Amaçlar:1. Düzlemsel hareket halinde

bulunan bir cisme üç hareket denkleminin uygulanması.

2. Ötelenme hareketi içeren problemlerin analizi.

DÜZLEMSEL KİNETİK HAREKET DENKLEMİ: ÖTELENME

UYGULAMALAR

Şekildeki tekne ve kızak doğrusal hareket yapmakta. Kızağın tekerleklerinde oluşan tepkileri ve teknenin ivmesini bulmak için teknenin ve kızağın serbest cisim ve kinetik diyagramlarını çizmemiz gerekmektedir.

Bu problemi çözmek için kaç tane hareket denklemine ihtiyaç vardır?

Traktör yükü yukarı doğru kaldırdığında, eğer forklift dönme hareketi yapmıyorsa, yük eğrisel ötelenme hareketi yapar.

Eğer yük çok hızlı kaldırılırsa, kasa sola veya sağa hareket eder mi?

Kasa kaymadan ne kadar hızla kaldırılabilir?

UYGULAMALAR (devam)

DÜZLEMSEL KİNETİK HAREKET DENKLEMİ

• Rijit cisimlerin düzlemsel kinetiğini sabit bir referans eksenine göre simetrik olan cisimler için sınırlayacağız. Cisme etkiyen kuvvetler de bu eksene göre yine simetrik etkiyecek.

• Bir önceki bölümde incelendiği gibi, bir cisim genel düzlemsel harekete yapıyorsa, ötelenme ve dönme hareketlerinin kombinasyonu şeklinde hareket ediyor demektir.

• Önce P gibi bir noktada koordinat sistemi oluşturulur.

x-y eksenleri dönmemelidir. Eksenler bir yere sabit olmalı veya sabit bir hızla hareket edebilir.

• Bir cisim ötelenme hareketi yapmaktaysa hareket denklemi ΣF = m aG (vektörel) olacaktır. Bu denklem skaler formda yazılabilir.

Σ Fx = m(aG)x ve Σ Fy = m(aG)y

ÖTELENME HAREKET DENKLEMLERİ

• Bu denklemler ne ifade eder: Cisme etkiyen tüm kuvvetlerin toplamı cismin kütlesi çarpı kütle merkezinin ivmesine eşittir (iki yönde de bu sağlanmalıdır).

DÖNME YOK!

DÖNME HAREKET DENKLEMLERİŞimdi, dış kuvvetlerin oluşturduğu momentlerin etkisini yani dönme hareketini de dikkate alalım:

Bu kuvvetlerin bir P noktasına göre momenti aşağıdaki gibi hesaplanır:

Σ (ri × Fi) + Σ Mi = r × maG + IGαααα

ΣΣΣΣ Mp = ΣΣΣΣ(Mk)p

Burada r = x i + y j ve Σ Mp tüm dış kuvvetlerin P noktasında yarattığı momenttir. Σ(Mk)p terimi P noktasına göre kinetik moment denir.

r

P noktası cismin kütle merkezi G ile çakışıyorsa, yukarıdaki denklem skaler tek bir denkleme indirgenir ΣMG = IG α.

Bu denklem ne ifade eder: Etkiyen tüm dış kuvvetlerin kütle merkezine göre yarattığı bileşke moment, G noktasına göre

kütle atalet momenti × açısal ivmeye eşittir.

Böylece genel düzlemsel hareket için, üç adet bağımsız skaler denklem kullanarak, rijit bir cismin genel hareket denklemi tanımlanabilir. Bu denklemler aşağıda özetlenmiştir:

Σ Fx = m(aG)x

Σ Fy = m(aG)y

Σ MG = IGα veya Σ Mp = Σ (Mk)p

DÖNME HAREKET DENKLEMLERİ (devam)

P nok. herhangi bir nokta!

Atalet Kuvvetleri

Eğer rijit bir cisim sadece ötelenme hareketi yapıyorsa, bu durumda cisim üzerindeki tüm parçalar eşit ivmeye sahiptir yani aG = a ve αααα = 0. Bu durumda hareket denklemi aşağıdaki hali alır:

Eğer problemi kolaylaştıracaksa, moment denklemi kütle merkezinin dışında başka bir noktaya göre alınarak uygulanabilir. Örneğin A noktası kullanılırsa:

ΣMA = (m aG ) d

HAREKET DENKLEMİ: SADECE ÖTELENME

Σ Fx = m(aG)x

Σ Fy = m(aG)y

Σ MG = 0

Eğer rijit bir cisim eğrisel ötelenme hareketi yapıyorsa, n-t koordinatlarını kullanmak en uygun durumu oluşturur.Bu durumda, n-t koordinatları için yazılmış hareket denklemlerini kullanmak gerekir:

Σ Fn = m(aG)n

Σ Ft = m(aG)t

Σ MG = 0 or

Σ MB = e[m(aG)t] – h[m(aG)n]

