![Page 1: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/1.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: Rotacija koordinatnih osi ::Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru,a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja definicije vektora. Međutim, fizikalneveličine, pomodu kojih opisujemo ponašanje raznih pojava, ne smiju ovisiti o izborureferentnog sustava pa demo najprije promotriti ponašanje komponenti vektora položaja prirotacijama koordinatnih osi.
Rotacijom koordinatnih osi referentni sustav K postaje K’
• koordinatne osi ::
• jedinični vektori ::
• vektor položaja ::
Rotacija koordinatnih osi
![Page 2: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/2.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: T1 ::Izrazite radij-vektor točke T(1,-2,3) u novom koordinatnom sustavu koji se dobije rotacijomKartezijevog sustava oko osi z za 30° suprotno smjeru kazaljke na satu. Usporedite duljinevektora u jednom i drugom koordinatnom sustavu.
30°30°
x2x1
x’2
x’1
x3 =x’3
T1
![Page 3: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/3.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
Definiciju vektora sada možemo poopditi preko načina na koji se njegove komponentetransformiraju (kovariraju) kod rotacije koordinatnog sustava:
Za skup od N veličina Vj kažemo da su komponente N-dimenzionalnog vektora V, ako i samoako su njihove vrijednosti u rotiranom koordinatnom sustavu dane sa
Neovisnost o referentnom sustavu (koja slijedi iz kovarijancije) je potrebna da bi se formuliraliuniverzalni zakoni fizike koji uključuju vektore ili opdenitije tenzore.
:: Poopdenje definicije vektora ::
Samo u Kartezijevim koordinatama nema razlike između kovarijantnih i kontravarijantnihtransformacija:
:: Einsteinova konvencija o zbrajanju ::Ako se u izrazu indeks pojavljuje dvaput, onda se izraz sumira po svim dopustivimvrijednostima tog indeksa, a ako jedanput, onda slična jednadžba vrijedi za sve komponentenavedene veličine.
:: Vektori u Kartezijevim koordinatama ::
Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektora
![Page 4: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/4.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: Tenzori ::Tenzor je matematička ili fizikalna veličina invarijantna na translacije, a ima Nn komponentigdje je N dimenzija prostora te n stupanj tenzora.
Rang (stupanj) tenzora možemo odredit promatrajudi ponašanje njegovih komponenti priprijelazu iz koordinatnog sustava K u koordinatni sustav K’ :
gdje indeksa imamo n (stupanj tenzora), a svaki poprima vrijednosti od 1 do N (dimenzijaprostora).
• tenzor 0. stupnja ima samo jednu komponentu (invarijantan je) :: skalar
• tenzor 1. stupnja :: vektor
• tenzor 2. stupnja :: 9 komponenti u R3 (npr. tenzor tromosti, tenzor napetosti…)
Prema transformacijama komponenti tenzore dijelimo na ( navedene su relacije za tenzore 2. stupnja):
kovarijantne (indeksi dolje)
kontravarijantne (indeksi gore)
miješane (indeksi analogno prethodnima)
Tenzor 2. stupnja je simetričan ako vrijedi, a antisimetričan ako
Tenzori
![Page 5: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/5.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: Algebarske operacije sa tenzorima ::
Koristedi invarijantnost skalara na rotacije, pokažite da je skalarni produkt vektora skalar.
:: T3 ::Ako je kontravarijantni tenzor 2. stupnja S simetričan, a A antisimetričan, odredite AijSij.
Uvijek vrijedi
U pojedinom pribrojniku umjesto ij mogu pisati bilo koji drugi indeksi pa ih možemo zamijeniti
Iskoristimo li zadanu simetričnost imamo
:: T2 ::
• Množenje tenzora brojem te zbrajanje ili oduzimanje tenzora istog stupnja vrši se pokomponentama analogno operacijama s vektorima i matricama.
• Direktni produkt:
Algebarskeoperacije
T2T3
![Page 6: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/6.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: T4 ::Pokažite da se proizvoljni tenzor ranga 2 može napisati kao zbroj simetričnog i antisimetričnogtenzora.
Kako su dokazi za kovarijantne, kontravarijantne i miješane tenzore slični, dokazat demo zakontravarijantni:
Dodamo li i oduzmemo imamo
Zamjena indeksa odgovara transponiranju matrične reprezentacije vektora pa akotransponiramo prvi sumand
dobijemo isti taj što znači: je simetričan tenzor.
Transponiranjem drugog imamo
što znači je antisimetričan tenzor.
