diofanto se aparta de su costumbre y propone un problema de los que hoy denominaríamos de “mezclas”V. 30 Una persona se embarcó con sus sirvientes, quienes le encargaron que les fuera útil. Mezcló garrafas de vino, unas de 8 dracmas y otras de 5, y pagó por todo un número cuadrado que, aumentado en el número de unidades que se te indicará, 60, hará que tengas otro cuadrado cuya raíz es el número total de garrafas. Averigua cuántas había de 8 y cuántas de 5 dracmas”

Arithmetica Libro VI  . Dedicado a resolver triángulos rectángulos de lados racionales; consta de 24 problemas.

En honor de Diofanto las ecuaciones con coeficientes enteros cuyas soluciones son también enteras se denominan ecuaciones diofánticas. Las más sencillas son las ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma Ax ± By = C

Diofanto, Fermat y la Arithmetica han estado estrechamente relacionados a lo largo de la historia de las matemáticas. Todo empezó cuando Fermat, en su ejemplar de la Arithmetica, escribió al lado del problema 8 del Libro II:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius demostrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet

Es decir, que la ecuación

x n + y n = z n

no tiene soluciones enteras para n > 2.En el caso n = 2 una solución es(x, y, z) = (3, 4, 5) y ya se conocía desde la Grecia clásica.En general pueden obtenerse estas ternas, denominadaspitagóricas, a partir de la expresión

x = 2n + 1y = 2n 2 + 2nz = 2n 2 + 2n + 1

para n = 1, 2, 3, …En Euclides. Elementos X 28 Lema I aparece la expresión general de estas ternas:

x = a 2 – b 2

y = 2abz = a 2 + b 2

Sin embargo, la demostración de esta proposición ha sido, hasta hace poco, el problema más famoso, al menos más popular, de las matemáticas y a su resolución se haya unido el nombre de grandes matemáticos.Al mismo Fermat se le atribuye una demostración para el caso n = 4 y a Euler una para n = 3. Dirichlet (1805-1859) y Legendre(1752-1833) también intevinieron y probaron la proposición para n = 5Y muchos otros como Sophie Germain, Lamé, Kummer,Gerd Faltings (que por sus aportaciones recibió en 1986 unamedalla Fields) pero esta columna es demasiado estrecha para contenerlos a todos. En 1995 el inglés Andrew Wiles lo logró para unos y es discutible para otros.

Diofanto de Alejandría

Esta semana en la lectura del capítulo del libro Historia de la Matemática de , titulado La Hegemonía Árabe, se mencionaba el nombre de Diofanto de Alejandría, como a uno de los personajes que se le ha atribuido el título de "padre del Álgebra", al igual que a Al-Khowarizmi. Pero: ¿Quién fue este personaje?

Diofanto (Diophantus) nació en la ciudad de Alejandría (ubicada en Egipto, dentro del continente africano), alrededor del año 200; y su vida es muy desconocida: algunos datos biográficos suyos proceden de la Antología Griega, compilada por Metrodorus alrededor del año 500 d.C.; donde procede la información de que Diofanto se casó a los 26 años y tuvo un hijo que murió a la edad de 42, cuatro años antes de la suya, que fue a los 84 años (año 284).

Entre sus obras que han pasado a la posteridad, se encuentra la titulada Arithmetica, que originalmente era una colección de 13 libros, de los cuales sólo se conservan seis; que se caracterizan por contar con 189 ingeniosos problemas algebraicos resueltos, donde es el primero emplear símbolos para las incógnitas, para las potencias de símbolos y para las sumas y restas; a pesar de que estos sean muy rudimentarios, le sirvieron para escribir las primeras expresiones polinómicas. 

Aquí les explico algunos de ellos:

Empleó el signo V' (llamado "aritmo") para la incógnita, debido a que era la única letra que quedaba libre de su alfabeto, ya que todas las demás designaban algún número.

