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Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Introducción al CálculoLógica Simbólica y Demostraciones
CNM-107
Departamento de MatemáticasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Copyleft
2009. Reproducción permitida bajo los
términos de la licencia de documentación libre GNU.
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Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Antecedentes históricos de la lógica formal
China
Mozi: fundador de la escuela Mohista (moh́ısmo), sus
principios están relacionados con la inferencia válida y lascondiciones de las conclusiones correctas
Lógicos: escuela que siguió al moh́ısmo, considerada comola primera que investigó la lógica formal.
Mozi
India
Se desarrolló en India sin influencia conocida de la lógicagriega
Nyaya y Vaisheshika: escuelas del pensamientorelacionadas con la lógica
Primeros pasos en el análisis formal de la inferencia
d ´ C´l l l d ´ C f d M´ d d ´
http://es.wikipedia.org/wiki/Mozihttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Aristoteles_Logica_1570_Biblioteca_Huelva.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Aristoteles_Logica_1570_Biblioteca_Huelva.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Omhttp://es.wikipedia.org/wiki/Omhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mozihttp://es.wikipedia.org/wiki/Mozi
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Antecedentes históricos de la lógica formal
China
Mozi: fundador de la escuela Mohista (moh́ısmo), sus
principios están relacionados con la inferencia válida y lascondiciones de las conclusiones correctas
Lógicos: escuela que siguió al moh́ısmo, considerada comola primera que investigó la lógica formal.
Mozi
India
Se desarrolló en India sin influencia conocida de la lógicagriega
Nyaya y Vaisheshika: escuelas del pensamientorelacionadas con la lógica
Primeros pasos en el análisis formal de la inferencia Om
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Introduccion Calculo Proposicional Deducciones Logicas Cuantificadores Metodos de Demostracion
Antecedentes históricos de la lógica formal
China
Mozi: fundador de la escuela Mohista (moh́ısmo), sus
principios están relacionados con la inferencia válida y lascondiciones de las conclusiones correctas
Lógicos: escuela que siguió al moh́ısmo, considerada comola primera que investigó la lógica formal.
Mozi
India
Se desarrolló en India sin influencia conocida de la lógicagriega
Nyaya y Vaisheshika: escuelas del pensamientorelacionadas con la lógica
Primeros pasos en el análisis formal de la inferencia Om
Grecia
Lógica estoica: se concentra en la lógica proposicional (lamás próxima a la lógica moderna)
Lógica de Aristóteles: tuvo su origen en el Organon , es la
que más influencia tuvo en occiedenteLógica de Aŕıstoteles
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Antecedentes históricos de la lógica formal
China
Mozi: fundador de la escuela Mohista (moh́ısmo), sus
principios están relacionados con la inferencia válida y lascondiciones de las conclusiones correctas
Lógicos: escuela que siguió al moh́ısmo, considerada comola primera que investigó la lógica formal.
Mozi
India
Se desarrolló en India sin influencia conocida de la lógicagriega
Nyaya y Vaisheshika: escuelas del pensamientorelacionadas con la lógica
Primeros pasos en el análisis formal de la inferencia Om
Grecia
Lógica estoica: se concentra en la lógica proposicional (lamás próxima a la lógica moderna)
Lógica de Aristóteles: tuvo su origen en el Organon , es la
que más influencia tuvo en occiedenteLógica de Aŕıstoteles
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Introduccion Calculo Proposicional Deducciones Logicas Cuantificadores Metodos de Demostracion
Antecedentes de la lógica formal
Siglo XIX
La lógica pasa a formar parte de las matemáticas: l´ ogica simb´ olica omatem´ atica
Se modelan los métodos argumentativos a partir de un lenguaje básicoque mediante procedimientos “matemáticos”, generan las leyesuniversales del razonamiento
Tipos de lógica
Lógica clásica: fundamento formal de las matemáticas
Tipos no “formales”:
Lógica modal
Lógica difusa
Lógica probabiĺıstica
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Introduccion Calculo Proposicional Deducciones Logicas Cuantificadores Metodos de Demostracion
Antecedentes de la lógica formal
Siglo XIX
La lógica pasa a formar parte de las matemáticas: l´ ogica simb´ olica omatem´ atica
Se modelan los métodos argumentativos a partir de un lenguaje básicoque mediante procedimientos “matemáticos”, generan las leyesuniversales del razonamiento
Tipos de lógica
Lógica clásica: fundamento formal de las matemáticas
Tipos no “formales”:
Lógica modal
Lógica difusa
Lógica probabiĺıstica
La lógica simbólica, en principio, se caracteriza por estructurar elrazonamiento desde la sint´ axis , es decir, desde el lenguaje y losprincipios lógicos de forma independiente al significado de las
afirmaciones involucradas.
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p g
Antecedentes de la lógica formal
Siglo XIX
La lógica pasa a formar parte de las matemáticas: l´ ogica simb´ olica omatem´ atica
Se modelan los métodos argumentativos a partir de un lenguaje básicoque mediante procedimientos “matemáticos”, generan las leyesuniversales del razonamiento
Tipos de lógica
Lógica clásica: fundamento formal de las matemáticas
Tipos no “formales”:
Lógica modal
Lógica difusa
Lógica probabiĺıstica
La lógica simbólica, en principio, se caracteriza por estructurar elrazonamiento desde la sint´ axis , es decir, desde el lenguaje y losprincipios lógicos de forma independiente al significado de las
afirmaciones involucradas.
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Śımbolos lógicos
Negación: ¬P : letra predicativa
¬P : la negaci´ on de P
¬P se lee como “no P ” o “negación de P ”.
Para P, Q y R del ejemplo (2.1):
Ejemplo 2.2
¬P representa “ 1 + 1 = 2”¬Q significa “No est´ a lloviendo”¬R significa “las vacas no vuelan”
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Śımbolos lógicos
Negación: ¬P : letra predicativa
¬P : la negaci´ on de P
¬P se lee como “no P ” o “negación de P ”.
Para P, Q y R del ejemplo (2.1):
Ejemplo 2.2
¬P representa “ 1 + 1 = 2”¬Q significa “No est´ a lloviendo”¬R significa “las vacas no vuelan”
¬P toma el valor de verdad contrario al que toma P :
¬P toma el valor F si P es V
¬P toma el valor V si P es F
P ¬P V F
F V
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Śımbolos lógicos
Negación: ¬P : letra predicativa
¬P : la negaci´ on de P
¬P se lee como “no P ” o “negación de P ”.
Para P, Q y R del ejemplo (2.1):
Ejemplo 2.2
¬P representa “ 1 + 1 = 2”¬Q significa “No est´ a lloviendo”¬R significa “las vacas no vuelan”
¬P toma el valor de verdad contrario al que toma P :
¬P toma el valor F si P es V
¬P toma el valor V si P es F
P ¬P V F
F V
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Śımbolos lógicos
Disyunción: ∨
P, Q: letras predicativas
P ∨ Q: disyunci´ on entre P y Q
P ∨ Q se lee como “P ó Q”
Ejemplo 2.3
P : 1 + 1 = 2Q : Est´ a lloviendo.R : 1 ∈ ∅S : El ser humano es un mamı́fero.
Ejemplo 2.4
P ∨ R significa “ 1 + 1 = 2 ´ o 1 ∈ ∅”Q ∨ S significa “est´ a lloviendo o el ser humano es un mamı́fero”
¬R significa “las vacas no vuelan”
Q ∨ S es una afirmación verdadera sin importarqué valor de verdad tome Q
Si no está lloviendo, Q ∨ R es una afirmación falsa
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Śımbolos lógicos
Disyunción: ∨
P, Q: letras predicativas
P ∨ Q: disyunci´ on entre P y Q
P ∨ Q se lee como “P ó Q”
Ejemplo 2.3
P : 1 + 1 = 2Q : Est´ a lloviendo.R : 1 ∈ ∅S : El ser humano es un mamı́fero.
