diskr¯et¯a matem¯atika grafu piem¯eri · 3 9. prizmu grafi 17 10.antiprizmu grafi 19...

1

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTEDabaszinātņu un matemātikas fakultāte

Fizikas un matemātikas katedra

Armands Gricāns

Diskrētā matemātika

Grafu piemēri2019. gada 27. februāris

2019

Saturs Sākums Beigas J I Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

2

Saturs

1. Tukšie grafi 4

2. Pilnie grafi 5

3. Petersena grafs 7

4. Vispārinātie Petersena grafi 84.1. Vispārinātie Petersena grafi P (5, 3) un P (5, 2) . . . . . 94.2. Vispārinātais Petersena grafs P (6, 4) . . . . . . . . . . 11

5. Vienkāršie cikli 13

6. Vienkāršās ķēdes 14

7. Riteņi 15

8. Zvaigznes 16


3

9. Prizmu grafi 17

10.Antiprizmu grafi 19

11.Regulāru daudzskaldņu grafi 21

12.Divdaļu grafi 27

Alfabētiskais rād̄ıtājs 30

Z̄ımējumu rād̄ıtājs 31

Literatūra 33


4

1. Tukšie grafi

Par tukšo grafu sauc grafu, kuram nav nevienas šķautnes.n-tās kārtas tukšo grafu apz̄ımē ar On.

(a) O1 (b) O2 (c) O3

(d) O4 (e) O5 (f) O6

1. z̄ım. Tukšie grafi On (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6).


5

2. Pilnie grafi

Par pilno grafu sauc grafu, kura jebkuras divas virsotnes ir sa-vienotas ar šķautni. n-tās kārtas pilno grafu apz̄ımē ar Kn.

(a) K1 (b) K2 (c) K3

(d) K4 (e) K5 (f) K6

2. z̄ım. Pilnie grafi Kn (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6).


6

Pilnā grafa Kn (n ≥ 1) šķautņu skaits ir vienāds ar visu 2-kombi-nāciju bez atkārtojumiem n-elementu pamatkopā skaitu

C2n =(

n

2

)=

n(n− 1)2

.


7

3. Petersena grafs

3. z̄ımējumā ir attēlots Petersena grafs P , kuram ir noz̄ımı̄galoma planāru grafu teorijā.

3. z̄ım. Petersena grafs.


8

4. Vispārinātie Petersena grafi

Vispārinātā Petersena grafa P (n, k) (n > 1, k > 0)• virsotņu kopa sastāv no 2n virsotnēm

v0, v1, . . . , vn−1, u0, u1, . . . , un−1;

• šķautņu kopa sastāv no 3n šķautnēm:n šķautnēm: {u0; u1}, {u1; u2}, . . . , {un−1; u0};

n šķautnēm: {u0; v0}, {u1; v1}, . . . , {un−1; vn−1};

n šķautnēm: {vi; vi+k} (i = 0, 1, . . . , n − 1), kur indeksai + k vietā tiek ņemts š̄ı skaitļa vismazākais nenegat̄ıvaisatlikums pēc moduļa n.


9

4.1. Vispārinātie Petersena grafi P (5, 3) un P (5, 2)

Vispārinātie Petersena grafi P (5, 3) un P (5, 2) sakr̄ıt ar iepriekšaplūkoto Petersena grafu P .

n = 5, k = 2.i i + k šķautne

0 2 {0; 2}1 3 {1; 3}2 4 {2; 4}3 5 ≡ 0 (mod 5) {3; 0}4 6 ≡ 1 (mod 5) {4; 1}

n = 5, k = 3.i i + k šķautne

0 3 {0; 3}1 4 {1; 4}2 5 ≡ 0 (mod 5) {2; 0}3 6 ≡ 1 (mod 5) {3; 1}4 7 ≡ 2 (mod 5) {4; 2}


10

4. z̄ım. Vispārinātais Petersena grafs P (5, 3) = P (5, 2).


11

4.2. Vispārinātais Petersena grafs P (6, 4)

n = 6, k = 4.

i i + 1 i + k šķautne0 1 5 {1; 5}1 2 6 ≡ 0 (mod 6) {2; 0}2 3 7 ≡ 1 (mod 6) {3; 1}3 4 8 ≡ 2 (mod 6) {4; 2}4 5 9 ≡ 3 (mod 6) {5; 3}5 6 ≡ 0 (mod 6) 10 ≡ 4 (mod 6) {0; 4}


12

5. z̄ım. Vispārinātais Petersena grafs P (6, 4).


13

5. Vienkāršie cikli

6. z̄ımējumā ir attēloti vienkāršie cikli Cn (3 ≤ n ≤ 6). Atz̄ımē-sim, ka C3 = K3.

