BÊt ®¼ng thøc , bÊt ph¬ng tr×nh ,cùc trÞ ®¹i sè - BÊt ®¼ng thøc 1. KiÕn thøc cÇn nhí a) §Þnh nghÜa : Cho hai sè a vµ b ta cã a > b a – b > 0 b) Mét sè bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n : 01) C¸c bÊt ®¼ng thøc vÒ luü thõa vµ c¨n thøc : víi A lµ mét biÓu thøc bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 ; ; dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 Víi dÊu b»ng x¶y ra khi cã Ýt nhÊt 1 trong hai sè b»ng kh«ng víi dÊu b»ng x¶y ra khi B = 0 02) C¸c bÊt ®¼ng thøcvÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi Víi A bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 dÊu b»ng x¶y ra khi A vµ cïng dÊu DÊu b»ng x¶y ra khi A vµ B cïng dÊu vµ A> B 03) BÊt ®¼ng thøc Cauchy ( C«si ) : - Cho c¸c sè ( Trung b×nh nh©n cña n sè kh«ng ©m kh«ng lín h¬n trung b×nh céng cña chóng ) DÊu b»ng x¶y ra khi - BÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè cã thÓ ph¸t biÓu díi c¸c d¹ng sau : Víi a vµ b lµ c¸c sè kh«ng ©m

Víi a vµ b lµ c¸c sè bÊt kú

Víi a vµ b lµ c¸c sè bÊt kú DÊu b»ng x¶y ra khi a = b 04) BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopsky (Cßn gäi lµ bÊt ®¼ng thøc C«si – Svac ) : - Cho hai bé c¸c sè thùc: vµ . Khi ®ã :

DÊu b»ng x¶y ra khi :

- HoÆc víi ai , bi kh¸c 0 vµ nÕu th× t-¬ng øng còng b»ng 0 - HoÆc cã mét bé trong hai bé trªn gåm toµn sè kh«ng - BÊt ®¼ng thøc C«si – Svac cho hai cÆp sè :

DÊu b»ng x¶y ra khi ay = bx

05) BÊt ®¼ng thøc Víi x > 0 ; Víi x < 0 c) C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc : 01) TÝnh chÊt b¾c cÇu : NÕu a > b vµ b > c th× a > c 02 ) TÝnh chÊt liªn quan ®Ðn phÐp céng : Céng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè : NÕu a> b th× a +c > b+ c Céng hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu : NÕu a > b vµ c > d th× a+c > b +d 03 ) Trõ hai bÊt ®¼ng thøc ngîc chiÒu : NÕu a > b vµ c < d th× a – c > b – d 04 ) C¸c tÝnh chÊt liªn quan ®Õn phÐp nh©n : - Nh©n 2 vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi mét sè NÕu a >b vµ c > 0 th× ac > bc NÕu a > b vµ c < 0 th× ac < bc - Nh©n 2 bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu NÕu a > b >0 vµ c > d > 0 th× ac > bd NÕu a < b < 0 vµ c < d < 0 th× ac > bd

- Luü thõa hai vÕ cña mét bÊt ®¼ng thøc : Víi mäi

Víi mäi Víi mäi 0 < a < 1 Víi n > m a > 1 Víi n > m 2. Mét sè ®iÓm cÇn l u ý : - Khi thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc , kh«ng ®îc trõ hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu hoÆc nh©n chóng khi cha biÕt râ dÊu cña hai vÕ . ChØ ®îc phÐp nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét biÓu thøc khi ta biÕt râ dÊu cña biÓu thøc ®ã - Cho mét sè h÷u h¹n c¸c sè thùc th× trong ®ã bao giê ta còng chän ra ®îc sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt . TÝnh chÊt nµy ®îc dïng ®Ó s¾p thø tù c¸c Èn trong viÖcchøng minh mét bÊt ®¼ng thøc 3. Mét sè ph ¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc :3.1. Sö dông c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøcVÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè thøc x th× :

Gi¶i :

Ta cã : Víi mäi x

Do vËy :

§óng víi mäi x DÊu b»ng x¶y ra khi x = -3 VÝ dô 2 : Cho a, b vµ a+b 0 . Chøng minh r»ng

Gi¶i :Ta cã :

XÐt tö cña M :

V× a+b 0 nªn M= > 0 do a, b kh«ng thÓ

®ång thêi b»ng 0 3.2. Ph ¬ng ph¸p ph¶n chøng:

VÝ dô 3: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n .

Chøng minh r»ng c¶ ba sè ®ã ®Òu d¬ng Gi¶i

- Gi¶ sö cã mét sè kh«ng d¬ng: a 0Tõ abc > 0 ta cã: bc < 0 (* )Tõ a+b+c >0 ta cã: b + c > - a > 0Tõ ab +bc+ac >0 ta cã: bc + a(b + c) > 0 bc > - a (b + c) > 0 (**)Ta cã (*) vµ (**) m©u thuÉn nhau ®pcm.3.3. Ph ¬ng ph¸p sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n :

VÝ dô 4: Chøng minh r»ng: Víi x, y > 0. Ta cã : ( 1 + x) (1 + y) (1 + )2

Gi¶iC¸ch 1 : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopsky ta cã :

C¸ch 2 : Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi ta cã:

DÊu b»ng x¶y ra khi x = yVÝ dô 5 : Cho vµ 3a + 4 = 5 . Chøng minh r»ng

Gi¶i :C¸ch 1 : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã :

1

DÊu b»ng x¶y ra khi :

C¸ch 2 : Tõ 3a +4b = 5 ta cã a=

VËy

§óng víi mäi x VÝ dô 6 : Chøng minh r»ng víi mäi gãc nhän x ta cã :

a ) sin x + cosx

b) tgx + cotgx 2 Gi¶i :

a) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d¬ng ta cã :

sin x + cosx

DÊu b»ng x¶y ra khi sinx = cosx hay x = 450

b ) V× tgx , cotgx >0 . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè ta cã ; tgx + cotgx ( V× tgx . cotgx = 1 ) DÊu b»ng x¶y ra khi tgx = cotgx hay x= 450

VÝ dô 7 : Cho . Chøng minh r»ng :

Gi¶i :

Ta cã :

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosicho hai sè d¬ng vµ ta cã :

Mµ :

VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = 4

VÝ dô 8 : Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x , y ta cã :

Gi¶i :BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi :

§iÒu nµy ®óng v× vµ kh«ng ®ång thêi x¶y ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0 3.4. Ph ¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh :VÝ dô9 : Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh:

2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2

Cã nghiÖm th× 4c2 3(a + b)2 – 8abGi¶i

Ta cã : §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× :

3.5. Ph¬ng ph¸p lµm tréi:VÝ dô10 : Chøng minh víi n N* th×:

Gi¶i

Ta cã:

+ ………………….

