Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
1
TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde reel sayılar, denklemler ve koordinat düzlemi gözden geçirilecektir.
Muhtemelen bu kavramlarla tanıştınız, ancak gerçek dünya problemlerini modelleme
(tanımlama) ve problem çözme ile birlikte bunların nasıl çalıştığına yeniden bakmak yararlı
olacaktır.
Gerçek yaşam durumlarında bu kavramların nasıl kullanıldığına bakalım: Varsayalım ki
yarı zamanlı işinizde saat başına $9 alıyorsunuz. Ödemenizi y ve çalışma saatinizi x ile
göstererek y = 9x denklemi ile modelleyebiliriz. 200 dolar kazanmak için ne kadar saat
çalışmanız gerektiğini bulmak için, 200 = 9x denklemini çözeriz. y = 9x denklemini koordinat
düzleminde çizmek, çalışılan saatlerle birlikte ödemelerin nasıl değiştiğini görmemizde bize
yardımcı olur.
1.1 Reel Sayılar
Reel Sayıların Özellikleri Toplama ve Çıkarma Çarpma ve Bölme Reel Doğru
Kümeler ve Aralıklar Mutlak Değer ve Uzaklık
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
2
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
3
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
4
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
5
Farklı paydalara sahip kesirleri topladığımızda, genellikle Özellik 4 ‘ü kullanmayız.
Bunun yerine, en küçük mümkün ortak paydaya (sıklıkla paydaların çarpımından daha küçük)
sahip olacak şekilde kesirleri yeniden yazarız ve ardından Özellik 3 ‘ü kullanırız. Bu payda,
gelecek örnekte En Küçük Ortak Payda (EKOP) olarak tanımlanmıştır.
ÖRNEK 3: Kesirleri Toplamada EKOP Kullanımı
Hesapla:
Çözüm Her paydayı asal çarpanlarına ayırdığımızda
Her çarpanın en yüksek kuvveti kullanılarak, bu çarpanlara ayırmada ortaya çıkan tüm
çarpanların çarpılmasıyla en küçük ortak payda (EKOP) bulunur.
Böylece EKOP ‘dır. Yani:
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
6
Şekil 3 ‘de gösterildiği gibi, reel sayılar bir doğru üzerindeki noktalarla temsil edilebilir. Pozitif
yön (sağa doğru) bir ok ile gösterilir. Sıfır (0) reel sayısına karşılık gelen ve orijin olarak
adlandırılan keyfi bir referans noktası O seçeriz. Herhangi bir uygun ölçü birimi verilmişken,
her pozitif x sayısı orijin sağında x birim uzaklığında bulunan nokta ile temsil edilir ver her
negatif -x sayısı orijinin solunda x birim uzaklığında bulunan nokta ile gösterilir. Sayı ile
ilişkilendirilen P noktası, P ‘nin koordinatı olarak adlandırılır ve doğru ise koordinat doğrusu
veya reel sayı doğrusu veya basitçe reel doğru olarak adlandırılır. Çoğunlukla noktayı
koordinatı ile tanımlarız ve bir sayıyı reel doğru üzerindeki bir nokta olarak düşünürüz.
Şekil 3. Reel doğru
Reel sayılar sıralamaya tabi tutulur. Eğer b – a pozitif bir sayı ise, a sayısı b ‘den küçüktür
deriz ve a < b yazarız. Geometrik olarak, bu sayı doğrusu üzerinde a ‘nın b ‘nin solunda
uzanması demektir. Eş değer olarak, b sayısı a ‘dan büyüktür de deyip b > a yazabiliriz. 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏
(veya 𝑏𝑏 ≥ 𝑎𝑎) sembolü a < b veya a = b anlamına gelir ve “a sayısı b ‘e eşit veya küçüktür”
şeklinde okunur. Örneğin, aşağıdakiler doğru eşitsizliklerdir (Şekil 4 ‘e bakın):
Şekil 4
Bir küme nesnelerin bir araya gelmesidir ve bu nesneler kümenin elemanları olarak
adlandırılır. Eğer S bir kümeyse, 𝑎𝑎 ∈ 𝑆𝑆 gösterimi a ‘nın S ‘in bir elemanı olduğu ve 𝑏𝑏 ∉ 𝑆𝑆 ise b
Ortak payda kullanılır
Özellik 3: Aynı paydaya sahip kesirler toplanır.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
7
‘nin S ‘in bir elemanı olmadığı anlamına gelir. Örneğin, Z tamsayılar kümesini temsil ediyorsa,
bu durumda −3 ∈ 𝑍𝑍 ancak 𝜋𝜋 ∉ 𝑍𝑍 ‘dir.
Bazı kümeler ayraçlar içinde elemanların listelenmesi ile tanımlanabilir. Örneğin, 7 ‘den
küçük tüm pozitif tam sayılardan oluşan bir A kümesi aşağıdaki gibi yazılabilir.
A kümesi ayrıca ortak özellik gösterimi kullanarak da şöyle yazılabilir:
𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 | x tam sayıdır ve 0 < 𝑥𝑥 < 7}
gösterimi “A kümesi, x ‘in tamsayı ve 0 < 𝑥𝑥 < 7 olduğu tüm x ‘lerden oluşur.” olarak okunur.
