diziler ve seriler

8/14/2019 Diziler ve Seriler

1/24

Amalar

Bu niteyi al t ktan sonra; dizi kavram n tan yacak, dizilerin yak nsakl n arat rabilecek, sonsuz toplam n anlam n bilecek, serilerin yak nsakl n arat rabilecek, baz serilerin toplam n bulabileceksiniz.

indekiler

Giri 181

Diziler 181 Seriler 186 Pozitif Terimli Serilerin Yak nsakl 191 Alterne Seriler ve Mutlak Yak nsakl k 195 Deerlendirme Sorular 197

NTE

7Diziler ve SerilerYazarProf .Dr. Vak f CAFEROV


2/24

A N A D O L U N V E R S T E S

al ma nerileri

nitedeki kavramlar

, tan

mlar

, testleri iyi reniniz zmleri verilmi rneklerin zmlerini iyice inceleyiniz Herhangi bir dizi, seri rnekleri al p onlar n yak nsakl n

arat rmaya al n z.


3/24

A I K R E T M F A K L T E S

1. Giri

Cebir kurallar ile ancak sonlu tane say y toplayabiliriz. Buna kar l k matematiktesonsuz say da say n n "toplam " ile de s k s k kar lamaktay z. rnein, sa-y -ss n n ondal k a l m

gibi bir sonsuz toplamd r.

Byle bir toplama seri kavram ile anlam kazand r lm t r. Bu nitede seri kavramile, serilerle ok yak ndan alakal olan dizi kavram n inceleyeceiz.

2. DizilerTan m kmesi IN doal say lar kmesi, deer kmesi ise IR gerel say lar kmesiolan bir fonksiyonadizi denir. Dizinin verilebilmesi iin her 1, 2, ..., n, ... doalsay lar na x1 , x2 , ...., xn , ... gibi gerel say lar n kar getirilmesi gerekmektedir. x1 , x2 ,... .. say lar na dizinin terimleri, n ye bal bir ifade olan xn ye ise diziningenelterimi denir. Diziler ya x1 , x2 , x3 ,....gibi veya xn genel terimini parantez iine alarak {xn} veya (xn) gibi de gsterilebilir.

rnek: 1) dizisinin genel terimi dir. Bu nedenle, dizi

ekilnde gsterilir. Bu dizinin, rnein 8. ci terimi

2) -1, 1, -1, 1, ... dizisinin genel terimi xn= (-1)n dir. Buna gre, dizi k saca ((-1)n)eklinde gsterilir.

3) dizisinin genel terimi Bu nedenle, dizi eklinde

gsterilir.

4) a ve d gerel say lar olmak zere,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...

dizisinin genel terimi xn= a + (n - 1) d dir. Byle ifade edilebilen bir diziyearit-metik dizi , d say s na da dizinin ortak fark denir.

(a + (n - 1) d) aritmetik dizisinde ard k (birbirini takip eden) herhangi iki terimaras ndaki fark n daima sabit olup d ye eit olduuna dikkat ediniz.

D Z L E R V E S E R L E R 181

12

, 14

, 18

, ... xn = 12n

x8 = 128 = 1256 d r.

1, 12

, 13

, 14

, ... xn =1n dir.

13

13

= 0, 333 ... =310

+ 3102

+ 3103

+ ...

12n

1n


4/24


5) a ve q, q 0, gerel say lar olmak zere

a, aq, aq2 , aq3 , ...

dizisinin genel terimi xn = a .qn-1 dir. Byle bir diziyegeometrik dizi, q say s na dadizinin ortak arpan denir.

(aqn-1) geometrik dizisinde ard k herhangi iki terimin oran daima sabit olupq ya eittir.

6) say s n n yakla k deerlerini gsteren

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205, ......

rasyonel say lar da bir dizi oluturur. nceki rneklerden farkl olarak bu diziningenel terimini bir formlle ifade etmek mmkn deildir.

7) Yar ap r olan bir daire iine izilmi dzgn n-kenarl n n (n-gen) evresininPnuzunluu forml ile hesaplan r. Buna gre, bu dairenin iineizilmi dzgn gen, drtgen, begen, ... lerin evre uzunluklar

gibi bir dizi oluturur.

Aa daki dizilerin genel terimlerini yaz n z.

Cevaplar n z olmal yd .

Bir (xn) dizisinde n bydke, dizinin terimleri belli bir a say s na istenildii ka-dar yakla yorsa, (xn) dizisi a say s na yak ns yor denir. Bu durumu matematik dille ve daha kesin olarak ifade etmeden nce bir hat rlatma yapal m: matematikte,s f ra istenildii kadar yak n olabilen pozitif say lar, (epsilon), (delta) , ... gibiharflerle gsterilirler.

(xn) dizisi verilsin. Eer her > 0 iin yle bir n0 doal say s bulunabiliyor ve nnin n0 dan byk tm deerleri iin |xn - a| < eitsizlii salan yorsa, o zamana say s na (xn) dizisinin limiti denir ve

D Z L E R V E S E R L E R182

3

Pn = 2nr sinn

6r sin3

, 8r sin4

, 10r sin5

, ...

1) 13

, 24

, 35

, 46

, ... 3)12

, 24

, 38

, 416

, ... 2) -1, 1

2, -1

3, 1

4, ... 4) -1

3!, 16!

, - 19!

, 112!

, ...?

xn = nn + 2

, 2) xn =(-1)n

n , 3) xn =n2n

ve 4) xn = (-1)n

3n !

a = xnlimn veya xn a


5/24


eklinde gsterilir ("lim" sembol latince "limes" sznden kaynaklan p limit anla-m ifade etmektedir). Bu durumda(xn) dizisi a ya yak ns yor da denir. Eer birdizi herhangi bir limite yak ns yor ise, bu diziyeyak nsak dizi , hi bir limite yak n-sam yorsa raksak dizi denir.

Mutlak deerin zelliklerine gre, |xn - a| < eitsizlii - < xn - a 0 verilsin. O zaman

Buna gre eer, al rsak o zaman n > n0

eitsizliini salayan tm n ler iin

Yukar daki rnee benzer olarak dizisinin de limitinin s f r olduugsterilebilir. Fakat bu dizide s f ra yaklama h z daha yksektir. rnein,

(xn) = ( (-1)n) dizisi ise raksakt r. nk n nin tek veya ift olmas na bal olarak n bydke xn hem -1 hem de 1 deerleri almaya devam eder. Yani tek indisliterimler 1 e, ift indisli terimler -1 e yaklamaz. Dolay s yla ne -1 ne de 1 limit olmad - gibi baka bir say da bu dizinin limiti olamaz.


xn

a( )

a + a -

xn = 1n

xn = 1

nxn - a 1

.

n0 = 1

+ 1 , 1

nun tam de eri art 1

xn - a = 1n - 0 < olur.

xn = 12n

1n iin x5 = 0, 2 ; x10 = 0, 1 iken, 12n iin x5 = 132 = 0, 03125,

x10 0, 001 olur.


6/24


Bu kitab n amac d ndaki yntemlerle dizisinin yak nsak oldu-unu ispatlamak mmkndr. Bu dizinin limitine, 1. ve 5. nitelerde de szn etti-

imiz e say s denir:

Dizilerin yak nsak olduunu tan mdan hareketle gstermek zor olabilir. Bu du-rumlarda aa daki nermeler yararl olabilir.

1) (xn) dizisi yak nsak ise limiti tektir.

2) (xn) dizisi yak nsak ise s n rl d r, yani yle bir M say s vard r ki tm n leriin |x n| M salan r.

3) (xn) ve (yn) yak nsak dizileri verildiinde eer her n iin xn yn ise o za-

man

dir.

4) (xn) ve (yn) yak nsak dizileri verildiinde xn yn , xn . yn dizileri de yak n-sakt r ve

dir. Son eitlikte yn = c sabit dizisini al rsak, o zamaneitlii kar. Baka deyile sabiti limit iareti d na

karmak mmkndr.

5) (xn) ve (yn) yak nsak ve ise o zaman dizisi de yak nsakt rve


xn ynlimn = xnlimn ynlimn

xn . ynlimn = xnlimn . ynlimn

cnlimn = c xnlimn

xnlimn ynlimn

xnyn

1) xn = nn+ 1

dizisinin limitinin 1 olduunu gsteriniz . 2) xn = -1

n

n dizisinin limitinin 0 olduunu gsteriniz .?

xn = (1 +1n)n

1 +1nn

= e .limn

ynlimn

xnyn

limn =xnlimn ynlimn


7/24


6) (xn), (yn) ve (zn) dizileri verilsin ve her n iin zn xn yn eitsizlii sa-lanm olsun. Eer (yn) ve (zn) dizileri ayni limite yak nsar ise (xn) diziside yak nsakt r ve

dir.

Bu nermeler tan mdan yararlanarak ispatlanabilir, fakat ispatlar zerinde dur-mayaca z.

rnek:1) 2)

limitlerini hesaplay

n

z.zm:1) kesrinde pay ve payday n2 ile blersek

olduklar ndan

2) ifadesini ile arp p blersek

olur.


2n2 + 3n -1n2 - n + 2

limn =

2 +3n -1n2

1 -1n +2n2

=2 +3n -

1n2

limn

1 -1n +2n2

limn

limn =

2 + 0 - 01 - 0 + 0

= 2 bulunur.

n2 + 1 + n

n2 + 1 - n = n2 + 1 - n n2 + 1 + n

n2 + 1 + n= n

2 + 12

-n2

n2 + 1 + n=

= n2 + 1 - n2

n2 + 1 + n= 1

n2 + 1 + n

1limn = 1, 2limn = 2,

3

n= 3. 1

n= 3.0 = 0, 1

n2= 1

n. 1

n lim

n limn = 0.0 = 0,limn limn limn

1n limn = 0,

2n2

limn = 2.

1n2

limn = 0

xnlimn = ynlimn = znlimn

2n2 + 3n -1n2 - n + 2

=2 +3n -

1n2

1 -1n +2n2

olur. O zama

2n2 + 3n -1n2 - n + 2

limn n

2 + 1 - nlimn

2n2 + 3n -1n2 - n + 2

n2 + 1 - n

n2 + 1 > n olduunda 1n2 + 1 + n

< 12n


8/24


olur. Dolay s yla

elde edilir.

olur.

Not: Iraksak olduu halde limitinden sz etmenin yararl olduu diziler vard r.(xn) dizisi verilsin. Eer yeterli derecede byk her M > 0 iin bir n0 doalsay s varsa ve n > n0 eitsizliini salayan tm n ler iin xn > M oluyorsa, o za-man (xn) dizisinin limiti sonsuzdur denir ve

eklinde gsterilir. Eer (-xn) dizisinin limiti ise (xn) dizisinin limiti -dur denirve gibi gsterilir.

rnein, dizilerinin limiti dur.

Yukar daki dizilerin limitinin olduunu gsteriniz.

3. Seriler

Bir (xn) dizisi verilsin. Bu dizinin ilk n tane teriminin toplam olan x1 + x2 + ... + xn

ifadesi sembolik olarak gibi yaz l r. Buradaki (sigma) harfi bu tr top-

lamlar k sa olarak yazmak iin kullan l r. k ya toplama indisi denir ve k indisi yerine

baka indisin kullan lmas sonucu etkilemez. rnein,

yaz labilir.iareti matematikde ok kullan l d r ve ok zaman uzun ifadelerin ya-z l m n k saltmaya imkan verir.


n , n2 + 1n ,n!

10n

xk k = 1

n

1 + 2 + 3 + . . . + 999 + 1000 = k k= 1

1000= m = n

n= 1

1000,

m= 1

1000

1 +12

+13

+ . . . +149

+ 150

= 1k

k= 1

50= 1

i

i= 1

50= 1n n= 1

50

n2 + 1 - nlimn = 0

n2 + 1 - n = 1n2 + 1 + n

< 12n

0 < n2 + 1 - n


9/24


imdi (xn) dizisinin sonlu tane eleman n deil de tm elemanlar n "toplayal m".

x1 + x2 + ... + xn + ...

sonsuz "toplam na" seri denir. Sigma gsterimi yard m ile bu seri gibigsterilir.imdi sonsuz say da gerel say n n toplam na anlam kazand rmak iin

serisinden yeni (sn) dizisini elde edelim:

s1 = x1 , s2 = x1+ x2 , s3 = x1+ x2 + x3 , ... , sn = x1 + x2 + .... + xn , ...

Eer (sn) dizisi yak nsak olup limiti a ise serisineyak nsak seri denir ve

gibi yaz l r. a say s na serinin toplam da denilir.

Eer (sn) dizisi raksak ise serisine raksak seri denir.

x1 , x2 , ... say lar na serinin terimleri, xnye genel terimi, (sn) dizisine serinink s-mi toplamlar dizisi denir.

Grld gibi sonsuz say da gerel say n n "toplam ", sonlu say dakilerin toplam-lar n n bir limiti olarak tan mlanmaktad r.

Eer (sn) dizisinin limiti ise serisi raksak olmas na ramenyaz l m kullan l r.

rnek: geometrik diziden elde edilen, serisinin yak nsak ol-

duunu gsteriniz.

zm:Bu serinin k smi toplamlar dizisini grelim:

sn toplam n n

ifadesine eit olduu gsterilebilir. Dolay s yla

olur.


xn = 13

n

s1 =13

, s2 =13

+ 132

, . . . , sn =13

+ 132

+ . . . +13n

; . . .

13

.1 - 1

3n

1 -13

sn =12

1 - 13

n

xnn = 1

=

xnn = 1

xnn = 1

xnn = 1

xnn = 1

= a

xnn = 1

xnn = 1

13

n

n = 1


10/24


olduu da kolayca gsterilebilir. Buna gre,

(sn) dizisi yak nsak olduundan verilen seri yak nsakt r ve toplam

a ve q gerel say lar ve q 1 olmak zere

olduunu gsteriniz.

q gerel say s 0


11/24


eitliklerini taraf tarafa toplarsak,

elde edilir. Dolay s yla

Buna gre, seri yak nsak olup toplam 1 dir.

nerme: Eer serisi yak nsak ise

spat: K sm toplamlar iin

sn-1 = x1 + x2 + ... + xn-1 , sn = x1 + x2 + ... + xn -1+ xn

yaz labilir. Buradan xn = sn - sn-1 olur. Seri yak nsak olduundan (sn) ve (sn-1) di-zileri serinin toplam olan ayn a say s na yak nsarlar. Buna gre,

Yukar da yak nsak olduklar n gsterdiimiz

serilerinde genel terimler

dizilerinin limitlerinin s f r olduunu grmek zor deildir.

Yukar daki nermeye gre serisinin yak nsakl iin

gerekli kouldur. Yani bu koul salanm yorsa seri kesin olarak raksakt r. Ancak

bu koul yeterli olmayabilir: Genel terimi s f ra yaklaan seri raksak olabilir. Bunu

aa daki rnekte grebiliriz.

rnek: Harmonik seri denilen

serisinin raksak olduunu gsteriniz.


xnn = 1

xnlimn = 0 d r.

xnlimn = sn - sn - 1 = snlimn - sn - 1limn = a - a = 0 .limn

13

n

n = 1

ve 1n n + 1

n= 1

xn = 13

nve xn = 1

n n + 1dir. 1

3n

ve 1n n + 1

xnlimn = 0 koulu xnn = 1

1n = 1 +

12

+ . . . +1n + . . .n = 1

11 . 2

+ 12 . 3

+ 13 . 4

+ . . . + 1n n + 1

= 1 -12

+ 12

- 13

+ 13

- 14

+ . . . +1n

- 1n + 1

= 1 - 1n + 1

sn = 1 - 1n + 1

dir ve

snlimn = 1 -1

n + 1limn = 1 - 0 = 1 olur.