4. C¸c bµi tËp tù luyÖn :Bµi 1: Trong tam gi¸c vu«ng ABC cã c¹nh huyÒn b»ng 1 , hai c¹nh gãc vu«ng lµ b vµ c.

Chøng minh r»ng : b3 + c3 < 1 Bµi 2 : Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau :

a) Víi mäi x

b ) NÕu a + b < 0 th× c ) NÕu x3+y3 = -2 th× d ) NÕu x3+y3 = 16 th× 0 < x +y 4Bµi 3 : Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau : a ) NÕu a2 +b2 = 13 th× a2 +b2 2a +3b b) Víi mäi x , y

Bµi 4: a) Cho hai sè thùc d¬ng a vµ b . Chøng minh r»ng :

b) Cho 0 < x < 2 vµ x 1 . Chøng minh r»ng :

Bµi 5: a ) Cho a > b > 0 . Chøng minh r»ng

b ) ¸p dông so s¸nh vµ Híng dÉn gi¶i :Bµi 1 : Theo ®Þnh lý Pitago ta cã 1 = b2 + c2 vµ 1> b; 1 > c

VËy 1= b2 + c2 > b3 + c3

Bµi 2 : a) Ta cã : V× x2 - x +1 = víi mäi x

Nªn

( §óng )

DÊu b»ng x¶y ra khi x =

b ) Ta cã :

§óng v× a +b < 0 vµ a+b2 0 c) Ta cã

Mµ Nªn x + y < 0

MÆt kh¸c :

DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = -1d) T¬ng tù c©u c Bµi 3 : a) ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã :

DÊu b»ng x¶y ra khi a = 2 ; b = 3 b) Ta cã :

§iÒu nµy lu«n lu«n ®óng. DÊu b»ng x¶y ra khi

Bµi 4: a ) Ta cã: (*)

V× a,b > 0; a+b > 0 nªn: (*) ( BÊt ®¼ng thøc Cosi cho 2 sè )VËy víi mäi a , b > 0 b) §Æt (x-1)2 = t th× t > 0 vµ x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t V× 0 < x < 2 nªn 1-t > 0 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc ë c©u (a) cho hai sè d¬ng t vµ 1-t ta ®îc

Mµ 4 - x2 < 4 do 0 < x < 2.

VËy:

Bµi 5: a) Ta cã B×nh ph¬ng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ta ®îc:

§óng b) ¸p dông c©u a víi a = 2006 vµ b = 1 ta cã:

V.2. Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt Cña biÓu thøc :1. KiÕn thøc cÇn nhí : Cho c¸c biÓu thøc A vµ B - NÕu A trong ®ã a lµ mét gi¸ trÞ cña biÓu thøc A Th× a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A (GTLN cña A ) , ®îc ký hiÖu lµ MaxA hay AMax

- NÕu B trong ®ã b lµ mét gi¸ trÞ cña B Th× b ®îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B (GTNN cña B ),®îc ký hiÖu lµ Min B hay BMin

- C¸c c¸ch biÕn ®æi thêng dïng ®Ó t×m GTLN vµ GTNN.C¸ch 1: a) T×m GTLN: f(x) g(x) a

b) T×m GTNN: f(x) g(x) aC¸ch 2: a) T×m GTLN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) 0; g(x) a)

b) T×m GTNN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) 0; g(x) a)

Víi biÓu thøc nhÒu biÕn cã c¸ch lµm t¬ng tù 2. Mét sè diÓm cÇn l u ý : - Khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc . NÕu biÕn lÊy gi¸ trÞ trªn toµn tËp th× vÊn ®Ò ®· kh«ng ®¬n gi¶n . Khi biÕn trong biÓu thøc chØ lÊy gi¸ trÞ trong hoÆc mét kho¶ng gi¸ trÞ nµo ®ã th× vÊn ®Ò cµng phøc t¹p vµ dÔ m¾c sai lÇm .- Mét sai lÇm thêng m¾c ph¶i ®ã lµ khi biÕn ®æi c¸c biÓu thøc theo c¸ch 1 hoÆc c¸ch 2 . Ta kÕt luËn gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc lµ a nhng dÊu b»ng kh«ng x¶y ra ®ång thêi

VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = 4x2+ y2+2xy+3x+5Lêi gi¶i 1 :

Víi mäi x

Mµ

Nªn Min P = khi x = vµ x +y = 0 nªn y = -

Ta thÊy lêi gi¶i nµy sai lÇm ë chç dÊu b»ng kh«ng x¶y ra ®ång thêi .

Khi x = th× (x-1)2

Lêi gi¶i 2 : Ta cã

VËy Min P = Khi

VÝ dô 2 : Cho a 2 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P =

Lêi gi¶i 1 : Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d¬ng ta cã

VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 Lêi gi¶i nµy sai lÇm ë chç kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a 2

Lêi gi¶i 2 : Ta cã

VËy Min P = khi a = 2

3. Bµi tËp vÝ dô :-VÒ b¶n chÊt bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc vµ bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc cã thÓ coi lµ t¬ng ®-¬ng nhau . Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc nÕu ta ph¸n ®o¸n ®îc kÕt qu¶ th× bµi to¸n trë thµnh chøng minh bÊt ®¼ng thøc

VÝ dô 3: Cho x, y, z R tho¶ m·n x2 + y2 + z2 = 1T×m GTLN cña P =

Gi¶i:Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi – Bunhiacopxki ta cã:P2 = ( x + 2y + 3z)2 (12 + 22 + 32) (x2 + y2 + z2) = 14Nªn P DÊu = x¶y ra khi:

VËy (x, y, z) = (1)

HoÆc (x, y, z) = (2)

VËy Pmax = khi (x, y, z) = hoÆc (x, y, z) =

VÝ dô 4: Cho a, b, x, y lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : a) P = xy; b) Q = x + y

Gi¶i:a) Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:

VËy Pmin = 4ab khi

b) Ta cã:

(BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki)

VËy : Q = x+ y

Qmin = khi x =

VÝ dô 5: T×m GTLN cña P =

Gi¶i §iÒu kiÖn :

Ta cã: Víi x = 0 => P = 0

Víi x 0 ta cã: P = x = P(x + a)2

px2 + 2 apx + pa2 = x px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th×:

(2ap – 1)2 – 4pa2 0<=> 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p 0<=> 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1 0Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh bËc 2 thu ®îc P1 P P2

4. Bµi tËp tù luyÖn :Bµi 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) A = x2 - 6x +1 b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020

c) C =

d ) D = 3x2+5y2 víi

Bµi 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) M = - x2 + 4x + 7 b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y c) P = ( x+1 ) (2 - x )

Bµi 3: T×m gi¸ tri lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P =

Gi¶i:Bµi 1: a) A= (x-3)2 -8 nªn min A = 8 khi x = 3 b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nªn Min B = 2007 Khi x

= 3; y =2

c) §iÒu kiÖn: x < ; x > 0 (*). ¸p dông bÊt d¼ng thøc Cosi cho

hai sè d¬ng ta cã:

VËy MinC = 2 khi

®èi chiÕu víi (*) ta ®îc x =-1 c) Tõ Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã:

VËy MinD = 2 khi x= vµ y =

Bµi 2: a) M = 11 - (x - 2)2 Nªn MaxM = 11 khi x = 2 b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nªn MaxN = 2005 khi x = 1;

y = -

c ) P = ( x+1 ) (2 - x ) ( BÊt ®¼ng thøc

Cosi )

VËy MaxP = khi x =

Bµi 3: Ta cã: P = (* )

Ta thÊy P = 0 khi x =

Víi P 0 th× gi¸ trÞ cña P ph¶i tho¶ m·n cho ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm víi x

§iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi:

VËy MaxP = khi x =

MinP = - khi x =

V.3. BÊt ph ¬ng tr×nh 1. KiÕn thøc cÇn nhí : - BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax +b = 0 ( )

+ NÕu a > 0 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

+ NÕu a <0 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

T¬ng tù cho bÊt ph¬ng tr×nh ax + b < 0

* Ta cã thÓ nhí c¸ch lÊy nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt theo qui t¾c " Lín cïng bÐ kh¸c " . NghÜa lµ nhÞ thøc bËc nhÊt f(x) = ax +b ( ) cã nghiÖm

x = .

Khi x > th× f(x) vµ hÖ sè a cïng dÊu , khi x < th× f(x)

vµ hÖ sè a kh¸c dÊu

- BÊt ph¬ng tr×nh tÝch : A(x)B(x) > 0 ; A(x)B(x) < 0

trong ®ã A(x) vµ B(x) lµ c¸c biÓu thøc cña biÕn x - BÊt ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi : Ta lµm mÊt dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®ãi ®Ó gi¶i b»ng c¸ch xÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña biÕn hoÆc b×nh ph¬ng hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh

;

- BÊt ph¬ng tr×nh v« tû :

;

2. Bµi tËp vÝ dô :

VÝ dô 1: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau : a) -3(x+2) +2(x-1) 4x -3b)

Gi¶ia) Ta cã :

b ) Ta cã :

V× víi mäi m nªn bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

VÝ dô 2 : Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh : a) b)

Gi¶ia)Tacã :

b) Tacã :

Chó ý : - Ta cã thÓ kÕt hîp nghiÖm trªn trôc sè

- Ta cã thÓ so s¸nh A(x) vµ B(x) trong bÊt ph¬ng tr×nh tÝch ®Ó gi¶i nhanh h¬n : VÝ dô : do x-1 > x-3

nªn chØ x¶y ra

VÝ dô 3 : Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh : a)

b) Gi¶i:

a) Ta cã :

Chó ý : Tr¸nh biÕn ®æi sai lÇm nh sau :

KÕt luËn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm b) C¸ch 1 :

Ta cã :

C¸ch 2 : NghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho nÕu cã ph¶i tho¶ m·n :

3x-1 (1)

XÐt 2x+1 (2)

BÊt ph¬ng tr×nh trë thµnh :

KÕt hîp víi (1) vµ (2) ta cã lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho XÐt 2x +1 < 0 (3)BÊt ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : Kh«ng tho¶ m·n (3)VËy bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm 3. Bµi tËp tù luyÖn : Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau Bµi 1 : a) b) c) d ) Bµi 2 : a) b) c) d) e) Bµi 3: a) b)

Gi¶i:

Bµi 1: a) ; b ) x ; c) ;

d)

Bµi 2: a)

b) Ta cã:

c) Ta cã:

( HÖ (*) v« nghiÖm do bÊt ph¬ng

tr×nh 8x2-17x +10 v« nghiÖm )

d)

Ta cã:

e) Ta cã:

Bµi 3: a) §iÒu kiÖn x 0 Ta cã: b) Ta cã:

(*) Ta cã thÓ lËp b¶ng xÐt dÊu hoÆc xÕt tõng kho¶ng gi¸ trÞ ®Ó gi¶i - Víi x > 0 th× (*) kh«ng tho¶ m·n x > 0

-Víi x < 0 th× (*) kÐt hîp víi x < 0 ta

®îc

D. Mét sè bµi tËp n©ng cao : Bµi 1: Cho x

Chøng minh r»ng: (x + y) (x2 + y2) x5 + y5

Bµi 2: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:

Bµi 3: Chøng minh r»ng:

Bµi 4: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6. Chøng minh r»ng:

Bµi 5: Cho abc = 1; a3 > 36,

Chøng minh r»ng: + b2 + c2 > ab + bc + ca

Bµi 6 : Chøng minh r»ng . NÕu x, y, z 0 th× x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y) 0

Bµi 7: Cho a, b, c [0;2] cã a + b + c = 3. CMR: a2 + b2 + c2 < 5Bµi 8: Cho c¸c sè thùc d¬ng a , b , c tho¶ m·n abc = 1. Chøng minh r»ng : < 1 Bµi 9: CMR. nÕu x, y th× mét trong hai bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai:

≥ vµ ≥

Bµi 10: Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1. Chøng minh r»ng:

Bµi 11: Chøng minh r»ng: Mäi a, b, c, d, p, q > 0 ta cã:

Bµi 12 : Cho x, y thay ®æi sao cho 0 x 3; 0 y 4T×m Max cña P = (3 – x) ( 4 – y) (2x + 3y)

Bµi 13: T×m GTLN vµ GTNN cña xy víi x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:

x4 + y4 – 3 = xy (1 – 2xy)Bµi 14: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

H íng dÉn gi¶i

Bµi 1: V× x ; y => x2 + y2 4 =>

=> 2.

=>

=>

Bµi 2: Ta cã : T¬ng tù cho b , c ta ®îc

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = 1 * MÆt kh¸c :

§Æt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta cã

( §óng )

Bµi 3: XÐt

VËy

víi n = 2001 ta cã:

Bµi 4: §Æt A =

Ta cã A =

( BÊt ®¼ng thøc Cosicho 3 sè

d¬ng )

Theo bÊt ®¼ng thøc cosi:

VËy (DÊu b»ng x¶y ra: a = b = c = 2)

Bµi 5 : Ta cã :

<=> + b2 + c2 – a(b+c) – bc > 0

<=> + (b + c)2 – a(b+c) – 3bc > 0 (*)

Thay bc = ta ®îc:

(*) <=> + (b + c)2 – a(b+c) – > 0

<=> a( b + c)2 – a2 (b + c) + - 3 > 0

§Æt b + c = x ta cã: ax2 – a2x + - 3 > 0 Víi mäi x

§iÒu nµy t¬ng ®¬ng: = a4 – 4a ( - 3) < 0

<=> a4 -

<=> 12a (36 – a3) < 0 ®óng v× a3 > 36Bµi 6:- Do vai trß b×nh ®¼ng cña x, y, z nªn cã thÓ gi¶ sö z y xKhi ®ã: x(x - y) (x - z) 0 (1)MÆt kh¸c: z (z - x) y(y - z) Do vËy: z (z - x) (z - y) y(y - x) (z - y) z (z - x) (z - y) + y(y - z) (y - x) 0 (2)

Tõ (1) vµ (2) ®pcm.

Bµi 7: - Do a, b, c [0;2] nªn (2 - a) (2 - b) (2 - c) 0 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ac) - abc 0 2 (ab + ac + bc) + 4 (a + b + c) + abc - 8 2 (ab + ac + bc) 4 + abc 4 (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) 4 (a2 + b2 + c2) < 5

DÊu "=" x¶y ra khi a, b, c cã mét sè b»ng 2; mét sè b»ng 0; mét sè b»ng 1.Bµi 8 :Ta cã: (a3 - b3) (a2 - b2) 0 (a5 + b5) a2 b2 (a + b) Do ®ã : (1)

T¬ng tù: < (2)

< (3) . Tõ (1) ; (2) vµ (3) ta cã ®iÒu cÇn chøng minh Bµi 9 :- Gi¶ sö c¶ hai bÊt ®¼ng thøc ®Òu ®óng khi ®ã:

xy x2 + y2 vµ x(x + y) x2 (x + y)2

(x2 + 2xy) 3x2 + 2xy + 2y2

2y2 - 2( - 1)xy + (3 - )x2 0 4y2 - 4 ( - 1)xy + (6 - 3 )x2 0 (2y)2 - 2 . 2y ( - 1)x + [( - 1)]2 0 [2y - ( - 1)x]2 0§iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× ( - 1)x lµ sè v« tû kh«ng thÓ b»ng 2y khi x ,y .Bµi10:- Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d¬ng ta cã:

(BÊt ®¼ng thøc cosi cho 3 sè)DÊu b»ng x¶y ra khi a = b= c =1 Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxi ta cã:

Bµi11:

T¬ng tù

Do ®ã

Bµi 12: Ta cã: P = (6 – 2x) (12 – 3y) (2x + 3y)

P 36Pmax = 6 <=>

Bµi 13: Ta cã: x4 + y4 – 3 = xy ( 1- 2xy)<=> xy + 3 = x4 + y4 + 2x2 y2

<=> xy + 3 = (x2 + y2)2

Do (x2 + y2)2 4x2y2 do ®ã:xy+ 3 4x2y2

§Æt xy = t ta cã: 4x2y2 – xy – 3 0

hay 4t2 – t – 3 0 <=>

VËy (xy)max = 1 khi x = y = 1

(xy)min = khi x = y =

Bµi1 4: Ta cã:

§Æt x2 +5x +4 = t th× x2 +5x +6 = t +2

BÊt ph¬ng tr×nh trë thµnh :

Víi t ta cã: x2+5x+8 V« nghiÖm

Víi t 1 ta cã:

Phương pháp chọn điểm rơi cho bất đẳng thức cosiKhi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất. Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một điều kiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm. Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được tham số phù hợp.Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất:a. b.c.d. Giải: a.Bài này khá đơn giản chắc bạn nào cũng đều biết nó. Tuy nhiên dùng bài này minh họa cho việc lựa chọn tham số theo mình là phù hợp nhất.Vì vai trò các biến x,y,z là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra tại x=y=z=1/3. Nên ta có như sau:

(dấu = xảy ra khi )Như vậy ta áp dụng như sau:

cộng dồn lại rồi suy ra.

b.Như bài trên mình đã nói lên một ý tưởng là thêm vào các biệt số phụ như chẳng hạn. Và phương pháp thêm này nói chung rất hiệu quả và triệt để cho các bài toán dạng này.Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra x=y. Ta cần chọn các biệt số phụ sao:

(dấu = xảy ra khi )

(dấu = xảy ra khi )

(dấu = xảy ra khi )Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có

suy ra: (*)Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và (*) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn.c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc. Ta chọn các biệt số phụ sao cho:

(dấu = xảy ra tại )

(dấu = xảy ra tại )

(dấu = xảy ra tại )Và mục đích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+zVậy ta suy ra dễ dàng: (*)Đồn thời với dấu = xảy ra và đk (*) bạn có thể tìm được biệt số.d.Sang câu d đây là một dạng tổng quát của bài toán này. Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó chụi và mất thời gian nhiều. Nay mình xin nói thêm đây là một cách rất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các biệt số phụ liền. Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì đây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi.

như vậy bạn chỉ cần rút x,y,z theo rồi thế vào điều kiện là có thể ra được điểm rơi.Ngoài ra với bài toán trên nó kô chỉ giới hạn ở mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,k của x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng quát hơn: . Mà cách giải vẫn không mấy thay đổi (tuy nhiên đều là số nguyên)Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1. Tìm giá trị lớn nhất:a.b.

c. d. Giải:Những bài này chúng ta cũng sẽ và có chung một hương đi giải quyết đó:a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các số sẽ tìm được)Ta có:

dấu = xảy ra khi:

Suy ra: ade=bcfVà mục đích của các biệt số này là có thể đưa về dạng xy+yz+zx. Nên khi đó: Như vậy ta được hệ phương trình sau:

abd = cef a+b=1 c+d=1 e+f=2 Hệ trên 6 phương trình tương ứng với 6 ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải được có điều hơi dài. Tuy nhiên trong trường hợp bài toán a,b,c chúng ta thấy rằng các biến x,y có tính đối xứng nay nên việc phân tích sẽ đơn giản hơn thế này a=c, b=d, e=f. Như vậy thì đơn giản hơn đúng kô1 Còn trường hợp ở bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó sẽ khó khăn đôi chút. Nhưng có một phương pháp rất hay và mới:Xét biểu thức:

Với Như vậy ta được hệ phương trình bậc 3 theo trong đó là nghiệm dương nhỏ nhất. Từ đây bạn có thể tính ra suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà kô cần phải giải a,b,c,d,e,f. Bài toán 3: Cho x,y,z là các số dương, thõa: x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của:

Với các dạng bài này thì phương pháp cũng tương tự nhau nên dành cho các bạn vậy! Xem như đây là một bài luyện tậpNgoài ra đôi lúc trong việc tìm cực trị của bài toán không phải là ta nhìn đã thấy được đó là điểm rơi trong côsi mà nó còn kết hợp với phương pháp khác như đồng nhất thức, đạo hàm, v.v... Và chính điều này nó làm tăng thêm phần hay và đẹp của điểm rơi trong côsi

Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức

Đôi khi chứng minh một bài toán BĐT có rất nhiều cách khác nhau để giải, song không phải cách nào cũng thuận lợi cho việc chứng minh BĐT, có nhiều BĐT đề ra phức tạp làm cho ta cảm giá rối, nhưng qua việc đưa về biến mới thì bài toán trở nên dễ hơn. Bài viết này xin nêu ra một số cách đổi biến để chứng minh BĐT được dễ dàng hơn.Sau đây là một số ví dụ :

VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR:

Ta đặt nên BĐT

(đúng)

Vậy BĐT đuợc chứng minh.Dấu “=” xảy ra

VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: .

CMR:

Đặt với từ giả thiết

Và BĐT cần CM CM BĐT mặt khác ta có BĐT sau: Vậy BĐT đuợc chứng minh.

Dấu “=” xảy ra

VD3: Cho x, y, z >0 thoả . CMR

Từ giả thiết ta có thể đặt: với a,b,c >0

Nên BĐT CM

(đúng)

Dấu “=” xảy ra

VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR

Ta đặt với nên BĐT CM BĐT

mặt khác ta có Vậy BĐT đuợc chứng minh.Dấu “=” xảy ra

VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .

CMR:

Do nên ta có thể đặt với

Nên BĐT có thể viết lại

(đã CM ở VD4)Vậy BĐT đuợc chứng minh.Dấu “=” xảy ra

VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .

CMR :

Ta đặt với và do nên

Nên BĐT

mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:

Vậy BĐT đuợc chứng minh.Dấu “=” xảy ra VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: .

CMR:

Từ

Ta đặt với

Nên BĐT cần CM CM BĐT

Mặt khác ta có:

Nên

Vậy BĐT luôn đúngDấu “=” xảy ra

Sau đây là một số bài tập để luyện tập:Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác:

1,

2,

Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn . CMR:

1,

2,

Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn .

CMR:

Bài 4: Cho thoả mãn . CMR:

Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:

1, với S là diện tich tam giác 2,

Gợi ý: Đặt

Mot so phuong phap chung minh bat dang thuc

A- §Æt vÊn ®ÒTrong gi¶ng d¹y m«n to¸n, ngoµi viÖc gióp häc

sinh n¨m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n, th× viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh ®Ó khai th¸c thªm c¸c bµi to¸n míi tõ nh÷ng bµi to¸n ®iÓn h×nh, ®ång thêi biÕt øng dông c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n vµo viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n phøc t¹p lµ ®iÒu rÊt cÇn thiÕt cho c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái.Chóng ta ®Òu biÕt mét bµi to¸n dï cã khã, phøc t¹p ®Õn ®©u lêi gi¶i cña nã còng cã thÓ ®a ®îc vÒ mét chuçi h÷u h¹n c¸c bíc suy luËn ®¬n gi¶n, viÖc gi¶i bµi to¸n phøc t¹p ®Òu cã thÓ ®a vÒ viÖc ¸p dông, tiÒn ®Ò lµ c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n. Nªn viÖc th-êng xuyªn øng dông, khai th¸c c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n khã lµ mét c¸ch n©ng cao dÇn

kh¶ n¨ng suy luËn, t duy s©u cho häc sinh. Qua mét sè n¨m gi¶ng d¹y, t«i ®· häc hái ®îc ë c¸c ®ång nghiÖp vµ víi kinh nghiÖm cña b¶n th©n t«i lu«n gióp häc sinh khai th¸c, øng dông nhiÒu bµi to¸n, nhÊt lµ c¸c bµi to¸n vÒ chøng minh bÊt ®¼ng thøc, trªn c¬ së ®ã t«i viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm. “øng dông, khai th¸c mét bÊt ®¼ng thøc “. Dï ®· cã nhiÒu cè g¾ng, song s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy cha ph¶i lµ hoµn chØnh, cßn cã thiÕu sãt. T«i rÊt mong ®îc Héi ®ång khoa häc vµ c¸c ®ång nghiÖp bæ sung thªm ý kiÕn ®ãng gãp cho t«i, ®Ó trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y sau nµy, t«i sÏ gióp ®îc häc sinh cña m×nh nhiÒu h¬n n÷a trong lÜnh vùc t×m tßi vµ chiÕm lÜnh c¸c tri thøc, kh¸m ph¸ m«n to¸n häc.

B- Néi dungI- C¬ së lý thuyÕt

1. §Þnh nghÜa bÊt ®¼ng thøcCho hai sè a vµ b. Ta nãi :a lín h¬n b, ký hiÖu a > b, nÕu a - b > 0a nhá h¬n b, ký hiÖu a < b, nÕu a - b < 02. Mét sè tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc

+ a > b b < a + a > b , b > c a > c+ + + + 3. Mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc + ; x¶y ra ®¼ng thøc khi a = 0.+ . X¶y ra ®¼ng thøc khi a = 04. Mét sè ph ¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc

4.1. Dïng ®Þnh nghÜa§Ó chøng minh A > B, ta xÐt hiÖu A - B vµ chøng minh r»ng A - B > 0

4.2. Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng§Ó chøng minh A > B ta biÕn ®æi t¬ng ®¬ng

Trong ®ã bÊt ®¼ng thøc An > Bn lu«n ®óng, do qu¸ tr×nh biÕn ®æi lµ t¬ng ®¬ng nªn ta suy ra A > B lµ ®óng.

4.3. Dïng bÊt ®¼ng thøc phô§Ó chøng minh A > B, ta xuÊt ph¸t tõ mét h»ng bÊt ®¼ng thøc hoÆc mét bÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n (gäi lµ b®t phô) vµ biÕn ®æi t¬ng ®-¬ng suy ra A > B.

