diseño y simulación del sistema de control de tracción y
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Diseño y simulación del sistema de control de tracción
y estabilidad en un vehículo eléctrico con 4 ruedas
conducidas.
Tesis II
Juan Sebastián Núñez Gamboa
Ingeniero Mecánico
Asesor de proyecto
Luis Ernesto Muñoz Camargo PhD. MSc. Ingeniero Mecánico
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica
Bogotá D.C. Julio de 2014
2
Agradecimientos
A Dios, por darme las fuerzas y la salud, que nunca me faltaron durante este proceso de
formación profesional.
Quiero agradecer a mis padres, quienes han sido mi modelo a seguir en el trabajo duro,
perseverancia y sacrificios personales, y quienes me han servido como inspiración para
fijarme grandes objetivos en la vida, con la confianza que los lograré. A mis hermanos y
amigos, agradezco por su ayuda y apoyo durante los momentos difíciles de este proceso de
formación.
A mi profesor asesor, el doctor Luis Ernesto Muñoz quiero agradecerle por su confianza,
ayuda, y todo el tiempo en que estuvo dispuesto a darme consejos tanto académicos como
personales. Mil gracias.
El autor de este trabajo expresa sus sinceros agradecimientos a las entidades financiadoras
de este proyecto, bajo el programa de Jóvenes Investigadores e Innovadores: Colciencias y
la Universidad de los Andes.
3
Contenido
1. Introducción ________________________________________________________ 10
2. Objetivos __________________________________________________________ 13
2.1 Objetivo General ______________________________________________________ 13
2.2 Objetivos Específicos ___________________________________________________ 13
2.3 Cumplimiento de Objetivos ______________________________________________ 13
3. Modelo de la llanta __________________________________________________ 15
3.1 Deslizamiento longitudinal ______________________________________________ 15
3.2 Ángulo de deslizamiento ________________________________________________ 17
3.3 Modelos de la llanta en estado estacionario ________________________________ 18
3.3.1 Modelo de Burckhardt _______________________________________________________ 19
3.3.2 Fórmula “Mágica” ___________________________________________________________ 19
3.3.3 Modelo de la llanta de Dugoff _________________________________________________ 20
3.4 Modelos de llanta con respuesta transitoria ________________________________ 25
3.4.1 Modelo de LuGre concentrado _________________________________________________ 26
3.4.2 Modelo de LuGre distribuido __________________________________________________ 26
3.4.3 Características del modelo de LuGre distribuido en estado estacionario. _______________ 27
3.4.4 Modelo de LuGre promediado _________________________________________________ 28
3.5 Comparación entre el modelo en estado estacionario y con respuesta transitoria __ 30
4. Modelamiento del vehículo ____________________________________________ 35
4.1 Modelo de la dinámica longitudinal del vehículo en el plano 𝒙𝒛 ________________ 36
4.2 Modelo de la dinámica del vehículo en el plano 𝒚𝒛 ___________________________ 40
4.3 Modelo de la dinámica del vehículo en el plano 𝒙𝒚 ___________________________ 42
4.4 Modelo de la dinámica del vehículo en el espacio 𝒙𝒚𝒛 ________________________ 45
4.5 Simulaciones computacionales ___________________________________________ 49
5. Sistema de control del vehículo _________________________________________ 55
5.1 Requerimientos _______________________________________________________ 55
5.2 Control de tracción _____________________________________________________ 56
5.3 Control de tracción por modos deslizantes __________________________________ 59
5.4 Control de estabilidad __________________________________________________ 63
5.4.1 Análisis de estabilidad del sistema en lazo abierto _________________________________ 64
5.4.2 Posibilidades de control utilizando diagramas de fase ______________________________ 66
5.4.3 Control de frenado __________________________________________________________ 67
4
5.4.4 Control de crucero ___________________________________________________________ 69
5.4.5 Diseño del control de estabilidad _______________________________________________ 71
6. Conclusiones ________________________________________________________ 78
7. Bibliografía _________________________________________________________ 80
5
Lista de figuras
Figura 1 - Movimiento de una llanta longitudinalmente. ................................................................................. 16
Figura 2 – Variación del coeficiente de fricción en función de la proporción de deslizamiento (λ). ................ 16
Figura 3 - Ángulo de deslizamiento de una llanta ............................................................................................ 17
Figura 4 - Elipse de fricción. Fuerzas longitudinales y laterales ........................................................................ 21
figura 5. Coeficientes de fricción longitudinales (azul) y laterales (rojo). ......................................................... 22
figura 6. Elipse de fricción entre los coeficientes de tracción longitudinales y laterales. ................................. 23
figura 7. Coeficientes de tracción en x y en y en función del coeficiente de deslizamiento y el ángulo de
deslizamiento. .................................................................................................................................................. 23
figura 8. magnitud del coeficiente de tracción (longitudinal y lateral) en una llanta. ..................................... 24
figura 9. Contorno de la magnitud del coeficiente de tracción total en una llanta. ......................................... 25
figura 10. Comportamiento de la llanta según el modelo de lugre promediado en e.e. .................................. 30
figura 11. Coeficiente de fricción en función del coeficiente de deslizamiento longitudinal de la llanta para
distintos valores de 𝑧. ....................................................................................................................................... 31
figura 12. Tiempo que toma la variable 𝑧 en llegar a cada uno de los valores indicados para cada coeficiente
de deslizamiento. .............................................................................................................................................. 32
figura 13. Comparación de la generación de las fuerzas de tracción para el modelo de LuGre promediado. . 33
figura 14. Error entre las fuerzas de tracción del modelo dinámico y el modelo en e.e. .................................. 34
Figura 15 – Sistema coordenado en el marco del cuerpo del vehículo. ............................................................ 35
Figura 16 – Diagrama de cuerpo libre de medio vehículo en el plano xz. ........................................................ 37
figura 17. Modelo simplificado de la suspensión del vehículo en el plano xz. .................................................. 37
Figura 18 – Diagrama de cuerpo libre del vehículo en el plano xz. .................................................................. 39
Figura 19 – Diagrama de cuerpo libre de una rueda conducida. ...................................................................... 39
Figura 20- Diagrama de cuerpo libre en situación de curva en estado estable. ............................................... 40
Figura 21 - Diagrama de cuerpo libre de un vehículo con aceleración lateral, en el plano yz. ........................ 41
Figura 22 – Esquema del modelo del vehículo en el plano xy. ......................................................................... 44
figura 23. Modelo de vehículo completo con 14 DOF ....................................................................................... 47
figura 24. Yaw rate de los vehículos para una maniobra de cambio de carril a 70 [km/h]. ............................. 50
figura 25. Posición de los vehículos para una maniobra de cambio de carril a 70 [km/h]. .............................. 50
figura 26. Yaw rate de los vehículos para una maniobra de cambio de carril a 170 [km/h]. ........................... 51
figura 27. Posición de los vehículos para una maniobra de cambio de carril a 170 [km/h]. ............................ 51
figura 28. Posición de los vehículos para una maniobra de cambio de carril en condicones de aceleración. .. 52
figura 29. Posición de un vehículo con 14 DOF para una maniobra de cambio de carril con una llanta lineal
(continua) y no lineal (punteada). .................................................................................................................... 53
figura 30. Aceleración lateral de un vehículo con 14 DOF para una maniobra de cambio de carril. ................ 54
figura 31. Tiempos de cuarto de milla para distintas distribuciones del Cm y del par en el eje longitudinal - 1.
.......................................................................................................................................................................... 57
figura 32. Tiempos de cuarto de milla para distintas distribuciones del Cm y del par en el eje longitudinal - 2.
.......................................................................................................................................................................... 58
figura 33. Desempeño del vehículo con control de tracción (smc), según un modelo de llanta de LuGre
promediado con respuesta transitoria. ............................................................................................................ 60
figura 34. Comportamiento de la llanta según el modelo de lugre promediado. ............................................. 61
figura 35. Vehiculo controlado por un smc + planeador de deslizamiento óptimo. ......................................... 62
6
figura 36. Vehículo controlado por un PI+ESC. ................................................................................................. 63
figura 37. Retrato de fase - modelo de llanta lineal ........................................................................................ 64
figura 38. Retrato de fase - Modelo de llanta no lineal. ................................................................................... 65
figura 39. Comparación de la Fuerza lateral en una llanta frontal del vehículo............................................... 66
figura 40. Espacio de estados disponible con un sistema de control de frenado. ............................................ 67
figura 41. Desempeño del vehículo de 14 DOF con los 3 controladores (tracción, frenado, crucero). ............. 70
figura 42. Fuerzas de tracción en cada una de las llantas del vehículo de 14 DOF con los 3 controladores
(tracción, frenado, crucero). ............................................................................................................................. 70
figura 43. Coeficiente de deslizamiento de las llantas del vehículo de 14 DOF con los 3 controladores
(tracción, frenado, crucero). ............................................................................................................................. 71
figura 44. Esquema lógico de la toma de desiciones por parte del controlador de bajo nivel. ........................ 74
figura 45. yaw rate de un vehiculo sin controlar y un vehículo controlado para un cambio de carril a 160
[km/h] ............................................................................................................................................................... 75
figura 46. Posición – 14 dof sin vsc – 160 [km/h] ............................................................................................. 76
figura 47. ACEL. LAT. – 14 dof sin vsc – 160 [km/h] .......................................................................................... 76
7
Lista de Tablas
Tabla 1. Comparación de tiempos de ¼ de milla entre los vehículos ________________________________ 33
Tabla 2. Nombre de los modelos vehiculares. __________________________________________________ 46
Tabla 3. Tiempos computacionales vel. constante. _____________________________________________ 53
Tabla 4. Tiempos computacionales en aceleración. _____________________________________________ 53
Tabla 5. Tiempos de ¼ de milla para diversos vehículos __________________________________________ 61
Tabla 6. Tiempos de ¼ de milla para vehículos controlados ______________________________________ 62
8
Nomenclatura
𝐶𝜆𝑖𝑗 Rigidez longitudinal de una llanta en la posición 𝑖𝑗, 𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟} 𝑗 ∈ {𝑙, 𝑟}
𝐶𝛼𝑖𝑗 Rigidez lateral de una llanta en la posición 𝑖𝑗, 𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟} 𝑗 ∈ {𝑙, 𝑟}
𝐷𝑎𝑥 Fuerza de resistencia aerodinámica
𝐹𝑧𝑖𝑗 Fuerza normal de una llanta en la posición𝑖𝑗, 𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟} 𝑗 ∈ {𝑙, 𝑟}
𝐹𝑥 Fuerza de tracción
𝑔 Aceleración debido a la gravedad.
𝐼𝑧𝑧 Momento de incercia de masa del vehículo (eje z).
𝐼𝑊 Inercia de una de las llantas del vehículo.
𝐼𝑓𝑡 Inercia equivalente de los elementos rotacionales de una cuarto de tren de potencia
𝐿𝑡𝑐𝑘 Distancia total entre las ruedas de cada lado (eje y).
𝐿𝑓 Distancia longitudinal entre el centro de masa y el eje frontal.
𝐿𝑟 Distancia entre el centro de masa y el eje trasero.
ℎ𝑒 Distancia del centro de masa del vehículo al suelo
ℎ𝑐𝑝 Distancia del centro de presión respecto al centro de masa.
𝑚 Masa total del vehículo
𝑚𝑣 Masa suspendida del vehículo
𝑚𝑖𝑗𝑠 Masa no suspendida del vehículo en la posición 𝑖𝑗, 𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟} 𝑗 ∈ {𝑙, 𝑟}
𝑚𝑖𝑗𝑡 Masa de la llanta en la posición 𝑖𝑗, 𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟} 𝑗 ∈ {𝑙, 𝑟}
𝑅𝑥 Fuerza de rodadura
𝑟 Radio efectivo de una llanta
�̇� Velocidad longitudinal en el marco del vehículo (eje x).
�̇� Velocidad lateral en el marco del vehículo (eje y).
𝑧 Posición de las masas del vehículo (eje z).
𝛼𝑖𝑗 Ángulo de deslizamiento lateral de una llanta en la posición 𝑖𝑗, 𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟} 𝑗 ∈ {𝑙, 𝑟}
𝛽 Ángulo de deslizamiento del chasis del vehículo.
𝛿 Ángulo de dirección de las llantas.
𝜆 Coeficiente de deslizamiento longitudinal de una llanta.
𝜇 Coeficiente de tracción entre las llantas y el terreno.
𝜇𝑐 Coeficiente de Coulomb
𝜇𝑠 Coeficiente de fricción estática.
𝜇𝑇 Coeficiente de tracción total
𝜓 Ángulo de guiñada (yaw angle).
�̇� Velocidad angular de guiñada (yaw rate).
9
�̈� Aceleración angular de guiñada.
𝜔 Velocidad angular de una llanta
𝜃 Angulo de cabeceo (pitch)
�̇� Velocidad angular de cabeceo (Pitch rate)
�̈� Aceleración angular de cabeceo
𝜙 Angulo de balancelo (roll angle)
�̇� Velocidad angular de balanceo (roll rate)
�̈� Aceleración angular de balanceo
𝑣𝑠 Velocidad relativa de Stribeck
𝜒 Angulo entre el vector de velocidad de la rueda y el eje x
𝑢𝑑𝑛
10
1. Introducción
El uso de energía eléctrica en los medios de transporte, se ha venido convirtiendo con el
tiempo en una alternativa cada vez más económica y en un futuro cercano los automóviles
eléctricos prometen remplazar a los vehículos con motores de combustión interna (ICEV).
Se han diseñado una gran variedad de vehículos eléctricos (EV) que cumplan con estos
objetivos, entre los que se encuentran: los vehículos eléctricos de baterías (BEV), vehículos
eléctricos híbridos (HEV) y los vehículos eléctricos de celdas de combustibles de hidrógeno,
como sus principales representantes.
La elección de un motor eléctrico que substituya en la entrega de potencia a un motor de
combustión interna (EV) o que se encuentre acoplado de acuerdo a una cierta configuración
con un motor de combustión interna (HEV), tiene como fundamento principal su alta
eficiencia de conversión de energía, desde su fuente hasta su llegada a las ruedas, y la
posibilidad de tener generación más limpia de electricidad. Como ganancia adicional a las
altas eficiencias, el motor eléctrico en comparación con los motores de combustión interna,
presenta una alta controlabilidad.
Al usar motores eléctricos en el tren de potencia del vehículo se tiene la posibilidad de incluir
un sistema de frenado regenerativo. Por lo cual, teniendo en cuenta las limitaciones de
almacenamiento de la energía en los vehículos eléctricos, se puede contar con generadores,
que al reducir la velocidad del vehículo, permitan transformar parte de su energía cinética en
energía eléctrica, con el fin de almacenarla para un futuro uso.
Este trabajo se va a centrar en los vehículos eléctricos de baterías. Estos se caracterizan por
tener como fuente motriz, uno o más motores eléctricos y cuya principal fuente de energía
son arreglos de baterías o súper-capacitores. En términos mecánicos, los EV se caracterizan
por tener tecnologías más simples que las usadas en los ICEV, sin embargo presentan un gran
reto en su sistema de control y poseen una limitante en su autonomía, dado a que
normalmente ésta es bastante inferior a la de un ICEV.
Teniendo en cuenta que se busca obtener el mayor provecho y por lo tanto, el mejor
desempeño del tren de potencia del EV se requiere de sistemas de control que satisfagan de
la mejor manera posible los requerimientos del usuario, ya sea en términos de maximizar la
tracción, garantizar la estabilidad del vehículo o minimizar el consumo energético, entre
otros. Recientemente se han ido introduciendo los sistemas electrónicos de control de
estabilidad (ESP, por sus siglas en ingles), con el fin de mejorar y garantizar la seguridad de
11
los pasajeros en condiciones críticas del vehículo, en las cuales, el piloto pierde su
maniobrabilidad [1].
Si se tiene un vehículo con varias ruedas conducidas de forma independiente (e.g. vehículo
eléctrico), el control de tracción se debe aplicar a cada una de las ruedas. Si el vehículo se
encuentra andando únicamente en la dirección longitudinal y se tienen dos ruedas de un
mismo eje del EV sobre diferentes terrenos, el control de tracción, a pesar que garantiza la
máxima adherencia entre las llantas del vehículo y el terreno, va a lograr fuerzas de tracción
sobre un mismo eje con magnitudes diferentes, lo cual llevará al vehículo a presentar un
momento sobre su eje vertical (Yaw) y por lo tanto un cambio de orientación.
Se hace evidente que el sistema de control de tracción no es suficiente para garantizar la
máxima transmisibilidad de fuerza de tracción entre las llantas y el terreno de forma segura,
y por lo tanto es necesario integrar un sistema de control de estabilidad (ESP). Bajo ciertas
configuraciones del tren de potencia de los vehículos eléctricos, los motores eléctricos
pueden remplazar la función del diferencial de los ICEV tradicionales, los cuales, aparte de
permitir que las ruedas de un mismo eje giren a diferentes velocidades al tomar una curva;
funcionan como sistemas de control básico [2] garantizando la estabilidad del vehículo.
El presente trabajo busca desarrollar el diseño del sistema de control de estabilidad de un
vehículo eléctrico, que se caracteriza por tener un tren de potencia compuesto por 4 motores
eléctricos de tracción. Los motores se encuentran ubicados de acuerdo a una configuración
en la cual, cada una de las llantas del EV se encuentra conducida por su respectivo motor.
Éste tipo de configuración es innovadora respecto a la encontrada en la mayoría de vehículos
eléctricos comerciales, y se propone con el fin de evidenciar sus ventajas, para un futuro
desarrollo.
Con el objetivo de aumentar la eficiencia energética del vehículo, también se incluye la
posibilidad de una configuración in-wheel, en la cual el motor eléctrico se encuentra dentro
de la rueda, reduciendo así, los elementos mecánicos de transmisión. Para ello se utilizará el
modelo de control de tracción desarrollado con anterioridad en [3]. En dicho trabajo, se
plantean modelos controlados de dinámica longitudinal del vehículo que incluyen el
fenómeno de transferencia de carga, y un proceso para automatizar la sintonización del
sistema de control del EV, que permite optimizar la energía consumida y minimizar efectos
tales como el sacudimiento de los motores [4] [5]. Igualmente se compara el desempeño tanto
de controles tradicionales como de controladores modernos [6] en dos escenarios: cuando el
vehículo se encuentra sobre un terreno de características conocidas y cuando no.
En cuanto al control de estabilidad del EV, se planteará un esquema que incluya el
comportamiento dinámico del vehículo en el espacio (XYZ) y el comportamiento dinámico
12
combinado (longitudinal y lateral) de las llantas según los efectos de la transferencia de carga
en ambos ejes con el fin de aumentar su maniobrabilidad. El control de estabilidad se propone
en un nivel de jerarquía superior al control de tracción teniendo dado que la máxima tracción
en cada rueda no garantiza la estabilidad del vehículo.
En el documento se presenta el diseño y simulación de un sistema de control de tracción y
sistema de control de estabilidad, sobre en un vehículo eléctrico con cuatro ruedas conducidas
de forma independiente. Para ello se estudian modelos de llanta, que simulan su
comportamiento tanto en estado estacionario, como con una dinámica asociada a la
generación de fuerzas de tracción, tal como se presenta en [2]. Para la generación de fuerzas
longitudinales y laterales de forma combinada se estudia el modelo de Dugoff, que se
presenta en detalle en [3].
