![Page 1: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/1.jpg)
План лекции1)Интегрирование иррациональных функций2)Метод интегрирования по частям3)Интегрирование тригонометрических функций
![Page 2: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/2.jpg)
Интегрирование иррациональных функцийКвадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов,содержащих иррациональные функции.
Интегралы типа
Называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей.Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат:
и сделать подстановку
2
2 2, ,
dx mx nax bx cdx dx
ax bx c ax bx c
22 2 2
2( ) (( ) )
2 4
b c b c bax bx c a x x a x
a a a a a
22
2
4(( ) )
2 4
b ac ba x
a a
2
bx t
a
![Page 3: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/3.jpg)
При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов.Пример№1. Найти интеграл:Решение: Так как
24 2 1
dxI
x x
2 2 21 1 1 34 2 1 4( ) 4(( ) ),
2 4 4 16x x x x x то
2 2
1
21 3 1 34(( ) ) ( )
4 16 4 16
dx dxI
x x
1
41
4
x t
x t
dx dt
2 2
2
1 1 3 1 1 1 3ln ln ( )
2 2 16 2 4 4 16316
dtt t C x x C
t
![Page 4: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/4.jpg)
Пример №2.Найти интеграл :
Решение: Выделим полный квадрат :
Сделаем подстановку:
Тогда:
2
4.
6 2
xI dx
x x
2 2 2 26 2 ( 2 6) (( 1) 7) 7 ( 1) ,x x x x x x 1
1
x t
x t
dx dt
2 2 2
1 43
7 7 7
t t dtI dt dt
t t t
1
2 22
2 2
1(7 ) (7 ) 3
2 ( 7)
dtt d t
t
2 2 17 3 arcsin 6 2 3 arcsin
7 7
t xt C x x C
![Page 5: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/5.jpg)
Метод интегрирования по частямПусть - функции имеющие непрерывные
производные.ТогдаИнтегрируя это равенство, получим :
Полученная формула называется формулой интегрирования
по частям .Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла ,
который может оказаться существенно более простым,чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том,что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей
Затем,после нахождения ,используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.
( ) ( )u u x и v v x ( ) .d uv u dv v du
( )d uv udv vdu или udv uv vdu
udv vdu
U и dvU и dv
![Page 6: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/6.jpg)
Укажем некоторые типы интегралов,которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.
1.Интегралы вида
где Удобно положить ,
а за обозначить все остальные сомножители.
( ) , ( ) sin , ( ) cos ,kxP x e dx P x kxdx P x kxdx ( ) , .P x многочлен k число ( )u P x
dv
![Page 7: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/7.jpg)
2.Интегралы вида
Удобно положить а за обозначить остальные сомножители.
( )arcsin , ( )arccos , ( ) ln ,P x xdx P x xdx P x xdx ( ) , ( ) .P x arctgxdx P x arcctgxdx
( ) ,P x dv u
![Page 8: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/8.jpg)
3.Интегралы вида
Где - числа. За можно принять функцию
Пример № 1. НайтиРешение:Пусть (можно положить С=0)
Следовательно по формуле интегрирования почастям:
sin , cos ,ax axe bxdx e bxdx a и b u .axu e
3(2 1) .xx e dx3
3 3
2 1
2
1
3
x
x x
u x
dv e dx
du dx
v e dx e
3 3 3 3 31 1 1 2(2 1) (2 1) 2 (2 1)
3 3 3 9x x x x xx e dx x e e dx x e e C
![Page 9: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/9.jpg)
Пример №2. НайтиРешение: Пусть
Поэтому
ln .xdxln
1
u x
dv dx
du dxx
v dx x
1ln ln lnxdx x x x dx x x x C
x
![Page 10: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/10.jpg)
Пример №3. Найти
Решение: Пусть .Поэтому
Для вычисления интеграла снова применим метод интегрирования по частям :
Значит,
Поэтому
2 xx e dx2
2
x
x
u x
dv e dx
du xdx
v e
2 2 2 .x x xx e dx x e e xdx
xe xdxx
x x
u x
dv e dx
du dx
v e dx e
x x x x xe xdx x e e dx x e e C 2 2 2( )x x x xx e dx x e x e e C
![Page 11: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/11.jpg)
Пример. НайтиРешение:Пусть .
Поэтому
arctgxdx
2
1
1
u arctgx
dv dx
du dxx
v dx x
2
2 2
1 (1 )
1 2 1
x d xarctgxdx x arctgx dx x arctgx
x x
21ln(1 )2
x arctgx x C
![Page 12: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/12.jpg)
Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида
Находятся с помощью формул:
sin cos , cos cos , sin sin ,ax bxdx ax bxdx ax bxdx где a b
1sin cos sin( ) sin( ) ;
21
cos cos cos( ) cos( ) ;21
sin sin cos( ) cos( ) .2
ax bx a b x a b x
ax bx a b x a b x
ax bx a b x a b x
![Page 13: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/13.jpg)
Пример №1. Найти интеграл:Решение:Воспользуемся формулой
Получим:Тогда
sin3 cos7x xdx 1
sin cos sin( ) sin( )2
ax bx a b x a b x
1sin(3 7) sin(3 7)
2x x
1 1sin3 cos7 (sin( 4 ) sin10 ) (sin10 sin 4 )
2 2x xdx x x dx x x dx
1 1 1 cos10 cos10( cos10 cos4 )2 10 4 8 20
x xx x C C
![Page 14: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/14.jpg)
Пример№2. Найти интеграл:
Решение: Воспользуемся формулой:
Получим:
Тогда
cos6 cosx xdx
1cos cos cos( ) cos( )
2ax bx a b x a b x
1cos6 cos cos(6 1) cos(6 1)
2x x x x
1 sin5 sin7cos6 cos (cos5 cos7 )
2 10 14
x xx xdx x x dx C
![Page 15: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/15.jpg)
Пример№3. Найти интеграл:
Решение: Воспользуемся формулой:
Получим:
Тогда:
2sin 2 sin .
3
xx dx
1sin sin cos( ) cos( )
2ax bx a b x a b x
2 1 2 2sin 2 sin cos(2 ) cos(2 )
3 2 3 3
xx x x
2 1 4 8sin 2 sin (cos cos )
3 2 3 3
x x xx dx dx
1 3 4 3 8 3 4 3 8( sin sin ) sin sin2 4 3 8 3 8 3 16 3
x x x xC C
3 4 8(2sin sin )
16 3 3
x xC
![Page 16: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/16.jpg)
Интегралы типаДля нахождения таких интегралов используются следующие
приемы:1) Подстановка если целое положительное
нечетное число;2) Подстановка если целое положительное
нечетное число;3) Формулы понижения порядка:
Если целые неотрицательные четные числа;4)Подстановка если есть четное
отрицательное целое число.
sin cosm nx xdx
sin ,x t n
cos ,x t m
2 21 1 1cos (1 cos2 ),sin (1 cos2 ),sin cos sin 2 ,
2 2 2x x x x x x x m и n
,tgx t m n
![Page 17: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/17.jpg)
Пример№1. Найти интеграл:
Решение: Применим подстановку Т.к.n=5 (1 cлучай). Тогда
Получим:
4 5sin cos .I x xdx sin .x t
2
2
arcsin
1
1
cos 1
x t
dx dtt
x t
5
4 2 4 2 4 4 2 2
2( 1 ) ( 1 ) (1 )
1
dtI t t t t dt t t dt
t
5 7 9
4 6 8 5 7 91 2 1( 2 ) 2 sin sin sin .
5 7 9 5 7 9
t t tt t t dt C x x x C
![Page 18: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/18.jpg)
Пример №2.Найти интеграл:Решение: воспользуемся формулой:
4 2sin cos .I x xdx
2 2 21 1(sin cos ) sin sin 2 (1 cos2 )
4 2I x x xdx x x dx
11)sin cos sin 2
2x x x
2 21 1sin 2 sin 2 2
8 8xdx xcox xdx
2 12)sin (1 cos2 )
2x x
21 1 1 1(1 cos4 ) sin 2 (sin 2 )
8 2 8 2x dx x d x
21 1 1cos4 sin 2 (sin 2 )
16 16 16dx xdx xd x
31 1 1sin 4 sin 2
16 64 48x x x C
![Page 19: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/19.jpg)
Пример №3. Найти интеграл:
Решение:Здесь (4 случай)Обозначим Тогда
Получим:
1 33
cos sin .cos sin
dxI x xdx
x x
4.m n
.tgx t2
2
2
1
sin11
cos1
x arctgt
dtdx
tt
xt
xt
2 2 2
3 3 3
22 2 3 2 2
1 1 11
11 ( 1 ) ( 1 )
dt dt dtt t tI
t t ttt t t
23
3 2
1 1ln
2
t dtdt t dt t C
t t t
21
ln2ctg x tgx C
![Page 20: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/20.jpg)
• Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрическихфункций.Функцию с переменными
и ,над которыми выполняются рациональные действия (сложения,вычитание,умножение иделение)
Принято обозначать знак рациональной функции.
Вычисление неопределённых интегралов типаСводится к вычислению интегралов от рациональной функции
подстановкой ,которая называется универсальной
sin x cos x
(sin ;cos ),R x x где R
(sin ;cos )R x x dx
2
xtg t
![Page 21: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/21.jpg)
Действительно,
Поэтому
Где рациональная функция от .Обычно этот способ весьма громоздкий,зато всегда приводит к результату.
22
2 22 2
2 12 12 2sin ,cos ,1 11 1
2 2
x xtg tgt t
x xx xt ttg tg
2
22 , .
1x arctgt dx dt
t
2
12 2 2
2 1 2(sin ;cos ) ( ; ) ( ) ,
1 1 1
t tR x x dx R dt R t dt
t t t
1( )R t t
![Page 22: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/22.jpg)
На практике применяют и другие,более простые подстановки,в зависимости от свойств ( и вида) подынтегральной функции.В
частности,удобны следующие правила:1)Если функция нечётна относительноТ.е ,то подстановкарационализирует интеграл; 2)Если функция нечётна относительноТ.е. ,то делается подстановка3)Если функция четна относительно ,то интеграл рационализируется
подстановкой .Такая же подстановка применяется,если интеграл имеет вид
(sin ;cos )R x x sin x( sin ;cos ) (sin ;cos )R x x R x x cos x t
(sin ;cos )R x x cos x(sin ; cos ) (sin ;cos )R x x R x x sin x t
(sin ;cos )R x x sin cosx и x( sin ; cos ) (sin ;cos )R x x R x x
tgx t
( )R tgx dx
![Page 23: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/23.jpg)
Пример: Найти интегралРешение: Сделаем универсальную подстановкуТогда Следовательно
.3 sin cos
dx
x x 2
xt tg
2
2 2 2
2 2 1,sin ,cos .
1 1 1
dt t tdx x x
t t t
2 22
2 2
22 13 sin cos 2
(1 )(3 )1 1
dx dt dtt tx x t t
tt t
1 1( ) 1 22 22 2 2arg arg .1 7 7 7 7 7( ) 22 4
xd t t tg
tg C tg Ct
![Page 24: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: План лекции Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081419/56815167550346895dbf9649/html5/thumbnails/25.jpg)