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Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.1-1
1. Die Wellengleichung
● Die Wellengleichung ist eine partielle Differenzialglei-chung für das Schallfeld.
● Sie lässt sich durch Linearisierung aus der Massenbilanz, der Impulsbilanz und der Energiebilanz herleiten.
● Linearisierung:
– Untersucht wird die Schallausbreitung in ruhender Luft:
● Die Massendichte ρ0 ist räumlich und zeitlich konstant.
● Der Luftdruck p0 ist im Gleichgewicht mit der Schwerkraft.
● Die Strömungsgeschwindigkeit v0 ist null.
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1. Die Wellengleichung
– Die Schallausbreitung wird durch die akusti-schen Größen Schall-druck p(t), Dichteände-rung ρ(t) und Schall-schnelle v(t) beschrieben.
– Für die gesamten Größen gilt:
pg x , t =p0 xp x , t g x , t =0 x , t vg x , t =v x , t
pt ≪ p0 , t ≪0
0 v2≪ p0
– Die akustischen Größen sind klein gegenüber den entsprechenden Größen im Ruhezustand:
– Die gesamten Größen müssen die Bilanzglei-chungen erfüllen.
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1. Die Wellengleichung
● Mitbewegtes Teilgebiet:
– Die Bilanzgleichungen werden für ein so genanntes mitbeweg-tes Teilgebiet V aufgestellt.
– Dabei handelt es sich um ein beliebiges Teilgebiet, dessen Oberfläche S = ∂V sich mit der Schallschnelle v bewegt.
– Ein mitbewegtes Teilgebiet be-steht also zu jeder Zeit aus den-selben Luftpartikeln.
V
S = ∂V
n
v
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1. Die Wellengleichung
1.1 Massenbilanz
1.2 Impulsbilanz
1.3 Energiebilanz
1.4 Materialgesetz
1.5 Wellengleichung
1.6 Randbedingungen
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1.1 Massenbilanz
● Integrale Massenbilanz:
– Das mit bewegte Gebiet enthält zu jedem Zeitpunkt die gleiche Masse an Luft.
– Daher gilt:
– Mit dem Transporttheorem von Reynolds folgt:
ddt ∫V t
gt dV=0
∫V t
∂g
∂ t
∂ g v i ∂ x i
dV=0
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1.1 Massenbilanz
● Lokale Massenbilanz:
– Da das Teilgebiet V(t) beliebig gewählt werden kann, muss gelten:
– Mit folgt daraus:
● Linearisierung:
– Mit folgt schließlich:
∂g
∂ t
∂ g vi ∂ x i
=0
gt =0t ∂
∂ t
∂ 0t v i ∂ x i
=0
t ≪0
∂
∂ t0
∂v i
∂ x i
=0
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1.2 Impulsbilanz
● Integrale Impulsbilanz:
– Die zeitliche Änderung des Impulses des mitbewegten Teil-gebiets ist gleich der Summe aller am Teilgebiet angreifen-den Kräfte:
– Dabei ist gi der Vektor der Erdbeschleunigung.
– Mit dem Transporttheorem von Reynolds und dem Integral-satz von Gauß folgt:
ddt ∫V t
g vi dV=∫V t
g gi dV−∫S
pgni dS
∫V t
∂g v i
∂ t
∂ g vi v j ∂ x j
−g gi∂ pg
∂ x idV=0
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1.2 Impulsbilanz
● Lokale Impulsbilanz:
– Da die integrale Impulsbilanz für ein beliebiges Teilgebiet gelten muss, folgt:
– Ausdifferenzieren führt auf
∂g v i
∂ t
∂ g vi v j ∂ x j
−g gi∂ pg
∂ x i
=0
∂g
∂ t
∂ g v j ∂ x j
v ig ∂v i
∂ tv j
∂v i
∂ x j −g gi∂ pg
∂ x i
=0
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1.2 Impulsbilanz
– Mit der Massenbilanz
vereinfacht sich diese Gleichung zu
– Da der Luftdruck p0 im Gleichgewicht mit der Gewichtskraft
ist, gilt:
−0gi∂ p0
∂ x i
=0
∂g
∂ t
∂ g v j ∂ x j
=0
g ∂v i
∂ tv j
∂v i
∂ x j −g gi∂ p0
∂ x i
∂ p∂ x i
=0
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1.2 Impulsbilanz
– Mit folgt:
– Diese Gleichung ist noch nichtlinear in v.