Para las potencias, el exponente siempre era el mismo (simbolizado por un u con una barra encima), y la base era la que indicaba el valor. En la siguiente tabla se resumen la potencia cuadrática y cúbica.

Para la suma empleaba el m, mientras que para la resta el fm.

DIOFANTO

Es dificil encontrar algo mas de este matematico, la verdad que es casi imposible, pero solo les puedo dejar lo que encontre...

Nació: alrededor del año 200 Murió: alrededor del año 284Matemático griego que floreció en Alejandría alrededor del año 275. Es sin duda el más grande algebrista griego. Nada se conoce de su vida, pero si que han llegado a nuestras manos gran cantidad de trabajos. Resolvió problemas con ecuaciones algebraicas e inventó un formulismo particular. Su principal obra es la "Arithmetica", dedicada casi exclusivamente a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas, de forma que la rama del análisis que se dedica a esta tarea, se conoce hoy en día como análisis diofántico.

La obra más conocida de Diofanto es Aritmética, una colección de 130 problemas, distribuidos en 13 libros, de los que sólo se conservan 6. La mayoría de los problemas son de ecuaciones lineales y cuadráticas, pero siempre con solución positiva y racional, pues en aquella época no tenían sentido los números negativos y mucho menos los irracionales.

Diofanto consideró tres tipos de ecuaciones de segundo grado:

ax2 + bx = cax2 = bx + cax2 + c = bx

El motivo de no considerar estas ecuaciones como una sola es que en aquella época no existía el cero ni los números negativos.

Aritmética también trata sobre teoría de números. Parece ser que Diofanto sabía que ningún número de la forma 4n + 3 o 4n - 1 puede obtenerse como la suma de dos cuadrados, ni ningún número de la forma 24n + 7 puede obtenerse como la suma de tres cuadrados.

Diofanto introdujo símbolos para representar las cantidades desconocidas y una abreviatura para la palabra igual. Esto fue un paso muy importante hacia el álgebra simbólica actual.

Aritmetica ha sido un libro muy influyente en el desarrollo de la matemática. La traducción más famosa es la de Bachet en 1621, que es la edición en que Fermat hizo su célebre anotación.Su obra se caracteriza por su estilo analítico propio, único en toda la literatura matemática antigua. Los escritos de Diofanto contribuyeron de manera esencial para el perfeccionamiento de la notación algebraica, a la vez que abrieron nuevas perspectivas para el desarrollo del álgebra de la época. La obra de Diofanto sirvió de base a tres importantes corrientes de la matemática posterior: la geometría analítica, el álgebra moderna y la teoría de números.

Se puede considerar a Diofanto como el fundador del Álgebra.

Diofanto escribió otros libros, como Porismas, que se ha perdido y otro Sobre números poligonales que ha llegado hasta nuestros días. Otro trabajo titulado Preliminares a los elementos de geometría, que se atribuía a Heron, se cree que pertenece a Diofanto.

DIOFANTO:

Matemático griego que vivió en el siglo III, considerado el padre del álgebra y conocido principalmente por su obra Aritmética, la primera obra en la que se trata esta materia de forma sistemática.

De su vida no se conoce prácticamente nada. Sabemos que vivió 84 años, gracias a un problema que un discípulo suyo escribió en su tumba a modo de epitafio: "Transeúnte, aquí yace Diofanto. Es él quien con esta sorprendente distribución te confiesa el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida. Después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

Los seis tomos que se conservan de Aritmética -originariamente la obra constaba de trece volúmenes- constituyen el trabajo más importante sobre álgebra de toda la matemática griega. Diofanto partió de la soluciones positivas de varios problemas concernientes a las ecuaciones lineales y cuadráticas. Un tipo de ecuaciones desarrolladas por Diofanto en Aritmética son las que se conocen como ecuaciones diofánticas, que relacionan dos o más incógnitas mediante sumas, multiplicaciones y divisiones, y de las que sólo se consideran las soluciones enteras. Otra de las aportaciones de Diofanto fue la introducción de símbolos para representar cantidades y operaciones matemáticas, además de una abreviatura de la palabra "igual", lo que permitió una gran agilización a la hora de obtener resultados algebraicos. A Diofanto también se le atribuye la obra titulada Porismas.

