ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA JULIO GARAVITO

Diseño básico de una Cercha mediante método LRFD

Miguel Prada

José Suarez

Facultad de Ingeniería Civil

M.Sc.I.C. Sofía Andrade Pardo

Mecánica Estructural

BOGOTÁ, 2015-1

1. INTRODUCCIÓN

Se presenta el diseño básico de una cercha bajo el método LRFD (Load

and Resistance Factor Design) bajo el cual se baja la normativa CCDSP

(Código Colombiano de Diseño Sísmico de Puentes). Es necesario aclarar

las limitaciones de este diseño:

No se definirán las conexiones entre los elementos.

Solo se diseña la cercha; el diseño del pavimento, la capa de

rodadura y las vigas de soporte de la losa no se incluyen.

Se asumen cargas vivas puntuales ya calculadas, es decir, no se

analizarán las trayectorias que se deberá tomar para probar la

resistencia del puente.

No se toma en cuenta la carga de impacto de las fuerzas dinámicas

que actúan en la estructura

Aunque se encontrarán los elementos que están a compresión, estos

no se diseñarán.

Se diseñará el elemento a mayor solicitación por tensión

No se revisará estado límite por fractura.

Sólo se tendrán en cuenta cargas vivas y muertas. Esto es, el puente

no será analizado por cargas de sismo, viento o lluvia.

2. MARCO TEÓRICO – Filosofía de Diseño LRFD

Toda edificación debe obedecer a funciones estéticas, de resistencia y de

servicio; el diseño de estructuras obedece, especialmente, a las dos

últimas. El principal objetivo del diseño se resume en la siguiente relación:

𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ≥ 𝑆𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

Las solicitaciones de una estructura son todas las cargas a las que se verá

sometida; las cargas pueden dividirse en varios grupos según su origen:

Cargas Muertas: Incluye los pesos propios de la estructura, muros, pisos, cubierta, cielos rasos, escaleras, equipos fijos y, en general, todas aquellas cargas gravitacionales que no son causadas por la ocupación y uso de la edificación y que deban ser soportadas por ésta; en consecuencia, se conoce con bastante aproximación. Al calcularlas deben usarse las densidades reales de los materiales. En el capítulo B.3 de las Normas NSR-10 se encuentran como guía los valores mínimos que pueden utilizarse con este fin. Debe tenerse especial cuidado al evaluar la carga muerta causada por las fachadas, muros divisorios, particiones y acabados. Las Normas

prescriben valores mínimos por estos conceptos que no pueden infringirse sin la debida justificación. Cargas Vivas: La carga viva son cargas gravitacionales de ocupación, móviles o movibles, que generalmente encierran para el diseñador un mayor grado de incertidumbre. Esto se refleja en los códigos al proveer para ellas coeficientes de carga, definidos más adelante, mayores que para la carga muerta. Las cargas vivas o de servicio, si están adecuadamente escogidas, rara vez serán excedidas durante la vida útil de la estructura. El calculista es legalmente responsable ante las autoridades de que su estructura resista las cargas estipuladas por el código local sin presentar ningún tipo de falla, salvo los agrietamientos sin importancia que no se puedan evitar económicamente.

Cargas de Viento: Son cargas producidas por las fuerzas del viento. En

estructuras metálicas, estas cargas son de especial cuidado debido a que

estas estructuras son muy ligeras.

Cargas de Sismo: Son cargas dinámicas cíclicas producidas por

movimientos tectónicos en la zona de donde está la cimentación. Son de

especial cuidado en estructuras de concreto; estas cargas, por ser

inerciales, dependen de la masa del edificio.

Cargas de Granizo o Lluvia: Son cargas que se tienen en cuenta cuando

hay posible acumulación de agua en ciertas zonas del edificio.

Empujes de Tierra: Son cargas producidas por propiedades mecánicas de

los suelos. Estas fuerzas son predominantes en el diseño de estructuras de

contención, taludes, cimentaciones, etc.

Cargas Térmicas: Son cargas producidas por cambios de temperatura. Los

metales tienen unas capacidades grandiosas para la resistencia de cargas

mecánicas; sin embargo, hay que tener cuidado con los esfuerzos térmicos

que pueden producir las dilataciones y contracciones de estos materiales.

El diseño estructural debe asegurar que el edificio resista adecuadamente

las solicitaciones a las que obedece; esto se logra controlando las

provisiones de las cuales va a disponer la estructura. El aprovisionamiento

se basa en definir: el sistema estructural, los materiales, sus formas y

dimensiones.

Las provisiones deben respaldar que la estructura sea segura y confiable

para el servicio que ofrece; esto es, no pueden permitirse deformaciones

extremas que lleguen a infundir pánico en los ocupantes, incluso si estas

deformaciones son seguras. El método LRFD propone crear unos factores

que aumenten las solicitaciones teóricas (factores de carga), y disminuyan

las provisiones minimas (factores de resistencia). Entonces la relación

mencionada anteriormente se convierte en:

𝜙𝑅𝑛 ≥ ∑ 𝛾𝑖𝑄𝑖

𝜙: 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝛾: 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎

𝜙𝑅𝑛: 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎)

∑ 𝛾𝑖𝑄𝑖 : 𝑆𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎)

Esta factorización de cargas y resistencias permiten generar un margen de

seguridad para prevenir fallas de mucha incertidumbre.

Para definir la resistencia de diseño, se deben estudiar las diferentes

formas en las que pueden fallar los elementos; estos estados se llaman

estados límite.

En el diseño a tensión, hay dos estados límite: por fluencia y por fractura.

Estado Límite por Fluencia: Cuando un material se somete a una carga en

aumento, se puede analizar su deformación mediante un diagrama

esfuerzo-deformación. Un diagrama de esfuerzo-deformación común para

el acero es:

Todo material tiene dos fases de deformación: elástica y plástica. En la fase

elástica, las deformaciones son temporales; el cuerpo vuelve a su forma

inicial después de quitar la carga a la que está siendo sometido. En la fase

plástica, el cuerpo sufre deformaciones que permanecerán incluso después

de quitar la carga. Entre estas dos fases hay un fenómeno interesante

llamado fluencia; la fluencia es una etapa en la que el cuerpo se estira sin

un mayor aumento de carga. El esfuerzo de fluencia Fy, es el esfuerzo

mínimo de un material para iniciar la fluencia. Para un acero estructural

común, el esfuerzo de fluencia es de 250MPa. Para el estado límite de

fluencia, se tiene que:

𝝓𝑹𝒏 = 𝟎. 𝟗𝑭𝒚𝑨𝒈

, donde Ag es el área bruta de la sección transversal del material. Este valor

calculado dice que, cuando la solicitación iguala a 𝝓𝑹𝒏, el material empieza

a fluir, y su resistencia mecánica puede ir disminuyendo hasta romperse.

Estado límite por fractura: Volviendo al diagrama esfuerzo-deformación del

acero, en la fase plástica el material llega a un valor máximo conocido como

esfuerzo último (Fu). Después de pasar por este punto, el material presenta

un adelgazamiento de su sección transversal; a este fenómeno se le

conoce como estricción. Al llegar a su resistencia ultima, el material tarde o

temprano va a llegar a la rotura. La fractura de un elemento metálico a

tensión se analiza en las conexiones, donde la fluencia no predomina. La

resistencia de diseño se calcula mediante

𝝓𝑹𝒏 = 𝟎. 𝟕𝟓𝑭𝒖𝑨𝒏𝒆

Donde 𝑨𝒏𝒆 es el área neta efectiva, el cual se define como:

𝑨𝒏𝒆 = 𝑼𝑨𝒏

An es el área neta, que se calcula restándole al área bruta las áreas de las

perforaciones, si es que las conexiones implican pernos; si la conexión es

mediante soladura, el área neta es igual al área bruta.

