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Prof. Dr. Heinz Zimmermann Universität St. Gallen Unter Mitarbeit von Dr. Th. Kraus Vorlesungsunterlagen Version 1999
Fixed Income: Zinssätze, Zinsstruktur und Zinsrisiko
1. Konsum und Investition 2. Zinssätze, Bond Pricing: Sicherheit 3. Modellierung der Zinsstruktur 4. Einfache Zinsänderungsrisiken 5. Arbitragemodell der Zinsstruktur
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 2
Detaillierte Gliederung 1. Konsum und Investition
1.1 Zweiperiodenfall und Fisher’sche Separation 1.2 Mehrperiodenfall und Ramsey Regel
2. Zinssätze, Bond Pricing: Sicherheit
2.1 Zinsmathematik 2.2 Bond Pricing und Bond Yields 2.3 Zinsstruktur, Forward Rates und Arbitrage
3. Modellierung der Zinsstruktur
3.1 Theorien der Fristenstruktur und empirische Tests 3.2 Zinsterminkontrakte 3.3 Swap-Pricing 3.4 Dynamik der Zinsstruktur: Faktormodelle
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 3
4. Einfache Zinsänderungsrisiken 4.1 Duration, Bond-Volatilität, Konvexität 4.2 Hedging und Immunisierung 4.3 Zinsswaps
4.4 Asset- & Liability-Management 4.5 Nicht-parallele Zinsstrukturveränderungen: Key Rate Duration
5. Arbitragemodell der Zinsstruktur Zur Beachtung: Es handelt sich bei dieser Unterlage nicht um ein geschlossenes Vorlesungsskriptum, sondern um eine Arbeits- und Vorbereitungsunterlage für Vorlesungen und Übungen. Kopieren und Vervielfältigung, als Papier oder elektronisch, sowie Verweise nur unter vollständiger Quellenangabe. [email protected]
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1. Konsum und Investition 1.1 Zweiperiodenfall und Fisher’sche Separation 1.2 Mehrperiodenfall und Ramsey Regel
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 5
1.1 Zweiperiodenfall und Fisher’sche Separation a) Zweiperiodenfall: Robinson Crusoe
E*(c 0 */c 1 *)
C 1 , X 1
C 0 , X 0
c 1*
c0*
E(x 0 /x 1 )
U *
Pro
du
ktion
= K
on
sum
in t =
1
Konsum in t = 0 Inves t i t ionin t = 0
U 0
x0
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 6
Produktion:
Q X X
dQQ
XdX
Q
XdX
( ; )0 1
0
0
1
1 0= + =∂∂
∂∂
⇒ = −dX
dX
QX
QX
1
0
0
1
∂∂
∂∂
MRT:
Produktionsmöglichkeitenkurven / Isoquanten
Bei abnehmendem Faktorgrenzprodukt in den einzelnen Perioden:
d X
d X
21
0
2 0< konkave
Produktionsmöglichkeitenkurven
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 7
Konsum:
U C C
dUU
CdC
U
CdC
( ; )0 1
1
0
1
1 0= + =∂∂
∂∂
⇒ = −dC
dC
UC
UC
1
0
0
1
∂∂
∂∂
MRS: Indifferenzkurven
Bei abnehmendem Grenznutzen in den einzelnen Perioden:
d C
d C
21
02 0> Indifferenzkurven sind konvex
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 8
Optimum (E*):
d X
d X
QX
QX
UC
UC
dC
dC1
0
0
1
0
1
1
0
= − = − =
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
*
*
*
*
! MRT = MRS
Allokation, ausgehend von Ausstattung E (x0 / x1): (x0 - c0*) Investition in t = 0 c0* Konsum in t = 0 c1* Produktion resp. Konsum in t = 1
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 9
b) Zweiperiodenfall: (Kapital-) Markt ohne Produktionsmöglichkeiten
C0c0*
Konsum in t = 0
c0
Verschuldung in t = 0
E*(c0 */c1*)
C1
c 1*
U*
Konsum
in t = 1
E(c 0 /c 1 )
U0
c 1
Entschuldung
in t = 1
1
(1 + i)
1 - 10
Neu: Güterströme in den einzelnen Perioden haben einen Zeitwert bzw. Preis
P(C0) = P0 à Normierung auf 1 (Numéraire) P(C1) = P1
=> Addition wird möglich
Preisverhältnis:
P
P P
C
Ci0
1 1
1
0
11≡ ≡ − ≡ +
∆∆
Budgetrestriktion:
w P c P c
c P c
ci
c
0 0 0 1 1
0 1 1
0 1
1
1
≡ ⋅ + ⋅
= + ⋅
= ++
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 11
Optimum (E*):
∂∂
∂∂
UC
UC
i0
1
1*
*
= +
Allokation, ausgehend von Ausstattung E(c0/c1): (c0* - c0) „Verschuldung“ in Periode 0 = Kauf heutiger Güter, finanziert durch den Verkauf morgiger (c1 - c1*) „Rückzahlung“ in Periode 1 = Konsumverzicht
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c) Zweiperiodenfall: Produktionsmöglichkeiten mit Kapitalmarkt
Konsum in t = 0
f in . Verschuldung in t = 0
PV der realen Invest i t ion in t = 0
C 1 , X 1
C 0 ; X 0
x 1 *
x0
U**
Produktion in t =
1
U *
E**(c 0 ** /c1**)
E*(x 0 * /x1*)
E(x 0/x 1 )
Konsum
in t = 1
U 0
Produkt ion in t = 0 reale Invest i t ion in t = 0
x0*
c 1 **
c0**
fin. Entschuldungin t = 1
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 13
Schritt 1: Reale Investitions- bzw. Produktionsentscheidung
Maximierung des Barwertes der ursprünglichen Ausstattung E(x0/x1) durch optimale Investitionsentscheidung:
− + =( )!
1 i MRT
E x x PV xx
i* ( ; ):* * * *
*
0 1 01
1= +
+
Allokation: (x0 - x0*) Investition in t = 0
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 14
Schritt 2: Finanzielle Investitions- bzw. Konsumentscheidung Nutzenmaximierung, gegeben die optimale Produktionsentscheidung E*(x0*/ x1*):
− + =( )!
1 i MRS U E c c* *: * *( * * / * *)0 1 Allokation: (c0** - x0*) Verschuldung in t = 0 zur Finanzierung des zusätzlichen Konsums Schritt 3: Gleichgewicht
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 15
Für obigen Fall gilt: ( *) ( * * *)x x c x0 0 0 0− < − Damit der Markt im Gleichgewicht ist, muss in jeder Periode gleichviel gespart
wie investiert werden:
aggregiertes Sparen aggregiertes Investiere n
S i I i
≡
≡( *) ( *)
Gleichgerichtetes Verhalten aller Individuen ist nicht möglich à Koordination erfolgt über Zinssatz Im Gleichgewicht widerspiegelt der Zinssatz die Zeitpräferenz des Marktes.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 16
d) Fisher’sches Separationstheorem
Optimale Investitionsentscheidungen können mit einem Kapitalmarkt losgelöst von Konsumpräferenzen getroffen werden. Implikationen?
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 17
2. Zinssätze, Bond Pricing: Sicherheit 2.1 Zinsmathematik 2.2 Bond Pricing und Bond Yields 2.3 Zinsstruktur, Forward Rates und Arbitrage
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 18
2.1 Zinsmathematik a) Einfache Verzinsung (simple yield)
Der Zins als Entschädigung für den Zeitwert des Geldes wird einmalig am Ende der Periode zum Kapital geschlagen:
K = K + K R = K (1 + R)1 0 0 0× wobei K0, K1 Kapital in der entsprechenden Periode R einfacher, risikoloser Zinssatz Bsp.: K0 5’000 R 4 % p. a.
∆t 270 Tage
K = K (1 + R = 5000 (1 + 4 % 270
360) = 51501 0 × × ×∆t)
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 19
b) Zinseszins (compound yield)
K = K + K R + K R + . . . + K R
= K (1 + R ) (1 + R ) . . . (1 + R )T 0 0 0 1 1 1 2 n -1 T -1 T
0 0 1 1 2 T -1 T
× × ×× × × ×
Bsp.: K0 5’000 0R1 4 % p. a. 1R2 5 % p. a. 2R3 6 % p. a.
K = K (1 + R ) (1 + R ) (1 + R )
= 5000 (1 + 0.04) (1 0.05) (1 + 0.06) = 5'787.603 0 0 1 1 2 2 3× × ×
× × × ×
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 20
c) Stetige Verzinsung (continuous compounding)
Wird während des Jahres m mal der Zins berechnet und zum Kapital geschlagen, so erhöht sich das Endkapital auf
K KR
m
m
1 0 1= × +
.
Strebt m gegen Unendlich, so wird der Ausdruck zu
K K eR
1 0= × und somit im T-Periodenfall zu
K K eT
T R= × ×0 .
wobei e die Eulersche Zahl (2.7182818...) bezeichnet.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 21
Bsp.: ( )K1 5000 1 0 04= × + . = 5’200.-- jährliche Verzinsung
K 1
2
5000 10 04
2= × +
. = 5’202.-- halbjährliche Verzinsung
K1
4
5000 10 04
4= × +
. = 5’203.02 vierteljährliche Verzinsung
12
120.04
150001
K
+×= = 5203.71 monatliche Verzinsung
365
1 365
0.0415000K
+×= = 5204.04 tägliche Verzinsung
... K e1
0 0 45000= × . = 5’204.05 stetige Verzinsung
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 22
Fragestellung: Wie hoch muss der einfache Jahreszinssatz angesetzt werden, damit dasselbe Schlussvermögen resultiert wie bei stetiger Verzinsung?
Beachte den Zusammenhang: R = e r - 1 ↔ r = ln (1 + R)
Mit r wird üblicherweise der Zinssatz für die stetige Verzinsung bezeichnet, um ihn vom einfachen Jahreszinssatz R zu unterscheiden.
Warum wird die stetige Verzinsung benötigt?
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 23
d) Barwert (present values)
PVC
R
C
R
C T
R TT=
++
++ +
+( )
( )
( )
( ). . .
( )
( )
1
1
2
1 10 11
0 22
0
Bsp.: Coupon-Bond (5 %) nominal 10’000, Restlaufzeit drei Jahre 0R1 4 % 0R2 5 % 0R3 6 %
PV =+
++
++
=500
1 0 04500
1 0 0510 500
1 0 069 750 29
1 2 3( . ) ( . )'
( . )' .
Für den Spezialfall einer flachen Zinsstruktur ( d. h. 0R1 = 0R2 = . . . = 0Rn) lässt sich der Barwert eines konstanten Zahlungsstromes (Annuität) wie folgt berechnen:
PVC
R
C
R Rtt
T
T=+
= −+
=∑
( ) ( )11
1
11
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 24
Für einen ewigen Rentenstrom (T → ∞) reduziert sich diese Formel auf
PVC
R=
(Perpetuität), womit z. B. der Preis eines consol bonds berechnet werden kann. Sind die jährlichen Zahlungen nicht gleichbleibend, sondern um einen konstanten Prozentsatz zunehmend, so beträgt der Barwert im endlichen Fall
PV
Cg
R
R g
T
=
−++
−
1 11
1
wobei g die jährliche Wachstumsrate des Cash-Flow-Stromes ist. Falls (R > g) gilt für T → ∞
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 25
PVC
R g=
−1 .
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 26
Bsp.: Welches ist der heutige Preis einer Aktie, die einen sicheren, unendlichen Dividendenertrag aufweist, beginnend in einem Jahr mit 10.-- und
einem jährlichen Wachstum von 3 % bei einer flachen Zinsstruktur von 5%?
PV =+
++
++
+10
1 0 05
10 3
1 0 05
10 61
1 0 051 2 3( . )
.
( . )
.
( . ). . .
=−
=10
0 05 0 03500
. .
Dieses Dividendenwachstumsmodell wird häufig als „Gordon growth model“ bezeichnet.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 27
e) Durchschnittliche Verzinsung Bsp. Anfangsvermögen 100; Schlussvermögen nach 5 Jahren 130.
Welcher durchschnittlichen zinseszinslichen Fortschreibung entspricht dies?
130 100 1
130
1001 5 39
05
05
= × +
⇒ = − =
( )
. %
R
R
T
T
Allgemein:
0
0
1RK
KTT
T= − .
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 28
Bsp.: Der Pictet-Rätzer Aktienindex stieg von 100 Punkten im Jahr 1926 auf 17’876.55 Punkte Ende 1993. Die durchschnittliche einfache Rendite
betrug somit
1 9 2 6 1 9 9 36 8
17 876 55
1001 7 92%R p a= − =
' .. . .
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 29
Bsp.: Gegeben die einfachen Periodenrenditen
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5
15
5
6
12
R
R
R
R
R
==
= −
=
=
%
%
%
%
%
Ein Anfangsvermögen von 100 wächst somit an auf
K 5 100 1 0 05 1 0 15 1 0 05 1 0 06 1 0 12
136 19
= × + × + × − × + × +
=
( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )
.
und die durchschnittliche Verzinsung beträgt
0 55
136 19
1001 6 37R = − =
.. %
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 30
Allgemein:
0
0
0 0 1 1 2 1
0
0 1 1 2 1
1
1 1 11
1 1 1 1
RK
K
K R R R
K
R R R
TT
T
T TT
T TT
= −
=× + × + × × +
−
= + × + × × + −
−
−
( ) ( ) . . . ( )
( ) ( ) . . . ( )
.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 31
Zwischen der durchschnittlichen einfachen Rendite und der durchschnittlichen stetigen (arithmetische Rendite) besteht ein logarithmischer Zusammenhang:
0 01r RT T= +ln ( ) Nach einigen Umformungen lässt sich dies darstellen als
( )0 0 1 1 2 1
1r
Tr r rT T T= + + + −. . .
Bsp.: Für das obige Beispiel des Pictet-Rätzer Index ergibt sich für die
durchschnittliche stetige Rendite
1 9 2 6 1 9 9 3
1
68
17 876 55
1007 63r =
=ln' .
. % p. a.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 32
2.2 Bond Pricing und Bond Yields a) Grundmodell des Bond Pricings
B PVC t)
R tt
t
T
= =+=
∑(
( )1 01
Bsp.: 6 % Couponbond mit einer Restlaufzeit von 5 Jahren; Zinsstruktur:
0R1 0R2 0R3 0R4 0R5 5 % 6 % 7 % 8 % 9 %
B =+
++
++
++
++
=
6
1 0 05
6
1 0 06
6
1 0 07
6
1 0 08
106
1 0 09
89 25
1 2 3 4 5( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )
.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 33
b) Interner Zinssatz (IRR) resp. Yield to Maturity (y)
Der interne Zinssatz ist jene Grösse, mit der künftige Cash Flows abdiskontiert werden müssen, damit der erhaltene Barwert gerade dem aktuellen Preis des assets entspricht.
PC
IRR
C
IRR
C T
IRR T=
++
++ +
+( )
( )
( )
( ). . .
( )
( )
1
1
2
1 11 2 ,
wobei P für den akuellen Marktpreis steht. Im Zusammenhang mit Bonds ist die Bezeichnung „Yield to Maturity“ üblich.
BC t
y tt
T
=+=
∑( )
( )11
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 34
Bsp.: 6 % Couponbond mit einer Restlaufzeit von 5 Jahren; Zinsstruktur A:
0R1 0R2 0R3 0R4 0R5 5 % 6 % 7 % 8 % 9 %
Für den oben ermittelten Preis von 89.25 wird durch numerische Approximation ein Yield von 8.75 % bestimmt.
Zinsstruktur B:
0R1 0R2 0R3 0R4 0R5 6 % 7 % 8 % 9 % 10 %
Der Barwert für diese Zinsstruktur beträgt 85.73 und der Yield lässt sich mit 9.74 % bestimmen.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 35
Approximation des Yield to Maturity:
yCp
Nom P
TNom P
≈+
−
×
+
2
Cp = Couponbetrag, Nom = Nominalbetrag.
Bsp.: Welches ist der Yield to Maturity folgender Coupon Obligation:
T 8 Jahre Cp 6 % P 96.75
y ≈+
−
×
+=
6100 96 75
82
100 96 756 512
.
.. % ,
Die numerische Approximation ergibt einen Yield von 6.534 %.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 36
c) Konvexität von Bondpreisen
∂∂
P
y< 0 negativer Zusammenhang zwischen P und YTM
∂∂
2
2 0P
y> konvexer Zusammenhang
Bsp.:
Konvexität von Bondpreisen
0
50
1 0 0
1 5 0
2 0 0
1% 3% 5% 7% 9% 11%
13%
15%
Y T M
Pre
is
10 % Cp . -Bond
5 % Cp. -Bond
0 % Bond
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 37
d) Couponeffekt des Yields
Bsp:
0R1 0R2 0R3 0R4 0R5 5 % 6 % 7 % 8 % 9 %
Zwei Obligationen
Bond A Bond B Rating des Schuldners AAA AAA Laufzeit 5 Jahre 5 Jahre Coupon 4 % 10 % Yield (y) ? ?
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 38
1. Schritt: Barwertberechnung Bond A:
PV =+
++
++
++
++
=
4
1 0 05
4
1 0 06
4
1 0 07
4
1 0 08
104
1 0 09
81168
2 3 4 5( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )
.
Bond B:
PV =+
++
++
++
++
=
10
1 0 05
10
1 0 06
10
1 0 07
10
1 0 08
110
1 0 09
105 43
2 3 4 5( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )
.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 39
2. Schritt: Berechnung des Yields Bond A:
PVC t
yy
tt
= =+
⇒ ==∑81168
18 819
1
5
.( )
( ). %
Bond B:
PVC t
yy
tt
= =+
⇒ ==∑105 43
18 618
1
5
.( )
( ). %
==> Konzept desYield to Maturity ist problematisch bei nicht-flacher Zinsstruktur
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 40
Bsp.: Bonds mit 5 Jahren Restlaufzeit bei unterschiedlichen Fristenstrukturen
a) flache term structure 8 % 8 % 8 % 8 % 8 % b) steigende term structure 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % c) fallende term structure 9 % 8 % 7 % 6 % 5 % Preise Zero-Bond 5 % Cp.-Bond 10 % Cp.-Bond a) flache term structure 68.06 84.03 107.98 b) steigende term structure 64.99 81.17 105.43 c) fallende term structure 78.35 95.02 120.02
Yields
Zero-Bond 5 % Cp.-Bond 10 % Cp.-Bond a) flache term structure 8 % 8 % 8 % b) steigende term structure 9 % 8.818 % 8.618 % c) fallende term structure 5 % 5.155 % 5.333 %
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 41
e) Yieldkurve vs. Zinssatzkurve (spot rate curve) Bsp.:
Laufzeit
Yie
ld
2.50%
3.00%
3.50%
4.00%
4.50%
5.00%
5.50%
6.00%
6.50%
1 Ja
hr
3 Ja
hre
5 Ja
hre
7 Ja
hre
9 Ja
hre
Yield Zerobond(Spotratekurve)
Yield 5 % Cp.Bond
Yield 10 % Cp.Bond
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 42
Es muss klar unterschieden werden:
Yield Curve
Renditekurve
Spot Rate Curve
Zinssatzkurve
↔
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 43
2.3 Zinsstruktur, Forward Rates und Arbitrage
Zinsstruktur per 14.9.1994
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
3 M
6 M 1
J
2 J
3 J
4 J
5 J
6 J
7 J
8 J
9 J
10
J
berechnet aufgrund von CHF-Swapsätzen
3 M 6 M 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 7 J 10 J
4.188 % 4.312 % 4.688 % 5.3 % 5.53 % 5.63 % 5.73 % 5.84 % 5.94 %
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 44
Fragen: • Ist diese Zinsstruktur normal? • Warum ist die Zinssatzkurve nicht flach? • Lassen sich aus der Fristenstruktur bestimmte Informationen ableiten? • Ich benötige in zwei Jahren einen 3jährigen Kredit. Wie werden die Konditionen heute festgelegt?
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 45
a) Berechnung des Terminzinssatzes
he
ute
2 Ja
hre
5 Ja
hre
E ine An lage von Fr . 1 . - - wächst während fün f Jahren au fK 5 = 1 .0573 5
W ie hoch muss de r Dre ipe r ioden-satz in zwe i Jahren se in , dami td ie Rol l -over -St ra teg ie den g le ichenErtrag aufweist?
(1 + 0 R 5 )5 = (1 + 0 R 2 )2 x (1 + f 0 ; 2 , 5 )3
=> f 0 ; 2 , 5 =
=
= 6 . 0 2 %
( )
( )
1
110 5
5
0 22
3+
+−
R
R
( . )
( . )
1 0 0 5 7 3
1 0 0531
5
23
++
−
?
Dieser Z inssa tz ha te ine konk re te Bedeu tung :T e r m i n z i n s s a t z( forward interest rate)
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 46
Allgemein gilt für den Terminzinssatz:
fR
Rt T
T
tT t T
t
0
1
110
0
; ,
( )
( )=
+
+−−
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 47
b) Terminkurs für Zerobonds
Der Preis eines in zwei Jahren zu liefernden, dreijährigen Zerobonds soll heute bestimmt werden.
( )
( )
11
1
1
1
1
11
1
5
2
0 2 5
3 0 55
0 22
0 2 5
30 5
5
0 22
0 2 50
0
+ =++
⇒+
=+
+
=
fR
R
f
R
R
FB
B
; ,
; ,
; ,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 24 34
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 48
Bsp.: Für die obige Zinsstruktur ergibt sich für einen dreijährigen Bond in zwei Jahren ein Terminkurs von
F
oder äquivalent dazu ausgehend vom Ter satz
F
0 2 3
5
2
0 2 3 3
1
1 0 05731
1 0 053
0 7568
0 901983 92
1
1 0 0601883 92
; ,
; ,
( . )
( . )
.
.. %
, min :
( . ). %
=+
+
= =
=+
=
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 49
c) Arbitrage
Merkmale von Arbitrage: • risikoloser Gewinn • unbegrenzter Gewinn • erfordert keinen Kapitaleinsatz
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 50
Bsp.: Wird der oben genannte Bond derzeit am Markt zu einem Terminkurs von
83 statt 83.92 gehandelt, so lässt sich dies durch folgende Arbitragestrategie ausnutzen:
Position C heute C in 2 J C in 5 J Terminkauf 3j. Zerobond 0 -83 + 100 Spotverkauf 5j. Zerobond + 75.685 0 - 100 Spotkauf von 0.83 2j. Zerobonds - 74.855 + 83 0 Summe + 0.83 0 0
Es resultiert ein sofortiger Arbitragegewinn von 0.83, resp. ein Vielfaches davon.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 51
3. Modellierung der Zinsstruktur
3.1 Theorien der Fristenstruktur und empirische Tests 3.2 Zinsterminkontrakte 3.3 Swap-Pricing
3.4 Dynamik der Zinsstruktur: Faktormodelle
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 52
3.1 Theorien der Fristenstruktur, empirische Tests a) Erwartungstheorie der Zinsstruktur (Fisher)
{ {
E R f
R
tatsächlic herZinssatz
u
ErwartungsfehlerE u
t T t T
t T t T
t T
0 0
0 0
( )
~
( ~ )
; ,124 34=
+
=
Der derzeitige Terminzinssatz widerspiegelt die Markterwartung des zukünftigen Spotsatzes. Bei rationalen Erwartungen ergeben sich keine systematischen Prognosefehler (unbiased estimation).
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 53
Empirische Ueberprüfung anhand der Regressionsgleichung
( )t T t T t TR R f R~ ~
; ,− = + − +0 1 0 0 1α β ε
Falls die Erwartungstheorie gilt:
$
$
α
β
=
=
0
1
Empirische Resultate:
• sehr tiefes R2 ==> Zissatzänderungen sind grösstenteils unerwartet • $α ist negativ und siginifikant von 0 verschieden ==> Terminprämie • $β signifikant von 1 verschieden
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 54
Erwartungstheorie
f 0 ; t , T - 0 R 1
tR T - 0 R 1
Termin -prämie
empir isch
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 55
Exkurs: Inkonsistenz verschiedener Versionen der Erwartungstheorie • Version 1: „Return to Maturity“-Erwartungstheorie
B0(1) B1(2)
1442443 1442443
(1 + Renditekurz) 1
10B ( )
1
21~ ( )B
B0(2)
1444442444443
(1 + Renditelang) 1
20B ( )
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 56
Die erwarteten Renditen der kurzen und der langen Strategie müssen sich entsprechen:
(1 + erwartete Renditekurz) = (1 + erwartete Renditelang)
1
1
1
2
1
200
1 0BE
B B( ) ~ ( ) ( )×
=
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 57
• Version 2: „Local Expectations“-Erwartungstheorie
Wird der lange Bond nach einer Periode liquidiert, so beträgt (1 plus) die erwarte Rendite auf dieser Anlage
( )E B
B
0 1
0
2
2
~ ( )
( ),
was (1 plus) der erwarteten Rendite auf dem 1-Perioden-Bond entsprechen muss:
( )E B
B B
0 1
0 0
2
2
1
1
~ ( )
( ) ( )=
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 58
Version 1 der Erwartungstheorie kann umgeformt werden zu
EB
B
B0
1
0
0
1
2
1
2~ ( )
( )
( )
=
Version 2 dagegen ergibt
( )
1
2
1
20 1
0
0E B
B
B~ ( )
( )
( )= ,
was eine Uebereinstimmung von
( )
1
2
1
20 1
0
1E BE
B~( )
~ ( )=
,
erfordern würde, was aber aufgrund der Jensen’schen Ungleichung nicht sein kann.
Es gilt nämlich Ex E x
1 1
>( )
.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 59
Aufgabe: Bestimmen Sie die Abweichung!
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 60
b) Liquiditätsprämientheorie (Hicks, Keynes)
Die unterschiedlichen Fristenpräferenzen der beiden Marktseiten erklären die Existenz der beobachteten Terminprämie. Typischerweise bestehen folgende Präferenzen: Emittent: Präferenz für langfristiges Kapital Anleger: Präferenz für kurzfristige Anlage Der Mismatch wird beseitigt durch die Zahlung einer positiven Terminprämie für langfristige Anlagen, die die Anleger für ihre reduzierte Liquidität entschädigt.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 61
c) Marktsegmentationstheorie (Modigliani, Brumberg) Kritik an der Liquiditätsprämientheorie: Fristenpräferenzen können grundsätzlich
beliebig sein, Terminprämie ist aber praktisch immer positiv.
Die Terminprämie entsteht, weil kurz- und langfristige Wertpapiere nicht ohne weiteres substituierbar sind. Da die Arbitrage zwischen den Teilmärkten somit eingeschränkt ist, bilden sich die Zinssätze in den einzelnen Segmenten nahezu isoliert. Diese Marktsegmentierung ist institutionell bedingt.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 62
d) Risikotheorie
Die Terminprämie wird als Entschädigung für die Risiken interpretiert, die mit längerfristigen Geldanlagen verbunden sind. Relevant sind insbesondere zwei Aspekte: • Zinsänderungsrisiko
Langfristige Anlagen reagieren wesentlich stärker auf Schwankungen der Zinssätze als kurzfristige (-> Bewertungsrisiko). Risikoaverse Akteure verlangen für dieses zusätzliche Risiko eine sogenannte Risikoprämie in
Form einer höheren erwarteten Rendite.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 63
• Inflationsrisiko
Durch die Roll-over-Strategie können die unerwarteten Veränderungen der Inlationsrate in der Anlagestrategie berücksichtigt werden, so dass die reale Wertentwicklung des Vermögens stabiler ausfällt. Für die Roll-over-Strategie gilt: Var(WT
real) < Var(WTnom)
Bei einer langfristigen Anlage fällt die Varianz des realen Endperiodenvermögens grösser aus, was wiederum durch eine Risikoprämie in Form einer höheren erwarteten Rendite (Terminprämie) entschädigt wird.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 64
3.2 Zinsterminkontrakte
a) Forward Rate Agreement (FRA) • Terminkontrakt, in dem zwei Parteien den auf einer zukünftigen Anlage mit
einer bestimmten Laufzeit zu bezahlenden Zinssatz fixieren.
• Liegt der Zins am Verfalltag über dem abgemachten Satz, bezahlt der Verkäufer den Käufer. Liegt der Zins unter dem abgemachten Satz, schuldet der Käufer dem Verkäufer die Ausgleichszahlung. Dabei kommt es zum Ausgleich von Barwerten.
( )S
P L R D
B L D
B
=× − ×
××
+×
×100
1
1100
S: Ausgleichszahlung P: Nominalbetrag L: LIBOR-Satz am Verfalltag für die bestimmte Laufzeit R: fixierter Zinssatz B: Day Count Convention (USD und andere Währungen 360, £ 365 Tage) D: Laufzeit in Tagen
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 65
b) Variationen des FRA
• Zinsfuture
• Forward/forward deposit
entspricht dem FRA, ausser dass es zum Austausch der Nominalbeträge kommt
• Forward Spread Agreement
Absicherung des Spreads zwischen Zinssätzen ähnlicher Laufzeit in unterschiedlichen Währungen
• Long Dated FRA
FRA mit einer untypisch langen Laufzeit
• Serial FRA (Strip FRA)
entspricht einem Swap
• Interest Rate Guarantee (IRG)
Option auf ein FRA Quelle: Coopers & Lybrand, The financial jungle.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 66
c) Weitere derivative Zinsinstrumente
• Cap • Floor • Collar (long Cap & short Floor) • Corridor (long Cap & short Cap ë Bullish Price Spread) • Swaps • Swaptions • Captions • Floortions
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 67
3.3 Pricing von Swaps Pricing eines Swaps bei Eröffnung ë Bestimmung des fixen Swapsatzes auf die jeweilige Laufzeit Pricing von Swaps während der Laufzeit ë Bestimmung des Barwertes des Swaps im jeweiligen Zeitpunkt
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 68
a) Begriffliches • Ein Swap stellt ein Portfolio aus zukünftigen fixen Zahlungsströmen (FIX
Part) und zukünftigen variablen Zahlungsströmen (FLOAT Part) dar. • Der Eigentümer eines Receiver Swap erhält FIX und zahlt FLOAT
• Der Eigentümer eines Payer Swaps erhält FLOAT und zahlt FIX
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 69
b) Bewertung eines Swaps bei Eröffnung ëBei Eröffnung gilt PV(FIX)=PV(FLOAT) 1. Schritt: Bestimmung des PV(FLOAT) ëzukünftige unsichere FLOAT Zahlungen entsprechen den Forward-Sätzen Aktuelle Spot Rate Curve1)
1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Spot Rate
4.499% 4.963% 5.426% 5.609% 5.727%
1) Das Zahlenbeispiel unterstellt sowohl für den FLOAT Part wie auch für den FIX Part jährliche
Zahlungsströme. Zudem werden auch die für die Spot Rates bzw. für den FLOAT und FIX Part unterschiedlichen Day Count Conventions nicht berücksichtigt.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 70
Die Zahlen beruhen auf genau gerechneten Werten. Beim Nachvollzug können daher Abweichungen im Rundungsbereich auftreten.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 71
Berechnung der impliziten Terminsätze
( )( )
fr
rt t
tt
tt0 1
111
1; , +
++
=+
+
1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Forward Rate
- 5.428% 6.358% 6.160 6.200%
Berechnung der Abdiskontierungsfaktoren
( )d
rt
tt
=+
1
1
1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Abdisk.-fakt.
0.957 0.908 0.853 0.804 0.757
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 72
Berechnung des Barwertes
( )PV FLOAT
r
rf dt t t
t
T
( ) ; ,=+
+ ⋅+=∑1
1
0 121
Für einen Nominalwert von 50 Mio.: 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Relevanter Zinssatz
4.499% 5.428% 6.358% 6.160 6.200%
Cashflow 2’249’819 2’714’025 3’179’068 3’079’954 3’100’159 Abdisk.-faktoren
0.957 0.908 0.853 0.804 0.757
Barwerte 2’152’937 2’463’437 2’713’042 2’475’942 2’346’683 TOTAL
12’152’043
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 73
2. Schritt: Barwert des FIX Part
PV FIX R d t
t
T
( ) ==∑
1
3. Schritt: Gesucht ist jener fixe Swapsatz R, für den gilt PV(FIX) = PV(FLOAT)
R PV FLOAT d t
t
T
= = ==∑( )
' '
' '/ . .
1
12 152 043
50 000 0004 279 5 68%
1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre 5J-Swapsatz 5.680% 5.680% 5.680% 5.680% 5.680% Cashflow 2'840'000 2'840'000 2'840'000 2'840'000 2'840'000 Abdisk.-faktoren
0.957 0.908 0.853 0.804 0.757
Barwerte 2’717’721 2’577’797 2’423’695 2’283’061 2’149’768 TOTAL
12’152’043
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 74
Für Swaps sämtlicher anderer Laufzeiten (2J, 3J, 4J) kann nun ebenfalls der fixe Swapsatz bestimmt werden. Beispiel: Berechnen Sie den 3J-Swapsatz:
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 75
Zusammenhang zwischen der Fristenstruktur der Spot Rates und der Fristenstruktur der Swap Sätze Zinssatzkurve Swap-Struktur (Spot Rates) (Swap Rates) 4.499
4.963
5.426
5.609
5.727 5.680
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 76
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 77
c) Zinsstruktur und Preisbildung von Swaps Gegeben die Spot-Rate Curve (Zinsstruktur): { }0 1 0 2 0 3r r r, , . . .,
Implizite Termin-Zinssätze:
( )( )
fr
r0 1 20 2
2
0 1
1
11; =
+
+−
( )( )
fr
r0 2 3
0 33
0 22
1
11; =
+
+−
etc.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 78
Erwartungstheorie der Zinsstruktur: ( )E r f0 1 2 0 1 2= ; ( )E r f0 2 3 0 2 3= ; etc. Erwartete Spot Rates entsprechen den erwarteten FLOAT-Zahlungen des Swaps.
Deren Barwert ist gegeben durch:
( ) ( )
( )( )
( )PV FLOAT
r
r
f
r
f
r( ) . . .
; ;=+
++
++
+0 1
0 1
0 1 2
0 2
2
0 2 3
0 3
31 1 1
Die Nennwerte des FIX- und FLOAT-Part können vernachlässigt werden (sie heben sich
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 79
gegenseitig auf).
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 80
Damit der Barwert des Swaps = 0 ist, muss gelten:
( ) ( )( )PV FLOAT PV FIX R
r rR d d( ) ( ) . . . .. .= =
++
++
= + +
1
1
1
10 1 0 2
2 1 2
R ist die feste Zahlung (d.h. der FIX Part) des Swaps, genannt „Swapsatz“; er berechnet sich als:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )R
PV FLOAT
d d
r d f d f d
d d d
( )
( . . . )
. . .
. . .
; ;
1 2
0 1 1 0 1 2 2 0 2 3 3
1 2 3+ +=
+ + +
+ + +
Konkret für einen T-Perioden Swap:
( ) ( ) ( ) ( )
( )R
r d f d
dT
T T TT
T
TT
T=
+ −=
=
∑∑
0 1 1 0 12
1
; ,
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 81
Institutionelle Besonderheit für SFR-Swaps: Der 1-jahres LIMEAN-Satz (0r1) wird mit ACT/360 verzinst (sog. Geldmarktkonvention), während der SWIMEAN (R1) mit
30/360 (Bondmarktkonvention) verzinst wird. D.h.:
( ) ( )0 1 1
365
360r R=
Konkret: Die erste FLOAT-Zahlung erfolgt aufgrund von R1, aber die Abdiskontierung des
1-Jahres-Cash Flows erfolgt mit d1 = 1/ (1+0r1).
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 82
Umgekehrte Fragestellung: Wie ermittelt man die Zinsstruktur (= Spot Rate Curve) aufgrund der Fristenstruktur der Swap-Sätze? Swap Rate Curve: { }R R R1 2 3, , , . . . Für T=1: ( )R r1 0 1= (respektive mit der Anpassung für die unterschiedlichen Day-Count-Konventionen)
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 83
Für T=2:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Rr d f d
d d
R d d R dr
rd
2
0 1 1 0 1 2 2
1 2
2 1 2 1 10 2
2
0 1
2
1
11
=+
+
+ = ++
+−
;
dabei beachte man:
( )
( )
1
1
1
11
1
0 2
2
0 1
0 1
0 2
2
1
2
+
+=
+
+
=r
r
r
r
d
d
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 84
und oben eingesetzt:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R d d R dd
dd R d d d2 1 2 1 1
1
22 1 1 2 11+ = + −
= − + ( )
Ferner beachte man, dass
( ) ( ) ( ) ( )R d d
r
r r1 1 1
0 1
0 1 0 11
1
11+ =
++
+=
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 85
Somit folgt für d2:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
R d R d R d d d
d R R d
dR d
R
2 1 2 2 1 1 1 2
2 2 2 1
22 1
2
1 1
1
1
+ = + −
+ = −
⇒ =−
+
Es folgt für den Zinssatz 0r2:
( )
dr
dr
rd
20 2
2
20 2
0 22
1
1
1
1
11
=+
=+
⇒ = −
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 86
Für T=3:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
R d d d R dd
dd
d
dd
R d d d d d R d d d d
3 1 2 3 1 11
2
22
3
3
1 1 1 2 2 3 1 1 1 3 3
1 1
1
+ + = + −
+ −
= + − + − = + − = −
Nach d3 aufgelöst:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
R d d R d d
dR d d
R
3 3 3 3 1 2
3
3 1 2
3
1
1
1
+ = − +
⇒ =− +
+
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 87
Dies entspricht dem Zinssatz 0r3:
( ) ( ) ( )0 3
3
3
3 1 2
11
1
113 3r
d
R
R d d= − =
+− +
−
Allgemein für den T-Perioden Zinssatz:
( )0
11
1
11r
R
R dT
T
T TTT
T=+
−−
=−∑
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 88
Zahlenbeispiel für die rekursive Berechnung der Spot Rates aus den Swap Rates Aktuelle Swap Rate Curve 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Swap Rate 4.499% 4.952% 5.393% 5.568% 5.680% Berechnung der „Abdiskontierungsfaktoren“
( )
dR d
RT
T t
T
T
=−
+
−
∑1
11
1
1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre dt 0.957 0.908 0.853 0.804 0.757
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 89
Berechnung der Spot Rates
0
11r
dTT
T
= −
1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre
0r t 4.499% 4.963% 5.426% 5.609% 5.727 ë Diese Spot Rates entsprechen exakt der Zinssatzkurve von der zu Beginn des
Swap Pricing ausgegangen wurde!
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 90
d) Ein vereinfachter Ansatz zur Bestimmung des Swapsatzes
Ein Swap ist von der Cash-Flow-Struktur her nichts anderes als ein variabel fremdfinanzierter k-Perioden Par-Bond mit einem Coupon von ik, dessen Barwert ex definitione 100 % ist:
PV fix
Investition inBond
i
Fd
i
Fd
i
Fd d PV float
Finanzieru ng des Bonds
k k kk k( ) . . . ( )
123 1 24 34= + + + + = =1 2 1 1
wobei di Diskontfaktor für die Periode i F Zahlungsfrequenz (1, 2, 4 ... mal jährlich)
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 91
Die gleichbleibenden, regelmässigen Zahlungen ik sind somit aber nichts anderes als die fixe Seite eines Swaps! Aufgelöst nach ik ergibt sich somit der k-Perioden Swapsatz sehr einfach als
i FIXdd
F
kk
j
j
k= =
−
=∑
1
1
Will man hingegen aus dem k-Perioden Swapsatz den k-Perioden-Dsikontfaktor respektive den entsprechenden Zinssatz ermitteln, so berechnet sich dieser als
d
id
Fi
F
k
k
j
j
k
k
=−
+
=
−
∑1
1
1
1
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 92
Es lässt sich zudem zeigen, dass ein Swapsatz nichts anderes als der gewichtete arithmetische Durchschnitt der entsprechenden forward-rates ist. Forward-rates berechnen sich aus den Diskontfaktoren wie folgt:
( )( )
fR
RF
d
dFk k
kk
kk
k
k0 1
0
0 11
11
11 1; ( ),−
−−
−=+
+−
× = −
×
Nach d1, d2, d3, ... dk aufgelöst und in die Formel zur Bestimmung des Swap-Satzes eingesetzt, ergibt sich
i FIX1 d
d
F
f d
d
F
kk
j
j 1
k
0; (j 1), j jj 1
k
j
j 1
k= =
−=
×
=
−=
=∑
∑
∑
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 93
Aufgabe Zeigen Sie die Herleitung dieser Formel!
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 94
Beispiel Das Swap-Beispiel aus Abschnitt 3.3 a) rechnet sich ausgehend von der soeben hergeleiteten Formel wie folgt: 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre Spot Rate
4.499% 4.963% 5.426% 5.609% 5.727%
FIX1 d
d
F
5
j
j 1
5=
−=
−
+ + + +=
=
+
+ + + + +∑
1 1
1 0 0 5 7 2 7
1
1 0 0 4 4 9 9
1
1 0 0 4 9 6 3
1
1 0 0 5 4 2 6
1
1 0 0 5 6 0 9
1
1 0 0 5 7 2 7
5
1 2 3 4 5
( . )
( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )
5.68 %
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 95
e) Bewertung eines Swaps nach Eröffnung
PV(SWAP)=PV(LONG) – PV(SHORT)
Receiver Swap Payer Swap
FIX Part LONG SHORT
FLOAT Part SHORT LONG
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 96
Bewertung eines 7%-Receiver-Swaps mit 4-jähriger Restlaufzeit Ausgangsdaten Aktuelle Spot Rate Curve 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre Spot Rate 4.499% 4.963% 5.426% 5.609% Aktuelle Abdiskontierungssätze 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre Abdiskont.- sätze
0.957 0.908 0.853 0.804
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 97
Forward Rates 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre Forward Rate - 5.428% 6.358% 6.160 1. Schritt: Bewertung des PV(FIX) 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre Fixer Swapsatz
7% 7% 7% 7%
Cashflow 3’500’000 3’500’000 3’500’000 3’500’000 Abdisk.-faktoren
0.957 0.908 0.853 0.804
Barwerte 3’349’282 3’176’842 2’968’929 2’813’613 TOTAL
12’326’665
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 98
2. Schritt: Bewertung des PV(FLOAT) 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre Relevanter Zinssatz
4.499% 5.428% 6.358% 6.160
Cashflow 2’249’819 2’714’025 3’179’068 3’079’954 Abdisk.-faktoren
0.957 0.908 0.853 0.804
Barwerte 2’152’937 2’463’437 2’713’042 2’475’942 TOTAL
9’805’359
3. Schritt: Berechnung des PV(SWAP) PV(SWAP) = PV(LONG) - PV(SHORT)= PV(FIX) - PV(FLOAT) = 12’326’665 - 9’805’359 = 2’521’306
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 99
3.4 Dynamik der Zinsstruktur Beschreibung der Zinsstruktur bzw. deren Veränderungen (1987-1992, 1M-Eurosatz bis 10J-Swapsatz)
(Material fehlt!!)
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 100
Kurze vs lange Zinssätze (1987-1992, 1M-Eurosatz bis 10J-Swapsatz)
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 101
Erklärungsanteil der Faktoren an den Veränderungen der Key Rates - im CHF Quelle: Bühler/Zimmermann [1994]
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 102
Methodisches Vorgehen der Faktoranalyse von Zinsstrukturänderungen
• Zweck der Faktoranalyse: Beschreibung typischer Grundmuster von Zinsänderungen aufgrund spezifischer, voneinander unabhängiger Faktoren
• „Gleichbehandlung“ der Zinssätze aller Laufzeiten erfordert ein anderes
methodisches Vorgehen als bei der traditionellen Faktoranalyse: Faktoranalyse aufgrund standardisierter Zinsänderungen (Die Faktoren haben
eine Volatilität von 1) • Identifikation der Faktoren ist von der Zusammensetzung der gewählten
Zinssätze abhängig: 5 kurze und 6 lange Zinssätze • Interpretation: die Faktorsensitivitäten zeigen, in welchem Umfang der
spezifische Faktor die Zinssätze über die Zinsstruktur mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 bewegt.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 103
Einfluss der Faktoren auf die Zinsstruktur - im US-Dollar Quelle: Littermann/Scheinkman [1991]
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 104
Einfluss der Faktoren auf die Zinsstruktur - im CHF Quelle: Bühler/Zimmermann [1994]
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 105
4. Einfache Zinsänderungsrisiken 4.1 Duration, Bond-Volatilität, Konvexität 4.2 Hedging und Immunisierung 4.3 Zinsswaps 4.4 Asset- & Liability-Management
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 106
4.1 Duration, Bond-Volatilität, Konvexität
a) Herleitung bei stetigen Cashflows
PV B B C t) e d trtT
( ) (= = −∫0
⇒ = −∫ −∂∂
B
rC t) t) e dt
Trt( (
0
⇒ = −× ×
= −−
∫∂∂
B
r B
C t) t e
Bdt D
r tT1
0
(
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 107
Bestimmung der Bond-Volatilität
∂∂
B
r B
1= - D
⇒ = − ⇒ ≈ −∂
∂B
BD r
B
BD r
∆∆
( )⇒
≈σ σ∆
∆B
BD r
Bond-Volatilität ≈ Duration x Zinsvolatilität
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 108
b) Herleitung bei diskreten Cashflows
PV B BC t)
R tt
T
( )(
( )= =
+=∑
11
⇒ =− ×
+=+∑
∂∂
B
R
t C t
Rt
T
t1
11
( ) ( )
( )
⇒ =× × +
×−+
−
=
≡ −
∑∂∂
B
R B
C t) t R
B R
t
t
T
D Macau lay Durat ion
i f iedDurat ion
1 1 1
11
( ( )
( )( )
m o d
1 24444 344441 2444444 3444444
⇒ = −+
⇒ ≈ −+
∂ ∂B
BD
R
R
B
BD
R
R1 1
∆ ∆
⇒
≈ −+
σ σ
∆ ∆B
BD
R
R1
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 109
l n ( B )
B 0
RR 0 R 1
B 1
Feh le r durch l i neareApprox ima t ion
M i t d e r D u r a t i o n w i r d d i e V e r ä n d e r u n g d e s B o n d p r e i s e sl inear a p p r o x i m i e r t
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 110
Bsp.: 3 Obligationen mit identischer Laufzeit (5 Jahre) aber unterschiedlichen Couponsätzen
Zerobond 10 %-Cp.-Bond 20 %-Cp.-Bond Duration 5 4.253 3.899 modified Duration - 4.762 -4.05 - 3.713 B bei 5 % Marktzins 78.35 121.65 164.94 B bei 5.01 % 78.32 121.60 164.88 ∆ - 0.0373 - 0.0493 - 0.0612 % Veränderung -0.047 % > - 0.041% > - 0.037 %
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 111
c) Konvexität
Ct t CF t R
Bt
Tt
=+ +
=
−∑1
1 1( ) ( ) ( )
Bondpreisveränderungen lassen sich damit genauer approximieren (Grundlage: Taylor-Expansion):
∆ ∆ ∆B
BD
R
RC
R
R≈ −
++
+
1
1
2 1
2
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 112
Bsp.: 5 % Couponbond, 4 Jahre Restlaufzeit,
Zinsstruktur 0R1 4 % 0R2 4,5 % 0R3 5 %
0R4 5,5 %
B = + + + =5
104
5
1045
5
105
105
10552 3 4. . . .98.4632
D =×
+×
× +×
× +×
×
=
− − − −5 104
98 46
5 1045
98 462
5 105
98 463
105 1055
98 464
1 2 3 4.
.
.
.
.
.
.
.
3.71665
y = ≈+
−
×
+5 44
5100 98 4632
42
100 98 4632. %
.
.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 113
mod. ..
Duration = × −+
= −3 7161
1 0 05437793.525
C =× ×
+× ×
+× ×
+× ×
=
− − −
−
2 5 104
98 4632
6 5 1045
98 4632
12 5 105
98 4632
20 105 1055
98 4632
1 2 3
4
( . )
.
( . )
.
( . )
.
( . )
.18.11918
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 114
Auswirkung einer einprozentigen, parallelen Zinssatzsteigerung?
• Berechnung mittels Abdiskontierung:
∆ B = − 3.3921
• Approximation via Duration:
( )∆ ∆B B D R≈ = × − × = −mod . ( . . )98 4632 3 525 0 01 3.4708278
• Unter Berücksichtigung der Konvexität:
∆ B ≈ × − ×
++ × ×
+
= −
98 4632 3 7160 01
1 0 0544
1
218 119
0 01
1 0 0544
2
. ..
..
.
.
3.38428
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 115
d) Duration eines Portfolios
Dw
WDP
i
i
n
i=
×=∑
1
Bsp.: Portfolios aus verschiedenen Bonds mit fünf Jahren Restlaufzeit
10 % Cp. 5 % Cp. Zerobond Portfolio Gewichte 0.1 0.6 0.3 1 mod. Duration - 3.84100592 -4.3029795 - 4.97219241 -4.45754602 PV bei 5 % 121.647383 100 78.3526166 95.670523 PV bei 5.01 % 121.598118 99.9567172 78.3253165 95.628437 ∆ - 0.0420862 Approximation via Portfolio Duration
- 0.0445754
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 116
4.2 Hedging und Immunisierung
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 117
a) Duration Window/Immunisierungshorizont Entwicklung des Marktwertes eines stetig verzinsten Portfolios unter Berücksichtigung von Zinsänderungen
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 118
Wo liegt der Planungshorizont K? • Für t < K
∂
∂B r
rt ( )
< 0
• Für t > K
∂
∂B r
rt ( )
> 0
• Für t = K
∂
∂B r
rt ( )
= 0
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 119
Mathematische Herleitung
( ) ( )
( )
( )
( )
B r B r e
Mit
B r C t)e d t
erhält man
B r C t)e d t e
C t)e d t
K OrK
O
Trt
K
Trt rK
Tr K t
=
=
= ⋅
=
∫
∫
∫
−
−
−
(
(
(
0
0
0
Bedingung für Minimum
( )∂∂
B r
rOK =
( )∂∂
2
2
B r
rOK >
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 120
1. Ableitung
∂
∂B r
rC t)(K t)e dt
C t)( t)e dt C t)(K e dt
Ke C t)( t)e dt
e C t)e dt
K Duration
K r K tT
r K tT
r K tT
rK rtT
rK rtT
( )(
( ( )
(
(
( )
( ) ( )
= − =
+ =
=+
⇒ =
−
− −
−
−
∫
∫ ∫
∫
∫
0
0 0
0
0
0
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 121
2. Ableitung
( ) ( ) ( )∂∂B r
rC t) K t e dt
O O O
KT
r K t
20
2= −
↓ ↓ ↓> > >
∫ −( *
( )
⇒ >∂
∂
B r
rOK
2
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 122
Zahlenbeispiel (I) • 5%-Coupon-Bond • 5 Jahre Restlaufzeit • Aktuelles Zinsniveau 5% • Zinsschocks ± 1% • Bond-Duration bei 5% = 4.55 Entwicklung des Marktwertes inkl. reinvestierter Coupons
Restlauf-
zeit(Jahre)
5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
6% 95.79 98.62 106.53 109.68 117.93 121.41 130.00 133.85 142.80 147.02 156.37
5% 100.00 102.47 110.00 112.72 120.50 123.48 131.53 134.77 143.10 146.64 155.26
4% 104.45 106.52 113.63 115.88 123.18 125.61 133.10 135.74 143.43 146.27 154.16
(stetige Verzinsung)
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 123
Zahlenbeispiel (II) (Quelle: Bierwag)
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 124
b) Steuerung der Zinsrisikoexposure durch den Einsatz derivativer
Instrumente
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 125
Umfang des Hedge
Problemstellung: Target-Duration DH* des gesamten Portfolios (inkl. Futures-Kontrakte) soll frei
gewählt werden können Definition: Marktwert der Hedge-Position H = H(i) Marktwert der Basisanlage V = V(i) Marktwert des Hedge Instrumentes F = F(r) d i d r Basisrisiko≠ ⇔
dH
di
dV
dih
dF
dr
dr
di= +
dH
diD H
iH= − ⋅ ⋅+1
1
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 126
D Hi
D Vi
h D Fr
dr
diH V F⋅ ⋅+
= ⋅ ⋅+
+ ⋅ ⋅+
1
1
1
1
1
1
Bei Verwendung von Futures gilt:
V = H
( )D D h D
r
F
V
dr
diiH V F= + ⋅
++
1
11
{
hD D
D
Hedge Ratio
V
FSkalierungsfaktor
d r
d i
i
rH V
F
* ;( )
( )=
−
−
⋅ ⋅
−
≡++
1 24 34
ε ε1
1
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 127
Konvexität des Hedge
→ → Hedge - Instrumente sollten im Interesse einer konvexen Absicherung eine tiefe
Konvexität aufweisen
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 128
Qualität des Hedge
( )σ 2 0∆H = falls ( )ρ ∆ ∆~,
~V F = 1
In allen anderen Fällen gibt es ein nicht hedgebares Restrisiko im Umfang von:
( ) ( )σ ρ∆ ∆ ∆V V F12
− ~, ~
Zahlenbeispiel: Für ρ = 0 95. erhält man ein Restrisiko im Umfang von 31% von ( )σ ∆V
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 129
Zahlenbeispiel zur Absicherung mit Bond-Futures Marktwert des Portfolios 40 Mio. CHF Duration des Portfolios 8.55 Kurs des Futures 112.90% Nominalwert des CTD-Bonds 100’000 CHF Duration des CTD-Bonds 6.54 Annahme ε =1/ Umrechnungsfaktor =1 Ziel Reduktion der Portfolioduration auf 2 Anzahl Futures-Kontrakte h:
hD D
D
V
FKontrakteH V
F
=−
⋅ =−
⋅⋅
= − ⋅ = − ≈2 8 55
6 54
40 000 000
112 90% 100 00010015 354 296 354 8 355
.
.
' '
. '. . .
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 130
4.3 Zinsswaps a) Definitionen • Receiver Swap Wir erhalten FIX und zahlen FLOAT • Payer Swap Wir erhalten FLOAT und zahlen FIX
Zinssätze fallen
Zinssätze steigen
Receiver Swap
Gewinn
Verlust
Payer Swap
Verlust
Gewinn
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 131
b) Bestimmung der Duration bzw. der Volatilität des Swaps Swap 5 Jahre, Receiver, jährliche Cashflows, nominal 50 Mio., Swapsatz 5.72% Barwert des FIX Part = Barwert des FLOAT Part = 12'182'319 Mio. (auch übrige Daten gemäss Abschnitt 3.2.) Problemstellung
Duration eines Swaps ist über die klassische Methode nicht bestimmbar (Barwert = 0) Vorgehen gemäss Planta [1989], Dissertation Hochschule St. Gallen Definitionen
relative Volatilitä t
dPP
dy
D
y≡ =
−+1
absolute Volatilität dP
D
yP dy≡ =
−+
⋅ ⋅1
( )
S dardabweichung dP
D
yP dytan ( ) ( )≡ ≡
+⋅ ⋅σ σ
1
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 132
Volatilität des FIX Part
Duration FIX
Mio Mio
Mio( )
. .
.
. .
.. .
.=× +…+ ×
=1
2 840
10455
2 840
1057312 152
2 885
absolute Volatilitä t FIX
D FIX
yP FIX y Mio y( )
( )( ) ( )
.
.. .( )=
−+
⋅ ⋅ =−
⋅ ⋅ ∆1
2 88
10511512 152∆
mit
y =+4 5% 5 73%
2
. .
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 133
Volatilität des FLOAT Part
absolute Volatilität FLOATD FLOAT
yPV FLOAT y
Duration Zero
yPV Zero y
Mio y
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
.. . ( )
=+
⋅ ⋅
=+
⋅ ⋅ ∆
= ⋅ ⋅ ∆
1
1
5
10511537 848
∆
mit
y =
+4 5% 5 73%
2
. .
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 134
Absolute Volatilität des Receiver Swap
Absolute Volatilitä t ceiver Swap abs Volatilitä t FIX abs Volatilitä t FLOAT
Mio y Mio y Mio y
(Re ) . ( ) . ( )
. . ( ) . . ( ) . . ( )
= −
= − ⋅ ∆ − × ∆ = − ⋅ ∆33 322 180 033 213 555
Dies entspricht einer absoluten Volatilität von -4.271 (=-213.555/50) pro Geldeinheit Nominalwert
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 135
4.4 Nicht-parallele Zinsstrukturveränderungen: Key Rate Duration a) Die Ausgangssituation
Szenario (a) Wie verändern sich die beiden Portfoliowerte, wenn die Key Rate 1 um 1%
steigt, die Key Rate 2 unverändert bleibt und die Key Rate 3 um 1% sinkt? Szenario (b) Wie verändern sich die beiden Portfoliowerte, wenn die Key Rate 1 um 1%
sinkt, die Key Rate 2 unverändert bleibt und die Key Rate 3 um 1% steigt?
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 136
Das Problem
Implikationen?
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 137
b) Das Konzept der Key Rate Durations Bewertung einer Anlage aufgrund der herrschenden Zinsstruktur = PV(0)
Bewertung einer Anlage aufgrund der in Bezug auf einen Zinssatz veränderten
Zinsstruktur = PV(1)
ë Key Rate Duration = PV PV
PV
( ) ( )
( )
1 0
0
−
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 138
Effective Duration vs Key Rate Duration Einfaktor-Fristenstrukturansatz der Duration
( )( )Absolute Volatilitä t
Duration
YieldBarwert y=
+
−1
∆
Mehrfaktoransatz der Key Rate Durations
( ) ( ) ( ) ( )Absolute Volatilitä t BarwertDuration
Yieldy
Duration
Yieldy
Duration
Yieldy=
+
− +
+
− +
+
−
1
11
2
22
3
331 1 1
∆ ∆ ∆
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 139
Für ∆ ∆ ∆ ∆y y y y= = =1 2 3 gilt
( ) ( )Absolute Volatilitä t BarwertDuration
Yield
Duration
Yield
Duration
Yieldy=
+
+
+
+
+
−1
1
2
2
3
31 1 1∆
Wenn sich auch die einzelnen Yields entsprechen, reduziert sich obige Gleichung auf den bekannten Fall der Macaulay-Duration.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 140
c) Management komplexer Zinsstrukturrisiken
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 141
1. Schritt: Modellierung der Dynamik der Zinsstruktur • Die gesamte Zinsstruktur wird mittels geeigneter Zinssätze - sogenannter Key
Rates - beschrieben
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 142
2. Schritt: Bestimmung der Sensitivität des Marktwertes gegenüber Veränderungen der einzelnen Key Rates
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 143
3. Schritt: Bestimmung des Zinsänderungsrisikos
Marktwertveränderung in % = (Key Rate Veränderung) x (Key Rate Duration)
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 144
Zahlenbeispiel (I): Anwendung der Faktoranalyse auf Zinsänderungen im Schweizer Franken (Wochendaten)
Key Rates
1 M 2 M 3 M 6 M 12 M 2 J 3 J 4 J 5 J 7 J 10 J
Faktor 1 0.21 0.18 0.18 0.16 0.15 0.14 0.12 0.11 0.11 0.09 0.09
Faktor 2 -0.18 -0.15 -0.11 -0.08 -0.06 0.03 0.04 0.05 0.05 0.04 0.04
Faktor 3 0.09 0.01 0.00 -0.04 -0.04 -0.02 0.00 0.00 0.00 0.01 0.01 Quelle: Bühler/Zimmermann [1994]
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 145
5. Arbitragemodell der Zinsstruktur
Grundlage: Zimmermann (1991), Binomial Pricing of Interest Contingent Assets, Zeitschrift für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 111, pp. 577-593
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 146
arbitragefreieFristenstruktur
Stochastik derZinsbewegung
(spot rates)
Bestimmungsfaktoren arbitragefreie Veränderungder Fristenstruktur
konsistentes Bewertungsmodell fürdie arbitragefreie Bewertung aller zins-
abhängiger Finanzanlagen
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 147
a) Binominaler Prozess der short rate
0 R 1
1 R 22
1 R 21
2 R 31
2 R 32
2 R 33
1. Per iode 2. Per iode 3. Per iode
p
1 - p
tRt+1 Zinssatz in der Perioden zwischen t und t + 1
p Wahrscheinlichkeit einer Zinssatzreduktion
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 148
b) Bewertung von Discount Bonds
B0(3)
B11(3)
B12(3)
B23(3)
B22(3)
B21(3)
1. Periode 2. Periode 3. Periode
p
1 - p
F
F
F
F
R1 2 33+
F
R1 2 32+
F
R1 2 31+
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 149
c) Relative Bewertung von Bonds: Duplikation
3-Perioden-Bond wird durch 1- und 2-Perioden-Obligationen repliziert:
n B m B B
n B m B B
11
11
11
12
12
12
2 1 3
2 1 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ =
+ =
⇒ =−−
⇒ =× − ×
−
nB B
B B
mB B B B
B B
*
*
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
12
11
12
11
12
11
11
12
12
11
3 3
2 2
2 3 2 3
2 2
Für den ersten Zinssprung lässt sich der 3-Perioden-Bond somit replizieren durch
n* Einheiten des Zweiperiodenbonds und m* Einheiten des Einperiodenbonds. Daraus folgt der heutige arbitragefreie Bondpreis mit B n B m B0 0 03 2 1( ) ( ) ( )* *= × + ×
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 150
d) Grundlegende Bewertungsgleichung der erwarteten Bond-Renditen
Erwarteter Wert des 2-Perioden-Bonds: E B p B p B0 1 1
2112 2 1 2( ( )) ( ) ( ) ( )= + −
Erwarteter Wert des 3-Perioden-Bonds: E B n E B m0 1 0 13 2 1( ( )) ( ( ))* *= × + ×
mB B B B
B B* ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )=
× − ×−
12
11
11
12
12
11
2 3 2 3
2 2
nB B
B B* ( ) ( )
( ) ( )=
−−
12
11
12
11
3 3
2 2
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 151
nach Ersetzung von B0(1) durch 1/(1+0R1)
⇒
− +
−=
− +
−=
EB
BR
B B
B
EB
BR
B B
B
01
0
0 1
12
11
0
01
0
0 1
12
11
0
2
21
2 2
2
3
31
3 3
3
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
λ
Interpretation?
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 152
e) Das binominale Bond-Bewertungsmodell Marktpreis des Risikos als beobachtbare Variable:
( )λ =
− +
−
=+ − − +
−
E B B R
B B
p B p B B R
B B
0 1 0 0 1
12
11
12
11
0 0 1
12
11
3 3 1
3 3
3 1 3 3 1
3 3
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
⇒ =− + − −
+B
p B p B
R012
11
0 1
33 1 3
1( )
( ) ( ) ( ( )) ( )λ λ
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 153
Arbitragebeispiel:
Gegeben ist folgender binominaler Prozess der kurzfristigen Zinssätze sowie der Marktpreis des Risikos von 10%. Die relevanten Wahrscheinlichkeiten betragen je 0.5.
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 154
5 %
4.5 %
6 %
7 %
5.5 %
4 %
1. Periode 2. Periode 3. Periode
0.5
0.5
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 155
Der Preis eines 3-Perioden-Bonds enwickelt sich somit folgendermassen
0.8542
0.9345
0.9478
0.9615
1. Periode 2. Periode 3. Periode
0.5
0.5
1
1
1
1
1 0 0 7+ .
1
1 0 0 5 5+ .
1
1 0 0 4+ .
0.9123
0.8867
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 156
Entsprechend berechnet man den Preis des 2 -Perioden-Bonds
0.9036
0.9569
0.9434
1. Periode 2. Periode
0.5
0.5
1
1
1
1 0 045+ .
1
1 0 06+ .
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 157
Der Wert des 1 -Perioden-Bonds berechnet sich einfach als
B( ).
.11
1050 9524= =
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 158
f) Arbitragebeispiel
Angenommen, der Marktpreis des 2-Perioden-Bonds beträgt 0.92; durch welche Arbitragestrategie lässt sich dies ausnutzen? Schritt 1:Bestimmung der Parameter
nB B
B B
mB B B B
B B
*
*
( ) ( )
( ) ( )
. .
. ..
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
. . . .
. ..
=−−
=−−
=
=× − ×
−
=× − ×
−= −
12
11
12
11
12
11
11
12
12
11
3 3
2 2
0 9123 0 8867
0 9569 0 94341889677
2 3 2 3
2 2
0 9569 0 8867 0 9434 0 912
0 9567 0 94340 896
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 159
Ein Test zeigt, dass diese Parameter tatsächlich zum vorher berechneten Wert des 2 -Perioden-Bonds führen
Bn
Bm
nB0 0 02
13 1
0 52919 0 854218 0 4741 0 95238 0 9036
( )*
( )*
*( )
. . ( . ) . .
= −
= × − − × =
Schritt 2: Arbitrageportfolio Arbitrageportfolio Payoff
heute Payoff in 1 Perioden
1R2 = 4.5 % 1R2 = 6 % Kauf 0.4741 B0(1) - 45.15 + 47.41 + 47.41 Verkauf 1 B0(2) + 92.00 - 95.69 - 94.34 Kauf B0(3) -45.21 + 48.28 + 46.93 Total 1.64 0.00 0.00
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 160
g) Weitere Bewertungsbeispiele 5% Coupon-Bond, Restlaufzeit 3 Jahre. Gleicher Zinsprozess, gleiche Risikoprämie und gleiche Wahrscheinlichkeiten wie oben.
9 8 . 1 3 1 51 0 3 . 1 3 1
9 9 . 5 2 6 51 0 4 . 5 2 6
1 0 0 . 9 6 2 51 0 5 . 9 6 2
1 . Pe r i ode 2 . Pe r i ode 3 . Pe r i ode
1 0 5
1 0 5
1 0 5
99 .074
0.5
0.5
1 0 0 . 8 4 9 51 0 5 . 8 4 9
9 7 . 8 1 4 51 0 2 . 8 1 4
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 161
Gleicher Coupon-Bond mit Kündigungsoption nach 2 Perioden
98 .131 5103 .131
99.526 5104 .526
100 5 105
1 . Per iode 2. Per iode 3. Per iode
105
105
105
98 .864
0 .5
0 .5
100 .297 5105 .297
97.814 5102 .814
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 162
h) Eine Arbitrage-Bewertungsgleichung für zinsabhängige Anlagen
λσ
=
− +
−=
−E
B
BR
B B
B
E R R
R
01
00 1
12
11
0
0 0 1 0 1
0 1
3
31
3 3
3
3
3
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( ( ))
( ( ))
0R1 bezeichnet die Rendite des 3-Perioden-Bonds in der Periode 1 aufgrund des realisierten Zinssatzes 1R2.
{⇒ = +
−
× ×
−
E R R
Faktorrisikoprämie
R
R
DFaktorsensitivität
R
Faktorvolatilitä t
0 1 0 10 1
1 21 23
3
3
( ( ))( ( ))
( )
( )
( )λσ
σσ
1 24 34123
Heinz Zimmermann “Fixed Income Notes” 163
Literaturhinweise Bierwag, 1987, Duration analysis, Ballinger Bühler, 1995, Einfaktormodelle der Fristenstruktur der Zinssätze. Theoretische und empirische Betrachtungen, Haupt Bühler/ Zimmermann, 1996, A statistical analysis of the term structure of interest rates in Switzerland and Germany, Journal of Fixed Income, 55-67 Fabozzi, 1993, Fixed Income Mathematics, Probus Publishing Company Ho, 1990, Strategic fixed income investment, Dow-Jones-Irwin Jaeger/ Staub/ Zimmermann, 1995, Asset- & Liability-Management, NZZ-Verlag Litterman/ Scheinkman, 1991, Common factors affecting bond returns, Journal of Fixed Income, June, 54-61 Zimmermann, 1991, Binomial Pricing of Interest Contingent Assets, Zeitschrift für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 111, pp. 577-593 Zimmermann, 1997, Asset- & Liability Management bei Banken, in: Handbuch des Corporate Finance (Hrsg. A.-K. Achleitner-Coberg und G. F. Thoma), Verlagsgruppe Deutscher Wirtschaftsdienst, Kapitel 5.3