diszkr et matematika i. k oz epszint -...

Diszkret matematika I. kozepszint 2013 osz 1.

Diszkret matematika I.kozepszint

9. eloadas

Merai [email protected]

compalg.inf.elte.hu/∼merai

Komputeralgebra Tanszek

2013 osz

Halmazok Diszkret matematika I. kozepszint 2013 osz 2.

Kulonbseg, komplementer

Definıcio

Az A es B halmazok kulonbsege az A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.

DefinıcioEgy rogzıtett X alaphalmaz es A ⊂ X reszhalmaz eseten az A halmazkomplementere az A = A′ = X \ A.


Kompelemter tulajdonsagai

Allıtas (Biz.: Hf)

1. A = A;

2. ∅ = X ;

3. X = ∅;4. A ∩ A = ∅;5. A ∪ A = X ;

6. A ⊂ B ⇔ B ⊂ A

7. A ∩ B = A ∪ B;

8. A ∪ B = A ∩ B.

A 7. es 8. osszefuggesek az u.n. de Morgan szabalyok.


Szimmetrikus differencia

DefinıcioAz A es B halmazok szimmetrikus differenciaja azA4 B = (A \ B) ∪ (B \ A).


Hatvanyhalmaz

DefinıcioHa A egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert, melynek elemei az Ahalmaz osszes reeszhalmaza az A hatvanyhalmazanak mondjuk es 2A-valjeloljuk.

A = ∅, 2∅ = {∅},A = {a}, 2{a} = {∅, {a}},A = {a, b}, 2{a,b} = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.

Allıtas (Biz.: HF)∣∣2A∣∣ = 2|A|.

Relaciok Diszkret matematika I. kozepszint 2013 osz 6.

Relaciok

A relaciok

a fuggvenyfogalom altalanosıtasai;

,,hagyomanyos” fuggvenyek pontos definialasa;,,tobberteku fuggvenyek”

kapcsolatot ır le

=, <, ≤, oszthatosag, . . .


Rendezett par

Adott x 6= y es (x , y) rendezett par eseten szamıt a sorrend:

{x , y} = {y , x}(x , y) 6= (y , x).

Definıcio

Az (x , y) rendezett par az {{x}, {x , y}} halmazzal definialjuk.Az (x , y) rendezett par eseten az x az elso az y a masodik koordinata.

DefinıcioAz X , Y halmazok Descart-szorzatan az

X × Y = {(x , y) : x ∈ X , y ∈ Y }

rendezett parokbol allo halmazt ertjuk.


Biner relaciok

Adott X , Y halmazok eseten az R ⊂ X × Y halmazokat biner(ketvaltozos) relacioknak nevezzuk.Ha R biner relacio, akkor gyakran (x , y) ∈ R helyett xRy -t ırunk.

Pelda

1. IX = {(x , x) ∈ X × X : x ∈ X} az egyenloseg relacio.

2. {(x , y) ∈ Z× Z : x | y} az osztoja relacio.

3. F halmazrendszer eseten az {(X ,Y ) ∈ F × F : X ⊂ Y } atartalmazas relacio.

4. Adott f : R→ R fuggveny eseten a fuggveny grafikonja{(x , f (x)) ∈ R× R : x ∈ R}.

DefinıcioHa valamely X , Y halmazokra R ⊂ X × Y , akkor azt mondjuk, hogy Rrelacio X es Y kozott.Ha X = Y , akkor azt mondjuk, hogy R X -beli relacio (homogen binerrelacio).


Relaciok ertelmezesi tartomanya, ertek keszlete

Ha R relacio X es Y kozott (R ⊂ X × Y ) es X ⊂ X ′, Y ⊂ Y ′, akkor Rrelacio X ′ es Y ′ kozott is!

DefinıcioAz R relacio ertelmezesi tartomanya a

dmn(R) = {x : ∃y : (x , y) ∈ R},

ertek keszlete

rng(R) = {y : ∃x : (x , y) ∈ R}.

Pelda

1. Ha R = {(x , 1/x2) : x ∈ R}, akkor dmn(R) = {x ∈ R : x 6= 0},rng(R) = {x ∈ R : x > 0}.

2. Ha R = {(1/x2, x) : x ∈ R}, akkor dmn(R) = {x ∈ R : x > 0},rng(R) = {x ∈ R : x 6= 0}.


Relaciok kitejesztese, leszukıtese, inverze

DefinıcioEgy R biner relaciot az S biner relacio kiterjesztesenek, illetve S-et az Rleszukıtesenek (megszorıtasanak) nevezzuk, ha S ⊂ R. Ha A egy halmaz,akkor az R relacio A-ra valo leszukıtesen (az A-ra valo megszorıtasan) az

R|A = {(x , y) ∈ R : x ∈ A}.

PeldaLegyen R = {(x2, x) ∈ R× R : x ∈ R}, S = {(x ,

√x) ∈ R× R : x ∈ R}.

Ekkor R az S kiterjesztese, S az R leszukıtese, S = R|R+0

(ahol R+0 a nemnegatıv valos szamok halmaza).

Definıcio

Egy R biner relacio inverzen az R−1 = {(y , x) : (x , y) ∈ R}.

PeldaR−1 = {(x , x2) ∈ R× R : x ∈ R}, S−1 = {(

√x , x) ∈ R× R : x ∈ R}


Halmaz kepe, teljes inverz kepe

DefinıcioLegyen R egy biner relacio, A egy halmaz. Az A halmaz kepe azR(A) = {y : ∃x ∈ A : (x , y) ∈ R}.Adott B halmaz inverz kepe, vagy teljes oskepe az R−1(B), a B halmazkepe az R−1 relacio eseten.

PeldaLegyen R = {(x2, x) ∈ R×R : x ∈ R}, S = {(x ,

√x) ∈ R×R : x ∈ R}.

R({9}) = {−3,+3} (vagy roviden R(9) = {−3,+3}),

S(9) = {+3}.


Pelda

Legyen R relacio az X = {A,B,C , . . . ,P} halmazon, es legyen T → T ′,ha (T ,T ′) ∈ R.

dmn(R) = {A,B,C ,D,F , . . . , I ,K}.

rng(R) = {A,B,C ,E , . . . J, L}.

R|{A,B,C ,D} ={(A,B), (B,C ), (C ,A), (D,E ), (D,F )}


Kompozıcio

Definıcio

Legyenek R es S biner relaciok. Ekkor az R ◦ S kompozıcio (osszetetel,szorzat) relacio:

R ◦ S = {(x , y) : ∃z : (x , z) ∈ S , (z , y) ∈ R}.

Kompozıcio eseten a relaciokat ,,jobbrol-balra ırjuk”:

PeldaLegyen Rsin = {(x , y) ∈ R× R : sin x = y},Legyen Slog = {(x , y) ∈ R× R : log x = y}.EkkorRsin ◦ Slog = {(x , y) : ∃z : log x = z , sin z = y}Rsin ◦ Slog = {(x , y) ∈ R× R : sin log x = y}.


Kompozıcio

R ◦ S = {(x , y) : ∃z : (x , z) ∈ S , (z , y) ∈ R}

Pelda

Legyen S , R ket relacio, es tekintsuk az T = R ◦ S kompozıciot:


Pelda

Adott ceg eseten legyenek A ,B, . . . , J az alkalmazottak. A ceg ketprojekten dolgozik: BANK, JATEK

beosztas alkalmazott

menedzser A, Bprogramozo C, D, Etesztelo F, G, HHR Itech. dolgozo J

projekt alkalmazott hatarido

BANK A, C, D, F 2013.12.31.

JATEK B, D, E, F, G, H 2014.01.31.

Legyen B a beosztas relacio: peldaul A B menedzser.Legyen P a projekt relacio: peldaul A P BANKLegyen H a hatarido relacio: peldaul BANK H 2013.12.31.

Kik dolgoznak a BANK projekten? P−1(BANK)

Kik a tesztelok? B−1(tesztelo)

Mi a BANK projekt hatarideje? H(BANK)

Milyen hataridejei vannak az alkalmazottaknak? H ◦ PMilyen hataridejei vannak a teszteloknek? H ◦ P ◦ B−1(tesztelo)

diszkr et matematika i. k oz epszint -...

Documents