(a) C3 (b) C4

(c) C5 (d) C6

6. z̄ım. Vienkāršie cikli Cn (3 ≤ n ≤ 6).


14

6. Vienkāršās ķēdes

7. z̄ımējumā ir attēlotas vienkāršās ķēdes Pn (2 ≤ n ≤ 5). At-z̄ımēsim, ka P2 = K2.

(a) P2 (b) P3

(c) P4 (d) P5

7. z̄ım. Vienkāršās ķēdes Pn (2 ≤ n ≤ 5).


15

7. Riteņi

8. z̄ımējumā ir attēloti riteņi Wn (n = 3, 4, 5). Atz̄ımēsim, kaW3 = K4 un |Wn| = n + 1.

(a) W3 (b) W4

(c) W5

8. z̄ım. Riteņi Wn (n = 3, 4, 5).


16

8. Zvaigznes

9. z̄ımējumā ir attēlotas zvaigznes Stn (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Atz̄ı-mēsim, ka St1 = O1 = K1, St2 = P2 = K2, St3 = P3.

(a) St1 (b) St2 (c) St3

(d) St4 (e) St5 (f) St6

9. z̄ım. Zvaigznes Stn (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6).


17

9. Prizmu grafi

n-stūru prizma (n ≥ 3) - daudzskaldnis, kura 2 skaldnes (priz-mas pamati) ir n-stūri, kas atrodas paralēlās plaknēs, bet pārējās nskaldnes (prizmas sānu skaldmes) ir paralelogrami.

10. z̄ım. Regulāras n-stūru prizmas un to izklājumi, ja n = 3, 4, 5, 6.


18

n-stūru prizmas grafs Sn (n ≥ 3) tiek iegūts no n-stūru prizmas,aizvietojot tās skaldnes ar attiec̄ıgajām virsotnēm un šķautnēm.

(a) S3 (b) S4

11. z̄ım. n-stūru prizmu grafi Sn (n = 3, 4).

Atz̄ımēsim, ka n-stūru prizmas grafs Sn (n ≥ 3) sakr̄ıt ar vispāri-nāto Petersena grafu P (n, 1).


19

10. Antiprizmu grafi

n-stūru antiprizma (n ≥ 3) - daudzskaldnis, kas ir izveidots no2 regulāriem n-stūriem un 2n regulāriem trijstūriem.

12. z̄ım. n-stūru antiprizmas un to izklājumi, ja n = 3, 4, 5, 6.


20

n-stūru antiprizmas grafs An (n ≥ 3) tiek iegūts no n-stūruantiprizmas, aizvietojot tās skaldnes ar attiec̄ıgajām virsotnēm unšķautnēm.

(a) A3 (b) A4

13. z̄ım. n-stūru antiprizmu grafi An (n = 3, 4).


21

11. Regulāru daudzskaldņu grafi

Regulārs daudzskaldnis - daudzskaldnis, kura visas skaldnes irkongruenti regulāri daudzstūri, un visiem tā daudzplakņu kaktiem irvienāds skaldņu skaits.

Pavisam ir tikai 5 veidu regulāri daudzskaldņi - kubs, tedraedrs,oktaedrs, dodekaedrs, ikosaedrs.

14. z̄ım.


22

Regulāra daudzskaldņa grafs tiek iegūts no attiec̄ıgā regulārādaudzskaldņa, aizvietojot tā skaldnes ar attiec̄ıgajām virsotnēm unšķautnēm.

(a) Tetraedrs (b) Tetraedra grafs

15. z̄ım. Tedraedrs un tā grafs


23

(a) Kubs (b) Kuba grafs

16. z̄ım. Kubs un tā grafs


24

(a) Oktaedrs (b) Oktaedra grafs

17. z̄ım. Oktaedrs un tā grafs


25

(a) Dodekaedrs (b) Dodekaedra grafs

18. z̄ım. Dodekaedrs un tā grafs


26

(a) Ikosaedrs (b) Ikosaedra grafs

19. z̄ım. Ikosaedrs un tā grafs


27

12. Divdaļu grafi

Par divdaļu grafu sauc grafu, kura virsotņu kopu var sadal̄ıtdivās netukšās nešķeļošās apakškopās (- daļās) tā, ka jebkuras š̄ı grafašķautnes galavirsotnes pieder dažādām daļām. Ja X un Y ir divdaļugrafa daļas, bet E ir tā šķautņu kopa, tad divdaļu grafu apz̄ımē ar(X; Y ; E).

