distribuições de probabilidadedistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É...
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� Conceito� Função densidade de probabilidade e função de
distribuição
Variáveis aleatórias contínuas
distribuição� Valor esperado e variância
Distribuições de probabilidade
χ
1
� Uniforme
� Exponencial
� Normal
� χ2
� t
� F
Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas
DefiniçãoDefinição:: São contínuas todas as variáveis cujo espaçoamostral SSXX é nãonão enumerávelenumerável .�������� Se X é uma variável aleatória contínua, X pode assumir�������� Se X é uma variável aleatória contínua, X pode assumir
qualquer valor num intervalo [a[a;; b]b] ou no intervalo ((--∞∞∞∞∞∞∞∞;;++∞∞∞∞∞∞∞∞)).�������� O espaço SSXX será sempre definido como um intervalo do
conjunto dos reaisreais , sendo, portanto, um conjunto infinito.
Exemplos:Exemplos:
�������� tempo de reação de uma mistura
2
�������� tempo de reação de uma mistura�������� vida útil de um componente eletrônico �������� peso de uma pessoa�������� produção de leite de uma vaca�������� quantidade de chuva que ocorre numa região
11.. FunçãoFunção densidadedensidade dede probabilidadeprobabilidade
DefiniçãoDefinição:: Seja X uma variável aleatória contínua e SX oseu espaço amostral. Uma função ff associada a variável Xé denominada funçãofunção densidadedensidade dede probabilidadeprobabilidade (fdp)(fdp)
1.1. f(x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SX
se satisfizer duas condições:
2.2. 1 f(x)dxXS∫ = = P(X∈∈∈∈SX)
Esta área corresponde Esta área corresponde à probabilidade de a à probabilidade de a
variável variável XX pertencer ao pertencer ao
3
XSespaço amostral espaço amostral SSXX
É toda a função que não assuma valores negativos, ou cujo gráfico É toda a função que não assuma valores negativos, ou cujo gráfico esteja acima do eixo das abscissas, e cuja área compreendida entre a esteja acima do eixo das abscissas, e cuja área compreendida entre a função e o eixo das abscissas seja igual a 1 (um).função e o eixo das abscissas seja igual a 1 (um).
área = 1
f (x)
área = 1
f (x)
SX
x0
4
área = 1
SX
x0
Exemplo:
Seja a função f (x) = 2x, no intervalo SX = [0,1]. Verifique se f (x)é uma função densidade de probabilidade.
PrimeiraPrimeira condiçãocondição:: f (x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SXf (x)
Como a função é linear, são necessários
f (x=0) = 2××××0 = 0
f (x) = 2x
2
1
Como a função é linear, são necessáriosdois pontos para traçar a reta.Por conveniência esses pontos são oslimites do intervalo SX.
•
5
f (x=0) = 2××××0 = 0
f (x=1) = 2××××1 = 2
x0 1Todos os valores da função Todos os valores da função f (x) f (x) são não são não
negativos no intervalo de 0 a 1.negativos no intervalo de 0 a 1.SX
•
1 f(x)dxXS∫ =Segunda condição:Segunda condição:
12
212
hb =×=×Área: 1
22==
A área sob a função A área sob a função f (x) f (x) no no intervalointervalo SSXX, que equivale a , que equivale a P(XP(X∈∈∈∈∈∈∈∈SSXX)), é igual a 1., é igual a 1.
Área:
6
A função A função ff (x) = 2x(x) = 2x, no intervalo , no intervalo SSXX =[0, 1] é uma função =[0, 1] é uma função
densidade de probabilidade!!densidade de probabilidade!!
Seja A=[0, 1/2]. Qual é a probabilidade de ocorrer o evento A?
Área: 41
211/2
2hb =×=×
Probabilidade = área
Área: 422
==
P(0 ≤ X ≤ 1/2) = 1/4
7
A
Importante!!!Importante!!!
No caso de variáveis contínuas, as representações aa≤≤xx≤≤bb, aa≤≤xx<<bb, aa<<xx≤≤bb e aa<<xx<<bb são todas equivalentes, pois a aa≤≤xx<<bb, aa<<xx≤≤bb e aa<<xx<<bb são todas equivalentes, pois a probabilidade num ponto, por definição, é nula.
