diziler sonsuz diziler ve serilerkisi.deu.edu.tr/cem.celik/files/1010_hafta_01.pdf · diziler biz...

Diziler

Sonsuz Diziler ve Seriler

Bir dizi, bazı sayıların belirli bir sıraya gore dizilmesi olarak dusunulebilir.

a1, a2, · · · , an, · · ·

Ornegin,2, 4, 6, 8, 10, . . . , 2n, . . .

seklindeki bir dizide, a1 = 2 ilk terim, a2 = 4 ikinci terim ve genel olarakan = 2n ise n. terim olarak adlandırılır.

MAT 1010 Kalkulus II 1 / 49

Diziler

Biz genellikle sonsuz dizilerle ilgilenecegiz.Dolayısıyla, her an teriminden sonra gelen bir an+1 terimi olacaktır.

Her pozitif n dogal sayısı icin dizide bir an terimi vardır. Bu sekilde, birdiziyi tanım kumesi dogal sayılar (N+) olan bir fonksiyon olaraktanımlayabiliriz.Ancak, fonksiyonun n’de aldıgı degeri gostermek icin f(n) yerine anyazacagız.

{a1, a2, · · · , an, · · · } dizisi {an} veya {an}∞n=1 ile de gosterilir.


Diziler

Ornek 1

Asagıdaki orneklerin her birindeki dizi uc farklı gosterim ile verilmistir.Bunlardan birincisinde onceki gosterim, ikincisinde genel terimkullanılmıstır. Ucuncusunde ise dizi, terimleri tek tek yazılarak verilmistir.{

n

n+ 1

}∞

n=1

an =n

n+ 1

{1

2,2

3,3

4, · · · , n

n+ 1, · · ·

}{(−1)n n

3n

}∞

n=1an = (−1)n n

3n

{−1

3,2

9,− 3

27, · · · , (−1)n n

3n, · · ·

}{√

n− 3}∞n=3

an =√n− 3, n ≥ 3

{0, 1,√2, · · · ,

√n− 3, · · ·

}{cos(nπ6

)}∞

n=0an = cos

(nπ6

), n ≥ 0

{1,

√3

2,1

2, · · · , cos

(nπ6

), · · ·

}

Bir dizide n’nin 1’den baslamak zorunda olmadıgına dikkat ediniz.


Diziler

an =n

n+ 1dizisi gibi herhangi bir dizi, Sekildeki gibi sayı dogrusu

uzerinde veya grafigi cizilerek gosterilebilir.

EXAMPLE 2 Here are some sequences that don’t have a simple defining equation.(a) The sequence , where is the population of the world as of January 1 inthe year .(b) If we let be the digit in the decimal place of the number , then is awell-defined sequence whose first few terms are

(c) The Fibonacci sequence is defined recursively by the conditions

Each term is the sum of the two preceding terms. The first few terms are

This sequence arose when the 13th-century Italian mathematician known asFibonacci solved a problem concerning the breeding of rabbits (see Exercise 37).

A sequence such as the one in Example 1(a), , can be picturedeither by plotting its terms on a number line, as in Figure 1, or by plotting its graph,as in Figure 2. Note that, since a sequence is a function whose domain is the set ofpositive integers, its graph consists of isolated points with coordinates

. . . . . .

From Figure 1 or 2 it appears that the terms of the sequence areapproaching 1 as becomes large. In fact, the difference

can be made as small as we like by taking sufficiently large. We indicate this by writing

In general, the notation

means that the terms of the sequence approach as becomes large. Notice thatthe following definition of the limit of a sequence is very similar to the definition of alimit of a function at infinity given in Section 2.5.

nL�an �

limn l �

an � L

limn l �

n

n � 1� 1

n

1 �n

n � 1�

1

n � 1

nan � n��n � 1�

FIGURE 2

0 n

an

1

1

2 3 4 5 6 7

78a¶=

0 112

a¡ a™ a£a¢

FIGURE 1

�n, an ��3, a3 ��2, a2 ��1, a1�

an � n��n � 1�

�1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .�

n � 3fn � fn�1 � fn�2f2 � 1f1 � 1

� fn �

�7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, . . .�

�an �enthan

npn�pn �

564 � CHAPTER 8 INFINITE SEQUENCES AND SERIES

EXAMPLE 2 Here are some sequences that don’t have a simple defining equation.(a) The sequence , where is the population of the world as of January 1 inthe year .(b) If we let be the digit in the decimal place of the number , then is awell-defined sequence whose first few terms are

(c) The Fibonacci sequence is defined recursively by the conditions

Each term is the sum of the two preceding terms. The first few terms are

This sequence arose when the 13th-century Italian mathematician known asFibonacci solved a problem concerning the breeding of rabbits (see Exercise 37).

A sequence such as the one in Example 1(a), , can be picturedeither by plotting its terms on a number line, as in Figure 1, or by plotting its graph,as in Figure 2. Note that, since a sequence is a function whose domain is the set ofpositive integers, its graph consists of isolated points with coordinates

. . . . . .

From Figure 1 or 2 it appears that the terms of the sequence areapproaching 1 as becomes large. In fact, the difference

can be made as small as we like by taking sufficiently large. We indicate this by writing

In general, the notation

means that the terms of the sequence approach as becomes large. Notice thatthe following definition of the limit of a sequence is very similar to the definition of alimit of a function at infinity given in Section 2.5.

nL�an �

limn l �

an � L

limn l �

n

n � 1� 1

n

1 �n

n � 1�

1

n � 1

nan � n��n � 1�

FIGURE 2

0 n

an

1

1

2 3 4 5 6 7

78a¶=

0 112

a¡ a™ a£a¢

FIGURE 1

�n, an ��3, a3 ��2, a2 ��1, a1�

an � n��n � 1�

�1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .�

n � 3fn � fn�1 � fn�2f2 � 1f1 � 1

� fn �

�7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, . . .�

�an �enthan

npn�pn �


Sekilden de anlasılabilecegi gibi, n sayısı buyudukce an =n

n+ 1dizisinin

terimleri 1 e yaklasır.


Diziler

Gercekten de, n sayısı yeteri kadar buyuk alınarak

1− n

n+ 1=

1

n+ 1

farkı istenildigi kadar kucuk yapılabilir. Biz bunu

limn→∞

n

n+ 1= 1

yazarak ifade ediyoruz.

Genel olarak,limn→∞

an = L

gosterimi, n sayısı buyudukce {an} dizisinin terimlerinin L ye yaklastıgınıifade etmek icin kullanılır.


Diziler

Tanım 2

n sayısı yeteri kadar buyuk secilerek an terimleri L’ye istenildigi kadaryakın yapılabiliyorsa {an} dizisinin limiti L’dir ve

limn→∞

an = L ya da n→∞ icin an → L

yazılır. Eger limn→∞

an degeri varsa {an} dizi yakınsaktır. Aksi durumda;

dizi, ıraksaktır.

Asagıdaki Sekilde limn→∞

an = L olan iki dizinin grafikleri gosterilmistir.

Definition A sequence has the limit and we write

if we can make the terms as close to as we like by taking sufficientlylarge. If exists, we say the sequence converges (or is convergent).Otherwise, we say the sequence diverges (or is divergent).

Figure 3 illustrates Definition 1 by showing the graphs of two sequences that havethe limit .

If you compare Definition 1 with Definition 2.5.4 you will see that the only differ-ence between and is that is required to be an inte-ger. Thus, we have the following theorem, which is illustrated by Figure 4.

Theorem If and when is an integer, then .

In particular, since we know from Section 2.5 that when we have

if

If becomes large as n becomes large, we use the notation

In this case the sequence is divergent, but in a special way. We say that di-verges to .

The Limit Laws given in Section 2.3 also hold for the limits of sequences and theirproofs are similar.

��an ��an �

limn l �

an � �

an

r � 0limn l �

1

nr � 03

r � 0,limx l � �1�xr� � 0

FIGURE 4 20 x

y

1 3 4

L

y=ƒ

limn l � an � Lnf �n� � anlimx l � f �x� � L2

nlimx l � f �x� � Llimn l � an � L

0 n

an

L

0 n

an

LFIGURE 3Graphs of twosequences withlim an= Ln `

L

limn l � an

nLan

an l L as n l �orlimn l �

an � L

L�an �1

SECTION 8.1 SEQUENCES � 565

� A more precise definition of the limitof a sequence is given in Appendix D.







if




��an ��an �

limn l �

an � �

an

r � 0limn l �

1

nr � 03

r � 0,limx l � �1�xr� � 0

FIGURE 4 20 x

y

1 3 4

L

y=ƒ



0 n

an

L

0 n

an


L

limn l � an

nLan


an � L

L�an �1




Diziler

Bu Tanım ve fonksiyonların limiti tanımı karsılastırıldıgında gorulecegi gibilimn→∞

an = L ve limx→∞

f(x) = L arasındaki tek fark, ilk limitte n nin dogal

sayı olmasıdır.







if




��an ��an �

limn l �

an � �

an

r � 0limn l �

1

nr � 03

r � 0,limx l � �1�xr� � 0

FIGURE 4 20 x

y

1 3 4

L

y=ƒ



0 n

an

L

0 n

an


L

limn l � an

nLan


an � L

L�an �1



Teorem 3

limx→∞

f(x) = L ve her n dogal sayısı icin f(n) = an ise limn→∞

an = L olur.


Diziler

Ozel olarak, r > 0 icin limx→∞

1

xr= 0 oldugu bilindiginden, r > 0 icin

limn→∞

1

nr= 0

yazılır.

Buyuk n degerleri icin an de buyuk degerler alıyorsa,

limn→∞

an =∞

yazılır. Bu durumda {an} dizisi ıraksaktır. Ancak bu ozel ıraksak olmadurumunu diger ıraksaklıklardan ayırarak, {an} dizisi sonsuza ıraksardiyecegiz.


Diziler

Yakınsak Dizilerde Limit Kuralları

{an} ve {bn} iki yakınsak dizi ve c bir sabit olmak uzere asagıdakilersaglanır.

• limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn

• limn→∞

(an − bn) = limn→∞

an − limn→∞

bn

• limn→∞

(can) = c limn→∞

an

• limn→∞

(anbn) = limn→∞

an · limn→∞

bn

• limn→∞

bn 6= 0 ise limn→∞

anbn

=lim

n→∞an

limn→∞

bn

• p > 0 ve an > 0 ise limn→∞

apn =[limn→∞

an]p


Diziler

If and are convergent sequences and is a constant, then

The Squeeze Theorem can also be adapted for sequences as follows (see Figure 5).

If for and , then .

Another useful fact about limits of sequences is given by the following theorem,which follows from the Squeeze Theorem because .

Theorem If , then .

EXAMPLE 3 Find .