HAREKET DENKLEMİ: SADECE ÖTELENMEEĞRİSEL ÖTELENME (devam)

+

ANALİZ YÖNTEMİ

Sadece ötelenme hareketi yapan rijit bir cismin kinetiği aşağıdaki adımlar izlenerek çözülebilir:

1. x-y veya n-t referans eksenleri oluşturulmalıdır ve kütle merkezinin ivmesi aG için bir yön tayin edilmelidir,

2. Tüm dış kuvvetleri ve atalet kuvvetlerini gösterir serbest cisim ve kinetik diyagramlar çizilmelidir,

3. Bilinmeyenler gösterilmelidir,

5. Sürtünme kuvvetleri her zaman hareket yönünün tersi yönünde etki etmektedir.

4. Üç hareket denklemi uygulanmalıdır (aşağıdaki gruplardan biri ya da ötekisi):

Σ Fx = m(aG)x Σ Fy = m(aG)y Σ Fn = m(aG)n Σ Ft = m(aG)t

Σ MG = 0 veya Σ MP = Σ (Mk)P Σ MG = 0 veya Σ MP = Σ (Mk)P

Verilen: 50 kg’lık kasa yatay bir yüzeyde durmaktadır. Yüzeyin kinetik sürtünme katsayısı µk = 0.2.

Aranan: P = 600 N ise, kasanın ivmesi nedir?

Yöntem: Analiz yöntemini uygula!

Dikkat edilirse, P kuvveti kasayı devirmeden kaydırabilir veya devirebilir. Önce, devrilmeden hareket ettiğini düşünelim. Bu kabulü daha sonra kontrol edeceğiz!

ÖRNEK 1

Koordinat eksenleri ve serbest cisim diyagramı gösterilmiştir. Kasanın ağırlığı (50)(9.81) N kütle merkezine ve normal kuvvet Nc ise O’ya etkimektedir (çünkü P’nin oluşturduğu devrilme momentine karşı koymaktadır). O noktası kasanın merkezinden bir x mesafesine etkimektedir. Bilinmeyenler Nc, x, ve aG’dir.

Hareket denklemlerini uygularsak:

Çözüm:

Σ Fx = m(aG)x: 600 – 0.2 Nc = 50 aG

Σ Fy = m(aG)y: Nc – 490.5 = 0

Σ MG = 0: -600(0.3) + Nc(x) – 0.2 Nc(0.5) = 0

Nc = 490.5 N

x = 0.467 m

aG = 10.0 m/s2

⇒⇒⇒⇒

ÖRNEK (devam)

x = 0.467 m < 0.5 m, olduğu için kasa kabul edildiği gibi devrilmeden kaymaktadır.

x, 0.5 m’den büyük olsaydı, problemi devrilme kabulü altında tekrar çözmek gerekecekti. Bu durumda NC’nin A noktasına etkidiği kabul edilecekti.

ÖRNEK (devam)

ÖRNEK 2

Verilen: El arabası 200 kg kütleye sahiptir ve kütle merkezi Gnoktasındadır. Kola P=50 N’luk bir kuvvet etki etmektedir. Araba yatay düzlemde hareket halindedir ve tekerleklerin ağırlığı ihmal edilmiştir.

Aranan: A ve B tekerleklerindeki normal reaksiyonlar nedir?

Plan: Analiz yöntemini uygula!

Çözüm: El arabası doğrusal bir yörüngede hareket edecektir.Serbest cisim ve kinetik diyagramlar çizilirse:

=

x

y

Hareket denklemlerini uygularsak:

←Σ Fx = m(aG)x

50 cos 60° = 200 aG

aG = 0.125 m/s2

+

ÖRNEK 2 (devam)

Kinetik Diyagram

ΣMG = 0 (sadece ötelenme hareketi yapmakta)

⇒ -(0.3)NA+(0.2)NB+0.3(50 cos 60°) – 0.6(50 sin 60°) = 0

− 0.3 NA+ 0.2 NB = 18.48 N m (2)

+↑Σ Fy = 0 ⇒ NA + NB –1962 –50 sin 60° = 0

NA + NB = 2005 N (1)

=

x

y

Denklem (1) ve (2) kullanılarak NA ve NB bulunur.NA = 765 N, NB = 1240 N

Hareket denklemlerini uygulamaya devam:

ÖRNEK 2 (devam)

ΣMA = Σ(Mk)A

ÖRNEK 3

Şekildeki yük sepeti 150 kg kütleye sahiptir ve kütle merkezi G ile gösterilmiştir. P = 600 N’luk yatay kuvvet etkisinde ise, çekicinin ivmesini ve A ile B tekerleklerinde oluşan tepki kuvvetlerini bulunuz. Tekerleklerde sürtünme kuvveti oluşmamakta ve kütleleri de ihmal edilebilmektedir.

Çözüm: Serbest cisim ve kinetik diyagramları ele alalım: