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8/17/2019 Distribucion Lognormal de Tres Parametros
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Redactado por Jorge L. Vidal E. para http://foros.construaprende.com 1
DISTRIBUCION LOGNORMAL DE TRES PARAMETROS (LNIII)
1.- GENERALIDADES
La distribución Log-Normal de tres parámetros es similar a la distribución LNII exceptoque la variable x es restada en una cantidad a que representa un límite inferior para dicha
variable.
( )( )
( )[ ]
−−
⋅
−⋅
⋅⋅⋅−
=2
2log
2
1exp
2
1 y
y y
a xa x
x f µ σ π σ
(1)
La variable ( )a x y −= log se distribuye normalmente donde y µ y2 yσ son los parámetros
de ubicación y de escala, que corresponden a la media y la varianza de los logaritmos de la
variable corregida ( )a x − . La variable estandarizada u se obtiene mediante:
( )
y
ya xu
σ
µ −−=
log (2)
2.- ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Los primeros dos momentos de la distribución LN3 se obtienen por (Kite, 1977):
21
2
' y
yea
σ µ
µ +
+= (3)
22 2
2 1 y y y ee
σ µ σ
µ +⋅
⋅−= (4)
El coeficiente de variación de ( )a x − , 2 z , se obtiene por (Kite, 1977):
31
32
2 1ww z
−= (5)
Donde w es definida por:
( )2
4 21
2
11 ++−=
γ γ w (6)
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En la ecuación anterior1
γ es el coeficiente de asimetría de la variable x original. Luego de
la sustitución de los parámetros 1' µ , 2 µ y 1γ por sus estimadores muestrales 1'm , 2m y 1 g
y el uso de (5) para obtener 2 z se tiene que:
( )[ ] 21
2
2 1logˆ += z yσ (7)
( )1log2
1logˆ
2
2
2
2+⋅−
= z
z
m y µ
(8)
2
2
1'ˆ
z
mma −=
(9)
3.- ERROR ESTÁNDAR E INTERVALO DE CONFIANZA
El error estándar de la variable transformada ( )a x y −= log es obtenido en unidadeslogarítmicas mediante:
+⋅=
21
22
2 u
n s
y
T
σ (10)
Si T x̂ es la estimación de la variable para un cierto periodo de retorno entonces el intervalo
de confianza para una significancia α , donde t corresponde a la variable normal estándar,
esta dado por:
T T st x ⋅±2
ˆ α (11)
En el caso de utilizar Logaritmos Naturales para la transformación, el intervalo de
confianza sería:
Int= ( ) a st a xT T ˆˆˆ
lnexp2
+
⋅±−
α
(12)
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0
50
100
150
200
250
300
350
1 10 100 1000
T (años )
P m a x d e 2 4 h o r a s ( m m )
Fig. 1.- Ejemplo de Distribución Log-Normal 3 e intervalos de confianza con 05.0=α