Odjel za matematiku, Sveuciliste u Osijeku

29. studenog 2012.

1. kontrolna zadaca iz Grafova

Ak. god. 2012./2013.

Zadatak 1 [20b] Neka je G graf zadan slijedecom slikom:

v

1 v2

v3 v4

v5v

6

Za graf G odredite:a) dijametar diam(G); 2b) radijus r(G); 2c) struk g(G); 3d) maksimalnu kliku; Maksimalna klika je K4, tj. G[v1, v2, v3, v4]e) ukupan broj razlicitih ciklusa duljine 4; Ukupno je 4 ciklusa: v1v2v4v3v1, v1v2v3v4v1, v1v3v2v4v1 iv2v5v6v4v2.f) vrsnu i bridnu povezanost; (G) = (G) = 2, npr. vrsni rez: {v2, v4}, bridni rez: {v2v5, v4v6}g) zatvarac cl(G) cl(G) = K6. Nacrtajte komplement Gc grafa G, a zatim:h) ispitajte je li Gc planaran graf (ako jest, prikazite ga na nacin da je njegova planarnost odmah vidljiva,a ako nije, objasnite zasto nije).

Rjesenje:

v2

v4

v1

v5

v6v

3

Na slici gore lijevo je komplement grafa G dobiven na nacin da su pozicije vrhova u slikovnom prikazuod Gc jednake pozicijama odgovarajucih vrhova u slikovnom prikazu grafa G.S desne strane je novi prikaz grafa Gc iz kojeg je odmah vidljivo da je Gc planaran graf.

i) odredite ukupan broj razlicitih automorfizama na Gc;

Rjesenje:

Stavimo i = vi. Imamo |Aut(G)| = 4:

(1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

),

(1 2 3 4 5 6

3 2 1 4 5 6

),

(1 2 3 4 5 6

1 4 3 2 6 5

),

(1 2 3 4 5 6

3 4 1 2 6 5

).

Odredite linijski graf L(Gc) grafa Gc. Je li L(Gc) Hamiltonov graf?

Rjesenje:

Sa slike je odmah vidljivo da je L(Gc) Hamiltonov graf.

Zadatak 2 [10b] Neka je H graf zadan slijedecom slikom:

u1

u2

u3u4u5u 7

u6

u8

Odredite bipartitan podgraf H grafa H s maksimalnim brojem bridova. Dokazite maksimalnost grafa H

te dokazite da je H jedinstven takav graf.

Rjesenje:

u1

u2

u3u4u5u 7u

6

u8

Graf H = H e, gdje je e = {u5, u6}, bipartitan je podgraf grafa H sa maksimalnim brojem bridova.Biparticija je (X,Y ) tako da vrijedi X = {u1, u3, u6, u5} i Y = {u2, u4, u7, u8}.Objasnjenje: Graf H nije bipartitan jer sadrzi cikluse neparne duljine. Uklanjanjem brida e dobivamograf koji ne sadrzi cikluse neparne duljine. Primijetite da je taj brid zajednicki brid svih ciklusa neparneduljine u H.Slijedi da je H = H e bipartitan podgraf od H sa maksimalnim brojem bridova.Da bismo dokazali da je H jedinstven, dovoljno je uociti da, kada bi postojao neki drugi bipartitanpodgraf od H sa istim (tj. maksimalnim) brojem bridova, tada bi on morao biti dobiven iz H uklanjanjemtocno jednog brida razlicitog od e. No, uklanjanjem bilo kojeg od takvih bridova dobiveni podgraf nece bitibipartitan, tj. uvijek cemo dobiti neki podgraf koji sadrzi ciklus neparne duljine, npr. ciklus duljine 5.

Zadatak 3 [15b] Zadan je graf S4 + e, pri cemu je S4 zvijezda sa 4 vrha, a e brid koji spaja proizvoljnadva vrha stupnja jedan. U takvom grafu odredite ukupan broj setnji duljine 4.

Rjesenje:Ukupan broj setnji duljine 4 jednak je sumi elemenata matrice A4, pri cemu je A matrica susjedstvazadanog grafa. Imamo

12

3

4

A =

0 1 0 01 0 1 10 1 0 10 1 1 0

.

Slijedi

A4 =

3 2 4 42 11 6 64 6 7 64 6 6 7

pa je suma svih elemenata matrice A4 jednaka 84, sto odgovara ukupnom broju setnji duljine 4 u zadnomgrafu.

Zadatak 4 [15b] Neka je T stablo. Dokazite da ako svi vrhovi od T imaju neparan stupanj, tada za svakibrid e iz T obje komponente od T e imaju neparan broj vrhova.

Rjesenje:Neka svaki vrh stabla T ima neparan stupanj. Obzirom da je svaki brid u stablu most, slijedi da je T esuma koja se sastoji od tocno dvije komponente povezanosti-stabla. Oznacimo ih s T1 i T2.Znamo da je u proizvoljnom grafu broj vrhova neparnog stupnja paran broj.Slijedi da za i = 1, 2, graf Ti mora sadrzavati paran broj vrhova neparnog stupnja.No, Ti sadrzi samo jedan vrh parnog stupnja (to je onaj vrh koji je incidentan s bridom koji smo ukloniliiz T ) dok su mu svi ostali vrhovi neparnog stupnja. Vrhova neparnog stupnja u Ti mora biti parno mnogopa zajedno sa jednim vrhom parnog stupnja dobivamo da Ti sadrzi neparan broj vrhova, i = 1, 2.

Zadatak 5 [15b] Odredite ukupan broj razapinjujucih stabala grafa G iz Zadatka 1.

Rjesenje:Koristiti cemo rekurziju za ukupan broj razapinjujucih stabala, a koristiti cemo i Cayleyevu formulu(Kn) = n

n2. Imamo:

16

16

16

16

1616

161616

161616 16 8

56

Zadatak 6 [10b] Odredite neku klasu jednostavnih grafova takvih da za svaki graf G iz te klase vrijedi(G) = (G) = 2.

Primjeri:1) Cn, n 3;2) Ljestve s n precaka, Ln = P2Pn;3) Dva ciklusa s n 3 vrhova povezana na nacin da su proizvoljna dva razlicita vrha jednog ciklusaspojena dvjema razlicitim bridovima sa proizvoljno odabranim parom razlicitih vrhova iz drugog ciklusa;4) Kao u 3), ali umjesto ciklusa imamo potpune grafove s najmanje 3 vrha.

Zadatak 7 [15b] Dokazite ili opovrgnite:Svaki Eulerov bipartitni graf sadrzi paran broj bridova.

Rjesenje:I.nacin:Neka je G Eulerov bipartitan graf. Kako je G Eulerov, slijedi da je svaki vrh u G parnog stupnja. No,obzirom da je ukupan broj bridova koji su incidentni sa vrhovima iz jedne particije jednak ukupnom brojubridova incidentnih sa vrhovima druge particije, slijedi da zbog parnih stupnjeva vrhova iz jedne particijedobivamo da je ukupan broj bridova suma parnih brojeva (stupnjeva vrhova u jednoj particiji) sto je paranbroj.

II.nacin:Jer je G Eulerov, slijedi da je svaki vrh u G parnog stupnja. U takvom grafu postoji niz bridno disjunktnihciklusa. No, G ne sadrzi cikluse neparne duljine jer je bipartitan pa svi ciklusi iz spomenutog niza imajuparnu duljinu, tj. paran broj bridova. Slijedi tvrdnja.