El desarrollo de modelos vehiculares es el medio principal para entender el comportamiento
de un vehículo en distintas situaciones y escenarios. En cuanto a los modelos vehiculares, se
desarrollaron modelos de 2 grados de libertad (DOF, por sus siglas en inglés), 5 DOF, 8
DOF, 9 DOF y 14 DOF tal como se presenta en [4]. En dichos modelos se abarca la dinámica
del vehículo en el plano XY y en el espacio XYZ, suponiéndolo como un sólido rígido y
agregándole una suspensión. Igualmente, se compara su desempeño utilizando un modelo de
llanta lineal y un modelo no lineal. El uso de modelos permite tener una buena aproximación
de la interacción de fuerzas y momentos en el vehículo con el fin de comparar las ventajas y
desventajas de utilizar modelos más detallados.
Posteriormente se presenta una definición de los requerimientos de los controladores, las
variables a medir y la instrumentación requerida. Se diseña un sistema de control de tracción
y se compara el desempeño de controladores tradicionales (PI), control por modos deslizantes
(SMC, por sus siglas en inglés) y un tipo de control adaptativo (Extremum Seeking Control)
[2]. Se propone un control de estabilidad para el vehículo con sus cuatro ruedas conducidas
y su integración con los demás esquemas de control desarrollados (tracción, frenado, crucero)
[3]. Finalmente se compara el desempeño del vehículo de acuerdo al modelo de 14 DOF
(𝑀𝑉𝑋𝑌4𝑆) controlado y sin controlar para una maniobra de cambio de carril.
Palabras clave: Tren de potencia; Slip; Vehículo eléctrico; Control de tracción; Control de
estabilidad; Optimización multiobjetivo; Control adaptativo.
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2. Objetivos
2.1 Objetivo General
Realizar el diseño y simulación del sistema de control de tracción y estabilidad de un vehículo
eléctrico con sus cuatro ruedas conducidas de forma independiente.
2.2 Objetivos Específicos
1. Evaluar diferentes configuraciones posibles de los trenes de potencia y suspensión
aplicables a los vehículos eléctricos.
2. Estudiar y establecer un modelo cinético y dinámico que describa el movimiento
longitudinal del vehículo eléctrico por medio de su tren de potencia, teniendo en cuenta
el fenómeno de transferencia de carga.
3. Diseñar y simular sistemas de control del tren de potencia del vehículo eléctrico sobre las
dinámicas previamente modeladas y su desempeño en diferentes terrenos.
4. Establecer un modelo de la dinámica lateral del vehículo, teniendo en cuenta el
comportamiento dinámico de las llantas frente al fenómeno de transferencia de carga en
su eje lateral.
5. Diseñar y establecer un control de estabilidad sobre las dinámicas del vehículo
previamente modeladas y con jerarquía respecto al sistema de control de tracción.
6. Estudiar un método de optimización multiobjetivo con el fin de sintonizar los
controladores definidos en forma tal que satisfagan de la mejor forma los requerimientos
establecidos.
2.3 Cumplimiento de Objetivos
1. El primer objetivo del plan de investigación se lleva a cabo en la sección 5 del presente
documento, en la cual se hace un estudio del tiempo de carrera de ¼ de milla en función
de la ubicación del centro de masa del vehículo sobre el eje longitudinal y de la
distribución de potencia entre sus ejes. El anexo 5 presenta un artículo en el cual se realiza
el estudio de suspensiones pasivas en un vehículo y se proponen distintos esquemas de
control para suspensiones semiactivas.
2. El segundo objetivo se cumple en el anexo 4 en el cual se desarrollan diversos modelos
vehiculares en los cuales se tiene en cuenta los fenómenos de transferencia de carga en
ambos ejes.
3. El tercer objetivo se cumple con los sistemas de control de tracción propuestos en el
anexo 1 y anexo 2.
4. El cuarto objetivo se cumple en su totalidad con los modelos vehiculares propuestos en
el anexo 4 y su utilización tal como se presenta en el anexo 3.
14
5. El quinto objetivo del plan de investigación se cumple en el anexo 3 en el cual se
desarrolla y se propone un controlador de estabilidad multinivel (i.e. control de alto nivel
y control de bajo nivel) con jerarquía respecto a los sistemas de control de tracción y
frenado.
6. El sexto objetivo se cumple con el artículo presentado en el anexo 1, en el cual se plantea
un método de optimización multinivel para la sintonización óptima del controlador
tradicional (PI) y el controlador de tracción adaptativo (ESC). Los controladores
planteados de acuerdo a la teoría de modos deslizantes no necesitan ningún proceso de
sintonización debido a la naturaleza de su planteamiento.
El artículo presentado en el anexo 1 fue presentado en el “2013 ASME Dynamic Systems and
Control Conference” que se llevó a cabo en la Universidad de Stanford entre el 21 y 23 de Octubre
del año 2013.
Los artículos presentados en los anexos 2 al 5 se encuentran en proceso de edición y sometimiento
a revistas internacionales o nacionales según sea el caso.
15
3. Modelo de la llanta
La llanta es el uno de los componentes más importantes al analizar la dinámica del vehículo,
dado que es éste quien presenta la interacción con el terreno. Por lo tanto, el desempeño del
vehículo se va a ver fuertemente influenciado por las características de la llanta. Las llantas
influyen en la maniobrabilidad, tracción, frenado, confort de conducción y consumo
energético del vehículo.
Dado que la llanta no es un sólido rígido, esta entra en contacto con el terreno en toda un área
de contacto que usualmente es conocida como huella. La fuerza de contacto entre estos dos
elementos se asume como si se encontrara en el centro de la huella y se puede descomponer
en los 3 ejes del sistema coordenado. La fuerza 𝐹𝑥 se define como la fuerza longitudinal de
la llanta y se encuentra en dirección del eje 𝑥 de la llanta, 𝐹𝑦 es la fuerza lateral en dirección
del eje 𝑦 y 𝐹𝑧 es la fuerza vertical o normal de la llanta.
Los primeros modelos de llanta propuestos, se derivan del modelamiento físico de las llantas.
Sin embargo, debido a su naturaleza compleja se propusieron modelos empíricos que
pretendían encontrar los parámetros que se ajustaran de la mejor forma posible a los
resultados experimentales de pruebas realizadas sobre las llantas en distintas direcciones. Los
primeros modelos de la llanta, se centraron en incluir únicamente modelos de la relación
entre el deslizamiento y la fuerza de tracción en condiciones de estado estacionario.
Posteriormente, se realizaron modelos dinámicos de las llantas con el fin de incluir y estudiar
su comportamiento transitorio en función de las cargas, su deformación, velocidades y
características físicas entre su material y el del terreno.
3.1 Deslizamiento longitudinal
El deslizamiento longitudinal o Slip ratio, se define como la diferencia neta entre la velocidad
longitudinal (𝑉𝑥 ) de la llanta y la velocidad equivalente a su rotación (𝜔𝑟), en la zona de
contacto con la carretera, donde 𝜔 es la velocidad angular de la llanta y 𝑟 su radio efectivo.
La Figura 1 ilustra el análisis cinemático de una llanta en movimiento.
16
FIGURA 1 - MOVIMIENTO DE UNA LLANTA LONGITUDINALMENTE.
En otras palabras el deslizamiento es igual a (𝑉𝑥 − 𝜔𝑟), y por lo tanto la proporción de
deslizamiento se puede definir para aceleración y para frenado según las ecuaciones (1) y (2).
𝜆 =𝑣𝑥 − 𝑟𝜔
𝑣𝑥, ∀ νx ≥ 𝜔𝑟 (en frenado) (1)
𝜆 =𝑟𝜔 − 𝑣𝑥𝑟𝜔
, ∀ νx ≤ 𝜔𝑟 (𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛) (2)
Resultados experimentales han establecido que la fuerza longitudinal de tracción de una
llanta depende básicamente de 3 factores: su proporción de deslizamiento, la fuerza normal
𝐹𝑧 de la llanta y el coeficiente de fricción entre la llanta y el terreno. La relación entre la
fuerza de tracción longitudinal y la proporción de deslizamiento 𝜆 se ilustra cualitativamente
a continuación [7]:
FIGURA 2 – VARIACIÓN DEL COEFICIENTE DE FRICCIÓN EN FUNCIÓN DE LA PROPORCIÓN DE
DESLIZAMIENTO (Λ).
17
Tomando como ejemplo un vehículo en condiciones de tracción y suponiendo una carga
normal 𝐹𝑧 constante, conforme aumente el porcentaje de deslizamiento partiendo desde cero,
el coeficiente de fricción va a aumentar rápidamente hasta alcanzar su máximo, valor que se
logra, a cierto porcentaje de deslizamiento. El valor deslizamiento que maximiza el
coeficiente de fricción del asfalto seco es de aproximadamente 18%. Si el deslizamiento se
encuentra por encima del valor que maximiza a 𝜇(𝜆), el coeficiente va a disminuir hasta
llegar a un valor fijo equivalente a un deslizamiento = 100% en el cual la transferencia de
tracción entre la rueda y la carretera es muy baja. Este fenómeno en condiciones de tracción,
se puede ver representado cuando el carro tiene una velocidad inicial igual a cero, pero debido
al alto deslizamiento entre su llanta y el terreno, las ruedas si presentan velocidad angular.
Si se analiza un deslizamiento = 100% en condiciones de frenado, significa a pesar que el
vehículo tiene una velocidad lineal diferente de cero, pero la velocidad angular de las llantas
conducidas es igual a cero, y por lo tanto éstas se encuentran bloqueadas. Se debe tener en
cuenta que para la implementación del fenómeno de deslizamiento se supuso que el radio
efectivo es constante y es igual al radio de la rueda del vehículo.
3.2 Ángulo de deslizamiento
El ángulo de deslizamiento se define como el ángulo resultante entre la dirección de
orientación de la llanta y su vector de velocidad (Figura 3 [8]).
FIGURA 3 - ÁNGULO DE DESLIZAMIENTO DE UNA LLANTA
Tomando como ejemplo la llanta de la Figura 3, el ángulo de deslizamiento se define como:
18
𝛼 = 𝛿 − 𝜒 (3)
Donde 𝛿 es el ángulo de dirección de la rueda y 𝜒 es el ángulo formado entre el vector de
velocidad de la rueda y el eje longitudinal 𝑥 del vehículo. De la ecuación anterior es fácil
notar que si la rueda no tiene dirección (e.g. rueda trasera) y el vehículo se encuentra andando
únicamente en el eje longitudinal, el ángulo de deslizamiento 𝛼 es igual a cero.
La fuerza lateral de la llanta depende de la magnitud de la deflexión lateral de la banda de
rodadura en la huella de contacto. Para ángulos de deslizamiento pequeños, se puede suponer
una relación proporcional entre la fuerza lateral y el ángulo 𝛼, donde a la constante de
proporcionalidad se le denomina normalmente rigidez de la llanta en curva o cornering
stiffness 𝐶𝛼.
3.3 Modelos de la llanta en estado estacionario
A continuación se presenta algunos de los principales modelos de llantas utilizados en la
literatura. Una descripción más detallada de cada uno se puede encontrar en [9]. La mayoría
de los modelos de las llantas tienen como fundamento principal el modelo de cepillo, en
cuanto a la generación de las fuerzas (longitudinales y laterales). Éste modelo se utilizó antes
que los modelos de llanta empíricos fueran dominantes.
El modelo se obtiene dividiendo el volumen del caucho en la huella de contacto en pequeños
elementos tipo “cepillo” y describe la generación de las fuerzas de la llanta partiendo el área
de contacto de la llanta en una región de deslizamiento y en una región de adhesión. En la
región de deslizamiento, se supone que son causadas por fuerzas de fricción de deslizamiento,
mientras que en la región de adhesión del cepillo se asume que éstas son consecuencia de las
deformaciones elásticas del volumen de caucho que se encuentra entre la carcasa del
neumático y el suelo. Los efectos de la deformación de la carcasa de la llanta se desprecian
dado que ésta se asume rígida.
Cada uno de los elementos se extiende lateralmente (ancho) sobre el área de contacto en la
dirección y, pero su largo se asume infinitesimal en la dirección longitudinal x. A cada uno
de los elementos que conforman el “cepillo”, se llaman individualmente cerdas. Se asume
que cada una de las cerdas se deforma de forma independiente en la dirección longitudinal y
lateral. En la región adhesiva, la fuerza de deformación de las cerdas se da por la fricción
estática, mientras que en la región de deslizamiento la fuerza es independiente de las
deformaciones en las cerdas. En [10] se encuentra el desarrollo matemático de este modelo
19
y del concepto de generación de las fuerzas en función del coeficiente de deslizamiento
longitudinal y el ángulo de deslizamiento de las ruedas.
3.3.1 Modelo de Burckhardt
El modelo de Burckhardt [11] [12] es un modelo de llanta empírico que se ajusta de forma
muy precisa al comportamiento real de la llanta. En éste se propone una definición de
deslizamiento distinta a la presentada con anterioridad, denotada con 𝜆𝐿. El coeficiente 𝜆𝐿,
representa el deslizamiento en la dirección de trayectoria en la que se encuentra la rueda. El
modelo se puede utilizar para situaciones de deslizamiento combinado y la dirección de la
fuerza resultante es colineal con el vector de deslizamiento 𝜆𝑟𝑒𝑠. Los efectos no lineales de
la carga en la llanta se incluyen en el modelo, tal como se presenta a continuación:
𝜆𝐿 =𝜔𝑟 cos(𝛼) − 𝑣𝑥
𝑣𝑥 (4)
𝜆𝑆 =𝜔𝑟 sin(𝛼)
𝑣𝑠 (5)
𝜆𝑟𝑒𝑠 = √𝜆𝐿2 + 𝜆𝑆
2 (6)
𝐹 = (𝐴(1 − 𝑒−𝐵𝜆𝑟𝑒𝑠) − 𝐶𝜆𝑟𝑒𝑠)𝑒−𝐷𝜆𝑟𝑒𝑠(1 − 𝐸𝐹𝑧
2) (7)
La principal desventaja de este modelo es que asume que las características de la llanta son
iguales en ambas direcciones. Los coeficientes A, B, C, D, E se obtienen mediante un proceso
de ajuste de parámetros de acuerdo a resultados experimentales. Por lo cual, es de esperarse
que varíen para distintos terrenos y para llantas con distintas características.
3.3.2 Fórmula “Mágica”
El modelo actualmente predominante y más ampliamente usado es el modelo de la fórmula
mágica que se presenta en [13]. El modelo presenta la fuerza de tracción longitudinal 𝐹𝑥, la
fuerza de tracción lateral 𝐹𝑦, y el momento de alineamiento de la llanta 𝑀𝑧, de acuerdo a la
siguiente ecuación:
𝑔(ℎ) = 𝐷 sin (𝐶 atan((1 − 𝐸)ℎ + (𝐸
𝐵)atan(𝐵ℎ) )) (8)
20
Donde (h,g) corresponde a (𝜆, 𝐹𝑥), (𝛼, 𝐹𝑦), o (𝛼,𝑀𝑧). Los coeficientes B, C, D, E se definen
como un factor de rigidez, un factor de forma, un factor de valor pico, y un factor de
curvatura, respectivamente. Los cuatro coeficientes son únicos para 𝐹𝑥, 𝐹𝑦 y 𝑀𝑧. Una
aproximación de estos coeficientes en función de la carga normal 𝐹𝑧 se presenta a
continuación:
𝐶 = 𝑎0 (9)
𝐷 = 𝑎1𝐹𝑧2 + 𝑎2𝐹𝑧 (10)
𝐵 =𝑎3𝐹𝑧
2 + 𝑎4𝐹𝑧𝐶𝐷𝑒𝑎𝑠𝐹𝑧
(11)
𝐸 = 𝑎6𝐹𝑧2 + 𝑎7𝐹𝑧 + 𝑎8 (12)
La fórmula mágica se ha extendido para expresar empíricamente la mayoría de propiedades
interesantes que tiene la llanta, y se ha llegado a mejorar hasta el punto que actualmente se
puede encontrar como un producto comercial llamado 𝑀𝐹 − 𝑡𝑦𝑟𝑒. El modelo completo se
encuentra en [14] e incluye aproximadamente 85 parámetros que tienen que ser ajustados de
acuerdo a datos experimentales.
3.3.3 Modelo de la llanta de Dugoff
El modelo de la llanta de Dugoff es uno de los tres modelos a los que usualmente se les
conoce como modelos HSRI, los cuales han sido desarrollados en el Instituto de Investigación
de Seguridad en las Carreteras (HSRI, por sus siglas en inglés). El modelo de Dugoff [15]
es una alternativa al modelo elástico de llanta desarrollado por Fiala [16] y al modelo de
generación de fuerza lateral de Pacejka y Sharp [17] para la generación de fuerza lateral y
longitudinal combinada. El modelo, asume una distribución homogénea de presión vertical
en la huella de contacto, mientras que el modelo de Pacejka y Sharp asume una distribución
de presión parabólica. A pesar de su simplicidad en relación con otros modelos que también
permiten combinar el comportamiento longitudinal y lateral de la llanta, el modelo de Dugoff
permite asumir valores diferentes en la rigidez longitudinal y rigidez lateral de la llanta,
además que es dependiente de la velocidad longitudinal de la llanta. Las ecuaciones (13) y
(14) presentan las fuerzas longitudinales y laterales según este modelo.
𝐹𝑥 =𝐶𝜆𝜆𝑥1 − 𝜆𝑥
𝑓(𝐻) (13)
𝐹𝑦 =𝐶𝛼 tan(𝛼)
1 − 𝜆𝑥𝑓(𝐻) (14)
𝑉𝑠 = 𝑉𝑢√𝜆𝑥2 + tan(𝛼)2 (15)
21
𝜇 = 𝜇𝑝𝑖𝑐𝑜(1 − 𝐴𝑠𝑉𝑠) (16)
𝐻 =𝜇𝐹𝑧(1 − 𝜆𝑥)
2√(𝐶𝜆𝜆𝑥)2 + (𝐶𝛼 tan(𝛼))2 (17)
𝑓(𝐻) = {𝐻(2 − 𝐻) 𝐻 < 1
1 𝐻 ≥ 1 (18)
Dónde:
𝑉𝑢: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 [𝑚/𝑠]
𝜆𝑥: 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 [−]
𝛼: Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 [𝑟𝑎𝑑]
𝜇𝑝𝑖𝑐𝑜: 𝑃𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎
𝐴𝑠: 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 [𝑠/𝑚]
𝐹𝑧: 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 [𝑁]
𝐶𝜅: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 [𝑁]
𝐶𝛼: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 [𝑁/𝑟𝑎𝑑]
La función 𝑓(𝐻) permite modelar la transición que ocurre en las fuerzas tanto longitudinales
como laterales, cuando 𝐻 = 1. Ésta transición ocurre cuando la llanta abandona la región
donde su comportamiento es lineal y comienza su región no lineal. El modelo se puede
reducir a generación de fuerzas puramente longitudinales con 𝛼 = 0 o a generación de
fuerzas puramente laterales, con 𝜆 = 0.
FIGURA 4 - ELIPSE DE FRICCIÓN. FUERZAS LONGITUDINALES Y LATERALES
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fx/F
z (N)
Fy/F
z (
N)
𝜶 = 𝟎°
𝜶 = 𝟐. 𝟗°
𝜶 = 𝟏𝟒. 𝟑°
22
La Figura 4 presenta la relación entre las fuerzas longitudinales y laterales que se presentan
en la llanta para distintas condiciones de deslizamiento longitudinal y para varios ángulos de
deslizamiento. Para éste caso de ejemplo se tomó la fuerza normal en la llanta 𝐹𝑧 = 5000 [𝑁].
Teniendo en cuenta la naturaleza de las ecuaciones (17) y (18), se puede ver que para que la
generación de fuerzas se realice de forma simétrica es necesario que los valores del
coeficiente de deslizamiento longitudinal sean siempre positivos (o igual a cero), tal como se
presenta en las ecuaciones (1) y (2). Como se puede apreciar, mientras 𝛼 ≠ 0 siempre se van
a presentar fuerzas laterales distintas de cero. Para un mismo ángulo de deslizamiento, las
fuerzas longitudinales y laterales van a variar en función de la proporción de deslizamiento
𝜆, de forma que conforme 𝜆 sea más cercano a cero, las fuerzas laterales van a ser mucho
mayores que las longitudinales. Esta relación se logra ver con mayor claridad en la figura 5.
FIGURA 5. COEFICIENTES DE FRICCIÓN LONGITUDINALES (AZUL) Y LATERALES (ROJO).
En definitiva este modelo se ajusta razonablemente bien al comportamiento combinado de la
llanta, para valores pequeños tanto del coeficiente de deslizamiento como del ángulo de
deslizamiento. Sin embargo, cuando la llanta está operando con coeficientes de deslizamiento
altos o en grandes ángulos de deslizamiento, los efectos acoplados entre las fuerzas
longitudinales y laterales no se modelan con exactitud. En la elipse de las dos figuras
anteriores, se presentan los valores de las fuerzas de tracción longitudinales y laterales para
un deslizamiento de 100%.
En la figura 6 se presenta la relación entre las fuerzas longitudinales y laterales que se generan
en la llanta en todo el dominio de deslizamiento longitudinal y para varios ángulos de
deslizamiento. Teniendo en cuenta la naturaleza de las ecuaciones (10) y (11), se puede ver
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
Delizamiento
Co
efi
cie
nte
de f
ricció
n [
-]
= 0°
= 0°
= 2.9°
= 2.9°= 14.3°
= 14.3°
= 34.4°
= 34.4°
Lateral
Longitudinal
23
que para que la generación de fuerzas se realice de forma simétrica es necesario que los
valores del coeficiente de deslizamiento longitudinal sean siempre positivos (o igual a cero).
FIGURA 6. ELIPSE DE FRICCIÓN ENTRE LOS COEFICIENTES DE TRACCIÓN LONGITUDINALES
Y LATERALES.
(a) (b)
FIGURA 7. COEFICIENTES DE TRACCIÓN EN X Y EN Y EN FUNCIÓN DEL COEFICIENTE DE
DESLIZAMIENTO Y EL ÁNGULO DE DESLIZAMIENTO.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fx/F
z
Fy/F
z
y: -0.83
y: -0.93
y: -0.96
y: -0.6
y: -0.3
y: 0
y: 0.3
y: 0.6
y: 0.96
y: 0.93
y: 0.83
, = -45.8/
, = -34.4/
, = -17.2/
, = -5.7/
, = -2.9/
, = 0/
, = 2.9/
, = 5.7/
, = 17.2/
, = 34.4/
, = 45.8/
24
Si se analiza nuevamente el modelo de llanta de Dugoff y se calcula el coeficiente de tracción
total de la llanta 𝜇𝑇, como se presenta en la ecuación (15) dado que Dugoff parte del concepto
de elipse de fricción, se puede lograr una mayor claridad en la variación de dicho coeficiente
en función del ángulo de deslizamiento de la llanta y el coeficiente de fricción longitudinal.
𝜇𝑇 = √𝜇𝑥2 + 𝜇𝑦2 (19)
FIGURA 8. MAGNITUD DEL COEFICIENTE DE TRACCIÓN (LONGITUDINAL Y LATERAL) EN
UNA LLANTA.
La figura 9 presenta el contorno de la magnitud del coeficiente de tracción previamente
mencionado, en función de λ y α para pavimento seco. La componente de la velocidad del
vehículo en el plano de la rueda se tomó como 20 [m/s] y la fuerza normal sobre la llanta
como 𝐹𝑧 = 2150 [𝑁].
25
FIGURA 9. CONTORNO DE LA MAGNITUD DEL COEFICIENTE DE TRACCIÓN TOTAL EN UNA
LLANTA.
De la gráfica se puede evaluar cuál es el mejor compromiso entre el coeficiente de tracción
y el ángulo de deslizamiento de la llanta con el fin de lograr el mayor valor de coeficiente de
tracción total. Para este caso en particular, se tiene que el valor de λ que maximiza 𝜇𝑇 para
todo el dominio de α de la figura es un coeficiente de deslizamiento de λ= ± 18.0 %.
3.4 Modelos de llanta con respuesta transitoria
Las fuerzas de tracción no se generan de forma instantánea frente a cualquier maniobra de
conducción, sino que requieren que la llanta gire cierta distancia y exista la deformación
suficiente, para que aparezcan. Esto es de gran importancia para los sistemas de control del
deslizamiento longitudinal, tal como se verá más adelante. Igualmente se debe tener en cuenta
que el comportamiento de la llanta en condiciones de estado estacionario, se encuentra
alejado de la realidad, sobre todo en situaciones en las cuales el vehículo se encuentra
acelerando y frenando continuamente.
Uno de los modelos que incluyen la respuesta transitoria de la llanta es el modelo dinámico
de LuGre. Dicho modelo de llanta se desarrolló bajo la cooperación del Departamento de
Control Automático en la universidad de Lund y el laboratorio de control automático
(Laboratoire d’Automatique) en Grenoble [18]. El modelo describe un fenómeno dinámico
en el cual se presenta el aumento de la fuerza de tracción en condiciones en las cuales se
tienen superficies con fricción que se encuentren deslizando una sobre otra.
0.8
0.80.8
0.9
0.90.9
0.9
0.9
0.9
0.9
0.9
0.9
0.95
0.95
0.95
0.95
0.950.95
0.9
5
11
111
1
1.05
1.05
1.05
1.05
1.0
5
1.1
1.1
1.1
1.1
1.05
1.05
10.950.90.80.7
Deslizamiento
An
gu
lo d
e d
esl
iza
mie
nto
[de
g]
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
26
El modelo propuesto depende de la velocidad del vehículo, lo cual concuerda con los
resultados obtenidos de acuerdo a pruebas experimentales.
3.4.1 Modelo de LuGre concentrado
El modelo de LuGre concentrado, se propone como una extensión del modelo de fricción de
Dahl, que incluye el efecto Stribeck y tal como se desarrolla en [19] y [20]. Éste viene dado
por:
𝑣𝑟 = 𝜔𝑟 − 𝑣𝑥 (20)
�̇� = 𝑣𝑟 −𝜎0|𝑣𝑟|
𝑔(𝑣𝑟) 𝑧 (21)
𝐹 = (𝜎0𝑧 + 𝜎1�̇� + 𝜎2𝑣𝑟)𝐹𝑧 (22)
𝑔(𝑣𝑟) = 𝜇𝑐 + (𝜇𝑠 − 𝜇𝑐)𝑒−|𝑣𝑟𝑣𝑠|𝛼𝑠𝑠
, 𝜇𝑐 ≤ 𝜇𝑠 (23)
En donde:
𝜎0: 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑢𝑐ℎ𝑜
𝜎1: 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑢𝑐ℎ𝑜
𝜎2: 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑟
𝜇𝑐: 𝐹𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏
𝜇𝑠: 𝐹𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑣𝑠: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑟𝑖𝑏𝑒𝑐𝑘
𝛼𝑠𝑠: 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑧: 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Como se puede apreciar, el modelo de LuGre presenta una discontinuidad en condiciones de
estado estacionario cuando se tiene una velocidad relativa igual a cero.
3.4.2 Modelo de LuGre distribuido
Para garantizar que el modelo no presente problemas de discontinuidad en condiciones de
estado estacionario, se plantea que el modelo de LuGre distribuido proponiendo un nuevo
estado de fricción 𝑧(𝜁, 𝑡), el cual representa la deflexión de las cerdas de forma que ésta
dependa tanto del tiempo como de la posición de contacto 𝜁 sobre la huella de contacto. La
huella de contacto, representa la proyección de la superficie de la llanta que se encuentra en
contacto con el suelo. La longitud de la huella se propone de tamaño 𝐿.
27
El modelo de LuGre distribuido se puede escribir como [20]:
𝜕𝑧
𝜕𝜁 (𝜁, 𝑡)|𝑟𝜔| +
𝜕𝑧
𝜕𝑡 (𝜁, 𝑡) = 𝑣𝑟 −
𝜎0|𝑣𝑟|
𝑔(𝑣𝑟)𝑧(𝜁, 𝑡) (24)
La fuerza de fricción viene dada por:
𝐹𝑡 (𝑡) = ∫ (𝜎0𝑧(𝜁, 𝑡) + 𝜎1𝛿𝑧(𝜁, 𝑡)
𝛿𝑡 + 𝜎2𝑣𝑟)
𝐿
0
𝑓𝑛 (𝜁)𝑑𝜁 (25)
Donde 𝑓𝑛(𝜁) es la función de densidad de la fuerza normal (fuerza por unidad de distancia)
a lo largo de la huella de contacto.
3.4.3 Características del modelo de LuGre distribuido en estado
estacionario.
Las características en estado estacionario del modelo de LuGre distribuido se obtiene
tomando la derivada en el tiempo del estado 𝑧 = 0 y suponiendo que las velocidades 𝑣𝑥 y 𝜔
son constantes. Por lo cual se obtiene la modificación de la ecuación (24) como:
𝜕𝑧
𝜕𝜁 (𝜁, 𝑡) =
1
|𝑟𝜔|(𝑣𝑟 −
𝜎0|𝑣𝑟|
𝑔(𝑣𝑟)𝑧(𝜁, 𝑡)) (26)
De lo cual, resolviendo para el estado 𝑧 en estado estacionario (𝑧𝑒𝑒) se obtiene:
𝑧𝑒𝑒(𝜁) = 𝑠𝑔𝑛(𝑣𝑟)𝑔(𝑣𝑟)
𝜎0(1 − 𝑒
−𝜎0
𝑔(𝑣𝑟) |𝑣𝑟𝜔𝑟
|𝜁) (27)
Como se puede apreciar en condiciones de 𝜔 = 0, el modelo concuerda con el modelo de
LuGre de un solo punto de contacto y por lo tanto, se puede ver como para condiciones de
una llanta bloqueada, la generación de fuerzas se debe únicamente al deslizamiento.
Para poder resolver la integral propuesta en la ecuación (25) es necesario definir el tipo de
distribución de la fuerza normal en la huella de contacto de la llanta. Se propone el caso más
sencillo, en el cual la distribución se supone uniforme.
28
𝑓𝑛(𝜁) =𝐹𝑧𝐿, ∀ 0 ≤ 𝜁 ≤ 𝐿 (28)
𝐹𝑧𝑒𝑒 = (𝑠𝑔𝑛(𝑣𝑟)𝑔(𝑣𝑟)
𝜎0(1 − (
𝑍
𝐿) 𝑒−
𝐿𝑍) + 𝜎2𝑣𝑟)𝐹𝑧 , 𝑍 =
𝑔(𝑣𝑟)
𝜎0𝜁 |𝜔𝑟
𝑣𝑟| (29)
Una de las principales características de este modelo es que a diferencia de los modelos de
llanta en estado estacionario, el modelo de LuGre depende explícitamente de los estados del
sistema 𝑣𝑥 y 𝜔, tal como se encuentra en los resultados experimentales reportados en la
literatura. Se debe tener en cuenta que es imposible reproducir las curvas de coeficiente de
tracción en función del deslizamiento bajo condiciones de conducción normales, dado que
no se pueden controlar de forma independiente los argumentos 𝑣𝑥 y 𝜔 del modelo.
3.4.4 Modelo de LuGre promediado
A pesar que el modelo distribuido de LuGre captura de mejor manera el comportamiento de
la llanta en comparación con el modelo de LuGre concentrado (o de una sola cerda), es
necesario obtener un modelo discreto y el cual no sea tan pesado de solucionar
computacionalmente, ya que para el de LuGre distribuido es necesario resolver las
ecuaciones diferenciales parciales.
Para ello se define un nuevo estado de fricción promedio 𝑧̅, con el fin de poderlo expresar
por medio de una ecuación diferencial ordinaria.
𝑧̅̇ (𝑡) =1
𝐹𝑧∫
𝜕𝑧
𝜕𝑡(𝜁, 𝑡)𝑓𝑛(𝜁)𝑑𝜁
𝐿
0
(30)
𝑧̅̇ (𝑡) = 𝑣𝑟 −𝜎0|𝑣𝑟|
𝑔(𝑣𝑟)𝑧̅(𝑡) −
|𝜔𝑟|
𝐹𝑧 ∫
𝜕𝑧(𝜁, 𝑡)
𝜕𝜁
𝐿
0
𝑓𝑛(𝜁)𝑑𝜁 (31)
𝐹𝑡 (𝜔(𝑡), 𝑣(𝑡)) = (𝜎0𝑧̅(𝑡) + 𝜎1𝑧̅̇(𝑡) + 𝜎2𝑣𝑟)𝐹𝑧 (32)
La solución al término integral presente en la ecuación (31) incluye un término a causa de
las condiciones de frontera mientras que se incluye un término integral que depende de la
distribución de la fuerza en la huella de contacto. La ecuación (31) se puede escribir tal como
se presenta a continuación:
𝑧̅̇ (𝑡) = 𝑣𝑟 −𝜎0|𝑣𝑟|
𝑔(𝑣𝑟)𝑧̅(𝑡) − 𝜅(𝑡)|𝜔𝑟|𝑧̅(𝑡) (33)
29
La función de densidad de la fuerza normal se incluye en el término 𝜅(𝑡) y por lo tanto, 𝜅
puede ser una constante o puede ser una función donde aparezca explícitamente el estado de
fricción promedio 𝑧̅. La variable 𝜅(𝑡) se define como:
𝜅(𝑡) =1
𝐹𝑛𝑧̅{[𝑧(𝜁, 𝑡)𝑓𝑛(𝜁)]0
𝐿 − ∫ 𝑧(𝜁, 𝑡)𝜕𝑓𝑛(𝜁)
𝜕𝜁
𝐿
0
𝑑𝜁 } (34)
Teniendo en cuenta que 𝜅(𝑡) captura la naturaleza distribuida del modelo de LuGre, se espera
que 𝜅(𝑡) > 0 de forma que el mapeo de la velocidad relativa a la generación de fuerzas de
tracción (𝑣𝑟(𝑡) → 𝐹𝑡(𝑡)) conserve sus propiedades de pasividad del modelo de LuGre
combinado.
En la figura 10 se presenta la relación entre el coeficiente de tracción y el coeficiente de
deslizamiento de la llanta, según el modelo de LuGre promediado en condiciones de estado
estacionario para asfalto seco. Como se puede apreciar, el coeficiente de tracción de las
llantas depende de forma independiente de dos estados del vehículo: la velocidad lineal de la
llanta (𝑣𝑥) y de la velocidad de la llanta en el punto de contacto (𝜔𝑟). Ésta es una de las
principales diferencias entre éste y los modelos en estado estacionario presentados con
anterioridad, ya que la aproximación clásica consiste en agrupar los dos estados mencionados
en una único coeficiente 𝜆 (ecuaciones (1) y (2)), que se puede lograr con infinitas
combinaciones de 𝑣𝑥 y 𝜔.
La ecuación del modelo de LuGre promediado en estado estacionario se presenta en la
ecuación (36). En éste caso para 𝜅 se asumió una distribución parabólica de presión en la
huella y la longitud L se eligió como 0.2 [m].
𝑧�̅�𝑒 =𝑣𝑟
𝜎0|𝑣𝑟|𝑔(𝑣𝑟)
− 𝜅|𝜔𝑟|
(35)
30
(a) Velocidad lineal entre: 0.5 [m/s] y 62 [m/s] (b) Velocidad lineal entre: 5 [m/s] y 62 [m/s]
FIGURA 10. COMPORTAMIENTO DE LA LLANTA SEGÚN EL MODELO DE LUGRE PROMEDIADO
EN E.E.
La única diferencia entre las dos superficies de la figura 10 es que en la segunda el dominio
de la velocidad lineal es más pequeño. Como se puede ver, la forma de la curva que relaciona
el coeficiente de tracción y el coeficiente de deslizamiento de la llanta cambia severamente
con el cambio de la velocidad lineal del vehículo.
Para cada una de las velocidades lineales en el rango de la figura 10 b), se puede ver que las
curvas presentan un coeficiente máximo de fricción entre el 15% y 20% del coeficiente de
deslizamiento longitudinal de las llantas, al igual que en los modelos de llanta en estado
estacionario anteriores para asfalto seco. Sin embargo, cuando la velocidad lineal es baja
(entre 0.5 [m/s] y 5 [m/s]) la curva de fricción tiene un comportamiento totalmente distinto
al comúnmente presentado para el asfalto seco, con los máximos coeficientes de fricción en
deslizamientos entre 25% y 55%. Este cambio es muy importante para reproducir de mejor
manera el comportamiento del vehículo durante el arranque. La línea negra de la figura 10
presenta los valores de deslizamiento en función de la velocidad lineal del vehículo de
acuerdo a una simulación de un arrancón de ¼ de milla.
3.5 Comparación entre el modelo en estado estacionario y con respuesta
transitoria
Con el fin de evidenciar la velocidad de respuesta del modelo de llanta con respuesta
transitoria a continuación se presenta un análisis en el cual se presenta la respuesta de la llanta
de acuerdo al modelo de fricción de LuGre promediado.
31
La figura 11 presenta la interfaz entre el coeficiente de fricción en función del coeficiente de
deslizamiento de las llantas del vehículo para distintos valores de la derivada del estado de
fricción 𝑧̅ para una barrido de velocidades lineales que se encuentran entre 0.5 [m/s] y 62
[m/s]. La línea negra ilustra los valores del coeficiente de fricción que se alcanzan cuando
𝑧̅̇ = 0, es decir los resultados del coeficiente de fricción para el modelo en estado
estacionario. Las demás líneas ilustran los valores del coeficiente de fricción que se alcanzan
con distintos valores de 𝑧̅̇, para los distintos coeficientes de deslizamiento.
FIGURA 11. COEFICIENTE DE FRICCIÓN EN FUNCIÓN DEL COEFICIENTE DE DESLIZAMIENTO
LONGITUDINAL DE LA LLANTA PARA DISTINTOS VALORES DE 𝑧̅̇.
En la figura 12 se presenta el tiempo que tarda la variable 𝑧̅̇ en llegar a los valores estipulados
en cada línea de la leyenda, para cada uno de los valores de coeficiente de deslizamiento de
la llanta. Se debe tener en cuenta que para cada caso, la solución de la ecuación diferencial
(33) se realizó haciendo que la variable 𝑧̅ partiera de condiciones iniciales nulas, y por lo
tanto, los tiempos presentados en la figura 12 indican el mayor tiempo que le toma a la
variable 𝑧̅̇ en llegar al valor fijado.
Como es de esperar, entre mayor es el valor de la derivada del estado de fricción que se quiere
alcanzar, el tiempo en llegar es menor. Por ejemplo para el caso 𝑧̅̇ = 1, el máximo tiempo
que tarda en llegar el sistema a dicho valor, para todo el dominio de deslizamiento
longitudinal de la llanta es 2.8𝑥10−3[s]. Conforme se quiere que 𝑧̅̇ sea más pequeño, los
tiempos de respuesta del sistema van a aumentar, hasta que eventualmente 𝑧̅ llegue a su valor
en estado estacionario (i.e. 𝑧̅̇ = 0).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Coe-ente de deslizamiento
7
6 vs 7
_7z =0.1_7z =0.2_7z =0.3_7z =0.4_7z =0.5_7z =1_7z = 0
32
FIGURA 12. TIEMPO QUE TOMA LA VARIABLE 𝑧̅̇ EN LLEGAR A CADA UNO DE LOS VALORES
INDICADOS PARA CADA COEFICIENTE DE DESLIZAMIENTO.
Con las figuras presentadas se puede ver que los tiempos de respuesta para llegar a valores
del coeficiente de fricción cercanos a al estado estacionario son bajos. Igualmente se debe
tener en cuenta que como se muestra en la figura 12 los menores tiempos para alcanzar los
valores de 𝑧̅̇ se presentan en altos valores de deslizamiento longitudinal, lo cual implica que
dada la definición propuesta de dicho coeficiente (ecuaciones (1) y (2)) se puede hacer la
suposición que la llanta se va a comportar de acuerdo a un modelo en estado estacionario
(e.g. LuGre promediado, Pacejka, Dugoff, etc).
Los parámetros que se utilizaron en el modelo de LuGre se basaron en los resultados
experimentales obtenidos por [21]. Para su obtención, se realizaron mediciones en 3 pruebas
de frenado sobre un vehículo de prueba con la instrumentación necesaria, bajo las mismas
condiciones de operación y de terreno. Posteriormente se utilizaron los datos recogidos para
encontrar los valores de las variables del modelo de LuGre promediado de acuerdo a un
proceso de identificación de parámetros. Finalmente se utilizaron los parámetros
encontrados, para validar el modelo de fricción dinámico comparando las fuerzas de tracción
en el tiempo predichas por el modelo de LuGre con las fuerzas de tracción de los tres
experimentos.
Partiendo de un modelo longitudinal de un cuarto de vehículo, presentado al detalle en [3],
se realizó la simulación de un arrancón de ¼ de milla para comparar las fuerzas de tracción
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Coe-ente de deslizamiento
Tiem
pos
_ 7 z[s]
Comparacion tiempos E.E.
_7z =0.1_7z =0.2_7z =0.3_7z =0.4_7z =0.5_7z =1_7z = 0
33
generadas de acuerdo a un vehículo con el modelo de llanta de LuGre promediado en estado
estacionario (35) y un vehículo con el modelo de LuGre promediado con dinámica asociada
(33). La figura 13 presenta una comparación en la generación de las fuerzas de tracción de
los dos vehículos. Como se puede ver, la fuerza de tracción longitudinal para el modelo
dinámico se genera a partir de cero, mientas que en el modelo en estado estacionario se
presenta un pico en la fuerza de tracción para el tiempo cero.
FIGURA 13. COMPARACIÓN DE LA GENERACIÓN DE LAS FUERZAS DE TRACCIÓN PARA EL
MODELO DE LUGRE PROMEDIADO.
En la figura 13 se puede ver que la fuerza de tracción predicha por el modelo de LuGre
promediado en estado estacionario es aproximadamente 1.7 veces mayor que la fuerza
máxima que se genera de acuerdo al modelo de fricción de LuGre con respuesta transitoria.
Es importante tener en cuenta que la discrepancia se presenta durante los 0.01 segundos
iniciales, y por lo tanto la diferencia en el tiempo de carrera entre los dos vehículos es
insignificante (Tabla 1). El valor en estado estacionario (𝑡 > 0.03 [s]) para los dos casos es
el mismo. Los tiempos de carrera de los vehículos se presentan en la Tabla 1.
TABLA 1. COMPARACIÓN DE TIEMPOS DE ¼ DE MILLA ENTRE LOS VEHÍCULOS
Modelos de LuGre promediado Tiempo de ¼ de milla [s]
Vehículo con modelo en E.E. 11.68 [s]
Vehículo con modelo dinámico 11.71 [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Tiempo [s]
Fu
erz
a [N
]
Fuerzas longitudinales
DinamicoEstado Estacionario
34
FIGURA 14. ERROR ENTRE LAS FUERZAS DE TRACCIÓN DEL MODELO DINÁMICO Y EL
MODELO EN E.E.
La figura 14 presenta el error porcentual entre las fuerzas generadas con cada modelo de
fricción. A los 0.01 segundos de carrera, el error entre las fuerzas de tracción es de 0.7%. Es
importante tener en cuenta que el estado de deslizamiento longitudinal en el tiempo 𝑡 =
0.01 [𝑠] es de 𝜆 = 98.7%.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tiempo [s]
Err
or
[%]
Diferencia de las fuerzas de tracción
35
4. Modelamiento del vehículo
El desarrollo de modelos vehiculares es el medio principal para entender el comportamiento
de un vehículo en distintas situaciones y escenarios. A la fecha, los esfuerzos por desarrollar
modelos que permitan describir correctamente éstos comportamientos, han llevado a
desarrollar modelos cada vez más enfocados en subsistemas del vehículo y en sus
componentes. Por ejemplo, se han desarrollado modelos que permiten obtener una
descripción exacta de la dinámica de las llantas del vehículo usando el método de elementos
finitos. Dado que la simulación de modelos tan específicos tiene un gran costo
computacional, es necesario realizar aproximaciones más simplificadas. Teniendo en cuenta
que cada vehículo es distinto en términos de su estructura y cinemática, es necesario realizar
modelos paramétricos que permitan generalizar el análisis de su comportamiento.
El sistema coordenado sobre el cual se plantearán las ecuaciones de movimiento del vehículo
se presenta en la Figura 15. Este sistema coordenado se establece en el punto donde se
encuentra el centro de masa del vehículo y define el eje de desplazamiento longitudinal del
vehículo como 𝑥, el eje lateral como 𝑦 y su eje de desplazamiento vertical como 𝑧. Para
describir la orientación del vehículo se definen los ángulos 𝜙, 𝜃 y 𝜓, donde 𝜙 es el ángulo
que expresa la rotación alrededor de un eje paralelo al eje 𝑥, que pasa por el centro instantáneo
de giro para condiciones de volcamiento (roll), 𝜃 expresa la rotación alrededor del eje 𝑦 y se
le conoce como cabeceo (pitch) y 𝜓 se usa para expresar el cambio de orientación (yaw) del
vehículo alrededor del eje 𝑧.
FIGURA 15 – SISTEMA COORDENADO EN EL MARCO DEL CUERPO DEL VEHÍCULO.
36
Vale la pena aclarar que los vectores 𝑥, 𝑦, 𝑧 del sistema coordenado definido, son ortogonales.
El modelamiento del vehículo se puede realizar de dos formas: En primer lugar, se puede
hacer un modelo tan complejo como sea posible, en el cual se tenga en cuenta una gran
cantidad de variables con el fin de definir adecuadamente el vehículo tanto dinámica como
geométricamente. La segunda alternativa consiste en realizar modelos simplificados del
vehículo con el fin de tener una buena aproximación de la interacción de fuerzas y momentos
del vehículo, como una definición aproximada de su geometría. La diferencia principal entre
estos 2 es el tiempo de cálculo computacional de cada uno.
Usualmente los modelos vehiculares se desarrollan analizando el vehículo únicamente en un
eje o en un plano, ignorando la interacción entre estos. A continuación se presentarán
modelos simplificados del vehículo, donde se planteará su dinámica, se definirán ciertas
características geométricas, y finalmente todos los modelos se integrarán con el fin de
analizar su interacción dinámica en el movimiento del vehículo en el espacio.
4.1 Modelo de la dinámica longitudinal del vehículo en el plano 𝒙𝒛
En la Figura 16 se ilustra el diagrama de cuerpo libre para un modelo de medio vehículo. Se
incluyen las relaciones geométricas 𝐿𝑟 y 𝐿𝑓 , que representan la distancia del centro de masa
al eje trasero y al eje delantero respectivamente. La figura 17 presenta un modelo
simplificado de la suspensión del vehículo eléctrico en el plano 𝑥𝑧, en el cual se modela el
chasis del vehículo como un cuerpo rígido, que en conjunto con la suspensión forman
sistemas masa-resorte-amortiguador, y las ruedas se modelan como sistemas masa resorte.
Los subíndices 𝑓 y 𝑟 hacen referencia a la ubicación frontal y trasera en el vehículo. Las
constantes 𝑘𝑖𝑠 𝑦 𝑘𝑖𝑡 (𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟}) representan la rigidez de la suspensión y la rigidez de las
llantas respectivamente, mientras que las constantes 𝐶𝑖𝑠 (𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟}) hacen referencia a los
coeficientes de amortiguación de la suspensión.
37
FIGURA 16 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE MEDIO VEHÍCULO EN EL PLANO XZ.
𝑚𝑒𝑞 ∗ 𝑥 ̈ = (𝐹𝑥𝑓 + 𝐹𝑥𝑟) − (𝑅𝑥𝑓 + 𝑅𝑥𝑟) − 𝐷𝑎𝑥
𝑥 ̈ =𝐹𝑥 − 𝑅𝑥 − 𝐷𝑎𝑥
𝑚 ∗ 𝑓𝑚
(36)
FIGURA 17. MODELO SIMPLIFICADO DE LA SUSPENSIÓN DEL VEHÍCULO EN EL PLANO XZ.
Tal como se puede apreciar en la figura, tanto las masas como el punto de contacto de las
llantas con la carretera presentan un grado de libertad en la dirección vertical (eje z) y por lo
tanto se van a tomar como marcos de referencia para su análisis. Aplicando la segunda ley
de Newton sobre el diagrama de cuerpo libre ilustrado en la figura 17, sea la aceleración
gravitatoria 𝑔 y �̈� = 0 se obtienen las ecuaciones de movimiento para la suspensión de medio
vehículo:
38
𝑧𝑓𝑐 = 𝑧𝑣 − 𝐿𝑓sin (𝜃𝑣)
𝑧𝑟𝑐 = 𝑧𝑣 + 𝐿𝑟sin (𝜃𝑣) (37)
�̇�𝑓𝑐 = �̇�𝑣 − �̇�𝐿𝑓cos(𝜃𝑣)
�̇�𝑟𝑐 = �̇�𝑣 + �̇�𝐿𝑟cos(𝜃𝑣) (38)
𝐹𝑓𝑣 = −𝑘𝑓𝑠(𝑧𝑓𝑐 − 𝑧𝑓𝑠) − 𝐶𝑓𝑠(�̇�𝑓𝑐 − �̇�𝑓𝑠)
𝐹𝑟𝑣 = −𝑘𝑟𝑠(𝑧𝑟𝑐 − 𝑧𝑟𝑠) − 𝐶𝑟𝑠(�̇�𝑟𝑐 − �̇�𝑟𝑠) (39)
𝑚𝑓𝑠�̈�𝑓𝑠 = 𝑘𝑓𝑠(𝑧𝑓𝑐 − 𝑧𝑓𝑠) + 𝐶𝑓𝑠(�̇�𝑓𝑐 − �̇�𝑓𝑠) − 𝑘𝑓𝑡(𝑧𝑓𝑠 − 𝑧𝑓𝑡) − 𝑚𝑓𝑠𝑔
𝑚𝑟𝑠�̈�𝑟𝑠 = 𝑘𝑟𝑠(𝑧𝑟𝑐 − 𝑧𝑟𝑠) + 𝐶𝑓𝑠(�̇�𝑟𝑐 − �̇�𝑟𝑠) − 𝑘𝑓𝑡(𝑧𝑓𝑠 − 𝑧𝑓𝑡) − 𝑚𝑟𝑠𝑔 (40)
𝐼𝑣�̈�𝑣 = 𝐹𝑓𝑣𝐿𝑓 − 𝐹𝑟𝑣𝐿𝑟 (41)
𝑚𝑣�̈�𝑣 = 𝐹𝑓𝑣 + 𝐹𝑟𝑣 −𝑚𝑣𝑔 (42)
Antes de analizar el movimiento acelerado del vehículo, es necesario realizar un diseño
aproximado del sistema de suspensión propuesto en condiciones estáticas. Para ello, se
pueden fijar los parámetros de la rigidez y amortiguamiento del sistema de forma que se logre
llegar a una frecuencia natural del sistema, ideal para las condiciones de carrera.
La frecuencia natural del sistema es un buen parámetro de diseño, dado que a pesar que el
sistema se encuentra amortiguado la diferencia no es significativa. Esto se puede apreciar en
las ecuaciones (43) y (44), donde para un 𝜁 = 0.3 se obtiene una razón entre la frecuencia
amortiguada y la frecuencia natural superior al 95%.
𝜁 =𝐶𝑒𝑞
√4𝐾𝑒𝑞𝑚𝑉
(43)
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 (44)
Teniendo en cuenta, que una frecuencia natural de 1 Hz es considerada una frecuencia óptima
para los vehículos de carretera [22], se fijaron los parámetros de la rigidez equivalente del
sistema para obtener dicha frecuencia. Esto, para el modelo netamente vertical.
Para modelar la dinámica del vehículo con movimiento acelerado, es necesario incluir la
dinámica de las llantas y su interacción con el vehículo eléctrico, como sistema dinámico.
Realizando la sumatoria de fuerzas y momentos ilustrados en la Figura 18 se obtienen las
ecuaciones que modelan la dinámica longitudinal de medio vehículo. Tal como se puede
apreciar en las 2 figuras mencionadas, la fuerza 𝐹𝑖𝑣 (𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟}) es igual a la normal de la
llanta que se esté analizando y por lo tanto ésta es igual a la elongación del resorte equivalente
a la llanta por su rigidez. El torque Tim viene dado por la ecuación (46), donde Tmotor es el
torque del motor eléctrico en función de su velocidad, Ntf una reducción fija y el coeficiente
Etf es la eficiencia total del tren de potencia.
39
FIGURA 18 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DEL VEHÍCULO EN EL PLANO XZ.
𝐹𝑧𝑖 = 𝑘𝑖𝑡(𝑧𝑖𝑡 − 𝑧𝑖𝑠) (45)
𝑇𝑖𝑚 = 𝑇𝑖𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑁𝑡𝑓𝐸𝑡𝑓 (46)
La ecuación (41) se modifica, para incluir los térmicos que aparecen como consecuencia del
movimiento acelerado del vehículo.
𝐼𝑣�̈�𝑣 = (ℎ𝑒𝑗𝑒 + 𝐿𝑓𝜃𝑣)(𝐹𝑥𝑓 − 𝑅𝑥𝑓) + (ℎ𝑒𝑗𝑒 − 𝐿𝑟𝜃𝑣)(𝐹𝑥𝑟 − 𝑅𝑥𝑟)
+ 𝐹𝑓𝑣𝐿𝑓 − 𝐹𝑟𝑣𝐿𝑟 + 𝑇𝑟𝑚 + 𝑇𝑓𝑚 + ℎ𝑐𝑝𝐷𝑎𝑥 (47)
FIGURA 19 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE UNA RUEDA CONDUCIDA.
Haciendo sumatoria de momentos en el eje de rotación de la llanta y modelando su inercia
como la inercia de un disco se obtiene la siguiente ecuación, donde la constante 𝑚𝑖𝑡 es la
masa de la rueda.
𝐹𝑡𝑥
𝑇𝑚𝑇
𝐹𝑧
𝜔
40
�̈�𝑖 = 𝑇𝑖𝑚 − 𝐹𝑥𝑖𝑟
12𝑚𝑖𝑡𝑟2
(48)
4.2 Modelo de la dinámica del vehículo en el plano 𝒚𝒛
Tal como se expresó con anterioridad, con el modelo de la dinámica de medio vehículo con
suspensión se puede conocer el estado de carga de las ruedas que se encuentran sobre un
mismo eje en el vehículo. Sin embargo, dicho modelo resulta incompleto si se desea extender
los movimientos del vehículo, al analizar tanto su dinámica longitudinal como su dinámica
lateral. Para ello es necesario realizar el modelo del vehículo en el plano 𝑦𝑧. Al realizar dicho
modelo, se pretende conocer tanto el estado de carga de las llantas en su lado derecho (𝑟),
como en su lado izquierdo (𝑙) con el fin de calcular la fuerza de tracción que produce cada
una.
En primer lugar, se supone el vehículo como un cuerpo rígido, en una situación de curva en
estado estable y se realiza un análisis sobre las fuerzas que lo afectan, tal como se puede
apreciar en la Figura 20.
FIGURA 20- DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE EN SITUACIÓN DE CURVA EN ESTADO ESTABLE.
Donde 𝑎𝑦 representa la aceleración lateral del vehículo al tomar la curva. La fuerza normal
𝐹𝑧𝑟 representa la carga en las ruedas del lado derecho del vehículo y la fuerza 𝐹𝑧𝑙 representa
la carga en las ruedas del lado izquierdo. Tal como se puede apreciar en la figura, se hace la
suposición que el ángulo de balanceo 𝜙 es muy pequeño, y que la distancia entre las ruedas
41
de cada lado del vehículo es 𝐿𝑡𝑐𝑘. Al realizar la sumatoria de momentos en el punto de
contacto de las ruedas del lado derecho con la carretera, se tiene:
𝑚𝑎𝑦ℎ + 𝐹𝑧𝑙𝐿𝑡𝑐𝑘 −𝑚𝑔 (𝐿𝑡𝑐𝑘2) = 0
𝐹𝑧𝑙 =𝑚𝑔(
𝐿𝑡𝑐𝑘2 ) − 𝑚𝑎𝑦ℎ
𝐿𝑡𝑐𝑘
(49)
𝑎𝑦@𝐹𝑧𝑙=0 =𝐿𝑡𝑐𝑘2ℎ
𝑔 (50)
La ecuación anterior calcula el valor necesario de la aceleración lateral del vehículo, para que
la fuerza normal de las ruedas izquierdas del vehículo sea cero. El factor 𝐿𝑡𝑐𝑘
2ℎ se presenta
como un índice de la estabilidad del vehículo en situaciones de giro. Entre más bajo sea dicho
factor, la aceleración lateral permisible antes de llegar a una condición de volcamiento del
vehículo es menor.
FIGURA 21 - DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE UN VEHÍCULO CON ACELERACIÓN LATERAL,
EN EL PLANO YZ.
La Figura 21 presenta el diagrama de cuerpo libre, de un vehículo con suspensión en el plano
𝑦𝑧. Se realiza la suposición que el vehículo se encuentra sobre una carreta plana. El momento
de inercia del vehículo respecto a su centro de masa se define como 𝐼𝑥, ℎ𝑟 se define como la
distancia entre el centro de masa del vehículo y el centro de rotación y ℎ𝑟𝑑𝑎 se define como
la distancia entre el centro de rotación del vehículo y el centro de presión donde impacta la
𝑧𝑙𝑐
𝑧𝑙𝑠
𝑧𝑙𝑡
𝑧𝑟𝑠
𝑧𝑟𝑐
𝑧𝑣
𝑘𝑙𝑡
𝑘𝑙𝑠𝐶𝑙𝑠
𝑘𝑟𝑡
𝑘𝑟𝑠𝐶𝑟𝑠
𝐶. .
𝑅. 𝐶.
𝑧𝑟𝑡
𝑚𝑎𝑌
𝑚𝑔
42
componente lateral de la fuerza aerodinámica. Haciendo la sumatoria de momentos del
sistema respecto al centro de giro del vehículo (𝑅. 𝐶.), se tienen las siguientes ecuaciones:
∑𝑀𝑥 = (𝐼𝑥 +𝑚𝑣ℎ𝑟2)�̈�
= (𝐿𝑡𝑐𝑘2
(𝐹𝑓𝑟𝑣 + 𝐹𝑟𝑟𝑣) −𝐿𝑡𝑐𝑘2
(𝐹𝑓𝑙𝑣 + 𝐹𝑟𝑙𝑣) + (ℎ𝑟𝑑𝑎𝐷𝑎𝑦)cos (𝜙)
+ (ℎ𝑟𝑎𝑦𝑚𝑣)cos (𝜙) + ℎ𝑟𝑚𝑣𝑔𝑠𝑖𝑛(𝜙))
(51)
Al combinar los dos modelos planteados con anterioridad, se obtienen ecuaciones
presentadas a continuación; donde los subíndices 𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟} corresponden al eje frontal y al
eje trasero respectivamente, y los subíndices 𝑗 ∈ {𝑙, 𝑟} corresponden a la ubicación izquierda
y ubicación a la derecha del vehículo, respectivamente.
𝐹𝑖𝑗𝑠 = −𝐹𝑖𝑗𝑣 = 𝑘𝑖𝑗𝑠(𝑧𝑖𝑗𝑐 − 𝑧𝑖𝑗𝑠) + 𝐶𝑖𝑗𝑠(�̇�𝑖𝑗𝑐 − �̇�𝑖𝑗𝑠) (52)
𝐹𝑖𝑗𝑡 = 𝑘𝑖𝑗𝑡(𝑧𝑖𝑗𝑠 − 𝑧𝑖𝑗𝑡) (53)
𝑚𝑖𝑗𝑠�̈�𝑖𝑗𝑠 = 𝐹𝑖𝑗𝑠 − 𝐹𝑖𝑗𝑡 −𝑚𝑖𝑗𝑠𝑔 (54)
𝑚𝑣�̈�𝑣 = 𝐹𝑓𝑟𝑣 + 𝐹𝑓𝑙𝑣 + 𝐹𝑟𝑟𝑣 + 𝐹𝑟𝑙𝑣 −𝑚𝑣𝑔 (55)
�̈� =
(𝐿𝑡𝑐𝑘2 ((𝐹𝑓𝑟𝑣 + 𝐹𝑟𝑟𝑣) − (𝐹𝑓𝑙𝑣 + 𝐹𝑟𝑙𝑣))
+ℎ𝑟𝑑𝑎𝐷𝑎𝑦 + ℎ𝑟(𝑎𝑦𝑚𝑣 +𝑚𝑣𝑔𝜙))
(𝐼𝑥 +𝑚𝑣ℎ𝑟2)
(56)
4.3 Modelo de la dinámica del vehículo en el plano 𝒙𝒚
La orientación y posición del vehículo en su marco coordenado (𝑥𝑦𝑧), se encuentran
referenciadas respecto a un marco coordenado fijo en el espacio (𝑋𝑌𝑍) (Figura 15). El marco
coordenado que se encuentra fijo en el espacio se llama marco inercial o global. Por lo tanto,
al analizar el movimiento del vehículo, su posición y orientación se encuentran expresadas
como la posición y orientación del marco del vehículo (𝑥𝑦𝑧) respecto al marco inercial
(𝑋𝑌𝑍).
Como se mencionó con anterioridad, el ángulo que permite expresar la orientación del
vehículo en el plano 𝑥𝑦 es el ángulo de giro 𝜓, y por lo tanto este se forma entre los ejes 𝑥 y
𝑋. El vector de velocidad del vehículo 𝑣 forma un ángulo con el eje de posición longitudinal
(x) llamado ángulo de deslizamiento del vehículo 𝛽. Por lo tanto el ángulo que forma el
43
vector de velocidad 𝑣 y el eje 𝑋 del marco inercial es 𝜓 + 𝛽 y es llamado ángulo de crucero
del vehículo.
Al analizar el movimiento del vehículo en el plano 𝑥𝑦, se tiene un sistema con 3 grados de
libertad: translación en los las direcciones 𝑥 y 𝑦 y una rotación sobre el eje 𝑧. Las ecuaciones
de Newton-Euler para el movimiento del vehículo, analizándolo como un cuerpo rígido en el
plano y respecto al marco coordenado del vehículo son:
∑𝐹𝑥 = 𝑚𝑣�̇�𝑥 −𝑚𝑣�̇��̇�𝑦 (57)
∑𝐹𝑦 = 𝑚𝑣�̇�𝑦 + 𝑚𝑣�̇��̇�𝑥 (58)
∑𝑀𝑐𝑚 = �̈�𝐼𝑧 (59)
Teniendo en cuenta que el ángulo 𝜓 permite expresar la rotación del marco móvil del
vehículo respecto al marco inercial, se define la matriz de rotación 𝑅𝑣𝐼𝑛 = 𝑅(𝜓, 𝑧).
𝑅𝑣𝐼𝑛 = [cos(𝜓) − sin(𝜓) 0
sin(𝜓) cos(𝜓) 00 0 1
] (60)
𝑅𝐼𝑛𝑣 = 𝑅𝑣𝐼𝑛 −1= 𝑅𝑣𝐼𝑛 𝑇
(61)
Por lo tanto si se desea la velocidad del vehículo en el marco inercial, partiendo de la
velocidad en el marco del vehículo, se tiene:
[
𝑣𝑋𝑣𝑌𝑣𝑍] = [
cos(𝜓) − sin(𝜓) 0
sin(𝜓) cos(𝜓) 00 0 1
] [
𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧]
= [
cos(𝜓) 𝑣𝑥 − sin(𝜓) 𝑣𝑦sin(𝜓) 𝑣𝑥 + cos(𝜓) 𝑣𝑦
0
]
(62)
[�̇�𝑋�̇�𝑌�̇�𝑍
] = [
cos(𝜓) (𝑣𝑥̇ − �̇�𝑣𝑦) − sin(𝜓) (𝑣�̇� + �̇�𝑣𝑥)
sin(𝜓) (�̇�𝑥 − �̇�𝑣𝑦) + cos(𝜓) (𝑣�̇� + �̇�𝑣𝑥)
0
] (63)
Por lo tanto, para obtener las aceleraciones en el marco del vehículo se tiene:
44
[𝐹𝑥𝐹𝑦0
] = 𝑚𝑣 𝑅𝐼𝑛𝑣 [�̇�𝑋�̇�𝑌�̇�𝑍
]
[𝐹𝑥𝐹𝑦0
] = 𝑚𝑣 𝑅𝐼𝑛𝑣 [
cos(𝜓) (𝑣𝑥̇ − �̇�𝑣𝑦) − sin(𝜓) (𝑣�̇� + �̇�𝑣𝑥)
sin(𝜓) (�̇�𝑥 − �̇�𝑣𝑦) + cos(𝜓) (𝑣�̇� + �̇�𝑣𝑥)
0
]
[𝐹𝑥𝐹𝑦0
] = 𝑚𝑣 [
𝑣�̇� − �̇�𝑣𝑦
𝑣�̇� + �̇�𝑣𝑥0
]
(64)
Teniendo en cuenta que se tiene un vehículo con sus 4 ruedas conducidas de forma
independiente, a continuación se presenta un esquema del modelo del vehículo para
movimientos en el plano 𝑥𝑦.
FIGURA 22 – ESQUEMA DEL MODELO DEL VEHÍCULO EN EL PLANO XY.
Las ecuaciones de movimiento longitudinal, lateral y de cambio de orientación se presentan
a continuación.
�̇�𝑥 =
((𝐹𝑥𝑓𝑟 + 𝐹𝑥𝑓𝑙)𝑐𝑜𝑠(𝛿) − (𝐹𝑦𝑓𝑟 + 𝐹𝑦𝑓𝑙)𝑠𝑖𝑛(𝛿)
+(𝐹𝑥𝑟𝑟 + 𝐹𝑥𝑟𝑙) − 𝑅𝑥𝑟𝑟 − 𝑅𝑥𝑓𝑙 − 𝑅𝑥𝑟𝑟 − 𝑅𝑥𝑟𝑙 − 𝐷𝑎𝑥 +𝑚�̇�𝑣𝑦)
𝑚
(65)
𝐿𝑓
𝐿𝑟
𝐹𝑦𝑓𝑟
𝐹𝑥𝑓𝑟
𝐹𝑦𝑟𝑟
𝐹𝑥𝑟𝑟
𝛿𝑟
𝒙
𝒚
𝜓 ̇
𝐹𝑦𝑓𝑙
𝐹𝑥𝑓𝑙
𝐹𝑦𝑟𝑙
𝐹𝑥𝑟𝑙
𝛿 𝑙
𝐿 𝑡𝑐𝑘
𝛽
VE
T
45
�̇�𝑦 =
((𝐹𝑥𝑓𝑟 + 𝐹𝑥𝑓𝑙)𝑠𝑖𝑛(𝛿) + (𝐹𝑦𝑓𝑟 + 𝐹𝑦𝑓𝑙)𝑐𝑜𝑠(𝛿)
+ (𝐹𝑦𝑟𝑟 + 𝐹𝑦𝑟𝑙) − 𝐷𝑎𝑦 −𝑚�̇�𝑣𝑥)
𝑚
(66)
�̈� = (
𝐿𝑓(𝐹𝑥𝑓𝑟 + 𝐹𝑥𝑓𝑙) sin(𝛿) + 𝐿𝑓(𝐹𝑦𝑓𝑟 + 𝐹𝑦𝑓𝑙) cos(𝛿)
−𝐿𝑟(𝐹𝑦𝑟𝑙 + 𝐹𝑦𝑟𝑟) + (𝐿𝑡𝑐𝑘2 ) (𝐹𝑥𝑓𝑟 − 𝐹𝑥𝑓𝑙)𝑐𝑜𝑠(𝛿)
+(𝐿𝑡𝑐𝑘2 ) (𝐹𝑦𝑓𝑙 − 𝐹𝑦𝑓𝑟)𝑠𝑖𝑛(𝛿) + (
𝐿𝑡𝑐𝑘2 ) (𝐹𝑥𝑟𝑟 − 𝐹𝑥𝑟𝑙))
𝐼𝑧
(67)
El vehículo puede dar dirección únicamente en sus ruedas frontales, y viene dada por los
ángulos 𝛿𝑙 y 𝛿𝑟 para la rueda frontal izquierda y derecha, respectivamente. Sin embargo, dado
que se va trabajar con ángulos de dirección relativamente pequeños, se va realizar la
suposición de 𝛿 ≈ 𝛿𝑙 ≈ 𝛿𝑟.
𝛽 = tan−1 (𝑣𝑦
𝑣𝑥) (68)
𝛾𝑖 = tan−1 (𝐿𝑡𝑐𝑘2𝐿𝑖
) (69)
𝑟𝑖𝑗 = √𝐿𝑖2 + (
𝐿𝑡𝑐𝑘2)2
(70)
4.4 Modelo de la dinámica del vehículo en el espacio 𝒙𝒚𝒛
Para obtener un modelo que describa el movimiento del vehículo en el espacio, se integran
los modelos de la dinámica del vehículo en los distintos planos, planteados con anterioridad.
Se debe tener en cuenta que no se modelaron algunos parámetros que afectan la dinámica del
vehículo y su desempeño tanto longitudinal como latereal (e.g. ángulo de avance (caster),
ángulo de caída de la rueda (camber), ángulo de convergencia de las ruedas (toe)).
En [23] los modelos de 5 DOF, 8 DOF, 9 DOF y 14 DOF se incluyen el fenómeno de
trasferencia de carga únicamente en el eje longitudinal (5 DOF y 9 DOF) y la trasferencia
de carga tanto longitudinal como lateral (8 DOF y 14 DOF), para vehículos sin suspensión y
con suspensión. También se realiza una comparación entre el desempeño de los modelos
vehiculares en según un modelo de llanta lineal y un modelo de llanta no lineal, para acciones
de conducción que impliquen su movimiento en el plano XY.
La convención que se utiliza para nombrar los modelos es: 𝑀𝑉&&#𝑆. Las letras 𝑀𝑉 indican
que se trata de un modelo vehicular, && indica si tiene dinámica únicamente longitudinal
46
𝑋𝑋, únicamente lateral 𝑌𝑌 o ambas 𝑋𝑌. En # se hace referencia al número de ruedas
independientes con que se está calculando el modelo, y finalmente el símbolo 𝑆 hace
referencia a si el modelo incluye suspensión o no. La Tabla 2 presenta los 5 modelos
planteados de acuerdo a la nomenclatura propuesta.
TABLA 2. NOMBRE DE LOS MODELOS VEHICULARES.
Modelos vehiculares Nombre
Modelo de 2 DOF 𝑀𝑉𝑌𝑌2
Modelo de 5 DOF 𝑀𝑉𝑋𝑌2
Modelo de 9 DOF 𝑀𝑉𝑋𝑌2𝑆
Modelo de 8 DOF 𝑀𝑉𝑋𝑌4
Modelo de 14 DOF 𝑀𝑉𝑋𝑌4𝑆
Dado que el modelo 𝑀𝑉𝑋𝑌4𝑆 (14 DOF) presenta un tiempo computacional de solución no
muy elevado, se toma como el modelo vehicular objetivo para implementar los controladores
propuestos más adelante. Se debe tener en cuenta que no se modelaron algunos parámetros
que afectan la dinámica del vehículo y su desempeño tanto longitudinal como lateral (e.g.
ángulo de avance (caster), ángulo de caída de la rueda (camber), ángulo de convergencia de
las ruedas (toe)). La figura 23 presenta un esquema del vehículo de acuerdo a un modelo de
suspensión simplificado.
Las constantes 𝑘𝑖𝑗𝑠 𝑦 𝑘𝑖𝑗𝑡 (𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟}, 𝑗 ∈ {𝑙, 𝑟}) representan la rigidez de la suspensión y la
rigidez de las llantas respectivamente, mientras que las constantes 𝑐𝑖𝑗𝑠 (𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟}, 𝑗 ∈
{𝑙, 𝑟}) hacen referencia a los amortiguadores de la suspensión de la llanta 𝑖𝑗. Tal como se
puede apreciar en la figura, tanto las masas como el punto de contacto de las llantas con la
carretera presentan un grado de libertad en la dirección vertical (eje z) y por lo tanto se van
a tomar como marcos de referencia para su análisis.
Las ecuaciones de movimiento para la suspensión de un vehículo completo en el espacio se
muestran a continuación, se debe tener en cuenta que para este caso se encuentran
linealizadas.
47
FIGURA 23. MODELO DE VEHÍCULO COMPLETO CON 14 DOF
{
𝑧𝑓𝑟𝑐 = 𝑧𝑣 − 𝐿𝑓𝜃 −
𝐿𝑡𝑐𝑘2
𝜙
𝑧𝑓𝑙𝑐 = 𝑧𝑣 − 𝐿𝑓𝜃 +𝐿𝑡𝑐𝑘2
𝜙
𝑧𝑟𝑟𝑐 = 𝑧𝑣 + 𝐿𝑟𝜃 −𝐿𝑡𝑐𝑘2
𝜙
𝑧𝑟𝑙𝑐 = 𝑧𝑣 + 𝐿𝑟𝜃 +𝐿𝑡𝑐𝑘2
𝜙
(71)
{
�̇�𝑓𝑟𝑐 = �̇�𝑣 − 𝐿𝑓�̇� −
𝐿𝑡𝑐𝑘2
�̇�
�̇�𝑓𝑙𝑐 = �̇�𝑣 − 𝐿𝑓�̇� +𝐿𝑡𝑐𝑘2
�̇�
�̇�𝑟𝑟𝑐 = �̇�𝑣 + 𝐿𝑓�̇� −𝐿𝑡𝑐𝑘2
�̇�
�̇�𝑟𝑙𝑐 = �̇�𝑣 + 𝐿𝑓�̇� +𝐿𝑡𝑐𝑘2
�̇�
(72)
𝐹𝑖𝑗𝑠 = 𝑘𝑖𝑗𝑠(𝑧𝑖𝑗𝑐 − 𝑧𝑖𝑗𝑠) + 𝑐𝑖𝑗𝑠(�̇�𝑖𝑗𝑐 − �̇�𝑖𝑗𝑠) (73)
𝐹𝑖𝑗𝑡 = 𝑘𝑖𝑗𝑡(𝑧𝑖𝑗𝑠 − 𝑧𝑖𝑗𝑡) (74)
𝑚𝑖𝑗𝑠�̈�𝑖𝑗𝑠 = 𝐹𝑖𝑗𝑠 − 𝐹𝑖𝑗𝑡 −𝑚𝑖𝑗𝑠𝑔 (75)
𝑚𝑣�̈�𝑣 = −𝐹𝑓𝑟𝑠 − 𝐹𝑓𝑙𝑠 − 𝐹𝑟𝑟𝑠 − 𝐹𝑟𝑙𝑠 −𝑚𝑣𝑔 (76)
(𝐼𝑥𝑥 +𝑚𝑣ℎ𝑟2)�̈� = (
𝐿𝑡𝑐𝑘2
(𝐹𝑓𝑟𝑠 + 𝐹𝑟𝑟𝑠) −𝐿𝑡𝑐𝑘2
(𝐹𝑓𝑙𝑠 + 𝐹𝑟𝑙𝑠) + 𝑚𝑣𝑔ℎ𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜙) − 𝑐𝜙�̇� − 𝑘𝜙𝜙
+ℎ𝑟𝑚𝑣
𝑚(((𝐹𝑡𝑓𝑟𝑥 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝛿) + (𝐹𝑡𝑓𝑟𝑦 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝛿) + (𝐹𝑡𝑟𝑟𝑦 + 𝐹𝑡𝑟𝑙𝑦))) )
(77)
𝑌𝑎
𝑃𝑖𝑡𝑐ℎ
𝑅𝑜𝑙𝑙
𝜙
𝜃
𝜓
𝑘𝑓𝑟𝑠, 𝑐𝑓𝑟𝑠
𝑘𝑟𝑟𝑠, 𝑐𝑟𝑟𝑠
𝑘𝑟𝑟𝑡 𝑘𝑓𝑙𝑠, 𝑐𝑓𝑙𝑠
𝑘𝑟𝑙𝑠, 𝑐𝑟𝑙𝑠
𝑘𝑟𝑙𝑡
𝑘𝑓𝑟𝑡𝑘𝑓𝑙𝑡
𝐿𝑡𝑐𝑘
48
𝐼𝑧𝑧�̈� = (𝐿𝑓(𝐹𝑡𝑓𝑟𝑥 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝛿) + 𝐿𝑓(𝐹𝑡𝑓𝑟𝑦 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝛿) − 𝐿𝑟(𝐹𝑡𝑟𝑙𝑦 + 𝐹𝑡𝑟𝑟𝑦) + (𝐿𝑡𝑐𝑘2) (𝐹𝑡𝑓𝑟𝑥 − 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝛿)
+ (𝐿𝑡𝑐𝑘2) (𝐹𝑡𝑓𝑙𝑦 − 𝐹𝑡𝑓𝑟𝑦)𝑠𝑖𝑛(𝛿) + (
𝐿𝑡𝑐𝑘2) (𝐹𝑡𝑟𝑟𝑥 − 𝐹𝑡𝑟𝑙𝑥))
(78)
Las ecuaciones asociadas a la dinámica de giro en el plano 𝑋𝑌, la dinámica longitudinal y
lateral y se presentan en las ecuaciones (78), (79) y (80), respectivamente.
𝑚�̈� = (𝐹𝑡𝑓𝑟𝑥 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝛿) − (𝐹𝑡𝑓𝑟𝑦 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑦)𝑠𝑖𝑛(𝛿) + (𝐹𝑡𝑟𝑟𝑥 + 𝐹𝑡𝑟𝑙𝑥)
+ �̇��̇�𝑚 − 𝐷𝑎𝑥 (79)
𝑚�̈� = (𝐹𝑡𝑓𝑟𝑥 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝛿) + (𝐹𝑡𝑓𝑟𝑦 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝛿) + (𝐹𝑡𝑟𝑟𝑦 + 𝐹𝑡𝑟𝑙𝑦)
− �̇��̇�𝑚 (80)
El movimiento de una llanta en rotación se presenta como aparece en la ecuación (81).
(𝐼𝑤𝑖𝑗 + 𝐼𝑡𝑓)�̇�𝑖𝑗 = 𝑇𝑚𝑖𝑗 − 𝐹𝑡𝑓𝑥𝑖𝑗𝑟 − 𝑇 𝑖𝑗 (81)
Para calcular las fuerzas de tracción de cada una de las ruedas se utilizan las fuerzas normales
en cada llanta:
𝐹𝑖𝑗𝑡 = −𝑘𝑖𝑗𝑡(𝑧𝑖𝑗𝑠 − 𝑧𝑖𝑗𝑡) (82)
El coeficiente de deslizamiento longitudinal de las llantas del vehículo se define como:
𝜆𝑖𝑗 =𝑟𝜔𝑖𝑗 − �̇�𝑖𝑗
𝑟𝜔𝑖𝑗, ∀ �̇�𝑖𝑗 ≤ 𝜔𝑖𝑗𝑟 (𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛) (83)
𝜆𝑖𝑗 =�̇�𝑖𝑗 − 𝑟𝜔𝑖𝑗
�̇�𝑖𝑗, ∀ �̇�𝑖𝑗 ≥ 𝜔𝑖𝑗𝑟 (𝑒𝑛 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜) (84)
A continuación se definen los ángulos de deslizamiento de cada una de las llantas del modelo
𝑀𝑉𝑋𝑌4𝑆.
𝛼𝑓𝑟 = 𝛿𝑇𝑓 − tan−1(�̇� + 𝐿𝑓 �̇�
�̇� +12 𝐿𝑡𝑐𝑘�̇�
) (85)
𝛼𝑓𝑙 = 𝛿𝑇𝑓 − tan−1(�̇� + 𝐿𝑓 �̇�
�̇� −12 𝐿𝑡𝑐𝑘�̇�
) (86)
𝛼𝑟𝑟 = 𝛿𝑇𝑟 − tan−1(�̇� − 𝐿𝑟 �̇�
�̇� +12 𝐿𝑡𝑐𝑘�̇�
) (87)
49
𝛼𝑟𝑙 = 𝛿𝑇𝑟 − tan−1(�̇� − 𝐿𝑟 �̇�
�̇� −12 𝐿𝑡𝑐𝑘�̇�
) (88)
Donde los ángulos de dirección totales 𝛿𝑇𝑖 (𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟}) incluyen un término de dirección de
las llantas a causa del ángulo de roll. Ésos se definen tal como se presentan en las ecuaciones
(89) y (90), donde las variables 𝐷𝜙𝑖 representan el coeficiente de dirección de las llantas
debido al roll.
𝛿𝑇𝑓 = 𝛿𝑓 + 𝐷𝜙𝑓𝜙 (89)
𝛿𝑇𝑟 = 𝐷𝜙𝑓𝜙 (90)
La variable 𝑥𝑖𝑗 (𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟}, 𝑗 ∈ {𝑟, 𝑙}) representa la rapidez del centro de la rueda y se define
como:
�̇�𝑓𝑟 = (�̇� +1
2𝐿𝑡𝑐𝑘�̇�) cos(𝛿𝑇𝑓) + (�̇� + 𝐿𝑓�̇�)sin (𝛿𝑇𝑓) (91)
�̇�𝑓𝑙 = (�̇� −1
2𝐿𝑡𝑐𝑘�̇�) cos(𝛿𝑇𝑓) + (�̇� + 𝐿𝑓�̇�)sin (𝛿𝑇𝑓) (92)
�̇�𝑟𝑟 = (�̇� +1
2𝐿𝑡𝑐𝑘�̇�) cos(𝛿𝑇𝑟) + (�̇� − 𝐿𝑟�̇�)sin (𝛿𝑇𝑟) (93)
�̇�𝑟𝑙 = (�̇� −1
2𝐿𝑡𝑐𝑘�̇�) cos(𝛿𝑇𝑟) + (�̇� − 𝐿𝑟�̇�)sin (𝛿𝑇𝑟) (94)
4.5 Simulaciones computacionales
En la figura 24 y en la figura 25 se presenta el desempeño de los 5 modelos vehiculares para
una maniobra de cambio de carril, suponiendo que el vehículo se encuentra a una velocidad
constante de 70 [km/h] sobre una carretera con asfalto seco. La figura 24 presenta el ángulo
de giñada del vehículo en el tiempo, mientras que la figura 25 ilustra la posición del vehículo
en el plano XY del plano inercial. El modelo de llanta utilizado es el modelo de llanta no
lineal de Dugoff [24].
Como se puede apreciar, los 5 modelos vehiculares tienen un comportamiento casi idéntico
dada la baja aceleración lateral que implica la maniobra a dicha velocidad (i.e. la máxima
alcanzada es de 0.4 [g]) y logran llevar acabo el cambio de carril sin ningún problema.
50
FIGURA 24. YAW RATE DE LOS VEHÍCULOS PARA UNA MANIOBRA DE CAMBIO DE CARRIL A
70 [KM/H].
FIGURA 25. POSICIÓN DE LOS VEHÍCULOS PARA UNA MANIOBRA DE CAMBIO DE CARRIL A
70 [KM/H].
En la figura 26 y en la figura 27 se presenta el desempeño de los 5 modelos vehiculares para
una maniobra de cambio de carril, suponiendo que el vehículo se encuentra a una velocidad
0 2 4 6 8-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Tiempo [s]
_ A[rad]
_A vs tiempo
2DOF (70)[km/h]
5DOF (70)[km/h]
8DOF (70)[km/h]
9DOF (70)[km/h]
14DOF (70)[km/h]
0 50 100 150 2000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Posicion en X [m]
Posici
on
enY
[m]
Posicion del vehiculo - Marco Inercial
2DOF (70)[km/h]
5DOF (70)[km/h]
8DOF (70)[km/h]
9DOF (70)[km/h]
14DOF (70)[km/h]
51
constante de 170 [km/h] sobre la misma carretera anterior y utilizando el mismo modelo no
lineal de la llanta.
FIGURA 26. YAW RATE DE LOS VEHÍCULOS PARA UNA MANIOBRA DE CAMBIO DE CARRIL A
170 [KM/H].
FIGURA 27. POSICIÓN DE LOS VEHÍCULOS PARA UNA MANIOBRA DE CAMBIO DE CARRIL A
170 [KM/H].
0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Tiempo [s]
_ A[rad]
_A vs tiempo
2DOF (170)[km/h]
5DOF (170)[km/h]
8DOF (170)[km/h]
9DOF (170)[km/h]
14DOF (170)[km/h]
0 100 200 300 400-15
-10
-5
0
5
10
15
Posicion en X [m]
Posici
on
enY
[m]
Posicion del vehiculo - Marco Inercial
2DOF (170)[km/h]
5DOF (170)[km/h]
8DOF (170)[km/h]
9DOF (170)[km/h]
14DOF (170)[km/h]
52
Como se puede apreciar, los 5 vehículos al aumentar su velocidad en la misma carretera, no
logran ejecutar la maniobra de cambio de carril con éxito y es necesario que el piloto ejecute
maniobras adicionales para recuperar el control. En primer lugar es necesario tener en cuenta
que se está haciendo la suposición que la velocidad lineal del vehículo es constante y por lo
tanto el deslizamiento longitudinal de las ruedas del vehículo es igual a cero. Como
consecuencia se obtiene una situación ideal en la que se transmite la mayor fuerza de tracción
lateral posible, tal como se puede apreciar en la figura 5 (en la zona donde 𝜆 = 0). La figura
28 presenta la posición de los vehículos con las mismas características anteriores y para la
misma maniobra de conducción, sin embargo, en este caso se encuentran en condiciones de
aceleración.
La figura 28 presenta la posición de los vehículos con las mismas características anteriores y
para la misma maniobra de conducción, sin embargo, en este caso se encuentran en
condiciones de aceleración.
FIGURA 28. POSICIÓN DE LOS VEHÍCULOS PARA UNA MANIOBRA DE CAMBIO DE CARRIL EN
CONDICONES DE ACELERACIÓN.
En la figura anterior se puede apreciar con mayor facilidad la relación que existe entre los
modelos 𝑀𝑉𝑋𝑌2 y 𝑀𝑉𝑋𝑌2𝑆 (5 DOF y 9 DOF), y la relación que existe entre los modelos
𝑀𝑉𝑋𝑌4 y 𝑀𝑉𝑋𝑌4𝑆 (8 DOF y 14 DOF) que se explica en detalle en [23]. A continuación, en la
se presentan los tiempos computacionales para la ejecución de cada uno de los modelos.
0 50 100 150 200 250-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Posicion en X [m]
Posicion
enY
[m]
Posicion del vehiculo - Marco Inercial
5 DOF8 DOF9 DOF14 DOF
53
TABLA 3. TIEMPOS COMPUTACIONALES VEL. CONSTANTE.
Maniobra de cambio de carril a 170 [km/h]
Modelos vehiculares Tiempo computacional
Modelo de 2 DOF - 𝑀𝑉𝑌𝑌2 1.10 [s]
Modelo de 5 DOF - 𝑀𝑉𝑋𝑌2 10.99 [s]
Modelo de 9 DOF - 𝑀𝑉𝑋𝑌2𝑆 2.17 [s]
Modelo de 8 DOF - 𝑀𝑉𝑋𝑌4 29.89 [s]
Modelo de 14 DOF - 𝑀𝑉𝑋𝑌4𝑆 2.75 [s]
TABLA 4. TIEMPOS COMPUTACIONALES EN ACELERACIÓN.
Maniobra de cambio de carril en aceleración
Modelos vehiculares Tiempo computacional
Modelo de 5 DOF - 𝑀𝑉𝑋𝑌2 25.05 [s]
Modelo de 9 DOF - 𝑀𝑉𝑋𝑌2𝑆 3.63 [s]
Modelo de 8 DOF - 𝑀𝑉𝑋𝑌4 41.28 [s]
Modelo de 14 DOF - 𝑀𝑉𝑋𝑌4𝑆 6.09 [s]
Si se busca analizar el movimiento de un vehículo únicamente en el plano XY, el modelo
vehicular de 𝑀𝑉𝑌𝑌2 con modelo de llanta no lineal se presenta como una buena solución, sin
embargo al no incluir la dinámica longitudinal del vehículo se recomienda utilizarlo
únicamente para análisis en estado estacionario o en situaciones donde se necesite un modelo
con alta eficiencia computacional.
FIGURA 29. POSICIÓN DE UN VEHÍCULO CON 14 DOF PARA UNA MANIOBRA DE CAMBIO DE
CARRIL CON UNA LLANTA LINEAL (CONTINUA) Y NO LINEAL (PUNTEADA).
0 100 200 300 400 500 600-15
-10
-5
0
5
10
15
Posicion en X [m]
Posici
on
enY
[m]
Posicion del vehiculo - Marco Inercial
Modelo de llanta lineal (linea continua)
y modelo de llanta no lineal (punteada)
Velocidad =60 [kph]
Velocidad =120 [kph]
Velocidad =180 [kph]
54
De los resultados de las figuras anteriores, la Tabla 3 y la
Tabla 4 se puede ver que a pesar de tener una mayor complejidad, los modelos de 9 DOF y
14 DOF son más eficientes computacionalmente que los modelos de 5 DOF y 8 DOF,
respectivamente. Esto se debe principalmente a la forma en que se deben ser calculadas las
fuerzas normales en últimos dos modelos mencionados de forma que éstos converjan [23].
FIGURA 30. ACELERACIÓN LATERAL DE UN VEHÍCULO CON 14 DOF PARA UNA MANIOBRA
DE CAMBIO DE CARRIL.
La figura 29 y figura 30 presentan la comparación en desempeño de un vehículo con 14 DOF
bajo la misma maniobra de cambio de carril sobre asfalto seco, según un modelo de llanta
lineal (línea continua) y según el modelo de llanta no lineal de Dugoff (línea punteada) para
distintas velocidades.
Como se puede ver en la figura 29, para el modelo de llanta de Dugoff se presenta la misma
situación de inestabilidad del vehículo para altas velocidades. Esto se debe principalmente a
que las ruedas del vehículo no pueden alcanzar las fuerzas de tracción necesarias para lograr
el cambio de carril. Sin embargo, los vehículos simulados con el modelo de llanta lineal
logran realizar el cambio de carril sin problema debido a que como se muestra en la figura
30, el modelo de llanta lineal no presenta saturación en la generación de las fuerzas de
tracción laterales [24], y por lo tanto puede alcanzar mayores aceleraciones.
0 2 4 6 8 10 12-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo [s]
ace
l.la
tera
l[g
]
Modelo de llanta lineal (linea continua)
y modelo de llanta no lineal (punteada)
Modelo de llanta lineal (linea continua)
y modelo de llanta no lineal (punteada)
Velocidad =60 [kph]
Velocidad =120 [kph]
Velocidad =180 [kph]
55
5. Sistema de control del vehículo
La mayoría de accidentes en carretera se deben principalmente al error humano, mientras que
los accidentes por deficiencias técnicas son relativamente bajos. Los conductores usualmente
no saben reconocer la controlabilidad del vehículo dependiendo de la situación en la que se
encuentran. Un claro ejemplo, es que para un conductor es muy difícil conocer la adhesión
que se tienen entre las llantas del vehículo y la carretera, y saber si el vehículo se encuentra
en sus límites de maniobrabilidad o si ya se encuentra patinando hacia fuera de la carretera.
(La pérdida de tracción de las llantas impide que el vehículo se comporte de la misma manera
en el conductor espera que se comportaría usualmente).
5.1 Requerimientos
El diseño de los sistemas de control electrónico de los vehículos tiene que ir orientado a que
el comportamiento del vehículo sea predecible durante su operación, teniendo en cuenta sus
límites físicos. Para ello, se puede instrumentar el vehículo con sensores que permitan
predecir dicho comportamiento, dándonos información (e.g. velocidad de las ruedas,
velocidad de giro, aceleración longitudinal y lateral, etc.) de su estado actual para ser
procesada posteriormente en su unidad de control.
Con un sistema de seguridad activa, como es el control de tracción y estabilidad del vehículo
se pretende solucionar los siguientes requerimientos:
- Dar un soporte óptimo al piloto en distintas situaciones “críticas” de conducción.
- Prevenir accidentes.
- En caso tal que el accidente ocurra, el sistema electrónico debe asegurar que se
reduzca su severidad al mínimo posible.
- Asegurar que el vehículo mantenga su maniobrabilidad y estabilidad sobre distintos
terrenos cuando éste se encuentre moviéndose longitudinalmente.
- Debe ser capaz de adaptarse a los cambios en el terrenos sobre el cual se encuentre el
vehículo (e.g. pasar de asfalto mojado a hielo) buscando utilizar la máxima adhesión
posible entre éste y la rueda, de forma que la maniobrabilidad y estabilidad del
vehículo no se vean afectadas. (evitar el bloqueo de las ruedas).
- En situaciones donde el vehículo se encuentre sobre un terreno diferente a cada lado,
las ruedas van a tener un coeficiente de fricción distinto haciendo que el vehículo
genere un momento de giro respecto a un eje vertical. El sistema de control debe
buscar que la velocidad de giro sea lo suficientemente baja para que el piloto pueda
corregir el viraje del vehículo girando el volante en la dirección opuesta.
- El vehículo debe conservar su maniobrabilidad y estabilidad en las curvas asegurando
que su velocidad permita que el vehículo pueda negociar la curva conservando su
controlabilidad en los límites de tracción.
56
Existen distintas maniobras de conducción que ayudan a determinar las limitaciones físicas
del vehículo y por lo tanto su controlabilidad en distintas situaciones. Algunas de las
principales maniobras son:
- Giro del vehículo en condiciones de estado estable sobre una pista circular: Ayuda a
definir la máxima aceleración lateral y da información de la maniobrabilidad
intrínseca del vehículo (sobreviraje, viraje neutro o subviraje).
- Maniobra evasiva “Elk test”: Simula un escenario en el cual se realiza una acción
evasiva extrema para esquivar un objeto.
- Freno durante un giro: Tiene en cuenta el efecto de la transferencia de carga hacia
adelante sobre el eje longitudinal del vehículo. Los ángulos de deslizamiento de las
ruedas traseras aumentan, mientras que los ángulos de deslizamiento de las ruedas
delanteras disminuyen. Dado que no se modifica ni el radio de giro, ni la velocidad
del vehículo, los requerimientos de fuerza son los mismos y el carro tiende a
sobrevirar.
Con el fin de obtener información del estado del vehículo, es necesario instrumentarlo con
sensores que nos permitan calcular las acciones de control para aumentar su tracción o
asegurar su estabilidad. Algunas de las variables de interés, para calcular el estado actual del
vehículo son:
Angulo del volante o de dirección 𝛿.
Aceleración lateral.
Aceleración longitudinal.
Velocidad de giro de cada rueda.
Velocidad de giro (yaw rate) del vehículo.
Ángulo de balanceo (Roll).
Ángulo de cabeceo del vehículo (Pitch).
5.2 Control de tracción
Teniendo en cuenta la relación entre el coeficiente de deslizamiento longitudinal de las llantas
y el coeficiente de tracción entre éstas y el terreno, presentada con anterioridad, se propone
implementar un controlador de tracción sobre el modelo de 14 DOF con el fin de maximizar
la tracción del vehículo de forma segura. De manera segura, quiere decir que se quiere
maximizar la tracción controlando el sistema de modo tal que mejore el comportamiento de
la rueda, elevando la adherencia de ésta con la superficie para llegar a la mejor condición de
deslizamiento. En este caso se toma acción sobre la aceleración angular de la rueda que se
encuentra de acuerdo a un coeficiente de deslizamiento distinto del deseado, ya sea
57
reduciendo el momento par del motor asociado o utilizando el sistema de frenado
convencional, con el fin de recuperar la adherencia entre las superficies de contacto.
El escenario para la implementación del control de tracción sobre el modelo de vehículo
propuesto es una carrera de ¼ de milla. En primer lugar, teniendo en cuenta que el vehículo
eléctrico cuenta con 4 motores independientes (uno en cada una de las ruedas) se realizó un
estudio de la mejor distribución de masa en el eje longitudinal del vehículo en función de la
distribución de potencia de los motores. Dado que en sus prestaciones pico, los motores
permiten entregar 50 kW (440 Nm), el vehículo cuenta con una potencia (par) disponible
total de 200kW (1760 Nm). A pesar que se utilizó el modelo de 14 DOF se debe tener en
cuenta que al ser una competencia de ¼ de milla el ángulo de dirección en todo momento es
cero y por lo tanto se estudia únicamente su dinámica longitudinal. Como modelo de llanta
se utilizó el modelo no lineal de LuGre promediado presentado con anterioridad.
Para el análisis se realizó un barrido entre todas las combinaciones posibles de la ubicación
del centro de masa del vehículo en su eje longitudinal y la distribución de par entre el eje
frontal y el eje trasero, con una variación del 0.5% para cada una de las variables. Los
resultados del tiempo de carrera de ¼ de milla se presentan en la figura 31 y figura 32. La
convención utilizada en la figura es que una distribución de carga de cero se da cuando toda
la masa del vehículo se encuentra sobre su eje delantero, mientras que si la distribución de
masa es igual a 1 quiere decir que toda la masa del vehículo se concentra en el eje trasero.
FIGURA 31. TIEMPOS DE CUARTO DE MILLA PARA DISTINTAS DISTRIBUCIONES DEL CM Y
DEL PAR EN EL EJE LONGITUDINAL - 1.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Distribución de potencia
Dis
trib
ució
n d
e c
arg
a
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
58
FIGURA 32. TIEMPOS DE CUARTO DE MILLA PARA DISTINTAS DISTRIBUCIONES DEL CM Y
DEL PAR EN EL EJE LONGITUDINAL - 2.
Una convención parecida se lleva con la distribución de par, si se tiene una distribución de
potencia igual a cero significa que el vehículo tiene tracción únicamente en su eje delantero,
mientras que si la distribución de potencia es uno, se refiere a que el vehículo tiene tracción
trasera.
Los resultados permiten establecer cuál es la ubicación óptima del centro de masa en el eje
longitudinal del vehículo para una distribución de potencia dada, con el fin de minimizar el
tiempo de carrera (línea roja).
En la figura 31 se puede ver con claridad que en la parte superior de la figura existe una zona
donde no existe tiempo de carrera. Esto se debe a que la única restricción que se impuso para
todas las posibles combinaciones entre la distribución de masa y la distribución de potencia,
es que el vehículo siempre se encontrara en una condición estable. En la zona en mención, la
masa del vehículo se encuentra tan cercana al eje trasero, que el fenómeno de transferencia
de carga en la aceleración del vehículo hace que las ruedas frontales pierdan contacto con el
terreno y por lo tanto éste se vuelve inestable.
0
0.5
1
0
0.5
111
12
13
14
15
Distribución de potenciaDistribución de carga
Tie
mp
o d
e C
arr
era
12
12.5
13
13.5
14
14.5
59
5.3 Control de tracción por modos deslizantes
A pesar que en [3] se desarrollaron dos controladores de tracción sobre un vehículo eléctrico
de alto desempeño, en el presente trabajo se propone utilizar un controlador por modos
deslizantes (SMC, por sus siglas en inglés) para ejecutar el mismo objetivo. El SMC es un
tipo de control muy popular dado que tiene la propiedad de convergencia en tiempo finito
para un sistema altamente no lineal y es robusto frente a la variación de los parámetros de la
planta y perturbaciones externas.
Para el desarrollo y comparación inicial del controlador por modos deslizantes se propone
utilizar un modelo de ¼ de vehículo, la dinámica asociada al movimiento de rotación de una
y la definición del coeficiente de deslizamiento longitudinal presentada en (1) y (2). Por lo
tanto las ecuaciones se pueden escribir como:
{
�̈� =
𝐹𝑡𝑥 − 𝑅𝑥 − 𝐷𝑎𝑥
𝑚
�̈� = �̇� = 𝑇𝑚 − 𝐹𝑡𝑥𝑟
(𝐼𝑤 + 𝐼𝑡𝑓)=
𝑢 − 𝐹𝑡𝑥𝑟
𝐼𝑒𝑞
(95)
Se propone la superficie de deslizamiento de acuerdo a:
𝑆 = 𝑒𝜆𝜔𝑟 = (𝜆𝑒 − 𝜆𝑑)𝜔𝑟 (96)
Como función candidata de Lyapunov se tiene:
𝑉 =1
2𝑆2 (97)
Por lo tanto para que su derivada sea definida negativa y el sistema sea estable en el sentido
de Lyapunov se propone:
�̇� = �̇�𝑆 < 0
�̇� = −𝜂 𝑠𝑔𝑛(𝑆), ∀ 𝜂 > 0 (98)
Al derivar en el tiempo la ecuación (96) se obtiene:
�̇� = (𝜆�̇� − 𝜆�̇�)𝜔𝑟 + (𝜆𝑒 − 𝜆𝑑)�̇�𝑟
−𝜂 𝑠𝑔𝑛(𝑆) = −�̈� + (1 − 𝜆𝑑)�̇�𝑟 (99)
60
Teniendo en cuenta que la señal de control es 𝑇𝑚 = 𝑢, finalmente se obtiene la ley de control
que se muestra en la ecuación a continuación:
𝑇𝑡𝑚 = 𝑢 = 𝐹𝑥 [𝐼𝑒𝑞
(1 − 𝜆𝑑)𝑟𝑚+ 𝑟 ] −
(𝑅𝑥 + 𝐷𝑎)𝐼𝑒𝑞(1 − 𝜆𝑑)𝑟𝑚
− 𝜂𝐼𝑒𝑞
(1 − 𝜆𝑑)𝑟 𝑠𝑔𝑛(𝑆),
∀ 𝜂 > 0 , 𝜆𝑑 ≠ 1
(100)
La variable 𝜆𝑑 puede ser una referencia constante o variable en el tiempo. Para una llanta y
un terreno como el que se muestra en la figura 10, el coeficiente de deslizamiento longitudinal
que minimiza el tiempo de carrera de ¼ de milla es 𝜆𝑑 = 14.2%. La figura 33 presenta los
resultados del vehículo controlado en un arrancón de un cuarto de milla. Como se puede
apreciar, el controlador hace el seguimiento de la consigna de deslizamiento deseada de las
llantas, con el fin de maximizar la fuerza de tracción del vehículo.
FIGURA 33. DESEMPEÑO DEL VEHÍCULO CON CONTROL DE TRACCIÓN (SMC), SEGÚN UN
MODELO DE LLANTA DE LUGRE PROMEDIADO CON RESPUESTA TRANSITORIA.
Igualmente se presenta la aceleración del vehículo en el tiempo. Dado que se utilizó el
modelo de llanta de LuGre promediado con respuesta transitoria, se puede ver con claridad
cómo es que la aceleración parte desde cero. A continuación se presenta una tabla
comparativa del desempeño del vehículo controlado y sin control, para el modelo de LuGre
0 5 10 150
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tiempo (s)
Desliz
am
iento
(%)
Deslizamiento vs Tiempo
0 5 100
2
4
6
8
10
12
Tiempo (s)
Acele
ració
n (
m/s
2)
Aceleración vs Tiempo
61
tanto dinámico, como en estado estacionario. Un análisis más detallado de los resultados
expuestos se puede encontrar en [25].
TABLA 5. TIEMPOS DE ¼ DE MILLA PARA DIVERSOS VEHÍCULOS
Tiempo de ¼ de milla
Modelos
vehiculares LuGre dinámico
LuGre en Estado
Estable
Sin control 11.71 [s] 11.68 [s]
SMC 10.79 [s] 10.68 [s]
La figura 34 ilustra nuevamente el comportamiento de la llanta según el modelo de LuGre promediado. La
línea azul se presenta los valores del coeficiente de deslizamiento donde se encuentra el máximo coeficiente de
fricción para cada velocidad lineal.
FIGURA 34. COMPORTAMIENTO DE LA LLANTA SEGÚN EL MODELO DE LUGRE
PROMEDIADO.
Teniendo en cuenta que el modelo de LuGre se puede sintonizar de forma que estime los
coeficientes de fricción entre la llanta y el terreno, se planteó un esquema de control de
tracción por SMC que tiene como referencia el valor de deslizamiento óptimo que maximiza
el coeficiente de fricción. Los resultados de la combinación del sistema de planeación y el
SMC se comparan con el controlador propuesto en [3], el cual integra un controlador
tradicional (PI) y un controlador adaptativo llamado Extremum Seeking Control.
La figura 35 presenta el desempeño del vehículo en un arrancón de ¼ de milla utilizando el
controlador por modos deslizantes con un algoritmo de planeación óptima, según el
coeficiente de fricción estimado por el modelo de LuGre promediado con respuesta
62
transitoria. La figura 36 presenta el desempeño de un vehículo controlado por el controlador
PI y el controlador adaptativo. Como se puede apreciar, los dos controladores presentan un
desempeño similar y logran hacer seguimiento del coeficiente de deslizamiento longitudinal
que maximiza el coeficiente de tracción.
La Tabla 6 presenta una comparación del tiempo de carrera entre los vehículos con las 2
estrategias de control planteadas, para el modelo de fricción de LuGre en estado estable y el
modelo con respuesta transitoria.
TABLA 6. TIEMPOS DE ¼ DE MILLA PARA VEHÍCULOS CONTROLADOS
Tiempo de ¼ de milla
Modelos
vehiculares LuGre dinámico
LuGre en Estado
Estable
Planeador + SMC 10.66 [s] 10.62 [s]
PI + ESC 10.67 [s] 10.63 [s]
FIGURA 35. VEHICULO CONTROLADO POR UN SMC + PLANEADOR DE DESLIZAMIENTO
ÓPTIMO.
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Tiempo [s]
&
Coef. tracción MAX
Deslizamiento MAX
Coef. tracción
Deslizamiento
63
FIGURA 36. VEHÍCULO CONTROLADO POR UN PI+ESC.
En las figuras se puede ver que el los valores del coeficiente de deslizamiento que maximizan
el coeficiente de tracción (línea negra y verde, respectivamente) cambian en el tiempo debido
a que dicha relación cambia en función de la velocidad lineal de la llanta. Aproximadamente
después del segundo 2 los controladores dejan de seguir la referencia debido a que el sistema
llega al límite de sus prestaciones (potencia pico) y por lo tanto, los motores no pueden dar
el par necesario para mantener dichos valores de 𝜆. Como se puede ver, la diferencia en
tiempos entre las 2 estrategias de control es mínima y despreciable
5.4 Control de estabilidad
La mayoría de accidentes en carretera se deben principalmente al error humano, mientras que
los accidentes por deficiencias técnicas son relativamente bajos. Los conductores usualmente
no saben reconocer la controlabilidad del vehículo dependiendo de la situación en la que se
encuentran. Un claro ejemplo, es que para un conductor es muy difícil conocer la adhesión
que se tienen entre las llantas del vehículo y la carretera, y saber si el vehículo se encuentra
en sus límites de maniobrabilidad o si ya se encuentra patinando hacia fuera de la carretera.
(La pérdida de tracción de las llantas impide que el vehículo se comporte de la misma manera
en el conductor espera que se comportaría usualmente).
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Tiempo [s]
&
Coef. tracción MAX
Deslizamiento MAX
Coef. tracción
Deslizamiento
64
El diseño de los sistemas de control electrónico de los vehículos tiene que ir orientado a que
el comportamiento del vehículo sea predecible durante su operación, teniendo en cuenta sus
límites físicos. Para ello, se puede instrumentar el vehículo con sensores que permitan
predecir dicho comportamiento, dándonos información (e.g. velocidad de las ruedas,
velocidad de giro, aceleración longitudinal y lateral, etc.) de su estado actual para ser
procesada posteriormente en su unidad de control.
5.4.1 Análisis de estabilidad del sistema en lazo abierto
Con el fin de determinar una zona segura (estable) de operación del vehículo, es necesario
comprender la dinámica del vehículo en su espacio de estados. A pesar de tener un modelo
de orden reducido (2DOF), éste permite capturar las características de estabilidad del
vehículo tales como el movimiento del punto de equilibrio y su bifurcación. Teniendo en
cuenta que el modelo tiene únicamente 2 estados, su análisis se puede realizar por medio de
diagramas de fase para entender mejor el comportamiento del vehículo en términos de su
velocidad angular de giro (�̇�) y su ángulo de deslizamiento (𝛽).
A continuación se presentan los estudios de estabilidad del sistema dependiendo de la
ubicación de sus puntos de equilibrio y cómo es la variación de éstos con el cambio del ángulo
de dirección de sus llantas (𝛿𝑓), la velocidad longitudinal (�̇�) y el coeficiente de fricción
máximo del modelo de llanta de Dugoff (𝜇𝑚𝑎𝑥).
FIGURA 37. RETRATO DE FASE - MODELO DE LLANTA LINEAL
En primer lugar, es necesario realizar una comparación entre los retratos de fase del vehículo
de acuerdo a un modelo de llanta lineal figura 37 y un modelo de llanta no lineal, para la
-60 -40 -20 0 20 40 60-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
[deg]
_ A[d
eg/s]
Phase Plane - vs yaw rate - Llanta lineal
Equilibrio estable
65
generación de las fuerzas laterales. La figura 37 muestra la dinámica del sistema en lazo
abierto por medio del retrato de fase (𝛽 − �̇�), para un vehículo con una velocidad
longitudinal de �̇� = 15 [𝑚/𝑠], un ángulo de dirección 𝛿𝑓 = 0 [𝑑𝑒𝑔], 𝜇𝑚𝑎𝑥 = 1 y el modelo
de llanta lineal. Como se puede apreciar, existe únicamente un punto de equilibrio (origen),
y éste es estable.
La figura 38 presenta del diagrama de fase (𝛽 − �̇�) para un vehículo con las mismas
características y condiciones de operación, con la diferencia que está utilizando el modelo de
llanta de Dugoff.
FIGURA 38. RETRATO DE FASE - MODELO DE LLANTA NO LINEAL.
Se puede ver que a diferencia del sistema anterior, el vehículo con llantas no lineales presenta
3 puntos de equilibrio; un equilibrio estable en el origen y dos puntos de silla (saddle points).
Los equilibrios inestables se dan como consecuencia del modelo de llanta no lineal, en el cual
las llantas presentan un límite físico en el cual no pueden entregar un mayor coeficiente de
tracción. Esto se puede explicar al tener en cuenta que la máxima aceleración lateral del
vehículo se encuentra limitada por el máximo coeficiente de fricción entre las llantas y el
terreno.
𝑎𝑦 = �̈� + �̇��̇� = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑔 (101)
En condiciones de estado estable, la ecuación anterior se puede reescribir como:
-60 -40 -20 0 20 40 60-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
[deg]
_ A[d
eg/s]
Phase Plane - vs yaw rate - Llanta no lineal
Equilibrio estable
Saddle Points
66
�̇�𝑚𝑎𝑥 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑔
�̇� (102)
FIGURA 39. COMPARACIÓN DE LA FUERZA LATERAL EN UNA LLANTA FRONTAL DEL
VEHÍCULO.
En la figura 39 se compara las fuerzas laterales en una de las llantas frontales del vehículo,
de acuerdo a los dos modelos de llanta presentados.
De las gráficas anteriores se puede afirmar que para todas las combinaciones en las cuales la
velocidad de giro �̇� sea mayor a la velocidad de giro máxima en condiciones de estado
estable, y el ángulo de deslizamiento del vehículo sea mayor en magnitud a �̇�, el vehículo va
a estar en una zona inestable de acuerdo al modelo de llanta de Dugoff. Un análisis más
detallado de la influencia de la velocidad, el ángulo de dirección y el coeficiente de tracción
en la estabilidad del vehículo se puede encontrar en [24].
5.4.2 Posibilidades de control utilizando diagramas de fase
En cualquier sistema actuado, las posibilidades de control se encuentran limitadas por la
configuración de los actuadores y sus prestaciones pico. En un vehículo existen distintos
actuadores que pueden ejercer control sobre distintas partes del vehículo, con el fin de generar
las fuerzas necesarias para lograr un objetivo. Dos de los actuadores más comunes son:
actuadores de dirección para las ruedas delanteras, o sistemas de frenado con el fin de
controlar las fuerzas de tracción en las llantas. Con el fin de comprender el impacto que tienen
los actuadores el comportamiento vehículo, es necesario realizar un análisis en el que se
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
, [rad]
Fy
[N]
Fuerza lateral frontal, Fz=2500[N]
Dugo,
Lineal
67
evidencie cómo las entradas de control pueden modificar la dinámica del vehículo frente a
sus estados actuales.
Los efectos de utilizar los frenos en las ruedas del vehículo se ilustran en el diagrama de fase
presentado en la figura 40.
FIGURA 40. ESPACIO DE ESTADOS DISPONIBLE CON UN SISTEMA DE CONTROL DE FRENADO.
En el caso del control de frenado, para obtener la máxima fuerza de frenado en alguna de las
llantas del vehículo es necesario contar con un sistema de control que regule el deslizamiento
de las llantas [25]. En la figura 40 se muestra que para un vehículo con características de
subviraje, para lograr salir de una zona inestable como la de la esquina inferior derecha, en
la cual 𝛽 es mayor a 20° y la velocidad angular del chasis en el plano es inferior a los 20 [°/s],
se puede lograr llegar a una zona estable al frenar con la rueda trasera izquierda, con el fin
de aumentar el momento par en el sentido de aceleración angular de guiñada. Debe ser claro
que para diseñar éste tipo de sistema de control es necesario incluir la dinámica longitudinal
del vehículo.
5.4.3 Control de frenado
El sistema de control de frenado tiene como función evitar que las llantas del vehículo pierdan
adherencia con el terreno en que se encuentren. Para ello se regula el deslizamiento de las
llantas con el fin de maximizar la fuerza de frenado. Para el diseño del sistema de control de
frenado del vehículo se utilizó un controlador por modos deslizantes, al igual que con el
sistema de control de tracción. Se propone la superficie de deslizamiento de acuerdo a la
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
[deg]
_ A[d
eg/s]
Phase Plane - vs yaw rate - Llanta no lineal
MaximofrenadoF tti
MaximofrenadoF ttd
68
ecuación (103) donde (𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟}, 𝑗 ∈ {𝑙, 𝑟}). Para éste caso el control de frenado tiene como
variable de control el par de frenado 𝑇 𝑖𝑗 de la rueda 𝑖𝑗.
𝑆 𝑖𝑗 = (𝜆𝑖𝑗 − 𝜆𝑑) (103)
Como función candidata de Lyapunov se tiene:
𝑉 =1
2𝑆 2 (104)
Por lo tanto para que su derivada sea definida negativa y el sistema sea estable en el sentido
de Lyapunov se propone:
�̇� = 𝑆 ̇𝑆 < 0
𝑆 ̇ = −𝜂 𝑠𝑔𝑛(𝑆 ), ∀ 𝜂 > 0 (105)
�̇� 𝑖𝑗 = (�̇�𝑖𝑗 − 𝜆�̇�)
−𝜂 𝑠𝑔𝑛(𝑆 𝑖𝑗) = −1
�̇�(�̈�(𝜆𝑖𝑗 + 1) +
𝐹𝑡𝑖𝑗𝑥𝑟2
(𝐼𝑤𝑖𝑗+𝐼𝑡𝑓)+
𝑇𝑏𝑖𝑗𝑟
(𝐼𝑤𝑖𝑗+𝐼𝑡𝑓))
(106)
Finalmente se obtiene la ley de control que se muestra en la ecuación (107), para la rueda 𝑖𝑗.
𝑇 𝑖𝑗 = (𝐼𝑤𝑖𝑗 + 𝐼𝑡𝑓)�̇�
𝑟𝜂 𝑖𝑗𝑠𝑔𝑛(𝑆 𝑖𝑗) − �̈�(𝜆𝑖𝑗 + 1)
(𝐼𝑤𝑖𝑗 + 𝐼𝑡𝑓)
𝑟− 𝐹𝑡𝑖𝑗𝑥𝑟,
∀ 𝜂 𝑖𝑗 > 0 (107)
Cómo se pudo ver en la deducción de la ley de control tanto para el control de tracción, como
para el control de frenado, ya que los dos sistemas de control presentan actuadores distintos,
el funcionamiento de uno implica la desactivación del otro. Es por esto que no se tienen en
cuenta en las ecuaciones del movimiento rotacional de la llanta en cada controlador.
Teniendo en cuenta que los sistemas de frenado tienen un límite físico del par máximo que
pueden entregar, es necesario definir el par límite para el actuador 𝑇 𝑖𝑗. Para su cálculo se va
a suponer que la máxima fuerza de frenado a la que puede llegar el vehículo en condiciones
ideales es:
𝐹 𝑚𝑎𝑥 = (𝑚𝑔𝜇𝑚𝑎𝑥)80% (108)
69
Por lo tanto si se toma un límite aún más conservador, en el cual la máxima fuerza de frenado
que puede ejercer cada rueda es una cuarta parte de lo expresado en la ecuación (108), sin
importar cuántas ruedas estén frenando en simultáneo, se obtiene que el par de frenado
máximo en la llanta 𝑖𝑗 es:
𝑇 𝑖𝑗𝑚𝑎𝑥 = 0.2𝑚𝑔𝜇𝑚𝑎𝑥𝑟
|𝑇 𝑖𝑗𝑚𝑎𝑥| > |𝑇 𝑖𝑗| (109)
5.4.4 Control de crucero
Se implementó un control de crucero sobre el vehículo eléctrico. Básicamente, el control de
crucero controla el par de los motores eléctricos de forma que se pueda mantener una
velocidad lineal del vehículo fijada por el usuario. Para este sistema de control se utilizó un
esquema de control clásico, compuesto por un PI. Su ley de control de muestra a
continuación:
𝑣𝑥𝑒(𝑡) = 𝑣𝑟𝑒𝑓 − �̇�(𝑡) (110)
𝑇𝑚𝑖𝑗 = 𝐾𝑝𝑐𝑐𝑣𝑥𝑒(𝑡) + 𝐾𝑖𝑐𝑐∫𝑣𝑥𝑒(𝑡)
𝑡
0
𝑑𝑡 (111)
En la figura 41, figura 42, y figura 43 se presenta el desempeño del vehículo de 14 DOF con
los 3 controladores integrados (tracción, frenado y crucero).
70
FIGURA 41. DESEMPEÑO DEL VEHÍCULO DE 14 DOF CON LOS 3 CONTROLADORES
(TRACCIÓN, FRENADO, CRUCERO).
FIGURA 42. FUERZAS DE TRACCIÓN EN CADA UNA DE LAS LLANTAS DEL VEHÍCULO DE 14
DOF CON LOS 3 CONTROLADORES (TRACCIÓN, FRENADO, CRUCERO).
En este caso la maniobra del vehículo se realizó únicamente en el eje longitudinal. Las
simulaciones se realizaron con el modelo de llanta no lineal de Dugoff, en el cual se
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
500
1000
Tiempo [s]P
osic
ión e
n x
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
20
40
Tiempo [s]
Velo
cid
ad e
n x
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10
0
10
Tiempo [s]
Acele
ració
n e
n x
0 5 10 15 20-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
Tiempo [s]
Fx
[N]
Fuerzas de traccion
FD - 14DOFTD - 14DOFFI - 14DOFTI - 14DOF
71
presentaba el máximo pico del coeficiente de fricción para un coeficiente de deslizamiento
del 20%. La velocidad de referencia del control de crucero se fijó en 40 [m/s].
En la figura 41 se ve con claridad la actuación de los 3 sistemas de control propuestos. Como
se puede ver, en el tiempo cero el vehículo activa el control de tracción y por lo tanto logra
la máxima aceleración permitida por las llantas, posteriormente alcanza la velocidad de
referencia del control de crucero y la mantiene hasta el segundo 14, en el cual se activa el
sistema de control de frenado.
FIGURA 43. COEFICIENTE DE DESLIZAMIENTO DE LAS LLANTAS DEL VEHÍCULO DE 14 DOF
CON LOS 3 CONTROLADORES (TRACCIÓN, FRENADO, CRUCERO).
El sistema de control de crucero tiene prioridad sobre el sistema de control de tracción y este
último solo se hará efectivo si el vehículo se encuentra fuera de una ventana de ± 2.5 𝑘𝑚/ℎ
la velocidad de referencia fijada por el control de crucero.
5.4.5 Diseño del control de estabilidad
El control de estabilidad que se presenta a continuación consta principalmente de dos niveles:
un controlador de alto nivel y un controlador de bajo nivel. En el controlador de alto nivel se
utiliza un modelo de 2 DOF para calcular los estados deseados del sistema y el momento par
requerido para girar el vehículo en el eje Z. El controlador de bajo nivel calcula los valores
de los actuadores del vehículo (i.e. motores y frenos) de forma que se logre el momento par
requerido.
0 5 10 15 20-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo [s]
6
Deslizamiento longitudinal
6fd
6rd
6f i
6ri
72
5.4.5.1 Controlador de alto nivel
Para el controlador de alto nivel se utilizó un control por modos deslizantes que tiene como
objetivo asegurar la estabilidad y control del vehículo sobre todo en su velocidad de guiñada.
En primer lugar, es necesario definir las consignas del sistema de control según el modelo
lineal de 2 DOF.
Tomando el vehículo en condiciones de estado estable, se tiene que su ángulo de dirección
se define como aparece en la ecuación (112) y que el yaw rate se define como aparece en la
ecuación (113).
𝛿𝐸𝐸 =𝐿
𝑅+ 𝛼𝑓 − 𝛼𝑟 (112)
�̇�𝑑𝑒𝑠 =�̇�
𝑅 (113)
De la definición del modelo de llanta lineal presentado en [3] se reescribe la ecuación (112)
como:
𝛿𝐸𝐸 =𝐿
𝑅+ (
𝑚𝐿𝑟2𝐶𝛼𝑓𝐿
−𝑚𝐿𝑓
2𝐶𝛼𝑟𝐿)�̇�2
𝑅 (114)
�̇�𝑑𝑒𝑠 =�̇�
𝐿 + (𝑚𝐿𝑟2𝐶𝛼𝑓𝐿
−𝑚𝐿𝑓2𝐶𝛼𝑟𝐿
) �̇�2𝛿𝐸𝐸
(115)
Como se ha mencionado en el documento se debe tener en cuenta que el modelo lineal de la
llanta asume que se pueden generar fuerzas laterales de tracción infinitamente grandes, sin
embargo, se sabe que en la realidad los vehículos están limitados por el máximo coeficiente
de fricción que exista entre las llantas y el terreno. Por lo tanto no es seguro tratar de obtener
el �̇�𝑑𝑒𝑠 si el coeficiente de fricción no lo puede proveer. Se tiene que la aceleración lateral se
puede escribir como:
𝑎𝑦 = �̈� + �̇��̇� = �̇��̇� + tan(𝛽) �̈� +�̇��̇�
√1 + tan2 𝛽 (116)
Sabiendo que el término �̇��̇� es el dominante, el límite superior del �̇�𝑑𝑒𝑠 se propone como:
�̇�𝑑𝑒𝑠𝑚𝑎𝑥= 0.85
𝜇𝑚𝑎𝑥𝑔
�̇�
|�̇�𝑑𝑒𝑠𝑚𝑎𝑥| ≥ |�̇�𝑑𝑒𝑠|
(117)
73
Se define como la superficie de deslizamiento la variable 𝑆𝑉𝑆𝐶 tal como se presenta a
continuación:
𝑆𝑉𝑆𝐶 = �̇� − �̇�𝑑𝑒𝑠 (118)
Como función candidata de Lyapunov se tiene:
𝑉 =1
2𝑆𝑉𝑆𝐶2 (119)
Por lo tanto para que su derivada sea definida negativa y el sistema sea estable en el sentido
de Lyapunov se propone:
�̇� = �̇�𝑉𝑆𝐶𝑆𝑉𝑆𝐶 < 0
�̇�𝑉𝑆𝐶 = −𝜂𝑉𝑆𝐶 𝑠𝑔𝑛(𝑆𝑉𝑆𝐶), ∀ 𝜂𝑉𝑆𝐶 > 0 (120)
�̇�𝑉𝑆𝐶 = �̈� − �̈�𝑑𝑒𝑠 (121)
Retomando la ecuación de la dinámica del vehículo en el plano XY y la ecuación anterior, se
obtiene la ecuación (122).
−𝜂𝑉𝑆𝐶 𝑠𝑔𝑛(𝑆𝑉𝑆𝐶)𝐼𝑧𝑧 − 𝐿𝑓(𝐹𝑡𝑓𝑟𝑦 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝛿) + 𝐿𝑟(𝐹𝑡𝑟𝑙𝑦 + 𝐹𝑡𝑟𝑟𝑦) − (𝐿𝑡𝑐𝑘
2) (𝐹𝑡𝑓𝑙𝑦 − 𝐹𝑡𝑓𝑟𝑦)𝑠𝑖𝑛(𝛿) + �̈�
𝑑𝑒𝑠𝐼𝑧𝑧
= 𝐿𝑓(𝐹𝑡𝑓𝑟𝑥 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝛿) + (𝐿𝑡𝑐𝑘
2) (𝐹𝑡𝑓𝑟𝑥 − 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝛿)+ (
𝐿𝑡𝑐𝑘
2) (𝐹𝑡𝑟𝑟𝑥 − 𝐹𝑡𝑟𝑙𝑥)
(122)
Teniendo en cuenta que se está utilizando un SMC y éste es robusto frente a pequeñas
dinámicas no modeladas, y asumiendo que 𝛿 es pequeño, se deprecia el término
𝐿𝑓(𝐹𝑡𝑓𝑟𝑥 + 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝛿). Por lo tanto se obtiene:
(𝐿𝑡𝑐𝑘2) ((𝐹𝑡𝑓𝑟𝑥 − 𝐹𝑡𝑓𝑙𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝛿) + (𝐹𝑡𝑟𝑟𝑥 − 𝐹𝑡𝑟𝑙𝑥)) = 𝜗1 + 𝜗2
ℳ𝜓 = 𝜗1 + 𝜗2 (123)
Tal como se presentó en la ecuación (123) ℳ𝜓, es la variable de control del controlador de
alto nivel.
5.4.5.2 Controlador de bajo nivel
Teniendo en cuenta que los sistemas de actuación con que se cuenta son los momentos par
de los motores y los momentos par de los frenos en cada una de las llantas (𝑖𝑗), es necesario
retomar su ecuación del movimiento.
74
(𝐼𝑤𝑖𝑗 + 𝐼𝑡𝑓)�̇�𝑖𝑗 = 𝑇𝑚𝑖𝑗 − 𝐹𝑡𝑥𝑖𝑗𝑟 − 𝑇 𝑖𝑗
𝜏𝑖𝑗 = 𝑇𝑚𝑖𝑗 − 𝑇 𝑖𝑗 = 𝐹𝑡𝑥𝑖𝑗𝑟 + (𝐼𝑤𝑖𝑗 + 𝐼𝑡𝑓)�̇�𝑖𝑗 (124)
Teniendo en cuenta lo planteado en los controladores de tracción y de frenado, se tiene
absoluto conocimiento de las acciones que se deben tomar para aumentar o disminuir las
fueras de tracción longitudinales. En la figura 44 se presenta el esquema de toma de
decisiones del controlador con el fin de estabilizar el vehículo ya sea aumentando la fuerza
de tracción o disminuyéndola.
En el esquema de toma de decisiones, se tienen en cuenta las 4 llantas del vehículo de acuerdo
a la convención 𝑖𝑗 (𝑖 ∈ {𝑓, 𝑟}, 𝑗 ∈ {𝑙, 𝑟}) y se incluyen los controladores de tracción y
frenado según se necesiten. Las letras 𝐶𝑇 hacen referencia a la aplicación del controlador de
tracción en la llanta indicada, y las letras 𝐶𝐹 hacen referencia a la activación del control de
frenado. El condicional ℳ? evalúa el estado actual del momento en yaw ℳ𝜓 y lo compara
con el momento par deseado ℳ𝜓𝑑𝑒𝑠, de la ley de control por modos deslizantes del
controlador de estabilidad de alto nivel.
FIGURA 44. ESQUEMA LÓGICO DE LA TOMA DE DESICIONES POR PARTE DEL CONTROLADOR
DE BAJO NIVEL.
Debe ser claro, es que al disminuir las fuerzas de tracción del lado izquierdo ℳ𝜓 va a ser
mayor, y lo mismo pasaría al aumentar las fuerzas de tracción del lado derecho. Sin embargo,
tomar cualquiera de las acciones mencionadas (aumentar la fuerza de tracción o aumentar la
fuerza de frenado del lado opuesto) tiene consecuencias distintas en cuanto al
comportamiento longitudinal y lateral del vehículo.
Inicio
�̇� ≤ �̇�𝑑𝑒𝑠
CF → rl
ℳ?
CT → fr
ℳ?
CF → fl
ℳ?
CT → rr
Fin
ℳ?
CT → fl
ℳ?
CF → fr
ℳ?
CT → rl
CF → rr
SI NO
SI
SI
NO
NO
NO
NO
NO
SI
SI
SI
SINO
75
Una de las secuencias lógicas el controlador de bajo nivel es la siguiente: En primer lugar se
compara si la velocidad angular de giñada actual �̇� es mayor o igual a la velocidad de giñada
deseada �̇�𝑑𝑒𝑠. Si ésta es menor es necesario aumentar el momento par en yaw (ℳ𝜓) del
vehículo. Por lo tanto, en primer lugar se activa el control de frenado sobre la rueda trasera
izquierda del vehículo y se verifica si el ℳ𝜓 es igual a ℳ𝜓𝑑𝑒𝑠. Si el momento aún no es igual,
se aplica el control de tracción únicamente sobre la rueda frontal derecha del vehículo y se
realiza la misma comparación anterior. Si nuevamente el ℳ𝜓 no es igual al momento par
deseado, se actúa aplicando el control de frenado sobre la rueda frontal izquierda y se verifica
si ℳ𝜓 es igual a ℳ𝜓𝑑𝑒𝑠. En caso tal que no se haya logrado generar el momento en yaw
deseado, se aplica como último recurso el control de tracción sobre la llanta trasera derecha.
FIGURA 45. YAW RATE DE UN VEHICULO SIN CONTROLAR Y UN VEHÍCULO CONTROLADO
PARA UN CAMBIO DE CARRIL A 160 [KM/H]
0 5 10 15 20 25-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tiempo [s]
_ A[rad/s]
_A vs tiempo
Sin controlVS ControlDeseado
76
FIGURA 46. POSICIÓN – 14 DOF SIN VSC – 160 [KM/H]
FIGURA 47. ACEL. LAT. – 14 DOF SIN VSC – 160 [KM/H]
Las figuras 45, 46 y 47 presentan el desempeño de un vehículo con 14 DOF a una velocidad
constante de 160 [km/h] en una maniobra de cambio de carril. El primer vehículo presentado
en dichas figuras tiene implementado el control de tracción y control de crucero para
mantener la velocidad lineal, pero no tiene control de estabilidad. Como se puede apreciar,
frente a la maniobra de cambio de carril el vehículo presenta altas aceleraciones laterales y
0 200 400 600 800 1000-40
-30
-20
-10
0
10
20
Posicion en X [m]
Posicion
enY
[m]
Posicion del vehiculo - Marco Inercial
X: 821.8Y: -39.2
X: 823.6Y: 0.0
14 DOF Sin Control14 DOF VSC
0 5 10 15 20 25-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo [s]
ace
l.la
tera
l[g
]
14 DOF - Sin Control14 DOF - VSC
77
se encuentra muy distante de yaw rate deseado. Como consecuencia se tiene que el vehículo
pierde el control al hacer la maniobra. En la figura 46 se indica la posición del vehículo
controlado y sin controlar respecto al marco inercial. Como se puede ver, el vehículo
controlado tiene como posición final en el eje y, la misma posición inicial (e.g. 0 [m]), sin
embargo el vehículo sin control se pierde estabilidad y termina en una posición de -39.2 [m]
en el eje y, respecto a la posición inicial.
En las mismas figuras se presenta el desempeño de un vehículo con 14 DOF a una velocidad
constante de 160 [km/h] en una maniobra de cambio de carril con el control de estabilidad
implementado. El vehículo igualmente posee control de tracción, control de crucero y control
de estabilidad. El control de estabilidad tiene un nivel de jerarquía superior que los otros
controladores y logra seguir eficazmente el yaw rate deseado a pesar de las altas velocidades,
en [24] se muestra que esto lo hace sin variar la velocidad longitudinal significativamente
(también se puede ver en la posición final del vehículo respecto al sin controlar).
En la figura 47 se puede ver que la aceleración lateral del vehículo sin control de estabilidad
llega a los valores límite de tracción lateral en las llantas. Sin embargo, el vehículo controlado
tiene menores valores pico de aceleración lateral y por lo tanto se garantiza que el vehículo
se encuentra en una condición más segura de conducción.
En [24] se propone un método para eliminar la alta frecuencia en las señales de control
provenientes de los controladores con SMC.
78
6. Conclusiones
Se presentaron distintos modelos de llantas y se comparó el desempeño del vehículo con
modelos tanto en estado estacionario como con respuesta transitoria para la generación de las
fuerzas de tracción.
El modelo de estimación del coeficiente de fricción de LuGre, permite un mejor diseño de
los sistemas de control de tracción debido a que en su ley de control no presenta los picos de
los primeros instantes en la generación de fuerzas y por lo tanto el diseño se puede realizar
de forma más conservadora.
El modelo de fricción propuesto estima las fuerzas de tracción por medio de los estados �̇� y
𝜔, de forma independiente.
El control de tracción propuesto mejora notablemente el tiempo de carrera respecto al
vehículo sin controlar. Se comparó el desempeño de un control de tracción adaptativo (ESC)
y un SMC con un planeador del deslizamiento óptimo, de acuerdo a un estimador del
coeficiente de tracción. Los resultados obtenidos indican que no existe una diferencia
significativa en la utilización de los esquemas de control propuestos y por lo tanto, se
recomienda utilizar cada esquema de acuerdo a las ventajas particulares de cada técnica de
control.
Se desarrollaron 5 modelos vehiculares con distintos grados de libertad. Se evaluó su
desempeño y se compararon entre sí frente a maniobras de conducción tanto a velocidad
constante, como con movimiento acelerado. Los resultados obtenidos en términos del
desempeño del vehículo entre los modelos vehiculares de bajo orden y los modelos
vehiculares que incluyen suspensión, indican que el desempeño es casi idéntico.
Sin embargo, se debe tener en cuenta que los modelos vehiculares sin suspensión, se
caracterizan por ser numéricamente rígidos y por lo tanto sus tiempos de solución
computacional son mucho más elevados que los que tienen una respuesta transitoria en el
fenómeno de transferencia de carga.
Se hizo evidente que la rigidez y amortiguamiento torsional del chasis del vehículo es un
factor muy importante en la dinámica lateral del vehículo. El estudio realizado queda como
base para comparar futuros modelos o compararlos respecto a softwares de simulación
vehicular multi-cuerpo. Igualmente se pueden utilizar para hacer análisis del vehículo en
condiciones en las cuales no se probaron en éste documento (e.g. con un terreno no plano).
Se desarrolló un esquema de control de frenado por modos deslizantes que permite garantizar
la máxima fuerza de frenado en cada llanta.
El control de crucero logra que el vehículo mantenga la velocidad deseada de forma exitosa.
Se realizó un estudio de las condiciones de estabilidad del vehículo por medio de diagramas
de fase en función de distintas condiciones de operación frente a la variación del ángulo de
dirección, la velocidad de vehículo y las características entre sus llantas y el terreno. Se puede
79
ver que un sistema con actuación (e.g. sistema de frenado diferencial) permite que el vehículo
salga de una zona de inestabilidad, llevándolo a una zona en la cual se pueda llegar a su
estabilidad asintótica.
Se propuso un esquema de control de estabilidad del vehículo por medio de un sistema de
control multinivel y con jerarquía respecto a los demás controladores propuestos (tracción,
frenado y crucero) de forma que se garantizó que el vehículo no llegara a los límites de
tracción en sus llantas con el fin de llevar a cabo con éxito una maniobra crítica de
conducción.
80
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82
ANEXO 1 – CONCEPTUAL DESIGN AND SIMULATION OF THE TRACTION CONTROL SYSTEM OF A HIGH PERFORMANCE ELECTRIC VEHICLE
83
ANEXO 2 – DISEÑO DEL UN SISTEMA DE CONTROL DE TRACCIÓN PARA
UN VEHÍCULO, INCLUYENDO UN MODELO DE FRICCIÓN DINÁMICO DE LA
LLANTA.
84
ANEXO 3 - CONTROL DE ESTABILIDAD DE UN VEHÍCULO ELÉCTRICO CON
SUS 4 RUEDAS CONDUCIDAS DE FORMA INDEPENDIENTE.
85
ANEXO 4 - DESARROLLO Y COMPARACIÓN DE DESEMPEÑO DE 5
MODELOS VEHICULARES CON DISTINTOS GRADOS DE LIBERTAD
86
ANEXO 5 - DESARROLLO Y COMPARACIÓN DE DESEMPEÑO DE 5
MODELOS VEHICULARES CON DISTINTOS GRADOS DE LIBERTAD