∫ ∫ =−===a
0F(a)F(a)xf(x)d f(x)dx P(A)
Seja o evento A={x; x=a}A={x; x=a}. Então,
8
∫ ∫ =−===A a
0F(a)F(a)xf(x)d f(x)dx P(A)
A
2. Função de distribuição ou probabilidade
acumulada
DefiniçãoDefinição:: Seja X uma variável aleatória contínua e SX oseu espaço amostral. A função de distribuição, denotada porF(x)F(x) ou P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x) , é a funçãofunção queque associaassocia aa cadacada pontoponto xx∈∈∈∈∈∈∈∈SS
∫∞−
x
f(t)dt
F(x)F(x) ou P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x) , é a funçãofunção queque associaassocia aa cadacada pontoponto xx∈∈∈∈∈∈∈∈SSXX
aa probabilidadeprobabilidade P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x) . Desta forma, tem-se
F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) =
Se S =[a, b], então
, para SX = (-∞;+∞).
9
Se SX =[a, b], então
F(a) = P(X ≤ a) = 0
F(b) = P(X ≤ b) = 1 a b
x
F(x) f(t) dt −∞
= ∫
Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]
x
0
2t dt = ∫
x2
0
t2
2
=
10
2xF(x) =
2xF(x) =
Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]
000)P(XF(0) 2 ==≤=
111)P(XF(1) 2 ==≤=
( ) ( ) ( ) 1/41/21/2XP1/2F 2 ==≤=
P(A) = F(1/2)=1/4
000)P(XF(0) ==≤=
11
A=[0, 1/2]
B=[1/2, 1]
P(A) = F(1/2)=1/4
P(B) = F(1)-F(1/2) =1-1/4=3/4
Medidas descritivasMedidas descritivas
Definição:Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço amostral. O valor esperado de X, denotado por E(X)E(X) ou µµµµµµµµ , será dado por
�������� MédiaMédia ouou valorvalor esperadoesperado
∫XS
f(x)dxx por
E(X) = µ =
= µ = ∫E(X) xf(x) dx
Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]
12
= µ = ∫xS
E(X) xf(x) dx
= ∫1
0
x2x dx
= ∫1
2
0
2x dx = ∫1
2
0
2 x dx
=
13
0
x2
3= 2
3
∫ −=−== 222 f(x)dxµ)(xµ)E(XσV(X)
Medidas descritivasMedidas descritivas
(Fórmula de definição)
Definição:Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço amostral. A variância de X, denotada por V(X)V(X) ou σσσσσσσσ22, será dada por
�������� VariânciaVariância
∫ −=−==XS
f(x)dxµ)(xµ)E(XσV(X) (Fórmula de definição)
2
S
2222µf(x)dxxµ)E(XσV(X)
X
−
=−== ∫ (Fórmula prática)
Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]
= σ = − µ2 2 2V(X) E(X )
13
= σ = − µV(X) E(X )
= − µ ∫1
2 2
0
x 2x dx = −
∫
213
0
22x dx
3
= −
14
0
x 42
4 9= −1 4
2 9
−= =9 8 1
18 18
Exercício:
Determinar a média e a variância da vac cuja fdp é dadapor:
f(x) = 3x2 se -1 ≤ x ≤ 0µ = -3/4 e σ2 = 3/80
Solução:
µ = E(X)0
1x f(x) dx
−= ∫
0 2
1x (3x ) dx
−= ∫
0 3
1(3x ) dx
−= ∫
04
1
34x
−
=
3
4= −
14
σ2 = V(X)
1−
0 2 2
1x f(x) dx µ
−= −∫ ( )20 2 2
13x (3x ) dx 4−
= − −∫
( )0 4
193x dx 16−
= −∫ ( )05
1
x 93 165 −
= −
3 95 16
= − 380
=
Distribuições de probabilidade de variáveis contínuas
�������� É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínuade uma variável contínua
�������� pesquisa bibliográfica �������� observação do campo de variação da variável
Existem vários tipos de distribuições contínuas:
�������� Distribuição UniformeDistribuição Uniforme
�������� Distribuição ExponencialDistribuição Exponencial
�������� Distribuição NormalDistribuição Normal
15
�������� Distribuição Distribuição χ2
�������� Distribuição tDistribuição t
�������� Distribuição FDistribuição F
1. Distribuição Uniforme
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua que assume valores no intervalo [α, β]. Se a probabilidade de X assumir valores num subintervalo é a mesma que para X assumir valores num subintervalo é a mesma que para qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento, então, esta variável tem distribuição uniforme.