Ejemplo 2.4
P ∨ R significa “ 1 + 1 = 2 ´ o 1 ∈ ∅”Q ∨ S significa “est´ a lloviendo o el ser humano es un mamı́fero”
¬R significa “las vacas no vuelan”
Q ∨ S es una afirmación verdadera sin importarqué valor de verdad tome Q
Si no está lloviendo, Q ∨ R es una afirmación falsa
P Q P ∨ Q
V V VV F VF V V
F F F
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Śımbolos lógicos
Disyunción: ∨
P, Q: letras predicativas
P ∨ Q: disyunci´ on entre P y Q
P ∨ Q se lee como “P ó Q”
Ejemplo 2.3
P : 1 + 1 = 2Q : Est´ a lloviendo.R : 1 ∈ ∅S : El ser humano es un mamı́fero.
Ejemplo 2.4
P ∨ R significa “ 1 + 1 = 2 ´ o 1 ∈ ∅”Q ∨ S significa “est´ a lloviendo o el ser humano es un mamı́fero”
¬R significa “las vacas no vuelan”
Q ∨ S es una afirmación verdadera sin importarqué valor de verdad tome Q
Si no está lloviendo, Q ∨ R es una afirmación falsa
P Q P ∨ Q
V V VV F VF V V
F F F
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Śımbolos lógicos
Conjunción: ∧
P, Q: letras predicativas
P ∧ Q: conjunci´ on entre P y Q
P ∧ Q se lee como “P y Q”
Ejemplo 2.5
P : 1 + 1 = 2Q : Est´ a lloviendo.R : 1 ∈ ∅S : El ser humano es un mamı́fero.
Ejemplo 2.6
P ∧ R significa “ 1 + 1 = 2 y 1 ∈ ∅”P ∧ Q representa “ 1 + 1 = 2 y est´ a lloviendo”
P ∧ S representa “ 1 + 1 = 2 y el ser humano es un mamı́fero”
P ∧ R es falsa ya que 1 ∈ ∅ es falso y, por lo tanto,ambas afirmaciones no son ciertas a la vez
P ∧ Q es verdadera sólo si Q es verdadera
P ∧ S es verdadera
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Śımbolos lógicos
Conjunción: ∧
P, Q: letras predicativas
P ∧ Q: conjunci´ on entre P y Q
P ∧ Q se lee como “P y Q”
Ejemplo 2.5
P : 1 + 1 = 2Q : Est´ a lloviendo.R : 1 ∈ ∅S : El ser humano es un mamı́fero.
Ejemplo 2.6
P ∧ R significa “ 1 + 1 = 2 y 1 ∈ ∅”P ∧ Q representa “ 1 + 1 = 2 y est´ a lloviendo”
P ∧ S representa “ 1 + 1 = 2 y el ser humano es un mamı́fero”
P ∧ R es falsa ya que 1 ∈ ∅ es falso y, por lo tanto,ambas afirmaciones no son ciertas a la vez
P ∧ Q es verdadera sólo si Q es verdadera
P ∧ S es verdadera
P Q P ∧ Q
V V VV F FF V F
F F F
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Śımbolos lógicos
Conjunción: ∧
P, Q: letras predicativas
P ∧ Q: conjunci´ on entre P y Q
P ∧ Q se lee como “P y Q”
Ejemplo 2.5
P : 1 + 1 = 2Q : Est´ a lloviendo.R : 1 ∈ ∅S : El ser humano es un mamı́fero.
Ejemplo 2.6
P ∧ R significa “ 1 + 1 = 2 y 1 ∈ ∅”P ∧ Q representa “ 1 + 1 = 2 y est´ a lloviendo”
P ∧ S representa “ 1 + 1 = 2 y el ser humano es un mamı́fero”
P ∧ R es falsa ya que 1 ∈ ∅ es falso y, por lo tanto,ambas afirmaciones no son ciertas a la vez
P ∧ Q es verdadera sólo si Q es verdadera
P ∧ S es verdadera
P Q P ∧ Q
V V VV F FF V F
F F F
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Śımbolos lógicos
Implicación ( ⇒ ): expresa relación de causa y efecto entre dos afirmacionesP ⇒ Q: “P implica Q”
P ⇒ Q: “si P , entonces Q”
“P es condición suficiente para Q”
“Q es condición necesaria para P ”
P Q P ⇒ QV V VV F FF V VF F V
Ejemplo 2.7
P : 4 divide a 3Q : 3 es par R : S´ ocrates es hombre
S : S´ ocrates es mortal
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Śımbolos lógicos
Implicación ( ⇒ ): expresa relación de causa y efecto entre dos afirmacionesP ⇒ Q: “P implica Q”
P ⇒ Q: “si P , entonces Q”
“P es condición suficiente para Q”
“Q es condición necesaria para P ”
P Q P ⇒ QV V VV F FF V VF F V
Ejemplo 2.7
P : 4 divide a 3Q : 3 es par R : S´ ocrates es hombre
S : S´ ocrates es mortal
R ⇒ S dice que “si Sócrates es hombre, entonces es mortal”(verdadero)
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Śımbolos lógicos
Implicación ( ⇒ ): expresa relación de causa y efecto entre dos afirmacionesP ⇒ Q: “P implica Q”
P ⇒ Q: “si P , entonces Q”
“P es condición suficiente para Q”
“Q es condición necesaria para P ”
P Q P ⇒ QV V VV F FF V VF F V
Ejemplo 2.7
P : 4 divide a 3Q : 3 es par R : S´ ocrates es hombre
S : S´ ocrates es mortal
R ⇒ S dice que “si Sócrates es hombre, entonces es mortal”(verdadero)R ⇒ Q significa “si Sócrates es hombre, entonces 3 es par”(falso)
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Ś b l l´
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Śımbolos lógicos
Implicación ( ⇒ ): expresa relación de causa y efecto entre dos afirmacionesP ⇒ Q: “P implica Q”
P ⇒ Q: “si P , entonces Q”
“P es condición suficiente para Q”
“Q es condición necesaria para P ”
P Q P ⇒ QV V VV F FF V VF F V
Ejemplo 2.7
P : 4 divide a 3Q : 3 es par R : S´ ocrates es hombre
S : S´ ocrates es mortal
R ⇒ S dice que “si Sócrates es hombre, entonces es mortal”(verdadero)R ⇒ Q significa “si Sócrates es hombre, entonces 3 es par”(falso)
Q ⇒ S es verdadera
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Śımbolos lógicos
Implicación ( ⇒ ): expresa relación de causa y efecto entre dos afirmacionesP ⇒ Q: “P implica Q”
P ⇒ Q: “si P , entonces Q”
“P es condición suficiente para Q”
“Q es condición necesaria para P ”
P Q P ⇒ QV V VV F FF V VF F V
Ejemplo 2.7
P : 4 divide a 3Q : 3 es par R : S´ ocrates es hombre
S : S´ ocrates es mortal
R ⇒ S dice que “si Sócrates es hombre, entonces es mortal”(verdadero)R ⇒ Q significa “si Sócrates es hombre, entonces 3 es par”(falso)
Q ⇒ S es verdadera
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Śımbolos lógicos
Equivalencia: ⇔
P ⇔ Q: “P equivale a Q”
P ⇔ Q: P y Q tienen el mismo valor de verdad
P ⇔ Q: P y Q tienen el mismo significado
P Q P
⇔ Q
V V VV F FF V FF F V
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Ś b l l´ i
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Sımbolos logicos
Equivalencia: ⇔
P ⇔ Q: “P equivale a Q”
P ⇔ Q: P y Q tienen el mismo valor de verdad
P ⇔ Q: P y Q tienen el mismo significado
P Q P
⇔ Q
V V VV F FF V FF F V
Ejemplo 2.8
P : 6 es par Q : 6 es divisible por 4R : n es impar S : n deja residuo 1 al dividirse por 2
P ⇔ Q es falsa, pues P es cierta y Q es falsa (no tienen el mismo significado)
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Śımbolos lógicos
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Sımbolos logicos
Equivalencia: ⇔
P ⇔ Q: “P equivale a Q”
P ⇔ Q: P y Q tienen el mismo valor de verdad
P ⇔ Q: P y Q tienen el mismo significado
P Q P
⇔ Q
V V VV F FF V FF F V
Ejemplo 2.8
P : 6 es par Q : 6 es divisible por 4R : n es impar S : n deja residuo 1 al dividirse por 2
P ⇔ Q es falsa, pues P es cierta y Q es falsa (no tienen el mismo significado)
R ⇔ S es verdadera: dependiendo de n, R y S tendrán el mismo valor deverdad V ó F
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Ejemplos
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Ejemplos
Tabla de verdad de (¬P ∨ Q) ∧ P :
P Q ¬P ¬P ∨ Q (¬P ∨ Q) ∧ P V V F V VV F F F FF V V V FF F V V F
Tabla de verdad de ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ⇔ (P ∧ Q):
P Q (¬P ∨ Q) ∧ P P ∧ Q ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ⇔ (P ∧ Q)V V V V VV F F F VF V F F VF F F F V
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Ejemplos
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Ejemplos
Tabla de verdad de (¬P ∨ Q) ∧ P :
P Q ¬P ¬P ∨ Q (¬P ∨ Q) ∧ P V V F V VV F F F FF V V V FF F V V F
Tabla de verdad de ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ⇔ (P ∧ Q):
P Q (¬P ∨ Q) ∧ P P ∧ Q ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ⇔ (P ∧ Q)V V V V VV F F F VF V F F VF F F F V
Los valores de verdad de estas afirmaciones no dependen del significadode P ni de Q
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Ejemplos
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Ejemplos
Tabla de verdad de (¬P ∨ Q) ∧ P :
P Q ¬P ¬P ∨ Q (¬P ∨ Q) ∧ P V V F V VV F F F FF V V V FF F V V F
Tabla de verdad de ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ⇔ (P ∧ Q):
P Q (¬P ∨ Q) ∧ P P ∧ Q ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ⇔ (P ∧ Q)V V V V VV F F F V
F V F F VF F F F V
Los valores de verdad de estas afirmaciones no dependen del significadode P ni de Q
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Tautloǵıas
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Tautlogıas
Definición 2.1 (Tautologı́a, Contradicción)
Una tautoloǵıa es una afirmaci´ on cuya tabla de verdad siempre toma el
valor V. Una contradicci´ on es una afirmaci´ on cuya tabla de verdad siempre toma el valor F.
Ejemplos de tautoloǵıas y contradicciones:
P ¬P P ∨ ¬P P ⇒ P P ⇔ P P ∧ ¬P P ⇔ ¬P V F V V V F FF V V V V F F
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Tautloǵıas
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Tautlogıas
Definición 2.1 (Tautologı́a, Contradicción)
Una tautoloǵıa es una afirmaci´ on cuya tabla de verdad siempre toma el
valor V. Una contradicci´ on es una afirmaci´ on cuya tabla de verdad siempre toma el valor F.
Ejemplos de tautoloǵıas y contradicciones:
P ¬P P ∨ ¬P P ⇒ P P ⇔ P P ∧ ¬P P ⇔ ¬P V F V V V F FF V V V V F F
P ∧
¬Q no es tautoloǵıa ni contradicción:
P Q ¬Q P ⇒ Q P ∧ ¬Q (P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q)V V F V F FV F V F V FF V F V F FF F V V F F
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Tautloǵıas
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aut og as
Definición 2.1 (Tautologı́a, Contradicción)
Una tautoloǵıa es una afirmaci´ on cuya tabla de verdad siempre toma el
valor V. Una contradicci´ on es una afirmaci´ on cuya tabla de verdad siempre toma el valor F.
Ejemplos de tautoloǵıas y contradicciones:
P ¬P P ∨ ¬P P ⇒ P P ⇔ P P ∧ ¬P P ⇔ ¬P V F V V V F FF V V V V F F
P ∧
¬Q no es tautoloǵıa ni contradicción:
P Q ¬Q P ⇒ Q P ∧ ¬Q (P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q)V V F V F FV F V F V FF V F V F FF F V V F F
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Tautloǵıas
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g
Proposición 2.1
Las siguientes afirmaciones son tautoloǵıas.
1 P ⇒ P 2 P ⇔ P 3 P ∨ ¬P (Tercer exclúıdo)
Las tautoloǵıas son las afirmaciones más importantes en la lógicasimbólica (leyes del razonamiento)
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Tautloǵıas
-
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g
Proposición 2.1
Las siguientes afirmaciones son tautoloǵıas.
1 P ⇒ P 2 P ⇔ P 3 P ∨ ¬P (Tercer exclúıdo)
Las tautoloǵıas son las afirmaciones más importantes en la lógicasimbólica (leyes del razonamiento)
Las contradicciones tienen una importancia equivalente porque toda contradicci´ on equivale a la negaci´ on de una tautoloǵıa.
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Tautloǵıas
-
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g
Proposición 2.1
Las siguientes afirmaciones son tautoloǵıas.
1 P ⇒ P 2 P ⇔ P 3 P ∨ ¬P (Tercer exclúıdo)
Las tautoloǵıas son las afirmaciones más importantes en la lógicasimbólica (leyes del razonamiento)
Las contradicciones tienen una importancia equivalente porque toda contradicci´ on equivale a la negaci´ on de una tautoloǵıa.
A cada tautoloǵıa le corresponde una justificaci´ on que verifica suvalidez.
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Tautloǵıas
-
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Proposición 2.1
Las siguientes afirmaciones son tautoloǵıas.
1 P ⇒ P 2 P ⇔ P 3 P ∨ ¬P (Tercer exclúıdo)
Las tautoloǵıas son las afirmaciones más importantes en la lógicasimbólica (leyes del razonamiento)
Las contradicciones tienen una importancia equivalente porque toda contradicci´ on equivale a la negaci´ on de una tautoloǵıa.
A cada tautoloǵıa le corresponde una justificaci´ on que verifica suvalidez.
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P i i´ 2 2 (P i i l E i l i L´ i )
-
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Proposición 2.2 (Principales Equivalencias Lógicas)
1 ¬¬P ⇔ P (Doble negaci´ on).
2 (P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P ) (Conmutatividad de la disyunci´ on).
3 (P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P ) (Conmutatividad de la conjunci´ on).
4 ((P ∨ Q) ∨ R) ⇔ (P ∨ (Q ∨ R)) (Asociatividad de la disyunci´ on).
5 ((P ∧ Q) ∧ R) ⇔ (P ∧ (Q ∧ R)) (Asociatividad de la conjunci´ on).
6 (P ∨ (Q ∧ R)) ⇔ ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)) (Ley distributiva).
7 (P ∧ (Q ∨ R)) ⇔ ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)) (Ley distributiva).
8 ¬(P ∨ Q) ⇔ (¬P ∧ ¬Q) (ley D’Morgan).
