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1 1 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS PARTE 3: LÓGICA DE 1A. ORDEM
Prof. Cesar Augusto Tacla UTFPR/Campus Curitiba
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
2 2 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
TÓPICOS
▪ Compromissos ontológicos e epistemológicos LPO
▪ Linguagem da LPO
▪ sintaxe
▪ semântica
▪ interpretação/denotação/substituição
▪ modelo lógico
▪ pragmática
3 3 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
COMPROMISSOS LPO
REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3
4 4 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
▪ Compromisso ontológico é o que cada linguagem
pressupõe sobre a natureza da realidade (Russel e Norvig,
2004, pg. 235)
▪ Compromissos ontológicos da LPO ▪ O mundo é composto por
▪ objetos,
▪ de funções sobre eles e
▪ de relações entre eles;
5 5 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
▪ Compromissos Epistemológicos
▪ Uma lógica pode ser caracterizada pelos seus compromissos
epistemológicos.
Quais os estados possíveis para as
crenças de um agente?
6 6 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
Representação Compromissos
Ontológico
Compromissos
Epistemológico
Lógica proposicional Fatos V, F, ?
Lógica de primeira
ordem
Objetos, relações e
funções
V, F, ?
7 7 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LINGUAGEM DA LPO
REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3
8 8 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
Elementos da linguagem
Sintaxe:
alfabeto: símbolos válidos
gramática: regras de formação de fórmulas-bem-formadas (FBF) Em inglês: WFF - well-formed formulas
Semântica: define o significado das fórmulas lógicas em termos de modelo, contexto e avaliação de fórmulas
9 9 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Limite de expressividade da LÓGICA PROPOSICIONAL: proposições são atômicas, embora seja possível representar sentenças como a que está abaixo, falta refinamento para definir os quantificadores: Todo estudante é mais novo que pelo menos um professor. A frase diz respeito à: ser estudante; ser professor; ser mais jovem do que alguém
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LPO: EXPRESSIVIDADE
Predicados são utilizados para representar as categorias dos objetos (estudante, professor) e também a relação de ser mais jovem que. Exemplos de predicados E(paulo) Paulo é estudante P(josé) José é professor J(paulo, josé) Paulo é mais jovem que José
11 11 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Objetos e constantes: paulo e josé são objetos (indivíduos ou particulares) do domínio. Constantes representam objetos do domínio. E(paulo) // paulo designa o objeto Paulo P(josé) // josé também é um objeto J(paulo, josé) Importante – em LPO: toda constante nomeia um objeto nenhuma constante pode nomear mais de um objeto um objeto pode ter mais de um nome ou não ter nome
12 12 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Podemos falar dos objetos utilizando constantes, mas podemos tratá-los de forma geral com variáveis. Caso contrário, ficaríamos muito perto da LP. Variáveis: ocupam os lugares dos objetos para que possamos construir fórmulas genéricas. Exemplos de predicados com variáveis: E(X) X é estudante P(Y) Y é professor J (X, Y) X é mais jovem que Y Esta formulação genérica, pode ter diferentes instanciações: X=joão, Y=pedro, …
13 13 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Quantificadores: ainda não conseguimos representar com o grau de refinamento nosso exemplo inicial. Para tanto, gostaríamos de representar a quais particulares uma sentença diz respeito: se a todos os particulares ou se um ou mais. Os quantificadores permitem expressar, ainda que de maneira grosseira, algo sobre a quantidade dos particulares que satisfazem alguma condição.
14 14 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Universal: quando queremos expressar algo sobre todos os particulares/objetos. Em linguagem natural utilizamos: todos, cada um, todas as coisas ou qualquer um(a).
Exemplo: Todos objetos são quadrados.
∀𝑥(𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑥 ) Exemplo: Todo aluno da UTFPR é inteligente.
∀𝑥(𝐴𝑙𝑢𝑛𝑜 𝑥 → 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑙𝑖𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 )
15 15 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Existencial: quando queremos expressar algo sobre alguns dos particulares/objetos. Em linguagem natural utilizamos: existe, pelo menos um, ao menos um, algum.
Exemplo: Ao menos um estudante da UTFPR é inteligente.
∃𝒙(𝐴𝑙𝑢𝑛𝑜 𝑥 ∧ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑙𝑖𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 )
16 16 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Universal e existencial Exemplo: Todo estudante é mais jovem de que algum professor.
∀𝑥(𝐸𝑠𝑡 𝑥 → ∃𝒚(𝑃𝑟𝑜𝑓 𝑦 ∧ 𝑀𝑎𝑖𝑠𝐽𝑜𝑣𝑒𝑚 𝑥, 𝑦 )
17 17 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Universal e existencial
Exemplo2: frases em linguagem natural que expressam proposições equivalentes. Todos são vegetarianos. Ninguém é não-vegetariano. Não há nenhum não-vegetariano.
∀𝑥 𝑉𝑒𝑔𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑥 (S1)
∃𝒙(𝑉𝑒𝑔𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑥 ) (S2 S1)
18 18 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Universal e existencial
Exemplo2: frases em linguagem natural que expressam proposições equivalentes. Nem todas as aves podem voar. É falso que todas as aves podem voar. Há ao menos uma ave que não voa.
(∀𝑥 𝐴𝑣𝑒 𝑥 → 𝑽ô𝑎 𝑥 ) (S1)
∃𝒙(𝐴𝑣𝑒 𝑥 ∧ 𝑉ô𝑎 𝑥 ) (S2 S1)
19 19 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
20 20 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE
A sintaxe de uma linguagem é definida por:
Gramática: regras para
geração de fórmulas bem-
formadas
Alfabeto: São os símbolos
lógicos e não lógicos
21 21 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE - ALFABETO
Alfabeto: composto pelos símbolos lógicos e não lógicos
Símbolos lógicos independem do domínio da aplicação
Símbolos não-lógicos dependem do domínio modelado e são escolhidos pelo
modelador.
alfabeto
Símbolos
lógicos
Símbolos
não-lógicos
pontuação
conectivos
variáveis
predicados
funções Constantes
(caso especial = aridade zero)
proposição
(caso especial = aridade zero)
( ) , . [ ]
=
x, y, z
22 22 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: EXEMPLO
A
1
C
3
B
2
D
4
exemplo retirado do curso on-line AIMA – Norvig e Thun
Mundo composto por peças.
Quais são os objetos?
23 23 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: EXEMPLO
OBJETOS DO DOMÍNIO
A
1
2
B
2
C
3
D
4
São objetos: as próprias peças, mas também podem ser objetos os números e as
letras. Desta forma, as peças são objetos complexos formados por objetos menores.
24 24 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: ALFABETO
Símbolos de função (não-lógicos)
▪ Funções mapeiam objetos para objetos
▪ Constantes são funções de aridade-zero;
Duas constantes diferentes podem corresponder ao mesmo objeto
▪ Uma função representa UM OBJETO.
25 25 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: ALFABETO
Símbolos de função (não-lógicos)
A
1
C
3
B
2
D
4
Constantes
a
b
a1
dois
função
numDaPeça(X)
a 1
a1 1
b 2
1
26 26 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: ALFABETO
Símbolos de predicados (não lógicos)
Um predicado representa uma CATEGORIZAÇÃO
ou uma RELAÇÃO entre objetos.
Proposições
HáConsoante = {( )}
cjto com uma tupla com zero elementos – V
cjto sem tupla – F (não tem consoante)
Predicados unários (monádicos)
Vogal(X) = {A}
Predicados binários (diádicos)
Acima(X, Y) = {(a,b), (a,d), (c, b), (c, d)}
Aqui a, b, c e d representam os objetos em si
A
1
2
B
2
C
3
D
4
peça vogal
acima
27 27 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA
São as regras para construção de sentenças válidas
utilizando-se o alfabeto da linguagem
Termos
Fórmulas atômicas bem-formadas (FABFs)
Fórmulas bem-formadas (FBFs)
Sentenças
Gramática
28 28 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA: TERMOS
TERMOS
▪ Toda variável é um termo
▪ Toda constante é um termo
▪ Se t1, ..., tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n>0,
então f(t1, ..., tn) é um termo
▪ Nada mais é um termo.