16
Função densidade de probabilidadeFunção densidade de probabilidade
1 , para x f(x)
0, em caso contrário
≤ ≤−=α ββ α
Função de probabilidade acumuladaFunção de probabilidade acumulada
∫ ∞−
xdx f(x)
0, se x
x, se x
1, se x
< − ≤ ≤ − >
αα α β
β αβ
F(x) = P(X ≤ x) = =
x17
ParâmetrosParâmetros
A distribuição uniforme tem dois parâmetros:
α: menor valor para o qual a variável X está definidaβ: maior valor para o qual a variável X está definida
X ~ U (α, β)
Medidas descritivasMedidas descritivas
� Média ou valor esperado: ( )E(X)
2+= = β αµ
X ~ U (α, β)
� Variância:
2
22 ( )
V(X)12−= = β ασ
18
Descrição probabilística de uma variável aleatória contínua queassume valores no intervalo [α, β], cuja probabilidade de assumirvalores num subintervalo é a mesma que para qualquer outrosubintervalo de mesmo comprimento.
RESUMO - Distribuição Uniforme
x
subintervalo de mesmo comprimento.
Função dens. probabilidadeFunção dens. probabilidade
ParâmetrosParâmetros α: menor valor para o qual a variável X está definida
1 , para x f(x)
0, em caso contrário
≤ ≤−=α ββ α
ParâmetrosParâmetros
Medidas descritivas Medidas descritivas ( )
E(X)2+= = β αµ
22 ( )
V(X)12−= = β ασ
α: menor valor para o qual a variável X está definida
β: maior valor para o qual a variável X está definida
19
Exemplo: Seja X uma variável aleatória contínua comdistribuição uniforme no intervalo [5, 10]. Determinar asprobabilidades:
a) P(X < 7)b) P(X > 8,5)
αβα
−−==< x
xFxXP )()(
c) P(8 < x < 9)
Utilizando a função de distribuição acumulada:
a)
x
αβ −
0,452
51057
7)P(X ==−−=
−−=<
αβαx
b)
c)
20
0,35
1,5510
8,5108,5)P(X ==
−−=
−−=>
αββ x
0,251
51058
51059
8)P(X-9)P(X9)XP(8 ==−
−−−
−=−−−
−−=<<=<<
αβα
αβα 12 xx
Exercício: Uma variável X é uniformemente distribuída no intervalo [10, 20]. Determine:a) valor esperado e variância de X
20 e 10 == βα
152
10)(202
E(X) =+=+== α)(βµ
b) P(12,31 < X < 16,50)
22
8,3312
10)(2012
)(V(X)
222 =−=−== αβσ
αβα
−−==< x
xFxXP )()(
0,419010
12,3116,501020
1012,4311010
1016,50
F(12,31)F(16,50)16,50)XP(12,31
=−=−
−−−
−=
−=<<
21
2. Distribuição Exponencial
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua que só assume valores não negativos . Se esta variável é o tempodecorrido entre ocorrências sucessivas de um processo de decorrido entre ocorrências sucessivas de um processo de Poisson, então ela tem distribuição exponencial.
22
Na distribuição de Poisson, a variável aleatória é definidacomo o número de ocorrências (sucessos) em determinadoperíodo de tempo, sendo a média das ocorrências noperíodo definida como λ.
Na distribuição exponencial, a variável aleatória é definidaNa distribuição exponencial, a variável aleatória é definidacomo o tempo entre duas ocorrências, sendo a média detempo entre ocorrências igual a 1/λ.
Por exemplo, se a média de atendimentos no caixa de umaloja é de λ = 6 clientes/min, então o tempo médio entreatendimentos é 1/λ = 1/6 de minuto ou 10 segundos.atendimentos é 1/λ = 1/6 de minuto ou 10 segundos.
A distribuição exponencial é muito utilizada no campo daconfiabilidade para a modelagem do tempo até a ocorrênciade falha em componentes eletrônicos, bem como do tempode espera em sistemas de filas.
23
Função densidade de probabilidadeFunção densidade de probabilidade
Função de probabilidade acumuladaFunção de probabilidade acumulada
xe , para x 0f(x)
0, em caso contrário
−λ
>=
λ
Função de probabilidade acumuladaFunção de probabilidade acumulada
x
0, se x 0
1 e , se x 0−λ
<
− ≥∫ ∞−
xdx f(x)F(x) = P(X ≤ x) = =
1-e-λx
x
1-e
e-λx
24
ParâmetrosParâmetros
A distribuição exponencial tem apenas um parâmetro:
λ: número médio de ocorrências em determinadoperíodo de tempo (λ>0)
X ~ Exp(λ)
Medidas descritivasMedidas descritivas
� Média ou valor esperado: 1E(X) = =µ
λ
X ~ Exp(λ)
� Variância:
λ
1V(X) 2
2= =σ
λ
25
Descrição probabilística de uma variável aleatória contínua queé o tempo decorrido entre ocorrências sucessivas de umprocesso de Poisson.
RESUMO - Distribuição exponencial
x
1-e-λx
e-λx
Função dens. probabilidadeFunção dens. probabilidade
ParâmetrosParâmetros λ: número médio de ocorrências em
xe , para x 0f(x)
0, em caso contrário
−λ
>=
λ
ParâmetrosParâmetros
Medidas descritivas Medidas descritivas 1
E(X) = =µλ
1V(X) 2
2= =σ
λ
λ: número médio de ocorrências em determinado período de tempo (λ>0)
26
Exemplo: Os tempos até a falha de um dispositivoeletrônico seguem o modelo exponencial, com uma taxade falha λ = 0,012 falhas/hora. Indique qual a probabilidadede um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver a 50horas? E a 100 horas?
x
1-e-λx
e-λxX: tempo até a falha (horas)X ~ Exp(0,012)
54880ee50XP 6050x0120 ,)( ,, ===> −−
30120ee100XP 21100x0120 ,)( ,, ===> −−
27
Exercício: Suponha que um componente eletrônico tenha umtempo de vida X (em unidades de 1000 horas) que segue umadistribuição exponencial de parâmetro λ = 1. Suponha que ocusto de fabricação do item seja 2 reais e que o preço de vendaseja 5 reais. O fabricante garante devolução total se X < 0,90.Qual o lucro esperado por item?Qual o lucro esperado por item?
X ~ Exp(1)
x
1-e-λx
e-λxA probabilidade de um componente durar menos de 900 horas é dada por:
Assim, o lucro do fabricante será uma variável aleatória discreta Y com a seguinte distribuição:
0,9P(X 0,9) F(0,9) 1 e 0,5934−< = = − =
discreta Y com a seguinte distribuição:
Então o lucro esperado será:
E(Y) = -2 × 0,5934 + 3 × 0,4066 = R$ 0,03
Y y= -2 3 Σ P(Y y)= 0,5934 0,4066 1
28
É importante tanto no aspecto teórico como nas aplicações. Essa importância se deve a um conjunto de aspectos:
�������� É útil para descrever uma grande quantidade de fenômenos naturais físicos, ambientais, etc.
3. Distribuição Normal
naturais físicos, ambientais, etc.
�������� Muitas variáveis não normais podem ser aproximadas como normais após transformações simples.
�������� Propriedades matemáticas.
�������� Distribuições de um grande número de variáveis aleatórias convergem para a distribuição normal.
�������� Uma grande quantidade de métodos e procedimentos de inferência estatística são derivados tendo-a como pressuposição básica.
O conjunto de métodos desenvolvidos para tratar variáveis que têm distribuição normal forma a chamada Estatística ClássicaEstatística Clássica ou Estatística ParamétricaEstatística Paramétrica .
29
Distribuição normal
DefiniçãoDefinição:: É uma distribuição teórica de frequências, onde amaioria das observações se situa em torno da médiamédia (centro) ediminui gradual e simetricamente no sentido dos extremos.
A distribuição normal é representada graficamente pela curvanormal (curva de Gauss) que tem a forma de sino e é simétricasimétricaem relação ao centro, onde se localiza a média µ.
