Download - 單一分配 Uniform distribution
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單一分配 Uniform distribution 若 在 發生的機率皆相同a x b
2
1( ) ,
( )2
( )( )
12
f x a x bb aa b
E X
b aV X
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常態分配 Normal distribution
22
1( )
2
2
2
1( )
2
( )
( )
x
f x e
E X
V X
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標準常態分配Standard normal distribution 把常態分配標準化
( ) 0
( ) 1
( ) 1
xZ
E Z
V Z
SD Z
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中央極限定理 Central limit theorem (CLT) 如果觀察值數目 N 增加,則 N 個獨立且認定
分配 (independent and identically distributed, I.I.D.) 的變數之平均數向常態分配收斂
. . . 2
1
2
( , )
1
,
i i di
n
ii
X
X Xn
X Nn
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常態分配重要特性 如果變數間
(1) 為獨立分配;或(2) 多變數常態分配
則聯合常態分配變數的線性組合亦為一常態分配
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例題 (1999 FRM Exam Q.12)對一標準常態分配,累加分配函數介乎 -1
與 1 之間下的面積大概為 :
A. 50%B. 68%C. 75%D. 95%
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例題 (1999 FRM Exam Q.11)若 X 與 Y 為標準常態分配,其共變異數
Cov(X,Y)=0.4, 則 (5X+2Y) 之變異數為 :
A. 11.0B. 29.0C. 29.8D. 37.0
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隨機變數的線性轉換 若 則Y a bX
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
E Y E a bX a bE X
V Y V a bX b V X
SD Y bSD X
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隨機變數的和 若 則1 2Y X X
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( , ) ( ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( ) 2 ( , )
E Y E X X E X E X
V Y V X X V X V X Cov X X
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例題 (1999 FRM Exam Q.13)常態分配之峰度係數
A. 0B. 無法決定,因為必需先知道該分配 的變異數為何C. 2D. 3
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例題 (1999 FRM Exam Q.16)如果一分配,其變異數與常態分配相同,但峰
度係數大過 3 ,則下列何者為對 ?
A. 其雙尾較常態分配為厚B. 其雙尾較常態分配為薄 C. 因其變異數與常態分配相同,故其雙尾與 常態分配相同
D. 條件不夠,無法決定
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常態分配的缺點 儘管常態分配有許多優點,但其在雙邊
有無限長,不符現實,因金融資產皆為有限責任,報酬率絕不会小過負一
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對數常態分配 Lognormal distribution若一隨機變數 X ,其對數 Y = ln(X) 為常態分配 ,
則 X 為對數常態分配。最常見為連續複利報酬率。
22
1ln( )
2
2
1( ) , 0
2
x
f x e xx
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2
2 2
2
1
2
2 2 2
( )
( )
( )
( )
E Y
V Y
E X e
V X e e
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例子 : 前述之債劵定價, 100 元面值 Zero 的價格為
隱含
故如 利率 (r) 為常態分配,則價格 (V) 為對數常態分配
100 rTV e
ln100
VrT
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例題 (2001 FRM Exam Q.72)對數常態分配為
A. 正偏態B. 負偏態C. 不偏態,偏態係數 = 2D. 不偏態,偏態係數 = 0
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例題 (1999 FRM Exam 5)下列何者最適合描述常態分配與對數常態分
配之關係 :
A. 常態分配之對數為對數常態分配 ;B. 若 X 之自然對數為對數常態分配,則 X 為常態分配;C. 若 X 為對數常態分配,則 X 之自然對 數為常態分配 ;D. 兩種分配相互間,無任何關係
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例題 (1998 FRM Exam Q.10)若 X 為對數常態分配,而 ln(X) 為平均數
= 0 及標準差 =0.2 之常態分配,則 X 之預期值為 :
A. 0.98B. 1.00C. 1.02D. 1.20
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例題 (1998 FRM Exam Q.16)下列何者正確 :
I. 兩隨機常態變數之和,亦為隨機常態變數II. 兩隨機常態變數之乘積,亦為隨機常態變數III. 兩隨機對數常態變數之和,亦為隨機對數常 態變數IV. 兩隨機對數常態變數之乘積,亦為隨機對數常態變數
A. 只有 I 和 II B. 只有 II 和 IIIC. 只有 III 和 IV D. 只有 I 和 IV
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例題 (2000 FRM Exam Q.128)若 X 為對數常態分配,而 ln(X) 為平均數
= 0 及標準差 =0.5 之常態分配,則 X 之預期值及變異數為 :
A. 1.025 及 0.187C. 1.126 及 0.217C. 1.133 及 0.365D. 1.203 及 0.399