9 ¬(P ∧ Q) ⇔ (¬P ∨ ¬Q) (ley D’Morgan).
10 ¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q) (Negaci´ on de la implicaci´ on)
11 (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) (Contrarrecı́proco).
12 (P ⇔ Q) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )) (Principio de doble implicaci´ on).
13 (P ⇔ Q) ⇔ (Q ⇔ P ) (Conmutatividad de la equivalencia).
14 (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q).
15 (P ∧ Q) ⇔ ¬(¬P ∨ ¬Q).
16 (P ∨ P ) ⇔ P .
17 (P ∧ P ) ⇔ P .
-
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Deducciones Lógicas
-
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El fundamento del razonamiento, en especial en matemáticas, es laforma de efectuar argumentos válidos mediante relaciones de causa y efecto (proposición 2.3)
Forma de las reglas de inferencia:
(H 1 ∧ H 2 ∧ · · · ∧ H n)
| {z } antecedente (hipótesis)=⇒ C
|{z} consecuente(conlusión)(1)
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Deducciones Lógicas
-
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El fundamento del razonamiento, en especial en matemáticas, es laforma de efectuar argumentos válidos mediante relaciones de causa y efecto (proposición 2.3)
Forma de las reglas de inferencia:
(H 1 ∧ H 2 ∧ · · · ∧ H n)
| {z } antecedente (hipótesis)=⇒ C
|{z} consecuente(conlusión)(1)
Forma esquemática para representar (1):
H 1
H 2···
H n
9>>>>>>=>>>>>>;
Hipótesis
C Conclusión.
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Deducciones Lógicas
-
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El fundamento del razonamiento, en especial en matemáticas, es laforma de efectuar argumentos válidos mediante relaciones de causa y efecto (proposición 2.3)
Forma de las reglas de inferencia:
(H 1 ∧ H 2 ∧ · · · ∧ H n)
| {z } antecedente (hipótesis)=⇒ C
|{z} consecuente(conlusión)(1)
Forma esquemática para representar (1):
H 1
H 2···
H n
9>>>>>>=>>>>>>;
Hipótesis
C Conclusión.
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Forma esquemática de algunas proposiciones
-
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((P ⇒ Q) ∧ P ) ⇒ Q:
P ⇒ QP
Q
((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P :
P ⇒ Q¬Q¬P
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Forma esquemática de algunas proposiciones
-
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((P ⇒ Q) ∧ P ) ⇒ Q:
P ⇒ QP
Q
((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P :
P ⇒ Q¬Q¬P
(P ∧ Q) ⇒ P :
P ∧ Q
P
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Forma esquemática de algunas proposiciones
-
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((P ⇒ Q) ∧ P ) ⇒ Q:
P ⇒ QP
Q
((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P :
P ⇒ Q¬Q¬P
(P ∧ Q) ⇒ P :
P ∧ Q
P
(P ∧ Q) ⇒ (P ∧ Q):
P
Q
P ∧ Q
-
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Deducciones lógicas
-
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Proposición 3.1 (Método de la Deducción)
Si se toman H 1, H 2, . . . , H n como hip´ otesis y, mediante reglas de inferencia
y equivalencias se concluye C , entonces H 1 ∧ H 2 ∧ · · · ∧ H n implica a C ,es decir,
H 1H 2·
··H n
9>>>>>>=>>>>>>;
Hip´ otesis
C Conclusi´ on.
Para efectuar una deducción lógica tendremos en cuenta las siguientes
instrucciones:
1. Enunciar las hipótesis
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Deducciones lógicas
-
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Proposición 3.1 (Método de la Deducción)
Si se toman H 1, H 2, . . . , H n como hip´ otesis y, mediante reglas de inferencia
y equivalencias se concluye C , entonces H 1 ∧ H 2 ∧ · · · ∧ H n implica a C ,es decir,
H 1H 2·
··H n
9>>>>>>=>>>>>>;
Hip´ otesis
C Conclusi´ on.
Para efectuar una deducción lógica tendremos en cuenta las siguientes
instrucciones:
1. Enunciar las hipótesis
2. Justificar, mediante reglas de inferencia, una nueva afirmación en base alas anteriores de la lista
-
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Deducciones lógicas
-
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Proposición 3.1 (Método de la Deducción)
Si se toman H 1, H 2, . . . , H n como hip´ otesis y, mediante reglas de inferencia
y equivalencias se concluye C , entonces H 1 ∧ H 2 ∧ · · · ∧ H n implica a C ,es decir,
H 1H 2·
··H n
9>>>>>>=>>>>>>;
Hip´ otesis
C Conclusi´ on.
Para efectuar una deducción lógica tendremos en cuenta las siguientes
instrucciones:
1. Enunciar las hipótesis
2. Justificar, mediante reglas de inferencia, una nueva afirmación en base alas anteriores de la lista
3. Mediante la instrucción (2), llegar finalmente a la conclusión
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Deducciones lógicas
-
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Ejemplo 3.1
Demuestre que ((P ⇔ Q) ∧
(Q ⇔ R)) ⇒ (P ⇔ R) es una tautoloǵıa, i.e,P ⇔ QQ ⇔ RP ⇔ R
Solución
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Deducciones lógicas
-
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Ejemplo 3.1
Demuestre que ((P ⇔ Q) ∧
(Q ⇔ R)) ⇒ (P ⇔ R) es una tautoloǵıa, i.e,P ⇔ QQ ⇔ RP ⇔ R
Solución
1. P ⇔ Q Hipótesis
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Deducciones lógicas
-
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Ejemplo 3.1
Demuestre que ((P ⇔ Q) ∧
(Q ⇔ R)) ⇒ (P ⇔ R) es una tautoloǵıa, i.e,P ⇔ QQ ⇔ RP ⇔ R
Solución
1. P ⇔ Q Hipótesis2. Q ⇔ R Hipótesis
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Deducciones lógicas
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
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Ejemplo 3.1
Demuestre que ((P ⇔ Q) ∧
(Q ⇔ R)) ⇒ (P ⇔ R) es una tautoloǵıa, i.e,P ⇔ QQ ⇔ RP ⇔ R
Solución
1. P ⇔ Q Hipótesis2. Q ⇔ R Hipótesis3. P ⇒ Q 1, descomposición de ⇔4. Q
⇒ P 1, desc. de
⇔5. Q ⇒ R 2, desc. de ⇔6. R ⇒ Q 2, desc. de ⇔7. P ⇒ R 3,5, transitividad de ⇒8. R ⇒ P 4,6, transitividad de ⇒9. P ⇔ R 7,8, composición de ⇔
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Deducciones lógicas
-
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Ejemplo 3.1
Demuestre que ((P ⇔ Q) ∧
(Q ⇔ R)) ⇒ (P ⇔ R) es una tautoloǵıa, i.e,P ⇔ QQ ⇔ RP ⇔ R
Solución
1. P ⇔ Q Hipótesis2. Q ⇔ R Hipótesis3. P ⇒ Q 1, descomposición de ⇔4. Q
⇒ P 1, desc. de
⇔5. Q ⇒ R 2, desc. de ⇔6. R ⇒ Q 2, desc. de ⇔7. P ⇒ R 3,5, transitividad de ⇒8. R ⇒ P 4,6, transitividad de ⇒9. P ⇔ R 7,8, composición de ⇔
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Ejemplos
Ejemplo 3 2
-
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Ejemplo 3.2
Determine la validez de la siguiente deducci´ on: “Si la m´ aquina es barata ´ o consume mucha enerǵıa, entonces no es productiva. Si la m´ aquina es roja,entonces es productiva. Pero la m´ aquina es barata. Por lo tanto, la m´ aquina no es roja.”
Solución
Asignamos letras a las frases que componen el razonamiento:
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Ejemplos
Ejemplo 3 2
-
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Ejemplo 3.2
Determine la validez de la siguiente deducci´ on: “Si la m´ aquina es barata ´ o consume mucha enerǵıa, entonces no es productiva. Si la m´ aquina es roja,entonces es productiva. Pero la m´ aquina es barata. Por lo tanto, la m´ aquina no es roja.”
Solución
Asignamos letras a las frases que componen el razonamiento:
B : La máquina es barata. E : La máquina consume mucha enerǵıa.P : La máquina es productiva. R : La máquina es roja.
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Ejemplos
Ejemplo 3 2
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
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Ejemplo 3.2
Determine la validez de la siguiente deducci´ on: “Si la m´ aquina es barata ´ o consume mucha enerǵıa, entonces no es productiva. Si la m´ aquina es roja,entonces es productiva. Pero la m´ aquina es barata. Por lo tanto, la m´ aquina no es roja.”
Solución
Asignamos letras a las frases que componen el razonamiento:
B : La máquina es barata. E : La máquina consume mucha enerǵıa.P : La máquina es productiva. R : La máquina es roja.
Forma esquemática:
(B ∨ E ) ⇒ ¬P R ⇒ P B
¬R
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Ejemplos
Ejemplo 3 2
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
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Ejemplo 3.2
Determine la validez de la siguiente deducci´ on: “Si la m´ aquina es barata ´ o consume mucha enerǵıa, entonces no es productiva. Si la m´ aquina es roja,entonces es productiva. Pero la m´ aquina es barata. Por lo tanto, la m´ aquina no es roja.”
Solución
Asignamos letras a las frases que componen el razonamiento:
B : La máquina es barata. E : La máquina consume mucha enerǵıa.P : La máquina es productiva. R : La máquina es roja.
Forma esquemática:
(B ∨ E ) ⇒ ¬P R ⇒ P B
¬R
Razonamiento de inferencia:
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Ejemplos
Ejemplo 3.2
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
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Ejemplo 3.2
Determine la validez de la siguiente deducci´ on: “Si la m´ aquina es barata ´ o consume mucha enerǵıa, entonces no es productiva. Si la m´ aquina es roja,entonces es productiva. Pero la m´ aquina es barata. Por lo tanto, la m´ aquina no es roja.”
Solución
Asignamos letras a las frases que componen el razonamiento:
B : La máquina es barata. E : La máquina consume mucha enerǵıa.P : La máquina es productiva. R : La máquina es roja.
Forma esquemática:
(B ∨ E ) ⇒ ¬P R ⇒ P B
¬R
Razonamiento de inferencia:
1. (B ∨
E ) ⇒ ¬P Hipótesis2. R ⇒ P Hipótesis3. B Hipótesis4. B ∨ E 3, adición5. ¬P 1,4, modus ponens6. ¬P ⇒ ¬R 2, contrarrećıproco7. ¬R 5,6, modus ponens.
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Ejemplos
Ejemplo 3.2
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
65/194
Ejemplo 3.2
Determine la validez de la siguiente deducci´ on: “Si la m´ aquina es barata ´ o consume mucha enerǵıa, entonces no es productiva. Si la m´ aquina es roja,entonces es productiva. Pero la m´ aquina es barata. Por lo tanto, la m´ aquina no es roja.”
Solución
Asignamos letras a las frases que componen el razonamiento:
B : La máquina es barata. E : La máquina consume mucha enerǵıa.P : La máquina es productiva. R : La máquina es roja.
Forma esquemática:
(B ∨ E ) ⇒ ¬P R ⇒ P B
¬R
Razonamiento de inferencia:
1.
(B ∨ E
) ⇒ ¬P
Hipótesis2. R ⇒ P Hipótesis3. B Hipótesis4. B ∨ E 3, adición5. ¬P 1,4, modus ponens6. ¬P ⇒ ¬R 2, contrarrećıproco7. ¬R 5,6, modus ponens.
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Ejemplos
-
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Ejemplo 3.3
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
S ⇒ (P ∨ Q)S
¬P Q
Solución
1. S ⇒ (P ∨ Q) Hipótesis
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Ejemplos
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
67/194
Ejemplo 3.3
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
S ⇒ (P ∨ Q)S
¬P Q
Solución
1. S ⇒ (P ∨ Q) Hipótesis2. S Hipótesis
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Ejemplos
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
68/194
Ejemplo 3.3
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
S ⇒ (P ∨ Q)S
¬P Q
Solución
1. S ⇒ (P ∨ Q) Hipótesis2. S Hipótesis3. ¬P Hipótesis
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplos
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
69/194
Ejemplo 3.3
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
S ⇒ (P ∨ Q)S
¬P Q
Solución
1. S ⇒ (P ∨ Q) Hipótesis2. S Hipótesis3. ¬P Hipótesis4. P ∨ Q 1,2, modus ponens5. Q 3,4, eliminación de falsa en ∨ .
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Ejemplos
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
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Ejemplo 3.3
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
S ⇒ (P ∨ Q)S
¬P Q
Solución
1. S ⇒ (P ∨ Q) Hipótesis2. S Hipótesis3. ¬P Hipótesis4. P ∨ Q 1,2, modus ponens5. Q 3,4, eliminación de falsa en ∨ .
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
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Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplos
Ejemplo 3.4
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
72/194
j p
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
P ∨ (Q ∧ P )S ∨ T
S ⇒ ¬(P ∨ Q)P ∧ T
Solución
1. P ∨ (Q ∧ P ) Hipótesis2. S ∨ T Hipótesis
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
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-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
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Ejemplos
Ejemplo 3.4
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
75/194
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
P ∨ (Q ∧ P )S ∨ T
S ⇒ ¬(P ∨ Q)P ∧ T
Solución
1. P ∨ (Q ∧ P ) Hipótesis2. S ∨ T Hipótesis3. S ⇒ ¬(P ∨ Q) Hipótesis4. (P ∨ Q) ∧ (P ∨ P ) 1, distributiva5. P ∨ Q 4, simplificación
6. ¬¬(P ∨ Q) ⇒ ¬S 3, contrarrećıproco7. (P ∨ Q) ⇒ ¬S 6, doble negación8. ¬S 5,7, modus ponenes9. T 2,8, eliminación de la falsa en ∨