30
Função densidade de probabilidadeFunção densidade de probabilidade
De modo geral, se X é uma variável contínua que tem distribuição normal, sua função densidade de probabilidade será:
2
2
2
)(x
e1
f(x) σ
µ−−
=parâmetrosparâmetros
2e2
1f(x) σ
πσ= , para SX = (-∞∞∞∞,+∞∞∞∞)
ParâmetrosParâmetros
A distribuição normal tem dois parâmetros:
µ = média (determina o centro da distribuição)σ2 = variância (determina a dispersão da distribuição)
X ~ N (µ, σ2)
XX tem distribuição normal com parâmetros tem distribuição normal com parâmetros µµ ee σσ22
31
Populações normais Populações normais com médias diferentes com médias diferentes
e mesma variânciae mesma variância
Populações normais Populações normais Populações normais Populações normais com variâncias com variâncias
diferentes e mesma diferentes e mesma médiamédia
32
Existe um número infinito de curvas normaisExiste um número infinito de curvas normais
33
Propriedades da distribuição normalPropriedades da distribuição normal
11.. O máximo da função densidade de probabilidade se dáno ponto xx==µµµµµµµµ .
máximo
no ponto xx==µµµµµµµµ .
µµµµµµµµ
34
22.. A distribuição é simétrica em relação ao centro ondecoincidem a média, a moda e a mediana.
Md=Md=µµµµµµµµ=Mo=Mo
35
33.. Verifica-se na distribuição normal que:
P(P(µµ--σσ < < XX < < µµ++σσ) ) == 0,68250,6825
P(P(µµ--22σσ < < XX < < µµ+2+2σσ) ) == 0,95440,9544
P(P(µµ--33σσ < < XX < < µµ+3+3σσ) ) == 0,99740,9974
36
�������� Para cada valor de µµµµµµµµ e de σσσσσσσσ,existe uma distribuição normaldiferente
Cálculo de áreasCálculo de áreas
�������� O cálculo de áreas sob acurva normal, deverá ser feitosempre em função dosvalores particulares de µµµµµµµµ e σσσσσσσσ
�������� Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foi�������� Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foideterminada uma distribuição normal padrãopadrão ou reduzidareduzida
�������� As áreas sob a distribuiçãodistribuição normalnormal padrãopadrão foramcalculadas e apresentadas numa tabela
37
Distribuição normal padrão
Definição:Definição: é a distribuição normal de uma variável Z que tem média igual a zero (µµµµµµµµ=0=0) e desvio padrão igual a um (σσσσσσσσ=1=1).
A curva normal padrão foi dividida em pequenas tiras, cujas áreas foram calculadas e apresentadas numa tabela.
Na tabela da distribuição normal padrão, podemos encontrar as áreas correspondentes aos intervalos de 0 a z.
38
Tabela - Área sob a curva normal padrão de 0 a z, P(0 ≤ Z ≤ z).
z)ZP(0 <<
?0,62)ZP(0 =<<
0,23240,62)ZP(0 =<<
39
�������� Os valores negativos não são apresentados na tabela porque a curva é simétrica; assim, as áreas correspondentes a esses valores são exatamente iguais às dos seus simétricos positivos, por exemplo P(P(--1<Z<0)1<Z<0)==P(0<Z<1)P(0<Z<1).
�������� Na tabela da distribuição normal padrão, os valores de Z�������� Na tabela da distribuição normal padrão, os valores de Zvão de 0 a 3,99 . Este limite é estabelecido com base naspropriedades da distribuição normal.
40
-∞ +∞0-2,17 2,17-∞ +∞0
=
0,48500,4850?0)ZP(-2,17 =<<
?2)ZP(-1 =<<
= +
-∞ +∞0 2-1 -∞ +∞0 1-∞ +∞0 2
0,4772 0,3413
?2)ZP(-1 =<<0,4772+0,3413= 0,8185
-∞ +∞0-∞ +∞0 1,5 -∞ +∞0 1,5
=
0,5_
0,4332
?1,5)P(Z =>
0,5-0,4332= 0,0668
41
Seja Z uma N(0,1). Determinar as seguintes probabilidades:
(a) P(Z < 2,23) (a) 0,9871
Exercício proposto:
(a) P(Z < 2,23)
(b) P(Z > -1,45)
(c) P(-2 < Z ≤ 2)
(d) P(-1 ≤ Z ≤ 1)
(a) 0,9871
(b) 0,9265
(c) 0,9544
(d) 0,6826
(e) 0,4582(e) P(0 < Z < 1,73)
(f) P(Z > 0,81)
(g) P(-1,25 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ -0,63)
(e) 0,4582
(f) 0,2090
(g) 0,1587
Alguns valores importantes
43
��������Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padronizarpadronizar
�������� Através da distribuição normal padrão é possível estudarqualquer variável X que tenha distribuição normal, comquaisquer valores para µµµµµµµµ e σσσσσσσσ.
��������Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padronizarpadronizara variável X, ou seja, transformar X em Z.
XX ~ ~ N (N (µµ, , σσ22))
transformarσ
µXZ
−=→→→→→→→→
�������� Após a transformação, procuramos na tabela a área compreendida entre 00 e zz, que corresponderá a área entre µµµµµµµµ e xx .
σ
ZZ ~ ~ N (N (00, , 11))
44
A transformação muda as variáveis, mas não altera a área sob a curva.
45
Exemplo:
Sabendo que as notas de 450 alunos estão normalmente distribuídas, com média µ = 3,9 e desvio padrão σ = 0,28, determine:a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27;a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27;b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27.
46
Para encontrar essa área, vamos utilizar a tabela da distribuição normal padrão. Inicialmente, fazemos a transformação da variável X para a variável Z.
3,94,27 −1,32
0,283,94,27
z =−=
47
P(Z > 1,32) = P(Z > 0) – P(0<Z<1,32)= 0,5 – 0,4066 = 0,0934
P(X > 4,27) = 0,0934P(X > 4,27) = 0,0934
48
b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27.
No item (a), vimos que este percentual é de 9,34%. Sendo assim, através de uma regra de três simples, podemos determinar quantos estudantes correspondem a 9,34% de uma população de 450 estudantes. população de 450 estudantes.
Esse valor pode ser obtido facilmente multiplicando o tamanho da população pela probabilidade de ocorrer uma nota maior que 4,27.
Assim, temos:Assim, temos:450 × 0,0934 = 42,03
Concluímos, então, que, dos 450 estudantes, 42 têm nota superior a 4,27.
49
Exemplo: Uma fábrica de carros sabe que os motores de
sua fábrica tem duração normal com média de 150.000km e
desvio padrão de 5.000km. Qual a probabilidade de que um
carro escolhido ao acaso, tenha um motor que dure:
a) entre 140.000 e 160.000km?
b) menos de 170.000km?
c) Se o fabricante deseja oferecer uma garantia, tal que ele c) Se o fabricante deseja oferecer uma garantia, tal que ele
tenha que substituir no máximo 1% dos motores, qual deve
ser o valor desta garantia?
50
Solução:
a) P(140.000<X<160.000) = P(-2<Z<2) =
= 0,4772+0,4772 = 0,9544 = 95,44%
b) P(X < 170.000) = P(Z < (170.000-150.000)/5.000)
= P(Z < 4) = 1 = 100%
c) Seja G o valor de garantiac) Seja G o valor de garantia
P(X<G) = P(Z < (G-150)/5) = 0,01 = P(Z < -2,33)
⇒ Garantia tem que ser de 138.350km.33,25
150G −=−
51
Exercício: Suponha que a estatura de recém-nascidos do
sexo feminino é uma variável com distribuição normal de média µ = 48 cm e σ = 3 cm. Determine:
a) a probabilidade de um recém-nascido ter estatura entre 42 e 49 cm;
b) a probabilidade de um recém-nascido ter estatura superior a 52 cm;
c) o número que de recém-nascidos que têm estatura inferior c) o número que de recém-nascidos que têm estatura inferior
à µ+σcm, dentre os 532 que nasceram numa determinada maternidade, no período de um mês.
a) 0,6065 b) 0,0918 c) 448
52
Exercício:
O consumo de gasolina por Km rodado para certo tipo de carro tem distribuição normal com média de 100 ml com
desvio padrão de 5 ml.
a) calcular a probabilidade de um carro consumir entre 92 e 106 ml.
b) sabe-se que 73,24% dos carros consumem menos que certa quantidade de gasolina qual é essa quantidade?
c) num grupo de 5 carros qual a probabilidade de dois c) num grupo de 5 carros qual a probabilidade de dois
consumirem mais que 107 ml?
a) 0,8301 b) 103,1 c) 0,0507
53
Exercício: O diâmetro do eixo principal de um discorígido segue a distribuição Normal com média 25,08 in edesvio padrão 0,05 in.
Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 in,determine o percentual de unidades produzidas emconformidades com as especificações.
{ } { } { }24,85xP25,15xP25,15x24,85P ≤−≤=≤≤
−≤−
−≤=
0,0525,0824,85
ZP0,05
25,0825,15ZP
0,050,05
{ } { } 0,91920,00000,91924,60ZP1,40ZP =−=−≤−≤=
ou seja, 91,92% dentro das especificações e 8,08% fora das especificações.