SOLUTION The method is similar to the one we used in Section 2.5: Divide numeratorand denominator by the highest power of that occurs in the denominator and thenuse the Limit Laws.

Here we used Equation 3 with .

EXAMPLE 4 Calculate .limn l �

ln n

n

r � 1

�1

1 � 0� 1

limn l �

n

n � 1� lim

n l �

1

1 �1

n

�limn l �

1

limn l �

1 � limn l �

1

n

n

limn l �

n

n � 1

limn l �

an � 0limn l �

� an � � 04

�� an � � an � � an �

limn l �

bn � Llimn l �

an � limn l �

cn � Ln � n0an � bn � cn

limn l �

anp � [lim

n l � an]p if p � 0 and an � 0

limn l �

an

bn�

lim n l �

an

limn l �

bnif lim

n l � bn � 0

limn l �

�an bn � � limn l �

an � limn l �

bn

limn l �

c � c limn l �

can � c limn l �

an

limn l �

�an � bn � � limn l �

an � limn l �

bn

limn l �

�an � bn � � limn l �

an � limn l �

bn

c�bn ��an �


Limit Laws for Convergent Sequences

FIGURE 5The sequence �bn� is squeezed betweenthe sequences �an� and �cn�.

0 n

cn

an

bn

Squeeze Theorem for Sequences

� This shows that the guess we madeearlier from Figures 1 and 2 was correct.

Sıkıstırma teoremi diziler icin asagıdaki sekilde uyarlanabilir.

Teorem 4

n ≥ n0 icin an ≤ bn ≤ cn saglansın.

limn→∞

an = limn→∞

cn = L ise limn→∞

bn = L olur.


Diziler

Diziler hakkındaki diger yararlı bir sonuc olan asagıdaki teorem,−|an| ≤ an ≤ |an| oldugundan Sıkıstırma Teoreminden elde edilir.

Teorem 5

limn→∞

|an| = 0 ise limn→∞

an = 0 olur.


Diziler

Ornek 6

limn→∞

n

n+ 1limitini bulunuz.

Cozum.

Kesrin pay ve paydasını, n nin paydada gorulen en buyuk kuvvetine bolerve limit kurallarını kullanırsak

limn→∞

n

n+ 1= lim

n→∞��>

1n

�n(1 + 1

n

)=

limn→∞

1

limn→∞

1 + limn→∞

1n

=1

1 + 0= 1

sonucuna ulasırız.


Diziler

Ornek 7

limn→∞

lnn

nlimitini hesaplayınız.

Cozum.

Burada, n→∞ iken hem pay hem de pay da sonsuza gitmektedir.L’Hospital kuralını dogrudan uygulayamayız cunku bu kural dizilere degilgercel degerli fonksiyonlara uygulanabilmektedir. Ancak, L’Hospital kuralınıbu dizi ile cok yakından ilgili olan f(x) = lnx

x fonksiyonuna uygulayabilir ve

limx→∞

lnx

x= lim

x→∞

1/x

1= 0

buluruz. Boylece

limn→∞

lnn

n= 0

elde ederiz.


Diziler

Ornek 8

{an} = {(−1)n} dizisinin yakınsak olup olmadıgını belirleyiniz.

Cozum.

Bu dizinin terimlerini tek tek yazarsak {−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .}elde ederiz.

SOLUTION Notice that both numerator and denominator approach infinity as .We can’t apply l’Hospital’s Rule directly because it applies not to sequences but tofunctions of a real variable. However, we can apply l’Hospital’s Rule to the relatedfunction and obtain

Therefore, by Theorem 2 we have

EXAMPLE 5 Determine whether the sequence is convergent or divergent.

SOLUTION If we write out the terms of the sequence, we obtain

The graph of this sequence is shown in Figure 6. Since the terms oscillate between 1and infinitely often, does not approach any number. Thus, doesnot exist; that is, the sequence is divergent.

EXAMPLE 6 Evaluate if it exists.

SOLUTION

Therefore, by Theorem 4,

EXAMPLE 7 Discuss the convergence of the sequence , where.

SOLUTION Both numerator and denominator approach infinity as but here wehave no corresponding function for use with l’Hospital’s Rule ( is not definedwhen is not an integer). Let’s write out a few terms to get a feeling for what hap-pens to as gets large:

It appears from these expressions and the graph in Figure 8 that the terms aredecreasing and perhaps approach 0. To confirm this, observe from Equation 5 that

an �1

n 2 � 3 � � � � � n

n � n � � � � � n

an �1 � 2 � 3 � � � � � n

n � n � n � � � � � n5

a3 �1 � 2 � 3

3 � 3 � 3a2 �

1 � 2

2 � 2a1 � 1

nan

xx!n l �

n! � 1 � 2 � 3 � � � � � nan � n!�nn

limn l �

��1�n

n� 0

limn l �

� ��1�n

n � � limn l �

1

n� 0

limn l �

��1�n

n

��1�n �limn l � ��1�nan�1

��1, 1, �1, 1, �1, 1, �1, . . .�

an � ��1�n

limn l �

ln n

n� 0

limx l �

ln x

x� lim

x l � 1�x

1� 0

f �x� � �ln x��x

n l �


0 n

an

1

1

2 3 4

_1

FIGURE 6

FIGURE 7

0 n

an

1

1

_1

� The graph of the sequence inExample 6 is shown in Figure 7 and supports the answer.

Terimler, (−1) ile 1 arasında devamlı gidip geldigi icin an hic bir sayıyayaklasmaz. Dolayısıyla, lim

n→∞(−1)n degeri yoktur. Baska bir deyisle, (−1)n

dizisi ıraksaktır.