II- C¸c nhËn xÐt vµ c¸c bµi to¸n minh ho¹ cho viÖc øng dông, khai th¸c mét bÊt ®¼ng thøc líp 8

NhËn xÐt :Trong ch¬ng tr×nh to¸n T.H.C.S cã mét bÊt ®¼ng thøc quen thuéc mµ viÖc øng dông cña nã trong khi gi¶i c¸c bµi tËp ®¹i sè vµ h×nh häc rÊt cã hiÖu qu¶. Ta thêng gäi ®ã lµ “bÊt ®¼ng thøc kÐp”. §ã lµ bÊt ®¼ng thøc sau :

Víi mäi a, b ta lu«n cã : abbaba 22

)( 222

(*)

NhËn thÊy (*)

C¶ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ®Òu t¬ng ®¬ng víi h»ng bÊt ®¼ng thøc

0)( 2 ba vµ do ®ã chóng x¶y ra ®¼ng thøc khi a = b.ý nghÜa cña bÊt ®¼ng thøc (*) lµ nªu nªn quan hÖ gi÷a tæng hai sè víi tÝch hai sè vµ víi tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai sè ®ã.Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô minh ho¹ viÖc vËn dôngvµ khai th¸c bÊt ®¼ng thøc (*).Bµi to¸n 1:Cho a + b = 1 . Chøng minh r»ng:

2122 ba ;

8144 ba ;

128188 ba

* Gi¶i : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) vµ gi¶ thiÕt a + b = 1 ta cã:

21

2)( 2

22

baba ;

81

2

)21(

2)(

2222

44

baba

1281

2

)81(

2)(

2244

88

baba .§¼ng thøc x¶y ra khi a = b = 1/2.

* Khai th¸c bµi to¸nNhËn xÐt 1: NÕu tiÕp tôc ¸p dông b®t (1) vµ t¨ng sè mò cña biÕn ta thu ®îc c¸c kÕt qu¶ nh:

.........21

2

)128

1(

2)(

15

2288

1616

baba

Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau:Bµi to¸n 1.1:

Cho a + b = 1 . Chøng minh r»ng:

C¸ch gi¶i bµi to¸n 1.1 ta ¸p dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc vµ lµm t¬ng tù bµi to¸n 1.NhËn xÐt 2: TiÕp tôc kh¸i qu¸t bµi to¸n 1.1 khi thay gi¶ thiÕt a +

b = 1 bëi gi¶ thiÕt a + b = k , lµm t¬ng tù nh trªn ta cã

VËy cã bµi to¸n 1.2 nh sau:Bµi to¸n 1.2:

Cho a + b = k . Chøng minh:

NhËn xÐt 3: Tõ bµi to¸n 1.2 nÕu ta thay gi¶ thiÕt a + b = k bëi b = k - a ta ®îc

Bµi to¸n 1.3:

Chøng minh : víi mäi k .

* Khai th¸c s©u bµi to¸nNhËn xÐt 1: NÕu ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) liªn tiÕp 2 lÇn ta cã kÕt qu¶:

3

4

22

22244

222

2)( ba

bababa

Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau:Bµi to¸n1.4:

Chøng minh :

a) 3

444

2baba

b)

NhËn xÐt 2: NÕu ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) liªn tiÕp nhiÒu lÇn vµ t¨ng sè biÕn ta cã:

.

VËy cã bµi to¸n 1.5:

Chøng minh: 44444

44

dcbadcba

Cø tiÕp tôc suy luËn s©u h¬n n÷a ta thu ®îc nhiÒu bµi to¸n tæng qu¸t h¬n.Bµi to¸n 2: Cho a, b, c > 0.Chøng minh r»ng: .8)).().(( abcaccbba

* Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (2) ta cã :

2222 64))()(( cbaaccbba (v× a, b, c > 0)

abcaccbba 8))()(( ( v× (a+b)(b+c)(c+a) > 0 vµ 8abc > 0).§¼ng thøc x¶y ra khi a = b = c .

* Khai th¸c bµi to¸nNhËn xÐt 1: NÕu cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 1. Khi ®ã ta cã 1 - a, 1- b, 1 - c > 0 vµ cã 1 + c = 1 + 1 - a - b = (1 - a ) + (1 - b ). ¸p dông bµi to¸n 2 ta ®îc : )1)(1)(1(8)1)(1)(1( cbacba

VËy cã bµi to¸n 2.1:Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 1. Chøng minh: )1)(1)(1(8)1)(1)(1( cbacba

NhËn xÐt 2: Ta tiÕp tôc khai th¸c s©u h¬n bµi to¸n b»ng c¸ch cho a + b + c = n > 0 . Khi ®ã t¬ng tù nh bµi to¸n 2.1 ta cã

Bµi to¸n 2.2:Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = n > 0. Chøng minh : ))()((8))()(( cnbnancnbnan

Bµi to¸n 3:

Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta cã : cabcabcba 222

* Gi¶i :

¸p dông bÊt ®¼ng thøc (3) ta cã :

acca

cbbc

abba

2

2

2

22

22

22

)(2)(2 222 cabcabcba ®.p.c.mCã ®¼ng thøc khi a = b = c.

* Khai th¸c bµi to¸nNhËn xÐt 1 : NÕu ¸p dông bµi to¸n 3 vµ t¨ng sè mò lªn, gi÷ nguyªn sè biÕn ta cã 222222444 accbbacba (*) l¹i ¸p dông bµi to¸n 3 lÇn n÷a ta cã

)(222222 cbaabcaccbba (**) . Tõ (*) vµ (**) ta thu ®îc kÕt

qu¶ lµ )(444 cbaabccba . VËy cã bµi to¸n 3.1:

Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta cã : )(444 cbaabccba .

NhËn xÐt 2: NÕu t¨ng sè biÕn vµ gi÷ nguyªn sè mò cña biÕn víi c¸ch lµm nh bµi to¸n 3 ta cã

Bµi to¸n 3.2:

Chøng minh r»ng: 11322122

22

1 ...... aaaaaaaaaaa nnnn

Víi mäi naaa ;...;; 21

Bµi to¸n 4 :Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c, d ta cã :

abcddcba 44444

* Gi¶i :¸p dông bÊt ®¼ng thøc (3) ta cã :

abcddcbadcbadcba 4)(222 222222224444

®.p.c.mCã ®¼ng thøc khi a = b = c = d

* Khai th¸c bµi to¸nNhËn xÐt 1: NÕu thay b = c = d = 1 ta cã b®t

3443 44 aaaaVËy cã bµi to¸n 4.1:

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = aa 44

NhËn xÐt 2: NÕu khai th¸c bµi to¸n 4 theo híng t¨ng sè biÕn, sè mò lªn, ta Cã bµi to¸n tæng qu¸t sau:

Bµi to¸n 4.2:Chøng minh r»ng víi mäi sè víi *Nn ta cã:

naaaann

nan

an

an

a 2...321222...2

32

22

1 .

Bµi to¸n 5 :Cho a + b + c + d = 2 . Chøng minh : 12222 dcba

* Khai th¸c bµi to¸nNhËn xÐt 1: NÕu thay h»ng sè 2 ë gi¶ thiÕt bëi sè k ta ®îc kÕt

qu¶ 4

22222 kdcba . VËy cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n nh sau:

Bµi to¸n 5.1:

Cho a + b + c + d = k . Chøng minh : 4

22222 kdcba

NhËn xÐt 2: Ta cßn cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 5.1 ë møc ®é cao h¬n b»ng c¸ch t¨ng sè biÕn cña bµi to¸n . Khi ®ã bµi to¸n 5.1 chØ lµ trêng hîp riªng cña bµi to¸n sau:

Bµi to¸n 5.2:

Cho naaa ...21 = k . Chøng minh: nkaaa n

222

22

1 ... víi *Nn

§Ó gi¶i bµi to¸n nµy th× c¶ hai c¸ch lµm cña bµi to¸n 5 ë trªn ®a vµo ¸p dông kh«ng hîp lý, ta sÏ lµm nh sau:

¸p dông b®t (3) ta cã: nka

nka .2 12

22

1 ; nka

nka .2 22

22

2 ; … ;

nka

nka nn .22

22

)...(2... 212

222

22

1 nn aaank

nknaaa (v×

kaaa n ...21 )

nk

nkaaa n

2222

22

1 2... nkaaa n

222

22

1 ... (®.p.c.m).

Tõ ®ã suy ra :

naaa

aaa nn

22122

22

1...

...

víi *Nn

(1.1)

VËy cã bµi to¸n 5.3:

Chøng minh: n

aaaaaaa nn

232122

22

1...

...

víi *Nn .

§Æc biÖt ho¸ víi n = 5, n = 7, ta ®îc nh÷ng bµi to¸n nh : Chøng minh :

5...

...2

532125

22

21

aaaaaaa

7

......

273212

72

22

1aaaa

aaa

.

Râ rµng nh÷ng b®t nµy nÕu sö dông ph¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa hoÆc biÕn ®æi t¬ng ®¬ng th× rÊt khã gi¶i quyÕt .

* Khai th¸c s©u bµi to¸nNÕu tiÕp tôc n©ng sè mò lªn cao h¬n theo c¸ch khai th¸c cña bµi to¸n 1.4 ta thu ®îc kÕt qu¶ tæng qu¸t h¬n n÷a ch¼ng h¹n:

Bµi to¸n 5.4:Chøng minh:

a) 3

432144

24

1...

...n

aaaaaaa nn

víi *Nn

b) 7

832188

28

1...

...n

aaaaaaa nn

víi *Nn

c)

122

22...3212

2...22

21

nn

nnaaaan

nan

an

a víi (1.2)

Râ rµng c¸c bÊt ®¼ng thøc nµy cßn chÆt h¬n c¶ b®t C« Si vµ còng kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn g× cña biÕn.TiÓu kÕt 1: Trªn ®©y ta ®· khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n ®Ó thu ®îc nh÷ng bµi to¸n míi, nh÷ng kÕt qu¶ míi tæng qu¸t h¬n.BÊt ®¼ng thøc (1.1) lµ trêng hîp tæng qu¸t cña bÊt ®¼ng thøc (1) khi ta khai th¸c theo híng t¨ng sè biÕn cña bµi to¸n.BÊt ®¼ng thøc (1.2) lµ trêng hîp tæng qu¸t cña bÊt ®¼ng thøc (1) khi ta khai th¸c theo híng t¨ng c¶ sè mò vµ sè biÕn.TiÓu kÕt 2:

§Ó khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc ta cã thÓ ®i theo mét sè híng nh sau:

Híng thø nhÊt : Tæng qu¸t ho¸ c¸c h»ng sè cã trong bµi to¸n, vÝ dô nh c¸c bµi to¸n 1.2; 2.2; 5.1; 6.1; 8.1; 9.1; 10.2; 12.1

Híng thø hai : Gi÷ nguyªn sè biÕn vµ t¨ng sè mò cña c¸c biÕn dÉn ®Õn tæng qu¸t ho¸ sè mò, vÝ dô c¸c bµi to¸n 1.1; 1.4

Híng thø ba : Gi÷ nguyªn sè mò vµ t¨ng sè biÕn cña c¸c biÕn dÉn ®Õn tæng qu¸t ho¸ sè biÕn, vÝ dô c¸c bµi to¸n 1.5; 3.1; 6.3; 9.2; 10.3

Híng thø t : Tæng qu¸t ho¸ c¶ vÒ sè mò vµ sè biÕn, vÝ dô nh c¸c bµi to¸n 4.2; 5.2; 5.4

Híng thø n¨m : §æi biÕn, ®Æc biÖt ho¸ tõ bµi to¸n tæng qu¸t, vÝ dô nh c¸c bµi to¸n 2.1; 4.1; 5.3; 6.2 Trªn ®©y lµ c¸c vÝ dô vËn dông b®t (*) vµo viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n ®¹i sè vµ mét sè ph¬ng híng ®Ó khai th¸c mét bµi to¸n.

KÕt qu¶ thu ®îc sau khi khai th¸c b®t (1) lµ b®t :

n

aaaaaa nn

22122

22

1...

...

víi *Nn

(1.1)

Vµ b®t:

122

22...3212

2...22

21

nn

nnaaaan

nan

an

a víi *Nn

(1.2)

Hoµn toµn t¬ng tù nh trªn ( Chøng minh b»ng quy n¹p to¸n häc ) ta còng cã kÕt qu¶ khi khai th¸c b®t (2) nh sau:

n

aaannn

nnaaaa

2...212

122

22...321

víi *Nn (2.1)

Tõ b®t (1.2) vµ b®t (2.1) ta cã b®t tæng qu¸t cña b®t (*) nh sau:

n

aaannn

nnaaaan

nan

an

a2

...21212

2

22...3212

2...22

21

víi *Nn (*.1)

Nh vËy khi lµm xong mét bµi to¸n dï lµ bµi to¸n dÔ , ngêi lµm to¸n kh«ng nªn tho¶ m·n ngay víi lêi gi¶i cña m×nh mµ cÇn tiÕp tôc suy xÐt nh÷ng vÊn ®Ò xung quanh bµi to¸n, t×m ra c¸c bµi to¸n míi hay h¬n, tæng qu¸t h¬n, sau ®ã ®Æc biÖt ho¸ bµi to¸n tæng qu¸t ®Ó cã ®îc nh÷ng bµi to¸n ®éc ®¸o h¬n, thó vÞ h¬n. §iÒu ®ã lµm cho ng-êi häc to¸n ngµy cµng say mª bé m«n, ®ång thêi còng lµ c¸ch rÌn luyÖn t duy, nghiªn cøu ®Ó chiÕm lÜnh kho tµng tri thøc cña nh©n lo¹i.