54
ν ≤ 2
ν > 2
4. Distribuição χ2 (qui-quadrado)
( ) 0 xex2νΓ
1f(x) 2
x1
2
ν
2ν≥=
−
2
(lê-se: X tem distribuição qui-quadradocom ν graus de liberdade)
0 +∞0 +∞
( )2νΓ2ν2
2~2)(
)(νχ
νν
XXV
XE
==
Propriedades:
55
21
2 ~Z então ~Z se a) χ N (0,1)
2n
n
1ii
21i ~X então ~X se b) χχ ∑
=
025,0)25,3( 210 =<χP
?)21,23(
?)25,3(
210
210
=>
=<
χ
χ
P
P
01,0)21,23( 210 =>χP
2χ +∞2νχ0 +∞
56
025,0)25,3(
?)25,3(
210
210
=<
=<
χ
χ
P
P
2χ +∞ 025,0?)( 2 =>χP
025,0)48,20( 210 =>χP
2νχ0 +∞ 025,0?)( 2
10 =>χP
57
tν
5. Distribuição t-student
( )[ ]( ) ∞<<∞−
++=
+−
xx
2νΓ
2νΓf(x)
2)1(2
1)1(
ν
νπν
(lê-se: X tem distribuição t-studentcom ν graus de liberdade)
Propriedades:
-∞ +∞0
ν
νν tX
XV
XE~
2)(
0)(
−=
=
N(0,1)Propriedades:
νν
ν
χ tQ
ZN ~ então ~Q e ~Z se a) 2 (0,1)
58
(0,1) N t ~ então se b) νν ∞→
N(0,1)
t10
?)764,2( 10 =>TP
01,0)764,2( 10 =>TP
02,0)764,2()764,2( 1010 =>+−< TPTP
59
05,0?)(?)( 1010 =>+−< TPTP025,0?)( 10 =>TP
025,0)228,2( 10 =>TP 05,0)228,2()228,2( 1010 =>+−< TPTP
025,0)228,2( 10 =−<TP
?)764,2( 10 =>TP
01,0)764,2( 10 =>TP
60
10
6. Distribuição F (de Snedecor)
[ ]( ) ( ) 01
)(2)(
2
112
2
2
1
21
21
21
1
1
≥
+
+=+−
− xxν
νx
ν
ν
2νΓ2νΓ
2ννΓf(x)
νν
ν
ν
(lê-se: X tem distribuição F com ν1 e ν2
graus de liberdade)
Propriedades:
0 +∞
21 ,
22
21
2122
2
2
~
)4()2(
)2(2)(
2)(
νν
νννννν
νν
FX
XV
XE
−−−+=
−=
,ννFPropriedades:
61
2121 ,~ νννν ννχχ F
2
122
VU
então ~ Ve ~U se a)
)()(12211221 ,,,, F
1F~
F1
então ~F se b) <=>⇒ νννννννν FPFPFF
0 +∞F
21 ,ννF
0 +∞1
F
12 ,ννF
0 +∞F
05,0?)( 4,5 =>FP
05,0)26,6( 4,5 =>FP
?)52,15( 4,5 =>FP
01,0)52,15( 4,5 =>FP
0 +∞F
025,0)( 4,5 =< aFFP0,0250,025
+∞F F
0,95
4,5F025,0)( 4,5 => bFFP
025,0)1
( 5,4 =>⇒aF
FP
7,39
0 +∞aF bF
?? 6,2617,39
� A verificação do ajuste de um modelo estatístico a umdeterminado conjunto de valores de uma variável é umadas mais relevantes atribuições do método estatístico.
Ajustamento de distribuições a dados reais
das mais relevantes atribuições do método estatístico.
� Verificar o ajustamento significa verificar se o modelopressuposto de fato pode ser utilizado para representar adistribuição de uma variável num determinado contexto.
� Diversos métodos estão disponíveis para essaverificação e, dentre eles, podemos citar:verificação e, dentre eles, podemos citar:
� métodos visuais, dentre os quais se destacam o histograma, ográfico de probabilidade e o box-plot;
� testes de aderência, dentre os quais podemos citar os testes deKolmogorov-Smirnov e Shapiro-Wilks.
64