8/17/2019 Distribucion Lognormal de Tres Parametros

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Redactado por Jorge L. Vidal E. para http://foros.construaprende.com 1

DISTRIBUCION LOGNORMAL DE TRES PARAMETROS (LNIII)

1.- GENERALIDADES

La distribución Log-Normal de tres parámetros es similar a la distribución LNII exceptoque la variable  x es restada en una cantidad a que representa un límite inferior para dicha

variable.

( )( )

  ( )[ ]

−−

⋅

−⋅

⋅⋅⋅−

=2

2log

2

1exp

2

1 y

 y y

a xa x

 x f     µ σ  π σ  

  (1)

La variable ( )a x y   −= log  se distribuye normalmente donde  y µ   y2 yσ    son los parámetros

de ubicación y de escala, que corresponden a la media y la varianza de los logaritmos de la

variable corregida ( )a x − . La variable estandarizada u se obtiene mediante:

( )

 y

 ya xu

σ  

 µ −−=

log  (2)

2.- ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Los primeros dos momentos de la distribución LN3 se obtienen por (Kite, 1977):

21

2

' y

 yea

σ   µ 

 µ +

+=   (3)

22 2

2 1  y y y ee

  σ   µ σ  

 µ +⋅

⋅−=   (4)

El coeficiente de variación de ( )a x − , 2 z  , se obtiene por (Kite, 1977):

31

32

2 1ww z 

  −=   (5)

Donde w  es definida por:

( )2

4 21

2

11   ++−=

  γ  γ  w   (6)

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En la ecuación anterior1

γ    es el coeficiente de asimetría de la variable  x original. Luego de

la sustitución de los parámetros 1' µ  , 2 µ   y 1γ    por sus estimadores muestrales 1'm , 2m  y 1 g   

y el uso de (5) para obtener 2 z   se tiene que:

( )[ ] 21

2

2 1logˆ   +=   z  yσ     (7)

( )1log2

1logˆ

2

2

2

2+⋅−

 

 

 

 =   z 

 z 

m y µ   

(8)

2

2

1'ˆ

 z 

mma   −=  

(9)

3.- ERROR ESTÁNDAR E INTERVALO DE CONFIANZA

El error estándar de la variable transformada ( )a x y   −= log   es obtenido en unidadeslogarítmicas mediante:

 

  

 +⋅=

21

22

2   u

n s

  y

T 

σ    (10)

Si T  x̂  es la estimación de la variable para un cierto periodo de retorno entonces el intervalo

de confianza para una significancia α  , donde t corresponde a la variable normal estándar,

esta dado por:

T T    st  x   ⋅±2

ˆ   α    (11)

En el caso de utilizar Logaritmos Naturales para la transformación, el intervalo de

confianza sería:

Int=   ( )   a st a xT T  ˆˆˆ

lnexp2

+

⋅±−

α 

 (12)

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0

50

100

150

200

250

300

350

1 10 100 1000

T (años )

   P  m  a  x   d  e   2   4   h  o  r  a  s   (  m  m   )

 Fig. 1.- Ejemplo de Distribución Log-Normal 3 e intervalos de confianza con 05.0=α