Termos designam objetos do domínio.
Termos não tem valor-verdade
29 29 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
X é uma variável Ex. no domíno dos inteiros, X pode denotar qualquer número inteiro
a é uma constante Ex. no domíno das vogais, o símbolo ‘a’ pode denotar a vogal a
éPaiBioDe(X) é uma função é uma função de aridade 1 Ex. denota o pai de X que pode ser qualquer objeto no domínio família
éPaiBioDe(éMãeBiologicaDe(X)) “avô materno de x” termos aninhados éMãeDe(X) denota o objeto mãe de X, vamos chamar de o1 éPaiDe(o1) denota o objeto que é pai de o1
Exemplos de termos
30 30 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA: FÓRMULAS ATÔMICAS
Fórmulas atômicas bem-formadas (FABF)
Se t1, t2, ..., tn são termos e P é um predicado de aridade n
então P(t1, t2, ..., tn) é uma fórmula atômica bem-formada.
Se t1 e t2 são termos, então (t1=t2) é uma fórmula atômica
bem formada.
Exemplos:
Acima(a1, X)
numDaPeça(a1)=numDaPeça(Y)
Contra-Exemplo: numDaPeca(a1) é um termo
31 31 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA: FÓRMULAS BEM-FORMADAS
1. Toda FABF é uma FBF.
2. Se A e B são FBFs e v é uma variável então A (A B) (A B) v.A ∀v.A são FBFs
FÓRMULA BEM-FORMADA (FBF)
Subjconjunto proposicional: não há termos nem funções FABFs: somente predicados de aridade zero.
32 32 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
EXEMPLOS DE FBFs
Inteligente(paiDe(x))
x.Inteligente(paiDe(x))
(Jovem(y) x.Inteligente(paiDe(x))
33 33 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: NOTAÇÃO
Ocasionalmente parênteses podem ser omitidos É possível utilizar [ ], { } Abreviações (a b) for (a b)
Símbolos não-lógicos: Predicados: iniciam por maiúsculas Pessoa, Feliz, MaisVelhoQue Funções e constantes: iniciam por minúsculas paiDe, sucessor, joaoDaSilva
34 34 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: SENTENÇA
ESCOPO DOS QUANTIFICADORES
Variáveis livres: estão fora do escopo dos quantificadores
Variáveis aparentes (bounded): estão no escopo dos quantificadores
(P(x) (y (x(P(y) Q(x)))))
35 35 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA: SENTENÇA
IMPORTANTE: embora uma variável possa ser livre e presa ao mesmo tempo, suas
ocorrências ou são livres ou são presas (exclusivamente).
(x (P(x) Q(x)) (P(x) Q(y))
x
P Q
x x
y
P
x
Q
Em azul, ocorrências livres das variáveis x e y
36 36 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA: SENTENÇA
SENTENÇA OU FÓRMULA FECHADA
É uma FBF sem variáveis QUE OCORREM livres.
Possui valor-verdade.
Variáveis livres representam qualquer objeto do domínio (de forma arbitrária). Deste modo, o valor-
verdade de uma fórmula com variável livre varia de acordo com o objeto que a variável livre designar.
Notação
a[v/t] significa que todas as ocorrências livres de v são substituídas pelo termo t
avt também é utilizada
37 37 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
38 38 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
Semântica
▪ Define o significado no mundo das fórmulas bem-formadas para, no final das contas, atribuirmos valores-verdade (F ou V).
▪ O significados de uma fórmula deriva da INTERPRETAÇÃO dos símbolos não-lógicos presentes na mesma (os símbolos lógicos tem significado fixo)
39 39 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
Ex. vamos supor que
▪ Feliz(joao) é uma fórmula bem formada;
▪ O símbolo joao denota um indivíduo;
▪ O símbolo feliz é um predicado.
▪ Joao tem a propriedade de estar feliz.
▪ O problema é que a interpretação dada aos símbolos não lógicos (joao
e Feliz) pode variar de uma pessoa a outra
40 40 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
▪ O exemplo anterior provavelmente não suscita diferenças
de interpretação ainda que a noção de feliz seja diferente
de pessoa para pessoa
▪ Há outros símbolos não-lógicos bem mais problemáticos
pela dificuldade de precisar seus significados ou pela
simples dificuldade de entender o ponto de vista do
modelador
▪ PaísDemocrático
▪ MelhorComidaDoMundo
▪ éBoaPessoa
▪ txN27
41 41 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
▪ Na lógica de 1ª. Ordem não é preciso dar definições
precisas (como a de um dicionário) para os símbolos não-
lógicos, por exemplo, que um país democrático é um pais
que possui eleições, liberdade de expressão, etc.
▪ É preciso somente declarar quais objetos são países
democráticos e quais não são.
▪ Se há divergências na definição de quais são democráticos,
fala-se em diferentes interpretações
42 42 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
A LPO assume que
Tudo que necessitamos saber são as extensões dos
predicados P e os mapeamentos das funções F para atribuir
valores-verdade às fórmulas
Em outras palavras, necessitamos
» definir quais são os objetos do domínio
» quais deles satisfazem P
» que mapeamentos definem f
Assim, é possível determinar quais sentenças em LPO são
verdadeiras e quais são falsas.
43 43 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO
SEMÂNTICA
44 44 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO
Em lógica de primeira-ordem, a interpretação é definida
por: ▪ Há objetos no mundo
▪ Para qqer predicado de aridade 1, alguns objetos satisfazem P outros não
▪ Predicados de aridade superior são tratados similarmente (ex. aridade 3, define
triplas de objetos que satisfazem o predicado)
▪ Funções de aridade 3 são interpretadas como mapeamentos de triplas de
objetos para objetos.
▪ Nenhum outro aspecto do mundo interessa!
Ex. mundo populado por
indivíduos onde alguns
são felizes e outros não
Feliz(x) é verdadeiro para
os indivíduos pintados.
45 45 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO
Interpretação é um par (D, I) ▪ D = Domínio da interpretação: conjunto não vazio de objetos
▪ I = função que mapeia símbolos não lógicos para funções em D ou para
relações em D.
I[função(t1, …, tn)] [Dn → D]
I[constante] D
I[Predicado(t1, ..., tn)] Dn Dn é D1 x … x Dn
Para símbolos proposicionais
I[p] = {} ou I[p] = {<>}
Convém assumir que = I {proposições {true, false}}
46 46 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO
▪ Interpretação é um par (D, I)
▪ Exemplo: D = {1, 2, 3, …}
▪ Interpretação de constantes ▪ I[1] = 1
▪ I[2] = 2
▪ …
▪ Interpretação de predicados ▪ I[Par] = {2, 4, 6, …}
▪ Interpretação de funções ▪ I[suc] = {(1 2), (2 3), …}
▪ ⊯ Par(3)
▪ ⊫ Par(suc(3))
47 47 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO
Interpretação é um par (D, I)
Exemplo: considere o domínio de pessoas e
cachorros
PREDICADOS
▪ Pessoa(x) é um predicado unário
▪ Cao(x) é um predicado unário
▪ Dono(x, y) é um predicado binário que
relaciona um objeto x a um objeto y
indicando que x é dono de y
FUNÇÃO
▪ melhorAmigo(x) é uma função que mapeia
uma pessoa para seu melhor amigo
totó
catita scooby
joão
maria
Domínio
MelhorAmigo
Dono
Dono I[Pessoa] D
I[Cao] D
I[melhorAmigo] [D → D]
I[Dono] D x D
é um conjunto de pares de objetos,
onde o primeiro é uma pessoa dona
do segundo que é um cão.
48 48 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO
▪ As funções em LPO são totais
▪
▪ Então a função MelhorAmigo, que retorna o melhor
amigo de uma pessoa, deve fazer algo razoável com
objetos que não são pessoas!
▪ I[melhorAmigo] [D D]
▪ Interpretação envolve denotação
49 49 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
DENOTAÇÃO
SEMÂNTICA
50 50 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
DENOTAÇÃO DE UMA VAR LIVRE
totó
catita scooby
joão
maria
Domínio
MelhorAmigo
Dono
Dono
ana
interpretação
Denotação: atribuição de valores às variáveis de uma fórmula para
podermos atribuir-lhe um valor-verdade.
Cao(x) y.Dono(y, z) x, = [x] = totó z, = [z] = totó I[Cao] = {totó, catita, scooby} I[Dono] = {(maria, catita), (maria, scooby)} A fórmula é FALSA para a e [x] = totó A fórmula é TRUE para a e [x] = catita
51 51 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
DENOTAÇÃO
Na denotação de termos que apresentam variáveis, é preciso atribuir valores do domínio D às variáveis
▪ Se x é uma variável então a atribuição [x] é um elemento qualquer do domínio
Formalmente, a denotação de um termo t, na interpretação com a atribuição de valores representada por t, é definida por
1. Se x é uma variável então x, = [x]
2. Se t1, …, tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n então f(t1, …, tn), = F(d1, …, dn) onde F=I(f) e di = ti,
▪ Observar que:
I(f) é a interpretação de f definida por [D x … x D D]
As regras são recursivas (um termo pode ser uma função)
t, é sempre UM ÚNICO elemento de D
52 52 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFAÇÃO
SEMÂNTICA
53 53 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFAÇÃO
Dada uma interpretação = (D, I) e a denotação .,,
pode-se determinar quais FBFs são verdadeiras e quais
são falsas na interpretação com a denotação .
Uma FBF verdadeira na interpretação é dita satisfeita.
54 54 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFAÇÃO
Não satisfazível (insatisfazível): se não é satisfazível para
nenhum par (, )
Falseável: se existe algum par (, ) que não satisfaz
Válida (i.e., uma tautologia): se toda (, ) satisfaz
55 55 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFAÇÃO
Uma FBF é satisfazível em com a atribuição . Escreve-se:
, ╞ se é uma FBF com variáveis livres ╞ quando se trata de sentenças (pode-se omitir a denotação)
Para um conjunto de sentenças S, escreve-se
╞ S
56 56 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFABILIDADE
x.Cão(melhorAmigo(x))
A função MelhorAmigo é total.
Neste caso considera-se que na
ausência de um melhorArmigo o
próprio objeto é melhor amigo dele
mesmo (não foi representada na
figura)
Encontre um par (,) que satisfaça à fórmula.
O par (,) abaixo satisfaz a fórmula: I[Pessoa]={ana, joão, maria} I[Cão]={totó, catita, scooby} I[melhorAmigo]={ana→maria, joão→totó, maria→joão, totó→totó catita→catita, scooby→scooby] [x]=totó
57 57 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
MODELO LÓGICO
▪ Uma interpretação é um modelo lógico de um conjunto
de sentenças S se todas as sentenças de S são verdadeiras
na interpretação com a atribuição
▪ Notação: ╞ S
58 58 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
MODELO LÓGICO
Conjunto de sentenças S
x.Cão(melhorAmigo(x))
y.(Pessoa(y) → Pessoa(melhorAmigo(y))
Há um par (, ) que saisfaz o conjunto S?
O par (,) abaixo satisfaz a fórmula: D={joão, ana, totó, catita, scooby, maria} I[Pessoa]={ana, joão, maria} I[Cão]={totó, catita, scooby} I[melhorAmigo]={(ana→maria), (joão→maria), (maria→joão), (totó→totó) (catita→catita), (scooby→scooby)} [x]={totó} [y]={maria, joão, ana, totó, catita, scooby}
totó
catita scooby
joão
maria
Domínio
MelhorAmigo
Dono
Dono
ana
A função MelhorAmigo é total.
Neste caso considera-se que na
ausência de um melhorArmigo o
próprio objeto é melhor amigo dele
mesmo (ver cães)
Ver itens 6 e 7 do slide seguinte
59 59 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFAÇÃO
Copyright Brachman e Levesque, pg. 22
Atribui d a v
60 60 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
PRAGMÁTICA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
61 61 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA: CONCEITO
▪ Embora as regras semânticas da interpretação dependam da
interpretação dos símbolos não-lógicos, há conexões entre sentenças
em LPO que não dependem da interpretação dos símbolos não lógicos
Caso contrário, como poderíamos obter todas as interpretações?)
▪ Por exemplo, sendo γ definido por ( ), uma interpretação onde
é verdadeiro, pode-se concluir que γ é verdadeira independente de
como entendemos os símbolos e
▪ Sempre que for verdadeiro, γ também será!!!
▪ Logo, γ é uma consequência lógica de ou a verdade de γ está
implícita na verdade de
62 62 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA
Formalmente: é uma consequência lógica de S se e somente se é
verdadeira em todos os modelos de S
S╞ sse para toda interpretação , se ╞ S então ╞ S╞ sse para toda interpretação , se ╞ S então ╞
63 63 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA
De outra forma,
não há interpretação onde ╞ S { }
(i.e. S { } é insatisfazível)
Quando uma sentença é válida (em qualquer interpretação), escreve-se: ╞ Quando o conjunto S é finito, consequência lógica se reduz à validade da implicação lógica: S={1, ..., n}, então S╞ se e somente se (1 ... n) for válida
64 64 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA
Um KBS pode tirar conclusões interessantes?
Se Cachorro(fido) então pode concluir Mamífero(fido)???
Depende... Há interpretações onde I[Cachorro] I[Mamífero]
Não temos acesso a todas as interpretações possíveis para os símbolos lógicos...
Conjuntos infinitos de objetos!!!
Pode-se utilizar consequência lógica , se S é true na interpretação pretendida,
então também será! Se o usuário/agente enxerga um mundo que satisfaz S,
então este mundo também satisfaz
Temos que incluir relações EXPLICITAMENTE em S:
x[Cachorro(x) Mamífero(x)]
S U {Cachorro(fido)} |= Mamífero(fido)
65 65 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA
KB é um conjunto de sentenças:
Declaração explícita de sententeças que são acreditadas (incluindo
conexões/relações entre símbolos não-lógicos)
KB |= ,
é uma consequência adicional ao que já é acreditado, então tem-se que:
KB = conhecimento explícito
= conhecimento implícito
66 66 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CRENÇA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA
C
B
A
c não é verde
= Dados os blocos a, b e c, há um cubo verde sobre um não verde?
cor desconhecida
verde
B
B
Dois casos possíveis
B é verde
B não é
verde
b está sobre c,
portanto há um cubo
verde sobre um não verde
a está sobre b,
portanto há um cubo
verde sobre um não verde
Ou seja, qualquer que seja a interpretação, a sentença proposta será satisfeita!
Portanto, a sentença é uma crença implícita.
67 67 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
c
b
CRENÇA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA
Suponha que uma dada interpretação ╞ S
i.e. O conjunto de sentenças S é válido na interpretação
Caso 1
1. ╞ G(b).
2. ╞ G(b) O(b,c) G(c) daí segue que é V
Caso 2
1. ╞ G(b)
2. ╞ G(a) O(a,b) G(b) daí segue que é V
Portanto, para qualquer interpretação , se ╞ S e ╞ então a verdade
de alfa está implícita na verdade de S: S╞
a
c
b
a
S = {O(a,b), O(b,c), G(a), G (c)}
= xy[G(x) G (y) O(x,y)]
S |= ??