Diziler

Ornek 9

{an} ={(−1)n

n

}limitini arastırınız.

Cozum.

Ilk olarak,

limn→∞

∣∣∣∣(−1)nn

∣∣∣∣ = limn→∞

1

n= 0

Elde edilir. Dolayısıyla, Teorem 5 den

limn→∞

(−1)n

n= 0

bulunur.


Diziler

Ornek 10

Hangi r degerleri icin {rn} dizisi yakınsaktır?

Cozum.

a > 1 icin limx→∞

ax =∞ ve 0 < a < 1 icin limx→∞

ax = 0 olur. Simdi, a = r

alarak Teorem 4 den

limn→∞

rn =

{∞, r > 1

0, 0 < r < 1

bulunur. r = 1 ve r = 0 oldugunda ise

limn→∞

1n = limn→∞

1 = 1 ve limn→∞

0n = limn→∞

0 = 0

bulunur.


Diziler

Cozum(devamı).

Ayrıca, −1 < r < 0 ise 0 < |r| < 1 saglanır. Boylece,

limn→∞

∣∣rn∣∣ = limn→∞

|r|n = 0

olur ve bu nedenle Teorem 5 den limn→∞

rn = 0 bulunur. Eger r < −1 veya

r = −1 ise {rn} ıraksaktır. r nin cesitli degerleri icin dizinin grafigi Sekildeverilmistir.

so

We know that as . Therefore, as by the Squeeze Theorem.

EXAMPLE 8 For what values of is the sequence convergent?

SOLUTION We know from Section 2.5 and the graphs of the exponential functions inSection 1.5 that for and for . There-fore, putting and using Theorem 2, we have

For the cases and we have

and

If , then , so

and therefore by Theorem 4. If , then diverges as inExample 5. Figure 9 shows the graphs for various values of . (The case isshown in Figure 6.)

The results of Example 8 are summarized for future use as follows.

The sequence is convergent if and divergent for all othervalues of .

Definition A sequence is called increasing if for all , thatis, It is called decreasing if for all . It iscalled monotonic if it is either increasing or decreasing.

n � 1an � an�1a1 a2 a3 � � � .n � 1an an�1�an �

limn l �

rn � �0

1

if �1 r 1

if r � 1

r�1 r � 1�rn�6

FIGURE 9The sequence an=rn

0 n

an

1

1

r>1

r=1

0<r<1

0 n

an

11

r<_1

_1<r<0

r � �1r�rn�r � �1limn l � rn � 0

limn l �

� rn � � limn l �

� r �n � 0

0 � r � 1�1 r 0

limn l �

0 n � limn l �

0 � 0limn l �

1n � limn l �

1 � 1

r � 0r � 1

limn l �

rn � ��

0

if r � 1

if 0 r 1

a � r0 a 1limx l � ax � 0a � 1limx l � ax � �

�rn�r

n l �an l 0n l �1�n l 0

0 an �1

n


� Creating Graphs of SequencesSome computer algebra systems havespecial commands that enable us to cre-ate sequences and graph them directly.With most graphing calculators, how-ever, sequences can be graphed byusing parametric equations. For instance,the sequence in Example 7 can begraphed by entering the parametricequations

and graphing in dot mode starting with, setting the -step equal to . The

result is shown in Figure 8.1tt � 1

x � t y � t!�t t

FIGURE 8

1

0 10

so

We know that as . Therefore, as by the Squeeze Theorem.

EXAMPLE 8 For what values of is the sequence convergent?

SOLUTION We know from Section 2.5 and the graphs of the exponential functions inSection 1.5 that for and for . There-fore, putting and using Theorem 2, we have

For the cases and we have

and

If , then , so

and therefore by Theorem 4. If , then diverges as inExample 5. Figure 9 shows the graphs for various values of . (The case isshown in Figure 6.)

The results of Example 8 are summarized for future use as follows.

The sequence is convergent if and divergent for all othervalues of .

Definition A sequence is called increasing if for all , thatis, It is called decreasing if for all . It iscalled monotonic if it is either increasing or decreasing.

n � 1an � an�1a1 a2 a3 � � � .n � 1an an�1�an �

limn l �

rn � �0

1

if �1 r 1

if r � 1

r�1 r � 1�rn�6

FIGURE 9The sequence an=rn

0 n

an

1

1

r>1

r=1

0<r<1

0 n

an

11

r<_1

_1<r<0

r � �1r�rn�r � �1limn l � rn � 0

limn l �

� rn � � limn l �

� r �n � 0

0 � r � 1�1 r 0

limn l �

0 n � limn l �

0 � 0limn l �

1n � limn l �

1 � 1

r � 0r � 1

limn l �

rn � ��

0

if r � 1

if 0 r 1

a � r0 a 1limx l � ax � 0a � 1limx l � ax � �

�rn�r

n l �an l 0n l �1�n l 0

0 an �1

n


� Creating Graphs of SequencesSome computer algebra systems havespecial commands that enable us to cre-ate sequences and graph them directly.With most graphing calculators, how-ever, sequences can be graphed byusing parametric equations. For instance,the sequence in Example 7 can begraphed by entering the parametricequations

and graphing in dot mode starting with, setting the -step equal to . The

result is shown in Figure 8.1tt � 1

x � t y � t!�t t

FIGURE 8

1

0 10


Diziler

{rn} dizisi −1 < r ≤ 1 icin yakınsak olup diger r degerleri icin ıraksaktır.

limn→∞

rn =

{0, −1 < r < 1

1, r = 1.


