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Variáveis Aleatórias Contínuas
Bacharelado em Economia - FEA - Noturno
1o Semestre 2016
Profs. Fábio P. Machado e Gilberto A. Paula
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 1 / 52
Objetivos da Aula
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Exemplos de Distribuições Contínuas
3 Variáveis Aleatórias Contínuas
4 Esperança
5 Variância
6 Função de Distribuição Acumulada
7 Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 2 / 52
Objetivos da Aula
Objetivos da Aula
Variáveis Contínuas
O objetivo principal desta aula é apresentar alguns formas dedistribuições de variáveis aleatórias contínuas, discutir as principaispropriedades para esse tipo de variável e ilustrar com algumasaplicações.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 3 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Exemplos de Distribuições Contínuas
3 Variáveis Aleatórias Contínuas
4 Esperança
5 Variância
6 Função de Distribuição Acumulada
7 Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 4 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
Distribuição Uniforme
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
1 2 3 4 5
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 5 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
Distribuição Triangular
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 6 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
Distribuição Normal
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 7 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
Distribuição Log-Normal
0 5 10 15 20
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 8 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
Distribuição Exponencial
0 1 2 3 4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 9 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
Distribuição Qui-Quadrado
0 5 10 15 20
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 10 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
Distribuição de Gumbel
−4 −3 −2 −1 0 1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 11 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Exemplos de Distribuições Contínuas
3 Variáveis Aleatórias Contínuas
4 Esperança
5 Variância
6 Função de Distribuição Acumulada
7 Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 12 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
saldo em aplicações financeiras
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
saldo em aplicações financeiras
ganho de peso após dieta
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
saldo em aplicações financeiras
ganho de peso após dieta
distância percorrida
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatóriaX é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual àunidade.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 14 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatóriaX é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual àunidade. Em termos matemáticos
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 14 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatóriaX é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual àunidade. Em termos matemáticos
∫ +∞
−∞
f (x)dx = 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 14 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5], notaçãoX ∼ U[1, 5], então a função densidade de probabilidade de X édefinida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 15 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5], notaçãoX ∼ U[1, 5], então a função densidade de probabilidade de X édefinida por
f (x) = 1
4 1 ≤ x ≤ 5,0 c.c.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 15 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Descrição de f (x)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
1 2 3 4 5
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 16 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base∆ = 4 e altura h = 1
4 .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 17 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base∆ = 4 e altura h = 1
4 . Logo, a área total fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 17 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base∆ = 4 e altura h = 1
4 . Logo, a área total fica dada por
A = ∆× h = 4 × 14= 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 17 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base∆ = 4 e altura h = 1
4 . Logo, a área total fica dada por
A = ∆× h = 4 × 14= 1.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
1 2 3 4 5
A
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 17 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela soluçãoda integral
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 18 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela soluçãoda integral
∫ 5
1
14
dx =14
∫ 5
1dx
=14
x |51
=14(5 − 1)
=44= 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 18 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva nointervalo [a, b].
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 19 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva nointervalo [a, b]. Em termos matemáticos
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 19 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva nointervalo [a, b]. Em termos matemáticos
P(a ≤ X ≤ b) =∫ b
af (x)dx .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 19 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Por exemplo, se X ∼ U[1, 5], a probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2)corresponde à área do retângulo de base ∆ = 1 e altura h = 1
4 .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 20 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Por exemplo, se X ∼ U[1, 5], a probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2)corresponde à área do retângulo de base ∆ = 1 e altura h = 1
4 .Essa área fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 20 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Por exemplo, se X ∼ U[1, 5], a probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2)corresponde à área do retângulo de base ∆ = 1 e altura h = 1
4 .Essa área fica dada por
B = ∆× h = 1 × 14= 0, 25.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 20 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Por exemplo, se X ∼ U[1, 5], a probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2)corresponde à área do retângulo de base ∆ = 1 e altura h = 1
4 .Essa área fica dada por
B = ∆× h = 1 × 14= 0, 25.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
1 2 3 4 5
B
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 20 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) pode ser calculada diretamente pelasolução da integral
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 21 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) pode ser calculada diretamente pelasolução da integral
∫ 2
1
14
dx =14
∫ 2
1dx
=14
x |21
=14(2 − 1)
=14= 0, 25.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 21 / 52
Esperança
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Exemplos de Distribuições Contínuas
3 Variáveis Aleatórias Contínuas
4 Esperança
5 Variância
6 Função de Distribuição Acumulada
7 Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 22 / 52
Esperança
Esperança
Definição
A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X ficadada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 23 / 52
Esperança
Esperança
Definição
A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X ficadada por
µ = E(X ) =
∫ +∞
−∞
xf (x)dx .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 23 / 52
Variância
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Exemplos de Distribuições Contínuas
3 Variáveis Aleatórias Contínuas
4 Esperança
5 Variância
6 Função de Distribuição Acumulada
7 Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 24 / 52
Variância
Variância
Definição
A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 25 / 52
Variância
Variância
Definição
A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por
Var(X ) = E[X − µ]2
= E(X 2)− µ2,
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 25 / 52
Variância
Variância
Definição
A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por
Var(X ) = E[X − µ]2
= E(X 2)− µ2,
em que
E(X 2) =
∫ +∞
−∞
x2f (x)dx .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 25 / 52
Variância
Distribuição Uniforme
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniformeno intervalo [a,b], notação X ∼ U[a, b], então f (x) = 1
(b−a) paraa ≤ x ≤ b e f (x) = 0 em caso contrário.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 26 / 52
Variância
Distribuição Uniforme
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniformeno intervalo [a,b], notação X ∼ U[a, b], então f (x) = 1
(b−a) paraa ≤ x ≤ b e f (x) = 0 em caso contrário.
x
f(x)
a b
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 26 / 52
Variância
Distribuição Uniforme
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ U[a, b].
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 27 / 52
Variância
Distribuição Uniforme
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ U[a, b].
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =
∫ b
a
x(b − a)
dx =a + b
2.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 27 / 52
Variância
Distribuição Uniforme
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ U[a, b].
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =
∫ b
a
x(b − a)
dx =a + b
2.
Variância
A variância de X fica dada por
Var(X ) =
∫ b
a
x2
(b − a)dx
︸ ︷︷ ︸
E(X 2)
−[E(X )]2 =(b − a)2
12.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 27 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Exemplos de Distribuições Contínuas
3 Variáveis Aleatórias Contínuas
4 Esperança
5 Variância
6 Função de Distribuição Acumulada
7 Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 28 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Função de distribuição acumulada
Definição
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória Tcontínua é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 29 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Função de distribuição acumulada
Definição
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória Tcontínua é definida por
F (x) = P(T ≤ x) =∫ x
−∞
f (t)dt .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 29 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Função de Distribuição Acumulada
Distribuição Uniforme
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatóriaT ∼ U[a, b] é dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 30 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Função de Distribuição Acumulada
Distribuição Uniforme
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatóriaT ∼ U[a, b] é dada por
F (x) =
0 x < a,x−ab−a a ≤ x < b,1 x ≥ b.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 30 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Descrição de F (x)
a b
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x
)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 31 / 52
Outras Distribuições
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Exemplos de Distribuições Contínuas
3 Variáveis Aleatórias Contínuas
4 Esperança
5 Variância
6 Função de Distribuição Acumulada
7 Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 32 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Se X é uma variável aleatória triangular no intervalo [0, 1/2, 1],notação X ∼ T [0, 1/2, 1]), então a função densidade de probabilidadede X é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 33 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Se X é uma variável aleatória triangular no intervalo [0, 1/2, 1],notação X ∼ T [0, 1/2, 1]), então a função densidade de probabilidadede X é definida por
f (x) =
4x 0 ≤ x ≤ 1/2,4(1 − x) 1/2 < x ≤ 1,
0 c.c.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 33 / 52
Outras Distribuições
Descrição de f (x)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
f(x)
0.0 0.5 1.0
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 34 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Área total
A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base∆ = 1 e altura h = 2.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 35 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Área total
A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base∆ = 1 e altura h = 2. Logo, a área total fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 35 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Área total
A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base∆ = 1 e altura h = 2. Logo, a área total fica dada por
A =∆× h
2=
1 × 22
= 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 35 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Área total
A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base∆ = 1 e altura h = 2. Logo, a área total fica dada por
A =∆× h
2=
1 × 22
= 1.0.
00.
51.
01.
52.
0
x
f(x)
0.0 0.5 1.0
A
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 35 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1/4 ≤ X ≤ 1/2) corresponde à diferença entre 1/2e a área do triângulo A de base ∆ = 1/4 e altura h = 1, isto é
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 36 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1/4 ≤ X ≤ 1/2) corresponde à diferença entre 1/2e a área do triângulo A de base ∆ = 1/4 e altura h = 1, isto é
B =12− 1/4 × 1
2
=12− 1
8=
38.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 36 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1/4 ≤ X ≤ 1/2) corresponde à diferença entre 1/2e a área do triângulo A de base ∆ = 1/4 e altura h = 1, isto é
B =12− 1/4 × 1
2
=12− 1
8=
38.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
f(x)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
B
A
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 36 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuiçãotriangular no intervalo [a,c,b], notação X ∼ T [a, c, b].
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 37 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuiçãotriangular no intervalo [a,c,b], notação X ∼ T [a, c, b]. Então
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 37 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuiçãotriangular no intervalo [a,c,b], notação X ∼ T [a, c, b]. Então
f (x) =
2(x−a)(b−a)(c−a) a ≤ x ≤ c,
2(b−x)(b−a)(b−c) c < x ≤ b,
0 c.c.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 37 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuiçãotriangular no intervalo [a,c,b], notação X ∼ T [a, c, b]. Então
f (x) =
2(x−a)(b−a)(c−a) a ≤ x ≤ c,
2(b−x)(b−a)(b−c) c < x ≤ b,
0 c.c.
x
f(x)
a c b
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 37 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ T [a, c, b].
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 38 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ T [a, c, b].
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =a + b + c
3.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 38 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ T [a, c, b].
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =a + b + c
3.
Variância
A variância de X fica dada por
Var(X ) =a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc
18.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 38 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial
Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial deparâmetro λ > 0 (X ∼ Exp(λ)), a função densidade de probabilidadede X é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 39 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial
Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial deparâmetro λ > 0 (X ∼ Exp(λ)), a função densidade de probabilidadede X é definida por
f (x) = λe−λx ,
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 39 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial
Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial deparâmetro λ > 0 (X ∼ Exp(λ)), a função densidade de probabilidadede X é definida por
f (x) = λe−λx ,
em que x > 0.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 39 / 52
Outras Distribuições
Descrição de f (x) para λ = 3
0 1 2 3 4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 40 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Área total
A área total sob a curva é calculada através da integral
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 41 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Área total
A área total sob a curva é calculada através da integral
∫ +∞
0λe−λxdx = λ
∫ +∞
0e−λxdx = 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 41 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) corresponde à área na figura abaixo epode ser calculada pela integral
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 42 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) corresponde à área na figura abaixo epode ser calculada pela integral
A =
∫ 2
1λe−λxdx
= e−λ − e−2λ.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 42 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) corresponde à área na figura abaixo epode ser calculada pela integral
A =
∫ 2
1λe−λxdx
= e−λ − e−2λ.
0 1 2 3 4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
f(x)
A
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 42 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuiçãoexponencial de parâmetro λ > 0.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 43 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuiçãoexponencial de parâmetro λ > 0.