T4
![Page 7: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/7.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: T5 ::Dokažite: doprinos antisimetričnog dijela metričkog tenzora u kvadratu linijskog elementaiznosi 0.
Kvadrat linijskog elementa:
Koristedi tvrdnje dokazane u prethodnom zadatku, metrički tenzor možemo zapisati kao
T5
![Page 8: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/8.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: Konjugirani (pridruženi) tenzor ::
Dokažite: , a oba su i invarijantna dok nije.
Koristedi operacije podizanja i spuštanja indeksa dokazujemo jednakost:
Pošto se radi o jednakim tenzorima dovoljno je pokazati invarijantnost jednoga. Polazedi odumnoška u rotiranom koordinatnom sustavu i koristedi transformacijske relacije prelazimo upočetni:
invarijantan izraz
ne možemo više reducirat, znači: izraz nije invarijantan
Konjugirani tenzor dobivamo operacijama spuštanja/podizanja indeksa:
:: T6 ::
Konjugirani tenzori
T6
![Page 9: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/9.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: Kvocijentno pravilo ::
Dokažite kvocijentno pravilo:
Pravilo vrijedi u svakom zarotiranom Kartezijevom sustavu pa demo ga napisati u crtkanom:
// B transformiramo u necrtkani
// Primijenimo kvocijentno pravilo
// A transformiramo u crtkani
// Izjednačimo početak i kraj jednakosti
// A opdenit pa je izraz u zagradi 0
// Način transformacije tenzora 2. ranga
Ako relacije vrijede u svim rotiranim Kartezijevim sustavima te ako je rang od A i B naznačenbrojem indeksa , K je tenzor ranga koji je naznačen ukupnim brojem svojih indeksa:
:: T7 ::
Kvocijentno pravilo
T7
![Page 10: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/10.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: Epsilon tenzor (tenzor 3. stupnja) ::
Koristedi identitet za tenzore, dokažite:
:: T8 ::
Epsilon tenzorT8
![Page 11: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/11.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: Metrički tenzor ::
Odredite metrički tenzor u cilindričnim koordinatama:
Cilindrične koordinate Kartezijeve koorinate
:: T9 ::
Metrički tenzorT9
![Page 12: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/12.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: Kutni moment (moment impulsa) za proizvoljnu kutnu brzinu ::
Kutnu brzinu možemo zapisati u opdenitom obliku:
Moment impulsa iznosi
Primijenimo li imamo:
Prema tome opdi izraz za moment impulsa glasi:
gdje su
te analogno definiramo ostale komponente Iij.
( , , ).x y z ω
L m m r ω rr v
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
x y z
x y z
x y z
y z xy xz
yx z x yz
zx zy x y
r ω r
( ) ( ) ( ) A B C B A C C A B
x xx x xy y xz z
y yx x yy y yz z
z zx x zy y zz z
L I I I
L I I I
L I I I
2 2( )
xx
x y
I m y z
I m x y
Moment impulsa
![Page 13: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/13.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
:: Tenzor inercije I ::
Pronađite moment inercije homogene kocke mase M i stranice a pri rotaciji oko vrha(ishodište je u vrhu, orjentacija osi nije određena).
Kada nađemo tenzor inercije, možemo odabrati bilo koju kutnu brzinu rotacije i odmah znamopripadni moment impulsa
Kako se radi o jednolikoj raspodjeli mase potrebno je izračunati 9 integrala za odrediti tenzorinercije. Međutim, zbog simetrije svi dijagonalni elementi su isti, a ostali su različiti, ali jednakimeđusobno pa je dovoljno izračunati 2 integrala.
:: T10 (a) ::
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
I I I
I I I
I I I
I
x
y
z
ω
x
y
z
L
L
L
LL Iω
2 2( )
xx
x y
I m y z
I m x y
L Iω
2 2
0 0 0( )
a a a
xxI dx dy dz y z 3/M a
2 2 5 22 23 30 0 0 0 0 0
.a a a a a a
xxI dx y dy dz dx dy z dz a Ma
5 21 14 40 0 0 0 0 0
, .a a a a a a
xyI dx dy dz xy xdx ydy dz a Ma
2 2 22 1 13 4 4 2
2 2 21 2 14 3 4
2 2 21 1 24 4 3
8 3 3
3 8 312
3 3 8
Ma Ma MaMa
Ma Ma Ma
Ma Ma Ma
I
Dobivene relacije možemo zapisati u matričnom obliku (=> moment inercije I tenzor je 2.stupnja)
=> simetrični tenzorTI I
Tenzor inercijeT10(a)
![Page 14: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/14.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
Usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa za slučaj rotacije oko x-osi kojaprolazi vrhom kocke.
Moment impulsa nema isti smjer kao os rotacije.
:: T10 (b) ::
Usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa za slučaj rotacije oko osi kojaprolazi vrhom kocke i ide dijagonalno kroz kocku.
Moment impulsa ima isti smjer kao os rotacije (kutna brzina).
:: T10 (c) ::
1
13
1
ω2 2 2
8 3 3 1 2
3 8 3 1 212 12 63 3
3 3 8 1 2
Ma Ma MaL Iω ω
1
0
0
ω2
2
8 3 3 1 2 / 3
3 8 3 0 1/ 412
3 3 8 0 1/ 4
MaMaL Iω
T10(b)T10(c)
![Page 15: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/15.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
Odredite moment inercije za slučaj kada se središte rotacije nalazi u centru kocke teusporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa
Moment je inercije u koordinatnom sustavu odabranom pod (d) dijagonalna matrica, amoment impulsa uvijek ima isti smjer kao i kutna brzina bez obzira na položaj osi rotacije.Koordinatni sustav u kojem je tenzor dijagonalan nazivamo sustav glavnih osi. Kako sekomponente tenzora mijenjaju pri rotaciji, rotacijom možemo (ako se radi o simetričnomtenzoru) proizvoljno odabrani koordinatni sustava transformirati u sustav glavnih osi u kojemje taj tenzor dijagonalan. Iz gore dobivene relacije možemo napisati opdeniti izraz:
--> --> -->
Znači: problem određivanja glavnih osi svodi se na određivanje svojstvenih vrijednosti λ(vrijednosti na dijagonali) i svojstvenih vektora ω. Jedinični vektori koordinatnog sustava ukojem je tenzor dijagonalan definirani su preko normiranih svojstvenih vektora v(i)= ω/|ω|
:: T10 (d) ::
/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2
2 2 2 3 22 13 6/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2
2 ( / 2)
a a a a a a
xxa a a a a a
I dx y dy dz dx dy z dz a a Ma
/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2
/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2, 0
a a a a a a
xya a a a a a
I dx dy dz xy xdx ydy dz
2 21 0 0
0 1 06 6
0 0 1
Ma MaI 1
2
6
MaL Iω ω
Iω ω Iω 1ω ( ) 0 I 1 ω det( ) 0 I 1
:: Glavne osi ::
Glavne osiT10(d)
![Page 16: :: Rotacija koordinatnih osimapmf.pmfst.unist.hr/~pero/mmf1/vjezbe/10. Tenzori.pdf · 2010-12-20 · Rotacija koordinatnih osi T1 Einsteinova konvencija Poopćenje definicije vektora](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040804/5e3fe8c4de1a9706bf71a660/html5/thumbnails/16.jpg)
Rotacija koordinatnih osi
T1Einsteinova konvencijaPoopćenje definicije vektoraTenzoriAlgebarske operacije
T2T3T4T5
Konjugirani tenzori
T6Kvocijentno pravilo
T7Epsilon tenzor
T8Metrički tenzor
T9Moment impulsaTenzor inercije
T10(a)T10(b)T10(c)
Glavne osiT10(d)T10(e)
Matematičke metode fizike 1Vježbe 2010/11
Koristedi podatke izračunate pod (a), odredite glavne osi rotacije za kocku koja rotira oko vrha.
Za imamo:
------------------------
Rj: x = y = z
Za imamo:
Znači: Možemo uzeti osi, s ishodištem u vrhu kocke,
jednu u smjeru e’1, a druge dvije u smjeru dva proizvoljna međusobno okomita vektora e’2 ie’3 koji su okomiti na e’1 i dobit demo dijagonalan oblik tenzora I’.
:: T10 (e) ::
28 3 3
3 8 3 ;12
3 3 8
MaI
det( ) 0 I 1 2
8 3 3
3 8 3 (2 )(11 ) 0
3 3 8
21
1 62 Ma
8 3 3 6 3 3
3 8 3 3 6 3 0
3 3 8 3 3 6
x x
y y
z z
2112 3 12
11 Ma
2 0
2 0
2 0
x y z
x y z
x y z
3 3 3
3 3 3 0
3 3 3
0
z
x yy z
x
21
2,3 1 3 ,3 10 x y z ωω ee
22 0 0
0 11 012
0 0 11
MaI
1
11
13
1
e
T10(e)