rİjİt cİsİmlerİn dÜzlemsel kİnetİĞİ
DESCRIPTION
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ. Rijit cismin kinetiği, cisme etki eden kuvvetler ile cismin şekli, kütlesi ve bu kuvvetlerin yarattığı hareket arasındaki bağıntıları inceler. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ
Rijit cismin kinetiği, cisme etki eden kuvvetler ile cismin
şekli, kütlesi ve bu kuvvetlerin yarattığı hareket
arasındaki bağıntıları inceler.
Parçacığın kinetiği konusunda cismi yalnızca kütle
merkezinden ibaret bir nokta gibi ele almıştık ve cisme
etkiyen tüm kuvvetler bu noktadan geçmek zorundaydı.
Rijit cisimde ise cismin gerçek boyutları ile birlikte,
kuvvetlerin cisme uygulandıkları noktaların yeri de göz
önüne alınacaktır.
Cismin tamamının yaptığı hareketin yanı sıra, cismin
kendi kütle merkezi etrafındaki hareketi de
incelenecektir.
Kütle-Kuvvet-İvme Bağıntıları Genel Hareket Denklemleri
Statikte, cisme etkiyen kuvvet sistemi keyfi olarak alınan
bir noktaya bir bileşke kuvvet ve bir bileşke kupl
momenti olarak indirgenebiliyordu.
Yani kuvvet sistemi sonsuz sayıda bileşkeyle yer
değiştirebiliyordu. Eğer bu keyfi noktayı rijit cismin G
kütle merkezi olarak alır ve bileşkeyi bileşke kuvvetin
doğrultusu bu noktadan geçecek şekilde yerleştirirsek dış
kuvvet sisteminin etkisine cismin verdiği dinamik yanıtı
(Dynamic Response) aşağıdaki gibi canlandırabiliriz:
1) Cisme etkiyen dış kuvvetlerin gösterildiği SCD
2) Bileşke kuvvetin G’ ye indirgendiği eşdeğer kuvvet-kupl diyagramı
3) Bunların sonucunda cismin bunlara verdiği dinamik yanıt (davranış)-Kinetik
diyagram
SCD Eşdeğer Kuvvet-Kupl Diyagramı Kinetik Diyagram
GG HM
amF
(a) (b) (c)
RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKET DENKLEMLERİ
xy düzleminde genel hareket yapan cismin G kütle merkezi doğrusal
ivmesine ve cisim açısal hızı ve açısal ivmesine sahip olsun. Genel
hareket yapan bu cismin G kütle merkezine göre açısal momentumunun
neye eşit olduğunu çıkaralım ve daha sonra zaman türevini alalım.
Cismi oluşturan parçacıklardan herhangi birini temsilen mi parçacığını dikkate
alalım. Bu parçacığın G’ ye göre açısal momentumu:
GH
iiiGi mH
iii v
kjiii
sincos
iiiGi mH
i
: mi parçacığının G’ye göre konum vektörü
mi parçacığının hızı
a
Rijit cismin G’ ye göre açısal momentumu, onu oluşturan tüm parçacıkların G’ ye
göre açısal momentumlarının toplamına eşit olacaktır.
I katı cismin G’ ye göre (veya G’ den geçen ve şekil düzlemine dik olan z eksenine
göre) kütle eylemsizlik (atalet) momentidir.
IHkIH
kmkmH
iiimjiim
jikmjimHH
GG
I
iiiiG
iiiiiiGiG
2
1
222 sincos
sincos
sincossincos
22
1
2 kgmIdmmI
i
n
m
n
iii
Idt
dII
dt
d
dt
HMHM G
GGG
IMG
Analiz Yöntemi
Rijit cisimlerin hareketleri ile kuvvet-kütle-ivme problemleri çözülürken
aşağıdaki sıra izlenir:
1) Kinematik : Öncelikle ne tip bir hareket olduğu tanımlanmalı ve
bilinmeyen gerekli doğrusal-açısal ivme değerleri kinematik bağıntılar
kullanılarak belirlenmelidir.
2) Diyagramların çizilmesi : SCD ve kinetik diyagram oluşturulup
uygun eksen takımı seçilmelidir.
3) Hareket denklemlerinin uygulanması ( , ) amF
IM G
dm
r
O
O
Kütle Atalet Momenti
dm kütleli sonsuz küçük bir elemanın OO eksenine göre kütle atalet momenti dI
m kütleli cismin toplam atalet momenti I ise
dmrdI 2
dmrdII 2 I her zaman pozitiftir, birimi kg.m2’ dir.
Paralel Eksenler Teoremi:
Kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momenti biliniyorsa, herhangi bir eksene göre kütle atalet momenti;
2mdIIO
G
Od
Bazı Geometrik Şekillerin Kütle Atalet Momentleri
Jirasyon (Atalet) Yarıçapı
Bir doğruya göre kütle atalet momenti:
m
IkmkI 2
k : jirasyon yarıçapı
İnce Çubuk İnce dairesel plaka İnce dikdörtgen plaka
1) ÖTELENMEa) Doğrusal Ötelenme (Rectilinear Translation):
damM
M
M
dkP
dkA
dkG
0
0 xkdx
kd
amF
amF
..
..
G
“m”F1
F2
F3
Fn
G
“m”
SCD Kinetik Diyagram
G’ nin yörüngesi
P
d
PdA
A
x
xam
x
b) Eğrisel Ötelenme (Curvilinear Translation):
Cismin G kütle merkezinin eğrisel bir yörünge izlemesi kendisinin açısal bir hareket yaptığı anlamına gelmez.
G
“m”F1
F2
F3
Fn
G
“m”
SCD Kinetik Diyagram
G’ nin yörüngesi
AdB rmam t
rmam n2
t
n
B
t
n
nkdn amF ..
tdkt
amF
BtdkB
AndkA
dkG
damM
damM
M
0
dA
+
+
G
2) SABİT EKSEN ETRAFINDA DÖNME
Hareket denklemleri; Kuvvet denkleminin skaler bileşenleri;
O noktasındaki mesnet tepkisi SCD’ nda unutulmamalıdır.
amF
IM G
SCD Kinetik Diyagram
rmFrmFnt
2,
Sabit bir O noktası etrafında dönme hareketinde, cismin tüm noktaları dönme ekseni
etrafında daireler çizerler, cismin yine tek bir ve ’ sı vardır. n-t koordinatlarda kütle
merkezi G’ nin ivme bileşenlerine ve dersek ve olur. SCD ve
kinetik diyagram da şekildeki gibi elde edilir.
na ta rat 2ran
Sabit eksenli dönme hareketinde, moment denkleminin doğrudan O noktasına uygulanması bazen kolaylık sağlar.
SCD Kinetik Diyagram
oO IM tO armIM 2rmIIO Paralel eksenler teoreminden;
2rmII O
OOO IrrmrmIM 2
Eğer dönme ekseni G’ den geçiyorsa 00 Fvea
olur, sadece
IM G kalır.
3) GENEL DÜZLEMSEL HAREKET Ötelenme ve dönmenin birlikte olması halidir.
Herhangi bir P noktasına göre yazılan alternatif moment denklemi de kullanılabilir:
SCD Kinetik Diyagram
amF
IM G
Hareket denklemleri;
damIM P
PROBLEMLER
1. Düzgün 30 kg OB çubuğu O’daki mesnet ve A’daki tekerlek ile
yatayla 30o yapacak şekilde ivmelenen çerçeve üzerine monte
edilmiştir. Çerçevenin yatay ivmesi a=20 m/s2 ise tekerleğe
uygulanan FA kuvveti ile O’daki pime gelen kuvvetin x- ve y-
bileşenlerini hesaplayınız.
PROBLEMLER
2. A bloğu ve ona bağlı çubuk toplam 60 kg kütleye sahiptir ve 800
N’luk etkisi altında 60o’lik kılavuz boyunca hareket etmektedir.
Düzgün yatay çubuğun kütlesi 20 kg olup B noktasında bloğa
kaynaklanmıştır. Kılavuzdaki sürtünme ihmal edilebilir. B noktasında
kaynaktan çubuğa etkiyen M momentini hesaplayınız.
ÇÖZÜM
x
W=60(9.81) N
60o
N
SCDKinetik Diyagram
x
2/84.4
6060sin)81.9(60800
sma
amaF
x
xxx
Çubuğun SCD
Bx
By
M
W1=20(9.81) N
Çubuğun KD
mTax=60ax
m1ax=20ax
2/196
)60sin7.0)(94.4)(20(7.0)81.9(20
smM
MdmaM xB
PROBLEMLER
3. Paralelkenar mekanizma hem plaka hem de EF çubuğuna kaynaklanan
bir pimle E noktasında plakaya bağlanan düzgün 8 kg kütleli EF çubuğu ile
birlikte düşey düzlemde hareket etmektedir. Kolları hareket ettirmek
üzere, saat yönünde bir moment (şekilde görülmüyor) AB koluna
uygulanmaktadır. 60o’ye ulaştığında kolların açısal ivmesi ve hızı
sırasıyla 6 rad/s2 ve 3 rad/s’dir. Bu an için E’deki pime etkiyen F kuvveti ile
M momentini hesaplayınız.
PROBLEMLER
4. 100 kg kütleli düzgün kütük iki kablo ile taşınmaktadır ve şahmerdan
olarak kullanılmaktadır. Eğer kütük görülen konumdan serbest
bırakılıyorsa serbest bırakıldıktan hemen sonra her bir kablodaki çekme
kuvvet ile kabloların açısal hızını hesaplayınız.
ÇÖZÜM
W=100(9.81) N
SCD Kinetik Diyagram
TA TB
nam
tam
+n
+t
+n
+t
Harekete başladığı anda v=0, =0 fakat ≠0 02 ran
2
..
..
/905.430sin
57.849030cos0
smaammgamF
TTmgTTF
tttkdt
BABAkdn
2/45.22
905.4sradrat
Kablo uzunluğu
NTNT
TTTTM
BA
BABAkdG
17.63739.212
30)5.0(60sin)5.1(60sin0..
Kütük eğrisel öteleme hareketi yapıyor.
*
*
PROBLEMLER
5. 18 kg kütleli düzgün üçgen plaka AB ve CD kabloları ile taşınmaktadır.
Plaka görülen konumda iken kabloların açısal hızı s.i.t.y. 4 rad/s’dir. Bu
anda, plakanın kütle merkezinin ivmesi ile her bir kablodaki çekme
kuvvetini hesaplayınız.
G10 cm
A
B
C
D60°60°
24
cm
20 cm 20 cmCevap:
NTNT
sma
CDAB 93.7811.143
/23.6 2
6. 8 kg düzgün ince çubuk O’dan geçen yatay bir mile mafsallanmıştır ve
yatay konumdan serbest bırakılmaktadır. Başlangıç açısal ivmesinin 16
rad/s2 olması için kütle merkezinden O’ya olan b mesafesi ile serbest
bırakıldıktan hemen sonra O’daki tepkileri hesaplayınız.
PROBLEMLER
PROBLEMLER
7. Yay, düzgün çubuk düşey konumda iken serbest konumundadır.
Çubuk görülen konumdan siy’de 30o döndürüldüğü konumdan serbest
bırakıldığında çubuğun başlangıç açısal ivmesini hesaplayınız. Yaydaki
çökmeyi ve yayın kütlesini ihmal ediniz.
ÇÖZÜMYayın serbest uzunluğu: llllo 2
5)4/2( 22
=30o iken yay uzunluğu:
ll yay 2
3
=30o iken yay kuvveti:
2
3
2
5
2
3
2
5klllkFyay (Bası
)
l
g
m
k
lamml
lF
lmg
amIM
l
tyay
tO
857.0864.0
412
1
2460cos
4
2
W
O
G+n
+t
On
Ot
30o
30o
l
Fyay
60o
.
lyayG
+n
+t
04
2 l
mam n
tamI
60o
8. Şekildeki mekanizmada volanın kütlesi 50 kg ve merkezine göre atalet (jirasyon)
yarıçapı 160 mm’ dir. 10 kg kütleli AB piston kolu üniformdur. Pistonun kütlesi is 15
kg’ dır. T kuplu volanı 50 rad/s sabit açısal hız ile s.i.t.y. ‘nde döndürmektedir.
=53o konumunda AB piston kolunun açısal hız ve açısal ivmesini, piston koluna A
ve B pimlerinden etkiyen kuvvetleri hesaplayınız. Sürtünmeyi ihmal ediniz.
sin 53=0.8, cos 53=0.6 alınız.
PROBLEMLER
9. AB elemanı bir tork tarafından (şekilde görülmüyor) sabit =10 rad/s açısal hızı
ile döndürülmektedir. AB elemanı, 3 kg kütleli D dişli çarkını döndüren 6 kg kütleli
BC elemanını hareket ettirmektedir. Dişli çarkın C’ye göre jirasyon yarıçapı 200
mm’dir. Dişli çarkın yarıçapı r=250 mm olarak verilmektedir. Görülen anda, C ve B
pimlerine gelen kuvvetleri hesaplayınız.
PROBLEMLER
PROBLEMS
10. 20 kg kütleli dengelenmemiş volanın kütle merkezine göre atalet
(jirasyon) yarıçapı 202 mm’dir. 20o’lik eğik düzlemden aşağı doğru
kaymadan yuvarlanmaktadır. Görülen konumda volanın açısal hızı 3
rad/s’dir. bu anda volana etkiyen sürtünme kuvvetini hesaplayınız.
ÇÖZÜM“Genel
Hareket”SCD
N
mg
Fs
KD
=
am
I
222816.0)202.0(20 kgmkmI
25.0 rao
25.0 raox x
y
jia
ikkikiaaa
yxaa
G
OGOG
075.0675.025.0
075.033075.025.0/
604.805
675.025.02020sin
F
FmgamF xdkx
5.1367.184
075.02020cos
N
mgNamF ydky
816.0)25.0()075.0( FNIMdkG
NN
NF
srad
971.160
617.2
/597.15 2
11. Üniform 15 kg çubuk kütlesi ihmal edilen küçük bir tekerlek ile yatay
yüzeyde A noktasına dayanmaktadır. B ucu ve düşey yüzey arasındaki
kinetik sürtünme katsayısı 0.3 ise görülen konumdan serbest bırakıldığı
andaki A ucunun başlangıç ivmesini hesaplayınız.
PROBLEMLER