doprinos metodama identifikacije mehaniČkih sustava … · izlaza i poremećaja. proces...

SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE STROJARSTVA I

BRODOGRADNJE

DOPRINOS METODAMA IDENTIFIKACIJE MEHANIČKIH SUSTAVA U VREMENSKOM PODRUČJU

DOKTORSKA DISERTACIJA

VLADISLAV ČUČIĆ

SPLIT, 2012.

Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području

ii

SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

DOPRINOS METODAMA IDENTIFIKACIJE MEHANIČKIH SUSTAVA U VREMENSKOM PODRUČJU

DOKTORSKA DISERTACIJA Prof.dr.sc. Željan Lozina Vladislav Čučić, dipl. ing.

SPLIT, 2012.


iii

IMPRESUM/BIBLIOGRAFSKI PODATCI Doktorska disertacija je izrañena na

Zavodu za strojarstvo i brodogradnju

Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu

Sveučilište u Splitu

Mentor: dr. sc. Željan Lozina, red. prof.

Rad broj: 80.


iv

PODATCI O OCJENI I OBRANI DISERTACIJE Povjerenstvo za ocjenu doktorske disertacije:

1. Dr. sc. Damir Vučina, red. prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split

2. Dr. sc. Željan Lozina, red. prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split

3. Dr. sc. Željana Nikolić, red. prof. Fakultet grañevinarstva, arhitekture i geodezije Split

Povjerenstvo za obranu doktorske disertacije:

1. Dr. sc. Damir Vučina, red. prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split

2. Dr. sc. Željan Lozina, red. prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split

3. Dr. sc. Željana Nikolić, red. prof. Fakultet grañevinarstva, arhitekture i geodezije Split

4. Dr. sc. Frane Vlak, izv. prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split

5. Dr.sc. Vedrana Cvitanić, izv.prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split

Disertacija obranjena dana: 04. rujna 2012.


v

Sažetak

Identifikacija sustava je proces dobivanja matematičkog modela na temelju izmjerenih

podataka. Postupak identifikacije može se odvijati u vremenskoj ili frekventnoj domeni. U ovom

radu napravljena je usporedba izmeñu takva dva pristupa. Usporedba je definirana s motrišta

točnijeg izračunavanja i uloženog truda potrebnog za provedbu identifikacije funkcije impulsnog

odziva IRF (impuls response function) potrebne u validaciji i poboljšanju modela u vremenu

(model update in time domain) u odnosu na klasično računanje inverznom Furierovom

transformacijom FRF-a (frequency response function).

Frekventno područje identifikacije sustava redovito obuhvaća područje od nula do

Nyquistove frekvencije. Meñutim, mnogi sustavi (strojni dijelovi) su opterećeni ili rade samo u

odreñenom frekventnom području. Širenjem frekventnog područja identifikacije opada

preciznost. Stoga je poželjno dobiti model, odnosno izvršiti identifikaciju, isključivo preko

odreñenog dijela spektra.

Ključne riječi Identifikacija sustava, vibracije, prijenosna funkcija, Fourierova transformacija, ERA, promatračko pojačanje, Kalmanov filtar


vi

Abstract

System identification is the process of obtaining a mathematical model based on

measured data. The process of identification can be done in time or frequency domain. In this

paper, comparison is made between these two approaches. The comparison is defined from the

aspect of a more accurate calculation and effort required to implement the identification of the

impulse response function IRF necessary for validation and improvement of the model in time

(model update in time domain) as compared to classical computing with inverse Fourier

transformation of FRF (Frequency Response Function).

Frequency range of identification systems regularly covers the area from zero to the

Nyquist frequency. However, many systems (machine parts) were loaded, or work only in a

certain frequency range. By expanding the field of frequency identification, accuracy declines. It

is therefore desirable to obtain the model, ie, identify solely through a portion of the spectrum.

Keywords System identification, vibration, transfer function, Fourier transform, ERA, observer gain, Kalman filter


vii


viii

Zahvala

Veliku zahvalnost na potpori i razumijevanju dugujem svom poštovanom mentoru prof. dr. sc. Željanu Lozini koji me je svojim znanjem, iskustvom i savjetima nesebično i strpljivo vodio pri izradi ove studije.

Ovaj rad ne bi bilo moguće realizirati bez pomoći mnogih drugih. No, posebnu

zahvalu želim uputiti svojoj supruzi Luci i djeci Antunu, Katarini i Zdravku na razumijevanju i ljubavi koju su mi pružali tijekom izrade ovog rada.


ix

Predgovor

Visoki zahtjevi za kvalitetom i pojačana konkurencija predstavljaju sve veće izazove u

projektiranju, konstruiranju i proizvodnji. Suvremeno gospodarstvo zahtijeva neprekidno

usavršavanje postojećih proizvoda, proizvodnih procesa i sustava, tehnologija i kvalitete rada.

Osnovni je cilj svakog proizvodnog sustava pronaći ono rješenje koje minimizira utrošak svih

resursa, a istovremeno pronalazi najpovoljnija izvedbena rješenja. Stoga je sve veći značaj

analize sustava odnosno odreñivanja zakonitosti procesa, u svrhu njegovog razvijanja ili

unapreñenja.

Analiza sustava dijeli se na teoretsku i eksperimentalnu analizu, a najčešće je kombinacija

jedne i druge metode.

Teoretska analiza, za razliku od eksperimentalne, ne zahtijeva postojanje realnog sustava,

a dobiveni modeli i njihova rješenja mogu se primijeniti za druge slične sustave (uz druge

dimenzije i parametre). Za ovaj postupak nužna su potrebna prethodna znanja, iz promatranog

područja, koja obuhvaćaju zakonitosti i meñudjelovanja unutar sustava. Dobiveni matematički

modeli često su komplicirani za daljnju analizu pa se dobivene parcijalne nelinearne

diferencijalne jednadžbe, aproksimiraju običnim linearnim diferencijalnim jednadžbama. Usprkos

tome, kod složenih sustava, matematički je model toliko kompliciran da je neprikladan za daljnju

primjenu.

Eksperimentalna analiza je postupak koji ne zahtijeva prethodna znanja o promatranom

sustavu, a dobivaju se jednostavniji matematički modeli, koji relativno dobro opisuju sustav.

Stoga je ovakav postupak pogodan za primjenu kada promatrani sustav nije dovoljno proučen ili

kad za njega ne postoji poznata matematička funkcija koja povezuje ulazne i izlazne signale

sustava. Nedostatak ove metode je što mora postojati sustav koji se istražuje, a dobiveni rezultati

nisu primjenjivi za slične procese.

U eksperimentalnu analizu spada identifikacija sustava. To je proces razvoja i poboljšanja

matematičkog modela fizikalnog sustava, koristeći se eksperimentalnim podatcima za opis ulaza,

izlaza i poremećaja. Proces identifikacije sastoji se od sljedećih koraka: izbora vrste

matematičkih modela, relevantnih ulaznih i izlaznih signala, izbora kriterija za ocjenu modela, te

razvoja i primjene algoritma. Moguće ju je podijeliti na parametarski i neparametarski postupak,

ovisno o tome je li struktura modela poznata ili nije.


x

Matematički model, dobiven eksperimentalnom analizom, može se koristiti za:

- ispitivanje procesa (sustava)

- provjeru teoretskog modela

- projektiranje sustava upravljanja

- optimiranje procesa

- dijagnostiku procesa

- procjenu nemjerljivih varijabli procesa


xi

Sadržaj Sažetak............................................................................................................................................. v Ključne riječi ................................................................................................................................... v Abstract........................................................................................................................................... vi Keywords........................................................................................................................................ vi Predgovor........................................................................................................................................ ix Popis oznaka .................................................................................................................................. xv 1. Uvod ............................................................................................................................................ 1

1.1. Pregled dosadašnjih istraživanja........................................................................................... 1 1.2. Definiranje problema............................................................................................................ 3

2. Hipoteza....................................................................................................................................... 7 3. Opis istraživanja .......................................................................................................................... 8 4. Teoretske osnove korištene pri izradi algoritama........................................................................ 9

4.1. Teoretska analiza sustava ..................................................................................................... 9 4.1.1. Vibracije – prigušene..................................................................................................... 9 4.1.2. Prikaz sustava u prostoru stanja................................................................................... 12

4.2. Identifikacija sustava u vremenskom području .................................................................. 16 4.2.1. Markovljevi parametri ................................................................................................. 17 4.2.2. Dobivanje Markovljevih parametara sustava .............................................................. 21 4.2.3. ERA – eigensystem realization algorithm................................................................... 22 4.2.4. ERA/DC – s korištenjem korelacije podataka............................................................. 25 4.2.5. Promatračko pojačanje Markovljevih parametara....................................................... 28 4.2.6. Metode za razlikovanje stvarnog moda od zašumljenog moda................................... 30 4.2.7. Kalmanov filtar............................................................................................................ 32

4.2. Identifikacija u frekventnom području ............................................................................... 38 4.2.1. Laplaceova transformacija........................................................................................... 38 4.2.2. Fourierova transformacija............................................................................................ 42 4.2.3. Z transformacija .......................................................................................................... 47 4.2.4. Bilinearna transformacija ............................................................................................ 49

4.3. Utjecaj šuma ....................................................................................................................... 51 4.3.1. Procjena utjecaja mjernog šuma na identifikaciju sustava .......................................... 51

4.4. Identifikacija modela iz dijela spektra................................................................................ 53 4.4.1. Modulacija ................................................................................................................... 54

4.5. Provjera računalnog programa simulacijom matematičkog modela .................................. 57 4.5.1. Numerička simulacija matematičkog modela.............................................................. 57 4.5.2. Usporedba izračunavanja funkcije impulsnog odziva ................................................. 63

5. Modeliranje konstrukcije........................................................................................................... 74 6. Postupak identifikacije na konkretnom primjeru....................................................................... 77

6.1. Analiza rezultata identifikacije ........................................................................................... 77 7. Zaključak ................................................................................................................................. 100 8. Literatura ................................................................................................................................. 101 Kratki životopis ........................................................................................................................... 105 Short Biography........................................................................................................................... 105


xii

Popis slika Slika 1. Tijek analize procesa ........................................................................................................ 5 Slika 2. Sustav s jednim stupnjem slobode.................................................................................... 9 Slika 3. Rješenja diferen. jed. gibanja u vremenu u ovisnosti o relativnom prigušenju ξ........... 11 Slika 4. Primjer oblika krivulje kod kontinuiranog i diskretnog modela .................................... 15 Slika 5. Tijek postupka identifikacije (pulsni vremenski odziv) ................................................. 17 Slika 6. Grafički prikaz algebarske jednadžbe u frekventnom području..................................... 42 Slika 7. Prijenosna funkcija i njene derivacije: x(ω/ω0), v(ω/ω0), a(ω/ω0), (amplituda)........... 43 Slika 8. Realna i imaginarna komponenta kompleksnog dinamičkog faktora u ovisnosti o omjeru ω/ω0 i relativnom prigušenju ξ ......................................................................................... 44 Slika 9. Dinamički faktor H u ovisnosti o omjeru ω/ω0 i relativnom prigušenju ξ .................... 46 Slika 10. Područje stabilnosti za kontinuirano – vremenski i diskretno vremenski sustav ........... 49 Slika 11. Utjecaj zašumljenog signala na masu i odziv sustava.................................................... 52 Slika 12. Razlika izmeñu procijenjenih i stvarnih (simuliranih) vrijednosti izlaza....................... 52 Slika 13. Utjecaj omjera izlaz/šum na točnost identifikacije......................................................... 53 Slika 14. Zrcaljenje i pomak eksperimentalnih podataka.............................................................. 54 Slika 15. Modulacija modela s valom nosiocem 400 Hz .............................................................. 54 Slika 16. Prikaz valnih oblika pri modulaciji ................................................................................ 55 Slika 17. Spektar signala kod modulacije jednom frekvencijom .................................................. 56 Slika 18. Spektar signala kod modulacije pojasom frekvencija .................................................... 56 Slika 19. Vibracijski sustav s dva stupnja slobode........................................................................ 57 Slika 20. Teoretska simulacija sustava, kod koje je izmjereni ulaz zbroj sile i šuma ................... 58 Slika 21. Teoretska simulacija sustava, kod koje je šum zasebna, nepoznata veličina ................. 58 Slika 22. Djelovanje jediničnog (zašumljenog) impulsa na masu m2, te odziv sustava ............... 59 Slika 23. Usporedbe identificiranih, predviñenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim) .. 60 Slika 24. Usporedbe identificiranih, procijenjenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim) 60 Slika 25. Razlika izmeñu procijenjenih i stvarnih (simuliranih) vrijednosti izlaza....................... 61 Slika 26. Usporedbe identificiranih, predviñenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim) .. 62 Slika 27. Usporedbe identificiranih, procijenjenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim) 62 Slika 28. Razlika izmeñu procijenjenih i stvarnih (simuliranih) vrijednosti izlaza....................... 63 Slika 29. Forme vibriranja linearnog sustava s dva stupnja slobode............................................. 64 Slika 30. Prikaz ulaznih i izlaznih podataka simulacije ................................................................ 66 Slika 31. Frekvencijski odziv (FRF) sustava s dva stupnja slobode ............................................. 67 Slika 32. Usporedba impulsnih odziva prvi izlaz (m1) ................................................................. 68 Slika 33. Usporedba pulsnih odziva drugi izlaz (m2) ................................................................... 68 Slika 34. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom ........................ 69 Slika 35. Prikaz ulaznih i izlaznih podataka simulacije kada je uzbudna sila slučajna varijabla.. 70 Slika 36. Frekvencijski odziv (FRF) sustava s dva stupnja slobode (slučajna uzbuda) ................ 71 Slika 37. Usporedba pulsnih odziva za oba izlaza......................................................................... 72 Slika 38. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom ........................ 73 Slika 39. Fotografija ispitivanja rešetkaste konstrukcije ............................................................... 74 Slika 40. Model rešetkaste konstrukcije ........................................................................................ 75 Slika 41. Piezo akcelerometar ....................................................................................................... 75 Slika 42. Postavljanje akcelerometra............................................................................................. 76 Slika 43. Udarni čekić ................................................................................................................... 76


xiii

Slika 44. Ulazna sila je udarac čekića, pet pokusa ........................................................................ 78 Slika 45. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 1). ....................................................... 80 Slika 46. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 2). ....................................................... 81 Slika 47. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 3). ....................................................... 81 Slika 48. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 4). ....................................................... 82 Slika 49. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 5). ....................................................... 82 Slika 50. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 6). ....................................................... 83 Slika 51. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 7). ....................................................... 83 Slika 52. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 8). ....................................................... 84 Slika 53. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 9). ....................................................... 84 Slika 54. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 10). ..................................................... 85 Slika 55. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 11). ..................................................... 85 Slika 56. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 12). ..................................................... 86 Slika 57. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 13). ..................................................... 86 Slika 58. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 14). ..................................................... 87 Slika 59. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 15). ..................................................... 87 Slika 60. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 1-3 ......................................... 89 Slika 61. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 4-6 ......................................... 89 Slika 62. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 7-9 ......................................... 90 Slika 63. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 10-12 ..................................... 90 Slika 64. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 13-15 ..................................... 91 Slika 65. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 1 i 2)...... 92 Slika 66. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 3 i 4)...... 92 Slika 67. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 5 i 6)...... 93 Slika 68. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 7 i 8)...... 93 Slika 69. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 9 i 10).... 94 Slika 70. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekv. području (izlaz 11 i 12)............ 94 Slika 71. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekv. području (izlaz 13 i 14)............ 95 Slika 72. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 15) ........ 95 Slika 73. Usporedba prijenosne funk. dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 1 do 3) ....... 96 Slika 74. Usporedba prijenosne funk. dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 4 do 5) ....... 97


xiv

Slika 75. Usporedba prijenosne funk. dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 7 do 9) ....... 97 Slika 76. Usporedba prijenosne funk. dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 10 do 12) ... 98 Slika 77. Usporedba prijenosne funk. dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 13 do 15) ... 98


xv

Popis oznaka ann član matrice sustava jednadžbe stanja

A identificirana matrica sustava

A matrica sustava jednadžbe stanja diskretnog vremenskog modela

Ac matrica sustava jednadžbe stanja kontinuiranog vremenskog modela

A promatračka matrica sustava jednadžbe stanja diskretnog vremenskog modela

bnp član ulazne matrice jednadžbe stanja

Bc ulazna matrica jednadžbe stanja kontinuiranog vremenskog modela

mB ulazna matrica u modalnim koordinatama

B2 matrica jednadžbe stanja koja karakterizira lokaciju i tip unosa

B promatračka ulazna matrica jednadžbe stanja kontinuiranog vremenskog modela

B identificirana matrica unosa

c prigušenje sustava

krc kritično viskozno prigušenje

C izlazna matrica jednadžbe stanja

Ca izlazna matrica za ubrzanje

Cd izlazna matrica pomak

mC izlazna matrica u modalnim koordinatama

Cv izlazna matrica brzine

1C konstanta integracije homogene diferencijalne jednadžbe

2C konstanta integracije homogene diferencijalne jednadžbe

C identificirana matrica izlaza

drp član matrice jednadžbe stanja direktnog preslikavanja ulaza na izlaz

D matrica jednadžbe stanja direktnog preslikavanja ulaza na izlaz

δ delta (Diracova) funkcija

∆t konstantni vremenski interval

)(ke pogreška estimacije


xvi

)(krε rezidua – ostatak, razlika stvarnog izmjerenog izlaza i procijenjenog mjerenja

)(tF sila

F(s) Laplaceova transformacija funkcije f(t)

ψ svojstveni vektor procijenjene matrice stanja A

G promatračko pojačanje

G(s) prijenosna funkcija

)(wG prijenosna funkcija bilinearne transformacije

H Hankelova matrica

)(ωH koeficijent dinamičkog pojačanja

)(kH korelacijski blok Hankelove matrice

I jedinična matrica

k krutost opruge

K Kalmanova matrica pojačanja

l broj uzorkovanja

iλ svojstvene vrijednosti

Λ dijagonalna matrica koja sadrži identificirane svojstvene vrijednosti iλ

m masa

m broj izlaza

M matrice mase

n broj stupnjeva slobode (broj reda sustava)

p broj koraka nakon kojeg početni uvjeti budu zanemarivi

αP promatračka matrica

)(kP− kovarijantna matrica

iq identificirana modalna amplituda

Q kovarijanca šuma procesa

βQ kontrolna matrica

r broj ulaza

R jedna od singularnih vrijednosti Hankelove matrice

R kovarijanca šuma mjerenja


xvii

)(kRhh kvadratna korelacijska matrica

s svojstveno rješenje kvadratne jednadžbe (homogene diferencijalne jednadžbe)

S jedna od singularnih vrijednosti Hankelove matrice

Σ jedna od singularnih vrijednosti Hankelove matrice

t vrijeme

0t početno vrijeme

τ vrijeme unutar vremenskog intervala

θ kut kašnjenja za uzbudnom silom

u vektor ulaznih varijabli

up član vektora ulaznih varijabli

U ulazna matrica sustava

U(s) Laplaceova transformacija ulaznog vektora

U+ pseudo – inverzna matrica U

v imaginarni član bilinearne ravnine

)(kv matrica ulaza i izlaza

)(kν mjerni šum

V proširena matrica ulaza i izlaza

V podskup matrice V

w ravnina bilinearne transformacije

)(kω procesni šum

0ω vlastita kružna frekvencija

pω svojstvena (prirodna, vlastita) frekvencija prigušenih vibracija

x vektor varijabli stanja

0x početne vrijednosti pomaka

)(txh rješenje homogene diferencijalne jednadžbe

)(ˆ kx− procjena stanja u trenutku k prije mjerenja

)(ˆ kx+ Procjena stanja u trenutku k, koja uključuje izlazno mjerenje

mx identificirani diskretni model u modalnim koordinatama


xviii

ux pomak u smjeru osi x

0x& početne vrijednosti brzine

ux& brzina

ux&& ubrzanje

)(tx p partikularno rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe

X(s) Laplaceova transformacija vektora varijabli stanja

y vektor izlaznih varijabli jednadžbe stanja

y podskup matrice y

Y matrica Markovljevih parametara sustava

Yk Markovljev parametar sustava

Y matrica promatračkih (observer) Markovljevih parametar

0kY promatračko pojačani Markovljev parametar

Y(s) Laplaceova transformacija izlaznih varijabli jednadžbe stanja

z kompleksna varijabla Z – transformacije

ξ relativno prigušenje


1

1. Uvod

1.1. Pregled dosadašnjih istraživanja

Prva značajnija istraživanja koja koriste identifikacijske metode modalne analize počinju

1940. godine [1], rušenjem mosta Tacoma Narrows. Most je bio otvoren za promet samo

nekoliko mjeseci, a srušen je pojavom rezonancije, uslijed male sile vjetra.

Metodologija modalnog testiranja razvojem računala i numeričkih metoda se tokom godina

znatno mijenjala i usavršavala.

U svom radu Wang i suradnici [2], predlažu metodu identifikacije zajedničkih dinamičkih

svojstava unutar sustava, sastavljene od podstruktura s djelomično izmjerenim frekvencijskim

odzivom (FRF), dok se neizmjeren odziv FRF slobodne podstrukture može dobiti kroz modalne

kalibracije. Podaci korišteni u procjeni se sastoje od djelomično izmjerenog FRF i podataka

izračunatih iz precizno kalibriranih podstruktura modela konačnih elemenata (FEM) [3-6]. Takav

pristup poboljšava točnost identifikacije u odnosu na mnoge druge metode koje koriste samo

djelomično mjerenje FRF i/ili dio od procijenjene FRF.

Jako je teško razviti metodu koja formulira matricu prigušenja tako da predstavlja stvarnu

prostornu raspodjelu i mehanizam prigušenja za promatrani dinamički sustav. Dinamična matrica

krutosti (dynamic stiffness matrix DSM) temeljena na metodi identifikacije koju predlažu Lee i

Kim je pogodna i obećavajuća, jer identificira prigušenje matrica od izmjerene DSM. Meñutim, u

kasnijim radovima su utvrñene velike varijance pogreške ovakvog pristupa identifikacije.

Uzroke i moguća rješenja problema postavljaju Arora, Singh i Kundra [7]. Uočavaju varijance i

propuštanje pogrješke kao glavni izvor problema, te razvijaju poboljšani eksperimentalni

postupak identifikacije kako bi se smanjio učinak tih pogrješaka.

Procjena svojstva strukture krutog tijela je vrlo važno pitanje za proučavanje njegovog

dinamičkog ponašanja. U svom radu [8] autori Raquel A.B. Almeida, António P.V. Urgueira,

Nuno M.M. Maia, istražuju skupinu metoda, gdje se procjenjuju svojstva krutog tijela modalnih

parametara dobivenih iz frekvencijskog odziva podataka (FRF). Ovakve metode, obično poznate

kao modalne metode, koriste identificirana modalna svojstva ortogonalnosti. Ipak, javljaju se

teškoće u slučajevima kada postoji visok stupanj simetrije u strukturi.


2

Fasana [9] temelji istraživanje u Z-domeni na RFP prikazu (rational fraction polynomials)

frekvencijskog odziva (FRF) sustava jednog ulaza i jedan izlaz (SISO) sustava, i jednostavno

proširivanje na više ulaza i više izlaza (MIMO). Usvojen je pristup najmanjih kvadrata koji uzima

u obzir informacije o svim odzivima FRF, ali kada se koriste veliki skupovi podataka, rješenje je

rezultat sustava algebarskih linearnih jednadžbi, što može biti dug i težak postupak.

Grupa autora X. Liu, N.A.J. Lieven, P.J. Escamilla-Ambrosio [10] koristi strukturirani

oblik signala za definiranje oštećenja. Posebno se pokazala prednost takve primjene gdje nije

dostupno točno modeliranje konačnim elementima. U tu svrhu primjenjuju se tradicionalni oblici

signala. Za lokalizaciju strukturnog oštećenja koristi se frekvencijski odziv (FRF). ULS i ODS,

FRF oblici su definirani za širokopojasni prijenos i pomoću njih se jasnije otkriva mjesto

oštećenja. Još jedna prednost korištenja FRF je u tome što se test podatci mogu izravno koristiti

bez potrebe provoñenja modalne identifikacije. Metode u ovoj studiji uključuju važne izmjene

poput korištenja imaginarnih dijelova FRF i normalizaciju oblika FRF prije usporedbe.

U svom radu Coppotelli [11] koristi djelovanje različitih opterećenja na mase potrebne za

procjenu funkcija frekvencijski odziv FRF. Ova tehnika omogućuje procjenu prirodnih

frekvencija, formi i omjera prigušenja. Pristup se temelji na osjetljivosti svojstvenih vrijednosti

za strukturne promjene, kao što su masa i krutost. Pokazano je kako općenito modalni parametri

mogu biti izvedeni od strane mjerenja prirodne frekvencije. Takvi generalizirani modalni

parametri koriste se za procjenu FRF.

Učinkovit frekvencijski odziv koristi Dunne [12] (FRF), koji predlaže graničnu metodu

pomoću teorije asimptotskih ekstremnih vrijednosti. Metoda iskorištava male slučajne uzorke

realizacijom FRF nominalno jednake strukture, te predviña odgovarajuće FRF granice za znatno

veće serije. To je korisno za predviñanje prisilnih vibracija kod vozila kada se pretpostavlja da se

parametri razlikuju statistički.

Inženjerske konstrukcije se rijetko ponašaju linearno, a linearne provjere su uobičajena

praksa u testiranju kritičnih struktura izloženih dinamičkih opterećenja za definiranje granice

važenja linearnog režima. Meñutim, u velikoj mjeri industrijske primjene, ne postoji opća

metodologija za dinamičko izdvajanje nelinearnih parametara iz mjernih podataka vibracije, tako

da mogu biti uključeni u numeričke modele. U svom radu, Carrella i Ewins [13] na temelju

podataka sadržanih u frekvencijskom odzivu (FRF) izučavaju svojstva strukture. Ta tehnika

spada u kategoriju jednog stupnja-of-slobode (SDOF) modalne analize metode. Načelo na kojem


3

se temelji učinkovita linearizacija, pri čemu se pretpostavlja da je dana amplituda pomaka odziva

sustava, reagira na istoj frekvenciji kao i uzbude, a krutost i prigušenje je konstantno. Pritom se

dobiva informacija pomoću amplituda različitih vibracijskih odziva. Moguće je procijeniti

amplitudu u ovisnosti o „prirodnoj“ frekvenciji i faktoru modalnih gubitaka.

Kashani, A.S. Nobari [14] se bave identifikacijom dinamičkih karakteristika lokalnih

nelinearnosti. Ova identifikacijska metoda je osnovana na funkciji Optimum Equivalent Linear

Frequency (OELF). Dinamičko ponašanje nelinearnih elemenata u sustavu je dobiveno iz OELF

pomoću dvije različite tehnike. Prva tehnika je „Direct Identification Method“ (DIM), u koja

unaprijed ne pretpostavlja nelinearnost u ponašanju i druga tehnika je „Model based

Identification Method” (MIM). Druga tehnika koristi dvije različite formulacije, kako bi se uzele

u obzir praktične granice zbog nedostupnosti nelinearnosti lokacije i / ili neodreñenosti stupnja

slobode.

Grupa autora Hu, Bao i Li [15] predlažu drugačiji pristup od tradicionalnih metoda za

procjenu modalnih parametara iz zašumljenog impulsnog odziva „impulsive response function“

(IRF). Glavna razlika leži u načinu tretiranja šuma i odabira reda modela koji se računa. Dok

tradicionalni pristup prihvaća šum namjernim povećanjem reda modela, njihov pristup koristi

stvarni sustav kako bi definirali red modela te izbacuju šum prije procjene modalnih parametara.

1.2. Definiranje problema

Područje identifikacije obuhvaća postupke modeliranja matematičkog modela nekog već

postojećeg sustava. Najčešće unutarnja struktura i parametri sustava nisu poznati ili su samo

djelomično poznati. Identifikacijom se, na osnovu mjerenja ulaznih i izlaznih rezultata, utvrñuje

matematički model, koji može zadovoljavajućom točnošću predstavljati promatrani sustav.

Točnost i preciznost modela ovisi o opremi i uvjetima pod kojima se odvija eksperiment, te o

utjecaju poremećaja (šuma) koji djeluju na proces.

Prilikom postupka identifikacije potrebno je voditi računa o nekoliko činjenica.

Raspoloživo vrijeme za eksperiment je ograničeno iz procesnih razloga ili zbog vremenske

promjenljivosti sustava. Ako je primijenjen deterministički ispitni signal, tada je vrijeme

mjerenja odreñeno pojavom stacionarnog stanja izlazne veličine. Ako se sustav pobuñuje


4

kontinuiranim signalom, uz diskretno mjerenje, nužno je poštivati Shannonov teorem. Promjenu

ispitnog signala potrebno je ograničiti na maksimalno dozvoljeni iznos. Ta ograničenja uvjetuje

sam sustav (proces), odnosno njegova linearizacijska svojstva.

Poremećajni signal (šum) direktno utječe na točnost i kvalitetu identifikacije, a sastoji se

iz više komponenata:

- visokofrekventni pseudo-stacionarni stohastički šum, čija je srednja vrijednost nula;

- niskofrekventni nestacionarni stohastički signal koji se mijenja u vremenu:

- komponenta signala nepoznatog karaktera, koja nastaje iznenadnim promjenama

parametara procesa ili smetnjama u mjernim ureñajima.

Stoga je potrebno svesti utjecaj šuma na najmanju moguću mjeru, kako bi se dobio što bolji

matematički model. U tom slučaju mogu se koristiti adekvatni filtri, koji su prilagoñeni

pojedinim klasama signala, te odbaciti nelogične rezultate.

Prvi korak postupka identifikacije je postavljanje zahtijeva za opisivanje nekog sustava

matematičkim modelom, te odreñivanje svrhe primjene (struktura i točnost). Drugi korak je

mjerenje. Prilikom planiranja mjerenja potrebno je prikupiti a-priori znanja, uočiti koje se

varijable mogu direktno mjeriti, a koje se indirektno procjenjuju, procijeniti frekvenciju

uzorkovanja, vrijeme trajanja mjerenja, odabir postupka identifikacije, itd. Točnost promatranja

bi se postigla kada bi trajanje mjerenja bilo beskonačno, stoga vrijeme mjerenja mora biti takvo

da se dobiju kvalitetne informacije o prijelaznim procesima koje se dogañaju u sustavu. Treći

korak je provedba eksperimenta (mjerenja), pri čemu treba paziti da budu ispunjeni prethodno

navedeni uvjeti. Ispitni signal može biti aktivan ili pasivan. Pri postupku identifikacije aktivnim

signalom ispitni signal se namjerno dovodi sustavu i ima točno odreñenu formu (impuls, slučajni

signal, …), dok se kod pasivnog signala koriste signali koji se mogu snimiti pri normalnom radu

sustava. Četvrti korak je obrada izmjerenih signala, te odreñivanje parametara, odnosno

odreñivanje modela. Peti korak je provjera valjanosti modela, te eventualno ponavljanje trećeg i

četvrtog koraka.

Na slici 1. općenito je prikazan tijek analize procesa [16] kao kombinacija iterativnog

postupka teoretske i eksperimentalne analize. U provedbi eksperimenta ulazni signal u proces

može biti pogonski, odnosno radni signal, ili, prema potrebi, točno odreñena vrsta signala.

Iscrtane linije pokazuju veze koje pridonose a-priori znanju o procesu, odnosno osiguravaju

provjeru točnosti teoretskog modela.


5

Slika 1. Tijek analize procesa

Osnovne metode identifikacije linearnih procesa:

- Fourierova analiza koristi se za linearne procese s kontinuiranim signalima pri

odreñivanju frekvencijske karakteristike procesa. Pogodna je za procese s malim odnosom šuma i

ispitnog signala.

- Korelacijska analiza primjenjuje se u vremenskom području i prikladna je za linearne

procese koji koriste linearne ili diskretne signale. Ulazni je stohastički i/ili periodički signal, a


6

kao rezultat dobije se korelacijska funkcija. Metoda je prikladna za procese s velikim odnosom

šum – ispitni signal.

- Spektralna analiza primjenjuje se pod istim uvjetima kao i korelacijska analiza. Obrada se

obavlja u frekvencijskom području, izračunava se spektralna gustoća signala.

- Referentni model je metoda prikladna za matematičke metode s kontinuiranim signalima.

Uz pretpostavljenu strukturu dobiju se parametri diferencijalnih jednadžbi ili jednadžbi

diferencija. Potrebno je osigurati da ulazni signali pobude sve interesantne karakteristične

frekvencije procesa.

- Procjena parametara je metoda koja je prikladna za kontinuirane i diskretne signale.

Ispitni signal može imati proizvoljan oblik, ali mora trajno pobuditi interesantne karakteristične

frekvencije. Postupak je pogodan za upravljanje ili simulaciju procesa.

U postupku identifikacije (u vremenskom području) koristi se algoritam ERA

(Eigensystem Realization Algorithm), koji bez ikakvih gubitaka dopušta samo jake, odnosno

dobre izmjerene, signale što je vrlo korisno, budući da izmjereni signali tokom testa mogu biti

zašumljeni ili može doći do nekog poremećaja na mjernim ureñajima. Takoñer, ERA algoritam

ima sposobnost smanjenja reda matrice sustava, što je naročito pogodno za kompliciranije

sustave. Pojačanje koje se uvodi u matematičko modeliranje ima ulogu fiktivne povratne petlje,

odnosno korekcije pri procjeni stanja sustava i procijenjene mjerne jednadžbe. U slučaju kada

šum u sustavu ima karakteristike bijelog šuma, Gausovu distribuciju i srednja vrijednost mu je

nula, tada je pojačanje Kalmanov filtar. Kalmanov filtar je rekurzivni stohastički procjenitelj

(estimator) varijabli stanja, koje se ne mogu mjeriti, a može poslužiti i za procjenu mjerljivih

signala ukoliko su oni u većoj mjeri zašumljeni.

Prilikom identifikacije sustava dolazi do odstupanja u procjeni, zbog utjecaja šuma i

nepreciznosti samog postupka. Stoga je istraživanje u ovom radu usmjereno na poboljšanje i

primjenu odgovarajućih matematičkih modela koji opisuju sustav na osnovi unaprijed definiranih

ulazno izlaznih veličina. Matematički model na koji se primjenjuje poboljšanje postupka

identifikacije omogućit će bolje opisivanje sustava u vremenskom području. Takvi matematički

modeli se mogu koristiti za detaljnu analizu i optimizaciju ispitivanog sustava.

Ima dosta matematičkih postupaka koji se bave ovom problematikom, meñutim u području

identifikacije sustava, ima još dosta prostora za poboljšanje. To je jedan od razloga zbog kojeg se

pristupilo ovim istraživanjima.


7

2. Hipoteza

Primjena adekvatnog postupaka identifikacije u procesu pronalaženja matematičkog

modela osigurat će zadovoljavajuću točnost i kvalitetu postupka, a time i bolje upravljanje i

regulaciju sustava.

Učinkovita usporedna analiza postupaka identifikacije pridonijet će donošenju kvalitetne

odluke o opravdanosti korištenja odreñenog postupka u identifikaciji sustava. Rezultati

usporedne analize su prihvatljivi ako se usporeñuju procesi provedeni pod optimalnim uvjetima.

Mnogi sustavi (strojni dijelovi) su opterećeni ili rade samo u odreñenom frekventnom

području, dok frekventno područje postupka identifikacije redovito obuhvaća područje od nula do

Nyquistove frekvencije. Širenjem frekventnog područja identifikacije opada preciznost, stoga je

poželjno dobiti model odnosno izvršiti identifikaciju isključivo preko odreñenog dijela spektra,

odnosno u radnom frekventnom području sustava. Na osnovi navedenog postavljaju se hipoteze.

Točnije izračunavanje funkcije impulsnog odziva IRF (impuls response function) potrebne u

validaciji i poboljšanju modela u vremenu (model update in time domain) u odnosu na klasično

računanje inverznom Fourierovom transformacijom FRF-a (frequency response function), uz

jednak matematički napor.

Mogućnost dobivanja matematičkih modela na temelju samo dijela spektra, metodama

identifikacije koje daju model u frekvencijskom području u rasponu od 0 do Nyquistove

frekvencije.

Cilj ovog istraživanja je potvrditi kako točnost identifikacije ovisi o pravilnom odabiru

matematičkih metoda, te pokazati prednost kada postupak identifikacije obuhvaća samo radno

područje sustava.


8

3. Opis istraživanja

Identifikacija sustava izvodi se na osnovu izmjerenih podataka koji opisuju ulaz, izlaz i

poremećaje. Kvaliteta modeliranja ovisi o omjeru signal – šum.

Svrha i cilj ovog istraživanja je razviti na sistematičan, znanstveni i pouzdan način

odgovarajuće poboljšanje korištenja prikladnih matematičkih alata koji integriraju

eksperimentalno, numeričko i analitičko znanje u postupku identifikacije sustava. Istraživanje će

omogućiti precizniju primjenu izrade matematičkih modela, što može dati odreñen doprinos

metodama u poboljšanju, razvijanju, regulaciji i upravljanju sustava.

Istraživanje će se primijeniti na matematičke alate i na kvalitetu njihovih rezultata, te će se

time doći do novih spoznaja i rješenja.


9

4. Teoretske osnove korištene pri izradi algoritama

Kompletni računalni programi korišteni u ovom radu baziraju se na teoretskim osnovama

koje slijede.

4.1. Teoretska analiza sustava

4.1.1. Vibracije – prigušene

Slika 2. Sustav s jednim stupnjem slobode

Primjenom drugog Newtonovog zakona može se opisati mehanički sustav. Rezultat je linearna

diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima [17-20]:

)(2

2

tFxckxxmdt

xdm uuu

u +−−== &&& (1)

odnosno

)(tFkxxcxm uuu =++ &&& (2)

Ako se diferencijalna jednadžba preformulira uz odgovarajuće supstitucije

mtFkxxcxm uuu :)(=++ &&&

)(1

tFm

xm

kx

m

cx uuu =++ &&& (3)

20ω=

m

k

022

22

12 ξω===

m

k

km

c

k

k

mm

c

m

c (4)


10

krckm =2 (5)

ξ=krc

c (6)

dobije se tzv. standardni oblik:

)(2202

00 tFk

xxx uuu

ωωξω =++ &&& (7)

gdje su

- m

k=0ω vlastita kružna frekvencija,

- 02 ω

ξm

c

c

c

kr

== relativno prigušenje,

- 022 ωmkmckr == kritično viskozno prigušenje.

Rješenje diferencijalne jednadžbe sastoji se iz dva dijela, homogenog i partikularnog rješenja

)()()( txtxtx phu += (8)

)(txh - je rješenje homogene diferencijalne jednadžbe

02 200 =++ uuu xxx ωξω &&& (9)

te predstavlja slobodnu komponentu vibracija.

Ako se rješenje pretpostavi u obliku st

h ex = i zatim uvrsti u gornju jednadžbu (9), dobije se

svojstvena kvadratna jednadžba

02 200

2 =++ ωξω ss (10)

koja ima dva svojstvena rješenja

2002,1 1 ξωξω −±−= is . (11)

Rješenje homogene diferencijalne jednadžbe sada može se pisati

tsts

h eCeCtx 2121)( += (12)

te uz odreñivanje konstanti integracija iz početnih uvjeta za 0t , ( 00 )( xtxu = , 00 )( xtxu&& = ), ono

ima oblik


11

++= −

txx

txetx p

p

p

t

h ωωξω

ωξω sincos)( 0000

0&

(13)

gdje je 20 1 ξωω −=p svojstvena (prirodna, vlastita) frekvencija prigušenih vibracija [21-23].

Slika 3. Položaj rješenja svojstvene jednadžbe u kompleksnoj ravnini ovisno o koeficijentu relativnog prigušenja

Slika 3. Rješenja diferen. jed. gibanja u vremenu u ovisnosti o relativnom prigušenju ξ

Drugi dio jednadžbe (8) je )(txp partikularno rješenje koje zadovoljava nehomogenu

diferencijalnu jednadžbu

)(2202

00 tFk

xxx uuu

ωωξω =++ &&& (14)

te predstavlja prisilnu komponentu vibracija.

Ukupno rješenje diferencijalne jednadžbe (prisilne vibracije) prigušenog sustava s jednim

stupnjem slobode je oblika


12

)sin()()( 0 ϑωωξω −+= −tH

k

FCetx

t

u (15)

gdje je koeficijent dinamičkog pojačanja

0

2

0

21

1)(

ωω

ξωω

ω

i

H

+

−

= . (16)

Vrijednost prvog člana rješenja tCe 0ξω− se eksponencijalno smanjuje, pa se tijekom vremena može

zanemariti. Taj član prikazuje početne ili prolazne vibracije. Drugi član rješenja predstavlja

prisilne vibracije - to je harmonijsko gibanje frekvencijom opterećenja.

Iz praktičnih razloga prolazne i prisilne vibracije proučavaju se neovisno pa je uobičajeno

partikularno i homogeno rješenje prikazivati odvojeno. Rješenje se može predočiti u kompleksnoj

ravnini ili vektorski, što je ekvivalentno. Grafički se rješenja prikazuju kao vektori (kompleksni

brojevi) koji rotiraju kutnom brzinom ωt odnosno ωpt. Projekcije ovih vektora na okomitu os

(realnu os) u vremenu daju pripadne dijagrame rješenja.

4.1.2. Prikaz sustava u prostoru stanja

Kontinuirani vremenski model

Za sustave s više stupnjeva slobode jednadžba (1) ima oblik

FkxxcxM uuu =++ &&& (17)

gdje su M, c, k matrice mase, prigušenja i krutosti; ux&& , ux& i ux su vektori ubrzanja, brzine i

pomaka; dok je F funkcija sile.

Pojam stanja odnosi se na dinamički fizički sustav, te se matematičkim modelom,

odnosno diferencijalnim jednadžbama, izučavaju odnosi i ponašanja njegovih fizikalnih veličina.

Dijeljenjem jednadžbe (17) s masom M, te njenim sreñivanjem [24-26] dobije se:

FxcMkxMx uuu +−−= −−&&&

11 (18)

uz odgovarajuće supstitucije


13

−−= −− cMkM

IAc 11

0,

=

u

u

x

xx

&

(19)

−

= −2

1

0

BMBc , )(2 tuBF =

jednadžba (17) može biti napisana kao diferencijalna jednadžba prvog reda [27-30], što je puno

pogodnije za računanje:

uBxAx cc +=& (20)

DuCxy += (21)

- x – vektor varijabli stanja

- y – vektor izlaznih varijabli

- u – vektor ulaznih varijabli

- A – matrica sustava

- B – ulazna matrica

- C – izlazna matrica

- D – matrica direktnog preslikavanja ulaza na izlaz.

Ac je (n x n) matrica stanja, B2 je matrica koju karakterizira lokacija i tip unosa. Ako se odziv

dinamičkog sustava mjeri pomoću m broja izlaza, u izlaznom vektoru y(t) koristeći senzore, za

mjerenje akceleracije, tahometri, mjerenje naprezanja itd., izlazna jednadžba u matričnom obliku

može se pisati

xCxCxCy dva ++= &&& (22)

gdje su Ca, Cv i Cd izlazne utjecajne matrice za ubrzanje, brzinu i pomak. Te izlazne matrice

opisuju odnose izmeñu vektora x&& , x& i x i dimenzije izmjerenog vektora y, prema tome sadrži

konverzijski faktor izmeñu fizikalnih jedinica, kao što su metri, i električnih jedinica, kao što su

volti. Rješavanjem x&& iz jednadžbe (18) supstitucijom u (22) dobije se

[ ] xCxCkxxcuBMCy dva ++−−= −&&2

1 (23)

ili

DuCxy += (24)


14

gdje je:

[ ]cMCCkMCCC avad

11 −− −−= (25)

21BMCD a

−= (26)

Ovdje je C m x n izlazna matrica vektora x, koji sadrži samo brzinu i pomak, a D je m x r

prijenosna matrica. Prisutnost D matrice čini fizikalni smisao, jer promjena koraka u sili

uzrokuje promjenu koraka u ubrzanju y. Veličina promjene koraka ubrzanja diktira što se dobije u

matrici D. Kad se ne mjeri ubrzanje, matrica D nestaje iz jednadžbe (24). Izrazi (20) i (21) čine

jednadžbe stanja kontinuirano vremenskog modela.

Prikaz sustava n-tog reda pomoću n diferencijalnih jednadžbi 1. reda, linearni sustavi s

vremenski nepromjenjivim koeficijentima:

1112121111 ... ubxaxaxax nn ++++=&

1222221212 ... ubxaxaxax nn ++++=& (27)

M

12211 ... ubxaxaxax nnnnnnn ++++=&

Prikaz u matričnom obliku

12

1

2

1

21

22221

11211

2

2

1

u

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

x

x

x

nnnnnn

n

n

+

=

MM

L

O

L

L

&

M

&

&

(28)

[ ] 112

1

21 ud

x

x

x

cccy

n

n +

⋅=M

K (29)

Sustav s više ulaza i izlaza

+

=

pnpnn

p

p

nnnnn

n

n

nu

u

u

bbb

bbb

bbb

x

x

x

aaa

aaa

aaa

x

x

x

M

L

O

L

L

M

L

O

L

L

&

M

&

&

2

1

21

22221

11211

2

1

21

22221

11211

2

1

(30)


15

+

=

prprr

p

p

nrnrr

n

n

ru

u

u

ddd

ddd

ddd

x

x

x

ccc

ccc

ccc

y

y

y

M

L

O

L

L

M

L

O

L

L

M

2

1

21

22221

11211

2

1

21

22221

11211

2

1

(31)

Diskretni vremenski model

Slika 4. Primjer oblika krivulje kod kontinuiranog i diskretnog modela

Za početni uvjet x(t0) za t = t0, i rješavanjem diferencijalne jednadžbe (20), proizlazi

∫ −− +=t

t

c

tAttAduBexetx coc

0

)()( )(0

)( τττ . (32)

Kod diskretno vremenskog modela vrijeme je definirano jednakim vremenskim intervalima.

Neka je isti vremenski interval zadan kao 0, ∆t, 2∆t, … (k+1)∆t, gdje je ∆t konstantni interval.

Zamjenom t = (k+1) ∆t i t0 = k∆t u jednadžbi (32) dobiva se

[ ] [ ]∫∆+

∆

−∆+∆ +∆=∆+tk

tk

c

tkAtAduBetkxetkx cc

)1()1( )()()1( τττ (33)

u(τ) = {u(k∆t) za k∆t ≤ τ < (k+1)∆t; k = 1, 2, 3, … }

Jednadžba (33) s konstantnom matricom Bc postaje

[ ] )()()1(0

tkuBdetkxetkx

t

c

AtA cc ∆

′+∆=∆+ ∫

∆′∆ ττ (34)

gdje se varijabla τ u jednadžbi (34) zamjeni ττ −∆+=′ tk )1( . Definira se


16

tAceA∆=

∫∆

′ ′=t

c

ABdeB c

0

ττ

[ ]tkxkx ∆+=+ )1()1( (35)

)()( tkuku ∆=

Diskretne vremenske matrice A i B u jednadžbi (35) mogu biti računate pomoću sljedećih

proširenja

...)(!3

1)(

!2

1 32 +∆+∆+∆+== ∆tAtAtAIeA ccc

tAc (36)

cccc

t

ABtAtAtIBdeB c

+∆+∆+∆== ∫∆

...)(!3

1)(

!2

1 322

0

ττ (37)

[ ] cc BAIAB 1−−= (38)

Jednadžbe stanja diskretno vremenskog modela (34) i (35) mogu se prikazati u kompaktnijem

linearnom obliku

)()()1( kBukAxkx +=+ k = 1, 2, 3, … (39)

)()()( kDukCxky += (40)

gdje su:

x(k) – n x 1 vektor varijabli stanja (br. reda sustava)

y(k) – m x 1 izlazni vektor (m – br. izlaza)

u(k) – r x 1 vektor ulaza (r – br. ulaza)

4.2. Identifikacija sustava u vremenskom području

Na slici 5. prikazan je tijek postupka identifikacije sustava. Djelovanjem poznate ulazne

funkcije, te na temelju izmjerenih izlaza prvo se izračunavaju promatrački Markovljevi parametri.

Iz njih se dalje računaju Markovljevi parametri sustava i promatračko pojačani Markovljevi

parametri, iz kojih se dobiju matrice sustava A, B, C, D i promatračko pojačanje G.


17

Slika 5. Tijek postupka identifikacije (pulsni vremenski odziv)

4.2.1. Markovljevi parametri

Pretpostavljajući nulte početne uvijete x(0) = 0 iz gornje dvije jednadžbe (39 i 40) za

k = 0, 1, 2, … (l – 1) (l – br. uzorkovanja) dobije se [31]:

0)0( =x

)0()0( Duy =

)0()1( Bux =

)1()0()1( DuCBuy +=


18

)1()0()2( BuABux +=

)2()1()0()2( DuCBuCABuy ++=

.

.

.

∑=

− −=k

i

i ikBuAkx1

1 )()( (41)

)()()(1

1 kDuikBuCAkyk

i

i +−= ∑=

− (42)

Ako se impulsna funkcija koja djeluje na ulazu, ui(0) = 1 (i = 1, 2, …, r) i ui(k) = 0 (k = 1, 2,…),

gdje je r – broj ulaza, uvrsti u gornji izraz, dobiju se na izlazu Markovljevi parametri:

DY =0 , CBY =1 , CABY =2 , …, BCAY k

k

1−= (43)

Jednadžba (43) predstavlja odnos izmeñu ulaza i izlaza zadanog sustava, poredano u

vremenskom nizu, te se može napisati preglednije, odnosno u matričnom obliku

y = Y U (44)

gdje su:

[ ])1()2()1()0( −= lyyyyy K (45)

= − BCACABCBDY l 2K (46)

−

−

−

=

)0(

)3()0(

)2()1()0(

)1()2()1()0(

u

luu

luuu

luuuu

U

MO

K

K

K

(47)

Matrica izlaza y ima dimenziju lm × , što je ujedno i broj jednadžbi sustava, matrica Y je matrica

Markovljevih parametara definirana s lrm ⋅× članova (nepoznanica), a matrica U ima dimenziju

llr ⋅× .

Ovaj sustav nije rješiv, jer je broj nepoznanica (Markovljevih parametara) veći od broja

jednadžbi lrm ⋅× > lm × , osim za slučaj kada postoji samo jedan ulaz r = 1, tada je sustav


19

jednoznačno definiran. Meñutim, i tada zbog velikog broja uzorkovanja l, sustav postaje prevelik

za računanje.

Ako se pretpostavi da je matrica A asimtotski stabilna, tada je Ak ≈ 0 za dovoljno veliki

cijeli broj p, k ≥ p, za vremenski niz k = 0, 1, 2, 3, … p, … (l-1). Jednadžba (44) sada se može

napisati pomoću:

[ ])1()()2()1()0( −= lypyyyyy KK (48)

[ ]BCACABCBDY p 1−= K (49)

−−

−−

−−

−

=

)1()0(

)3()2()0(

)2()1()1()0(

)1()()2()1()0(

pluu

lupuu

lupuuu

lupuuuu

U

K

MKMO

KK

KK

KK

(50)

s prikraćenim dimenzijama matrice:

lm × lpr ⋅+× )1(

y = Y · U (51)

)1( +⋅× prm

Ako se odabere broj uzorkovanja l tako da bude l > r(p+1), tada je CAkB ≈ 0 za k ≥ p. Broj

jednadžbi je sada u izrazu (51), veći nego broj nepoznanica ( lm × ) > ( )1( +⋅× prm ).

Markovljevi parametri se mogu dobiti pomoću izraza

Y = yU+ (52)

gdje je U+ pseudo – inverzna matrica U

Y = yUT[UU

T]

-1 = yU

+ (53)

Potrebno je istaknuti: kada se p povećava, pogreška aproksimacije se smanjuje. Nažalost, kod

malih prigušenja sustava, broj p postaje nepraktično velik, pa je dimenzija matrice U prevelika za

rješavanje. Taj problem se može riješiti umjetnim povećanjem prigušenja. Matematičkom

manipulacijom, koja ima ulogu prividne povratne petlje, sustav se može učiniti, po želji,

stabilnim. Jednadžbi stanja dodaje se izraz Gy(k), čime se dodaje i utjecaj izlaza (mjerenja) što

ima ulogu povratne petlje.

)()()()()1( kGykGykBukAxkx −++=+ (54)

Sreñivanjem nastaje observer (promatračka) matrica stanja:


20

)()()1( kvBkxAkx +=+ (55)

gdje je

GCAA +=

[ ]GGDBB −+= ,

=

)(

)()(

ky

kukv

G je n x m proizvoljno odabrana matrica tako da čini matricu A po želji stabilnom. Kako se

matrica G može proizvoljno odabrati, može se i svojstvena vrijednost matrice A dodijeliti nekom

promatračkom sustavu. Ako se koriste realni podatci koji uključuju i šum, svojstvena vrijednost

A se postavlja tako, da vrijedi 0≈BAC k , za k ≥ p. Pa se jednadžba (51) može pisati u

prikraćenom obliku prema jednadžbi (55):

lm × [ ] lrpmr ×++ )(

y = Y · V (56)

[ ]rpmrm ++× )(

gdje je:

[ ])1()()2()1()0( −= lypyyyyy KK (57)

= − BACBACBCDY p 1

K (58)

−−

−−

−−

−

=

)1()0(

)3()2()0(

)2()1()1()0(

)1()()2()1()0(

plvv

lvpvv

lvpvvv

lupuuuu

V

K

MKMO

KK

KK

KK

(59)

Matrica Y predstavlja promatračke (observer) Markovljeve parametre. Ako se sada promotri izlaz

sustava, odnosno mjerna jednadžba (40):

=+++=+ )()()( pkDupkCxpky

)()1()1()()( 21 pkDupkvBCkvBACkvBACkxAC ppp ++−+++++= −−K (60)

za niz k = 0, 1, …, (l – 1) gornja jednadžba može preglednije biti zapisana u obliku matrice:

VYxACy p += (61)


21

gdje je:

[ ])1()2()1()( −++= lypypypyy K (62)

[ ])2()2()1()0( −−= plxxxxx K (63)

[ ]BACBACBCDY p 1−= K (64)

−−

−−−

−−

−+

=

)1()1()0(

)3()1()2(

)2()()1(

)1()1()(

plvvv

lvpvpv

lvpvpv

lupupu

V

K

MMMM

K

K

K

(65)

Prvi član u jednadžbi (61) predstavlja utjecaj prethodnog koraka (p - 1). Za slučaj kada je

pA dovoljno mali, prvi član u jednadžbi (61) se može zanemariti i tada ista jednadžba glasi:

VYy = (66)

[ ] 1−= TT VVVyY

+= VyY (67)

Matrice y i V su podskupovi matrica y i V, koje su nastale eliminiranjem prvih p stupaca, dok je

+V pseudo – inverzna matrica. Jednadžba (66) se mora koristiti na način da se eliminira utjecaj

početnih uvjeta, zato što početni uvjeti postaju zanemarivi kada se množe s pA . Drugim riječima

početni uvjeti imaju zanemariv utjecaj na izmjerene podatke nakon p koraka.

4.2.2. Dobivanje Markovljevih parametara sustava

Ako se znaju Markovljevi parametri sustava, moguće je definirati sustav, odnosno

odrediti modalne parametre, prirodne frekvencije, prigušenje, te odrediti matrice sustava A, B, C i

D. Markovljeve parametre sustava moguće je dobiti iz promatračkih (observer) Markovljevih

parametara

= pYYYYY K210 (68)

gdje su:

DY =0


22

[ ]GGCACGDBGCACBACY kkk

k

111 )()()( −−− +−++==

[ ])2()1(kkk YYY −= ; k = 1, 2, 3, …

Iz čega se mogu definirati Markovljevi parametri:

DYYDCGGDBCCBY )2(1

)1(11 )()( −=−+== (69)

DYYYYCABY )2(21

)2(1

)1(22 −−== (70)

DYYYYYYBCAY )2(31

)2(22

)2(1

)1(3

23 −−−== (71)

što se može zapisati u općem obliku

DYY == 00

∑=

−−=k

i

ikikk YYYY1

)2()1( za k = 1, 2, …, p (72)

∑=

−−=p

i

ikik YYY1

)2( za k = p + 1, p + 2, …, ∞ (73)

Jednadžba (72) pokazuje da je Yk za k ≥ p + 1, linearna kombinacija prethodnih p sistemskih

Markovljevih parametara, Yk-1, Yk-2, …, Yk-p. Odnosno postoji samo p neovisnih sistemskih

parametara. Odabir broja p, treba biti takav, da članovi )1(kY i )2(

kY budu nule za k > p, te da

vrijedi mp ≥ n, gdje je m broj izlaza, a n red sustava. Očigledno je da broj p može biti manji od

reda sustava, u slučaju kada postoji više izlaza m > 1, a veći ili jednak redu sustava, kod sustava s

jednim izlazom. Budući da broj p odreñuje broj Markovljevih parametara, taj broj mora biti

dovoljno velik kako bi se mogla formirati Hankelova matrica, koja se koristi u svrhu daljnje

identifikacije sustava.

4.2.3. ERA – eigensystem realization algorithm

ERA algoritam počinje formiranjem Hankelove matrice, koja se sastoji od Markovljevih

parametara

=−

−+++−+

+++

−++

21

21

11

)1(

βααα

β

β

kkk

kkk

kkk

YYY

YYY

YYY

kH

K

MOMM

K

K

(74)


23

kada je k = 1

=

−++

+

11

132

21

)0(

βααα

β

β

YYY

YYY

YYY

H

K

MOMM

K

K

(75)

Da bi sustav bio odreñen, minimalni broj stupaca i redova, mora zadovoljavati slijedeća

dva uvjeta α ≥ n i β ≥ n, pri čemu je n red sustava, tada matrica )0(H ima rang n.

Zamjenom Markovljevih parametara iz jednadžbe (43) u jednadžbu (74), rastavlja se

Hankelova matrica na tri matrice

βα QAPkH k 1)1( −=− (76)

ili za k = 1 dobije se

βα

βααα

β

β

QP

BCABCABCA

BCABCACAB

BCACABCB

H =

=

−+−

−

21

2

1

)0(

K

MOMM

K

K

(77)

βα QPH =)0( (78)

gdje su

=

−1

2

α

α

CA

CA

CA

C

P

M

= − BABAABBQ 12 β

β K

Matrica αP je promatračka matrica, a βQ je kontrolna matrica. Da bi sustav imao svojstvo

kontrolivosti i promotrivosti, matrice αP i βQ moraju imati rang n. Hankelova matrica H(0)

rastavlja se na tri dijela (singular value decomposition):

TSRH Σ=)0( (79)

gdje je


24

Σ=Σ

00

0n

[ ]niin diag σσσσσ ,,,,,, 121 KK +=Σ

uz uvjet da je

0121 ≥≥≥≥≥≥ + nii σσσσσ KK

Neka su nR i nS matrice formirane pomoću prvih n kolona matrica R i S , tada matrica H(0)

postaje

T

nnn SRH Σ=)0( gdje je nn

T

nn

T

n ISSRR == (80)

Usporedbom gornje jednadžbe s jednadžbom

βαQPH =)0(

može se zaključiti da je αP u vezi s nR , a βQ u vezi s T

nS , pa se može pisati

[ ] [ ]T

nnnn SRQPH 2/12/1)0( ΣΣ== βα . (81)

U matrici [ ]2/1nnRP Σ=α prvi red je identificirana izlazna matrica C , a prva kolona matrice

[ ]T

nn SQ 2/1Σ=β je identificirana ulazna matrica B .

Za izračunavanje identificirane matrice sustava A koristi se Hankel-ova matrica H(1)

=

=

−++

+

+++

+

+

BCABCABCA

BCABCABCA

BCABCACAB

YYY

YYY

YYY

H

11

132

2

21

243

132

)1(

βααα

β

β

βααα

β

β

K

MOMM

K

K

K

MOMM

K

K

(82)

Ili kraće

T

nnnn SARAQPH 2/12/1)1( ΣΣ== βα (83)

Iz čega se identificiraju matrice:

2/12/1 )1(ˆ −− ΣΣ= nn

T

nn SHRA (84)

B = prve r kolone od T

nn S2/1Σ (85)

C = prvi m redovi od 2/1nnR Σ (86)

D = Y0 (87)


25

Matrice B i C se računaju korištenjem matrica T

mE i T

rE , koje se sastoje od Oi (nul matrica) i od

Ii (jedinična matrica):

[ ]mmm

T

m OOIE K= [ ]rrr

T

r OOIE K= (88)

gdje je m – broj izlaza, a r – broj ulaza

r

T

nn ESB 2/1ˆ Σ= (89)

2/1ˆnn

T

m REC Σ= . (90)

4.2.4. ERA/DC – s korištenjem korelacije podataka

Standardni ERA postupak koristi matricu H(0) jednadžba (77), dok ERA/DC koristi

kvadratnu korelacijsku matricu reda αγ m= (m je broj izlaza). Prednost postupka ERA/DC je u

manjoj dimenziji kvadratne korelacijske matrice )(kRhh αm x αm, u odnosu na matrica H(k) i

H(0) αm x βr. Ta prednost je posebno izražena kada Hankelova matrica ima osobito veliki broj

redova.

T

kkk

kkk

kkk

T

hh

YYY

YYY

YYY

YYY

YYY

YYY

HkHkR

==

−++

+

−+++++

++++

+++

11

132

21

11

132

21

)0()()(

βααα

β

β

βααα

β

β

K

MOMM

K

K

K

MOMM

K

K

(91)

ili nakon sreñivanja

=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

=−+−++

=+−++

=−++

=−+++

=+++

=++

=−++

=++

=+

β

αα

β

α

β

α

β

α

ββ

β

α

ββ

111

111

11

111

111

11

11

11

1

)(

i

T

iik

i

T

iik

i

T

iik

i

T

iik

i

T

iik

i

T

iik

i

T

iik

i

T

iik

i

T

iik

hh

YYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

kR

K

MOMM

K

K

(92)

Kada je k = 0, korelacijska matrica postaje


26

T

T

hh

YYY

YYY

YYY

YYY

YYY

YYY

HHR

==

−++

+

−++

+

11

132

21

11

132

21

)0()0()0(

βααα

β

β

βααα

β

β

K

MOMM

K

K

K

MOMM

K

K

te je sada

=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

=−+−+

=+−+

=−+

=−++

=++

=+

=−+

=+

=

β

αα

β

α

β

α

β

α

ββ

β

α

ββ

111

111

11

111

111

11

11

11

1

)0(

i

T

ii

i

T

ii

i

T

ii

i

T

ii

i

T

ii

i

T

ii

i

T

ii

i

T

ii

i

T

ii

hh

YYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

R

K

MOMM

K

K

(93)

Matrica )0(hhR sadrži auto–korelaciju Markovljevih parametara, kao što je ∑=

β

1i

T

iiYY i

kros-korelacije izmeñu izlaza sustava, kao što su ∑=

+

β

11

i

T

iiYY . Ako šumovi u Markovljevim

parametrima nisu u korelaciji, korelacijska matrica )0(hhR sadrži manje šuma, nego Hankelova

matrica H(0).

Iz jednadžbi (77) i (93) proizlazi

C

kTTkT

hh QAPPQQAPHkHkR ααββα === )0()()( (94)

Sada se mogu usporediti korelacijska matrica C

k

hh QAPkR α=)( s Markovljevim parametrima

BCAY k

k

1−= . Oba izraza, korelacijska matrica )(kRhh i Markovljevi parametri BCAY k

k

1−= , su

umnožak triju matrica, pa se na sličan način kao i za postupak ERA, mogu definirati αP , A i CQ .

Formira se korelacijski blok Hankelove matrice

+++++

++++

++

=

))(())1(()(

))1(()2()(

)()()(

)(

τςξτξξτ

τςττςττ

kRkRkR

kRkRkR

kRkRkR

k

hhhhhh

hhhhhh

hhhhhh

K

MOMM

K

K

H (95)


27

rastavljeno na tri dijela

[ ] ςξςτ

ξτα

τα

α

QAPQAQAQA

AP

AP

P

k k

C

k

CC

k =

= KM

)(H (96)

za k = 0

++

+=

))(())1(()(

))1(()2()(

)()()0(

)0(

τςξτξξτ

τςττςττ

hhhhhh

hhhhhh

hhhhhh

RRR

RRR

RRR

K

MOMM

K

K

H (97)

[ ] ςξςτ

ξτα

τα

α

QPQAQAQ

AP

AP

P

C

k

CC =

= KM

)0(H (98)

gdje je k broj tako odabran kako bi se izbjegli korelacijski uvjeti koji daju povećanje odstupanja

kada je prisutan šum; a τ se odabire tako da se spriječi značajno preklapanje susjednih blokova.

Brojevi ξ i ς odreñuju koliko ima korelacijskih pomaka koji su uključeni u analizu.

Daljnji proces ERA/DC se nastavlja slično kao i kod ERA-e, rastavljanjem matrice )0(H na tri

dijela (singular value decomposition)

TSRΣ=)0(H (99)

gdje je

Σ=Σ

00

0n

[ ]niin diag σσσσσ ,,,,,, 121 KK +=Σ

uz uvjet da je

0121 ≥≥≥≥≥≥ + nii σσσσσ KK

Matrice nR i nS se formiraju pomoću prvih n stupaca R S matrica.

Treba napomenuti da je gornja faktorizacija približna, ako je prisutan šum jer odbačene

pojedinačne vrijednosti nisu nula.

Korištenjem matrice T

rE , koja se sastoji od Oi (nul matrica) i od Ii (jedinična matrica)


28

[ ]rrr

T

r OOIE K= (100)

može se napisati

r

T

rhh EkEkR )()( H= (101)

iz čega se dobije grupiranjem i supstitucijama

[ ] r

T

nn

k

nn

T

nnnn

T

rhh ES)S(RREkR 2/12/12/12/1 1)( ΣΣΣΣ= −−H . (102)

Dalje se identificiraju matrice:

2/12/1 1ˆ −− ΣΣ= nn

T

nn )S(RA H (103)

[ ] rnn

T

r EHREB )0(ˆ 2/1 +Σ= (104)

2/1ˆnn

T

m REC Σ= (105)

Izlazna i ulazna matrica C i B mogu se identificirati iz prvih m redova matrice αP , te iz prvih r

stupaca matrice βQ .

== −

−

BABAABB

CA

CA

CA

C

QPH 12

1

2)0( β

α

βα K

M

(106)

[ ] )0()0( 2/1 HREHPQ nn

T

r

++ Σ== αβ (107)

4.2.5. Promatračko pojačanje Markovljevih parametara

Kako bi se izračunalo promatračko pojačanje G, prvo je potrebno odrediti niz

promatračko pojačanih Markovljevih parametara

GCAY k

k

10 −= ; k = 1, 2, 3, … (108)

Slično kao i kod Markovljevih parametara sustava, prema jednadžbama (69) i (70),

)2(1

01 YCGY == (109)

slijedeći član niza dobije se pomoću

01

)2(1

02

)2(2 )( YYYCGCGCAGGACY +=+== ,

pa je drugi član


29

01

)2(1

)2(2

02 YYYY −= , (110)

treći član

01

)2(2

02

)2(1

03

22)2(3 )( YYYYYGCGACCGCAGGCAGACY ++=++== ,

iz čega slijedi

01

)2(2

02

)2(1

)2(3

03 YYYYYY −−= . (111)

Odnosno, u općem obliku,

)2(1

01 YCGY == (112)

∑−

=−−=

1

1

0)2()2(0k

i

ikikk YYYY za k = 2, …, p (113)

∑=

−−=p

i

ikik YYY1

0)2(0 za k = p + 1, p + 2, …, ∞ . (114)

Sada se može izračunati promatračko pojačanje G

01)( YPPPG TT −= (115)

gdje je

=

kCA

CA

CA

C

P

M

2 ,

=

=

+ GCA

GCA

CAG

CG

Y

Y

Y

Y

Y

k

k

MM

2

01

03

02

01

0

Zbog praktičnosti, dobro je Markovljeve parametre i promatračko pojačane Markovljeve

parametre pisati unutar jedne matrice

[ ] [ ]GBCAGCABCAYYP kkk

kkk

1110 −−− =

== , (116)

ili u proširenom obliku

[ ] [ ]∑−

=−−−−=

1

1

0)2()2()2()1(k

i

ikikikkkk YYYYDYYP . (117)


30

4.2.6. Metode za razlikovanje stvarnog moda od zašumljenog moda

Identificirani diskretni model u modalnim koordinatama dan je u obliku

)(ˆ)(ˆ)1( kuBkxkx mmm +Λ=+ (118)

)()(ˆ)( kDukxCky mm += (119)

gdje su:

r – broj ulaza

m – broj izlaza

Λ - dijagonalna matrica koja sadrži identificirane svojstvene vrijednosti iλ (i = 1, 2, …, n)

mB i mC - ulazna i izlazna matrica u modalnim koordinatama

n – broj modalnih koordinata

=

n

m

b

b

b

B

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ 2

1

M; [ ]nm cccC ˆˆˆˆ

21 K=

Modalni oblik identificiranih Markovljevih parametra može se prikazati na sljedeći način:

[ ]12102 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

−− =

ΛΛ= lm

l

mmmmm YYYYBCBCBCDY KK (120)

Za slučaj bez šuma, niz Markovljevih parametara je kombinacija pulsnog odziva dobivena

jediničnim pulsom s različitih ulaza. Dobiveni niz je jedinstven i neovisan o koordinatama.

Svaki Markovljev parametar može biti zapisan kao kombinacija od n komponenti koje doprinose

iz različitih modalnih koordinata, npr.

∑=

=Λ=n

i

iiimm bcBCY1

2ˆˆˆˆˆˆˆ λ (121)

Stoga, svaka koordinata ima niz od l Markovljevih parametara, opisanih na sljedeći način:

−i

l

iiiiiii bcbcbc ˆˆˆˆˆˆˆˆ 2λλ K ; i = 1, 2, …, n (122)


31

Definiranjem niza iq koji predstavlja identificiranu modalnu amplitudu

= −i

l

iiiii bbbq ˆˆˆˆˆˆ 2λλ K ; (123)

niz Markovljevih parametara postaje

= ∑

=

n

i

iiqcDY1

ˆˆˆ . (124)

Drugi način izračunavanja niza iq je rastavljanje niza Markovljevih parametara

[ ]1210 −lYYYY K koji se direktno dobiju iz pulsnog odziva. Postupak počinje definiranjem

Hankelove matrice

=

−+

−−

−

11

132

21

)0(

l

l

l

YYY

YYY

YYY

H

K

MOMM

K

K

αα

α

α

(125)

gdje je α izabran tako da mα veće ili jednako od reda sustava n. Rastavljanjem Hankelove matrice

(singular value decomposition) dobije se

[ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] QPSRSRSRH T

nnnn

T

nnnn

T

nnnn =ΣΨΨΣ=ΣΨΨΣ=ΣΣ= −− 2/112/12/112/12/12/1)0( . (126)

ψ je proizvoljna nesingularna matrica koja je odreñena izborom koordinata modela. Ako se

koriste modalne koordinate, matrica ψ je svojstveni vektor matrice stanja realnog sustava. U

praksi matrica ψ se odabire kao svojstveni vektor procijenjene matrice stanja A , jer je realna

matrica stanja A nepoznata.

Supstitucijom izraza (75) u (81) proizlazi

ΛΛΛ

ΛΛΛ

ΛΛ

==

−−

−

−−

m

l

mmmmm

m

l

mmmmm

m

l

mmmmm

BCBCBC

BCBCBC

BCBCBC

QPH

21

2

1

)0(

K

MOMM

K

K

αα

α

α

, (127)

odnosno


32

[ ]m

l

mm

m

m

m

BBB

C

C

C

H 1

1

)0( −−

−

ΛΛ

Λ

Λ= α

α

KM

. (128)

Treba napomenuti, kako Λ, Bm, i Cm predstavljaju matrice realnog sustava u modalnim

koordinatama. Stoga, ova je jednadžba samo aproksimacija, kada je singularna vrijednost zbog

šuma prikraćena. Ako se promotri matrica Q

[ ][ ][ ]

[ ]

=ΛΛ=

=

−−

−−

−−

−−

n

l

nnnn

l

l

m

l

mm

n bbb

bbb

bbb

BBB

q

q

q

Q

1

21

2222

11

1111

12

1

α

α

α

α

λλ

λλλλ

K

M

K

K

KM

, (129)

usporedbom (123) i (129) proizlazi da su iq i iq (i = 1, 2, …, n) identični za slučaj bez šuma. Sa

postojanjem šuma i male prikraćene singularne vrijednosti, iq je aproksimacija od iq .

Općenito, neovisno o metodi i matematičkom modelu koji se koristi u opisivanju sustava

potrebno je primijeniti optimizaciju postupka. To znači minimizirati odstupanja izmeñu

analitičko/numeričkog matematičkog modela (MKE, identifikacijske jednadžbe stanja, …) u

odnosu na stvarni sustav [32-37].

Ocjena uspješnosti identifikacije računa se na dva načina:

a) MAC (Modal Amplitude Coherence)

**

*

ˆˆ

ˆ

iiii

ii

i

qqqq

qqMAC = (130)

b) MSV (Mode Singular Value)

)ˆ1(

ˆˆˆ)ˆ...ˆˆ1(ˆ 22

i

ii

i

l

iiiii

bcbcMSV

λλλλ

+≈++++= − (131)

4.2.7. Kalmanov filtar

Kalmanov filtar je rekurzivni stohastički estimator (procjenitelj) varijabli stanja, koje se

ne mogu mjeriti, a može poslužiti i za procjenu mjerljivih signala ukoliko su oni u većoj mjeri

zašumljeni.


33

Konvencionalni način upotrebe Kalmanovog filtra

Kalmanov filtar najčešće se koristi prilikom nadziranja, odnosno upravljanja procesa. To

znači da se procjena varijable stanja x mora odvijati u realnom vremenu, što uvjetuje postojanje

povratne petlje u sustavu, te stalno mjerenje nakon svakog vremenskog perioda k∆t. Način rada

Kalmanovog filtra odvija se u dva koraka:

1. predikcija – na temelju posljednjeg poznatog stanja k, predviña se slijedeće stanje k+1. U

ovom koraku procjena sadrži grešku, jer šum nije uzet u obzir.

2. Korekcija – nakon promjene stanja izmjeri se stvarni izlaz, koji sadrži šum, te na temelju

tog mjerenja i matrica koje opisuju sustav, korigira se procjena stanja.

Odnosno, mjerenje dijeli postupak Kalmanovog filtra na dva dijela: a priori - procjena stanja prije

mjerenja i a posteriori - procjena stanja nakon mjerenja. Procjena stanja u trenutku k, prije

mjerenja y(k) ima oznaku )(ˆ kx− , te se donosi samo na osnovu a posteriori procjene varijable

stanja i ulaza iz prethodnog koraka (utjecaj šuma je izostavljen). Često se ovaj korak naziva

predikcija, obzirom da se predviña slijedeće stanje sustava, na osnovu poznatog prethodnog.

Procjena stanja u trenutku k, koja uključuje izlazno mjerenje y(k) – a posteriori ima oznaku

)(ˆ kx+ .

Osnovna jednadžba stanja može se proširiti procesnim i mjernim šumom, pa se dobiju

stohastičke jednadžbe diferencije

)()()()1( kkBukAxkx ω++=+ (132)

)()()()( kkDukCxky ν++= , (133)

gdje su )(kω i )(kν procesni i mjerni šumovi, meñusobno neovisni, s odgovarajućim matricama

kovarijanci Q i R. Prvi - a priori korak predviña slijedeće stanje sustava, uz poznato prethodno, te

se može opisati sljedećom jednadžbom stanja

)1()1(ˆ)(ˆ −+−= −− kBukxAkx (134)

i matricom kovarijanci

QAkAPkP T +−=− )1()( (135)

Ova procjena varijable stanja sustava, definira se na temelju a posteriori vrijednosti (nakon

mjerenja) i ulaza iz prethodnog koraka. Procjena ovisi o točnosti matematičkog modela i o


34

utjecaju šuma, koji se u ovom koraku izostavlja. Razlikom stvarnog i procijenjenog stanja

definiraju se a priori i a posteriori pogrješke estimacije

)(ˆ)()( kxkxke −− −= (136)

)(ˆ)()( kxkxke −= (137)

A priori i a posteriori pogrješke estimacije imaju matricu kovarijanci

[ ]TkekeEkP )()()( −−− = (138)

[ ]TkekeEkP )()()( = (139)

Drugi korak postupka je korekcija estimacije nakon mjerenja, koje igra ulogu povratne veze.

Procijenjenoj vrijednosti u prvom koraku )(ˆ kx− dodaje se korekcijski član i time se poboljšava

estimacija varijable x u trenutku k

[ ])(ˆ)()()(ˆ)(ˆ kykykKkxkx −+= − (140)

gdje je )()(ˆ)(ˆ kDukxCky += − (141)

Razlika )(ˆ)( kyky − naziva se rezidual, to je odstupanje stvarnog mjerenja )(ky i teorijski

predviñenog rezultata mjerenja )(ˆ ky . K je Kalmanova matrica pojačanja, čija je uloga a

posteriori, minimiziranje kovarijance pogreške estimacije P(k). Uvrštenjem jednadžbe (140) u

(137), pa u jednadžbe (138) i (139), te deriviranjem po K i izjednačavanjem s nulom daje

pojačanje K(k) koje minimizira P(k)

[ ] 1)()()()(

−−− += kRCkCPCkPkK TT (142)

)())(()( kPCkKIkP −−= (143)

Iz izraza (142) se može zaključiti: ako se smanjuje pogrješka mjerenja, odnosno kovarijanca

šuma, R(k) teži nuli.

1

0)()(lim −

→= CkK

kR

Kalmanovo pojačanje jače djeluje na rezidual u jednadžbi korekcije, te naglašava rezultat

stvarnog mjerenja )(ky , jer je ono bliže stvarnoj vrijednosti nego procijenjena vrijednost )(ˆ ky . S

druge strane, ukoliko kovarijanca pogrješke estimacije )(kP− teži nuli,

0)(lim0)(

=→−

kKkP


35

pojačanje takoñer teži nuli, što znači da je i razlika a priori estimacije i korigirana estimacija vrlo

mala.

Na osnovu navedenog, može se zaključiti kako je kod klasičnog načina upotrebe

Kalmanovog filtra potrebno stalno mjerenje, koje ima ulogu povratne veze. To znači da se

filtriranje odvija u realnom vremenu, te je ovisno o samo jednom prethodnom koraku (k ovisi

samo o k – 1). U stvarnim primjenama Kalmanova filtra moraju se prethodno odrediti

kovarijancne matrice Q i R.

Izračunavanje Kalmanovog filtra direktno iz eksperimentalnih podataka

Kako bi se izračunalo pojačanje Kalmanovog filtra, potrebno je znati model sustava, te

kovarijance šuma procesa Q i šuma mjerenja R. Šum procesa uključuje nestalnost sustava i ulazni

šum. Često je u praksi teško odrediti sve potrebne elemente. Matematički model može se izvesti

analitički ili eksperimentalno pomoću sustava identifikacije [38-44]. Kovarijanca mjernog šuma

definira se ispitivanjem senzora, dok je kovarijancu procesa teško odrediti, pa je potrebno

odreñeno nagañanje. U praksi, kovarijantne matrice Q i R se mogu mijenjati u ovisnosti o

vremenu, ali se pretpostavlja da su konstantne. Takoñer, kako bi Kalmanov filtar mogao

procjenjivati rješenje, moraju biti ispunjeni slijedeći uvjeti: oba šuma spadaju u bijeli šum,

meñusobno su neovisni, imaju Gausovu distribuciju i srednja vrijednost im je nula.

Pomoću Kalmanovog filtra mogu se procijeniti jednadžbe:

)()()(ˆ)1(ˆ kKkBukxAkx rε++=+ (144)

)()(ˆ)(ˆ kDukxCky += (145)

gdje su: )(ˆ kx procijenjeno stanje, )(ˆ ky procijenjeno mjerenje, K pojačanje Kalmanovim filtrom

i )(krε rezidua – ostatak, koji predstavlja razliku stvarnog izmjerenog izlaza i procijenjenog

mjerenja.

)(ˆ)()( kykykr −=ε (146)

Kombinacijom gornjih jednadžbi (144) (145) dobije se:

[ ] [ ] )()()(ˆ)1(ˆ kKykuKDBkxKCAkx +−+−=+ (147)

što se može drugačije pisati


36

)(~

)(ˆ~

)1(ˆ kvBkxAkx +=+ (148)

gdje su:

KCAA −=~

,

[ ]KKDBB −=~

,

=

)(

)()(

ky

kukv .

Mjerna jednadžba sada izgleda ovako

)()()(ˆ)()(ˆ)( kkDukxCkkyky rr εε ++=+= . (149)

Usporedbom (54) i (148) može se primijetiti identičnost izraza: kada je ispunjen uvjet 0)( =krε ,

proizlazi da je KG −= . Kalmanov filtar postaje pojačanje G, koje nam služi kao umjetna

povratna petlja, odnosno korekcija pri procjeni stanja sustava i procijenjene mjerne jednadžbe.

Realni sustavi zbog prisutnosti poremećaja, smetnji, nelinearnosti procesnog i mjernog

šuma ne ispunjavaju navedene uvjete, pa identificirani filtar nije Kalmanov filtar. U tom slučaju

identificirani filtar je samo promatračko pojačanje G.

Izračunavanje Kalmanovog filtra pomoću kovarijanci procesnog i mjernog šuma

Neka je procijenjena jednadžba stanja zadana u sljedećem obliku:

)()()()()(ˆ)()1(ˆ kukHkykKkxxFkx ++=+ (150)

gdje su F(k), K(k) i H(k) vremenski promjenljive matrice. Procijenjena grješka je

)(ˆ)()( kxkxke −= (151)

Iz jednadžbi (132) (133) i (150) procijenjena greška je

)()()()()(ˆ)()()()()1(ˆ)1()1( kukHkykKkxxFkkBukAxkxkxke −−−++=+−+=+ ω (152)

Jedan od uvjeta Kalmanovog filtra je nulta srednja vrijednost grješke, pa se na osnovu toga može

pisati

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])()()()(ˆ)()()()()1( kuEkHDkKBkxECkKkFAkeECkKAkeE −−+−−+−=+ (153)


37

Iz gore navedenog proizlazi da svaki od tri člana mora biti jednak nuli. Prvi član je jednak nuli,

jer je [ ] 0)( =keE , dok za druga dva člana vrijedi [ ] 0)(ˆ ≠kxE i [ ] 0)( ≠kuE , stoga se može

zaključiti da je

CkKAkF )()( −= (154)

DkKBkH )()( −= (155)

pa je procijenjena grješka

[ ] )()()()()()1( kkkKkeCkKAke ων +−−=+ (156)

Kovarijanca grješke je [ ])1()1()1( ++=+ kekeEkP T

(157)

uz uvjete

[ ] RkkE T =)()( νν i [ ] QkkE T =)()( ωω (158)

dobije se

[ ] [ ] QkRKkKCkKAkPCkKAkP TT ++−−=+ )()()()()()1( . (159)

Kovarijantna matrica P(k) pokazuje koliko je blizu srednjoj vrijednosti u Gausovoj distribuciji.

Velika kovarijanca pokazuje veću netočnost. Stoga je kriterij odreñivanja vrijednosti

Kalmanovog filtra traženje minimalne vrijednosti kovarijance P(k), tako da se derivira po K i

izjednači s nulom, pa se dobije pojačanje

[ ] 1)()()(

−+= TT CkCPRCkAPkK (160)

Zamjenom dobivene matrice Kalmanovog filtra u jednadžbu (156) te uz uvjet da je )()( kPkP T=

dobije se

[ ] QAkCPCkCPRCkAPAkAPkP TTTT ++−=+−

)()()()()1(1

(161)

ili

[ ] QAkPCkKAkP T +−=+ )()()1( . (162)

Sada se može definirati jednadžba stanja

[ ])(ˆ)()()(ˆ)1(ˆ kykyKkBukxAkx −++=+ (163)

)()(ˆ)(ˆ kDukxCky += (164)


38

4.2. Identifikacija u frekventnom području

Ispitivanje linearnih dinamičkih sustava u vremenskom području odvija se na bazi analize

izmjerenih signala. Nedostatak je potreba za brojnim ponavljanjima ako je neophodno izvršiti

analizu sustava u širem opsegu rada. U tom slučaju, primjenom Laplaceove ili Fourierove

transformacije diferencijalne jednadžbe sustava, dobije se algebarska jednadžba. Analizom i

rješavanjem dobivenih algebarskih jednadžbi može se odrediti veza izmeñu ulaza i izlaza sustava,

odnosno mogu se odrediti dinamičke karakteristike sustava.

Laplaceovom transformacijom funkciji f(t) pridružuje se funkcija F(s) koja sadrži

kompleksnu varijablu ωσ is += .

[ ] ∫+∞

−==0

)()()( dtetftfsF stα (165)

Opći oblik linearne diferencijalne jednadžbe

)(...)(

)(...)()(

001

1

1 tubdt

tudbtya

dt

tyda

dt

tyda

m

m

nn

n

nn

n

n ++=+++ −

−

− (166)

Laplaceovom transformacijom dobije se oblik algebarske jednadžbe

)()...()()...( 001

1 sUbsbsYasasa m

n

n

n

n

n ++=+++ −− (167)

4.2.1. Laplaceova transformacija

Računanje FRF i prijenosne funkcije iz kontinuiranog sustava

Iako Laplaceova transformacija diferencijalne jednadžbe drugog reda osigurava fizikalni

uvid u mehanički sustav, češće se u frekventnom području koristi transformacija diferencijalne

jednadžbe prvog reda [39], odnosno transformacija jednadžbe stanja (20).

()

()

c cx A x B u L

y Cx Du L

= +

= +

&

)()()( sUBsXAssX cc += (168)

)()()( sDUsCXsY += (169)

ili


39

1( ) ( ) ( )c cX s sI A B U s−= − (170)

{ }

1

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

c c

c c

Y s C sI A B U s DU s

Y s C sI A B D U s

−

−

= − +

= − + (171)

Sada se može izračunati prijenosna funkcija

1( )( ) ( )

( ) c c

Y sG s C sI A B D

U s

−= = − + (172)

Matrice [ ] cc BAsI1−− i [ ] DBAsIC cc +− −1 su prijenosne funkcije izmeñu ulaza i izlaza.

Iz Laplaceove transformacije izraza tAce proizlazi

[ ] [ ] 110

)(

0

)()( −−∞−−∞

− −=−−== ∫ cc

tAsIsttAtAAsIAsIedteee cccα

Ova jednadžba vrijedi za sve vrijednosti s osim za svojstvenu vrijednost cA . Za bilo koju

vrijednost cA beskonačan red konvergira.

...6

1

2

1

!

1 33

0

22 ++++== ∑∞

=

tAtAtAIAtk

e c

k

cc

k

c

ktAc (173)

Za izračunavanje izraza tAce potrebno je izračunati svojstvenu vrijednost cA

[ ]∑∞

=

−ΨΛΨ ΨΛΨ==−

0

1

!

11

k

kkttAt

kee c

1

0

1

!

1 −Λ∞

=

− ΨΨ=ΨΨΛ= ∑ t

k

kk etk

(174)

[ ] 1...21 −ΛΛΛ ΨΨ= neeediag

pri čemu matrice Ψ i Λ zadovoljavaju slijedeće jednakosti:

ΨΛ=ΨcA (175)

[ ]ndiag λλλ ...,,, 21=Λ (176)

[ ]nψψψ ...,,, 21=Ψ (177)

Stupčasti vektor iψ je svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti iλ matrice cA .

Ovaj se korak može izbjeći korištenjem prethodno spomenutog reda jednadžbi. Budući da red

brzo konvergira, često se koristi za Laplaceovu transformaciju.


40

[ ] ∑ ∑∞

=

∞

=

+−=

=0 0

)1(

!

1

k k

k

c

kk

c

ktAAsAt

ke c αα . (178)

Kombinacijom jednadžbi dobije se

∑∞

=

+−− =−0

)1(1)(k

k

c

k

c AsAsI . (179)

Sada se mogu napisati sljedeće jednakosti

[ ] )()( 1sUBAsIsX cc

−−=

)(0

)1( sUBAs c

k

k

c

k∑∞

=

+−= (180)

[ ][ ] )()( 1sUDBAsICsY cc +−= −

)(0

)1( sUBCAsD c

k

k

c

k

+= ∑

∞

=

+− (181)

Koristeći definicije DY =~

i BCAY k

ck

1~ −= , za Y(s) može se pisati:

[ ] )(...~

...~~~

)( 22

110 sUsYsYsYYsY n

n +++++= −−− . (182)

Potrebno je napomenuti kako kY~

(k = 1, 2, …) definirano u kontinuirano – vremenskom

području. Jednadžba (181) prikazuje kako se matrica prijenosne funkcije

[ ][ ]DBAsIC cc +− −1 može izračunati za bilo koju zadanu vrijednost s, ako je poznato kY~

(k = 1,

2,…).

Matrica 1( )csI A −− može se definirati jednostavnije.

Neka je Ac = ΨΛΨT, tako da je ΨΨ

T =I.

(sI – Ac) –1 = (sΨΨ

T – ΨΛΨT) –1

(sI – Ac) –1 = [Ψ (s–Λ)ΨT] –1

(sI – Ac) –1 = Ψ (s–Λ)–1

Ψ–T

Prijenosna funkcija za vremenski kontinuiran sustav je

DBAsICsU

sYsG cc +−== −1)(

)(

)()(

DBs

CsG c

T +Ψ

−

Ψ= −

λ1

)(


41

Za FRF vremenski diskretnog sustava treba staviti s = jω.

Računanje FRF i prijenosne funkcije iz diskretnog sustava

Na sličan način dobije se prijenosna funkcija diskretnog vremenskog sustava. Umjesto

Laplaceove transformacije primjenjuje se z transformacija.

()

()

x Ax Bu Z

y Cx Du Z

= +

= +

&

)()()( zBUzAXzzX +=

)()()( zDUzCXzY +=

1( ) ( ) ( )X z zI A BU z−= −

{ }

1

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Y z C zI A BU z DU z

Y z C zI A B D U z

−

−

= − +

= − +

Iz posljednjeg izraza

1( )( ) ( )

( )

Y zG z C zI A B D

U z

−= = − +

Polazeći od 1( )zI A −− ,

(zI – A) –1 = Φ (z–Λ)–1Φ–T

1( )( ) ( )

( )

1( ) T

Y zG z C zI A B D

U z

G z C B Dz λ

−

−

= = − +

= Φ Φ + −

Dobivena prijenosna funkcija je za diskretni vremenski sustav. Za prijenosnu funkciju

kontinuiranog vremenskog sustava treba prijeći u s područje gdje je sz e= . Dodatno, pri

računanju FRF za kontinuirani vremenski sustav, treba staviti s = jω.

Iz toga slijedi 2

2 nn s

j fj tf f

nz e e

ππ∆= = .


42

4.2.2. Fourierova transformacija

Do rješenja linearne diferencijalne jednadžbe može se doći na sličan način Fourierovom

transformacijom, ako se varijabla s zamijeni samo imaginarnim članom ωis = . Primjenom

transformacije na jednadžbu (2) prigušenog sustava, uz pretpostavku pomaka ti

u eiXtx ωω)()( = ,

te ako se sila prikaže u obliku tieiFtf ωω)()( = transformirana jednadžba ima oblik:

titititi eiFeikXeicXieimX ωωωω ωωωωωω )()()()(2 =++− (183)

Kako svi članovi jednadžbe imaju dimenziju sile, gornja se jednadžba može prikazati grafički.

Slika 6. Grafički prikaz algebarske jednadžbe u frekventnom području

Sreñivanjem se dobije

)()()( 2 ωωωω iFiXkcim =++− (184)

Iz toga proizlazi prijenosna funkcija koja predstavlja omjer amplitude izlaza i sile uzbude za

pojedine frekvencije.

kcimiF

iXiH

++−==

ωωωω

ω2

1

)(

)()( (185)

Ako se diferencijalna jednadžba prisilnih vibracija prikaže u modalnom obliku, prema jednadžbi

(7) uz poznate supstitucije,


43

tk

Fxxx ωωωξω sin2 2

0200 =++ &&& (186)

prijenosna funkcija ima oblik

0

2

0

21

1)(

ωω

ξωω

ω

i

H

+

−

= . (187)

Njen grafički prikaz sustava s jednim stupnjem slobode za modalne parametre u relativnom

prikazu (X/Xstat, ω/ω0

, ζ=0.01) dan je na slici

Slika 7. Prijenosna funkcija i njene derivacije: x(ω/ω0), v(ω/ω0), a(ω/ω0), (amplituda)

Realni i imaginarni dio prijenosne funkcije

2

0

2

22

0

2

0

41

1

)Re(

+

−

−

=

ωω

ξωω

ωω

k

Fx (188)

2

0

2

22

0

0

41

2

)Im(

+

−

−=

ωω

ξωω

ωω

ξ

k

Fx (189)


44

Slika 8. Realna i imaginarna komponenta kompleksnog dinamičkog faktora u ovisnosti o omjeru ω/ω0 i relativnom

prigušenju ξ

Realni dio prijenosne funkcije je u fazi sa silom, a imaginarni zaostaje 2

πza silom. Vektor X

predstavlja ukupni kompleksni pomak


45

k

Fex

tiω

ωω

ξωω

2

0

2

22

0

41

1

+

−

= (190)

koji za kut θ kasni za uzbudnom silom

2

0

0

1

2

arctan

−

=

ωω

ωω

ξθ (191)

Realna komponenta pomaka iščezava (jednaka je nuli) za ω/ω0=1 neovisno o prigušenju, a ima

ekstremne vrijednosti, maksimum i minimum za frekvencije:

ξωω 2101 −= (192)

ξωω 2102 += (193)

S opadanjem prigušenja ekstremi postaju sve izraženiji i bliži pravcu ω/ω0=1; da bi za ξ=0, ovaj

pravac postao asimptota. Krivulje imaginarne komponente pomaka Im(x) imaju ekstreme u

neposrednoj blizini ω/ω0=1, koji su oštriji od ekstrema dinamičkog faktora H(ω) za odgovarajuće

vrijednosti prigušenja ξ.

Prisilne se vibracije mogu prikazati u obliku

k

Fex

ti )(

2

0

2

22

0

41

1 θω

ωω

ξωω

−

+

−

= (194)

gdje je θ fazni kut pomaka za uzbudnom silom.

Veličina u uglatim zagradama je apsolutna vrijednost kompleksnog dinamičkog faktora, )(ωH .

Dinamički faktor predstavlja bezdimenzionalni omjer izmeñu amplitude dinamičkog i statičkog

pomaka. Slika 9. prikazuje dinamički faktor kao funkciju bezdimenzionalnog omjera ω/ω0

za

različite slučajeve prigušenja ξ.


46

Slika 9. Dinamički faktor H u ovisnosti o omjeru ω/ω0 i relativnom prigušenju ξ

Velike vrijednosti amplituda pomaka, a time i brzine i ubrzanja nastaju u slučaju bliskih

vrijednosti uzbudne frekvencije i svojstvene frekvencije konstrukcije. Teorijski, kada nema

prigušenja i kada su uzbudna frekvencija i svojstvena frekvencija konstrukcije jednake, amplitude


47

pomaka postaju beskonačne. Pojava poklapanja uzbudne frekvencije opterećenja i svojstvene

frekvencije konstrukcije se naziva rezonancija.

Sa slike je jasno kako se s povećanjem prigušenja smanjuju pomaci te se ekstremna

vrijednost pomaka pomiče ulijevo od ω/ω0=1.

Ekstrem dinamičkog faktora jest za 20 21 ξωω −= i iznosi

212

1)(

ξξω

−=H . U

slučaju vrlo malog prigušenja (ξ<0.05) krivulje dinamičkog faktora H(ω) su skoro simetrične u

odnosu na pravac ω/ω0=1, a ekstremna vrijednost koja je u neposrednoj blizini ovog pravca

približno iznosi

QH ==ξ

ω2

1)( (195)

gdje se Q naziva faktorom kvalitete. Slika prikazuje i faznu razliku izmeñu uzbudne sile i

pomaka (kut θ) u ovisnosti o omjeru frekvencija ω/ω0. Vidljivo je da u slučaju rezonancije

(ω=ω0) ovaj kut ne ovisi o prigušenju ξ i iznosi 900 što znači da je brzina u fazi sa silom.

Takoñer, fazni kut teži nuli kada omjer frekvencija ω/ω0

teži nuli, a fazni kut teži π kada omjer

frekvencija ω/ω0

teži beskonačnosti.

4.2.3. Z transformacija

Do sada navedene Laplasove i Furierove transformacije primjenjuju se za linearne

kontinuirane sustave koji su opisani linearnim diferencijalnim jednadžbama. U diskretnim

sustavima, umjesto funkcija, koriste se nizovi nastali uzorkovanjem mjernog signala. Umjesto

diferencijalnih jednadžbi, u analizi diskretnih sustava koriste se diferentne jednadžbe, odnosno

jednadžbe diferencija. Stoga je, slična transformaciji s, razvijena transformacija z za diskretne

vremenske sustave. Z transformacija je operatorski postupak koji pretvara niz uzorkovanih

signala u kompleksnu funkciju z varijable.

Neka je )(ty kontinuirana funkcija, a )( tky ∆ (za k = 0, 1, 2, …) njen diskretni oblik,

z transformacija se definira kao:


48

[ ] ∑∞

=

−∆=∆=0

)()()(k

kztkytkyZzy (196)

gdje je z kompleksna varijabla, a )( tky ∆ pri tome mora zadovoljavati odreñene uvjete koje

većina realnih funkcija zadovoljava. Može se vidjeti sličnost, ako se usporedi gornji izraz s

izrazom za Laplaceovu transformaciju kontinuirane varijable )(ty , gdje je s takoñer kompleksna

varijabla.

[ ] ∫+∞

−==0

)()()( dtetytysy stα (197)

Razlika je u tome što kod z transformacije integral postaje suma, kontinuirana se funkcija

zamjenjuje diskretnim vrijednostima )( tky ∆ , a jezgra transformacije ste− postaje kz− .

Do izraza (196) može se doći na drugi način, prikazujući diskretnu funkciju u obliku

beskonačnog reda

...)2()2()()()()0()()( +∆−∆+∆−∆+==∆ ∆ tttytttytytytky t δδδδ (198)

∑∞

=

∆−∆=∆0

)()()(k

tkttkytky δ (199)

gdje je δ delta (Diracova) funkcija, koja ima vrijednost jedan kada je ispunjen uvjet tkt ∆= .

Napravi li se Laplaceova transformacija uzorkovanog vremenskog niza (199)

dtetkttysy st

k

−∞ ∞

=∫ ∑

∆−=

0 0

)()()( δ

( )∑∑∞

=

−∆−∞

=

∆− ∆=∆=00

)()(k

kts

k

tsk etkyetky

)(zy= za tsez ∆= (200)

Ove jednadžbe pokazuju kako se s transformacijom uzorkovanog vremenskog signala može

dobiti z transformacija, koristeći se supstitucijom tsez ∆= . Na slici 10. je prikazan odnos izmeñu

kontinuiranog vremenskog i diskretnog vremenskog sustava.


49

Slika 10. Područje stabilnosti za kontinuirano – vremenski i diskretno vremenski sustav

U s ravnini je desna polovica ravnine, dok je u z ravnini nestabilno područje izvan jedinične

kružnice. Imaginarna os s ravnine preslikava se u z ravnini u oblik jedinične kružnice.

4.2.4. Bilinearna transformacija

Z transformacija nije jednoznačna, obzirom da se jedinični krug preslikava u lijevu

poluravninu, ali i sve druge paralelne poluravnine, a cijela se z ravnina preslikava u osnovni pojas

s ravnine i sve pojaseve paralelne s njim. Zbog toga teoretski nije moguće kvalitetno koristiti

inverznu Z transformaciju za vraćanje iz z područja u s područje. Potrebno je uvesti novu

transformaciju i novo područje kod kojeg je preslikavanje jednoznačno.

Najpogodnija transformacija za jednoznačno preslikavanje z ravnine je bilinearna transformacija

ili linearna frakcionalna transformacija. Njezin opći oblik je

dcx

baxy

++

= (201)

gdje su a, b, c i d konstante; ax i y varijable.

U diskretnim sustavima koristi se oblik kod koga su konstante a = b = d = 1 i c = -1. Uvodi se

nova w ravnina, koja je sa z ravninom povezana izrazom

w

wz

−+

=1

1 , gdje je ivuw += (202)


50

uz uvjet da je odnos funkcija

w

wz

zGwG−

+=

=1

1)()( . (203)

Iz gornjeg izraza slijedi

1

1

+−

=z

zw (204)

uvrštenjem tiez ∆= ω dobije se

)

2cos(

)2

sin(

)(

)(

1

1

222

222

t

ti

eee

eee

e

ew

tititi

tititi

ti

ti

∆

∆

=

+

−=

+−

= ∆−

∆∆

∆−

∆∆

∆

∆

ω

ω

ωωω

ωωω

ω

ω

(205)

)2

tan(t

iw∆

=ω

(206)

iz čega je imaginarni član vw =)Im( , pa je

)2

tan(t

v∆

=ω

(207)

što je veza imaginarne komponente varijable w s imaginarnom komponentom varijable s .

Meñutim, bolje je kod bilinearne transformacije koristiti Tustinov oblik

w

t

wt

zzGwG

21

21)()(

∆−

∆+

== (208)

odnosno 1

12

+−

∆=

z

z

tw (209)

pa je veza izmeñu v i ω

)2

tan(2 t

tv

∆∆

=ω

(210)

Za male vrijednosti perioda uzimanja uzoraka t∆ , tangens je približno jednak kutu, pa je

2

2 t

tv

∆⋅

∆≈

ω (211)

Sreñivanjem proizlazi da je ω≈v . To znači da sve veličine vezane za pseudo – frekvenciju v u

w ravnini za male vrijednosti perioda uzorkovanja t∆ odgovaraju frekvencijama ω , koje bi se

dobile kada bi se inverznom Z transformacijom iz z ravnine prebacile u s ravninu.


51

4.3. Utjecaj šuma

Procijenjeni izlaz y se približava stvarnom izlazu kada je omjer izmeñu maksimalne amplitude

stvarnog izlaza i šuma dovoljno velik.

251

25

šuma amplituda Maksimalna

izlaza stvarnog amplituda Maksimalna=≥ (212)

Procjena izlaza na osnovu izmjerenih podataka nije precizna. Da bi se poboljšala procjena, mora

se prikladno odabrati ulazna frekvencija i amplituda uzbudnog signala, kako bi se dobio dovoljno

dobar izlazni signal. Dijagram 3. je dobiven prema izrazu

1

)ˆ(1

2

−

−=

∑=

n

yyn

i

ii

ε (213)

gdje je ε - srednja kvadratna pogreška, y - stvarni izlaz, y - procijenjeni izlaz i n - broj

uzorkovanja.

4.3.1. Procjena utjecaja mjernog šuma na identifikaciju sustava

Matematički model pobuñuje se silom u obliku slučajnog signala, te se izračunava

ubrzanje mase u sustavu. Šum je slučajna varijabla koja djeluje kao nepoznati poremećaj u

sustavu i ima karakteristike bijelog šuma, Gaussovu raspodjelu i srednja mu je vrijednost jednaka

nuli. Cilj identifikacije je dobiti jednadžbu stanja u diskretnom obliku, na temelju ulaznih i

izlaznih podataka, na osnovu čega se može odrediti ponašanje sustava. Identificirani sustav koji

se temelji na istom ulazu, treba imati identične vrijednosti izlaza, kako za matematički (ili

eksperimentalni), tako i za stvarni model. Identifikacija se vrši pomoću algoritma OKID. Pomoću

ulaza – slučajne sile i izlaza – akceleracije mase, metodom identifikacije, konstruira se diskretni

matematički model – jednadžba stanja u vremenskom području. Trajanje simulacije se provodi u

trajanju 100 s, korakom od 0.2 s.


52

Slika 11. Utjecaj zašumljenog signala na masu i odziv sustava

Šum je nepoznat, nije obuhvaćen mjerenjem, te je neovisan o sustavu. Pogrješka procijenjenog

izlaza u odnosu na izračunati izlaz (Slika 12.) je reda veličine od 0.1.

Slika 12. Razlika izmeñu procijenjenih i stvarnih (simuliranih) vrijednosti izlaza

Dijagram (Slika 13). dobiven je izračunavanjem pogrješke za različite omjere izlaz / šum.

Uočava se oštar pad srednje kvadratne pogrješke kada je izlazni signal bitno veći od šuma.

Znatno raste utjecaj šuma, kada je omjer izlaz – šum < 20, veća je disperzija točaka.


53

Slika 13. Utjecaj omjera izlaz/šum na točnost identifikacije

Slika 13. prikazuje utjecaj omjera izlaz / šum na preciznost procjene. U malom omjeru (≈ 7),

razlika izmeñu procijenjenog i izračunatog izlaza je reda 2, dok za omjer veći od 20, razlika

mnogo manja, što znači da je identifikacija sustava točnija.

4.4. Identifikacija modela iz dijela spektra

Mnogi sustavi (strojni dijelovi) su opterećeni ili rade samo u odreñenom frekventnom

području. Frekventno područje identifikacije redovito obuhvaća područje od nula do Nyquistove

frekvencije, meñutim širenjem frekventnog područja identifikacije opada preciznost. Stoga je

poželjno dobiti matematički model, odnosno izvršiti identifikaciju sustava, isključivo preko

odreñenog dijela spektra.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2output: difference estimated - real

[m/s

2]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6output: difference estimated - real

[m/s

2]

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

2,156 4,952 7,196 10,37 13,42 17 35,94 58,19 164,6 120,1 261,5

Output / noise

Err

or

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1output: difference estimated - real

[m/s

2]


54

Ovaj postupak koristi bilinearnu transformaciju frekvencije koja ima ulogu komprimirati

frekvencijski vektor [45]. Zatim se prijenosna funkcija zrcali i pomakne na nulu (slika 14.).

Slika 14. Zrcaljenje i pomak eksperimentalnih podataka

Zrcaljenje i pomak prijenosne funkcije osiguravaju mogućnost standardnog postupka

identifikacije. Nakon identifikacije postupkom modulacije vrši se zrcaljenje i prebacivanje

modela nazad na njegovo originalno frekventno područje (slika 15).

Slika 15. Modulacija modela s valom nosiocem 400 Hz

4.4.1. Modulacija

Modulacija je postupak prijenosa signala iz jednog dijela spektra u drugi. Često se koristi

u emitiranju radijskih signala na različitim frekvencijama. Prijenos elektromagnetskih valova

znatno je djelotvorniji u području viših frekvencija. Stoga se, uz pomoć modulacije, premješta

informacijski signal iz osnovnoga u viši pojas frekvencija.

U užem smislu, modulacija je mijenjanje jednog ili više parametara pomoćnog signala,

ovisno o signalu koji nosi informaciju. Pomoćni signal naziva se prijenosnim signalom


55

(nositeljem). Signal koji nosi u sebi informaciju i koji mijenja parametre prijenosnog signala,

naziva se modulacijskim signalom. U postupku modulacije množimo modulacijski i prijenosni

signal, pa konačno dobivamo modulirani signal.

Slika 16. Prikaz valnih oblika pri modulaciji

Ako se pretpostavi, radi jednostavnosti, modulacijski signal um, amplitude Um i kutne

frekvencije ωm

)cos( tUu mmm ω= . (214)

Slično se može izraziti i prijenosni signal, koji se modulira

)cos( tUu ppp ω= . (215)

Indeks modulacije je omjer amplituda dvaju signala

p

ma

U

Um = . (216)

Dakle, modulirani signal je


56

−+++= tm

tm

tUtu mpa

mpa

ppmAM )cos(2

)cos(2

cos)( ωωωωω (217)

Iz izraza (217) vidljiv je frekvencijski sastav moduliranog signala. On se sastoji od komponente

na frekvenciji prijenosnog signala pω i dvije bočne komponente )( mp ωω − i )( mp ωω + .

Slika 17. Spektar signala kod modulacije jednom frekvencijom

Ako se modulacijski signal sastoji od niza frekvencijskih komponenata u frekvencijskom pojasu

od nekog fmin pa do nekog fmax, primjenom postupka superpozicije, dobiva se spektar signala u

obliku, prema slici 18.

Slika 18. Spektar signala kod modulacije pojasom frekvencija


57

4.5. Provjera računalnog programa simulacijom matematičkog modela

Osnovni preduvjet donošenja ispravnih zaključaka analize vibracija mehaničkog sustava

je pravilno tumačenje rezultata. Pri dinamičkoj analizi mehaničkog sustava (elementa, stroja ili

postrojenja) upotrebljavaju se standardni pojmovi za opis vibracijskog ponašanja, koji su, radi

boljeg razumijevanja, objašnjeni prethodnim poglavljima.

Mehanički vibracijski sustavi s jednim ili dva stupnja slobode gibanja najjednostavniji su

modeli kojima se može riješiti velik broj praktičnih vibracijskih problema. Da bi se takvim

jednostavnim modelima dobro opisalo stvarno ponašanje sustava, potrebno je, prije toga

razjasniti i razumjeti fizikalnu stranu problema.

Računalni program provjeren je na temelju odabranog teoretskog primjera sustava s dva

stupnja slobode gibanja, kod kojeg se rezultati mogu provjeriti na temelju jednostavnih izračuna.

4.5.1. Numerička simulacija matematičkog modela

Simulacija matematičkog modela, prikazanog na slici 19., izvodi se djelovanjem sile u

obliku jediničnog impulsa, na masu (m2) i izračunavanja ubrzanja masa (m1 i m2).

Slika 19. Vibracijski sustav s dva stupnja slobode

Šum je slučajna varijabla koja ima karakteristike bijelog šuma, Gausovu distribuciju i

srednja vrijednost mu je nula. U prvom slučaju sastavni je dio ulaza, dok u drugom slučaju, šum

djeluje kao nepoznati poremećaj na sustav. Oba primjera imaju iste vrijednosti sile, šuma i izlaza.

Za simulaciju koristi se program koji je napisan na osnovu prethodno iznijete teorije.

Simulacija matematičkog modela kada je šum dio ulaza može se shematski prikazati:


58

Slika 20. Teoretska simulacija sustava, kod koje je izmjereni ulaz zbroj sile i šuma

Simulacija matematičkog modela kada šum djeluje zasebno na sustav, ne ulazi u mjerenje ulaza,

već se registrira kroz ponašanje sustava na izlazu:

Slika 21. Teoretska simulacija sustava, kod koje je šum zasebna, nepoznata veličina

Rezultati identifikacije

Cilj identifikacije je dobiti jednadžbu stanja u diskretnom obliku, samo na osnovu ulaznih

i izlaznih podataka, prema kojoj se može odrediti ponašanje sustava. Identificirani sustav bi na

osnovu istog ulaza, trebao imati identične vrijednosti izlaza, kako za matematički (ili

eksperimentalni), tako i za stvarni model. Identifikacija se vrši pomoću algoritma OKID.

Simulacija matematičkog modela kada je šum dio ulaza:


59

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1 sila - impuls

[N]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2

0

0.2

[N]

maksimalni shum iznosi 4.8086% od sile

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

0

1

[N]

ulaz sila - impuls + shum

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5

[m/s

2]

y1 - ubrzanje mase m1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5y2 - ubrzanje mase m2

vrijeme [s]

[m/s

2]

Slika 22. Djelovanje jediničnog (zašumljenog) impulsa na masu m2, te odziv sustava


60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4usporedba prvog izlaza predvidjeni - stvarni

ubrz

anje

[m

/s2]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4usporedba drugog izlaza predvidjeni - stvarni

ubrz

anje

[m

/s2]

Slika 23. Usporedbe identificiranih, predviñenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4usporedba prvog izlaza procjenjeni - stvarni

ubrz

anje

[m

/s2]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4usporedba drugog izlaza procjenjeni - stvarni

ubrz

anje

[m

/s2]

Slika 24. Usporedbe identificiranih, procijenjenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim)


61

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-15 izlaz 1: razlika stvarni - procjenjeni

ubrz

anje

[m

/s2]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1

0

1

2x 10

-15 izlaz 2: razlika stvarni - procjenjeni

ubrz

anje

[m

/s2]


Dijagrami (slike 23. i 24.) pokazuju odlično poklapanje, kako predviñenog ubrzanja, tako i

procijenjenog. Razlika ubrzanja izmeñu stvarnih vrijednosti i procijenjenih (slika 25.) reda je

veličine 10-15. Identificirane matrice A, B, C i D su različite od stvarnih, ali je svojstvena

vrijednost matrice sustava A jednaka.

Simulacija matematičkog modela kada šum djeluje zasebno na sustav


62

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4usporedba prvog izlaza predvidjeni - stvarni

ubrz

anje

[m

/s2]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4usporedba drugog izlaza predvidjeni - stvarni

ubrz

anje

[m

/s2]

Slika 26. Usporedbe identificiranih, predviñenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4usporedba prvog izlaza procjenjeni - stvarni

ubrz

anje

[m

/s2]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4usporedba drugog izlaza procjenjeni - stvarni

ubrz

anje

[m

/s2]

Slika 27. Usporedbe identificiranih, procijenjenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim)


63

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06izlaz 1: razlika stvarni - procjenjeni

ubrz

anje

[m

/s2]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.1

-0.05

0

0.05

0.1izlaz 2: razlika stvarni - procjenjeni

ubrz

anje

[m

/s2]


Na slici 26. vidi se veliko odstupanje izmeñu predviñenog i stvarnog ubrzanja. Puno je bolje

poklapanje kod procjene, kada se koristi Kalmanov filtar (slika 27.). Razlika ubrzanja izmeñu

stvarnih vrijednosti i procijenjenih (slika 28.) je reda veličine 0.1.

4.5.2. Usporedba izračunavanja funkcije impulsnog odziva

Za usporedbu dvaju metoda izračunavanja funkcije impulsnog odziva, koriste se rezultati

matematičkog modela sustava s dvije mase (slika 19.). Pokus se izvodi dva puta s različitim

ulaznim vrijednostima. Prvi puta ulaz je uzbudna sila – puls, u početnom trenutku vrijednost sile

je jedan, a ostalo vrijeme pokusa je nula, dok je drugi put uzbudna sila slučajna varijabla koja

traje polovinu vremena pokusa. Izlazne veličine koje se promatraju su ubrzanja obiju masa.


64

Metode identifikacije sustava koje se usporeñuju imaju različit pristup - jedna se

izračunava u vremenskoj (ERA), druga u frekventnoj domeni (Fourierova transformacija).

Kriteriji za usporedbu je opis ponašanja sustava u vremenskom području. Rezultati dobiveni

pomoću obje metode identifikacije usporeñuju se s izlaznim rezultatima simulacije sustava.

Zadane vrijednosti su promatranog matematičkog modela su:

- mase: m1 = 5 kg, m2 = 3 kg,

- konstante opruga: k1 = 21000 N/m, k2 = 14000 N/m, k3 = 6000 N/m,

- prigušenja: c1 = 6.2898 Ns/m; c2 = 1.7617 Ns/m; c3 = 2.9434 Ns/m;

Iz toga se na klasičan način iz jednadžbe (7) mogu izračunati vlastite frekvencije i forme

vibriranja:

11 56.6984 −= sω 1

2 102.2348 −= sω

9.02381 =f Hz 16.27122 =f Hz

koje se mogu usporediti s rezultatima identifikacije.

Slika 29. Forme vibriranja linearnog sustava s dva stupnja slobode

Takoñer odgovarajuće svojstvene vrijednosti i svojstveni vektor:

=Λ

104520

03215

=Φ

0.3987 0.4175-

0.3234- 0.3089-


65

Sustav se identificira na osnovu ulaznih i izlaznih vrijednosti izračunatih iz matematičkog

modela. Na osnovu prethodno iznesenih teoretskih osnova odrede se matrice sustava

=

0,41190,053060,857990,07243

0,10670,5387-0,01218-0,8141-

0,92447-0,2356-0,38030,14039

0,15002-0,942520,174050,31099-

A

=

0,11189

0,26301-

0,28065-

0,27837-

B

=

0,330360,271270,449600,62453

0,221260,26429-0,378410,44364-C

=

0,3333

0D

Matricama se zatim dobiju jednadžbe stanja (39) i (40) diskretno vremenskog modela i

odgovarajuće vrijednosti frekvencija vibriranja:

9.02381 =f Hz 16.27122 =f Hz

Izračunate jednadžbe stanja (39) i (40), odnosno njihove matrice A, B, C i D zajedno sa

istom uzbudnom silom koja je korištena u dobivanju rezultata matematičkim modelom, koristi se

u simulaciji promatranog modela. Tako dobiveni izlaz usporeñuje se s stvarnim izlazom, odnosno

izlazom koji je dobiven matematičkim modelom.

a) Uzbudna sila je puls

Uzbudna sila definirana je izrazom

≠

==

00

01)(

t

ttF

u trenutku 0=t vrijednost sile je jedan, a u svim ostalim vremenskim intervalima je nula.

Slika 30. prikazuje ulazne i izlazne vrijednosti matematičkog modela dobivenih

simulacijom. Ove vrijednosti predstavljaju mjerenje nekog stvarnog sustava i služe za usporedbu

s identificiranim vrijednostima. U ovom slučaju ulazna sila je puls koja djeluje na masu dva,

promatrani izlazi simulacije su ubrzanja obiju masa. Ovo je sustav s jednim ulazom i više izlaza

(SIMO). U praksi se eksperiment ponavlja više puta i računa se sa srednjim vrijednostima kako bi

se smanjio utjecaj pogreške mjerenja.


66

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1 Ulaz - sila na m2

[N]

0 2 4 6 8 10 12-0.5

0

0.5

[m/s

2]

Izlaz y1 - ubrzanje mase m1

0 2 4 6 8 10 12-0.5

0

0.5Izlaz y2 - ubrzanje mase m2

vrijeme [s]

[m/s

2]

Slika 30. Prikaz ulaznih i izlaznih podataka simulacije

Na slici 30. vide se ulazne i izlazne veličine sile i ubrzanja. Sila je potaknula sustav na

vibriranje u vrlo kratkom trenutku, a sustav se dalje nastavio slobodno vibrirati.

Ako se promotri sustav u frekventnoj domeni, uz pomoć Fourierove transformacije izlaza

i ulaza (jednadžba 172), dobije se prijenosna funkcija (FRF). Slika 31. prikazuje prijenosnu

funkciju i kašnjenje u ovisnosti o frekvenciji.


67

0 5 10 15 20 25 3010

-5

100

105

Prijenosna funkcija FRF

Frekvencija [Hz]A

mpl

ituda

0 5 10 15 20 25 30-200

-100

0

100

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

Slika 31. Frekvencijski odziv (FRF) sustava s dva stupnja slobode

Frekvencije kod kojih vrhovi krivulje prijenosne funkcije imaju najveću vrijednost

amplitude predstavljaju vlastite frekvencije sustava. Iz dijagrama se vidi kako se vrhovi FRF-a

poklapaju s izračunatim vrijednostima ( 9.02381 =f Hz, 16.27122 =f Hz).

Inverzijom prijenosne funkcije koja je frekventnoj domeni, dobije se pulsni odziv u

vremenskom području. Pulsni odziv se takoñer može dobiti i računanjem samo u vremenskoj

domeni (ERA poglavlje 4.2.3.) uz pomoć niza Markovljevih parametara (jednadžba 43). Budući

da je sama simulacija sustava, koja predstavlja stvarni eksperiment, pobuñena pulsom, mogu se

direktno usporediti identificirani pulsni odzivi s izračunatim izlaznim vrijednostima modela, te

na taj način ispitati preciznost postupka identifikacije.

Na slikama 32. i 33. prikazane su usporedbe identificiranih pulsnih odziva sa stvarnim

pulsnim odzivom dobivenog simulacijom matematičkog modela. Na gornjem dijagramu je

usporedba stvarnog pulsnog odziva (točkasto – plavo) s pulsnim odzivom dobivenim inverznom

prijenosnom funkcijom (puna crta – crveno). Slično je i na donjem dijagramu napravljena

usporedba izmeñu pulsnog odziva dobivenog u vremenskom području (crveno) sa stvarnim

pulsnim odzivom (točkasto – plavo).


68

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Usporedba impulsnih odziva stvarno tocke - ifft crveno

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Usporedba impulsnih odziva stvarno tocke - identif. crveno

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

Slika 32. Usporedba impulsnih odziva prvi izlaz (m1)

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Usporedba impulsnih odziva stvarno tocke - ifft crveno

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Usporedba impulsnih odziva stvarno tocke - identif. crveno

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

Slika 33. Usporedba pulsnih odziva drugi izlaz (m2)

Iz prethodno navedenih dijagrama (slike 32. i 33.) vidljivo je puno bolje preklapanje na

donjim dijagramima, gdje se usporeñuju vrijednosti dobivene identifikacijom u vremenskom

području sa stvarnim vrijednostima. Dijagrami na kojima se usporeñuju vrijednosti pulsnog

odziva dobivenog pomoću inverzne Fourierove transformacije prikazuju odreñeno odstupanje od


69

stvarnog odziva. Stoga se može se zaključiti kako je za odreñivanje ponašanja sustava pulsnog

odziva bolje koristiti Markovljeve parametre, odnosno identifikacija u vremenskom području,

nego identifikaciju u frekventnom području.

Prijenosna funkcija može se dobiti i Fourierovom transformacijom pulsnog izlaza. Na

slici 34. prikazane su prijenosne funkcije za oba izlaza: jedna je dobivena klasičnim načinom

prema jednadžbi (172) (crveno), a druga je dobivena iz pulsnog odziva (plavo).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 310

-5

100

105

Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (plavo), klasicno racunanje (crveno); izlaz 1

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 0.5 1 1.5 2 2.5 310

-4

10-2

100

102


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

Slika 34. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom

U oba dijagrama predočeno je savršeno poklapanje, iz čega se može zaključiti da se

korištenjem identifikacije u vremenskom području može dobiti kvalitetna prijenosna funkcija.

Odabranim ispitnim primjerom pokazana je točnost rezultata izračuna, te je potvrñeno

kako se razvijeni postupak i računalni program mogu pouzdano primijeniti i na složenije sustave.


70

b) Ulaz je slučajna varijabla (random)

U drugom pokusu koristi se isti matematički model, linearni sustav s dva stupnja slobode.

Razlika je u tome što se ovaj put simulacija izvodi uzbudnom silom koja ima karakteristike

slučajne varijable. Sila djeluje na masi dva i traje pola promatranog vremenskog intervala (slika

35.), pa sustav nakon djelovanja sile slobodno vibrira. I u ovom pokusu, izlazne veličine su

ubrzanja obiju masa.

0 20 40 60 80 100 120-0.5

0

0.5 Ulaz - sila na m2

[N]

0 20 40 60 80 100 120-0.5

0

0.5

1

[m/s

2]

Izlaz y1 - ubrzanje mase m1

0 20 40 60 80 100 120-1

0

1Izlaz y2 - ubrzanje mase m2

vrijeme [s]

[m/s

2]

Slika 35. Prikaz ulaznih i izlaznih podataka simulacije kada je uzbudna sila slučajna varijabla

Analiza rezultata u frekventnom području pokazuje iste modalne vrijednosti sustava. Tako su dijagrami na slikama 31. i 36. identični, vrhovi krivulja pokazuju iste vlastite frekvencije sustava, što dokazuje kako modalni parametri ne ovise o uzbudi, već samo o sustavu.


71

0 5 10 15 20 25 3010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 5 10 15 20 25 3050

100

150

200

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

Slika 36. Frekvencijski odziv (FRF) sustava s dva stupnja slobode (slučajna uzbuda)

Na slici 37. usporeñuje se pulsni odziv dobiven inverznom Fourijerovom transformacijom

iz prijenosne funkcije (FRF-a) (crvena linija) i pulsni odziv dobiven pomoću Markovljevih

parametara (plave točkice).


72

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Usporedba pulsnih odziva: pulse (M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz 1

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Usporedba pulsnih odziva: pulse (M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz 2

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

Slika 37. Usporedba pulsnih odziva za oba izlaza

I u ovom primjeru postoje odstupanja izmeñu dva pulsna odziva. Meñutim, na osnovu

analize prijašnjeg pokusa i usporedbi (slike 32. i 33.) može se pretpostaviti kako je relevantan

onaj pulsni odziv koji je izračunat u vremenskom području (ERA) (plavo).

Na dijagramu (slika 38.) usporeñena je prijenosna funkcija dobivena klasičnim

postupkom (crveno) prema jednadžbi (172) i prijenosna funkcija izračunata iz pulsnog odziva

(plavo).


73

0 5 10 15 20 25 3010

-6

10-4

10-2

100

102


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 5 10 15 20 25 3010

-6

10-4

10-2

100

102


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

Slika 38. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom

Rezultati pokazuju odlična poklapanja i kod ovog pokusa. Vidi se kako se najveći vrhovi

amplituda prijenosnih funkcija nalaze na frekvencijama koje su ujedno i vlastite frekvencije

sustava ( 9.02381 =f Hz, 16.27122 =f Hz).


74

5. Modeliranje konstrukcije

Ukupna dosadašnja teoretska izlaganja i postupci primjenjivani na simuliranim

matematičkim modelima primijeniti će se na konkretnom primjeru. Eksperiment se sastoji u

identifikaciji zadane konstrukcije, odnosno odreñivanja odgovarajućeg matematičkog modela, te

izračunavanja odgovarajućih modalnih parametara kao što su vlastite frekvencije i forme

vibriranja. Takoñer će se na zadanom primjeru usporediti različiti pristupi u odreñivanju

ponašanja sustava [46-50]. Jedan pristup koristi prijenosnu funkciju (FRF) i analizira sustav u

frekventnom području, dok drugi pristup ostaje u vremenskom području i koristi niz

Markovljevih parametara (ERA). Osim navedenog ispitati će se utjecaj broja Markovljevih

parametara na točnost identifikacije sustava.

Za konkretan primjer koristi se rešetkasta čelična konstrukcija prikazana na slici 38.

Konstrukcija je zavarena je u obliku slova L, a sastoji se od 52 štapa i 28 čvora (slika 39.).

Postavljena je bez čvrstog oslonca tako da slobodno visi vezana užadima o most okvira.

Slika 39. Fotografija ispitivanja rešetkaste konstrukcije


75

Slika 40. Model rešetkaste konstrukcije

Na 15 čvorova postavljeni su akcelerometri, senzori za mjerenje ubrzanja. Karakteristike

postavljenih piezo akcelerometara (slika 41. i 42.) su tip RION PV-41, s/n 20484, osjetljivost na

80 Hz: 1.09 mV/(m/s2) kod 23 ºC.

Slika 41. Piezo akcelerometar


76

Slika 42. Postavljanje akcelerometra

Uzbuda sustava ostvaruje se udarnim čekićem (slika 42): Tip: B&K 8206-001, karakteristike:

- Osjetljivost: 11.3 mV/N kod 22ºC

- Mjerni raspon (puna skala kod ±5V) 445 N

- Polaritet električnog signala je pozitivan za tlačno opterećenje

Slika 43. Udarni čekić


77

6. Postupak identifikacije na konkretnom primjeru

Identifikacija zadane rešetkaste konstrukcije se ne izvodi u realnom vremenu, već se

bazira se na snimljenim podacima pokusa. Pokus se izvodi tako da se udarcem čekića na čvor 1

(slika 39.) pobudi sustav na vibriranje. Mjeri se ulazna i izlazna veličina, odnosno sila udarca

čekića i ubrzanja u pojedinim točkama konstrukcije. Karakteristika ovog pokusa je u tome što

ima jedan ulaz i 15 izlaza (SIMO Single Input Multi Output). Mjerni interval uzorkovanja iznosi

dt = 0,0009765625 s, a uzeto je 4096 uzoraka.

Kako bi se smanjio utjecaj pogreške mjerenja, pokus je ponovljen pet puta. Računa se s

srednjom vrijednosti izmjerenih podataka, što znači da se podaci sa svakog mjernog mjesta

posebno zbrajaju i dijele s brojem pokusa.

6.1. Analiza rezultata identifikacije

Na dijagramima (slika 44.) prikazana je uzbudna sila, odnosno udarac čekićem za svih pet

pokusa. Sila djeluje u relativnom kratkom intervalu i njena vrijednost varira oko 160 N. Ovakav

način uzbude sličan je teoretskom primjeru (poglavlje 4.5.2. pod a), kada jedinična sila djeluje u

jednom trenutku, a sve ostalo vrijeme je nula.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100

0

100

200Uzbudna sila eksp. br.1

Sila

[N

]

Vrijeme [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100

0

100


Sila

[N

]

Vrijeme [s]


78

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100

0

100


Sila

[N

]

Vrijeme [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100

0

100


Sila

[N

]

Vrijeme [s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100

0

100


Sila

[N

]

Vrijeme [s] Slika 44. Ulazna sila je udarac čekića, pet pokusa

Identifikacijom u vremenskom području na osnovu izmjerenih ulaznih i izlaznih

vrijednosti (poglavlje 4.2.) izračunaju se matrice sustava A, B, C i D. Te matrice definiraju

matematički model koji opisuje promatranu konstrukciju u obliku jednadžbe stanja (39) i (40).

Rezultati identifikacije:

Damping(%) Freq(HZ) Mode SV MAC

1.0000e+002 1.4869e+002 1.4210e-003 1.0000e+000

1.0000e+002 1.1765e+002 2.4863e-003 1.0000e+000

2.4925e+001 2.7702e+002 1.6359e-002 1.0000e+000

2.4925e+001 2.7702e+002 1.6359e-002 1.0000e+000

1.2529e+001 5.1607e+002 5.1894e-002 1.0000e+000

8.2047e+000 4.7755e+002 1.2279e-001 1.0000e+000


79

8.2047e+000 4.7755e+002 1.2279e-001 1.0000e+000

2.1778e+001 1.3650e+002 1.9028e-002 1.0000e+000

2.1778e+001 1.3650e+002 1.9028e-002 1.0000e+000

7.5130e+000 3.7973e+002 9.0266e-002 1.0000e+000

7.5130e+000 3.7973e+002 9.0266e-002 1.0000e+000

3.3590e+000 5.1229e+002 6.5400e-001 1.0000e+000

2.3465e+000 5.1214e+002 8.1457e-001 1.0000e+000

3.8353e+000 2.5468e+002 1.1678e-001 1.0000e+000

3.8353e+000 2.5468e+002 1.1678e-001 1.0000e+000

1.9022e+000 3.6942e+002 2.8836e-001 1.0000e+000

1.9022e+000 3.6942e+002 2.8836e-001 1.0000e+000

4.8910e+000 9.6737e+001 1.0946e-001 1.0000e+000

4.8910e+000 9.6737e+001 1.0946e-001 1.0000e+000

9.1268e-001 3.2370e+002 5.2884e-001 1.0000e+000

9.1268e-001 3.2370e+002 5.2884e-001 1.0000e+000

5.8806e-001 4.2235e+002 6.2288e-001 1.0000e+000

5.8806e-001 4.2235e+002 6.2288e-001 1.0000e+000

6.4009e-001 3.0609e+002 4.4717e-001 1.0000e+000

6.4009e-001 3.0609e+002 4.4717e-001 1.0000e+000

5.4974e-001 3.3261e+002 1.8589e-001 1.0000e+000

5.4974e-001 3.3261e+002 1.8589e-001 1.0000e+000

3.1033e-001 3.2312e+002 9.1441e-001 1.0000e+000

3.1033e-001 3.2312e+002 9.1441e-001 1.0000e+000

1.0000e+002 1.8916e-001 1.0000e+000 1.0000e+000

Dijagrami na slikama od 45. do 59. prikazuju različite utjecaje na točnost identifikacije

sustava, na njima se usporeñuju izmjerene i identificirane vrijednosti.

Prvi dijagram usporeñuje procijenjene vrijednosti izlaza nastale korištenjem

promatračkog pojačanja G, u matricama sustava (jednadžbe 55. i 56.). Procijenjeno ubrzanje

prikazano je crvenom bojom, a izmjerena vrijednost je plave boje. U istom redu dijagram s desne

strane prikazuje razliku tih dviju vrijednosti.


