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Montserrat Gil Martínez1, Mario García-Sanz2

1 Area de Ingeniería de Sistemas y Automática. Universidad de La Rioja.Luis de Ulloa, 20. 26004 Logroño. E-mail: montse.gil@die.unirioja.es

2 Departamento de Automática y Computación. Universidad Pública de Navarra.Campus de Arrosadía. 31006 Pamplona. E-mail: mgsanz@unavarra.es

�������

���������� ����������� � �������� ������� �������������� ��� �������� ��� ����� �� � �� ������� �� �� � ������� � � � ���� �� �� ������ ���� ��������� � ���������� �� ������� ������ �� � � �� ����� � �� �� �� ����� ��� ����������� ����������� � ������������������� ������ � �� �� ������ !"#� $!���������� � " ����%#� ��&�� �� �� �� � �������� � ������� ���� ���'��� � � �������� � � ��� ��� �������� � � ��� ��� ��� �� �( �� � � ���������� ��� ����������� ����� ��������� ��� ��� �� ��� �� �������� �)�� ��� �� �� � �������� ����� � � ��������� � !"#� � � � �������� ��� ��� ����� ��� � ��� �� ������ ��� � � � � �� � � ������� * � � ���� �� ���������������� ���� ����� ��� � ����������� ���'�������� ��������� +� �� �� ����� ���+���� ���������� �� ������� � ��� ������ �� ���� � �������� � � ����� ������� �� � ��������� �

�������� �����: Sistemas Dinámicos conIncertidumbre, Control Robusto, Control QFT.

� �����������

La asignatura pendiente de los sistemas modernos decontrol es la adecuación de los diseños teóricos alproceso real a controlar, muchas vecesexcesivamente simplificado en las hipótesis dediseño.

Ante esto, el objetivo fundamental de este trabajo esel diseño de controladores capaces de dotar alsistema de robustez, entendiendo ésta como lacapacidad de gobernar el proceso a pesar de laincertidumbre existente en el modelo matemático dela planta y en los eventos de diversa índole quepuedan afectar al sistema. Al mismo tiempo, setratará de obtener un comportamiento lo más rápidoposible a pesar de la incertidumbre.

En este sentido, la técnica de control robusto QFT(!���������� � " ����%� #� ��), inicialmentedesarrollada por Horowitz [6] [7] [8], es una potentey fiable técnica de diseño en procesos que presentanincertidumbres paramétricas y no paramétricas dentrode unos rangos específicos. Establece una relacióncuantitativa entre los diferentes factores de diseño:rechazo de perturbaciones, seguimiento dereferencias (����%��'), minimización del esfuerzo decontrol, complejidad de diseño, sensibilidad,atenuación de ruidos, incertidumbre del sistema; porlo cual permite sintetizar controladores más realistas,donde la experiencia del diseñador juega un papelfundamental para adoptar una solución decompromiso.

Dada la gran diversidad de problemas susceptibles deresolver con QFT y la ‘novedad’ de la técnica, lasinnovaciones aportadas por el artículo se centran ensistemas lineales, con incertidumbre, continuos,SISO, y que se definen mediante su función detransferencia expresada como ganancia, ceros y/opolos. Al mismo tiempo, las especificaciones dediseño consideradas serán: estabilidad, seguimientode referencias, rechazo de perturbaciones yminimización del esfuerzo de control, por serconsideradas como fundamentales en cualquierproblema de control.

Analizando los compromisos de diseño másfrecuentes, las especificaciones mencionadas puedencumplirse teóricamente para plantas de complejidad eincertidumbres moderadas diseñando el controladorapropiado según QFT. Sin embargo, enimplementaciones reales que requieran unasambiciosas especificaciones en presencia de unaelevada incertidumbre, se solicitarán esfuerzos decontrol grandes que pueden no ser tolerados por losactuadores físicos. Esto implicará un deterioro delcomportamiento planteado teóricamente y por tantoun alejamiento del funcionamiento óptimoconservándose la robustez.

Una acción de control elevada se produce por unaelevada ganancia estática de lazo abierto. Por tanto,el objetivo final para reducir el esfuerzo de controlserá reducir dicha ganancia de tal modo que elcomportamiento estático y dinámico no se deterioren.