Diziler

Tanım 11

Her n ≥ 1 icin an < an+1 saglanıyorsa (baska bir deyisle, a1 < a2 < . . .ise) {an} dizisine artan denir.Her n ≥ 1 icin an > an+1 saglanıyorsa {an} dizisine azalan denir.Artan veya azalan bir diziye monoton denir.

Ornek 12{3

n+5

}dizisi azalandır cunku her n ≥ 1 icin

3

n+ 5>

3

(n+ 1) + 5=

3

n+ 6

saglanır.


Diziler

Ornek 13{n

n2 + 1

}dizisinin azalan oldugunu gosteriniz.

Cozum.

f(x) =x

x2 + 1fonksiyonunu alalım. x2 > 1 oldugunda

f ′(x) =1 · (x2 + 1)− x · 2x

(x2 + 1)2=

1− x2

(x2 + 1)2< 0

olur. Dolayısıyla, f(x) fonksiyonu (1,∞) aralıgında azalandır ve boylecef(n) > f(n+ 1) dir. Baska bie deyisle {an} azalan bir dizidir.


Diziler

Tanım 14

Her n ≥ 1 icinan ≤M

saglanacak sekilde bir M sayısı varsa {an} dizisine ustten sınırlı,her n ≥ 1 icin

an ≥ m

saglanacak sekilde bir m sayısı varsa {an} dizisine alttan sınırlı denir.Hem alttan hem de ustten sınırlı olan bir diziye sınırlı dizi denir.

Ornegin, an = n dizisi alttan sınırlıdır (an > 0) ancak ustten sınırlı degildir.

an = nn+1 dizisi sınırlıdır cunku her n ≥ 1 icin 0 < an < 1 olur.


Diziler

Teorem 15 (Monoton Dizi Teoremi)

Sınırlı ve monoton her dizi yakınsaktır.


Diziler

Ornek 16

an =2n

3n+1dizisinin yakınsaklıgını arastırınız.

Cozum.

Dizinin ilk birkac terimini yazarak baslayalım;{29 ,

427 ,

881 ,

16243 ,

32729 , . . .

}.

Buradan goruldugu gibi dizinin terimleri 0 ve 29 arasında degerler

almaktadır, dolayısıyla dizi sınırlıdır. {an} dizisinin monoton olupolmadıgını kontrol etmeliyiz.

an+1 − an =2n+1

3n+2− 2n

3n+1=

2n

3n+1

(2

3− 1

)= −1

3

2n

3n+1< 0

oldugundan dizi azalandır, dolayısıyla monotondur. Monoton Dizi Teoreminedeniyle an = 2n

3n+1 dizisinin yakınsak oldugunu soyleyebiliriz.


Seriler

Seriler

Verilen bir {an} dizisinin terimlerini toplamaya calısırsak

a1 + a2 + a3 + . . .+ an + . . . (1)

ifadesini elde ederiz. Bu sonsuz toplama bir sonsuz seri (ya da yalnızcaseri) denir ve kısaca

∞∑n=1

an or∑

an

ile gosterilir.


Seriler

Ancak, sonsuz tane terimin toplamından bahsetmek anlamlı mıdır?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . .+ n+ . . .

serisinin toplamı icin sonlu bir sayı bulmak olanaklı degildir. Cunku, egerterimleri sırayla toplarsak 1, 3, 6, 10, 15, 21,. . . sayılarını elde ederiz ve n.terimden sonra toplam

n(n+ 1)

2

olur ve n buyudukce bu toplam da buyur.


Seriler

Ancak,

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+ . . .+

1

2n+ . . .

serisinin terimlerini sıraya toplarsak

1

2,3

4,7

8,15

16,31

32,63

64, . . . , 1− 1

2n, . . .

elde ederiz.

However, if we start to add the terms of the series

we get , , , , , , . . . , , . . . . The table shows that as we add more andmore terms, these partial sums become closer and closer to 1. (See also Figure 11 inA Preview of Calculus, page 7.) In fact, by adding sufficiently many terms of the serieswe can make the partial sums as close as we like to 1. So it seems reasonable to saythat the sum of this infinite series is 1 and to write

We use a similar idea to determine whether or not a general series (1) has a sum.We consider the partial sums

and, in general,

These partial sums form a new sequence , which may or may not have a limit. Ifexists (as a finite number), then, as in the preceding example, we call it

the sum of the infinite series .

Definition Given a series , let denote itspartial sum:

If the sequence is convergent and exists as a real number,then the series is called convergent and we write

The number is called the sum of the series. If the sequence is divergent,then the series is called divergent.

Thus, the sum of a series is the limit of the sequence of partial sums. So when wewrite we mean that by adding sufficiently many terms of the series we canget as close as we like to the number . Notice that

��

n�1 an � lim

n l � �

n

i�1 ai

s��

n�1 an � s

�sn �s

��

n�1 an � sora1 � a2 � � � � � an � � � � � s

� an

limn l � sn � s�sn �

sn � �n

i�1 ai � a1 � a2 � � � � � an

nthsn��

n�1 an � a1 � a2 � a3 � . . .2

� an

limn l � sn � s�sn �

sn � a1 � a2 � a3 � � � � � an � �n

i�1 ai

s4 � a1 � a2 � a3 � a4

s3 � a1 � a2 � a3

s2 � a1 � a2

s1 � a1

��

n�1

1

2n �1

2�

1

4�

1

8�

1

16� � � � �

1

2n � � � � � 1

1 � 1�2n6364

3132

1516

78

34

12

1

2�

1

4�

1

8�

1

16�

1

32�

1

64� � � � �

1

2n � � � �


n Sum of first n terms

1 0.500000002 0.750000003 0.875000004 0.937500005 0.968750006 0.984375007 0.99218750

10 0.9990234415 0.9999694820 0.9999990525 0.99999997

Tablodan goruldugu uzere daha fazla terim ekledikce elde edilen kısmitoplamlar 1 sayısına daha da yaklasmaktadır.Gercekten, yeteri kadar fazla terim ekleyerek kısmi toplamları 1 sayısınaistedigimiz kadar yaklastırabiliriz. O halde, bu serinin toplamının 1oldugunu soyleyebilir ve

∞∑n=1

1

2n=

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .+

1

2n+ . . . = 1

yazabiliriz.MAT 1010 Kalkulus II 26 / 49

Seriler

Benzer fikirler kullanarak (1) deki gibi verilen herhangi bir serinintoplamının var olup olmadıgını bulabiliriz. Simdi

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4

kısmi toplamlarını ve genelde

sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an =

n∑i=1

ai

toplamını ele alalım. Bu kısmi toplamlar yeni bir {sn} ve bu dizininlimitinin olup olmadıgı arastırılabilir.Eger lim

n→∞sn = s limiti (sonlu bir sayı olarak) varsa o zaman, onceki

ornekte oldugu gibi, bu limite∑an serisinin toplamı diyoruz.


Seriler

Tanım 17 (Kısmi Toplamlar Dizisi)

Bir∞∑n=1

an = a1 + a2 + . . ., serisi verildiginde bu serinin n. kısmi toplamı

sn =

n∑i=1

ai = a1 + a2 + . . .+ an

ile tanımlı olmak uzere {sn} ile gosterilsin. {sn} dizisi yakınsak velimn→∞

sn = s bir gercel sayı olarak var ise∑an serisi yakınsaktır ve

a1 + a2 + . . .+ an + . . . = s or∞∑n=1

an = s

yazılır.s sayısına serinin toplamı denir. {sn} dizisi ıraksak ise seri ıraksaktır.


Seriler

Boylece, bir serinin toplamı o serinin kısmi toplamlar dizisinin limitidir.

Bu nedenle,∞∑n=1

an = s yazmak serinin yeteri kadar terimi toplandıgında s

sayısına istenildigi kadar yaklasılabildigi anlamına gelmektedir.

∞∑n=1

an = limn→∞

n∑i=1

ai

olduguna dikkat ediniz.


Seriler

Ornek 18 (Geometrik Seri)

Onemli serilerden biri de a 6= 0 olmak uzere

a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + · · · =∞∑n=1

arn−1

bicimindeki geometrik seridir. Her terim, kendisinden bir onceki terimin,r ortak oran sayısı ile carpılmasıyla elde edilir (a = 1

2 ve r = 12 durumunu

biraz once gormustuk).r = 1 ise then sn = a+ a+ · · ·+ a = na→ ±∞ olur. lim

n→∞sn degeri

olmadıgından bu durumda geometrik seri ıraksaktır.r 6= 1 ise

sn = a+ ar + · · ·+ arn−1 ve rsn = ar + ar2 + · · ·+ arn

olur.


Seriler

Bu iki denklem taraf tarafa cıkarılırsa

sn − rsn = a− arn =⇒ sn =a(1− rn)1− r

. (2)

bulunur.−1 < r < 1 ise n→∞ icin rn → 0 olup

limn→∞

sn = limn→∞

a(1− rn)1− r

=a

1− r− a

1− rlimn→∞

rn =a

1− r.

elde edilir. Dolayısıyla, geometrik seri |r| < 1 oldugunda yakınsaktır ve

toplamıa

1− rdır.

Eger r ≤ −1 veya r > 1 ise {rn} dizisi ıraksaktır, boylece (2) den limn→∞

sn

degeri yoktur. Bu durumlarda geometrik seri ıraksaktır.


Seriler

Ornekteki sonucları soyle ozetleyebiliriz.

∞∑n=1

arn−1 = a+ ar + ar2 + · · ·

geometrik serisi |r| < 1 oldugu zaman yakınsaktır ve serisinin toplamı|r| < 1 icin

∞∑n=1

arn−1 =a

1− r.

olur.|r| ≥ 1 ise geometrik seri ıraksaktır.


Seriler

Ornek 19∞∑n=1

22n31−n serisi yakınsak mı yoksa ıraksak mıdır?

Cozum.

Serinin n. terimini arn−1 seklinde yeniden yazarsak

∞∑n=1

22n31−n =

∞∑n=1

4n

3n−1=

∞∑n=1

4

(4

3

)n−1

elde ederiz. Boylece, bu seri a = 4 ve r = 43 olan bir Geometrik Seridir.

r > 1 oldugu icin seri ıraksaktır.


Seriler

Ornek 20

|x| < 1 olmak uzere∞∑n=0

xn serisinin toplamını bulunuz.

Cozum.

Bu seri n = 0 ile baslamaktadır ve dolayısıyla ilk terimi x0 = 1 dir. (Serilericin x = 0 olsa bile x0 = 1 olarak alacagız) Bu nedenle,

∞∑n=0

xn = 1 + x+ x2 + · · ·

olur. Bu, a = 1 ve r = x olan bir Geometrik Seridir. |r| = |x| < 1 olduguicin seri yakınsaktır ve toplamı

∞∑n=0

xn =1

1− xbulunur.


Seriler

Ornek 21∞∑n=1

1

n(n+ 1)serisinin yakınsak oldugunu gosteriniz ve toplamını bulunuz.

Cozum.

Bu seri geometrik seri degildir, bu nedenle yakınsak serinin tanımına geridonerek serinin kısmi toplamlarını

sn =

n∑i=1

1

i(i+ 1)=

1

1 · 2+

1

2 · 3+ · · ·+ 1

n · (n+ 1)

olarak hesaplarız. Bu ifade

1

i(i+ 1)=

1

i− 1

i+ 1

esitligi kullanılarak sadelestirilebilir.


Seriler

Cozum (devamı).

Boylece,

sn =

n∑i=1

1

i(i+ 1)=

n∑i=1

(1

i− 1

i+ 1

)=

(1− 1

2

)+

(1

2− 1

3

)+ · · ·+

(1

n− 1

n+ 1

)= 1− 1

n+ 1

bulunur. Buradan,

limn→∞

sn = limn→∞

(1− 1

n+1

)= 1− 0 = 1

elde edilir. Dolayısıyla, verilen seri yakınsaktır ve toplamı da

∞∑n=1

1

n(n+ 1)= 1 olarak bulunur.


Seriler

Ornek 22 (Harmonik Seri)∞∑n=1

1

nHarmonik Serisinin ıraksak oldugunu gosteriniz.

Cozum.

Bu seri icin s2, s4, s8, · · · kısmi toplamlarını hesaplarsak,

s2 =1 +1

2

s4 =1 +1

2+

1

3+

1

4> 1 +

1

2+

1

4+

1

4= 1 +

2

2

s8 =1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+

1

7+

1

8

>1 +1

2+

1

4+

1

4+

1

8+

1

8+

1

8+

1

8= 1 +

3

2

elde ederiz. Genel olarak, n = 1, 2, . . . icin s2n > 1 + n2 saglanır. Bu

esitsizlik, n→∞ icin s2n →∞ oldugunu gosterir. Buna gore {sn} serisiıraksaktır. Dolayısıyla, Harmonik Seri ıraksaktır.


Seriler

Teorem 23∞∑n=1

an serisi yakınsak ise limn→∞

an = 0 dır.

Not 1

Herhangi bir∑an sersisi bize iki dizi verir. Bu diziler, kısmi toplamlar

dizisi {sn} ve serinin terimlerinin dizisi {an} dir.∑an yakınsak ise {sn}

dizisi (serinin toplamı olan) s sayısına yakınsar. Boylece Teorem 23 den{an} dizisinin limiti 0 olur.


Seriler

Not 2

Teorem 23 un tersi genelde dogru degildir. limn→∞

an = 0 olması {an}

serisinin yakınsak olmasını gerektirmez. Ornegin,∑ 1

n Harmonik Serisinden→∞ icin an = 1

n → 0 olur. Ancak∑ 1

n serisi ıraksaktır.

Teorem 24 (Iraksaklık Testi)

limn→∞

an yoksa veya limn→∞

an 6= 0 ise∞∑n=1

an serisi ıraksaktır.


Seriler

Ornek 25∞∑n=1

n2

5n2 + 4serisinin ıraksak oldugunu gosteriniz.

Cozum.

Acıkca

limn→∞

an = limn→∞

n2

5n2 + 4= lim

n→∞

1

5 + 4n2

=1

56= 0

olur. Dolayısıyla, ıraksaklık testinden bu seri ıraksaktır.


Seriler

Not 3

limn→∞

an 6= 0 bulursak∑an serisinin ıraksak oldugunu biliyoruz. Ancak,

limn→∞

an = 0 ise∑an serisinin yakınsaklıgı veya ıraksaklıgı hakkında hicbir

sey soyleyemeyiz. Not 2 den, limn→∞

an = 0 ise∑an serisinin yakınsak ya

da ıraksak olabilecegini goruruz.

Teorem 26∑an ve

∑bn serileri yakınsak ise

∑can (burada c sabit bir sayıdır),∑

(an + bn) ve∑

(an − bn) serileri de yakınsaktır. Bu durumdaasagıdakiler saglanır.

1

∞∑n=1

can = c∞∑n=1

an.

2

∞∑n=1

(an + bn) =∞∑n=1

an +∞∑n=1

bn.

3

∞∑n=1

(an − bn) =∞∑n=1

an −∞∑n=1

bn.


Seriler

Not 4

Bir seride sonlu sayıda terim serinin yakınsaklık durumunu degistirmez.Ornegin,

∞∑n=4

nn3+1

serisinin yakınsak oldugunu bildigimizi varsayalım.

∞∑n=1

nn3+1

= 12 + 2

9 + 328 +

∞∑n=4

nn3+1

oldugu icin∑∞

n=1n

n3+1serisinin yakınsak oldugunu elde ederiz. Benzer

bicimde,∑∞

n=N+1 an serisinin yakınsak oldugu biliniyorsa,

∞∑n=1

an =N∑

n=1an +

∞∑n=N+1

an

serisi de yakınsak olur.


Integral ve Karsılastırma Testleri

Integral ve Karsılastırma Testleri

Genelde, serilerin toplamını tam olarak bulmak zordur. Bunu GeometrikSeri ve

∑ 1n(n+1) serisi icin basarabildik. Cunku bu serilerin her birinde n.

kısmi toplam sn icin basit bir formul bulabilmistik. Ancak genel olarak,limn→∞

sn limitini hesaplamak kolay degildir. Dolayısıyla, bu ve bundan

sonraki bolumde toplamını acık olarak bulmadan serinin yakınsak veyaıraksak oldugunu belirlemeye olanak saglayacak testler gelistirecegiz.

Bu bolumde sadece pozitif terimli seriler ile ilgilenecegiz. Bu nedenle,kısmi toplamlar dizisi artan bir dizi olacaktır. Monoton Dizi Teoremindenserinin yakınsak olmadıgını anlamak icin kısmi toplamlar dizisinin sınırlıolup olmadıgını incelemek yeterli olacaktır.


Integral ve Karsılastırma Testleri Integral Testi

Integral Testi

Teorem 27 (Integral Testi)

[1,∞) aralıgında surekli, pozitif, azalan bir f fonksiyonu verilsin vean = f(n) olsun.

∑∞n=1 an serisi ancak ve ancak

∫∞1 f(x)dx integrali

yakınsak ise yakınsaktır. Baska bir deyisle, asagıdakiler gecerlidir.

(a)∫∞1 f(x)dx integrali yakınsak ise

∑∞n=1 an serisi de yakınsaktır.

(b)∫∞1 f(x)dx integrali ıraksak ise

∑∞n=1 an serisi de ıraksaktır.

Not 5

Integral testini kullanmak icin serinin veya integralin n = 1 den baslamasıgerekli degildir. Ornegin,

∑∞k=4

1(n−3)2 serisi icin

∫∞4

1(x−3)2dx integralini

kullanırız. f fonksiyonunun her yerde azalan olması da gerekli degildir.Onemli olan, f fonksiyonunun belli bir yerden sonraki bir N sayısındanbuyuk tum x degerleri icin azalan olmasıdır. Bu durumda,

∑∞n=N serisi

yakınsaktır ve Not 4 den∑∞

n=1 serisi de yakınsaktır.



Ornek 28

p nin hangi degerleri icin∞∑n=1

1

npserisi yakınsaktır?

Cozum.

Acıkca, p < 0 ise limn→∞

1np =∞ olur ve p = 0 ise lim

n→∞1np = 1 olur. Her iki

durumda da limn→∞

1np 6= 0 oldugu icin Iraksaklık Testinden verilen seri

ıraksaktır.p > 0 ise f(x) = 1

x fonksiyonu [1,∞) aralıgında surekli, pozitif veazalandır.∫∞1

1xpdx integralinin p > 1 yakınsak ve p ≤ 1 icin ırsaksak oldugunu

bulmustuk.Integral Testine gore

∑∞n=1

1np serisi p > 1 icin yakınsak ve 0 < p ≤ 1 icin

ıraksaktır. (p = 1 icin bu seri Harmonik Seridir)



Onceki Ornekteki seriye p-serisi denir. Ileride kullanmak icin Ornektekisonucu asagıdaki gibi ozetleyebiliriz.

∞∑n=1

1

npserisi p > 1 icin yakınsak ve p ≤ 1 icin ıraksaktır.


Integral ve Karsılastırma Testleri Karsılastırma Testi

Karsılastırma Testi

Teorem 29 (Karsılastırma Testi)

Pozitif tanımlı∑an ve

∑bn serilerini goz onune alalım. Bu durumda

Asagıdakiler gecerlidir.

• ∑ bn yakınsak ve her n icin an ≤ bn ise∑an yakınsaktır.

• ∑ bn ıraksak ve her n icin an ≥ bn ise∑an ıraksaktır.

Not 6

Karsılastırma testindeki an ≤ bn veya an ≥ bn kosulunun her n icinsaglanması gerektigi verildigi halde belirli bir sabit N tamsayısından buyuktum n sayıları icin dogru olması testi uygulayabilmek icin yeterlidir. Cunkusonlu sayıda terim yakınsaklık-ıraksaklık durumunu degistirmez.



Ornek 30∞∑n=1

52n2+4n+3

serisinin yakınsak olup olmadıgını belirleyiniz.

Cozum.

Buyuk n degerleri icin paydadaki baskın terim 2n2 dir. Dolayısıyla, verilenseriyi

∑ 52n2 serisi ile karsılastırabiliriz. Simdi,

52n2+4n+3

< 52n2

esitsizligi dogrudur cunku sol tarafın paydası daha buyuktur.

∞∑n=1

52n2 = 5

2

∞∑n=1

1n2

serisinin yakınsak oldugunu biliyoruz (p = 2 > 1 olan p-serisi). Bu nedenle

Karsılastırma Testinden∞∑n=1

52n2+4n+3

serisi de yakınsaktır.



Ornek 31∞∑n=1

ln(n)

nserisinin yakınsak olup olmadıgını inceleyiniz.

Cozum.

Bu seri icin integral testini kullanabiliriz. Ancak, burada Harmonik Seri ilekarsılastırma yaparak inceleyecegiz. Her n ≥ 3 icin ln(n) > 1 oldugundan

ln(n)

n>

1

n, n ≥ 3

bulunur.∑ 1

n serisinin ıraksak oldugunu biliyoruz (p = 1 olan p-serisi).Dolayısıyla Karsılastırma Testinden verilen seri ıraksaktır.


diziler sonsuz diziler ve serilerkisi.deu.edu.tr/cem.celik/files/1010_hafta_01.pdf · diziler biz...

Documents