Download - Матеріали до уроків
![Page 1: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/1.jpg)
Матеріали до уроків
За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко,
Г.М. Возняк
9 клас
![Page 2: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/2.jpg)
Готуємося до уроку
Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”.
Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т.
Мультимедійні технології на уроках
алгебри
2011 рік
![Page 3: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/3.jpg)
Дл
Зміст
Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку.Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями
назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому)
Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей
Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною
Тема 3. Функція. Квадратична функція
Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня
Тема 5. Елементи прикладної математики
Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії
![Page 4: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/4.jpg)
Тема 6Арифметична та
геометрична прогресії
1. Числові послідовності. Властивості числових послідовностей
2. Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії
3. Сума перших n членів арифметичної прогресії
4. Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії
5. Сума перших n членів геометричної прогресії
6. Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума
7. Розв’язування вправ
![Page 5: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/5.jpg)
Пункт 10.3.Як рахував Гаусс.
Розповідають, що незвичайні здібності видатного німецького математика Карла Фрідріха Гаусса (1777-1855) почали виявлятися вже в ранньому віці.
Якось він здивував учителя, миттєво обчисливши суму перших ста натуральних чисел.
Він, очевидно, помітив, що в послідовності 1; 2; 3; 4; ...; 97; 98; 99; 100
сума першого і останнього числа дорівнює 101 (1 + 100 = 101), другого і передостаннього — теж 101 (2 + 99 = 101), третього від початку і третього від кінця — теж 101 (3 + 98 = 101) і т.д. Всього таких сум можна утворити 50 (остання — 50 + 51). Отже, сума перших ста натуральних чисел дорівнює 101 • 50 = 5050.
Сума перших n членів арифметичної
прогресіїПригадайте1). Який вигляд має формула
загального члена арифметичної прогресії?
2). Як виразити через а1 і d член арифметичної прогресії, номер якого дорівнює n-k?
![Page 6: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/6.jpg)
Карл Гаус( 1777 – 1855 )
Німецький математик, астроном, геодезист, фізик, вважається «королем математики».
«Математика – цариця всіх наук, арифметика – цариця математики»
Народився 30 квітня 1777 року в герцогстві Брауншвейг у сім’ї садівника. Видатні математичні здібності проявив вже у ранньому дитинстві.
Німеччина
![Page 7: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/7.jpg)
ДоведенняНехай маємо скінченну арифметичну прогресіюa1 , a2, a3, …, an-2 , an-1 , an .
Запишемо у загальному вигляді два довільні члени прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, наприклад, стоять на на k-му місці від початку і від кінця.
На k- му місці від початку прогресії знаходиться член ak .
Тепер встановимо номер члена, який стоїть на k-мy місці від кінця прогресії. Перед цим зауважимо, що сума номерів крайніх членів і членів, рівновіддалених від крайніх, на 1 більша від кількості n членів прогресії і дорівнює n + 1.a1 , a2, a3, …, an-2 , an-1 , an
Властивість арифметичної
прогресіїak + an-k+l = a1 + an.
Послідовність перших ста натуральних чисел є скінченною арифметичною прогресією, перший і останній члени (або інакше, крайні члени) якої дорівнюють відповідно 1 і 100, а різниця d = 1. Вона має властивість, яку і помітив Гаусс: сума будь-яких двох її членів, рівновіддалених від крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів (у даному випадку 101)
![Page 8: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/8.jpg)
Справді, сума: номерів першого (a1) і останнього (an) членів дорівнює 1 + n; другого (а2) і передостаннього (an-1) — 2 + n - 1 = n + 1; третього (а3) і третього від кінця (an-2) — 3 + n - 2 = n + 1 і т.д.Отже, сума номерів членів прогресії, що стоять на k-му місці від початку і на k-му місці від кінця, теж має дорівнювати n + 1 Порядковий номер члена, що стоїть на k-му місці від початку, дорівнює k. Щоб знайти номер члена, що стоїть на k-му місці від кінця прогресії, треба від n + 1 відняти k: n+1 - k = n-k+1.Знайдемо суму членів ak і аn-k+1, скориставшись формулою загального члена арифметичної прогресії. Маємо:ak = a1 + d(k - 1),
аn-k+1 = а1 + d(n - k + 1 - 1) = a1 + d(n - k);
ak + an-k+1 = a1 + d(k- 1) + a1 + d(n-k) =
= a1 + al + d(k-1 + n-k) = a1+ а1+d(n-1) = a1 + an.
Властивість арифметичної
прогресії
ak + an-k+1 = a1 + an
![Page 9: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/9.jpg)
Доведену властивість можна використати для встановлення формули обчислення суми n перших членів арифметичної прогресії.Нехай треба знайти суму членів арифметичної прогресії: a1 , a2, a3, …, an-2 , an-1 , an .
Позначають таку суму зазвичай Sn.
Запишемо цю суму двома способами: у прямому і зворотному порядку розміщення доданків.Маємо:Sn = a1 + a2+ a3+ …+ an-2 + an-1 + an .
Sn = an + an-1 + an-2+... + a3 + a2 + a1,
Додамо почленно ці дві рівності. Маємо: 2 Sn = (а1 + аn) + (a2 + аn-1) + (a3 + an-2)+ ... +(an-2 + a3)+ (аn-1 + a2 )+(аn + а1).
За доведеною властивістю кожна із сум у дужках дорівнює а1 + аn
Кількість таких сум дорівнює n. Отже, 2Sn = (а1 + аn)n.
Звідси:
Формула суми перших n членів арифметичної прогресії
![Page 10: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/10.jpg)
Враховуючи те, що аn = а1 +d(n - 1), формулу суми членів арифметичної прогресії можна записати і в такому вигляді:
За встановленою формулою суму ста перших натуральних чисел можна обчислити так:
Формула суми перших n членів арифметичної прогресії
![Page 11: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/11.jpg)
1) Яку властивість скінченної арифметичної прогресії використовують для встановлення формули суми n перших її членів?
2) Запишіть у зошиті два варіанти формули суми n перших членів арифметичної прогресії. В якому випадку, на ваш погляд, доцільніше використовувати один з них, а в якому випадку — інший?
Запитання для самоперевірки
![Page 12: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/12.jpg)
Первинне закріплення вивченого матеріалу
1. В послідовності (хn):
3; 0; -3; -6; -9; -12;...
вкажіть перший, третій і шостий члени.
Усні вправи
2. Послідовність (аn) задана формулою
аn = 6n - 1. Знайдіть a1, а2, a3 ; а20, а100, аk.
![Page 13: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/13.jpg)
Первинне закріплення вивченого матеріалу
3. Назвіть п’ять перших членів послідовності (сn), якщо:
с1 = 32; сn+1 = 0,5сn
Усні вправи
4. Продовжіть дану послідовність:
а)1; 5; 9; 13; 17; …б)1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33;…
32;16; 8; 4; 2; …
![Page 14: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/14.jpg)
Первинне закріплення вивченого матеріалу
5. Відомо, що а1 = 1, d = 1. Задайте цю прогресію
Усні вправи
6. Відомо, що а1 = 1, d = 2. Задайте цю прогресію
![Page 15: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/15.jpg)
Первинне закріплення вивченого матеріалу
7. Послідовність(аn) – арифметична прогресія, в якійа1 = 4; d = 2. Знайдіть 50-ий член цієї прогресії.
Усні вправи
![Page 16: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/16.jpg)
Первинне закріплення вивченого матеріалуУсні вправи
8. Бригада стіклодувів виготовила в січні 80 виробів, а кожного наступного місяця виготовляла на 17 виробів більше, ніж за попередній. Скільки виробів виготовила бригада в червні?
![Page 17: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/17.jpg)
1. Дайте означення арифметичної прогресії.
Відповідь: Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, начинаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те ж число.
daа nn 1
![Page 18: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/18.jpg)
2. Що називають різницею арифметичної прогресії? Як позначають?
Відповідь: це число, яке показує на скільки кожний наступний член більший або менший попереднього. Позначають буквою d.
![Page 19: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/19.jpg)
3. Назвати формулу n-ого члена арифметичної прогресії.
dnaan )1(1
![Page 20: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/20.jpg)
4. Які властивості арифметичної прогресії?
• Відповідь: Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів.
211
nnn
aaа
![Page 21: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/21.jpg)
4. Які властивості арифметичної прогресії?
• Відповідь: Сума будь-яких двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії.
![Page 22: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/22.jpg)
6. Які бувають арифметичні прогресії?
Відповідь: Якщо в арифметичній прогресії різниця
d > 0, то прогресія є зростаючою. Якщо в арифметичній прогресії різниця
d <0, то прогресія є спадною. Якщо в арифметичній прогресії d = 0, то
прогресія є сталою.
![Page 23: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/23.jpg)
Які із послідовностей є арифметичними прогресіями?
3, 6, 9, 12,….. 5, 12, 18, 24, 30,…..7, 14, 28, 35, 49,….5, 15, 25,….,95….1000, 1001, 1002, 1003,….1, 2, 4, 7, 9, 11…..5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,….
Перевір себе!
d = 3
d = 10
d = 1
d = - 1
![Page 24: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/24.jpg)
Знайти різницю арифметичної прогресії:1; 5; 9………
105; 100….
-13; -15; -17……
11; ; 19,….
Обчисли усно!
![Page 25: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/25.jpg)
1. В арифметичній прогресії 2,4; 2,6;… різниця дорівнює 2.
2. Четвертий член арифметичної прогресії 0,3; 0,7; 1,1,… дорівнює 1,5
3. 11-ий член арифметичної прогресії, для якої дорівнює 0,24,0;2,41 da
Істинне чи хибне твердження
![Page 26: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/26.jpg)
Між числами 6 і 21 вставте 4 числа так, щоб разом з даними числами вони утворили арифметичну прогресію.
Розв’язання: = 6, = 21, d = (21 – 6)/ (6 – 1)= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21.
Здогадайся:
![Page 27: Матеріали до уроків](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062321/56812a4e550346895d8d91b4/html5/thumbnails/27.jpg)
Формула суми n перших членів арифметичної прогресії.
naa
S nn
21
Висновок