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =1λ.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 43 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuiçãoexponencial de parâmetro λ > 0.
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =1λ.
Variância
A variância de X fica dada por
Var(X ) =1λ2 .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 43 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Função de distribuição acumulada
A Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatóriaT ∼ Exp(λ) fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 44 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Função de distribuição acumulada
A Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatóriaT ∼ Exp(λ) fica dada por
F (x) =
0 x ≤ 0,1 − e−λx x > 0.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 44 / 52
Outras Distribuições
Descrição de F (x) para λ = 1
0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F
(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 45 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ evariância σ2, a função densidade de probabilidade de X é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 46 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ evariância σ2, a função densidade de probabilidade de X é definida por
f (x) =1
σ√
2πe−
1σ
2 (x−µ)2,
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 46 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ evariância σ2, a função densidade de probabilidade de X é definida por
f (x) =1
σ√
2πe−
1σ
2 (x−µ)2,
para −∞ < x , µ < +∞ e σ > 0.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 46 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ evariância σ2, a função densidade de probabilidade de X é definida por
f (x) =1
σ√
2πe−
1σ
2 (x−µ)2,
para −∞ < x , µ < +∞ e σ > 0. Notação: X ∼ N(µ, σ2).
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 46 / 52
Outras Distribuições
Descrição de f (x) de uma N(0,1).
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 47 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Padronização
Se X ∼ N(µ, σ2) e Z ∼ N(0, 1) (normal padrão), então
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 48 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Padronização
Se X ∼ N(µ, σ2) e Z ∼ N(0, 1) (normal padrão), então
P(X ≤ x) = P(
Z ≤ x − µ
σ
)
,
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 48 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Padronização
Se X ∼ N(µ, σ2) e Z ∼ N(0, 1) (normal padrão), então
P(X ≤ x) = P(
Z ≤ x − µ
σ
)
,
ou seja, todos os cálculos podem ser feitos pela normal padrão.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 48 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Por exemplo, a probabilidade A = P(0 ≤ X ≤ 1) pode ser calculadapela diferença
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 49 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Por exemplo, a probabilidade A = P(0 ≤ X ≤ 1) pode ser calculadapela diferença
P(X ≤ 1)− P(X ≤ 0) = 0, 841 − 0, 5 = 0, 341.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 49 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Por exemplo, a probabilidade A = P(0 ≤ X ≤ 1) pode ser calculadapela diferença
P(X ≤ 1)− P(X ≤ 0) = 0, 841 − 0, 5 = 0, 341.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
A
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 49 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Para calcular a probabilidade A = P(−1 ≤ X ≤ 1) podemos usar ofato da distribuição ser simétrica na média.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 50 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Para calcular a probabilidade A = P(−1 ≤ X ≤ 1) podemos usar ofato da distribuição ser simétrica na média. Assim,
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 50 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Para calcular a probabilidade A = P(−1 ≤ X ≤ 1) podemos usar ofato da distribuição ser simétrica na média. Assim,
P(−1 ≤ X ≤ 1) = 2 × P(0 ≤ X ≤ 1) = 2 × 0, 341 = 0, 682.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 50 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Para calcular a probabilidade A = P(−1 ≤ X ≤ 1) podemos usar ofato da distribuição ser simétrica na média. Assim,
P(−1 ≤ X ≤ 1) = 2 × P(0 ≤ X ≤ 1) = 2 × 0, 341 = 0, 682.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
A
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 50 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de percentil
Como encontrar a tal que A = P(X ≥ a), em que A = 0, 02(2%)? PeloR podemos encontrar a = 2, 054 usando o comando qnorm(0.98).
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 51 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de percentil
Como encontrar a tal que A = P(X ≥ a), em que A = 0, 02(2%)? PeloR podemos encontrar a = 2, 054 usando o comando qnorm(0.98).
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
0 a
A
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 51 / 52
Outras Distribuições
Descrição de F (x) para N(0,1)
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F
(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 52 / 52