MOÄT KYÕ THUAÄT CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC COÙ ÑIEÀU KIEÄN ===========

Trong moät soá baøi toaùn Baát ñaúng thöùc coù moät soá khaù nhieàu baøi toaùn chöùng minh maø caùc aån coù ñieàu kieän raøng buoäc; daïng: “Cho C D. Chöùng minh A B”

Coù moät kyõ thuaät ñeå chöùng minh laø ta ñi töø chöùng minh: (A – B) + (D –C) 0; Khi ñoù töû ñieàu kieän C D ta suy ra ñöôïc A B

Sau ñaây laø moät soá ví duï:Baøi toaùn 1: Cho a + b 1. Chöùng minh raèng: a2 + b2 1/2

Giaûi: Ta coù (a2 + b2 – 1/2) + (1 – a – b) = a2 + b2 – a – b – 1/2 = (a2 – a + 1/4) + ( b2 – b + 1/4) = (a – 1/2)2 + (b – 1/2)2 0. Maø a + b 1 suy ra: 1 – a – b 0 => a2 + b2 – 1/2 0 Hay a2 + b2 1/2

Baøi toaùn 2: Chöùng minh raèng neáu a + b 2 thì a3 + b3 a4 + b4Giaûi: Ta coù: (a4 + b4 – a3 + b3) + ( 2 – a – b) = a4 – a3 – a + 1 + b4 – b3 – b + 1 = = (a – 1)(a3 – 1) + (b -1)(b3 – 1) = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) 0

Maø a + b 2 => 2 – a – b 0 => a4 + b4 – a3 + b3 0 => a3 + b3 a4 + b4

Baøi toaùn 3: Cho x, y laø caùc soá döông thoaû maõn: x3 + y4 x2 + y3. Chöùng minh raèng:

x3 + y3 x2 + y2 vaø x2 + y3 x + y2Giaûi: a/ Ta coù: (x2 + y2 – x3 – y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = y2 – 2y3 + y4 = y2(y – 1)2 0

Maø x3 + y4 x2 + y3 => x3 + y4 – x2 – y3 0 => x3 + y3 x2 + y2

b/ Ta coù: (x + y2 – x2 + y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = x – 2x2 + x3 + y2 – 2y3 + y4 =

= x(1 – x)2 + y2(y – 1)2 0 (vì x > 0)Maø x3 + y4 x2 + y3=> x3 + y4 – x2 – y3 0 => x2 + y3 x

+ y2Baøi toaùn 4: Chöùng minh raèng neáu: a + b + c 3 thì a4 +

b4 + c4 a3 + b3 + c3 Giaûi: Ta coù: (a4 + b4 + c4 – a3 – b3 – c3) + (3 – a – b – c) = = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) + (c – 1)2(c2 + c + 1 0

Maø: a + b + c 3 => 3 – a – b – c 0 => a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3

Baøi toaùn 5: Cho x, y laø caùc soá döông thoaû maõn x3 + y3 = x – y. Chöùng minh raèng: x2 + y2 < 1Giaûi: Ta coù: 1 – x2 – y2 = (1 – x2 – y2) + (x3 + y3 – x + y) = x4 – x3 – x + 1 + y4 – y3 + y =

(x – 1)(x2 – 1) + y(y2 – y + 1) = (x + 1)(x – 1)2 + y(y2 – y + 1) > 0 ( vì x; y > 0)

=> x2 + y2 < 1---- ----

BAØI TAÄP AÙP DUÏNG:1/ Bieát raèng x2 + y2 x + y. Chöùng minh raèng x + y 22/ Bieát raèng ab 1. Chöùng minh raèng a2 + b2 a + b3/ Bieát raèng x2 + y2 x. Chöùng minh raèng y(x + 1) -1

C- KÕt luËnSau mét qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m,

th«ng qua c¸c tµi liÖu tham kh¶o, còng nh häc hái ë c¸c ®ång nghiÖp. T«i ®· hÖ thèng l¹i ®îc rÊt nhiÒu bµi to¸n h×nh häc vµ ®¹i sè cã thÓ øng dông bÊt ®¼ng thøc (*) ®Ó gi¶i, mÆc dï cã nh÷ng bµi to¸n mµ trong tµi liÖu tham kh¶o ph¶i sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc lín nh bÊt ®¼ng thøc C«Si cho 3 sè, cho 4 sè, bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpski… ®Ó gi¶i, c¸c c¸ch gi¶i nµy hiÖn nay kh«ng phï hîp víi ch¬ng tr×nh to¸n T.H.C.S. Trong khi ®ã bÊt ®¼ng thøc (*) hÇu hÕt häc sinh líp 8 vµ líp 9 ®Òu chøng minh ®îc vµ thêng sö dông, h¬n n÷a viÖc øng dông bÊt ®¼ng thøc (*) mang l¹i hiÖu qu¶ kh«ng ph¶i lµ nhá.

Th«ng qua s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy t«i mong muèn ®ùoc ®ãng gãp mét phÇn nhá bÐ c«ng søc trong viÖc híng dÉn häc sinh øng dông vµ khai th¸c bÊt ®¼ng thøc (*) khi lµm to¸n, rÌn luyÖn tÝnh tÝch cùc, ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh, g©y høng thó cho c¸c em khi häc to¸n. Tuy nhiªn, do thêi gian cã h¹n, tr×nh ®é b¶n th©n cßn h¹n chÕ, nªn t«i rÊt mong ®îc sù ®ãng gãp bæ sung cña Héi ®ång khoa häc c¸c cÊp vµ cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó kinh nghiÖm cña t«i ®îc hoµn chØnh h¬n, ®ång thêi còng gióp ®ì t«i tiÕn bé h¬n trong gi¶ng d¹y.T«i xin tr©n träng c¶m ¬n !