distribuciÓn muestral
DESCRIPTION
DISTRIBUCIÓN MUESTRALTRANSCRIPT
Profesor: Ing. Celso Gonzales Ch. Mg.Sc
ESTADISTICA Y PROBABILIDAD II
OBJETIVOS:
Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz:
Describir los métodos para seleccionar una muestra.
Comprender los requisitos necesarios para que una muestra sea probabilística.
Conocer los principales métodos de muestreo, sus ventajas y desventajas para ser aplicados en diversas condiciones.
Definir y elaborar una distribución de muestreo para la media de la muestra.
Explicar el teorema del limite central.
VENTAJAS DEL MUESTREO EN COMPARACIÓN CON LA
ENUMERACIÓN COMPLETA.
Costo reducido
Mayor rapidez
Más posibilidades
Mayor Exactitud
Una empresa de agencia de viajes entrega una encuesta
de evaluación a todos sus clientes que contratan el
paquete de excursión a Europa, la que espera sea
entregada al finalizar el viaje. El objetivo de dicha
encuesta es conocer el perfil de sus clientes y la opinión
sobre la calidad del servicio que ofrece.
a) Indique la población objetivo del estudio.
b) ¿Cómo se haría para tomar una muestra?
c) ¿Cuenta con un marco muestral completo?
d) ¿Hay alguna diferencia entre ambos? (población y
marco muestral).
Objetivo fundamental de la Estadística
El objetivo básico de la estadística es hacer inferencia acerca de una
población con base a la información contenida en una muestra
OBJETIVOS DE LA ESTADISTICAS: Pasos
OBJETIVOS DE LA ESTADISTICAS: Pasos
Suponga que se desea medir la porcentaje de humedad en
las bolsa de azúcar de un proceso de producción.
¿A quién deseo generalizar los resultados? :
¿A quien puedo acceder en el estudio? :
¿Cómo puedo acceder a ellos?
¿Quién forma parte del estudio? :
Hay dos tipos básicos de muestreo:
•MUESTREO PROBABILÍSTICO.
• MUESTREO NO PROBABILÍSTICO.
MUESTREO
• El Muestreo es la disciplina que trata con el conjunto de técnicas
para tomar u obtener una muestra.
¿Qué es el muestreo?
Población Objetivo
de Estudio
¿Por qué?
muestra
POBLACION Y MUESTRA
En las familias de cierta ciudad, se determinó el porcentaje de calorías consumidas
diariamente por niño (menor de 12 años), también se registró el número de niños
(menores de 12 años) por familia, y el nivel socioeconómico de la familia (NSE). Los datos se dan a continuación:
Calorìas(%) NSE Calorìas(%) NSE Calorìas(%) NSE
26 C 53.7 C 60 B
35 D 53.8 C 60.5 B
36.2 B 55.4 C 61.5 D
43.4 A 56.1 C 61.7 C
43.8 A 56.1 C 62 D
44 A 57.1 C 62 B
49.3 B 57.9 B 62.2 B
51.6 D 59.4 C 62.3 B
51.8 A 59.9 D 63.2 B
52.3 A 60 B 63.5 A
Taller- Uso de números aleatorios
Usando MS Excel: Datos/ Análisis de datos
¿Selección de la muestra? Con uso de
Marco Muestral
Sin uso de Marco Muestral
• Diseño muestral probabilístico
• Diseño muestral NO probabilístico
• Diseño muestral SEMI- Probabilístico
IMPORTANCIA DEL MARCO DE MUESTREO
• Parámetros a ser estimados
• Media poblacional
• Total poblacional
• Proporción poblacional
• Estimadores utilizados
• Estimadores lineales (medias, totales y proporciones)
PARAMETROS Y ESTIMADORES
Es un método de selección de n unidades en un conjunto de N de
tal modo que cada uno de las muestras distintas tenga la misma
probabilidad de ser seleccionadas .
VENTAJAS:
• Sencillo y fácil comprensión
• Cálculo de medidas estadísticas.
DESVENTAJAS
• Requiere de un marco de muestreo.
• Requiere de muestra grande.
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
1° Preparar el marco muestral de lista numerando las
unidades desde 1 hasta N
2° Elegir un número aleatorio entre 1 y N, la unidad que le
corresponde a dicho número forma parte de la muestra
3° Continuar la selección hasta completar el tamaño de
muestra n, excluyendo las unidades repetidas (si es sin
reemplazo)
Procedimiento de selección
DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL
Distribución de probabilidad de todas las medias posibles de un tamaño muestra
dado.
x
22
x n
22
1x
N n
n N
xn
1x
N n
Nn
Muestreo Media Varianza Error estándar
Con reemplazo
Sin reemplazo
DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL
x
x
xZ
x
Distribución muestral de la media.
Considérese una población en la que se
estudia una característica X que sigue una
distribución normal de media 12 y varianza
16. Se pide:
a) Probabilidad de que un elemento de esa
población, elegido al azar, tenga la
característica superior a 14.
b) Considérese una muestra aleatoria de
tamaño n = 9. ¿Cuál es la probabilidad de
que la media muestral tenga un valor
superior a 14?
EJEMPLO
¿Por qué es importante la distribución
normal?
Suponga N=6 estudiantes universitarios y n =2. Para
calcular las distribuciones de muestreo, suponiendo que
son conocidos todos los valores de la población ( Ingreso
semanal en nuevos soles)
y1 y2 y3 y4 y5 y6
100 102 154 133 190 175
Nos interesa la media de la población. Se proponen dos
planes de muestreo
EJEMPLO
N° de
muestra Muestra Probabilidad
1 (1,3,5)
2 (1,3,6)
3 (1,4,5)
4 (2,4,6)
5 (2,3,5)
6 (2,3,6)
7 (2,4,5)
8 (2,4,6)
N° de muestra Muestra Probabilidad
1 (1,4,6)
2 (2,3,6)
3 (1,3,5)
Plan1: Se puede elegir 8 muestras posibles Plan2: Se puede elegir entre tres muestras
posibles
a. Cual es el valor de la media
poblacional? Y halle los promedios de
la muestra para cada plan de
muestreo
b. Hallar el valor esperado y la varianza
para cada plan de muestreo e indique
cual es el mejor plan de muestreo y
por qué?
Al estudiar los manuales de manejo y mantenimiento de
máquinas de una empresa industrial, el ingeniero
responsable determinó que el tiempo en minutos que:
a. Una maquina demora realizar una operación de corte
sigue una distribución normal con media 1.2 y
desviación estándar de 0.1. Se toma una muestra
aleatoria de 36 observaciones. ¿Cuál es la
probabilidad de que el promedio muestral sea mayor
que 2,05?
b. Suponga que otra máquina en el proceso de sellado
en un día de trabajo tiene distribución:
X 0 1 2 3
P(X=x) 0.8 0.1 0.05 0.05
EJEMPLO
b1. Si se selecciona una muestra al azar de 100 días y se
registra el número de fallas de la maquina 2 de cada día.
¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de la
muestra sea por lo menos 0.3?
b2. Si se selecciona 64 días al azar, ¿Cuál es la probabilidad
de que la máquina no falle en menos de 15 días?
En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una variable normal de media 10 minutos y desviación estándar 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no supere los 9 minutos?
b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64 clientes?
EJEMPLO
Un ejecutivo de una empresa que realiza ventas de
teléfono conoce que al call center entraron el día
anterior 5 llamadas, con tiempos de espera 18, 16, 20,
14 y 12 segundos. Si el ejecutivo tuviera que elegir
una muestra aleatoria de 2 llamadas (con reemplazo)
a. ¿Cuántas muestras posibles puede escoger? En base
a las muestras obtenidas, hallar la media y la varianza
de la distribución de la media muestral.
b.¿Cuál es la probabilidad de que se elija una muestra
con tiempo promedio de espera de 19 segundos a
más?
EJEMPLO 3
EJERCICIOS
Los pesos de las personas que suben a un ascensor
se distribuyen normalmente con media igual a 56.6
kg y desviación estándar de 13.6 Kg. Un grupo de 9
personas sube al ascensor:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio
del grupo sea menor de 45300 gramos?
b) El ascensor tiene una capacidad máxima de
634.2 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que se
exceda esta capacidad con un grupo de 9
personas?
EJEMPLO
Luego de estudiar los manuales de manejo y mantenimiento
de las máquinas de una empresa, el ingeniero responsable
determinó que:
El tiempo en minutos que la máquina A demora en realizar
una operación de corte tiene distribución con media 1.2 y
desviación estándar es 0.1
El tiempo en minutos que la máquina B demora en realizar
una operación de soldadura tiene distribución normal con
media de 2 y desviación estándar de 0.2.
a.¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de corte de una
operación elegida al azar sea mayor de 1.4 minutos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de una
muestra de 36 observaciones al tiempo de soldadura sea
mayor que 1.25 min?
EJEMPLO
Suponga que las latas de KOKA KOLA se llenan de tal
manera que las cantidades reales tienen una media de 12
onzas y una desviación estándar . Si se conoce que el
percentil 25 de los contenidos de las latas es inferior a
11.9804 onzas.
a) Calcule la desviación estándar de los contenidos de las
latas de KOKA KOLA.
b) Se toma una muestra aleatoria de 64 latas. ¿Cuál es la
probabilidad de que la media de la muestra sea por los
menos 12.19 onzas.?
EJEMPLO 6
Suponga N=6 estudiantes universitarios y n =3 . Para calcular las distribuciones de muestreo, suponiendo que son conocidos todos los valores de la población ( Ingreso semanal en nuevos soles)
Nos interesa la media de la población. Se proponen dos planes de
muestreo.
EJEMPLO
Plan1: Se puede elegir 8 muestras
posibles
Plan2: Se puede elegir entre tres
muestras posibles
N° de
muestra Muestra
Probabilida
d N° de
muestra Muestra Probabilidad
1 (1,3,5) 0.125 1 (1,4,6) 0.25 2 (1,3,6) 0.125 2 (2,3,6) 0.5
3 (1,4,5) 0.125 3 (1,3,5) 0.25
4 (2,4,6) 0.125
5 (2,3,5) 0.125
6 (2,3,6) 0.125
7 (2,4,5) 0.125
8 (2,4,6) 0.125
y1 y2 y3 y4 y5 y6
100 102 154 133 190 175
a) Cual es el valor de la media poblacional? Y halle los
promedios de la muestra para cada plan de
muestreo
b) Hallar el valor esperado y la varianza para cada plan
de muestreo e indique cual es el mejor plan de
muestreo y por qué?
c) En el Plan 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el
ingreso promedio muestral supere los 125 nuevos
soles
Una empresa produce 1 millón de botellas a la semana
cuyos pesos siguen una distribución normal de media 1200
g. y desviación estándar 10 g.. Calcular para una semana:
a. El número de botellas que pesan entre 1200g. y 1215 g.
b. Si se toma una muestra aleatoria de 25 semanas,¿Cuál es
la probabilidad de que el peso promedio en la muestra
supere los 1210 g?
EJEMPLO
Una siderúrgica está produciendo actualmente cables para
suspensión de puentes. La característica más importante de este
producto es su resistencia, el peso que puede soportar antes de que
se reviente se distribuye normalmente. Por experiencia pasada se
sabe que el promedio de la resistencia es de 6 toneladas con
desviación estándar de 0.75 toneladas. Para efectos de control de
calidad, se selecciona una muestra de 9 cables y se adopta la
siguiente regla de decisión:
Si la resistencia promedio de la muestra está por encima de 6.5
toneladas o por debajo de 5.5 se suspende el proceso. ¿Cuál es la
probabilidad de tener el proceso?