En el estado limite por fractura también es importante fijarse en la forma de

conexión de los pernos o las soldaduras. Si alguna parte del perfil no está

directamente fija al otro elemento, puede generarse una concentración de

esfuerzos no deseada en la conexión; este efecto se controla mediante U,

el cual se denomina reductor por rezago de cortante.

Para cada tipo de solicitación hay estados límite diferentes. En el diseño a

compresión, por ejemplo, se presentan otros tipos de falla como el pandeo.

3. CARACTERÍSTICAS GENERALES

Se diseña una cercha para puente vehicular de 15 metros de luz y 9 metros

de ancho. El pre-dimensionamiento ya está determinado, se muestra a

continuación (dimensiones en metros):

4. AVALÚO DE CARGAS

4.1. Carga Muerta

El corte transversal con los elementos cuyo peso se tendrá en cuenta se

muestra a continuación:

Los sardineles presentan una carga distribuida lineal, mientras que la losa y

la capa de rodadura generan una carga distribuida superficial. El avalúo de

cargas se realiza en la siguiente tabla:

Las densidades de cada material se consultaron en la CCDSP-95 y en

documentos del Instituto de Desarrollo Urbano.

AVALÚO DE CARGAS

Densidad (kg/m^3) Espesor(m) Carga (kN/m^2)

Concreto 2400 0,5 11,772

Asfalto 2250 0,05 1,104

TOTAL 12,876

Baranda 0,25 4,41

Para calcular la carga en cada nodo, se hace el análisis mediante áreas (o

bien, en el caso de los sardineles, longitudes) aferentes. Se tiene en cuenta

la siguiente nomenclatura

Como las dos cerchas son idénticas, el diseño se centrará únicamente en el

comportamiento de la cercha 1. El cálculo de la carga muerta para cada

nodo se muestra entonces a continuación.

DISTRIBUCIÓN DE CARGA - ÁREAS AFERENTES

Nodo C. por área (kN) C. por longitud (kN) C. Muerta (kN)

A1 57,942 4,41 62,352

B1 144,855 11,025 155,88

C1 173,826 13,23 187,056

D1 173,826 13,23 187,056

E1 144,855 11,025 155,88

F1 57,942 4,41 62,352

La segunda columna muestra el cálculo mediante áreas aferentes de las

distribuciones superficiales, la tercera columna muestra el cálculo mediante

longitudes aferentes de distribuciones lineales (sardineles). Como las dos

cargas son muertas, se pueden sumar directamente sin necesidad de

factorización; el resultado de esta suma es la cuarta columna.

4.2. Carga Viva

En el pre-dimensionamiento dado la carga viva que se asume para el

análisis es de 40 toneladas para cada nodo del cordón inferior de la

armadura, exceptuando los extremos; en ellos habrá una carga de 20

toneladas. Para reducir los alcances de este diseño, no se tendrá en cuenta

la carga de impacto.

5. FACTORIZACIÓN DE LAS CARGAS

La CCDSP-95, en la sección A.3.12 ofrece la tabla de factores de carga

mostrada a continuación:

De la tabla se deduce que la combinación de carga que arroja la mayor

solicitación es la del grupo IA, donde

𝛾 = 1.3 𝛽𝐷 = 1 𝛽𝐿 = 2.2

Teniendo esto en cuenta, se combinan las cargas muertas y vivas que se

hallaron en la sección anterior para cada nodo:

Nodo D (kN) L (kN) Result (kN)

A1 62,352 196,2 642

B1 155,88 392,4 1325

C1 187,056 392,4 1365

D1 187,056 392,4 1365

E1 155,88 392,4 1325

F1 62,352 196,2 642

Con estas solicitaciones se procede a resolver la estructura.

6. ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA

Dadas las cargas en cada nodo, se calculan las deflexiones a las que se

someterá la cercha y las fuerzas internas de cada elemento mediante

método matricial.

6.1. Análisis de Nodos

Para empezar el método matricial, se requiere hacer un primer análisis en

cada nodo para definir las fuerzas externas que actúan, y relacionarlas con

las deflexiones en x y en y. Desde este momento se le asignarán los

siguientes números a los nodos.

El análisis de cada nodo se resume en la siguiente tabla:

Nodo Fuerza Despl.

1 x1 0

y1-642 0

2 0 u2

y2-642 0

3 0 u3

-1325 v3

4 0 u4

-1365 v4

5 0 u5

-1365 v5

6 0 u6

-1325 v6

7 0 u7

0 v7

8 0 u8

0 v8

9 0 u9

0 v9

10 0 u10

0 v10

11 0 u11

0 v11

12 0 u12

0 v12

13 0 u13

0 v13

6.2. Dimensiones de los elementos

Como siguiente paso, se registran para cada nodo: la longitud, el

ángulo respecto al eje x positivo (Phi), el modulo elástico del material

a usar (Acero A36– 200GPa), y el área del elemento. En el anexo se

pueden ver estos datos, junto con otros cálculos basados en los

registrados, necesarios para poder armar la matriz de rigidez de

cada elemento.

6.3. Matriz de Rigidez

Se ensambla la matriz de Rigidez de toda la estructura. Esta matriz,

junto con la matriz de cada elemento, se muestra en los documentos

anexos.

6.4. Deflexiones

Tras resolver el sistema lineal, se obtienen los siguientes resultados

de deflexiones:

u1 0

v1 0

v2 0

u2 -94554,9729

u3 -83788,7799

v3 -172191,235

u4 -67640,2978

v4 -227823,012

u5 -39202,5092

v5 -224841,656

u6 -10765,2114

v6 -163250,168

u7 -34574,5878

v7 -155628,735

u8 -34574,5878

v8 -219290,92

u9 -20767,5442

v9 -207778,314

u10 415,805871

v10 -122003,879

u11 -15732,6762

v11 -210758,971

u12 -44170,4648

v12 -207777,616

u13 -72607,7626

v13 -113057,992

Todos los valores están en milímetros.

6.5. Fuerzas

6.5.1. Fuerzas Externas

Se obtuvieron las siguientes reacciones en los apoyos:

x1 0

y1 3332

y2 3332

Valores en kilonewtons.

6.5.2. Fuerzas Internas

A partir de los desplazamientos, se calcularon las fuerzas internas:

Elemento Fuerza (kN)

2-3 1077 T

6-1 1077 T

3-4 1077 T

4-5 1896 T

5-6 1896 T

10-11 1077 C

11-12 1896 C

12-13 1896 C

3-7 1325 T

4-8 683 T

5-9 1365 T

7-10 2690 T

8-11 683 T

9-12 0

2-10 2897 C

1-13 2897 C

6-13 2008 T

4-7 1066 T

5-8 0

6-9 1066 C

7-11 1066 C

8-12 0

9-13 1066 T

De ahí se halla entonces que los elementos con mayores esfuerzos

son: el elemento 7-10, sometido a tracción, y los elementos 2-10 y

1-13, a compresión.

7. DISEÑO A TENSIÓN

En todo el procedimiento anterior se asumió un área en todos los elementos

de 1 mm^2, esto para no afectar los cálculos. A continuación se hace un

análisis de los estados límite del elemento a mayor carga de tracción para

hallar un área transversal óptima.

7.1. Estado Límite por Fluencia

La resistencia de diseño para fluencia debe ser:

𝜙𝑅𝑛 = 0.9𝐹𝑦𝐴𝑔

Se sabe que

𝜙𝑅𝑛 ≥ 𝑄 = 2829𝑘𝑁

, donde Q es la carga ya factorizada. Con esto se sabe que

𝐴𝑔𝑚í𝑛=

𝑄

0.9𝐹𝑦= 𝟏𝟏𝟗𝟓𝟓. 𝟓𝟔𝒎𝒎𝟐

Fy es el esfuerzo de fluencia del material. Para el diseño, el acero A36 tiene

un valor de Fy de 250 MPa.

7.2. Estado Límite por Fractura

Los alcances de este diseño no llevan a definir el tipo de conexión a usar en

la cercha, entonces no se analizará el estado limite por fractura.

7.3. Perfil

Con el área bruta mínima necesaria se define el perfil a usar. Se escoge

entonces un perfil H 500x300x95.6, cuya área de 12176 mm^2 está por

encima de la requerida.

8. DISEÑO A COMPRESIÓN

Los alcances de este diseño no van a analizar los estados límite en

compresión, estos se omitirán.

9. NUEVO ANÁLISIS

Se realiza un nuevo análisis matricial asumiendo ahora el área real del

perfil, con el fin de verificar que la resistencia de diseño sea mayor a la

solicitación. Nuevamente, todos los cálculos que respaldan estos resultados

están en los documentos anexos.

6.1 Deflexiones

Se obtuvieron las siguientes deflexiones (dimensiones en mm):

u1 0

v1 0

v2 0

u2 -7,76199096

u3 -6,87828529

v3 -14,1406356

u4 -5,55272677

v4 -18,7082341

u5 -3,21821622

v5 -18,4635157

u6 -0,88370567

v6 -13,4064801

u7 -2,83826401

v7 -12,7803777

u8 -2,83826401

v8 -18,007573

u9 -1,70471576

v9 -17,0621934

u10 0,0339887

v10 -10,0187976

u11 -1,29156982

v11 -17,3069119

u12 -3,62608037

v12 -17,0621934

u13 -5,96059091

v13 -9,2846421

6.2. Fuerzas Internas

Se obtuvieron las siguientes fuerzas internas (dimensiones en kilonewtons).

Elemento Fuerza (kN)

2-3 1076 T

6-1 1076 T

3-4 1076 T

4-5 1895 T

5-6 1895 T

10-11 1076 C

11-12 1895 C

12-13 1895 C

3-7 1325 T

4-8 683 T

5-9 1365 T

7-10 2690 T

8-11 682 T

9-12 0

2-10 2897 C

1-13 2897 C

6-13 2008 T

4-7 1066 T

5-8 0

6-9 1066 C

7-11 1066 C

8-12 0

9-13 1066 T

Nuevamente el elemento 7-10 tiene la mayor solicitación.

10. COMPROBACIÓN DE DISEÑO

Se verifica que

𝜙𝑅𝑛 ≥ 𝑄

𝜙𝑅𝑛 = 0.9𝐹𝑦𝐴𝑔 = 2739.6 𝑘𝑁

𝑄 = 2690 𝑘𝑁

Entonces, efectivamente las provisiones serán mayores que las

solicitaciones. El diseño es aceptable.

11. RESUMEN DE ESPECIFICACIONES

A continuación el resumen de las especificaciones que definen el diseño:

Perfil a usar: Perfil H 600x300x101.9

Material: Acero Estructural A36

12. REFERENCIAS

Puente de base para el avalúo de cargas:

http://es.slideshare.net/freddyramirofloresvega/9-puentes-tipo-losa

Densidades

http://webidu.idu.gov.co:9090/jspui/bitstream/123456789/29433/27/60

015535-26.PDF

http://es.slideshare.net/freddyramirofloresvega/9-puentes-tipo-losa

Código Colombiano de Diseño Sísmico de Puentes – CCDSP95

Instituto de Desarrollo Urbano – IDU

Tabla de Propiedades de Perfiles Metálicos

http://metalicas-

uv.weebly.com/uploads/8/7/8/7/8787102/perfiles_icha_selectos.pdf

Tabla de Aceros Estructurales

http://www.acindar.com.ar/pdf/tablas-y-equivalencias.pdf