diseño y análisis de algoritmos técnica de diseño programación dinámica ii

Diseño y análisis de algoritmos

Técnica de diseño Programación Dinámica II

Temario

• Técnica de diseño Programación Dinámica– Introducción– Aplicaciones

– Multiplicación de Matrices

– Caminos mas cortos en grafo

– Arboles de búsqueda óptimos

Técnica de diseño Programación Dinámica

Problema multiplicación de matrices en secuenciaProblema:• Se desea calcular el producto matricial:

• Por cada par de matrices pxq y qxr, se reqieren pqr multiplicaciones escalares• Al ser el producto asociativo, se tienen varias fomas de realizar una multiplicación

de una cadena de matrices.• Ejemplo: se quiere calcular el producto de ABCD, de las matrices

Se pueden asociar de cinco formas distintas:

nMMMMM .....321

343389895513 DCBA

El orden no es despreciable, pues el caso más eficiente es casi 19 veces más rápido que el peor.


Problema multiplicación de matrices en secuenciaProblema:• El problema consiste entonces

• Insertar los paréntesis de todas las formas posibles• Calcular la cantidad de productos necesarios• Obtener el menor entre todos ellos

• La cantidad de formas posibles T(n) de insertar paréntesis para n matrices, se puede deducir:• Cortando la secuencia en dos subsecuencias, entre la i – ava y la (i+1)- ésima

matriz:

Entonces se tienen T(i)T(n-i) formas distintas• Como i puede tomar valores entre 1 y n-1, la cantidad está dada por la

siguiente recurrencia

).....)(...( 121 nii MMMMMM

Números llamados de Catalán.

1

1

)()()(n

i

inTiTnT


Problema multiplicación de matrices en secuenciaProblema:• Los números de Catalán crecen exponencialmente

• De hecho puede demostrarse que;

• Por ejemplo: n 1 2 3 4 5 10 15 T(n) 1 1 2 5 14 4862 2674440

• Aplicación del principio de optimalidad:Si el mejor modo de realizar el producto exige dividir inicialnente entre las matrices i e (i+1)-ésima, los productos

nii MMyMMM ........ 121

deberán ser realizados de forma óptima, para que el total también sea óptimo.

1

221)(

n

n

nnT


Problema multiplicación de matrices en secuencia• Método

• Construir una matriz , 1<=i<=j<=n, (triangular superior) dondecorresponde a la mínima cantidad de productos necesarios para la parte

del producto total. Por lo que la solución viene dada en • Para construir la matriz, se deben guardar las dimensiones de las Mi 1<=i<=n

en un arreglo d, [0..n], de forma que Mi tiene dimensiones • La diagonal s de contiene los tales que j-i=s:

• Este último caso representa que para calcular , se intentan todas las posibilidades y se escoge la mejor.

][ ijm

]..1[),(min:1

]1..1[,:1

]..1[,0:0

1,11

,

111,

snidddmmmns

nidddms

nims

sikisiiiksiki

sii

iiiii

ii

ijm

jii MMM .....1

nm1

ii dd 1

][ ijm ijm

siii MMM .....1

)...)(...( 211 sikkkii MMMMMM


Problema multiplicación de matrices en secuencia• De forma más compacta si i<>j y i <j

• Para el ejemplo anterior: ,d=(13,5,89,3,34)

)(min 1,1 jkijkikjki

ij dddmmm

343389895513 DCBA

Funcion parentOpt(d[0..n];salida m[1..n,1..n],mk[1..n,1..n]) {m contiene el número de multiplicaciones, mk[i,j] guarda el índice k para el que se alcanza el mínimo al calcula m[i,j]}Variables i,j,r,k,q:enteroInicio Para i:= 0 a n hacer m[i,i]:=0; Fin-ParaPara r:= 2 a n hacer Para i:= 1 a n-r+1 hacer j:=i+r-1 m[i,j]=max; {infinito} Para k:= i a j-1 hacer q:=m[i,k]+m[k+1,j]+d[i-1]*d[k]*d[j] si q< m[i,j] entonces m[i,j] := q mk[i,j]:=k FIN-SI FIN-para FIN-para FIN-parafin