11 . 2

+ 12 . 3

+ . . . + 1n n + 1

+ . . . = 1


12/24


zm:nce her n IN iin olduunu kolayca grebi-

liriz. (bunun iin kesirlerinin yerine onlardan kk kesrini

yazmak yeterlidir) Buna gre sn k smi toplamlar iin aa dakileri yazabiliriz.

d r.

Buradan pozitif terimli dizinin alt dizisinin limiti

lduundan olduu sonucuna var yoruz. O zaman serisi

raksak olup

Sonuta olmas na ramen serisi raksakt r.

Not: 1) Seride toplama indisinin 1 den balamas mecburi deildir. rnein, ayn

serisi gibi de yaz labilir.

2) Her gerel a say s n n a= c0 , c1 c2 ... gibi devirli veya devirsiz sonsuz ondal k kesirle yaz l m n n mmkn olduunu biliyoruz. Bu yaz l m asl nda bir seriden baka bir ey deildir:

rnein,

dir.


s22 = s4 = s2 +13+1

4> 1

2+1

2= 2.1

2

s23 = s8 = s4 +15

+16

+17

+18

> 2.12

+12

= 3.12

s24 = s16 = s8 +19+ 1

10+ . . . +1

16> 3.1

2+1

2= 4.1

2

s2k > k.12

1k + 1k = 0

, 1m - 1, . . .m = 2

1n + 1

+ 1n + 2

+ . . . +12n

> 12

1

n + 1, 1

n + 2, . . . 1

2n

s2 = 1 +12

> 12

s2k = limk olur. sn s2k

sn = limn

1nlimn = 0

1nn = 1

.

.

.

1nn = 1

= dur

1nn = 1

1nn = 1

a = c0 , c1 c2 . . . = c0100

+ c1101

+ c2102

+ . . .

13

= 0,3333 ... =310

+ 3102

+ 3103

+ ... + 310n

+ ...


13/24


Aa daki serilerin toplamlar n bulunuz:

Cevaplar n z

rnek: 1000 litrelik bir su deposu, nce 1 litre, sonra litre, ... , litre, .. . sual narak boalt labilir mi?

zm:Boalt lan su miktar

litredir. Bu serinin toplam olduundan depo sonlu ad mda boalt labilir.

rnek:30 litrelik bir su deposu, nce litre, sonra litre, ... , litre, .. . sual narak boalt labilir mi?

zm:Boalt lan su miktar

litredir. Bu serinin toplam

olduundan, depo, bu yolla, sonlu ad mda fiilen boalt lamaz.


4. Pozitif Terimli Serilerin Yak nsakl

Bir serinin yak nsakl n n arat r lmas ile serinin yak nsak olmas halinde topla-m n n bulunmas seri konusunun nemli iki problemidir. Serilerin yak nsakl narat rmak iin eitli testler vard r. Biz bu kesimde pozitif terimli serilerin yak n-sakl n arat rmada kullan l an baz testleri ele alaca z.

serisi verilsin. Eer her n iin xn> 0 ise bu seriyepozitif terimli seri denir.


? 1)

15

n

n = 1

2) 1

n n+ 5n = 1

14

ve 137300

olmal d r.

ln 1 +1nn = 1

12

1n

1 +12 +13 + ... +1n + ... = 1nn = 1

302

3022

302n

302 +

3022 + ... +

302n + ... =

302nn = 1

302n

n = 1

= 30 12n

n = 1

= 30. 1 = 30

?

xnn = 1


14/24


Pozitif terimli bir serinin yak nsakl veya raksakl n bu seriyi, yak nsakl veya raksakl bilinen baka seri ile kar lat rarak sylemek mmkn olur.

Kar lat rma testleri

pozitif terimli serileri verilsin.

1) yle bir n0 IN bulunsun ki n > n0 deerleri iin xn yn eitsizlii sa-lanm olsun. O zaman:

serisi yak nsak ise de yak nsakt r.

serisi

raksak ise de

raksakt

r.

2) Eer limiti mevcut olup pozitif bir say ya eitse, o zaman bu iki seri

ayn zamanda yak nsak veya raksakt r.

rnek:

serilerinin yak nsak olup olmad n arat r n z.

zm:

geometrik serisi yak nsak olduundan, kar lat rma testine gre, serisiyak nsakt r.

2)

eitsizlii her n iin doru ve harmonik serisi raksak olduundan

kar lat rma testine gre serisi de raksakt r.


xnyn

limn

1n!

n = 1

ve 1nn = 1

1) 1n !

= 11 . 2. 3 . . . n

12n - 1

olduundan

xn = 1

n !, yn = 1

2n - 1al rsak xn yn olur.

1

2n - 1

n = 1

= 12

n - 1

n = 1

xnn = 1

ve ynn = 1

1n

1n

ynn = 1

xnn = 1

xnn = 1

ynn = 1

1n!

n = 1

1nn = 1

1nn = 1


15/24


rnek:


zm:Bu seriyi raksak serisi ile kar lat ral m.

olmak zere,

dir. Bu durumda 2). kar

lat

rma testine gre serisi

raksakt

r.

serisinin yak nsak olduunu gsteriniz.

serisi verilsin.

Eer 0 1 ise serisi yak nsakt r.

rnein serisinde = 2 > 1 olduundan seri yak nsakt r. Buna kar l k,

serisinde olduundan bu seri raksakt r.

rnek: serisinin yak nsakl n art r n z.

zm:Bu serinin genel teriminin paydas n n derecesi dir.

Bu seri ile serisini kar lat ral m.2). kar lat rma testini uygulayal m.


?

xnyn

limn =1

2n - 1:1n =

n2n - 1

limn =1

2 - 1/nlimn =

12 - 0

=12

> 0limn

12n - 1

n = 1

= 1 +13

+15

+ . . . + 12n - 1

+ . . .

12n- 1 2n

n = 1

12n - 1n = 1

1nn = 1

xn = 12n - 1

, yn =1n

IR+ olmak zere 1n

n = 1

1n

n = 1

1n

n = 1

1n2n = 1

1n

3n = 1

= 13

< 1

1n n + 2

n = 1

3

21

n n + 2= 1

n1/2 n + 2= 1

n3/2 + 2n1/2olduuna dikkat ediniz.

1n3/2

n = 1

1n n + 2

1n3/2

limn =n3/2

n3/2 1 +2n

= 11 +2n

limn = 1limn


16/24


dir. Buna gre, yak nsak olduundan serisi

yak nsakt r.

rnek: serisinin yak nsakl n arat ral m.

zm:

olduundan bu seriyi serisi ile kar lat ral m.

2). kar lat rma testine gre, serisi raksak olduundan

serisi raksakt r.

Cauchy testi

pozitif terimli serisi verilsin. Eer limiti varsa ve 1 den kk-

se o zaman bu seri yak nsak, 1 den bykse raksakt r.

D'Alambert oran testi

Eer pozitif terimli serisinde limiti varsa ve 1 den kkse

bu seri yak nsak, 1 den bykse raksakt r.

Cauchy ve D'Alambert testleri verilen serileri geometrik serilerle kar lat rmayadayan r.

rnek:

serilerinin yak nsakl n arat r n z.


1n3/2

n = 1

= 3

2> 1 , 1

n n + 2

n = 1

n2n +

n = 1

n2n + 3

= nn 2 +3n

= 1n 2 +3n

1nn = 1

n

2n + 31n

limn = n2n + 3. n1 = n2n + 3limn limn

= 12 +3n

limn =1

2 + 0=1

2.

1nn = 1

= 1

2< 1

n2n +

n = 1

xnn = 1

xnnlimn

xnn = 1

xn + 1 xn

limn

1) 1ln n n

n = 2

2) 3n

n + 1 !

n = 1


17/24


zm:

olduundan Cauchy testine gre seri yak nsakt r.

olduundan seri yak nsakt r.

serisinin yak nsakl n arat r n z.

Cevab n z "seri yak nsakt r" olmal yd .

Pozitif terimli seri ya yak nsakt r ya da toplam dur. Tm terimleri negatifolan serilerin yak nsakl ise pozitif terimli serilerin yak nsakl n n bir sonucu

olarak incelenebilir.

Pozitif terimli serilerde veya ise kk testi ve oran testiile karar verilemez. Baka testleri denemek gerekir.

5. Alterne Seriler ve Mutlak Yak nsakl kHer n IN iin xn > 0 olmak zere,

eklindeki bir seriyealterne seri denir. rnein,

serileri alterne serilerdir. Bu tr serilerin yak nsakl iin Leibniz kural geerlidir.


1) xnn = 1ln n n

n= 1

ln n,

xnn

limn = 1ln nlimn = 0 < 1

2) xn = 3n

n + 1 !, xn+1 = 3

n+1

n + 2 !

xn+1xn

limn =3n+1

n + 2 !limn :

3nn + 1 !

= 3n+1 . n + 1 !3n . n + 2 !

limn =

3. 3n. n + 1 !

3n

. n + 1 ! n + 2limn =

3

n + 2= 0 < 1limn

n3n

n = 1

?

xnnlimn =xn + 1

xnlimn

x1 - x2 + x3 - x4 + ... + -1n+1 xn + ... = -1n + 1 xnn = 1

1 -12

+13

- 14

+ ... + -1n+1 1n + ...

1 - 12

+ 13

- 14

+ ... + -1n+1 1n

+ ...


18/24


Leibniz Kural

xn > 0 olmak zere alterne serisinde, eer ve her

n IN iin xn+1 < xn ise o zaman bu alterne serisi yak nsakt r.

rnein, yukar da rnek olarak verdiimiz her iki alterne seri bu kurala gre ya-k nsakt rlar. nk

dir.

rnek:

alterne serilerinin yak nsak olup olmad n arat r n z.

zm:

nk tek indisli terimler 1 e yak nsarken ift indisli terimler -1 e yak nsarlar.Serinin genel terimi s f ra yak nsamad ndan seri raksakt r.

olduundan Leibniz Kural na gre seri yak nsakt r.

serisi verilsin. (Bu serinin terimleri hem pozitif, hem de negatif olabilir). Eer te-rimlerin mutlak deerlerinden oluan

serisi yak nsak ise serisinemutlak yak nsak seri denir.

Eer serisi yak nsak fakat mutlak yak nsak deilse bu seriyekoullu

(artl ) yak nsak seri denir.

nerme: Eer serisi mutlak yak nsak ise yak nsakt r.


2) 1ln n

limn = 0 ve1

ln n + 1< 1

ln n

x1 + x2 + ... + xn + ... = xn n = 1

-1 n + 1 xnn = 1

1nlimn = 0 ,

1n

limn = 0 ,1

n + 1< 1n ve

1n + 1

< 1n

1) -1n + 1

n + 2nn = 1

2)-1 n + 1

ln nn = 1

1) Serinin genel terimi olan -1n+1 n + 2n dizisinin limiti yoktur.

x1 + x2 + ... + xn + ... = xn n = 1

xnn = 1

xnn = 1

xnn = 1

xn = 0limn


19/24


rnek:

serisi mutlak yak nsakt r. nk mutlak deerlerden oluan

serisi yak nsakt r.

serisi mutlak yak nsak deil fakat koullu yak nsakt r. nk serinin kendisi ya-k nsak iken terimlerin mutlak deerlerinden oluan seri, harmonik seri olup rak-sakt r.

Deerlendirme Sorular

1.

2.

A. -1B. 0C. 1D. 2E. 3

3.

A. -1B. 4/3C. 2D. 3E. 4


1) 13

-19

+ 127

- 181

+ ... + -1n+1

3n+ ...

13

+19

+ 127

+ ... +13n

+ ...

2) 1 -12

+13

- 14

+ ... + -1n+1

n + ...

0, 14

, 26

, 38

, ... dizisinin genel terimi aa dakilerden hangisidir?

A. n - 1n B. n +

2n C. n +2n D. n - 1

2n E. n - 2

2n

n - n -1limn limiti aa dakilerden hangisidir?

4n - -1n

2n + 3limn limiti aa dakilerden hangisidir?


20/24


4.

A. -1

B.C. 0D. 1E. 2

5. Aa daki dizilerden hangisi yak nsakt r?

6. lk terimi 5, ortak fark (-3) olan bir aritmetik dizinin ilk drt teriminin top-lam kat r?

A. 0

B. 1C. 2D. 3E. 4

7. lk terimi 1, ortak arpan 3 olan bir geometrik dizinin ilk 10 teriminin top-lam kat r?

A. 29524B. 31086C. 33414D. 36213E. 41476

8. lk terimi 1, olan bir geometrik dizinin 11. terimi 1024 olduuna gre, dizi-nin ortak arpan kat r?

A. 2B. 4C. 8D. 12

E. 16


a sabitinin hangi deerinde an2 + n - 1n dizisi yak nsakt r?

- 12

A. 1 + -1n

n B. -13n + 1

C. -1nn D. -1

n n + 1n + 3

E. n + -1nn


21/24


9. Bir (xn) dizisi yak nsak ise aa daki dizilerden hangisi yak nsak olmayabilir?

10.

11. Aa dakilerden hangileriher zaman dorudur?


A. 3xn B. xn2 C. 1xn D. xn

xn2 + 1 E. 2xn - xn2

37

n

n = 3

serisinin toplam kat r?

A. 74 B. 27

28 C. 4

7 D. 27

196 E. 9

196

i) xnn = 1

yak nsak ise xn = 0limn d r.

ii) xn = 0limn ise xnn = 1

yak nsakt r.

iii) xnn = 1

yak nsak ise xnn


22/24


12.

13. Aa daki serilerden hangisi raksakt r?

14. Aa daki serilerden hangisi koullu yak nsakt r?


qnn = 1

serisinin yak nsak olduu q gerel say lar n n en genikmesi

aa dakilerden hangisidir?

A. - , B. - , 0 C. 0, D. -1, 1 E. 0, 1

A. -1nn

n = 1

B. 1n2

n = 1

C. -1n2

n

n = 1

D. 3n + 12n + 2

n = 1

E. 4n + 3n3 + 1

n = 1

A. -1n2

n

n = 1

B. -1nn

n3 + 1

n = 1

C.-1n

n

n = 1

D. -1n n

5n + 1

n = 1

E. -1n+ 1nn = 1


23/24


15.

De erlendirme Sorular n n Yan tlar

1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. C 7. A 8. A 9. C 10. D11. B 12. D 13. D 14. C 15.B


1n n + 2

n = 1

serisinin toplam aa dakilerden hangisidir?

A. 12

B. 3

4 C. 1 D. 4

3 E. 2


24/24


Yararlan lan ve Ba vurulabilecek Kaynaklar

Demana F., Waits B. K., Precalculus, Addison- Wesley Publishing Com., NewYork, 1990.

Gaughan E. D., Hall C. E., College Algebra and Trigonometry, Brooks/Cole Pub-lishing Com., Monterey, 1984.

GM., Koak , Tayfur C., reyen M., Matematik I (Diferansiyel Hesap), BizimBro Bas mevi, Ankara, 1984.

G M., Koak , Tayfur C., reyen M., Matematik I (ktisadi Uygulamal ) Bi-

zim Bro Bas

mevi, Ankara, 1986.Koak ., reyen M., GM., Olgun., Grgl A., Genel Matematik Fasikl 1,

A kretim Fakltesi Yay nlar No: 115, Eskiehir, 1990.

G M., Koak , Tayfur C., reyen M., Matematik Fasikl 1, A kretim Fa-kltesi Yay nlar No: 58, Eskiehir, 1986.

Larson R. E., Hostetler R. P., Edwards B. H., Brief Calculus, D.C. Heath and Com.,Lexington, 1995.

Musser G.L., Burger W. F., Mathematics for Elementary Theachers, Prentice Hall,New Jersey, 1994.

Saban G., Analize Giri , . . Fen Fakltesi Bas mevi, stanbul, 1989.

202

diziler ve seriler

Documents