– Bei akustischen Vorgängen ist die konvektive Beschleuni-gung klein:
– Dann gilt:
v j
∂v i
∂ x j
≪∂v i
∂ t
0
∂ vi
∂ t=−
∂ p∂ x i
g≈00 ∂v i
∂ tv j
∂v i
∂ x j ∂ p∂ x i
=0
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1.2 Impulsbilanz
– Die Partikelbeschleunigung ist entgegengesetzt zum Druckgradienten gerichtet.
– Dieses Ergebnis lässt sich auch direkt aus dem Newton-schen Grundgesetz für einen infinitesimalen Quader gewin-nen:
– Dabei wird allerdings nicht deutlich, welche Annahmen ge-troffen wurden.
p(x) p(x+Δx)
x
y
z
Δx
0 x y z∂v x
∂ t= px −p x x y z
0
∂ v x
∂ t=−
∂ p∂ x
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1.3 Energiebilanz
● Integrale Energiebilanz:
– Die zeitliche Änderung der Energie eines mitbewegten Teil-gebiets ist gleich der Leistung der angreifenden Kräfte plus der Summe der Wärmeströme.
– Die Energie setzt sich zusammen aus der inneren Energie und der kinetischen Energie.
– Mit der massenspezifischen inneren Energie u gilt unter Vernachlässigung von Wärmeleitung:
ddt ∫V t
gu12
v i vidV=∫V t
ggi vi dV−∫Sv i pgni dS
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1.3 Energiebilanz
– Mit dem Transporttheorem von Reynolds und dem Integral-satz von Gauß folgt:
∫V t [ ∂
∂ t g u12
v i v i ∂∂ x j gu
12
v i viv j]dV=∫
V t [g gi vi−∂ pg vi
∂ x i ]dV
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1.3 Energiebilanz
● Lokale Energiebilanz:
– Da die integrale Energiebilanz für ein beliebiges Teilgebiet gelten muss, folgt:
– Ausdifferenzieren ergibt
∂∂ t g u1
2vi v i ∂
∂ x j g v j u12
vi v i=g gi vi−∂ pg vi
∂ x i
∂g
∂ t
∂ g v j ∂ x j
u12
v i v ig ∂∂ t u
12
v i viv j∂
∂ x ju
12
v i vi=g gi−
∂ pg
∂ x i vi−pg∂v i
∂ x i
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1.3 Energiebilanz
– Der erste Term auf der linken Seite verschwindet wegen der Massenbilanz.
– Weiteres Ausdifferenzieren führt auf
– Mit der aus der Impulsbilanz gewonnen Beziehung
folgt:
g ∂u∂ t
v j∂u∂ x j g v i ∂v i
∂ tv j
∂v i
∂ x j −g gi−∂ pg
∂ x i vipg
∂ vi
∂ x i
=0
g ∂v i
∂ tv j
∂v i
∂ x j −g gi−∂ pg
∂ x i =0
g ∂u∂ t
v j∂u∂ x j pg
∂v i
∂ x i
=0
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1.3 Energiebilanz
– Mit den Näherungen
folgt die linearisierte Energiegleichung:
– Die innere Energie hängt von der spezifischen Entropie s und der Dichte ρ ab. Damit gilt:
g≈0 , pg≈ p0 , v j∂u∂ x j
≪∂u∂ t
0∂u∂ t
p0
∂v i
∂ x i
=0
∂u∂ t
=∂u∂ s
∂ s∂ t
∂u∂
∂
∂ t
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1.3 Energiebilanz
– Mit den thermodynamischen Beziehungen
folgt:
– Dabei ist T0 die Temperatur im Ruhezustand.
– Einsetzen ergibt:
∂u∂ s
=T 0 und∂u∂
=p0
02
∂u∂ t
=T 0∂ s∂ t
p0
02
∂
∂ t
0T 0
∂ s∂ t
p0
0
∂
∂ tp0
∂ v i
∂ x i
=0T 0
∂ s∂ t
p0
0 ∂
∂ t0
∂v i
∂ x i =0
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1.3 Energiebilanz
– Mit der Massenbilanz folgt daraus:
– Bei der Schallausbreitung bleibt die Entropie konstant.
∂ s∂ t
=0
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1.4 Materialgesetz
● Zustandsgrößen:
– Dichte, Druck und Entropie sind Zustandsgrößen.
– Ein ideales Gas lässt sich durch zwei Zustandsgrößen be-schreiben.
– Für die Dichte gilt daher:
– Da bei akustischen Vorgängen die Entropie konstant ist, gilt
– Wie später gezeigt wird, ist c die Schallgeschwindigkeit.
= p , s
∂
∂ t= ∂
∂ p s
∂ p∂ t
=1
c2
∂ p∂ t
mit c2=∂ p∂
s
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1.4 Materialgesetz
● Materialgesetz:
– Einsetzen in die Massenbilanz führt auf
– Das ist das Materialgesetz für das akustische Medium.
∂ p∂ t
=−0 c2 ∂v i
∂ x i
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1.4 Materialgesetz
● Kompressionsmodul:
– Die Materialkonstante wird als Kompressionsmo-dul bezeichnet.
– Aus
folgt:
– Für ein infinitesimal kleines Volumen verknüpft der Kom-pressionsmodul die relative Volumenänderung des Volu-mens mit der zugehörigen Druckänderung:
∂v i
∂ x i
= limV 0
1V ∫
Svi ni dS= lim
V 0
1V
∂V∂ t
∂ p∂ t
=−K limV 0
1V
∂V∂ t
p=−K VV
K=0 c2
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1.4 Materialgesetz
● Berechnung der Schallgeschwindigkeit:
– Für eine adiabate Zustandsänderung eines idealen Gases gilt
– Dabei ist κ der Isentropenexponent.
– Ableiten nach ρ ergibt:
pg
g=
p0
0
p0p=p0
0 0
∂ p∂ s=
p0
0 0
−1=
p0
0 0
−11 0
−1
≈p0
0
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1.4 Materialgesetz
– Die thermische Zustandsgleichung eines idealen Gases lau-tet
mit der spezifischen Gaskonstanten R.
– Damit gilt:
p00
=RT 0
c=p0
0= RT 0
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1.4 Materialgesetz
– Zahlenwerte für Luft:● Isentropenexponent:
● Spezifische Gaskonstante:
● Massendichte bei 20°C:
● Schallgeschwindigkeit bei 20°C:
=1,4
R=287J
kg K
c=343m /s
0=1,204 kg /m3
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1.5 Wellengleichung
● Mit der Impulsbilanz und dem Materialgesetz stehen zwei Gleichungen für die zwei unbekannten Größen p und v zur Verfügung.
● Daraus lässt sich eine Gleichung für den Schalldruck ge-winnen:
– Impulsbilanz:
– Materialgesetz:
10
∂ p∂ x i
=−∂ vi
∂ t
1
0 c2
∂ p∂ t
=−∂ vi
∂ x i
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1.5 Wellengleichung
– Wird die Divergenz der Impulsbilanz von der zeitlichen Ab-leitung des Materialgesetzes abgezogen, so folgt
und daraus:
– Diese Gleichung wird als Wellengleichung bezeichnet.
1
0 c2
∂2 p
∂ t 2−
10
∂2 p
∂ x i ∂ x i
=0
∂2 p
∂ t 2−c2 ∂
2 p∂ x i∂ x i
=0
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1.6 Randbedingungen
● Das Schallfeld ist die Lösung der Wellengleichung, die auch die gegebenen Anfangs- und Randbedingungen er-füllt.
● Die Anfangsbedingung legt das Schallfeld zum Zeitpunkt t = 0 im gesamten untersuchten Gebiet fest.
● Die Randbedingungen legen den Wert des Schallfelds auf dem Rand des untersuchten Gebiets für jeden Zeitpunkt fest.
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1.6 Randbedingungen
● Innenraumprobleme:
– Fläche Sv :
● Die Schallschnelle normal zurWand ist vorgegeben:
● Eine Fläche mit vRn = 0 wird als schallhart bezeichnet.
– Fläche Sp :
● Der Schalldruck ist vorgegeben:● Ein geöffnetes Fenster lässt sich näherungsweise als Fläche
mit pR = 0 betrachten.
VSv
Sp
Sa
vi ni=vn=vRn
p= pR
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1.6 Randbedingungen
– Fläche Sa :
● Eine lineare Beziehung zwischen Schalldruck und Schall-schnelle normal zur Wand ist vorgegeben:
● Die Größe z wird als spezifische akustische Impedanz oder Feldimpedanz bezeichnet.
● Mithilfe der spezifischen akustischen Impedanz lassen sich absorbierende Flächen beschreiben.
● Der Kehrwert
der spezifischen Impedanz wird als spezifische akustische Admittanz bezeichnet.
p=z vn
a=1/ z
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1.6 Randbedingungen
● Außenraumprobleme:
– Auf Sr gilt die Abstrahlbe-
dingung von Sommerfeld: rS
r
limr∞ [r ∂ p
∂ r
1c
∂ p∂ t ]=0