Problema multiplicación de matrices en secuencia• Implementación


Problema multiplicación de matrices en secuencia• Solución en tiempo razonable , al menos polinomial, aunque necesita tres loops

anidados, por lo que

• Queda abierto el problema de hacer un nuevo algoritmo, basado en la matriz mk, indicar en qué orden se multiplican las matrices.

)( 3nO


Problema caminos mínimos en un grafoProblema:• Calcular los caminos de costo mínimo o mínima longitud entre todos los pares de

nodos de un grafo dirigido, sin ciclos y pesos positivos.

• Principio de Optimalidad:• Si es un camino de costo mínimo o largo mínimo del

nodo a , entonces:

• es un camino de costo mínimo o largo mínimo del nodo a • es un camino de costo mínimo o largo mínimo del nodo a

• Aplicación del Principio :• Si k es el nodo intermedio de mayor índice en el camino óptimo de i a j,

entonces el subcamino de i a k es un camino óptimo, que además, sólo pasa por nodos de índice menor que k . Lo mismo sucede con el subcamino de k a j

nkk iiiii ...,,..., ,1,21

1i ni

kiii ,...,21 1i ki

nk iii ,...,21 1ki ni


Problema caminos mínimos en un grafo• Sea C(i,j) el costo o largo de un arco (i,j) . Si no existe, infinito. Sea C(i,i)=0;• Sea Dk(i,j) la longitud o distancia del camino más corto o de costo mínimo del

nodo i al j que no pasa por ningún nodo mayor que k• Sea Dk(i,j) la longitud del camino más corto de i a j. Entonces:


Problema caminos mínimos en un grafo• En resumen:

• Se tiene la siguiente ecuación recursiva que define el método de PD.

• Ejemplo:

1

2

4

3

15

25

15

15

55

30

40

50

0 5 -- 2550 0 15 530 40 0 1515 -- 5 0

0DG0 5 -- 2550 0 15 530 35 0 1515 20 5 0

1D0 5 20 1050 0 15 530 35 0 1515 20 5 0

2D

0 5 20 1045 0 15 530 35 0 1515 20 5 0

3D

5

0 5 15 1020 0 10 530 35 0 1515 20 5 0

4D

Funcion floyd(G[1..n,1..n]): [1..n,1..n]Variables i,j,k:entero; D[1..n,1..n] InicioD:=G Para k := 1 a n hacer Para i := 1 a n hacer Para j := 1 a n hacer D[i,j]:=min(D[i,j], D[i,k]+ D[k,j]) FIN-para FIN-para FIN-para devolver Dfin


Problema multiplicación de matrices en secuencia• Implementación, algoritmo Foloyd, muy simple y conocido


Problema multiplicación de matrices en secuencia• Solución en tiempo razonable , al menos polinomial, aunque necesita tres loops

anidados, por lo que

• El tiempo es comparable con n veces Dijsktra, pero por simplicidad se prefiere Floyd.

• Este algoritmo sólo encuentra las distancias entre cada par de nodos. Para obtener los nodos que implementen esa distancia, es necesario recordar para cada (i,j) cuál es al k que proveyó la mínima distancia.

• Ejercicio, implementar una solución en base a una matriz auxiliar P, que se modifica cada vez que se modifica D:

Cambiar línea min{}, por si D[i,j] > D[i,k] + D[k,j] entonces D[i,j]:=D[i,k]+ D[k,j] P[i,j]:=k finSi

)( 3nO

0 0 4 24 0 4 00 1 0 00 1 0 0

P


Problema Arboles binarios de búsqueda óptimosProblema:• Se usará un recorrido “en orden” del árbol para realizar la búsqueda. La estructura

cumple que todo nodo tiene una clave mayor que los de su subarbol izquierdo y menor que los de su subarbol derecho.

• Se tiene un conjunto de claves distintas

• Pueden ser claves alfanuméricas(orenadas ascendentemente), almacenadas en un arbol binario de búsqueda.

• Se conoce la probabilidad , con la que se pide buscar la clave y su información asociada.

• Se conoce también la probabilidad , de búsqueda de una clave inexistente situada entre y

• Se tiene que

• Por lo que el problema radica en construir un árbol binario de búsqueda para almacenar las claves, que minimice el número medio de comparaciones para encontrar una clave o garantizar que no está.

nwww ...21

]..1[, nipi iw

n

ii

n

ii qp

01

1

]..0[, niqi iw 1iw


Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos• Recordar que la profundidad de la raiz es 0, la de sus hijos 1, ...• Si se construye un árbol donde la clave está en un nodo de profundidad ,

1<=i<=n, entonces se necesitan comparaciones para encontrarla.• Si con probabilidad , 0<=i<=n , se busca una clave que no está en el árbol,

pero que en caso de estar , ocuparía un nodo de profundiadad , entonces se necesitan para asegirar que no está.

• Por lo tanto el número medio de comparaciones necesarias para encontrar una clave o garantizar que no está (función a minimizar) es:

iw

n

iii

n

iii dqdpC

01

)1(

id1id

iq

id

id


Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos• Para el ejemplo:


Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos• Solución de programación dinámica:

• Principio de Optimalidad: Todos los subárboles de un árbol óptimo son óptimos con respecto a las

claves que continen.• Considerando un subárbol óptimo que contenga las claves• La probabilidad de que una clave buscada esté o debiera estar en ese

subárbol es:

• Se denotará al número medio de comparaciones efectuadas en un subárbol óptimo que contiene las claves durante la búsqueda de una clave en el árbol principal (por convención ).

• Supongamos ahora que ocupa la raíz de ese subárbol.• Sea entonces el número medio de comparaciones efectuadas en ese

subárbol durante la búsqueda de una clave en el árbol principal.

jii www ,...,, 21

j

ikk

j

ikkij qpm

1

ijC

jii www ,...,, 21

0iiC

kwkijC


Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos• Entonces:

• , es el número medio de comparaciones en el subárbol izquierdo.• , es el número medio de comparaciones en el subárbol derecho.• ,es el número medio de comparaciones con la raiz.

• Ahora se trata de escoger la raiz de manera que se minimice

kjkiijkij CCmC 1,

ijC

1, kiC

kjC

ijm


Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos

Tipos probP= Arreglo [1..n] real probQ= Arreglo [1..n] real matC=matriz [0..n,0..,n] real matSol=matriz [0..n,0..,n] enteroFuncion abbOPT(entrada p: probP;q: probQ; salida C:matC; rMatSol){C es la matriz de comparaciones media. En cada componente i , j de r se guarda el k para el que C[i,j] resulta mínimo}Variables i,j,k,d:entero min,aux:real m:Matc

Inicio Para i := 0 a n hacer C[i,i]:=0 m[i,i]:=q[i] Para j := i+1 a n hacer m[i,j]:=m[i,j-1]+p[j]+ q[j] Fin-para Fin-para

.....


Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos• Implementación

....Para j := 1 a n hacer C[j-1,j]:=m[j-1, j] r[j-1, j]:=j Fin-para{ya están determinados los árboles de 1 nodo}Para d := 2 a n hacer Para j := d a n hacer i:=j-d min:=100000000; Para k := i+1 a j hacer aux:= C[i,k-1]+C[k, j] si aux < min entonces min:=aux;r[i, j]:=k fin-si Fin-para C[i,j]:=m[i, j]+min Fin-para Fin-paraFIN.


Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos

diseño y análisis de algoritmos técnica de diseño programación dinámica ii

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