單一分配 Uniform distribution 若 在 發生的機率皆相同a x b

2

1( ) ,

( )2

( )( )

12

f x a x bb aa b

E X

b aV X

常態分配 Normal distribution

22

1( )

2

2

2

1( )

2

( )

( )

x

f x e

E X

V X

標準常態分配Standard normal distribution 把常態分配標準化

( ) 0

( ) 1

( ) 1

xZ

E Z

V Z

SD Z

中央極限定理 Central limit theorem (CLT) 如果觀察值數目 N 增加，則 N 個獨立且認定

分配 (independent and identically distributed, I.I.D.) 的變數之平均數向常態分配收斂

. . . 2

1

2

( , )

1

,

i i di

n

ii

X

X Xn

X Nn

常態分配重要特性 如果變數間

(1) 為獨立分配；或(2) 多變數常態分配

則聯合常態分配變數的線性組合亦為一常態分配

例題 (1999 FRM Exam Q.12)對一標準常態分配，累加分配函數介乎 -1

與 1 之間下的面積大概為 :

A. 50%B. 68%C. 75%D. 95%

例題 (1999 FRM Exam Q.11)若 X 與 Y 為標準常態分配，其共變異數

Cov(X,Y)=0.4, 則 (5X+2Y) 之變異數為 :

A. 11.0B. 29.0C. 29.8D. 37.0

隨機變數的線性轉換 若 則Y a bX

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

E Y E a bX a bE X

V Y V a bX b V X

SD Y bSD X

隨機變數的和 若 則1 2Y X X

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( , ) ( ) ( ) 2 ( , )

E Y E X X E X E X

V Y V X X V X V X Cov X X

例題 (1999 FRM Exam Q.13)常態分配之峰度係數

A. 0B. 無法決定，因為必需先知道該分配 的變異數為何C. 2D. 3

例題 (1999 FRM Exam Q.16)如果一分配，其變異數與常態分配相同，但峰

度係數大過 3 ，則下列何者為對 ?

A. 其雙尾較常態分配為厚B. 其雙尾較常態分配為薄 C. 因其變異數與常態分配相同，故其雙尾與 常態分配相同

D. 條件不夠，無法決定

常態分配的缺點 儘管常態分配有許多優點，但其在雙邊

有無限長，不符現實，因金融資產皆為有限責任，報酬率絕不会小過負一

對數常態分配 Lognormal distribution若一隨機變數 X ，其對數 Y = ln(X) 為常態分配 ，

則 X 為對數常態分配。最常見為連續複利報酬率。

22

1ln( )

2

2

1( ) , 0

2

x

f x e xx

2

2 2

2

1

2

2 2 2

( )

( )

( )

( )

E Y

V Y

E X e

V X e e

例子 : 前述之債劵定價， 100 元面值 Zero 的價格為

隱含

故如 利率 (r) 為常態分配，則價格 (V) 為對數常態分配

100 rTV e

ln100

VrT

例題 (2001 FRM Exam Q.72)對數常態分配為

A. 正偏態B. 負偏態C. 不偏態，偏態係數 = 2D. 不偏態，偏態係數 = 0

例題 (1999 FRM Exam 5)下列何者最適合描述常態分配與對數常態分

配之關係 :

A. 常態分配之對數為對數常態分配 ;B. 若 X 之自然對數為對數常態分配，則 X 為常態分配；C. 若 X 為對數常態分配，則 X 之自然對 數為常態分配 ;D. 兩種分配相互間，無任何關係

例題 (1998 FRM Exam Q.10)若 X 為對數常態分配，而 ln(X) 為平均數

= 0 及標準差 =0.2 之常態分配，則 X 之預期值為 :

A. 0.98B. 1.00C. 1.02D. 1.20

例題 (1998 FRM Exam Q.16)下列何者正確 :

I. 兩隨機常態變數之和，亦為隨機常態變數II. 兩隨機常態變數之乘積，亦為隨機常態變數III. 兩隨機對數常態變數之和，亦為隨機對數常 態變數IV. 兩隨機對數常態變數之乘積，亦為隨機對數常態變數

A. 只有 I 和 II B. 只有 II 和 IIIC. 只有 III 和 IV D. 只有 I 和 IV

例題 (2000 FRM Exam Q.128)若 X 為對數常態分配，而 ln(X) 為平均數

= 0 及標準差 =0.5 之常態分配，則 X 之預期值及變異數為 :

A. 1.025 及 0.187C. 1.126 及 0.217C. 1.133 及 0.365D. 1.203 及 0.399