La solución propuesta es la división de laincertidumbre paramétrica, diseñando un controladorQFT para cada subdivisión. Las nuevas zonas, alpresentar menor incertidumbre, necesitaráncontroladores con menor ganancia estática de lazoabierto y por tanto exigirán esfuerzos de control másasequibles para conseguir las especificacionesdeseadas. Si los controladores QFT para cadasubdivisión satisfacen sus contornos tan cerca comosea posible, se asegura el comportamiento dinámicodeseado aunque se reduzca la ganancia. Si el errorestacionario empeora al reducir ésta, deberácorregirse añadiendo polos en el origen. Además, setenderá a que los diseños realizados tengan un ordenbajo para mejorar la operatividad práctica.

Sin embargo, no se debe olvidar que un objetivofundamental de todo control, por encima incluso dela optimización, es la robustez. Por ello, loscontroladores QFT diseñados para cada zona seránóptimos en su área particular pero estables en la zonaglobal de incertidumbre. En términos QFT esto setraduce en considerar la incertidumbre dividida alconsiderar las especificaciones de ����%��' y derechazo de perturbaciones en el diseño de cadacontrolador. Por el contrario, al considerar lasespecificaciones de estabilidad se tendrá en cuenta laincertidumbre total.

Para el desarrollo de la metodología de división de laincertidumbre paramétrica se estudiará en detalle latécnica QFT en los siguientes aspectos: el formato dela planta, las especificaciones, las plantillas o� ����� de baja frecuencia, los contornos o ����de baja frecuencia y el proceso de síntesis delcontrolador y el pre-filtro.

Para la combinación de los controladores QFT seconstruirá una estructura ������ �)�� ��� �, deacuerdo con los principios del control adaptativo [1].De este modo, medido �)��� el punto de operaciónmediante variables auxiliares, se determinará la zonade incertidumbre previamente acotada en la que seencuentra el sistema, y se habilitará el controladorcorrespondiente. El esquema global de control semuestra en la Figura 1. Se considerarán técnicas anti-choque que permitan un cambio suave de la ley decontrol entre zonas. Así mismo, y dadas las hipótesisbajo las que se diseñaron los controladores, un falloen el sistema de identificación y selección delcontrolador sólo supondrá un deterioro delcomportamiento óptimo pero nunca la pérdida deestabilidad ni de robustez.

!� ����������������

El esquema de control a seguir se muestra en laFigura 1. Prescindiendo del lazo de adaptación, semuestra un sistema de 2-DOF (2 grados de libertad),donde ,$& denota la planta con incertidumbreperteneciente a una familia ℘. -$& es el controladory "$&� el pre-filtro. Así mismo, se denominará.$&=-$&,$&.

���� ���� ����r u�

�

y

d1 d2

�� �

�

��� ��������� �����������

��������

Supervisor

Figura 1: Esquema de control

El proceso de diseño QFT es ampliamentedesarrollado en [4] [5] [10] y puede resumirse en lassiguientes etapas:

1. Definición de las especificaciones y síntesis delos modelos deseados.

2. Determinación de los modelos de las plantas LTIy obtención de su representación frecuencialsobre la carta de Nichols, que llamaremosplantillas o � ����� .

3. Cálculo de los contornos o ����.4. Síntesis ó ��)�����' del controlador, -$&.5. Diseño del pre-filtro, "$&.6. Comprobación de los diseños.

"� ������������������

Los resultados obtenidos son aplicables a plantaslineales, invariantes en el tiempo, SISO, conincertidumbre paramétrica descrita como familia deplantas en formatos℘1 ó ℘2:

( )( )

[ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈∈

∈∈

∈=

+++⋅

+++⋅

=

=℘

∏∏∏∏

==

==

���������

���������

���

���

���������������

���������������

������

�����

��

��

�

�����

��

�

���

���

����

�����

�����

��

__

__

,,,

,,,,

,,...,,3,2,1

1)2()()1(

1)2()()1(

)(

__

__

,...,1

2

,...,1

,...,1

2

,...,1

1

ωωω

ωωω

ωξω

ωξω

(1)

[ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈∈

∈∈

∈=

+++⋅

+++⋅

=

=℘

∏∏∏∏

==

==

���������

���������

���

���

���������������

���������������

������

�����

��

��

� �����

��

�

���

���

����

�����

�����

��

__

__

,,,

,,,,

,,...,,3,2,1

)2()(

)2()(

)(

__

__

,...1

22

,...,1

,...1

22

,...,1

2

ωωω

ωωω

ωωξ

ωωξ

(2)

#� ������ ���������

Las especificaciones a tener en cuenta en lasdemostraciones sucesivas serán de estabilidad y����%��'. A continuación se definen en el dominioQFT.

#$ � ����%��������%����

QFT define la estabilidad robusta para toda ,$& ∈℘, ω ∈ [0, ∞] como:

1)(1

)( δω

ω ≤+ (.

(.(3)

Chait y Yaniv [3], traducen la especificación robustaen (3) como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−≥ 1

5.0arccosº180

21δ

�� (4)

1

11

δ+≥/- (5)

siendo /- y /" el margen de ganancia y de fase,respectivamente.

Como criterio general de diseño para tenerestabilidad relativa aceptable se aconseja:

º45)(

577.1)(

28.23.11

≥≈≥

=≤

/"���

�0/-���

�0δ(6)

En demostraciones sucesivas se tomará por tantoδ�=1.3.

#$!� ���������%����

El seguimiento de señales de referencia en presenciade incertidumbre se define en QFT como:

( ) )()1

)()()( 32 ωδ

ωωωωδ (

(.

(.("( ≤

+⋅

≤ , (7)

para toda ,$& ∈ ℘, ω�<ω�.

Las especificaciones de ����%��' se basan ensatisfacer índices de comportamiento típicos anteentradas escalón. Se fijan un modelo superior

��#( =)(3 ωδ , subamortiguado a través de: /�

(sobreimpulso),� �� (tiempo de pico),� �� (tiempo deestablecimiento),� �� (tiempo de subida) ó 1�

(ganancia estática) y un modelo inferior

��#( =)(2 ωδ sobreamortiguado con: ����������1�.

Dichos modelos podrían expresarse como:

22

2

2

)()/()(

��

��

��

�����

� ωξωω

+⋅+

+⋅= (8)

)()()()(

321 σσσ −⋅−⋅−=

1

#�

� (9)

En sucesivas demostraciones se tomarán: /�=1.2para el modelo superior y ��=2s para el modelosuperior e inferior. El comportamiento frecuencial de����%��' deseado resultante se ilustra en el Figura 2.

10-1

100

101

102

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency (rad/sec)

Mag

nitu

de (

dB)

Lm TR

ω

�������

�������

ω��

�δ���ω

��

Figura 2: Respuesta frecuencial objetivo en el ����%��'robusto. Lm=20log10( ).

&� ����������

Para una planta con incertidumbre ,$& ∈ ℘, seseleccionan una serie de frecuencias de estudio ω�,�=1, ... �, de acuerdo con las especificaciones y laspropias características de la planta. A continuación,se calculan el conjunto de valores de la planta, ,$(ω�&en el plano complejo (diagrama de Nichols) paracada ω�, constituyéndose � plantillas ω�, i=1, ...�.

Una planta arbitraria [9] del conjunto de plantas seselecciona como el caso nominal, existiendo unarepresentación para cada frecuencia, ,�$(ω�&�

Para disminuir la ganancia estática se debe tenercomo referencia el comportamiento en bajafrecuencia ω. Por ello, en el proceso de división dela incertidumbre la plantilla ω merece especialatención.

A modo de ejemplo, dada una planta que sigue elformato (1) particularizado como:

[ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈∈+

==℘ 10,1,10,1:)1(

)( �%�%

, , (10)

la Figura 3 muestra su incertidumbre sobre eldiagrama de Nichols (NC) a través de las plantillasde frecuencias ω�=[0.1, 1, 10, 100].

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0.11

10

100

Phase (degrees)

Mag

nitu

de (

dB)

Plant Templates

Figura 3: Plantillas ω�=[0.1, 1, 10, 100] del sistema (10)

Analizando la plantilla de baja frecuencia ω20.1rad/s, ésta podría caracterizarse por unaincertidumbre vertical o en log-magnitud (magnituden decibelios) y por una incertidumbre horizontal oen fase. La incertidumbre vertical de baja frecuenciaes debida a parámetros ganancia en plantas conformato (1) y a parámetros ganancia, ceros y/o polossi el formato es (2). La incertidumbre horizontal enbajas frecuencias es aportada exclusivamente porparámetros cero y/o polo (no ganancia),independientemente del formato. Todo esto se ilustraen las Figuras 4 y 5.

La Figura 4 muestra las plantillas en ω�=[0.5, 5, 50]de la siguiente planta con formato (1) y conincertidumbre en su parámetro ganancia:

( ) [ ]{ }10,1:15)( ∈+==℘ �����

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Phase (degrees)

Mag

nitu

de (d

B)

ω=0.5

ω=5

ω=50

Figura 4: Incertidumbre vertical en plantillas ω�=[0.5, 5,50] debida a un parámetro %.

La Figura 5 presenta dos familias de plantas, ℘� y℘�, que siguen formatos (1) y (2), respectivamente,con incertidumbre en un parámetro polo, estudiadasen baja frecuencia ω=0.1 rad/s:

( ) [ ]{ }10,1:1101 ∈+=℘ ��

( ) [ ]{ }101:102 ∈+=℘ ��

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Phase (degrees)

Mag

nitu

de (

dB)

℘1

℘2

Figura 5: Incertidumbre vertical debida a un parametro � enω=0.1 rad/s para formatos (1) y (2)

Ambas incertidumbres horizontal y vertical de laplantilla ω pueden ser cuantificadas en términos delas incertidumbres de los parámetros.

Posteriormente, las conclusiones presentadasdeterminarán el parámetro a dividir y como llevar acabo su fragmentación.

'� ���������

Las especificaciones de lazo cerrado y laincertidumbre del sistema se traducen ahora entérminos de unos contornos que la función detransferencia en lazo abierto, .$(ω&=-$(ω&,$(ω&��debecumplir. De este modo, existirán contornos para cadaespecificación y en aquellas frecuencias de interés.

Para el problema considerado en este artículo, secalcularán contornos de estabilidad y contornos de����%��'.

'$ � ���������������%������

Para que el sistema sea estable .$(ω& no deberárodear al punto (0dB, -180) del NC, y aun másdeberá cumplir con las especificaciones de /-(margen de ganancia) y /" (margen de fase)establecidas con δ�, (3) (4) (5). Por otro lado, laespecificación de máximo pico de resonancia, /�,permitido en lazo cerrado, se traduce en que .$(ω& nose introduzca en un determinado círculo-/ del NC;lo cual engloba lo mencionado anteriormente demantener un cierto /- y /" positivos. Unaespecificación de estabilidad robusta de δ�=1.3, setraduce en /-≥5dB y /"≥45º según (6), siendo elcírculo-/ correspondiente de /�= 2dB.

En alta frecuencia (ω→∞) [4] cualquier función de

transferencia racional se transforma en ��% − ,

siendo �)� la diferencia de orden entre el numerador

y el denominador. Por tanto si % es un parámetro conincertidumbre:

[ ]3�0���.�1��+.�1

���.�,��+.�,���.�,

=−

=−∞→

=ω

Δ(11)

siendo ( )10log20=�� .

De este modo los contornos de estabilidad robusta setrazan alargando el círculo-/ de lazo cerrado en NCque determina δ�, una cantidad 3 que simboliza laincertidumbre a cada frecuencia.

En el presente trabajo, los contornos de estabilidad setrazan considerando la incertidumbre total delsistema ℘ sin ninguna fragmentación. Esto garantizaun comportamiento robusto, a pesar de cualquiererror en la identificación del punto de operación.

Para el caso de la planta expresada en (10) conδ�=1.3, el contorno de estabilidad de alta frecuenciase representa en la Figura 6, siendo 3=20 dB y/�=2dB.

���� ���� ���� ���� ���� ���� ��� �

���

���

�

��

��

��

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

�

�

�

�

���

����

�

��

��

��

���

���

Figura 6: Contorno de estabilidad de alta frecuencia

'$!� ������������������

Definidos #��$ω& y #� $ω& en (8) y (9), estosimplican que el módulo de lazo cerrado del sistema,

�

���� +

=1

, debe caer dentro de:

)()()( ωωωδ ����� �� −= (12)

como se particulariza en la Figura 2. Para ello:

( ) )(ωδωΔ ������ ��� ≤−= (13)

o bien:)()( ωδωΔ �� ≤ (14)

Según esto, el procedimiento de trazado del contornode ����%��' para la frecuencia ω�, ��$(ω�&, sería:

- Se toma una plantilla ,$(ω�& con su plantanominal ,�$(ω�& en una determinada frecuenciaω�.

- En NC, a lo largo de una línea de fase constante,se mueve la plantilla ,$(ω�& hacia arriba o haciaabajo, hasta que los extremos de la plantilla seantangentes a dos líneas � tal que

)( �������� �� ωδ≤− .

- Entonces, el punto de la planta nominal ,�$(ω�&será el punto del contorno de ����%��' ��$(ω�& enla línea de fase constante tomada.

- El procedimiento se repite para distintas faseshasta completar el contorno ��$(ω�& para lafrecuencia ω�.

Posteriormente se repite el mismo procedimientopara otras frecuencias hasta calcular los contornos de����%��' para todas las frecuencias de estudio.

Un estudio detallado de las curvas � sobre el NC,Figura 7, muestra que estas presentan pendiente nulaen las proximidades de 0º, -180º y –360º.Paralelamente, la pendiente se hace infinita en lasfases –90º y –270º.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-10

0

10

20

30

40

50

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

6

3

1.51.1

1

0.7

0.5

0.25

0.15 0.1

0.08

0.05

0.025

0.01 0 -0.01

-0.025

-0.05

-0.1

-0.15

-0.25

-0.35

-0.5

-0.75

-1

-3

-6

-12

Figura 7: Incertidumbre horizontal y vertical de la plantillapara el trazado de contornos de ����%��'

Considerando este hecho y el procedimiento detrazado de los contornos de ����%��' descrito, sepuede concluir, que el máximo salto entre curvas �de lazo cerrado alcanzadas por la plantilla ω� esdebido a:- su incertidumbre vertical o en log-magnitud, en

0º, -180º y –360º.- su incertidumbre horizontal o en fase, en –90º y

–270º.Y esto determina la posición del contorno de ����%��'��$(ω�&, como se ilustra en la Figura 7, para la familiade plantas descrita en (10), siendo la especificaciónde ����%��' δ�(ω�=1)=1 leída sobre la Figura 2.

Cuanto más restrictivas sean las especificaciones, esdecir, menor δ� para la misma incertidumbre, elcontorno se situará a mayor altura.

�

Se prestará especial atención al contorno ω��, cuyaaltura en decibelios determina la ganancia estáticaque se pretende reducir.

Por tanto, la división de los parámetros ganancia,polos y/o ceros, implicará la división de laincertidumbre vertical y/o horizontal de la plantillaω�� (ver Sección 5). A su vez, esto conducirá a unareducción en altura del contorno ω��, sobre todo en lasfases características anteriormente indicadas. Yfinalmente se demostrará cómo esto reduce laganancia estática de los controladores resultantes.

Como ejemplo ilustrativo de división de laincertidumbre vertical de la plantilla ω��, la Figura 8estudia la planta con incertidumbre definida en (10),en cuyo parámetro % se han realizado 3 divisiones: ��,�� y ��, con %� en [1, 1.3], %� en [2.3, 2.5] y %� en [2.510], respectivamente. Obsérvese la mejora delcontorno ��$(ω��& en las fases 0º, -180º y –360º.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 030

35

40

45

50

55

60

Phase (degrees)

Mag

nitu

de (d

B)

d3

d2

d1

total

Figura 8: División de incertidumbre vertical y descenso decontornos de ����%��' paraω��.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 025

30

35

40

45

50

55

Phase (degrees)

Mag

nitu

de (d

B)

d1

d2

d3

total

Figura 9: División de incertidumbre horizontal y descensode contornos de ����%��' para ω��.

Como ejemplo ilustrativo de división de laincertidumbre horizontal de la plantilla ω��, la Figura9 estudia la planta con incertidumbre expresada en

(10), en cuyo parámetro � se han realizado 3divisiones: ��, �� y ��, con �� en [1, 2.2], �� en [2.2,4.6] y �� en [4.6 10]. Obsérvese la mejora delcontorno ��$(ω��& en las fases -90º y –270º.