Un ejemplar de la traducción al latín que hizo Bachet de Aritmética se hizo especialmente famoso. Fue el que tenía como dueño a Pierre de Fermat, quien lo utilizó como principal objeto de estudio. En uno de sus márgenes el matemático francés escribió muchos de sus enunciados, entre los que se encontraba la famosa nota donde se enunciaba lo que hoy se conoce como el último teorema de Fermat. Una edición de este libro, con las numerosas notas marginales de Fermat, fue publicado en 1670 por su hijo Clemente Samuel.

Poco se conoce sobre la vida deDiofanto. Las "Esta es la tumba que guarda las

investigaciones más creibles lo situan hacia la segunda mitad del siglo III, siendo contemporáneo de Pappo.Es clásico el epitafio en la Antología de Metrodoro. El mismo, con las debidas reservas, nos lleva a calcular una edad de 84 años.De él ha llegado hasta nosotros Sobre los números poligonales (o Numeris Multangulis), Porismas (que se cree formaba parte de la Arithmetica), Sobre los números fraccionarios y naturalmente la Arithmetica

cenizas de Diofanto.Es verdaderamente maravillosa

porque, gracias a un artificio geométrico, descubre toda su existencia. Dios le permitió ser

niño durante 1/6 de su vida;luego de 1/2 sus mejillas se

cubrieron de barba; después de 1/7 se encendió la llama del

matrimonio, del que, a los cinco años, tuvo un hijo; pero este niño,

desgraciado aunque amado apasionadamente, murió apenas

llegó a la mitad de la vida alcanzada por su padre, el cuál vivió cuatro años más mitigando

su dolor con investigaciones sobre la ciencia de los números"

 "Como sé, muy honorable Dionisio,

que quieres aprender a resolver problemas numéricos, he

emprendido la tarea de exponer la naturaleza y el poder de los

números, empezando por las bases que sustentan estas

cuestiones. Es posible que parezcan más difíciles de lo que son por ser desconocidas aún y que los

principiantes duden de conseguir

La Arithmetica fué un tratado de 13 libros del que sólo se conocen los seis primeros. Fué encontrada en Venecia por Johann Müller (Regiomontanus, matemático y astrónomo alemán) hacia 1464 y la primera traducción latina pertenece a Wilhelm Holzmann (1532-1576) Diophanti Alexandrini Rerum libri sex, Basilea, 1575. En 1621 aparece la edición de Bachet de Méziriac con el siguiente título: Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex; et de Numeris multangulis liber unus. Nunc primun graece et latini editi atque absolutissimis commentariis illustrati, Paris 1621 (que contine además del texto griego y la traducción latina aclaraciones y notas).En el gráfico puede verse una edición realizada por Fermat hijo (sobre la traducción de Bachet) que incluye impresas las anotaciones de su padre.

La Arithmetica no es propiamente un texto de álgebra sino una colección de problemas (150).

alcanzarlas, pero las comprenderás fácilmente gracias a

tu actividad y a mis demostraciones, pues que el deseo

unido a la enseñanza conduce rápidamente al conocimiento [...]"

Diofanto continúa en el prefacio presentando las normas indispensables para leer la obra.

Diofanto, Fermat y la Arithmetica han estado estrechamente relacionados a lo largo de la historia de las matemáticas. Todo empezó cuando Fermat, en su ejemplar de la Arithmetica, escribió al lado del problema 8 del Libro II:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos

quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius demostrationem mirabilem sane detexi. Hanc

marginis exiguitas non caperet

Es decir, que la ecuación

No se sabe cuantos de ellos son originales o tomados de otros tratados de la época; Diofanto presenta en todos ellos una solución única y no establece distinción entre problemas determinados e indeterminados. Tampoco existe ningún orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los métodos de resolución

  Arithmetica Libro I   Contiene 25 problemas de primer grado y 14 de segundo.

  Arithmetica Libro II   Consta de 35 problemas. El problema 8, sin duda el más famoso, dió lugar al llamado "teorema de Fermat"

II. 8 Descomponer un cuadrado en dos cuadrados"Si queremos descomponer 16 en dos cuadrados y suponemos que el primero es 1 aritmo, el otro tendrá 16 unidades menos un cuadrado de aritmo, y, por tanto, 16 unidades menos un cuadrado de aritmo son un cuadrado.Formenos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmos disminuido en tantas unidades como tiene la raiz de 16 unidades, y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este ciadrado tendrá cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo y sumando a uno y otro lado los téminos negativos y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos y, por tanto, 1 airtmo vale 16/5; luego uno de los números es 256/25 y otro 144/25, cuya suma es 400/25, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es un cuadrado"

Diofanto resuelve la ecuación

x 2 + x 2 = 16

haciendo y 2 = 16 - a 2 que identifica con una expresión de la forma (ka - 4) 2 y haciendo k = 2 obtiene

y 2 = 16 - a 2 = (2a - 4) 2

e identificando llega a a = 16/5 de donde x =

x n + y n = z n

no tiene soluciones enteras para n > 2.En el caso n = 2 una solución es(x, y, z) = (3, 4, 5) y ya se conocía desde la Grecia clásica.En general pueden obtenerse estas ternas, denominadas pitagóricas, a partir de la expresión

x = 2n + 1y = 2n 2 + 2n

z = 2n 2 + 2n + 1

para n = 1, 2, 3, ...En Euclides. Elementos X 28 Lema I aparece la expresión general de estas ternas:

x = a 2 - b 2

y = 2abz = a 2 + b 2

Sin embargo, la demostración de esta proposición ha sido, hasta hace poco, el problema más famoso, al menos más popular, de las matemáticas y a su resolución se haya unido el nombre de grandes matemáticos.Al mismo Fermat se le atribuye una demostración para el caso n = 4 y aEuler una para n = 3. Dirichlet(1805-1859) y Legendre (1752-1833) también intevinieron y probaron la proposición para n = 5

16/5 ey = 12/5

  Arithmetica Libro III   Consta de 21 problemas. El más famoso es el 19 en el que por primera vez acude a la geometría para solucionarlo.III. 19 Encontrar cuatro números tales que el cuadrado de la suma de los cuatro, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forma un cuadrado.

  Arithmetica Libro IV   Casi todos los problemas de este libro (40) se refieren a números cúbicos. Como lo griegos no conocían las fórmula de la ecuación cúbica, la sagaz elección de los datos por parte de Diofanto hace que se llegue a una solución aceptable. Y como muestra un botónIV. 1 Descomponer un número dado en dos cubos cuya suma de raíces sea dada"Si el número es 370 y la suma de las raíces 10, supongamos que la raíz del primer cubo es 1 aritmo y 5 unidades, o sea: la mitad de la suma de las raíces. Por tanto, la raíz del otro cubo será 5 unidades menos 1 aritmo; luego la suma de los cubos valdrá 30 cuadrados de aritmo más 250 unidades que igualaremos a las 370 unidades del número dado, de donde se deduce que 1 aritmo tiene 2 unidades; la raíz del primer cubo tendrá entonces 7 y la del segundo 3, y, por consiguientes, los cubos serán 343 y 27"

Con la notación actual, Diofanto resuelve el sistema formado por las ecuaciones

x 3 + y 3 = 370 x + y = 10

Para lo que supone que x = aritmo + 5 y quey = 5 - aritmo . (en lo que sigue designaremos el aritmo por a).Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuación y desarrollando tendremos:

(a + 5) 3 + (5 - a) 3 = 30 a 2 + 250 = 370

y para a = 2 obtiene x = 7, y = 3.

  Arithmetica Libro V   La mayoría de los

problemas propuestos (28 de los 30 que tiene el libro) son problemas de segundo y tercer grado. En el último, el 30, Diofanto se aparta de su costumbre y propone un problema de los que hoy denominaríamos de "mezclas"V. 30 Una persona se embarcó con sus sirvientes, quienes le encargaron que les fuera útil. Mezcló garrafas de vino, unas de 8 dracmas y otras de 5, y pagó por todo un número cuadrado que, aumentado en el número de unidades que se te indicará, 60, hará que tengas otro cuadrado cuya raíz es el número total de garrafas. Averigua cuántas había de 8 y cuántas de 5 dracmas"

  Arithmetica Libro VI  . Dedicado a resolver triángulos rectángulos de lados racionales; consta de 24 problemas.

En honor de Diofanto las ecuaciones con coeficientes enteros cuyas soluciones son también enteras se denominan ecuaciones diofánticas. Las más sencillas son las ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma Ax ± Bx = C

Ejemplo Hemos comprado libros de una oferta por 86 € el volumen y en otra oferta libros a 76 € volumen pagando en total 1176 €. Deseamos saber cuátos libros se han comprado de cada oferta

 Si x es el número de libros del primer lote e y del segundo podemos plantear la ecuación

68 x + 76 y = 1176

La condición necesaria para que este tipo de ecuaciones admita solución es que C sea divisible por el m.c.d(A,B), en nuestro caso

m.c.d(68, 76) = m.c.d(68, 76) = 4

con lo que la ecuación inicial quedará de la forma 17 x + 19 y = 294 y los coeficientes de x e y, 17 y 19, son primos entre sí.

Veremos a continuación que este tipo de ecuaciones de la forma ax ± by = cadmite siempre soluciones enteras. Por ejemplo, despejando

ax y dando a y los valores 0, 1, 2, ..., a - 1, resultan los a números

y ax = c + by

0 c

1 c + b

2 c + 2b

... ... ...

k c + kb

... ... ...

h c + hb

... ... ...

a - 1 c + b (a - 1)

En donde nos hemos ajustado al casoax - by = c.

Al dividir cada uno de los a números de la segunda columna por a, para obtener x, obtendremos siempre restos distintos. En efecto. Supongamos que para los valores k y h diesen el mismo resto. Entonces los números c + kb y c + hb serín congruentes módulo a, es decir

Teniendo en cuenta el Teorema Fundamental de las Congruencias (La condición necesaria y suficiente para que dos números sean congruentes módulo m es que su diferencia sea un mútiplo de m) resultará que la diferencia de los números c + kb yc +

hb debe ser un múltiplo de a, es decir   y como a y b son primos entre sí debería ser la diferencia k - h un múltiplo de a, pero eso no es posible pues h y k son distintos y menores que a.

 Apliquemos dicho razonamiento al problema y tendremos

y 17 x = 294 - 19y x = (294 - 19y)/17

0 17x = 294 x = 294/17

1 17x = 294 - 19 = 275 x = 275/17

2 17x = 294 - 38 = 292 x = 291/17

3 17x = 294 - 57 = 237 x = 237/17

4 17x = 294 - 76 = 218 x = 218/17

... ... ... ... ...

Puede comprobarse que para los valores5, 6, 7, 8, 9 y 10 no se obtiene solución entera, pero ...

11 17x = 294 - 209 = 85 x = 85/17 = 5

Luego se han comprado x = 5 libros de 68 € e y = 11 libros de 76.

 Ya vemos la laboriosidad de este método, pero el gran Euler propuso el práctico y elegante que ahora se expone.Consideramos el coeficiente más pequeño de x e y, en nuestro caso 17, el coeficiente de x. Despejamos x, efectuamos el cociente y asociando tendremos:

y como x debe ser entera, para y = 11 resulta   y se obtienex = 17 - 11 - 1 = 5