Par pilno divdaļu grafu sauc divdaļu grafu, kura ikkatras divasvirsotnes no dažādām daļām ir savienotas ar šķautni. Pilno divdaļugrafu, kura daļas sastāv no p un q virsotnēm, apz̄ımē ar Kp,q. Tātad|Kp,q| = p + q. 20. z̄ım. ir attēloti pilnie divdaļu grafi K3,3 un K2,4.Analoǧiski definē k-daļu grafus un pilnos k-daļu grafus. 21. z̄ım.ir attēlots pilnais tr̄ısdaļu grafs K3,4,5.

Zvaigzne ir pilns divdaļu grafs (X; Y ; E), ka |X| = 1 vai |Y | = 1.


28

(a) K3,3 (b) K2,4

20. z̄ım. Pilnie divdaļu grafi K3,3 un K2,4.


29

21. z̄ım. Pilnais tr̄ısdaļu grafs K3,4,5.


30

Alfabētiskais rād̄ıtājs

antiprizma, 19

grafsk-daļu, 27

pilnais, 27antiprizmas, 20divdaļu, 27

pilnais, 27dodekaedra, 25ikosaedra, 26kuba, 23oktaedra, 24Petersena, 7pilnais, 5prizmas, 18ritenis, 15tetraedra, 22

tukšais, 4vienkārša ķēde, 14vienkāršs cikls, 13vispārinātais Petersena, 8zvaigzne, 16

prizma, 17

regulārs daudzskaldnis, 21


31

Z̄ımējumu rād̄ıtājs

1. z̄ım. Tukšie grafi On (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6) . . . . . . . . . . 42. z̄ım. Pilnie grafi Kn (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6) . . . . . . . . . . 53. z̄ım. Petersena grafs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. z̄ım. Vispārinātais Petersena grafs P (5, 3) = P (5, 2) . . . 105. z̄ım. Vispārinātais Petersena grafs P (6, 4) . . . . . . . . . 126. z̄ım. Vienkāršie cikli Cn (3 ≤ n ≤ 6) . . . . . . . . . . . . 137. z̄ım. Vienkāršās ķēdes Pn (2 ≤ n ≤ 5) . . . . . . . . . . . 148. z̄ım. Riteņi Wn (n = 3, 4, 5) . . . . . . . . . . . . . . . . 159. z̄ım. Zvaigznes Stn (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6) . . . . . . . . . . . 1610. z̄ım. Regulāras n-stūru prizmas un to izklājumi, ja n =

3, 4, 5, 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711. z̄ım. n-stūru prizmu grafi Sn (n = 3, 4) . . . . . . . . . 1812. z̄ım. n-stūru antiprizmas un to izklājumi, ja n = 3, 4, 5, 6 1913. z̄ım. n-stūru antiprizmu grafi An (n = 3, 4) . . . . . . . 2014. z̄ım. Regulāri daudzskaldņi . . . . . . . . . . . . . . . . 2115. z̄ım. Tedraedrs un tā grafs . . . . . . . . . . . . . . . . 2216. z̄ım. Kubs un tā grafs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


32

17. z̄ım. Oktaedrs un tā grafs . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418. z̄ım. Dodekaedrs un tā grafs . . . . . . . . . . . . . . . . 2519. z̄ım. Ikosaedrs un tā grafs . . . . . . . . . . . . . . . . . 2620. z̄ım. Pilnie divdaļu grafi K3,3 un K2,4 . . . . . . . . . . 2821. z̄ım. Pilnais tr̄ısdaļu grafs K3,4,5 . . . . . . . . . . . . . 29


33

Literatūra

[1] Bondy A., Murty U.S.R. Graph Theory (Graduate Texts in Math-ematics). Springer, 2007.

[2] Vasudev C. Graph Theory with Applications. New Age Interna-tional (P) Ltd., 2006.

[3] Holton D.A., Sheehan J. The Petersen Graph (Australian Math-ematical Society Lecture Series). Cambridge University Press,1993.

[4] Åìåëè÷åâ Â.À., Ìåëüíèêîâ Î.È., Ñàðâàíîâ Â.È., Òûøêåâè÷Ð.È. Ëåêöèè ïî òåîðèè ãðàôîâ. Íàóêà, Ìîñêâà, 1990.


1. Tukšie grafi2. Pilnie grafi3. Petersena grafs4. Visparinatie Petersena grafi4.1. Visparinatie Petersena grafi P(5,3) un P(5,2)4.2. Visparinatais Petersena grafs P(6,4)

5. Vienkaršie cikli6. Vienkaršas kedes7. Riteni8. Zvaigznes9. Prizmu grafi10. Antiprizmu grafi11. Regularu daudzskaldnu grafi12. Divdalu grafiAlfabetiskais raditajsZimejumu raditajsLiteratura

diskr¯et¯a matem¯atika grafu piem¯eri · 3 9. prizmu grafi 17 10.antiprizmu grafi 19...

Documents