10. P ∨ P 4, simplificación11. P 10, equivalencia (P ∨ P ) ⇔ P 12. P ∧ T 9,11, simultaneidad.
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Ejemplos
Ejemplo 3.5
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
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Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
¬(P ∨ ¬R)Q ∨ P
R ⇒ S (Q ∧ S ) ⇒ (T ∧ S )T
Solución
1. ¬(P ∨ ¬R) Hipótesis
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplos
Ejemplo 3.5
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
77/194
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
¬(P ∨ ¬R)Q ∨ P
R ⇒ S (Q ∧ S ) ⇒ (T ∧ S )T
Solución
1. ¬(P ∨ ¬R) Hipótesis2. Q ∨ P Hipótesis
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
78/194
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplos
Ejemplo 3.5
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
79/194
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
¬(P ∨ ¬R)Q ∨ P
R ⇒ S (Q ∧ S ) ⇒ (T ∧ S )T
Solución
1. ¬(P ∨ ¬R) Hipótesis2. Q ∨ P Hipótesis3. R ⇒ S Hipótesis4. (Q ∧ S ) ⇒ (T ∧ S ) Hipótesis
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplos
Ejemplo 3.5
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
80/194
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
¬(P ∨ ¬R)Q ∨ P
R ⇒ S (Q ∧ S ) ⇒ (T ∧ S )T
Solución
1. ¬(P ∨ ¬R) Hipótesis2. Q ∨ P Hipótesis3. R ⇒ S Hipótesis4. (Q ∧ S ) ⇒ (T ∧ S ) Hipótesis5. ¬P ∧ ¬¬R 1, Ley D’Morgan
6. ¬P 5, simplificación7. ¬¬R 5, simplificación8. R 7, doble negación9. Q 2,6, eliminación de la falsa en ∨
10. S 3,8, modus ponens11. Q ∧ S 9,10, simultaneidad12. T ∧ S 4,11, modus ponens
13. T
12 simplificación Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplos
Ejemplo 3.5
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
81/194
Utilice las reglas de inferencia para justificar la siguiente deducci´ on:
¬(P ∨ ¬R)Q ∨ P
R ⇒ S (Q ∧ S ) ⇒ (T ∧ S )T
Solución
1. ¬(P ∨ ¬R) Hipótesis2. Q ∨ P Hipótesis3. R ⇒ S Hipótesis4. (Q ∧ S ) ⇒ (T ∧ S ) Hipótesis5. ¬P ∧ ¬¬R 1, Ley D’Morgan
6. ¬P 5, simplificación7. ¬¬R 5, simplificación8. R 7, doble negación9. Q 2,6, eliminación de la falsa en ∨
10. S 3,8, modus ponens11. Q ∧ S 9,10, simultaneidad12. T ∧ S 4,11, modus ponens
13. T
12 simplificación Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Simboloǵıa
2
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
82/194
La afirmación “x2 ≤ 3” depende de una variable x:
P : x2 ≤ 3
La asignación tendrá en cuenta la(s) variable(s) involucrada(s):
P (x) : x2
≤ 3
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Simboloǵıa
2
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
83/194
La afirmación “x2 ≤ 3” depende de una variable x:
P : x2 ≤ 3
La asignación tendrá en cuenta la(s) variable(s) involucrada(s):
P (x) : x2
≤ 3
Cada valor de x conduce a una proposición:
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Simboloǵıa
L fi i´ “ 2 3” d d d i bl
-
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La afirmación “x2 ≤ 3” depende de una variable x:
P : x2 ≤ 3
La asignación tendrá en cuenta la(s) variable(s) involucrada(s):
P (x) : x2
≤ 3
Cada valor de x conduce a una proposición:
P (3) representa 32 ≤ 3 ( falsa )
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Simboloǵıa
L fi i´ “ 2 ≤ 3” d d d i bl
-
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La afirmación “x2 ≤ 3” depende de una variable x:
P : x2 ≤ 3
La asignación tendrá en cuenta la(s) variable(s) involucrada(s):
P (x) : x2
≤ 3
Cada valor de x conduce a una proposición:
P (3) representa 32 ≤ 3 ( falsa )
P (−1) representa (−1)2 ≤ 3 (verdadera )
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Simboloǵıa
L fi i´ “ 2 ≤ 3” d d d i bl
-
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La afirmación “x2 ≤ 3” depende de una variable x:
P : x2 ≤ 3
La asignación tendrá en cuenta la(s) variable(s) involucrada(s):
P (x) : x2
≤ 3
Cada valor de x conduce a una proposición:
P (3) representa 32 ≤ 3 ( falsa )
P (−1) representa (−1)2 ≤ 3 (verdadera )
P (y + 1) es (y + 1)2 ≤ 3 (depende del valor de y )
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Simboloǵıa
La afirmación “x2 ≤ 3” depende de una ariable x
-
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La afirmacion “x2 ≤ 3” depende de una variable x:
P : x2 ≤ 3
La asignación tendrá en cuenta la(s) variable(s) involucrada(s):
P (x) : x2
≤ 3
Cada valor de x conduce a una proposición:
P (3) representa 32 ≤ 3 ( falsa )
P (−1) representa (−1)2 ≤ 3 (verdadera )
P (y + 1) es (y + 1)2 ≤ 3 (depende del valor de y )
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Ejemplos
Ejemplo 4.1 (Ejemplos de afirmaciones dependientes variables)
P ( ) di i ibl 3
-
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P (n) : n es divisible por 3.Q
(n
) : n
es divisible por 6.R(x) : la persona x vive en Medel ĺın.S (x) : la persona x conoce el pueblito paisa.
Q(n) ⇒ P (n) representa
“si n es divisible por 6, entonces es divisible por 3”
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Ejemplos
Ejemplo 4.1 (Ejemplos de afirmaciones dependientes variables)
P ( ) di i ibl 3
-
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P (n) : n es divisible por 3.Q(n) : n es divisible por 6.R(x) : la persona x vive en Medel ĺın.S (x) : la persona x conoce el pueblito paisa.
Q(n) ⇒ P (n) representa
“si n es divisible por 6, entonces es divisible por 3”
P (n) ∧ ¬Q(n) representa“n es divisible por 3 pero no por 6”
P (9) ∧ ¬Q(9) es verdadero
P (18) ∧ ¬Q(18) es falsa
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Ejemplos
Ejemplo 4.1 (Ejemplos de afirmaciones dependientes variables)
P (n) n di i ibl 3
-
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P (n) : n es divisible por 3.Q(n) : n es divisible por 6.R(x) : la persona x vive en Medel ĺın.S (x) : la persona x conoce el pueblito paisa.
Q(n) ⇒ P (n) representa
“si n es divisible por 6, entonces es divisible por 3”
P (n) ∧ ¬Q(n) representa“n es divisible por 3 pero no por 6”
P (9) ∧ ¬Q(9) es verdadero
P (18) ∧ ¬Q(18) es falsa
R(x) ⇔ S (x) significa“la persona x vive en Medelĺın si, y sólo si, conoce el pueblito paisa”
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Ejemplos
Ejemplo 4.1 (Ejemplos de afirmaciones dependientes variables)
P (n) : n es divisible por 3
-
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P (n) : n es divisible por 3.Q(n) : n es divisible por 6.R(x) : la persona x vive en Medel ĺın.S (x) : la persona x conoce el pueblito paisa.
Q(n) ⇒ P (n) representa
“si n es divisible por 6, entonces es divisible por 3”
P (n) ∧ ¬Q(n) representa“n es divisible por 3 pero no por 6”
P (9) ∧ ¬Q(9) es verdadero
P (18) ∧ ¬Q(18) es falsa
R(x) ⇔ S (x) significa“la persona x vive en Medelĺın si, y sólo si, conoce el pueblito paisa”
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Cuantificadores
Definición 4.1 (Cuantificadores)
Introducimos los siguientes śımbolos l´ ogicos
-
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∀ el cuantificador universal.
∃ el cuantificador existencial.Dada una afirmaci´ on P (x) que depende de la variable x, utilizamos los cuantificadores para abreviar las siguientes afirmaciones
∀xP (x) todos los objetos cumplen P (x).
∃xP (x) existe un objeto que cumple P (x).Otra forma de leer ∃xP (x) es “alg´ un objeto cumple P (x)”.
∀n(Q(n) ⇒ P (n)) significa
“todo número entero divisible por 6 es divisible por 3”
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Cuantificadores
Definición 4.1 (Cuantificadores)
Introducimos los siguientes śımbolos l´ ogicos
-
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∀ el cuantificador universal.
∃ el cuantificador existencial.Dada una afirmaci´ on P (x) que depende de la variable x, utilizamos los cuantificadores para abreviar las siguientes afirmaciones
∀xP (x) todos los objetos cumplen P (x).
∃xP (x) existe un objeto que cumple P (x).Otra forma de leer ∃xP (x) es “alg´ un objeto cumple P (x)”.
∀n(Q(n) ⇒ P (n)) significa
“todo número entero divisible por 6 es divisible por 3”∃n(P (n) ∧ ¬Q(n)) significa
“existe un entero divisible por 3 y no divisible por 6”
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Cuantificadores
Definición 4.1 (Cuantificadores)
Introducimos los siguientes śımbolos l´ ogicos
-
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∀ el cuantificador universal.
∃ el cuantificador existencial.Dada una afirmaci´ on P (x) que depende de la variable x, utilizamos los cuantificadores para abreviar las siguientes afirmaciones
∀xP (x) todos los objetos cumplen P (x).
∃xP (x) existe un objeto que cumple P (x).Otra forma de leer ∃xP (x) es “alg´ un objeto cumple P (x)”.
∀n(Q(n) ⇒ P (n)) significa
“todo número entero divisible por 6 es divisible por 3”∃n(P (n) ∧ ¬Q(n)) significa
“existe un entero divisible por 3 y no divisible por 6”
∀x(R(x) ⇔ S (x)) significa“toda persona vive en Medelĺın si, y sólo si, conoce el pueblito paisa”
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Cuantificadores
Definición 4.1 (Cuantificadores)
Introducimos los siguientes śımbolos l´ ogicos
-
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∀ el cuantificador universal.
∃ el cuantificador existencial.Dada una afirmaci´ on P (x) que depende de la variable x, utilizamos los cuantificadores para abreviar las siguientes afirmaciones
∀xP (x) todos los objetos cumplen P (x).
∃xP (x) existe un objeto que cumple P (x).Otra forma de leer ∃xP (x) es “alg´ un objeto cumple P (x)”.
∀n(Q(n) ⇒ P (n)) significa
“todo número entero divisible por 6 es divisible por 3”∃n(P (n) ∧ ¬Q(n)) significa
“existe un entero divisible por 3 y no divisible por 6”
∀x(R(x) ⇔ S (x)) significa“toda persona vive en Medelĺın si, y sólo si, conoce el pueblito paisa”
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Cuantificadores
Definición 4.2 (Cuantificadores acotados)
Dado un conjunto U y una afirmaci´ on P (x), introducimos la siguiente
-
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( )notaci´ on
∀x∈U P (x) todos los objetos de U cumplen P (x).∃x∈U P (x) existe un objeto en U que cumple P (x).
∀x∈U y ∃x∈U se llaman cuantificadores acotados.
∀n∈Z(Q(n) ⇒ P (n)) significa“todo número entero divisible por 6 es divisible por 3”
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Cuantificadores
Definición 4.2 (Cuantificadores acotados)
Dado un conjunto U y una afirmaci´ on P (x), introducimos la siguiente
-
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notaci´ on
∀x∈U P (x) todos los objetos de U cumplen P (x).∃x∈U P (x) existe un objeto en U que cumple P (x).
∀x∈U y ∃x∈U se llaman cuantificadores acotados.
∀n∈Z(Q(n) ⇒ P (n)) significa“todo número entero divisible por 6 es divisible por 3”
∃n∈Z(P (n) ∧ ¬Q(n)) significa“existe un número entero divisible por 3 pero que no es divisible por 6 ”
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Cuantificadores
Definición 4.2 (Cuantificadores acotados)
Dado un conjunto U y una afirmaci´ on P (x), introducimos la siguiente
-
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notaci´ on
∀x∈U P (x) todos los objetos de U cumplen P (x).∃x∈U P (x) existe un objeto en U que cumple P (x).
∀x∈U y ∃x∈U se llaman cuantificadores acotados.
∀n∈Z(Q(n) ⇒ P (n)) significa“todo número entero divisible por 6 es divisible por 3”
∃n∈Z(P (n) ∧ ¬Q(n)) significa“existe un número entero divisible por 3 pero que no es divisible por 6 ”
∀x∈U (R(x) ⇔ S (x)) significa“toda persona vive en Medelĺın si y solo si conoce el pueblito paisa ”
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Cuantificadores
Definición 4.2 (Cuantificadores acotados)
Dado un conjunto U y una afirmaci´ on P (x), introducimos la siguiente
-
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notaci´ on
∀x∈U P (x) todos los objetos de U cumplen P (x).∃x∈U P (x) existe un objeto en U que cumple P (x).
∀x∈U y ∃x∈U se llaman cuantificadores acotados.
∀n∈Z(Q(n) ⇒ P (n)) significa“todo número entero divisible por 6 es divisible por 3”
∃n∈Z(P (n) ∧ ¬Q(n)) significa“existe un número entero divisible por 3 pero que no es divisible por 6 ”
∀x∈U (R(x) ⇔ S (x)) significa“toda persona vive en Medelĺın si y solo si conoce el pueblito paisa ”
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Cuantificadores
Definición 4.3 (Existencia única)
Dada una afirmaci´ on P (x) y un conjunto U , denotamos por
-
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∃!xP (x) existe un ´ unico objeto que cumple P (x).∃!x∈U P (x) existe un ´ unico objeto en U que cumple P (x).∃! se denomina el cuantificador de existencia ´ unica y ∃!x∈U es el cuantificador acotado de existencia ´ unica.
Ejemplo:U es el conjunto de los seres humanos
P (x, y) : “y es la madre de x”
-
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Cuantificadores
Definición 4.3 (Existencia única)
Dada una afirmaci´ on P (x) y un conjunto U , denotamos por
-
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∃!xP
(x
) existe un ´ unico objeto que cumple P
(x
).∃!x∈U P (x) existe un ´ unico objeto en U que cumple P (x).∃! se denomina el cuantificador de existencia ´ unica y ∃!x∈U es el cuantificador acotado de existencia ´ unica.
Ejemplo:U es el conjunto de los seres humanos
P (x, y) : “y es la madre de x”
∀x∈U ∃!y∈U P (x, y) significa“todo ser humano tiene una única madre”
“Existe un único numero real tal que al sumarse con cualquier otro reales igual a éste último”:
∃!z∈R∀x∈R(x + z = x)
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Cuantificadores
Definición 4.3 (Existencia única)
Dada una afirmaci´ on P (x) y un conjunto U , denotamos por
-
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∃!xP
(x
) existe un ´ unico objeto que cumple P
(x
).∃!x∈U P (x) existe un ´ unico objeto en U que cumple P (x).∃! se denomina el cuantificador de existencia ´ unica y ∃!x∈U es el cuantificador acotado de existencia ´ unica.
Ejemplo:U es el conjunto de los seres humanos
P (x, y) : “y es la madre de x”
∀x∈U ∃!y∈U P (x, y) significa“todo ser humano tiene una única madre”
“Existe un único numero real tal que al sumarse con cualquier otro reales igual a éste último”:
∃!z∈R∀x∈R(x + z = x)
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Cálculo de Predicados
Definición 4.4 (Cálculo de Predicados)
El Cálculo de Predicados es la extensi´ on del C´ alculo Propocisional al lenguaje con variables y cuantificadores Llamaremos Teorema a una
-
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lenguaje con variables y cuantificadores. Llamaremos Teorema a una
afirmaci´ on que es verdadera (ya sea en el C´ alculo de Predicados y en las matem´ aticas).
Todas las tautoloǵıas son teoremas del Cálculo de Predicados
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Cálculo de Predicados
Definición 4.4 (Cálculo de Predicados)
El Cálculo de Predicados es la extensi´ on del C´ alculo Propocisional al lenguaje con variables y cuantificadores Llamaremos Teorema a una
-
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lenguaje con variables y cuantificadores. Llamaremos Teorema a una
afirmaci´ on que es verdadera (ya sea en el C´ alculo de Predicados y en las matem´ aticas).
Todas las tautoloǵıas son teoremas del Cálculo de Predicados
Proposici´ on : con esta palabra enunciamos teoremas y propiedades
generales del cálculo de predicados
-
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Cálculo de Predicados
Definición 4.4 (Cálculo de Predicados)
El Cálculo de Predicados es la extensi´ on del C´ alculo Propocisional al lenguaje con variables y cuantificadores. Llamaremos Teorema a una
-
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lenguaje con variables y cuantificadores. Llamaremos Teorema a una
afirmaci´ on que es verdadera (ya sea en el C´ alculo de Predicados y en las matem´ aticas).
Todas las tautoloǵıas son teoremas del Cálculo de Predicados
Proposici´ on : con esta palabra enunciamos teoremas y propiedades
generales del cálculo de predicados
Proposición 4.1
Los siguientes son teoremas del C´ alculo de Predicados.
(a) (
∀x∈U P (x))
⇔ ∀x(x
∈ U
⇒ P (x)).
(b) (∃x∈U P (x)) ⇔ ∃x(x ∈ U ∧ P (x)).(c) (∃!xP (x)) ⇔
`(∃xP (x)) ∧ ∀x∀y((P (x) ∧ P (y)) ⇒ x = y)
´.
(d) (∃!x∈U P (x)) ⇔`
(∃x∈U P (x)) ∧ ∀x∈U ∀y∈U ((P (x) ∧ P (y)) ⇒ x = y)´
.
(e) (∃!x∈U P (x)) ⇔ ∃!x(x ∈ U ∧ P (x)).
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Cuantificadores
Proposición 4.2 (Negación de cuantificadores)
Los siguientes son teoremas del C´ alculo de Predicados.
-
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(a) (¬∀xP (x)) ⇔ ∃x(¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador univeral).(b) (¬∃xP (x)) ⇔ ∀x(¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador existencial).(c) (¬∀x∈U P (x)) ⇔ ∃x∈U (¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador univeral
acotado).
(d) (¬∃x∈U P (x)) ⇔ ∀x∈U (¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador existencial acotado).
∃xP (x) equivale a ¬∀x¬P (x)
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Cuantificadores
Proposición 4.2 (Negación de cuantificadores)
Los siguientes son teoremas del C´ alculo de Predicados.
-
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(a) (¬∀xP (x)) ⇔ ∃x(¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador univeral).(b) (¬∃xP (x)) ⇔ ∀x(¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador existencial).(c) (¬∀x∈U P (x)) ⇔ ∃x∈U (¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador univeral
acotado).
(d) (¬∃x∈U P (x)) ⇔ ∀x∈U (¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador existencial acotado).
∃xP (x) equivale a ¬∀x¬P (x)
∃ se puede definir en términos de ∀
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Cuantificadores
Proposición 4.2 (Negación de cuantificadores)
Los siguientes son teoremas del C´ alculo de Predicados.
-
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(a) (¬∀xP (x)) ⇔ ∃x(¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador univeral).(b) (¬∃xP (x)) ⇔ ∀x(¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador existencial).(c) (¬∀x∈U P (x)) ⇔ ∃x∈U (¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador univeral
acotado).
(d) (¬∃x∈U P (x)) ⇔ ∀x∈U (¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador existencial acotado).
∃xP (x) equivale a ¬∀x¬P (x)
∃ se puede definir en términos de ∀
Todo el Cálculo de Predicados se puede construir sólo con los śımbolos
¬ , ∨ , ∀
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Cuantificadores
Proposición 4.2 (Negación de cuantificadores)
Los siguientes son teoremas del C´ alculo de Predicados.
-
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(a) (¬∀xP (x)) ⇔ ∃x(¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador univeral).(b) (¬∃xP (x)) ⇔ ∀x(¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador existencial).(c) (¬∀x∈U P (x)) ⇔ ∃x∈U (¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador univeral
acotado).
(d) (¬∃x∈U P (x)) ⇔ ∀x∈U (¬P (x)) (negaci´ on del cuantificador existencial acotado).
∃xP (x) equivale a ¬∀x¬P (x)
∃ se puede definir en términos de ∀
Todo el Cálculo de Predicados se puede construir sólo con los śımbolos
¬ , ∨ , ∀
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Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.
-
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Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2 P (x y)
-
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2
∀y
∀xP (x, y)
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Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2 y xP (x y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
-
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∀y
∀xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
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Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2 y xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
-
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∀y
∀xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
3 ∃x∀yP (x, y)
-
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Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2 y xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
-
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∀y
∀x ( , y) f g p
3 ∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas las frutas.4 ∀y∃xP (x, y)
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Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2 y xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
-
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∀y
∀( , y) f g p
3 ∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas las frutas.4 ∀y∃xP (x, y) Cualquier fruta le gusta al menos a una persona.
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2 y xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
-
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∀ ∀3 ∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas las frutas.4 ∀y∃xP (x, y) Cualquier fruta le gusta al menos a una persona.5 ∃y∀xP (x, y)
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Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2 y xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
-
8/20/2019 1. Lógica Simbólica y Demostraciones
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∀ ∀3 ∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas las frutas.4 ∀y∃xP (x, y) Cualquier fruta le gusta al menos a una persona.5 ∃y∀xP (x, y) Hay una fruta que le gusta a todas las personas.
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2 y xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
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∀ ∀3 ∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas las frutas.4 ∀y∃xP (x, y) Cualquier fruta le gusta al menos a una persona.5 ∃y∀xP (x, y) Hay una fruta que le gusta a todas las personas.6
∀x
∃yP (x, y)
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2 y xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
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∀ ∀3 ∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas las frutas.4 ∀y∃xP (x, y) Cualquier fruta le gusta al menos a una persona.5 ∃y∀xP (x, y) Hay una fruta que le gusta a todas las personas.6
∀x
∃yP (x, y) A cualquier persona le gusta al menos una fruta.
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Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2 y xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
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∀ ∀3 ∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas las frutas.4 ∀y∃xP (x, y) Cualquier fruta le gusta al menos a una persona.5 ∃y∀xP (x, y) Hay una fruta que le gusta a todas las personas.6
∀x
∃yP (x, y) A cualquier persona le gusta al menos una fruta.
7 ∃x∃yP (x, y)
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2
∀y
∀xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
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∀ ∀3 ∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas las frutas.4 ∀y∃xP (x, y) Cualquier fruta le gusta al menos a una persona.5 ∃y∀xP (x, y) Hay una fruta que le gusta a todas las personas.6
∀x
∃yP (x, y) A cualquier persona le gusta al menos una fruta.
7 ∃x∃yP (x, y) Hay una persona a la que le gusta alguna fruta.
Introducción Cálculo Proposicional Deducciones Lógicas Cuantificadores Métodos de Demostración
Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2
∀y
∀xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
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∀ ∀3 ∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas las frutas.4 ∀y∃xP (x, y) Cualquier fruta le gusta al menos a una persona.5 ∃y∀xP (x, y) Hay una fruta que le gusta a todas las personas.6
∀x
∃yP (x, y) A cualquier persona le gusta al menos una fruta.
7 ∃x∃yP (x, y) Hay una persona a la que le gusta alguna fruta.8 ∃y∃xP (x, y)
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Ejemplo 4.2
Denotemos por P (x, y) la afirmaci´ on “a la persona x le gusta la fruta y”.
1 ∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.2
∀y
∀xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.
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∀ ∀3 ∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas