Lic. Edgar Gerardo mata

Ortiz

Erik Daniel Guerrero

Adame

2º “E”

Distribuciones de

probabilidad

Introducción Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos: VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (x). Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo: X Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40). VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (x). Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo: X es la Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8,…, n)

"Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos

ignoramos las mismas cosas.

Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como

una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo

del saber.

“Albert Einstein”

Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable

aleatorio X, así si el experimento propicio “éxito”, entonces x=1.

De lo contrario, x=0. De ahí que X sea una variable aleatoria

discreta, con función de masa de probabilidad.

P(x=k) = nCk (1-P) n-k

1.-Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en “cara”. Sea

X=1 si la moneda cae en “cara” y X=0 si cae en “cruz”. ¿Cuál es la distribución de X?

Solución:

Puesto que X=1 cuando cae “cara”, esta es resultado de éxito. La probabilidad de éxito P(X=1),

es igual a 0.5. Por tanto, X= bernoulli (0.5).

2.- cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X=1 si el dado cae

seis y X=0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?

Solución:

La probabilidad de éxito es P= P(X=1)= 1/6. Por tanto X~ Bernoulli (1/6).

3.- diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado proceso esta

defectuoso. Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X=1 si el componente esta

defectuoso y X=0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?

Solución:

La probabilidad de éxito es P=P(X=1)= 0.1. Por lo que X~ Bernoulli (0.1).

Problemas: 1.- La probabilidad de que Erik anote goles en una portería de futbol rápido. Probabilidad subjetiva: 30% Erik hace 3 intentos por anotar un gol.

P(x=k) = nCk (1-P) n-k

BERNOULLI

FORMULA:

P(X=0)=

(0.3)0 (0.7)3-0

P(X=0)=

(1) (0.343)

P(X=0)= 0.343 o 34.3%

P(X=1)=

(0.3)1 (0.7)3-1

P(X=1)=

(0.3) (0.49)

P(X=1)= 0.441 o 44.1%

P(X=2)=

(0.3)2 (0.7)3-2

P(X=2)=

(0.09) (0.7)

P(X=2)= 0.189 o 18.9%

2.- La probabilidad de que lupita gane apostando en una carrera de

caballos. Probabilidad subjetiva: 15%. Lupita hace solo 2 apuestas a lo

largo de la carrera.

P(X=0)=

(0.15)0 (0.85)2-0

P(X=0)=

(1) (0.7225)

P(X=0)= 0.7225 o 72.25%

P(X=1)=

(0.15)1 (0.85)2-1

P(X=1)=

(0.15) (0.85)

P(X=1)= 0.255 o 25.5%

P(X=2)=

(0.15)2 (0.85)2-2

P(X=2)=

(0.0225) (1)

P(X=2)= 0.045 o 4.5%

La distribución de probabilidad binomial es una distribución de

probabilidad que tiene muchas aplicaciones. Está relacionada con un

experimento de pasos múltiples al que se le llama experimento binomial.

1.- Un lote contiene varios miles de componentes, de estos 10% están

defectuosos. Se extraen siete componentes de la población. Sea X el

número de componentes defectuosos en la muestra. ¿Cuál es distribución

de X?

Solución:

Puesto que el tamaño muestral es pequeño en comparación con la

población (es decir, menor a 5%), su número de éxitos representa una

distribución binomial. Por tanto, se modela X con la distribución binomial

Bin (7, 0.1).

2.- Se lanza al aire diez veces una moneda. Sea X el número de caras que

aparecen. ¿Cuál es distribución de X?

Solución:

Hay diez ensayos de bernoulli independientes, cada uno con probabilidad

de éxito de P= 0.5. La variable aleatoria X es igual al número de éxitos en los

diez ensayos. Por consiguiente, X= Bin (10, 0.5).

FORMULA:

La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico.

Una manera de considerarla es como una aproximación de la distribución

binomial cuando “n” es grande y “p” es pequeña. FORMULA:

Ejemplos:

Si X~ Poisson (3) calcule P(X=2), P(X=10) y P(X=0)

Solución:

Cuando se usa la función masa de probabilidad (4.9), con lambda = 3, se

obtiene

P(X=2)=e-3

= 0.2240

P(X=10)= e -3

=0.0008

P(X=-1)= e-3

=0.0498

PROBLEMAS

1.- Si X~ Poisson (4) calcule P(X=5)

P(X=5)= e- 4

= 0.156293

2.- si X~ Poisson (1) calcule P(X=7)

P(X=7)= e-1

= 0.000072991

3.- Si X~ Poisson (2) calcule P(X=5)

P(X=5)= e-2

= 0.036089

4.- Si X ~ Poisson (0) calcule P(X=9)

P(X=9)= e-0

= 0

5.- Si X Poisson (4) calcule P(X=4)

P(X=4)= e-4

= 0.195366

La distribución exponencial es una distribución continua que algunas veces

se utiliza para modelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un

evento. A menudo, a aquel se llama tiempo de espera. En algunas

ocasiones la distribución exponencial se utiliza para modelar el tiempo de

vida e un componente. Así mismo, hay una relación cercana entre la

distribución exponencial y la distribución de Poisson.

La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial tiene

un parámetro, que representa una constante positiva cuyo valor determina

la localización y forma de la función.

Formula:

Ejemplos:

1.-El tiempo de vida de un circuito integrado particular tiene una

distribución exponencial con media de dos años. Encuentra la probabilidad

que el circuito dure más tiempo de tres años.

Solución:

Sea T el tiempo de vida del circuito. Dado que ut= 2, lambda= 0.5. Se

necesita encontrar P (T>3).

P (T>3)= 1- P (T< 3)

= 1-(1-e-0.5 (3))

=e-1.5

=0.223

2. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una

cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con

una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea

atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días

siguientes?

Solución: