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DÍZIMA PERIÓDICA
Def.: Chamamos de dízima periódica ao númerodecimal, no qual, após a vírgula, exista(m) algarismo(s)(nem todos nulos) que se repete(m) infinitamente, ouseja, de forma periódica.
1
2
3
:
::
Ex
Ex Ex
REPRESENTAÇÃO DE UMA DÍZIMAPERIÓDICA
4
5
6
:
:3,121212... 3,12
:1,3555... 1,35
Ex
Ex
Ex
PERÍODO E ANTEPERÍODO
Def.: Chamamos de período ao número que serepete infinitamente.
Def. Chamamos de anteperíodo (quando existir)ao número que vem logo após a vírgula, mas que nãose repete infinitamente.
Em outras palavras, anteperíodo é o número quefica entre a vírgula e o período.
7 : . Ex Note que neste caso o
anteperíodo é o número e o período é o número 8 : 3,14121212... 3,1412. Ex Note que neste caso o
anteperíodo é o número e o período é o número
DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES ECOMPOSTAS
Def.: Chamamos de dízima periódica simplesquando, logo após a vírgula, vier o período.
9 :0,232323... 0,23 Ex
Def.: Chamamos de dízima periódica compostaquando, logo após a vírgula, vier um número que não éo período, para depois vir o período.
10 : , 4121212... 3, 412. Ex
GERATRIZ
Def.: Chamamos de geratriz a fração geradorade uma dízima periódica.
11
12
: 0, 222... 0, 2
: 0, 2555... 0, 25
Ex
Ex
Notem que as frações
e
são as
respectivas frações geradoras das dízimas periódicas
0, 2 e 0,25. Obs.: Toda dízima periódica é possível
encontrar sua geratriz, portanto toda dízima periódica éum número racional.
ENCONTRANDO A GERATRIZ...
Para encontrar a geratriz de uma dizima periódica vamos separar as dízimas em 4 casos:
Caso I: A parte inteira é zero e a dízima ésimples:
A geratriz será formada pela fração onde onumerador é composto pelo período e o denominadorserá composto por tantos 9́ s quanto for o número dealgarismos do período.
9´.
999...9terá tantos s quantos os números
de algarismos do período
período
13
14
1:
3
:
Ex
Ex
Caso II: A parte inteira não é zero e a dízimaé simples:
Separamos a parte inteira da parte decimal
periódica para encontrar a geratriz da dízima periódica,separadamente e depois somamos a parte inteira com ageratriz encontrada.
15
16
1 3 1 4: 1
3 3 3
297 13 310:
99 99
Ex
Ex
Caso III: A parte inteira é zero e a dízima écomposta:
A geratriz será formada pela fração onde onumerador é composto pelo anteperíodo seguido do
período menos o anteperíodo e o denominador serácomposto por tantos 9́ s quanto for o número dealgarismos do período e por tantos 0́ s quanto for onúmero de algarismos do anteperíodo.
9´ 0´. .
999...9 000...0terá tantos s quantos os números terá tantos s quantos os números
dealgarismos do período dealgarismos doanteperíodo
anteperíodo período anteperíodo
17
18
21 7:
90 30
125250 501:
999000 3996
Ex
Ex
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Caso IV: A parte inteira não é zero e a dízimaé composta:
Como no caso II, separamos a parte inteira da parte decimal periódica para encontrar a geratriz dadízima periódica, separadamente e depois somamos a
parte inteira com a geratriz encontrada.
19
20
21 291 97: 3
90 90 30
: 2
199800 23102 222902 111451
99900 99900 49950
Ex
Ex
EXERCÍCIOS
1) Encontre as geratrizes das dízimas periódicasabaixo:
) )
) )) )
a d
b ec f
. : ) ) )
) ) )
Resp a b c
d e f
2) Encontre as geratrizes das dízimas periódicasabaixo:
) )
) )
) )
.
a d
b e
c f
Resp
: ) ) )
) ) )
a b c
d e f
Nos exercícios de 3 a 8 abaixo, encontre o valor dasexpressões numéricas.
3)
0,1333... 0,2
1
1, 2
. : Resp
4)
0
3 / 2 1
2 50,333...
3 4
14 2
2
. : Resp
5)
1/ 3 1
1/ 2 1,5 /3
8 0, 0333... 30
13 3
15. : Resp
6)
3, 4 5
2 91,555... 1, 44
3 18
. : Resp
7)
1/ 23 12 5 / 2 5 / 3 2
2 / 3 10 1/ 2 1/ 3
1 2 (0,333...) (5 )
5 2 3 5
. : Resp
8)
1/ 21/ 2 1/ 2
3 01 2 1
0,666...6 3 1,333...
. : / 5 Resp
9) CN1992-A expressão2 0 ,333. .. 3
3
(0,5) 2 16
(0,125)
escrita
como potência de base tem como expoente:
) ) )) )
. :
A B C D E
Resp B
10) CN1994-Resolvendo-se a expressão0,666... 3 / 2 9 0,5
1/ 2
8 4 2 9
1
49
encontra-se:
) ) ) ) )
. :
A B C D E
Resp A
11)
CN2000-O valor da expressão:25
322
316 16 3
(0,333 1) ,27 9 4
é:
) ) ) ) )
. :
A B C D E
Resp C
12) EsSA1988-O resultado da operação3 1, 2666...
0,33314
63
é:
) ) ) ) )
. :
A B C D E
Resp A
13) UPE2011-MAT1-A expressão1,101010... 0,111...
0,0969696...
é igual a:
)12,5 )10 ) 8, 75 ) 5 ) 2,5
. :
A B C D E
Resp A
“Forte é aquele que forte se imagina”