![Page 1: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/1.jpg)
Розв׳язування раціональних рівнянь вищих степенів
Презентацію розробилаПрезентацію розробилаКулинич Лідія Йосипівна,Кулинич Лідія Йосипівна,вчитель математики вчитель математики Тинівської загальноосвітньої Тинівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенівшколи І-ІІІ ступенівЖашківського районуЖашківського району
![Page 2: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/2.jpg)
Мета: - Систематизація і узагальнення знань про рівняння вищих степенів, типи рівнянь, методи їх розв׳язування, - розвиток вміння робити висновки, мислити від конкретного до загального, - підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання.
![Page 3: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/3.jpg)
0... 12
21
10 =+++++ −−−
nnnnn axaxaxaxa
Цілим раціональним рівнянням n-го степеня називається рівняння виду
Якщо a0=1, то рівняння називається зведеним. Розв’язування багатьох типів рівнянь вдається звести до розв’язування цілих раціональних рівнянь.
Повторимо основні теоретичні відомості
Для алгебраїчних рівнянь вищих степенів не існує єдиного загального методу розв’язування.
![Page 4: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/4.jpg)
)1(.,0)( Axxf ∈=nggg ;...;; 21
.0)(;...;0)(;0)( 21 === xgxgxg n
Основні поняття та теореми , що використовують при розв’язуванні раціональних рівнянь з цілими коефіцієнтами.
Теорема 1. Нехай задано рівняння :
Якщо функцію f можна подати у вигляді добутку функцій
кожна з яких має ту саму область визначення А , то множина розв’язків рівняння (1) є об’єднанням множин розв’язків рівнянь
Метод невизначених коефіцієнтів .Схема Горнера.Ділення многочленів «кутом».
![Page 5: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/5.jpg)
)(xPn α−xα=x )(αnPr =
α)(xPn 0)( =αnP
α)( α−x
Теорема Безу. Остача від ділення многочлена на двочлен
дорівнює значенню цього многочленна, якщо , тобто
Число називається коренем многочлена , якщо
Наслідок. Якщо число є коренем многочена Р(х), то цей многочлен ділиться на двочлен без остачі.
Основна теорема алгебри .Теорема Вієта. Теорема. Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами
012
21
1 ...)( axaxaxaxaxf nn
nn
nn +++++= −
−−
−
q
px = 0≠q
0a qna
має раціональний корінь ( ),то р є дільником вільного члена
, а - дільником коефіцієнта при старшому члені
Наслідок. Якщо коефіцієнт при старшому члені рівняння з цілими коефіцієнтами дорівнює 1, то всі раціональні корені цього рівняння (якщо вони існують) – цілі числа.
![Page 6: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/6.jpg)
Методи розв'язування рівнянь вищих степенів
![Page 7: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/7.jpg)
027283 234 =−+−− xxxx
.1;2;3
2;3
1 ±±±± 1−=x3
2=x
Розв’язування рівнянь методом розкладання на множники. Знайдемо Раціональні корені рівняння.
Раціональні корені рівняння потрібно шукати серед чисел
і
-корені рівняння. Понижуємо степінь рівняння. Знаходимо коефіцієнтиза схемою Горнера. При x=-1 маємо таблицю:
3-8 -2 7 -2
-1 3 -11 9 -2 0
Одержуємо 3x3-11x2+9x-2=0
![Page 8: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/8.jpg)
3
2=x
393 2 =− xx
)393)(3
2)(1(27283 2234 +−−+=−+−− xxxxxxxx
2
53,
2
53,3
2,1 4321
−=+==−= xxxx
2
53,
2
53,3
2,1
−+−
При
3 -11 9 -2
2/3 3 -9 3 0
Одержуємо
Можемо записати, що
Отже,
Відповідь :
![Page 9: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/9.jpg)
0213204 234 =−+−− xxxx
bdadbcxdacbxcaxxxxxx
bdadxdxbcxacxcxbxaxxxxxx
dcxxbaxxxxxx
++++++++=−+−−++++++++=−+−−
++++=−+−−
)()()(213204
.213204
))((213204
234234
223234234
22234
−==+
−=++=+
=
2
13
20
4
11
bd
adbc
dacb
ca
2−=bd2,1 −== db 2,1 =−= db1,2 =−= db 1,2 −== db
7
3
2
1
−===
−=
c
a
d
b
Метод невизначених коефіцієнтів .Розв’яжемо рівняння Рівняння не має раціональних коренів. Розв’яжемо його використовуючи метод невизначених коефіцієнтів. Для цього подамо ліву частину у вигляді добутку двох квадратних тричленів.
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х:
Розв’яжемо систему в цілих числах
Перевіримо
або
або або
Одержуємо :
![Page 10: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/10.jpg)
)27)(13(213204 22234 +−−+=−+−− xxxxxxxx
2
417
2
417
2
133
2
133
4
3
2
1
−=
+=
−−=
+−=
x
x
x
x
2
417,
2
417,
2
133,
2
133 −+−−+−
Тоді
Звідки
Відповідь:
![Page 11: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/11.jpg)
knk aa −= nk ...,2,1,0=
012132 234 =+−−− xxxx
2x0
12132
22 =+−−−
xxxx
013)1
(212
2 =−+−+x
xx
x
0... 12
21
10 =+++++ −−−
nnnnn axaxaxaxa
Симетричні рівняння .Симетричними називається рівняння виду
де , де
Розв’язати рівняння
Розв’язування :х=0 не є коренем даного рівняння . Поділимо обидві частини рівняння на
Згрупуємо члени рівняння:
![Page 12: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/12.jpg)
21
1
22
2 −=+
=+
tx
x
tx
x
3,5 21 −== tt
31
51
−=+
=+
xx
xx
2
53
2
53
2
215
2
215
4
3
2
1
+−=
−−=
+=
−=
x
x
x
x
2
53,
2
53,
2
215,
2
215 +−−−+−
Введемо заміну:
МаємоЗа теоремою, оберненою до теореми Вієта
Одержуємо рівняння
З них знаходимо
Відповідь:
Коли розв’язуємо симетричне рівняння непарного степеня, то один корінь такого рівняння дорівнює -1.При ділення на х+1 це рівняння зводиться до симетричного рівняння парного степеня.
![Page 13: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/13.jpg)
)2(0...
...
)1(,0...
...
02
221
1
11
222
121
20
120
11
2
1122
21
120
=++++
++++++
=++++
+++++
−−
−−
+−
−−
+−−
+−+
nnn
nn
nn
nn
nnn
nnn
nn
nn
nnn
axaxa
xaxaxaxaxa
axaxa
xaxaxaxa
βββ
βββ
β 0≠a
β
Зворотним рівнянням називають рівняння виду
де -деяке фіксоване число і число . Якщо
=1, з рівнянь (1) і (2) дістаємо симетричне рівняння відповідно парного та непарного степенів.
![Page 14: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/14.jpg)
023332 234 =+−−+ xxxx
1−=β
,1
xx
xxy −=+= β
212
22 −+=x
xy
21 22
2 +=+ yx
x2x
Розв’язати рівняння
Розв’язуванняЦе зворотне рівняння парного степеня, в якому Зробимо заміну
то
звідки Поділимо обидві частини рівняння на
2
1,1
0132
033)2(2
03)1
(3)1
(2
023
3312
21
2
2
22
22
−=−=
=++
=−++
=−−++
=+−−+
yy
yy
yy
xx
xx
xxxx
4
171
17161
022
2
51
541
01
2
111
1
2
2
±−=
=+==−+
±−=
=+==−+
−=−−=−
x
D
xx
x
D
xx
xxàáî
xx
Відповідь:
4
171,
2
51,
4
171,
2
51 −−−−+−+−
![Page 15: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/15.jpg)
6)1)(43()76( 2 =+++ xxx
4
193
10
01909712
6196494812
6)4)(4912(
73
6)473)(49)73(12(
6)473)(498436(
2
1
2
2
2
22
22
−=
−=
=++=+++
=++=+
=++++
=++++
t
t
tt
ttt
tt
txx
xxxx
xxxx
3
53
23
1073
2
1
2
−=
−=
−=+
x
x
xx
êîðåí³âíåìà
xx4
1973 2 −=+
3
5;3
2 −−
Метод спостережень Ейлер виділяв спостереження як один з методів дослідження чисел. Про цей метод не слід забувати, приступаючи до розв’язування нестандартного рівняння.1.Розв’язати рівняння
Розв’язування
Відповідь :
![Page 16: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/16.jpg)
1204)8)(2)(14)(4( =+++− xxxx
30
70
0210040
1204)16)(56(
10
1204)1610)(5610(
1204)8)(2)(14)(4(
2
1
2
2
22
−==
=−−
=+−=+
=++−+=+++−
t
t
tt
tt
txx
xxxx
xxxx
2
9565
2
955
07010
7010
2
1
2
2
−−=
−−=
=−+=+
x
x
xx
xx
êîðåí³âíåìà
xx 30102 −=+
2
9565,
2
955 −−−−
2.Розв’язати рівняння
Розв’язування
Відповідь:
![Page 17: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/17.jpg)
0143164 234 =−++− xxxx23x 224 xx −
2
1,2
1,32,32
0)12)(12(
014
0)14)(14(
0)14()14(4
0)14()4164(
4321
2
22
222
2234
−==−=+=
=+−=+−
=−+−=+−−+−
=−+−++−
xxxx
xx
xx
xxx
xxxxx
xxxxx
2
1,2
1,32,32
−−+
3.Розв׳язати рівняння:
Подамо як
і згрупуємо перші й останні три доданки:
Відповідь:
![Page 18: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/18.jpg)
2,,)()(;)()( 121222 ≥∈=+−+=+++ −− nNnäåmbxaxmbxax nnnn
2
baxy
++= zy =2
16)5()3( 44 =+++ xx
16)1()1( 4 =++− yy
1614641464
64)(234234
4322344
=++++++−+−
+±+±=±
yyyyyyyy
babbabaaba
076 24 =−+ yy
Рівняння виду
Ці рівняння зводяться до простих шляхом заміни
і подальшої заміни Розв’язати
рівняння
Розв’язуванняЗаміна у=х+4Тоді маємо
рівняння
Скориставшись формулою бінома Ньютона (при n=4)
Звідки
![Page 19: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/19.jpg)
2yz =
0762 =−+ zz
7,1 21 −== zz
5,3
1,1,1
21
212
−=−====
xx
yyy
72 −=y5,3 21 −=−= xx
Заміна
За теоремою Вієта
Повертаємося до заміни
- коренів не маєВідповідь:
![Page 20: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/20.jpg)
0243 34 =+− xx
243)( 34 +−= xxxf
23 1212)( xxxf −=′
Застосування похідної до розв’язування рівнянь.Розв’язати рівняння
Розв’язування Дослідимо функцію
Похідна функції
)(xf ′
1,00)( ===′ xxïðèxf
0)( <′ xf
]1,0[]0,( i−∞
),1[ ∞)(xf
,1)1( =f )(xf
0243 34 =+− xx
Критичні точки функції:
існує на всій області визначення
,
на кожному з проміжків
Зростає на проміжку Точка 0 не є точкою екстремуму функції. В точці х=1 функція
набуває найменшого значення.
тоне може дорівнювати 0.Отже рівняння,
коренів не має
Відповідь: ∅
![Page 21: Розв’язування раціональних рівнянь вищих степенів](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020116/55a09fb11a28abe12f8b465a/html5/thumbnails/21.jpg)
Література:1.Є.П.Нелін, О.Є.Долгова . Алгебра і початки аналізу.В, Світ дитинства,2005.2.Ф.П.Яремчук, П.А.Рудченко. Алгебра і елементарні функції. В.Наукова думка,19763.С.Т.Завало. Рівняння і нерівності. В.Радянська щкола,19734.М.І.Шкіль,Т.В.Колесник, Т.М.Хмара. Алгебра і початки аналізу для поглибленого вивчення. В.Освіта,2000.5.Ш.Г.Горделадзе, М.М.Кухарчук, Ф.П.Яремчук. Збірник конкурсних задач з математки.В.Вища школа,19766.Збірник задач з математики для вступників до втузів. За редакцією М.І.Сканаві. В. Вища школа,1992.