80

Drugi i treći dijagrami na slikama od 45. do 59. prikazuju usporedbu izmjerenih

vrijednosti s rezultatima identifikacije kada se ne koristi procjena (promatračko pojačanje G), već

se računa samo s osnovnim matricama sustava A, B, C i D. Razlika izmeñu drugog i trećeg

dijagrama je u tome što se za identifikaciju drugog dijagrama koristi srednja vrijednost svakog

mjernog mjesta ulaza i izlaza za pet pokusa. Treći dijagram usporeñuje rezultate nastale

identificiranjem na bazi izmjerenih vrijednosti samo jednog pokusa. Na desnoj strani su takoñer

prikazane usporeñene razlike. U drugom i trećem dijagramu su identificirane vrijednosti takoñer,

prikazane crvenom, a izmjerene plavom bojom. Vrijeme koje obuhvaća snimanje rezultata

pokusa je četiri sekunde, dok je na dijagramima radi jasnoće slike za usporedbu uzet samo jedan

interval od 0.1 s do 0.2 s.

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 1

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 1

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 1

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 1

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 1

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 1

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

Slika 45. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na

izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 1).


81

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubrz

anj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]U

brz

anj

e



0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubrz

anj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubrz

anj

e




82

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e



0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e




83

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e



0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e




84

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e



0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e




85

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e



0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e




86

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e



0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e




87

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e



0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0

50

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50

0


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e




88

Ne primjećuje se velika razlika u odstupanju izmeñu identificiranih i izmjerenih

vrijednosti ubrzanja, kada se računa sa srednjom vrijednosti više pokusa, u odnosu na samo jedan

pokus. Nešto je bolje preklapanje kada se koristi promatračko pojačanje G (prema jednadžbi 55.)

u procjeni izračunate vrijednosti ubrzanja. Budući da je riječ o stvarnom eksperimentu, šum koji

se javlja nema karakteristike bijelog šuma, pa su odstupanja puno veća nego kod teoretskih

simuliranih sustava.

Promatranjem sustava u frekventnoj domeni, uz pomoć Fourierove transformacije izlaza i

ulaza (jednadžba 172), a prema primjerima na slikama 31. i 36. dobije se prijenosna funkcija

sustava (FRF). Na slikama od 60. do 64. prikazani dijagrami prijenosne funkcije i dijagrami faze

u ovisnosti o frekvenciji, za pojedine izlaze.


89

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]A

mpl

ituda

0 200 400 6000

200

400

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 600-100

0

100

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]0 200 400 600

10-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 600-200

0

200

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

Slika 60. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 1-3

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 6000

200

400

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 6000

200

400

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 600-200

0

200

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]



90

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]A

mpl

ituda

0 200 400 600-200

0

200

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 600150

200

250

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 600-500

0

500

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]


0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 600-200

0

200

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 600-100

0

100

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 600-100

0

100

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]



91

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]A

mpl

ituda

0 200 400 600-100

0

100

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 600-500

0

500

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]

0 200 400 60010

-5

100

105


Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

0 200 400 6000

200

400

Frekvencija [Hz]

Faz

a [o

]


Vrhovi krivulje u dijagramima prijenosne funkcije kao i kod jednostavnih primjera na

slikama 31. i 36. nalaze se na vrijednostima vlastite frekvencije sustava. Iz dijagrama se vidi

kako se vrhovi FRF-a poklapaju s izračunatim vrijednostima.

Na slikama 65. do 72. usporeñuje se pulsni odziv dobiven inverznom Fourijerovom

transformacijom iz prijenosne funkcije (FRF-a) (crvena linija) i pulsni odziv dobiven pomoću

Markovljevih parametara (plave točkice). Zbog bolje predodžbe dijagrami ne prikazuju interval

cijelog pokusa (4 sekunde), već samo dio od 0 do 0.25 s. Kako bi usporedba bila kvalitetnija

vrijednosti obiju pulsnih odziva postavljena je u granicama (– 1, +1).


92

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5

1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 1

vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

Slika 65. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vremenskom i frekventnom području (izlaz 1 i 2)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e



93

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e



94

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zan

je

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zan

je



95

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.5

0

0.5


vrijeme [s]

Ubr

zanj

e

Slika 72. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vremenskom i frekventnom području (izlaz 15)

I u eksperimentu postoje odstupanja izmeñu dva pulsna odziva. Meñutim, na osnovu

analize prijašnjeg teoretskog pokusa i usporedbi (slike 32. i 33.) može se pretpostaviti kako je


96

relevantan pulsni odziv koji je izračunat u vremenskom području (ERA) (plavo), te da on daje

preciznije vrijednosti od onog izračunatog u frekventnoj domeni.

Fourierovom transformacijom pulsnog odziva dobivena je prijenosna funkcija (crno), koja

je na slijedećim dijagramima (slika 73. – 77.) usporeñena s prijenosnom funkcijom koja je

dobivena klasičnim postupkom (crveno) prema jednadžbi (172).

0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da

Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 1

0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da


0 100 200 300 400 500 60010

-10

10-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da


Slika 73. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 1 do 3)


97

0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da


0 100 200 300 400 500 60010

-10

10-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da


0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da



0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da


0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da


0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da




98

0 100 200 300 400 500 60010

-4

10-2

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da


0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da


0 100 200 300 400 500 60010

-10

10-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da



0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da


0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da


0 100 200 300 400 500 60010

-5

100

Frekvencija [Hz]

Am

plitu

da




99

Slike od 73. do 77. prikazuju krivulje amplituda prijenosnih funkcija (FRF) u ovisnosti o

frekvenciji za svih 15 izlaza. Rezultati eksperimenta ne pokazuju tako dobra poklapanja vrhova

prijenosnih funkcija kao kod teoretskih primjera. Vrhovi krivulja definiraju vlastite frekvencije

sustava, stoga bi krivulje dobivene pomoću obiju metoda, trebale imati zajedničke vrhove.

Primjećuje se na svim izlazima veće odstupanje vrhova prijenosnih funkcija na manjim

frekvencijama (ispod 250 Hz). Najbolja preklapanja se vide izmeñu 300 Hz i 450 Hz, što znači da

je na tim frekvencijama najmanji utjecaj šuma. Stoga, kako bi se povećala točnost postupaka

identifikacije, poželjno je identificirati sustav u samo odreñenom uskom spektru frekvencija gdje

je manji utjecaj šuma, odnosno samo za odreñeno radno područje frekvencija kojima je

konstrukcija (strojni dio, sustav,…) podvrgnuta u stvarnosti.


100

7. Zaključak

Provedeno istraživanje potvrdilo je hipotezu kako je točnija identifikacija funkcije

impulsnog odziva IRF (impuls response function) u vremenskoj domeni (model update in time

domain) u odnosu na klasično računanje inverznom Fourierovom transformacijom FRF-a

(frequency response function). Postupci su usporeñeni s motrišta točnosti uz podjednak

matematički napor.

Ispitivanje je prvo izvedeno na pojednostavljenom vibracijskom modelu, sustavu s dva

stupnja slobode gibanja, a zatim primijenjeno na konkretni primjer. Provjera je izvršena

simulacijom matematičkog modela. Prilikom ispitivanja matematički model pobuñen je prvi puta

silom u obliku impulsa, a drugi puta sila je imala oblik slučajne varijable. Oba pokusa su

izvedena bez utjecaja šuma. Utjecaj šuma na postupak identifikacije je objašnjen zasebno, na

način da je matematički model umjetno zagañen bijelim šumom. Rezultati ispitivanja prikazani

su dijagramima na kojima se usporeñuju izlazne veličine u vremenskoj domeni i može se vidjeti

odlično preklapanje, pogotovo kod impulsne uzbude izlaznih parametara dobivenih simulacijom i

identifikacijom u vremenskom području.

Rezultati istraživanja jasno pokazuju prednosti identifikacije u vremenskom području:

- veća točnost i bolji opis matematičkim modelom;

- bolje razumijevanje vibracijskog ponašanja konstrukcije, te parametara koji utječu na

njena vibracijska svojstva;

- smanjenje vremena potrebnog za definiranje parametara konstrukcije.

Doprinos ovog istraživanja je primjena matematičkih alata kojima se:

- točnije definiraju parametri vibriranja konstrukcija;

- konstrukcija se promatra u željenom području vibracija.

Ovim istraživanjem je potvrñeno kako točnost identifikacije ovisi o pravilnom odabiru

matematičkih metoda.

Prikazani postupci identifikacije sustava lako su primjenjivi u inženjerskoj praksi.

Dobivanjem preciznijih matematičkih modela, koji bolje opisuju promatrani sustav, smanjuje se

potreba za ispitivanjima na samoj konstrukciji, što čini postupak puno bržim i jeftinijim.


101

8. Literatura

[1] M. E. Merchant, Basic mechanics of the metal cutting process, ASME Journal of Applied Mechanics 66 (1944) 168-175.

[2] Mian Wang, Dong Wang, Gangtie Zheng, Joint dynamic properties identification with partially measured frequency response function, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 27, February 2012, Pages 499-512.

[3] J. Sun, N. Vlahopoulos: An Improved Taguchi Method and its Application in Finite Element Model Updating of Bridges, Journal Key Engineering Materials, 456, 2010.

[4] H. B. Basaga, T. Turker, A. Bayraktar: A model updating approach based on design points for unknown structural parameters, Applied Mathematical Modelling, 35 (12), 2011, p. 5872-5883.

[5] S.R. Shiradhonkar, M. Shrikhande: Seismic damage detection in a building frame via finite element model updating, Computers & Structures, doi:10.1016/j.compstruc. 2011.06.006, 2011.

[6] G. H. Kim, Y. S. Park: An improved updating parameter selection method and finite element model update using multiobjective optimisation technique, Mechanical Systems and Signal Processing 18 (1), 2004, p. 59-78.

[7] Vikas Arora, S.P. Singh, T.K. Kundra, Damped model updating using complex updating parameters, Journal of Sound and Vibration, Volume 320, Issues 1-2, 6 February 2009, Pages 438-451.

[8] Raquel A.B. Almeida, António P.V. Urgueira, Nuno M.M. Maia, Further developments on the estimation of rigid body properties from experimental data, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 24, Issue 5, July 2010, Pages 1391-1408.

[9] Alessandro Fasana, Modal parameters estimation in the Z-domain, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 23, Issue 1, January 2009, Pages 217-225.

[10] X. Liu, N.A.J. Lieven, P.J. Escamilla-Ambrosio, Frequency response function shape-based methods for structural damage localisation, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 23, Issue 4, May 2009, Pages 1243-1259.

[11] Giuliano Coppotelli, On the estimate of the FRFs from operational data, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 23, Issue 2, February 2009, Pages 288-299.

[12] L.W. Dunne, J.F. Dunne, An FRF bounding method for randomly uncertain structures with or without coupling to an acoustic cavity, Journal of Sound and Vibration, Volume 322, Issues 1-2, 24 April 2009, Pages 98-134.

[13] A. Carrella, D.J. Ewins, Identifying and quantifying structural nonlinearities in engineering applications from measured frequency response functions, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 25, Issue 3, April 2011, Pages 1011-1027.

[14] H. Kashani, A.S. Nobari, Identification of dynamic characteristics of nonlinear joint based on the optimum equivalent linear frequency response function, Journal of Sound and Vibration, Volume 329, Issue 9, 26 April 2010, Pages 1460-1479.


102

[15] Sau-Lon James Hu, Xingxian Bao, Huajun Li, Model order determination and noise removal for modal parameter estimation, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 24, Issue 6, August 2010, Pages 1605-1620.

[16] Perić, Petrović, Identifikacija procesa, Predavanja, Zagreb 2005.

[17] Lozina, Željan, Vibracije s dva stupnja slobode, FESB Split, 2007.

[18] Rao V. Dukkipati, Solving Engineering System Dynamics Problems with MATLAB, New Age International publishers, New Delhi 2007.

[19] Den Hartog J.P., Mechanical Vibrations, Courier Dover Publication, 1985.

[20] Stegić M., Teorija vibracija linearnih diskretnih mehaničkih sustava, Udžbenik Sveučilišta u Zagrebu, 1996.

[21] Lozina, Željan: Analiza numeričkih metoda za modalnu analizu prolaznih vibracija. // Strojarstvo : časopis za teoriju i praksu u strojarstvu. 29 (1987) , 3/4; 155-165

[22] D.J. Ewins, Modal testing: Theory, Practice and Application, Second ed., Research Studies Press, Baldock UK, 2000.

[23] Bor-Tsuen Wang, Deng-Kai Cheng: Modal analysis by free vibration response only for discrete and continuous systems Original Research Article Journal of Sound and Vibration, Volume 330, Issue 16, 1 August 2011, Pages 3913-3929

[24] L. Ljung: System Identification Theory for the User, Prentice Hall PTR, 2006.

[25] Juang, J.-N., Applied System Identification, Prentice Hall, 1994.

[26] Juang, J.-N., Lucas G. Horta, and Minh Phan: System Observer Controller Identification Toolbox, NASA Technical Memorandum 107566, 1992.

[27] T. Söderström, P. Stoica, System Identification, Prentice-Hall International, Cambridge, 1989.

[28] H. Unbehauen, Identification Of Continuous Systems, North-Holland, Amsterdam,1987.

[29] B. Schwarz, M. Richardson: FEA Model Updating Using SDM, Proceedings of XXV International Modal Analysis Conference, Orlando, US, 2007.

[30] Per Sjövall, Thomas Abrahamsson: Component system identification and state-space model synthesis Original Research Article Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 21, Issue 7, October 2007, Pages 2697-2714

[31] Jae-seung Hwang, Ahsan Kareem, Wha-jung Kim: Estimation of modal loads using structural response Original Research Article Journal of Sound and Vibration, Volume 326, Issues 3–5, 9 October 2009, Pages 522-539

[32] S.Q. Wu, S.S. Law: Moving force identification based on stochastic finite element model Original Research Article Engineering Structures, Volume 32, Issue 4, April 2010, Pages 1016-1027

[33] P.W. Tse, S. Gontarz, X.J. Wang: Enhanced eigenvector algorithm for recovering multiple sources of vibration signals in machine fault diagnosis Original Research Article Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 21, Issue 7, October 2007, Pages 2794-2813


103

[34] B. Jaish, W.X. Ren: Finite element model updating based on eigenvalue and strain energy residuals using multiobjective optimization techniques, Mechanical Systems and Signal Processing 21 (5), 2007, p. 2295-2317.

[35] D. Sedlar, Ž. Lozina, D. Vucina: Comparison of Genetic and Bees Algorithm in the Finite Element Model Update, Transactions of FAMENA, 35(1), 2011, p.1-11.

[36] M.I. Friswell, J.E. Mottershead: Finite Element Model Updating in Structural Dynamics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995.

[37] H.A. Nasrellah, C.S. Manohar: Finite element method based Monte Carlo filters for structural system identification Original Research Article Probabilistic Engineering Mechanics, Volume 26, Issue 2, April 2011, Pages 294-307

[38] Lozina, Željan: A comparison of harmonic acceleration method with the other commonly used methods for calculation of dynamic transient response. // Computers & structures. 29 (1988) , 2; 227-240

[39] Sedlar, Damir; Lozina, Željan; Tomac, Ivan.: Numerical simulation of frequency response functions // I International Interdisciplinary Technical Conference of Young Scientists, InterTech 2008 / Rydlichowski P., Kliks A., Sroka P. (ur.). Poznan : Uczelniany Samorzad Doktorantow Politechniki Poznanskiej, 2008. 252-255

[40] Čučić, Vladislav; Sedlar, Damir; Lozina, Željan. Identification of mechanical system for non-destructive testing // International Conference on Non-Destructive Testing MATEST 2011.

[41] Lozina, Željan; Vučina, Damir; Sedlar, Damir; Tomac, Ivan; Karišik, Edin; Čučić, Vladislav: Experimental Vibration Testing and Nondestructive Testing // International Conference on Non-Destructive Testing MATEST 2011

[42] Sedlar, Damir; Lozina, Željan; Tomac, Ivan: Impact test and modal analysis // 7th Youth Symposium on Experimental Solid Mechanics. Wojcieszyce, 2008.

[43] L.F. Ramos, G. De Roeck, P.B. Lourenço, A. Campos-Costa: Damage identification on arched masonry structures using ambient and random impact vibrations Original Research Article Engineering Structures, Volume 32, Issue 1, January 2010, Pages 146-162

[44] M. Corus: Force identification using a statically completed reduced model deriving from tests Original Research Article Journal of Sound and Vibration, Volume 329, Issue 20, 27 September 2010, Pages 4149-4165

[45] Waite, T. and A. Kelkar, “System Identification Using Enhanced SOCIT Algorithms, Advances in Control and Optimization of Dynamical Systems (ACODS),” IISc, Bangalore, India, February 1–2, 2007.

[46] Zhi-cheng Qiu, Jian-da Han, Xian-min Zhang, Yue-chao Wang, Zhen-wei Wu: Active vibration control of a flexible beam using a non-collocated acceleration sensor and piezoelectric patch actuator Original Research Article Journal of Sound and Vibration, Volume 326, Issues 3–5, 9 October 2009, Pages 438-455

[47] Chiu Jen Ku, Jack Edward Cermak, Li-Shu Chou: Random decrement based method for modal parameter identification of a dynamic system using acceleration responses Original Research Article Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, Volume 95, Issue 6, June 2007, Pages 389-410


104

[48] Dan Dubina: Structural analysis and design assisted by testing of cold-formed steel structures Original Research Article Thin-Walled Structures, Volume 46, Issues 7–9, July–September 2008, Pages 741-764

[49] Zhi-cheng Qiu, Hong-xin Wu, Chun-de Ye: Acceleration sensors based modal identification and active vibration control of flexible smart cantilever plate Original Research Article Aerospace Science and Technology, Volume 13, Issue 6, September 2009, Pages 277-290

[50] Wenlung Li: Evaluation of the damping ratio for a base-excited system by the modulations of responses Journal of Sound and Vibration, Volume 279, Issues 3–5, 21 January 2005, Pages 1181-1194


105

Kratki životopis

Vladislav Čučić je roñen 3.02.1963. godine u Zadru gdje je završio osnovnu i srednju

školu. Diplomirao je 1990. godine na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu

program studija strojarstva.

Od 1991. godine radi u srednjoj školi u Dubrovniku kao nastavnik gdje je, prema potrebi,

predavao predmete Fizika, Automatizacija, Informatika i strojarske grupe predmeta. Uz

nastavnički i razrednički rad sudjelovao je 2000. godine u uvoñenju Sustava kvalitete ISO 9001

u Pomorsko-tehničkoj školi Dubrovnik i od tada do 2011. godine obavljao poslove upravitelja

kvalitete.

Autor (ili koautor) je nekoliko znanstvenih radova iz područja dinamike, odnosno identifikacije sustava.

Short Biography

Vladislav Cucic was born 03/02/1963 in Zadar, where he finished elementary and high

school. He graduated Mechanical Engineering degree program in 1990 at the Faculty of

Electrical Engineering, Mechanical Engineering and Naval Architecture in Split.

Since 1991 he worked as a high school teacher in Dubrovnik where he, if necessary,

taught physics, automation, IT and engineering subjects. In addition to teaching in 2000 he

participated in the introduction of ISO 9001 in the Naval Technical School, Dubrovnik and from

then until 2011 performed the tasks as Quality Manager.

As author and co-author he published several papers on the dynamics and system

identification.

doprinos metodama identifikacije mehaniČkih sustava … · izlaza i poremećaja. proces...

Documents