distribuição binomial prof. ivan balducci fosjc / unesp
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DistribuiçãoDistribuição
BinomialBinomial
Prof. Ivan Balducci
FOSJC / Unesp
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O Teorema Binomial
Seja n um nº inteiro não-negativo. Então:
knkn
k
n bak
nba
0
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O Teorema Binomial
0 1 1 2 2 1 1 0
0
( )0 1 2 1
n n n n n n
nn j j
j
n n n n nx a x a x a x a x a x a
n n
nx a
j
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Os Coeficientes Binomiais
!!
!
knk
n
k
n
Para n e k inteiros não-negativos com kn
Com frequência é lido como “n escolhe k”.
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Exemplos: Cálculo dos Coeficientes
5 5 20 20 and
3 2 15 5
5 5! 5! 5 4 3! 5 410
3 3!(5 3)! 3!2! 3!2! 2
20 20! 20! 20 19 18 17 16 15!
15 15!(20 15)! 15!5! 15!5!
20 19 18 17 16 19 3 17 1615504
5 4 3 2 1 1
Observe que Lembre que o 1º e o último termo na expansão
têm um coeficiente igual a 1: 10
n n
n
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Observação
knkn
k
n bak
nba
0
A soma dos exponentes é sempre n.
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Exemplo
5yx
051423324150
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5yxyxyxyxyxyx
kk
k
yxk
5
5
0
5
051423324150 15101051 yxyxyxyxyxyx
54233245 510105 xyxyxyxxyy
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Expandindo uma BinomialUma binomial é da forma a+b.
Expandindo uma binomial…
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
5 5 4 2 3 3 2 4 5
( )
( ) 1
( )
( ) 2
( ) 3 3
( ) 4 6 4
( ) 5 10 10 5
nx a
x a
x a x a
x a x ax a
x a x ax a x a
x a x ax a x a x a
x a x ax a x a x a x a
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Números Fatoriais
,For Zn
123321! nnnnn
.1!0,conventionBy
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Exemplos
5040!7
720!6
120!5
24!4
6!3
2!2
1!1
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Exemplos
08717829120!14
6227020800!13
479001600!12
39916800!11
3628800!10
362880!9
40320!8
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Exemplos
1766400002432902008!20
088320001216451004!19
7280006402373705!18
960003556874280!17
80002092278988!16
0001307674368!15
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Exemplos
3
7 !4!3
!7
35
1234123
1234567
123
567
57
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Exemplos
7
12
123451234567
123456789101112
!5!7
!12
12345
89101112
8911
792
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Exemplos
6
6
1123456
123456
1
1
!0!6
!6
1
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Observações
Sempre um inteiro positivo.
Representa o número de modos de escolher k items de um grupo de n items.
Pode ser generalizado para valores de n que não são inteiros.
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Fórmula de Bernoulli
Se a probabilidade de sucessos em um ensaio é p e a probabilidade de fracasso é q = 1-p, então p e q são constantes de ensaio a ensaio.
Bernoulli mostrou que a probabilidade de observar exatamente r sucessos em n ensaios é expressa pelo r º termo da expansão para (p+ q)r: Pr[r sucessos e n-r fracassos] = (nCr) pr qn-r
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Coeficiente Binomial
( ) = n!/r!(n-r)!n
rA probabilidade de r sucessos é:
( ) pr qn-r
r
n
onde q = 1 - p
,
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Observação
knkn
k
n bak
nba
0
Os coeficientes binomiais desta fórmula são os números da nª linha do triângulo de Pascal.
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Cada número é a soma dos números da esquerda superior e direita superior:
11
11 11
11 22 11
11 33 33 11
11 44 66 44 11
…… …… …… …… …… ……
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Triângulo de Pascal
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
54
4
3
4
2
4
1
4
0
43
3
2
3
1
3
0
32
2
1
2
0
21
1
0
10
0
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5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
54
4
3
4
2
4
1
4
0
43
3
2
3
1
3
0
32
2
1
2
0
21
1
0
10
0Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
k = 0 diagonal
k = 1 diagonal
k = 2 diagonal
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linha 10
1
1
1 1
1 1
2
33
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1 6 44
5 105 10
66 15 15 20
7
8
99
8
7 21 21 35 35
28 28 56 56 70
36 36 84 84126126
10 10 45 45 120 120210 210252
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Triângulo de Pascal
11 2 1
1 3 3 11 4 6 4 1
1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1
![Page 25: Distribuição Binomial Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022103113/552fc0f9497959413d8b6553/html5/thumbnails/25.jpg)
Teorema Binomial.
Para cada termo,
Obtemos os coeficientes do Triângulo de Pascal
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Triângulo de PascalAs linhas são os coeficientes da expansão
binomial
Row #
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
5 5 4 2 3 3 2 4 5( ) 5 10 10 5x a x ax a x a x a x a
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Distribuição Binomial
de probabilidades
Provas de Bernoulli
Triângulo de Pascal
Termos que devem ser familiares