EJEMPLO
La duración en horas de un electrodoméstico comprado a la
empresa A, es una variable aleatoria . El 95% de los
electrodomésticos duran entre 1180 y 1220 horas. Si se extraen 200
m.a.s de 7 electrodomésticos cada una:
a.¿Calcular la desviación estándar de la duración de
electrodomésticos?
b.¿cuál es la media, error estándar y coeficiente de variación de la
distribución de la media muestral?
c. ¿Qué probabilidad existe de que la media muestral supere las 1201
horas?
d. ¿Cuántas muestras superan las 1210 horas?
21200, AN
EJEMPLO
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
M1
1x
M1
2x
M1
lxM1
ix
POBLACIÓN
. . .
Un fabricante especifica que cada paquete de su
producto tiene un peso promedio 22.5 g con una
desviación estándar de 9 g. Calcule la probabilidad que
una muestra aleatoria de 40 paquetes de este producto
tenga un peso promedio menor o igual que 20 g.
Suponga que X tiene una distribución uniforme discreta
f (x) = 1/3 x = 1,2,3
= 0 en cualquier otro caso
De esta población se toma una muestra aleatoria de
tamaño 36. Encuentre la probabilidad de que la media
muestral sea mayor que 2.1 pero menor que 2.5.
EJEMPLO
EJEMPLO
Sea X una variable aleatoria que representa el contenido real en onzas de una lata de café de 1 lb. La distribución de probabilidad de x es:
Si se toman muestras aleatorias de 36 latas de café y se mide el contenido real promedio.
a. Hallar la media y error estándar de la distribución de la media muestral.
b. Si se toma una muestra aleatoria de 36 latas, ¿ calcular la probabilidad de que el contenido promedio de café en la muestra contenga menos de 16 onzas?
1( ) 15,5 17
1,5
0
f x x
para otros valores
El ingreso medio (expresado en nuevos soles) de los trabajadores
de un sector es de 780 n.s y la desviación estándar es 60 n.s. Si
se consideran muestras de 81 trabajadores:
a) ¿En que porcentaje de muestras saldrá un ingreso medio menor
que 775 n.s ?
b) ¿En que porcentaje de muestras saldrá un ingreso medio entre 695
n.s y un ingreso menor a 790 n.s?
c) Repite los apartados anteriores para n = 625 y compara los
resultados.
EJEMPLO
DISTRIBUCION DE UNA DIFERENCIA DE MEDIAS
MUESTRALES
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
x xz
n n
Los colchones producidos por la empresa “DOLMOR”
tienen una duración media de 80 meses y una
desviación estándar de 5 meses, mientras que los
colchones fabricados por la empresa “AMAZON” tienen
una duración media de 75 meses y una desviación
estándar de 3 meses, ¿Cuál es la probabilidad de que
una muestra aleatoria de 49 colchones de la empresa
“DOLMOR” tenga una duración media de por lo menos
tres meses más que la duración media de 64 colchones
de la empresa “AMAZON”?. Considere que las
distribuciones en ambos casos se distribuye
normalmente y son independientes.
Ejercicio
Los focos fabricadas por LUMILUX tienen un promedio de vida útil de
6000 horas con una desviación estándar de 1600 horas y los focos
fabricados por FOTOLUX tienen un promedio de vida útil de 8000
horas con una desviación estándar de 3600 horas. Si se selección
200 focos fabricados por LUMILUX y 160 focos fabricadas por
FOTOLUX.
¿Cuál es la probabilidad de que el promedio muestral de vida útil de
los focos fabricados por FOTOLUX difiera en menos de 800 horas
del promedio muestral de vida útil de los focos fabricadas por
LUMITUX?
Una comercializadora de granos afirma que el peso
promedio (en gramos) de dos marcas de café instantáneo
es el mismo. Para verificar la afirmación se tomaron dos
muestras aleatorias independientes de tamaño 49 sobres
de cada marca y si aplicará el siguiente criterio de decisión:
Si la media muestral de A es mayor que la media muestral
de B en más de 0.5 gramos, se rechazará que la media de
ambas marcas son iguales. En caso contrario se aceptará
que las medias de ambas marcas son iguales. ¿Cuál es la
probabilidad de aceptar que las medias de las marcas A y B
son iguales?. Suponga que las varianzas del peso de las
marcas A y B son 9 y 4 respectivamente.
EJEMPLO
• Dos tipos distintos de botellas de vidrio son adecuados para su
utilización en una embotelladora de bebidas gaseosas. La
resistencia a la presión interna de un envase es una
característica de calidad importante. Se sabe que las
desviaciones estándar de cada tipo de botella es igual a 3 psi y
sus resistencias medias del tipo 1 y 2 son: 175 y 181 psi
respectivamente. Si se eligen al azar 36 botellas de vidrio de
cada tipo, determinar la probabilidad de que las resistencias
promedio a la presión del diseño de la botella 2 exceda a la del
diseño 1 en por lo menos 5 psi.?
EJEMPLO
Un proceso envasa conservas con dos maquinas (A y B). Los
pesos de las conservas envasados tanto por la maquina A y B
siguen una distribución normal. La Maquina A envasa conservas
con peso medio de 970 g y una varianza de 144 g2, mientras que
la maquina B los envasa con un peso medio de 980 g y una
varianza de 256 g2
Si se eligen 36 artículos por la máquina A y 64 artículos producidos
por la máquina B. Hallar la probabilidad de que el peso promedio
muestral de B sea mayor que el promedio muestral de la maquina
A en por lo menos 6 g?
EJEMPLO
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA PROPORCION
Objetivos:
Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz:
• Mostrar la importancia de la distribución una proporción muestral.
• Definir y diseñar una distribución de muestreo para la proporción de la muestra.
DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL.
Muestreo Media Varianza Error estándar
Con reemplazo
Sin reemplazo
p
p
21
pn
21
1p
N n
n N
1
1p
N n
n N
1p
n
Distribución de probabilidad de todas las proporciones posibles de un tamaño
muestra dado.
A: Muestreo con reemplazo
• P: proporción de éxitos en la muestra
( ) 1np n npn
f pnp
B: Muestreo sin reemplazo
• P: proporción de éxitos en la muestra
( )
A B
np n npg p
N
n
Aproximación a la Distribución normal
(1 )
pZ
n
En un proceso industrial se producen 11% de artículos
defectuosos. Si se toma una muestra aleatoria de 100 de ellos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de defectuosos
exceda al 14 % en la muestra?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de defectuosos
sea menor que 9 % en la muestra?
EJEMPLO
Ejercicio
Una fábrica de cierto producto tiene en prueba un nuevo
tipo de equipo envasador. El equipo que actualmente utiliza
tiene un 4% de fallas, pero su costo de mantenimiento es
más alto que el nuevo equipo; por lo tanto después de
realizar los estudios convenientes respecto a las utilidades,
se establece que el nuevo equipo no se compre si el
produce más del 10 % de fallas en “n” pruebas. Suponiendo
que el nuevo equipo tiene como verdadera proporción de
fallas el valor 0,08.
a. Determinar la probabilidad de no comprar el nuevo equipo
cuando se realizan 4 pruebas.
b. Si se realizan 40 pruebas con el nuevo equipo. ¿cuál es la
probabilidad de que la proporción de fallas sea mayor que
actualmente se utiliza en no más de 0,15?.
EJEMPLO
En una fábrica se sabe por experiencia que el tiempo de trabajo
promedio en un artículo con el torno existente (X) se distribuye
normalmente con una media de 38.6 min y una desviación estándar
de 13.8 min. Asimismo se sabe que el tiempo de trabajo promedio
por artículo con el nuevo torno (Y) se distribuye normalmente con
una media de 33.5 min y una desviación estándar de 14.1 min
Se seleccionan una muestra de 100 artículos del torno Y de un lote
de 1000 artículos. Halle la probabilidad que la proporción de
artículos de la muestra con un tiempo trabajado de más de 40 min
sea mayor a 0.5.
EJEMPLO
Se sabe que un 6% de las piezas producidas en una fábrica
son defectuosas. Si en un lote se toma una muestra de 100
piezas.
a. Determinar la probabilidad de que la proporción de piezas
defectuosas en la muestra supere el 20 % de piezas
defectuosas.
b. Si del lote se extraen 10 piezas. ¿cuál es la probabilidad de
que la proporción de piezas defectuosas en la muestra
supere el 20 % de piezas defectuosas.
EJEMPLO
EJEMPLO
Cada media hora se saca una muestra aleatoria de 100 unidades de un proceso de producción. La proporción de productos no conforme fabricado es 0,02.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que p( proporción muestral de productos no conformes) es a lo mas 4 % ?
b. Si la muestra que se saca cada media hora es de tamaño 9 ¿ cuál sería la distribución exacta de la proporción muestral de productos no conformes?. Así mismo: a media, error estándar y coeficiente de variación de la proporción muestral de productos no conformes.
EJEMPLO 28
Una máquina fabrica piezas de precisión y en su producción
habitual tiene un 3% de piezas defectuosas.
A.Se empaquetan en cajas de 10¿Cuál es la probabilidad de
encontrar mas de 4 piezas defectuosas en una caja?
B.Se empaquetan en cajas de 200, ¿cuál es la probabilidad de
encontrar entre 5 y 7 piezas defectuosas en una caja?
Con base en datos pasado, se sabe que el 30% de las compras
con tarjeta de crédito, en una tienda muy conocida, son por
cantidades superiores a 100 dólares. Si se seleccionan muestras
aleatorias de 100 compras:
a. ¿Qué proporción de las muestras es posible que tengan entre
20% y 30% de compras mayores que 100 dólares?
b. Dentro de qué límites centrados en el porcentaje de la
población caerá el 95% de los porcentajes de la muestra?
EJEMPLO
EJEMPLO
En cierto proceso de producción se utiliza el siguiente sistema de
control de calidad: se elige una muestra al azar de 36 piezas si el
porcentaje de piezas defectuosas de la muestra excede de p, se
detiene el proceso para localizar las fallas. Si se sabe que el
proceso ocasiona un 10% de piezas defectuosas en promedio,
calcule el valor de p, para que exista un 22,5% de probabilidad de
detener el proceso, cuando la proporción de piezas defectuosas
exceda de p.
DISTRIBUCIÓN DE UNA DIFERENCIA DE PROPORCIONES
MUESTRALES
Sea X1, ..., Xn1 una m.a.s de una población X, e Y1, ..., Yn2 una m.a.s.
de una población Y. Suponemos que las poblaciones X e Y son
independientes. Denotamos por 1 y 2 las proporciones
poblacionales y por p1 y p2 las correspondientes proporciones
muestrales.
Muestreo con
reemplazo en las dos
poblaciones
2
22
1
112p
n
)1(
n
)-(1
Muestreo sin reemplazo
en las dos
poblaciones
1N
nN
n
)1(
1N
nN
n
)1(
2
22
2
22
1
11
1
112p
MSR en población 1
MCR en población 2
2
22
1
11
1
112p
n
)1(
1N
nN
n
)1(
MCR en población 1
MSR en población 2
1N
nN
n
)1(
n
)1(
2
22
2
22
1
112p
Entonces:
))(,()( 21 pVNpp p
Por lo tanto:
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
( ) ( )
(1 ) (1 )
p pZ
n n
Candidato Porcentaje
A 30%
B 40%
C 30%
¿Cuál es la probabilidad de que el candidato A supere al candidato
B?. Considere muestras aleatorias de tamaño 100
Según el INEI, el 45 % de amas de casa del distrito La Molina
afirman que el sistema de seguridad de su distrito es bueno, y en el
distrito de San Borja el 30 % de amas de casa afirman lo mismo. Se
seleccionó una muestra aleatoria de 180 amas de casa del distrito de
La Molina y 120 amas de casa del distrito de San Borja. ¿Cuál es la
probabilidad de que la proporción muestral de amas de casa del
distrito de La Molina que afirmen que el sistema de seguridad de su
distrito es buena supere la proporción muestral del distrito de San
Borja en a lo más de 0.30?
EJEMPLO
Dos máquinas A y B producen el mismo artículo. Se sabe que el
porcentaje de artículos defectuosos producidos por A es de 6 y por B
es de 4. Además diariamente la máquina A produce un total de 1200
artículos y la máquina B de 800 artículos.
Si se obtiene una muestra aleatoria de 100 artículos para cada una
de las máquinas.
Halle la probabilidad que la proporción de defectuosos de la muestra
A sea superior a la proporción de defectuosos de la muestra de la
máquina B a lo más de 0.02.
EJEMPLO
Para cierta región se conoce que el 15% de los créditos otorgados por la
financiera A tienen al menos una cuota de pago vencida y que los montos
(en decenas de miles de dólares) de los créditos otorgados por dicha
financiera tienen una distribución normal con una media de 5.56 y una
variancia de 9. Del mismo modo, para otra región se conoce que el 24% de
los créditos aprobados por la financiera B tienen al menos una cuota de
pago vencida y que los montos (en decenas de miles de dólares) de los
créditos otorgados por dicha financiera también tienen una distribución
normal con una media de 6 y una variancia de 4.
Los directivos de ambas financieras sostienen que los créditos por montos
menores a 50000 dólares tienen una menor probabilidad de atrasos en los
compromisos de pago.
Si para cada financiera se seleccionan al azar y sin reemplazo 400 créditos,
halle la probabilidad que la proporción de créditos por montos superiores
60000 dólares de la muestra de la financiera A supere a la correspondiente
proporción de la muestra de la financiera B en no más de 0.05.
EJEMPLO
Dos máquinas A y B producen el mismo artículo. Se sabe que
el porcentaje de artículos defectuosos producidos por A es de
6 y por B es de 4. Además diariamente la máquina A produce
un total de 1200 artículos y la máquina B de 800 artículos.
Si se obtiene una muestra aleatoria de 100 artículos para
cada una de las máquinas, halle la probabilidad que la
proporción de defectuosos de la muestra A sea superior a la
proporción de defectuosos de la muestra de la máquina B a lo
más de 0.02.
EJEMPLO
En condiciones normales, una máquina produce
piezas con una tasa de defectuosas del 1%. Para
controlar que la máquina sigue bien ajustada, se
escogen al azar cada día 100 piezas en la producción
y se le somete a un test.¿Cuál es la probabilidad de
que, si la máquina está bien ajustada, haya, en una de
esas muestras, más del 2% de piezas defectuosas? Si
un día, 3 piezas resultan defectuosas, ¿que
conclusiones sacaría sobre el funcionamiento de la
máquina?
EJEMPLO
Ciertas encuestas sobre un programa de TV. Revelan que el 28 % de
los hombres y el 38% de las mujeres de clase media ven dicho
programa.¿Cuál es la probabilidad de que en dos muestras aleatorias
de 150 hombres y 100 mujeres respectivamente, perteneciente a dicho
estrato, se encuentre que la proporción de hombres que ha visto el
programa sea igual o mayor que la proporción de mujeres?
EJEMPLO
Se escoge una muestra de 600 electores que acaban de votar, entre las
8 a.m y las 4 p.m para estimar la proporción de votantes a favor de los
candidatos A y B. En una encuesta hecha en la víspera se estimó en 30
% y 35 % los porcentajes a favor de A y B respectivamente.¿ Cuál es la
probabilidad de la proporción muestral de B exceda a la proporción
muestral de A en al menos 10%?
EJEMPLO