���� ������� ����� �� � �

Para cada especificación (estabilidad y ����%��' eneste estudio) se trazan los contornos de la maneraindicada y en las frecuencias de interés (según lasespecificaciones y las propias características de laplanta). Según esto, pueden coexistir para cadafrecuencia varios contornos atendiendo a lasdiferentes especificaciones. Entonces se calcula laintersección, quedándonos con el contorno másdesfavorable para cada frecuencia, �$(ω�&�

Puede demostrarse que a bajas frecuencias (las deinterés en este trabajo) el contorno dominante es el de����%��' respecto al de estabilidad. Por ello, resultainteresante la división de la incertidumbreexclusivamente para el trazado de los contornos de����%��'.

Si se trabajara con especificaciones de rechazo deperturbaciones, éstas también exigen elevadaganancia en lazo abierto. Esto significará que sucontorno correspondiente en ω�� alcanzará una alturaconsiderable. Por tanto, se determinaría el contornodominante entre el de ����%��' y el de perturbación,para luego realizar la fragmentación de laincertidumbre.

Para la familia de plantas en (10) y lasespecificaciones descritas, el conjunto de contornos�$(ω�&� se muestran en la Figura 10. En bajasfrecuencias dominan los contornos de ����%��' y enaltas frecuencias los de estabilidad.

�� �������� �� � �� ��� � ����� �������� �������

El diseño del controlador QFT, -$&� se lleva a cabosobre el Diagrama de Nichols (NC) en el que se hanrepresentado los contornos intersección para cada ω�,�$(ω�&� y la planta nominal ,�$(ω�&. La Figura 10muestra un ejemplo para la planta descrita en (10) ylas especificaciones de estabilidad y ����%��'expuestas anteriormente.

Los contornos representan la posición a alcanzar porel sistema en lazo abierto, .�$(ω�&2-$(ω&� ,�$(ω�&,para cumplir las especificaciones de lazo cerrado queconsideran la incertidumbre. De este modo, con latécnica de síntesis QFT se añaden elementosganancia, polos y/o ceros con -$(ω&, de modo que laplanta nominal de cada frecuencia ,�$(ω�& satisfagasu correspondiente contorno �$(ω�&: se sitúe por

encima, si el contorno es continuo, y por debajo, si elcontorno es discontinuo.

Si cumpliendo el contorno, la función .�$(ω�& se alejade éste, existe un sobre-dimensionamiento, es decir,el controlador es menos óptimo y el coste derealimentación es mayor.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-60

-40

-20

0

20

40

60

B(jω=j0.1)

B(jω=j1)

B(jω=j10)

B(jω=j100) P

0(jω)

ω=0.1 ω=1

ω=10

ω=100

Figura 10: Contornos intersección �$(ω�&, y planta nominal,�$(ω�&.

El proceso de diseño de -$(ω& se suele realizarordenadamente del siguiente modo:

1. A la planta nominal de baja frecuencia, ,�$(ω��&se le añaden los polos en el origen necesariospara cumplir las especificaciones estacionariasdeseadas. A este nuevo punto, clave en elproceso de fragmentación se le denominará,punto de inicio de diseño, ,:

���

���

�

���

)(

)(0

ω

ω= (15)

siendo � el número de polos en el origen a añadirde modo que �4� –ver (1) y (2)– determinará eltipo final del sistema.

2. Adición de la ganancia estática necesaria parasatisfacer el contorno ω��, �$(ω��&.

3. Agregar los polos y/o ceros necesarios para queen cada frecuencia ω� la planta nominal ,�$(ω�&satisfaga su contorno ω� �$(ω�&.

Para llevar a cabo este proceso de diseño se empleanpaquetes gráficos de diseño asistido por ordenadorcomo el que ofrece la Toolbox de QFT de MATLAB[2], que facilitan el trabajo.

Se podría demostrar que el punto de inicio de diseño,, está siempre ubicado sobre las líneas de fase: 0º,-90º, -180º ó –270º, si no existen retardos puros en ladefinición del sistema.

Por tanto, y dado que en , es donde se añade laganancia estática hasta alcanzar el contorno ω�� , seráen la fase de , donde �$(ω��& deberá descender entérminos de log-magnitud. Relacionando esto conanteriores conclusiones el objetivo final será:

- Fragmentar la incertidumbre vertical de laplantilla ω��� cuando el tipo deseado del sistemasea 0 ó 2; ya que la ganancia estática se añade en0 o –180º y en esta fase es donde la mejora delcontorno ω�� es mayor.

- Dividir la incertidumbre horizontal de la plantillaω���cuando el tipo deseado del sistema sea 1 ó 3;ya que la ganancia estática se añade en -90º o-270º y en esta fase es donde la mejora delcontorno ω�� es mayor.

Los parámetros ganancia, polo y/o cero queaportaban estas incertidumbres se analizaron en laSección 5. Es conveniente, seleccionar un soloparámetro a dividir para simplificar el proceso defragmentación y reducir el número final de diseños arealizar, factores importantes para ahorrar esfuerzode diseño.

Otro hecho a tener en cuenta es, que la división de unparámetro no solo afecta a la incertidumbre de laplantilla ω��, sino que también modifica la posición dela planta nominal y por tanto la ubicación de , encada diseño. Esto ha de tenerse en cuenta para quelos controladores finales tengan similar gananciaestática, evitando excesivas divisiones yhomogeneizando el comportamiento final delsistema.

�� �� � � ��������������

Englobando los conceptos expuestos anteriormente,el proceso de división paramétrica podría resumirsecomo sigue:

- Cuantificar el esfuerzo de control máximopermitido por los actuadores físicos.

- Analizar si la incertidumbre del sistema y lasespecificaciones implican sobrepasar dicholímite, en cuyo caso será necesaria lafragmentación.

- En función del tipo deseado del sistema (polosen el origen), determinar la fase de , y por tantoen qué fase el contorno total de baja frecuenciadebe disminuir su altura en decibelios.

- Si dicha fase es 0º o –180º, interesará dividir laincertidumbre vertical de la plantilla ω��. Si la

fase es –90º o –270º, se fragmentará laincertidumbre horizontal.

- Identificar los parámetros que aportan laincertidumbre a dividir: la incertidumbre verticalen baja frecuencia es aportada por parámetrosganancia en formato (1), y por ganancia, cerosy/o polos en formato (2); la incertidumbrehorizontal de baja frecuencia la aportanparámetros cero y/o polo. Tras cuantificar lacontribución de cada parámetro a laincertidumbre a dividir, se aconseja seleccionarun solo parámetro para la división con el fin desimplificar el proceso y reducir el número dediseños a realizar.

- Calcular la posición del contorno ω�� en la fasede ,, que será función de la especificación y dela incertidumbre vertical u horizontal de laplantilla ω��.

- Ir dividiendo el parámetro seleccionado enfunción de la incertidumbre que aporta a laplantilla ω��, la distancia al contorno ω��, lamáxima ganancia permitida, y la consideraciónde que , también se desplaza al realizar lassubdivisiones. Las divisiones efectuadas daránlugar a controladores con similar gananciaestática por debajo del máximo permitido.

El proceso de subdivisión no es trivial. Entre otrasdificultades destaca que en términos deincertidumbre vertical la ganancia en NC varia endecibelios por lo que la división de la incertidumbreno debe seguir patrones lineales sino logarítmicos.En términos de incertidumbre horizontal, la raízdominante es la situada más cerca del origen, pero suincertidumbre no contribuye en fase de formalinealmente distribuida.

�� ������ �

Las conclusiones desarrolladas se ilustran acontinuación con dos ejemplos de división deincertidumbre vertical y horizontal, respectivamente.

���� ���� ��

Se parte de un sistema con formato (1), que contieneúnicamente una ganancia y un polo real, ambos conincertidumbre: % en [1, 10], y � en [1, 10]; el sistemano posee ningún polo en el origen (�=0). Lasespecificaciones estáticas se suponen tales que unsistema de tipo 0 (�+�=0) es suficiente. Por tanto,habrá que dividir la incertidumbre vertical en ω��.Siendo el parámetro % el único que contribuye a esta,se generarán tres divisiones %�=[1, 1.4], %�=[1.4, 2.5]y %�=[2.5, 10], que producen incertidumbres enmagnitud logarítmica de 2.92 dB, 5.04 dB y 12.04

dB, respectivamente. La incertidumbre vertical totales de 20dB. Las especificaciones de estabilidad y����%��' para el trazado de contornos son lasreflejadas anteriormente. En la Figura 11 puedenobservarse las mejoras del contorno ω�� y cómo ,

varía para cada división. Las ganancias estáticasfinales de cada uno de los nuevos controladores son,47.5 dB para la división 1, 48.3 dB para la división 2y 49.3 para la división 3. Si no se fragmentara % senecesitaría una ganancia de 57.3 dB. Por tanto, lamejora es de 10dB, lo que significa una reducción de3.16 veces el esfuerzo de control.

-150 -100 -50 0 50 100

0

10

20

30

40

50

60

Phase(degrees)

Mag

nitu

de(d

B)

57.3

d1

47.5

d2 48.3

d3 49.3

total

Figura 11: Reducción de ganancia estática con división deincertidumbre vertical.

�� � ���� �

Se tiene un sistema con formato (1) que contiene unaganancia y un polo real ambos con incertidumbre: %en [1, 1.75] y � en [1, 100]. En este caso lasespecificaciones estáticas son tales que hacennecesario un polo en el origen (�4�=1). Por tanto, elpunto de inicio de diseño se sitúa en –90º y será laincertidumbre horizontal de la plantilla ω�� la que seanecesaria dividir. Esta incertidumbre en fase esaportada por el polo real, que dividimos en �� y ��,con ��=[1, 2] y ��=[2, 100], respectivamente. Lasespecificaciones de estabilidad y ����%��' fuerondescritas anteriormente.

-180 -160 -140 -120 -100 -8010

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Phase(degrees)

Mag

nitu

de(d

B)

38.4

33.4

34.2

d1 d2

total

Figura 12: Reducción de ganancia estática con división deincertidumbre horizontal.

La Figura 12 muestra la mejora del contorno ω�� encada diseño y la poca relevancia de la variación de ,

para cada división. Mientras que la ganancia estáticanecesaria sin subdivisión es de 38.4 dB, tan sólo 34.2y 33.4 dB cumplen especificaciones cuando se hallevado a cabo la fragmentación. Por tanto, la mejoraes de 4 dB, lo que reduce el esfuerzo de control 1.6veces.

�!� � ������ ��

Primeramente se analizó el problema de que ensistemas dinámicos con gran incertidumbre, laexigencia de comportamientos de control robustos yrápidos supone un elevado esfuerzo de control,muchas veces no tolerado por los actuadores físicos.

Ante esto se desarrolló una metodología de divisiónde la incertidumbre del proceso de modo que cadanuevo controlador tenga una menor ganancia estáticay por tanto limite el esfuerzo de control de bajasfrecuencias. Dicha metodología se dedujo a partir deun estudio detallado de la técnica QFT (Teoría deControl Cuantitativa) en referencia a los siguientescampos: formato de la planta (siempre expresadamediante función de transferencia en forma deparámetros ganancia, ceros y/o polos),especificaciones (estabilidad, ����%��', rechazo deperturbaciones y esfuerzo de control), plantillas o� ����� de baja frecuencia, contornos o ���� debaja frecuencia y síntesis final del controlador.Finalmente se expusieron dos ejemplos de divisiónde diferentes incertidumbres paramétricas.

Diseñados los controladores mediante QFT yconsiderando la metodología expuesta, la fase deimplementación se realizará con un esquema������ �)�� ��� �.

El control robusto-adaptativo propuesto asegura:estabilidad y robustez en todas las condiciones deoperación, incluso en el caso de fallo en el proceso deidentificación; comportamiento óptimo, ya que sediseñan controladores para áreas de menorincertidumbre y se garantiza que los actuadoresfísicos puedan conseguir especificaciones másrápidas; y operatividad práctica, pues loscontroladores son de orden moderado y estáncalculados de antemano sin requerirse su diseño �)��� .

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Los autores agradecen la ayuda prestada a laComisión Interministerial de Ciencia y Tecnología(CICYT) en el proyecto TAP’97-0471.

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