Eğer S ve T küme ise, 𝑆𝑆 ∪ 𝑇𝑇 birleşimi S veya T (veya her ikisinde) ‘de bulunan tüm
elemanlardan oluşan kümedir. S veya T ‘nin kesişimi is S ve T ‘nin her ikisinde bulunan tüm
elemanlardan oluşan 𝑆𝑆 ∩ 𝑇𝑇 kümesidir. Başka bir deyişle, 𝑆𝑆 ∩ 𝑇𝑇 kümesi S ve T ‘nin ortak
kısmından oluşur. ∅ ile gösterilen boş küme, eleman içermeyen kümedir.
ÖRNEK 4: Kümelerin Birleşimi ve Kesişimi
𝑆𝑆 = {1,2,3,4,5}, 𝑇𝑇 = {4,5,6,7} ve 𝑉𝑉 = {6,7,8} ise 𝑆𝑆 ∪ 𝑇𝑇, 𝑆𝑆 ∩ 𝑇𝑇 ve 𝑆𝑆 ∩ 𝑉𝑉 bulunuz.
Çözüm
Aralık olarak adlandırılan reel sayıların bazı kümeleri kalkülüs içerisinde sıklıkla ortaya
çıkar ve geometrik olarak doğru parçasına karşılık gelirler. Eğer 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ise, a ile b arasındaki
tüm sayılardan oluşan a ‘dan b ‘ye açık aralık (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ile gösterilir. a ‘dan b ‘ye bitim noktalarını
içeren kapalı aralık kapalı aralık [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] ile gösterilir. Ortak özellik gösterimiyle aşağıdakiler
yazılabilir:
Şekil 5. Açık aralık (a, b)
S veya T ‘deki tüm elemanlar
S ve T ‘deki ortak elemanlar
S ve T ‘de ortak eleman yoktur
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
8
Şekil 6. Kapalı aralık [a, b]
Dikkat edilirse aralık gösterimindeki parantezler ( ) ve Şekil 5 ‘deki grafikteki içi boş
çemberler, aralıktan bitim noktalarının dışlandığını gösterir. Oysaki, köşeli parantezler ve Şekil
6 ‘daki içi dolu çemberler bitim noktalarının dahil edildiğini gösterir. Aynı zamanda aralıklar
bir bitim noktasını içerebilir veya tek veya iki yönde sonsuza kadar genişleyebilir. Aşağıdaki
tablo, mümkün aralık tiplerini listelemektedir.
ÖRNEK 5: Aralıkların Çizimi
Eşitsizliklere göre her aralığı ifade ediniz ve ardından aralığın grafiğini çiziniz.
ÖRNEK 6: Aralıkların Birleşimi ve Kesişimi Bulma
Her kümenin grafiğini çiziniz.
Çözüm
a) İki aralığın kesişimi iki aralığın her ikisinde bulunan sayılardan oluşur. Bu yüzden
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
9
Bu küme Şekil 7 ‘de gösterilmiştir.
b) İki aralığın birleşimi, bir aralık veya diğer aralıktaki (veya her ikisindeki) sayılardan
oluşur. Bu yüzden
Bu küme Şekil 8 ‘de gösterilmiştir.
Şekil 7. Şekil 8.
|𝑎𝑎| ile gösterilen bir a sayısının mutlak değeri, reel sayı doğrusunda a ‘dan 0 ‘a olan
uzaklıktır (Şekil 9 bakın). Uzaklık her zaman pozitif veya sıfırdır, bu yüzden her a sayısı için
|𝑎𝑎| ≥ 0 ‘dır. Hatırlanırsa, a negatif iken −𝑎𝑎 pozitiftir. Böylece aşağıdaki tanım yapılır.
Şekil 9
Mutlak Değerin Tanımı
a reel bir sayı ise, bu durumda a ‘nın mutlak değeri:
|𝑎𝑎| = � 𝑎𝑎 eğer a ≥ 0−𝑎𝑎 𝑒𝑒ğ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎 < 0
ÖRNEK 7: Sayıların Mutlak Değerlerinin Hesaplanması
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
10
Mutlak değerler ile çalışırken aşağıdaki özellikleri kullanırız.
Reel doğru üzerinde −2 ile 11 arasındaki uzaklık nedir? Şekil 10 ‘dan uzaklığın 13
olduğunu görürüz. Bu sonuca |11 − (−2)| = 13 veya |(−2) − 11| = 13 ‘den ulaşırız. Bu
gözleme dayanarak aşağıdaki tanımı yaparız (Şekil 11 bakın).
Şekil 10 Şekil 11. Doğru parçasının uzunluğu |𝑏𝑏 − 𝑎𝑎|
Reel Doğru Üzerindeki Noktalar Arası Uzaklık
Eğer a ve b reel sayılar ise, reel doğru üzerindeki a ve b noktaları arasındaki uzaklık
şöyledir:
𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = |𝑏𝑏 − 𝑎𝑎|
Negatiflerin Özellik 6 ‘sından şu ortaya çıkar:
|𝑏𝑏 − 𝑎𝑎| = |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏|
Bu, bekleneceği üzere a ‘dan b ‘ye uzaklık ile b ‘den a ‘ya uzaklığın aynı olduğunu söyler.
ÖRNEK 8: Reel Doğru Üzerindeki Noktalar Arası Uzaklık
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
11
−8 ve 2 noktaları arasındaki uzaklık:
𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = |−8 − 2| = |−10| = 10
Şekil 12 ‘de gösterildiği gibi, geometrik olarak bu hesaplamayı kontrol edebiliriz.
Şekil 12
1.2 Üslü Ve Köklü İfadeler
Bu kısımda m/n üssünün rasyonel sayı olduğu gibi ifadeleri inceleğeceğiz. Bunu başarmak için tamsayılı üsler, köklü sayılar ve n. kök konularını anımsamalıyız.
Tanmsayılı Üsler
Aynı sayıların çarpılması sıklıkla üssel notasyonla ifade edilir. Örneğin 5.5.5 , 53 olarak ifade edilir.
Üstel Noasyon:
Eğer a bir reel sayı ve n pozitif tamsayı ise a nın n inci kuvveti
olur.
a ya taban n e ise üs denir.
Örnek 1
Üstel Notasyon
Üstel notasyonla çalışırken pek çok faydalı kural kullanabiliriz. Çarpma için kuralı bulmak için
54 ü 52 ile çarpalım
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
12
Aynı tabana sahip iki kuvveti çarpmak için bunların üslerini toplarız.
Genelleştirilecek olursa
böylelikle
Olur.
Bu kural m ve n sıfır veya negatif bile olsa geçerli olmasını isteriz. Örneğin
Bu ancak
Sağlandığında geçerli olur.
Buna benzer olarak :
Bu da ancak sağlanırsa geçerlidir.
Buna göre şu tanım yapılabilir.
Sıfır veya negatif Üsler
Eğer olmak şartıyla bir tamsayı ise ve n pozitif bir tamsayı ise
dir ve
Örnek 2
Sıfır ve Negatif Üsler
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
13
Üslerle Çalışmak İçin Kurallar
Üslerle ve tabanlarla çalışmak için aşağıdaki kurallar ile aşina olmamız gerekir. Tabloda a ve b sayıları reel sayılardır ve m ve n üsleri tamsayıdır.
Kural Örnek
Kural 3 ün ispatı:
m ve n pozitif tamsayı ise
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
14
veya olması halinde ispat negatif üslerin tanımı kullanılarak yapılabilir.
Kural 4 ün ispatı
n pozitif tamsayı ise
Burada olursa ispat negatif üslerin tanımı kullanılarak yapılabilir
Örnek 3
Üslerle ilgili kuralların kullanılması
Örnek 4
Üstel İfadelerin basitleştirilmesi
Şu ifadeleri basitleştirin
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
15
Çözüm
Bir ifadeyi basitleştirirken aynı sonuca götüren pek çok farklı metot bulabiliriz. Bu bilgilere ek olarak negatif üslerle ilgili şu ek kurallar verilebilir:
Kural Örnek
7. Kuralın ispatı
Negatif üslerin tanımı ve kesirlerdeki ikinci özellik kullanılarak
elde edilir.
Örnek 5
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
16
Negatif üslü ifadelerin basitleştirilmesi
Negatif üsleri yok edip aşağıdaki ifadeleri basitleştirin
Çözüm
a) 7. Kuralı ve sonra 1.kuralı kullanarak
b) Önce Kural 6 yı sonra 5 ve 4 ü kullanarak
Bilimsel Notasyon
Bilim insanları çok büyük veya çok küçük sayıları daha kolay yazabilmek için üstel ifadelerden yararlanırlar.Örneğin güneşin ötesindeki en yakın yıldız Proxima Centauri 40.000.000.000.000 km uzaktadır. Bir hidrojen atomunun kütlesi 0,00000000000000000000000166 gr dır. Böyle sayıların okunması ve yazılması çok zor olduğundan bilim insanları bunları bilimsel notasyon ile gösterirler .
Bilimsel Notasyon:
Bir x pozitif sayısı aşağıdaki gibi yazılırsa bilimsel notasyon ile gösterilmiştir denir
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
17
burada dır ve n tam sayıdır.
Örneğin Proxima Centauri yıldızına olan uzaklık dir. Üsteki 13 sayısı virgülü 13 kez sağa götürmemiz gerektiğini söyler.
Hidrojen atomunun kütlesinin olduğu söylendiğinde üsteki -24 sayısı virgülü 24 kes sola götürmemiz gerektiğini gösterir.
Örnek 6
Ondalık sayıdan bilimsel notasyona geçiş
Aşağıdaki ifadeleri bilimsel notasyonda yazın
Çözüm
Bilimsel notasyon hesap makinelerinde de çok büyük ve küçük sayıları göstermek için kullanılır. Örneğin 1.111.111 sayısının karesi alındığında makine
veya şeklinde görüntü verebilir.
Burada son basamaklar 10 un kuvvetini belirtir, yani sonucu şöyle ifade edebiliriz.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
18
Köklü İfadeler
n tamsayı iken 2n in ne anlama geldiğini biliyoruz. 24/5 şeklindeki rasyonel sayı şeklindeki bir kuvveti açıklamak için köklü ifadeleri anlamak gerekir.
sembolü pozitif karekök anlamına gelir. Böylece
şu demektir: ve de
olduğundan sadece iken anlamlıdır. Örneğin:
çünkü ve de
Karekökleri, n. köklerin özel bir halidir. x in n. kökü n. kuvveti alındığında x i veren sayı demektir.
n. kökün tanımı:
Eğer n bir pozitif tam sayı ise temel n. kök şu şekilde tanımlanır:
, anlamına gelir.
Eğer n çift ise ve de olmalıdır.
Böylece
Ancak ve de tanımlanmamıştır. Örneğin tanımlanmamıştır çünkü reel sayıları karesi negatif olamaz.
Dikkat edilirse
çünkü
çünkü
ve
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
19
ancak
Böylece eşitliğinin her zaman doğru olmadığı görülmüş olur. Sadece
iken doğru olur. Ancak her zaman yazabiliriz Son denklem sadece karekökler için değil tüm çift kökler için geçerlidir. n. kökler ile ilgili bu ve diğer özellikler aşağıda verilmiştir. Her özellik için verilen köklerin mevcut olduğu varsayılmıştır.
Özellikler
Özellik Örnek
Örnek 8 n. köklü ifadelerin basitleştirilmesi
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
20
Bazen gibi benzer kökleri birleştirmek faydalı olabilir. Bu dağılma özelliği kullanılarak yapılabilir. Böylelikle
yazılabilir.
Örnek 9 Kökleri birleştirmek
Rasyonel Üsler
gibi rasyonel üslerin ne anlama geldiğini anlamak için köklü ifadeleri kullanmalıyız.
i üstel sayılarla ilgili kurallarla uyumlu olarak anlamlandırmak için:
yazılmalıdır.
n. kök tanımı ile
Olur.
Genel olarak rasyonel üsler şu şekilde tanımlanır.
m ve n nin tamsayı olduğu ve olan tüm m/n şeklindeki rasyonel üsler için
veya buna denk olarak olur
Eğer n çift ise olması gerekir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
21
Bu tanıma göre üsteller için kurallar rasyonel üsler için de geçerlidir.
Örnek 10 Rasyonel üsleri kullanmak
Örnek 11 Üsteller için kuralların rasyonel üsler için kullanımı
Örnek 12 Köklü ifadeleri rasyonel üsler olarak yazıp basitleştirmek
Paydayı Rasyonelleştirme
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
22
Sıklıkla paydadaki köklü ifadeyi yok etmek için pay ve payda uygun ifade ile çarpılır. Bu
prosedüre paydayı rasyonelleştirmek denir. Eğer payda formunda ise payı ve paydayı
ile çarparız. Böylece değeri “bir” ile çarpmış oluruz ve değer değişmez.
Örneğin:
Dikkat edilirse son kesrin paydasında köklü ifade yoktur. Genel olarak payda
formundaysa ve ise payı ve paydayı ile çarpmak ( iken) paydayı rasyonelleştirir çünkü
Örnek 13 Paydanın Rasyonelleştirilmesi
1.3 Cebirsel İfadeler
Ekleme Ve Çıkarma, Cebirsel İfadelerin Çarpılması, Özel Çarpım Formülleri, Ortak Çarpana Göre
Çarpanlara Ayırma, Üç Terimlilerin Çarpanlara Ayrılması, Özel Çarpanlara Ayırma Formülleri, Grup
Terimine Göre Çarpanlara Ayırma
Değişken belirli bir sayı kümesinden gelen herhangi bir sayıyı temsil edebilen bir harftir. Eğer
x,y ve z gibi değişkenler ve bazı reel sayılar ile başlarsak ve bunları toplama, çıkarma, çarpma,
bölme, kuvvet ve kök için birleştirirsek cebirsel ifade elde edilir. Örneğin,
22x 3x 4− + x 10+ 2y 2xy 4−+
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
23
Tek terimli axk ifadesinde a reel sayı ve k negatif olmayan tamsayıdır. İki terimli iki tek
terimlinin toplamı, üç terimli üç tek terimlinin toplamıdır. Genellikle, tek terimlilerin toplam
polinom olarak adlandırılmaktadır. Yukarıda verilenlerden ilk ifade polinom iken diğerleri
değildir.
Polinomlar
X değişkeni polinom a0, a1, …., an reel sayılar ve n pozitif tamsayıdır. Eğer an ≠ 0 ise polinomun
derecesi n’dir. Tek terimliler akxk terimlerine polinom terimleri denir.Bir polinom derecesinin,
polinomdaki değişkenin en yüksek kuvveti olduğuna dikkat edin.
Polinom Tür Terimler Derece 22x 3x 4− + Üç Terimli 22x , 3x,4− 2
8x 5x+ İki Terimli 8x ,5x 8
2 313 x x x2
− + − Dört Terimli 2 313, x,x , x
2− −
3
5x 1+ İki Terimli 5x,1 1
59x Tek Terimli 59x 5
6 Tek Terimli 6 0
Polinomlara Ekleme ve Çıkarma
Reel sayıların özelliklerini kullanarak bölüm 1.1 de bahsedildiği şekilde polinomları ekler ve
çıkarırız.
Bölüm 1.1'de tartışılan reel sayıların özelliklerini kullanarak polinomlar ekleyip çıkartılabilir.
Dağılma özelliğini kullanarak benzer terimlerin terimleri (yani, aynı değişkenlerin aynı
kuvvete sahip terimlerin) birleştirilmesidir. Örneğin,
( )7 7 7 75 3 5 3 8x x x x+ = + =
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
24
Polinomları çıkartırken, eksi işareti parantez içindeki bir ifadeden önce gelirse, parantez
kaldırılırken parantez içerisindeki her bir terimin işaretinin değiştirilmesi gerektiği
hatırlanmalıdır.
( )b c b c− + = − −
[ Bu dağılma özelliğine bir örnektir. ( ) 1a b c ab ac, a+ = + = − ]
ÖRNEK 1: Polinomlara ekleme ve çıkarma
(a) Toplamı bul ( ) ( )3 2 3 26 2 4 5 7x x x x x x− + + + + −
(b) Farkı bul ( ) ( )3 2 3 26 2 4 5 7x x x x x x− + + − + −
ÇÖZÜM 1:
(a) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 3 2
3 3 2 2
3 2
6 2 4 5 7
= 6 5 2 7 4 Benzer terimlerin gruplandırılması
=2 5 4 Benzer terimlerin birleştirilmesi
x x x x x x
x x x x x x
x x x
− + + + + −
+ + − + + − +
− − +
(b)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 3 2
3 2 3 2
3 3 2 2
2
6 2 4 5 7
= 6 2 4 5 7 Dağılma Özelliği
= 6 5 2 7 4 Benzer terimlerin gruplandırılması
=-11x 9 4
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x
− + + − + −
− + + − − +
− + − − + + +
+ + Benzer terimlerin birleştirilmesi
Cebirsel İfadelerin Çarpılması
Polinomların veya diğer cebirsel ifadelerin çarpımını bulmak için, Dağılma Özelliğini tekrar
tekrar kullanmak gerekir. Özellikle iki terimlinin çarpımında üç kez kullanmak gerekir.
Bu, iki faktörün çarpımında; bir faktördeki her bir terimin diğer faktördeki her terimle
çarpılarak toplanacağını ifade etmektedir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
25
İki cebirsel ifadenin çarpımında genellikle Dağılma Özelliği ve Üs Kuralları kullanılır.
ÖRNEK 2: İki Terimlilerin Çarpımında FOIL Kullanımı
Üç terimlileri veya diğer polinomları daha fazla terimlerle çarptığımızda, Dağılım Özelliğini
kullanırız.
ÖRNEK 3: Polinomların Çarpımı:
( ) ( )22 3 5 4x x x+ − + çarpımını bulun.
ÇÖZÜM : Dağılma Özelliğini kullanarak:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2
3 2
2 3 5 4 2 5 4 3 5 4 Dağılma Özelliği
2 2 5 2 4 3 3 5 3 4 Dağılma Özelliği
2 10 8
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
+ − + = − + + − +
= − + + − +
= − +
( ) ( )2
3 2
3 15 12 Üs Kuralı
2 7 7 12 Benzer Terimlerin Birleştirilmesi
x x x
x x x
+ − +
= − − +
ÇÖZÜM 2: Tablo Formu kullanarak:
Özel Çarpım Formülleri:
A ve B herhangi bir reel sayı yada cebirsel ifade olmak üzere
1. ( ) ( )+ − = −2 2 Benzer Terimlerin çarpılması ve toplanmasıA B A B A B
2. ( )+ = + +2 2 22 Toplamın KaresiA B A AB B
3. ( )− = − +2 2 22 Farkın KaresiA B A AB B
Dağılma Özelliği
Benzer Terimlerin Birleştirilmesi
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
26
4. ( )+ = + + +3 3 2 2 33 3 Toplamın KübüA B A A B AB B
5. ( )− = − + −3 3 2 2 33 3 Farkın KübüA B A A B AB B
Bu formüllerin (veya cebirde başka bir formülün kullanılması) temel fikri Yerine koyma
Prensipidir. Formüldeki herhangi bir harf için herhangi bir cebir ifadesinin yerini koyabiliriz.
Örneğin, ( )22 3x y+ bulabilmek için, çarpım formülü 2 kullanarak 2x yerine A ve 3y yerine B
koyabiliriz.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 22 3 2 2 3 3
2 2 2
2
2
x y x x y y
A B A AB B
+ = + +
+ = + +
ÖRNEK 4: Özel Çarpım Formüllerini Kullanarak
Özel çarpım formüllerini kullanarak aşağıdakilerin her birini bulunuz.
(a) ( )23 5x + (b) ( )32 5x −
ÇÖZÜM:
(a) 2. Çarpım formülünde A=3x ve B= 5 yerine koyarak
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 5 3 2 3 5 5 9 30 25x x x x x+ = + + = + +
(b) 5. Çarpım formülünde A = x2 ve B = 2 yerine koyarak
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 22 2 2 2 3 6 4 22 3 2 3 2 2 6 12 8x x x x x x x− = − + − = − + −
ÖRNEK 5: Özel çarpım formüllerini kullanarak aşağıdaki çarpımları bulunuz.
(a) ( ) ( )2 2x y x y− + (b) ( ) ( )1 1x y x y+ − + +
ÇÖZÜM:
(a) 1. Çarpım formülünde A=2x ve B= y yerine koyarak
( ) ( ) ( ) ( )22 22 2 2 4x y x y x y x y− + = − = −
(b) Eğer x + y bir grup olarak alınırsa cebirsel ifade de A = x + y ve B = 1 ise 1. çarpım
formülü kullanılarak
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2
2 2
1 1 1 1
1 1.Çarpım Formülü
2 1 2.Çarpım Formü
x y x y x y x y
x y
x xy y
+ − + + = + − + +
= + −
= + + − lü
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
27
Ortak Çarpanlara Ayırma:
Cebirsel ifadeleri genişletmek için Dağılma Özelliğini kullanırız. Bazen, bir ifadeyi daha basit
olanların çarpımı olarak çarpanlara ayırma işlemi tersine çevirerek uygulanabilir (tekrar
Dağılma Özelliğini kullanarak). Örneğin,
x -2 ve x + 2, x2 – 4 ün çarpanlarıdır. En kolay çarpanalaara ayırma ortak faktör olduğunda
gerçekleşmektedir.
ÖRNEK 6: Ortak Faktöre Göre Çarpanlara Ayırma:
Her bir ifadeyi çarpanlarına Ayırın.
(a) 23 6x x− (b) 4 2 3 3 48 6 2x y x y xy+ −
(c ) ( ) ( ) ( )2 4 3 5 3x x x+ − − −
ÇÖZÜM:
(a) 3x2 ve 6x için en büyük ortak çarpan 3x;
( )23 6 3 2x x x x− = −
(b) Dikkat edilecek olursa;
8, 6 ve -2 için ortak çarpan 2
x4, x3 ve x için ortak çarpan x
y2, y3 ve y4 için ortak çarpan y2 olmak üzere
3 terimin en büyük ortak çarpanı 2xy2 ise,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
4 2 3 3 4 2 3 2 2 2 2
2 3 2 2
8 6 2 2 4 2 3 2
2 4 3
x y x y xy xy x xy x y xy y
xy x x y y
+ − = + + −
= + −
( c) iki terimde de ortak çarpan x – 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 4 3 5 3 2 4 5 3 Dağılma Özelliği
2 1 3 Basitleştirme
x x x x x
x x
+ − − − = + − − = − −
Üç Terimleri Çarpanlara Ayırma
Üç terimli 2x bx c+ + ifadesini çarpanlara ayırma
( ) ( ) ( )2x r x s x r s x rs+ + = + + +
r + s= b ve rs = c i sağlayacak r ve s nin bulunması gerekmektedir.
Çarpanlara Ayırma
Genişletme
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
28
ÖRNEK 7: Deneme ve hata ile 2x bx c+ + ifadesini çarpanlara ayırma 2 7 12x x+ + çarpanlarına ayırınız.
ÇÖZÜM: Çarpımları 12 ve toplamları 7 olan iki tamsayı bulmak gerekmektedir. Deneme ve
hata ile 3 ve 4 tamsayılarını elde edebiliriz. Sonuçta çarpanlara ayırma;
( ) ( )2 7 12 3 4x x x x+ + = + +
2ax bx c+ + ifadesini çarpanlarına ayırmak için ( )px r+ ve ( )qx s+ çarpanlarının bulunması
gerekmektedir.
pq a,= rs c= , ps qr b+ = eşitliklerini sağlayan p, q, r ve s sayılarının bulunmaya çalışılması gerekmektedir.
Eğer bu sayıların hepsi tamsayı ise, p, q, r ve s bulmak için sınırlı sayıda imkana sahip oluruz.
ÖRNEK 8: Deneme ve hata ile 2ax bx c+ + ifadesini çarpanlara ayırma
26 7 5x x+ − çarpanlarına ayırınız.
ÇÖZÜM: 6 sayısını 6 1 ya da 3 2 olarak, -5 sayısını -5 1 veya ( )5 1− olarak çarpanlara
ayırabiliriz. Bütün durumları deneyerek, çarpanlara ayrılabilir.
( ) ( )26 7 5 3 5 2 1x x x x+ − = + −
ÖRNEK 9: Bir ifadenin formunu fark etmek
Her bir ifadeyi çarpanlara ayırınız.
(a) 2 2 3x x− − (b) ( ) ( )25 1 2 5 1 3a a+ − + − ÇÖZÜM:
(a) Deneme ve hata ile ( ) ( )2 2 3 3 1x x x x− − = − + (b) Aşağıdaki formdaki ifade
12’nin çarpanları
-5 ’ in çarpanları
6 ’ in çarpanları
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
29
(a) da olduğu gibi çarpanlar ( - 3 )( + 1)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
+ − + − = + − + + − +
25 1 2 5 1 3 5 1 3 5 1 1
= 5 2 5 2
a a a a
a a
Özel Çarpanlara Ayırma Formülleri
Formül İsim
1. ( ) ( )− = − +2 2 Farkın KaresiA B A B A B
2. ( )+ + + 22 22 = Tam KareA AB B A B
3. ( )− + − 22 22 = Tam KareA AB B A B
4. ( ) ( )− = − + +3 3 2 2 Farkın KübüA B A B A AB B
5. ( ) ( )+ = + − +3 3 2 2 Küp ToplamıA B A B A AB B
ÖRNEK 10: Farkın Karesini Çarpanlara Ayırma
Her bir ifadeyi çarpanlara ayırın.
(a) −24 25x (b) ( )+ −2 2x y z ÇÖZÜM:
(a) A = 2x ve B = 5 ile kare Farkı formüllerini kullanarak ( ) ( ) ( )
( ) ( )− = − = − +
− = − +
22 2
2 2
4 25 2 5 2 5 2 5
x x x x
A B A B A B
(b) A = x + y ve B = z ile kare farkı formüllerini kullanarak
( ) ( ) ( )+ − = + − + +2 2x y z x y z x y z ÖRNEK 11: Farkın ve toplamın küpün çarpanlara ayrılması
Her bir polinomu çarpanlara ayırınız.
(a) −327 1x (b) +6 8x ÇÖZÜM:
(a) A = 3x ve B = 1 ile Küp farkını kullanarak
Burada ile ifade edilmektedir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
30
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) − = − = − + +
− + +
3 23 3 2
2
27 1 3 1 3 1 3 3 1 1
= 3 1 9 3 1
x x x x x
x x x
(b) A = x2 ve B = 2 ile Küp toplamı kullanarak
( ) ( ) ( )+ = + = + − +36 2 3 2 4 28 2 2 2 4x x x x x
Üç terimli tam kare aşağıdaki formlarda ise,
+ +2 22A AB B − +2 22A AB B
Eğer ortadaki terimler dıştaki terimlerin kareköklerinin çarpımın artı veya eksi iki katı ise (2AB yada -2AB) kusursuz bir karesel ifade olduğunu fark ederiz.
ÖRNEK 12: Kusursuz karesel ifadeleri fark etme
Her bir üç terimliyi çarpanlara ayırınız.
(a) + +2 6 9x x (b) − +2 24 4x xy y ÇÖZÜM:
(a) A = x ve B = 3, = = 2 2 3 6AB x x . Orta terim 6x olduğu için üç terimli tam karedir. Tam kare formülü kullanarak
( )+ + = + 22 6 9 3x x x (b) A = 2x ve B = y, = = 2 2 2 4AB x y xy . Orta terim -4xy olduğu için üç terimli tam
karedir. Tam kare formülü kullanarak
( )− + = − 22 24 4 2x xy y x y Bir ifadeyi çarpanlara ayırırken bazen çıkan sonucu tekrar çapanlara ayırmak gerekebilir. Çarpanlara ayırma işlemi ifade tamamen çarpanlara ayrılana kadar devam edecektir.
ÖRNEK 13: İfadenin Tamamen Çarpanlara Ayrılması
Her bir ifadeyi tamamen çarpanlara ayırın.
(a) −4 22 8x x (b) −5 2 68x y xy ÇÖZÜM:
(a) ( )( ) ( )
− = −
− + −
4 2 2 2 2
2 2
2 8 2 4 Ortak çarpan 2x
=2 2 2 x 4 kare farkı
x x x x
x x x
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
31
(b) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
− = −
= + − −
+ − + −
5 2 6 2 4 4 2
2 2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 2
8 xy ortak çarpanı
x kare farkı
= x kare farkı
x y xy xy x y
xy x y x y y
xy x y x y x y y
Yeni örnekler kesirli üslere göre değişkenlerin çarpanlara ayrılması ile ilgilidir.
ÖRNEK 14: Kesirli Üslere Göre İfadelerin Çarpanlara Ayrılması
(a) −− +3 2 1 2 1 23 9 6x x x (b) ( ) ( )−+ + +2 3 1 32 2x x x ÇÖZÜM:
(a) En küçük x in üssüne göre çarpanlara ayrılırsa, yani 1 2x− ( )( ) ( )
− − −
−
− + = − +
− − − +
3 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
1 2 2
3 9 6 3 3 2 3x göre ortak çarpan
=3 1 2 3 2 çarpanlara ayrılır
x x x x x x
x x x x x
(b) (x + 2)’in en küçük üssüne göre çarpanlara ayrılırsa
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
− − −
−
−
+ + + = + + + +
+ +
+ +
2 3 1 3 2 3 2 3
2 3
2 3
2 2 2 2 2 göre ortak çarpan
= 2 2 2 basitleştirme
=2 2 1
x x x x x x x
x x
x x ortak çarpan 2
Gruplama İle Çarpanlara Ayırma
En az dört terimli polinomlar bazen gruplandırılarak çapanlara ayrılırlar.
ÖRNEK 15: Gruplama İle Çarpanlara Ayırma
(a) 3 2x x 4x 4+ + + (b) 3 2x 2x 3x 6− − + ÇÖZÜM:
(a) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 2 3 2
2
2
x x 4x 4 x x 4x 4 Terimleri gruplama
=x x 1 4 x 1 ortak çarpana göre
= x 4 x 1 her bir terim x+1 e göre çarpa
+ + + = + + +
+ + +
+ + nlara ayrılır
(b) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 2 3 2
2
2
x 2x 3x 6 x 2x 3x 6 Terimleri gruplama
=x x 2 3 x 2 ortak çarpana göre
= x 3 x 2 her bir terim x-2 e göre çar
− − + = − − −
− − −
− − panlara ayrılır
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
32
1.4 RASYONEL İFADELER
Cebirsel İfadelerin Tanım Kümesi, Rasyonel İfadeleri Basitleştirme, Rasyonel İfadeleri Çarpma
ve Bölme, Rasyonel İfadeleri Toplama ve Çıkarma, Bileşik Kesirler, Pay veya Paydayı
Rasyonel Hale Getirme, Genel Hatalardan Kaçınma
İki cebirsel ifadenin oranı kesirli ifade olarak adlandırılır. Aşağıda birkaç örnek verilmiştir:
Rasyonel ifade, pay ve paydanın her ikisinin de polinomlar olduğu kesirli ifadedir.
Bu bölümde rasyonel ifadeler üzerinde cebirsel işlemleri nasıl yapacağımız öğreneceğiz.
Cebirsel İfadenin Tanım Kümesi
Genellikle, cebirsel ifade değişkenin tüm değerleri için tanımlı olmayabilir. Cebirsel ifadenin
tanım kümesi değişkenin almasını izin verilen reel sayıların bir dizisidir. Aşağıdaki tablo bazı
temel ifadeleri ve tanım kümelerini vermektedir
İfade Tanım kümesi
ÖRNEK 1 Bir İfadenin Tanım Kümesini Bulmak
Aşağıdaki ifadelerin tanım kümelerini bulunuz.
ÇÖZÜM
(a) Bu polinom her x için tanımlanmıştır. Böylece, tanım kümesi reel sayıların kümesidir.
(b) Önce paydayı çarpanlarına ayırırız.
x=2 veya x=3 olursa payda 0 olur.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
33
x=2 veya x=3 iken payda sıfır olduğundan, ifade bu sayılar için tanımlı değildir. Tanım kümesi
(c) Payın tanımlı olması için, olmalıdır. Aynı zamanda, sıfır ile bölemeyiz, yanı
Karekökünü almak için olmalı olursa payda 0 olur
Böylece, tanım kümesi
Rasyonel İfadeleri Basitleştirme
Rasyonel ifadeleri basitleştirmek için, pay ve paydayı çarpanlarına ayırıyoruz ve kesirlerin
aşağıdaki özelliğini kullanıyoruz:
Bu pay ve paydadan ortak çarpanları sadeleştirmemize izin verir.
ÖRNEK 2 Sadeleştirme ile Rasyonel İfadeleri Basitleştirme
Basitleştirin:
ÇÖZÜM
Çarpanlarına ayırın
Ortak çarpanları sadeleştirin
bir çarpan olmadığı için, ifadesindeki 'leri sadeleştiremeyiz.
Rasyonel İfadelerde Çarpma ve Bölme
Rasyonel ifadeyi çarpmak için, kesirlerin aşağıdaki özelliğini kullanıyoruz:
Bu özellik iki kesri çarpmak için paylarını ve paydalarını çarpmamızı söylüyor.
ÖRNEK 3 Rasyonel İfadelerin Çarpımı
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
34
Belirtilen çarpımı yapın ve basitleştirin:
ÇÖZÜM Önce çarpanlarına ayırırız.
Çarpanlara ayırın
Kesirlerin özelliği
Ortak çarpanları sadeleştirin
Kesirli ifadeleri bölmek için, kesirlerin aşağıdaki özelliğini kullanırız.
Bu özellik bir kesri başka bir kesirle bölmek için, böleni ters çeviririz ve çarparız.
ÖRNEK 4 Rasyonel İfadelerin Bölümü
Belirtilen bölümü yapın ve basitleştirin:
ÇÖZÜM
Ters çevirin ve çarpın
Çarpanlarına ayırın
Ortak çarpanları sadeleştirin
Rasyonel İfadelerde Toplama ve Çıkarma
Rasyonel ifadelerde toplama ve çıkarma için, öncelikle ortak paydayı buluruz ve kesirlerin
aşağıdaki özelliğini kullanırız:
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
35
Herhangi bir ortak paydayı kullanabilmemize rağmen, Bölüm 1.1'de açıklandığı gibi en küçük
ortak paydayı (LCD) kullanmak en iyisidir. LCD her paydayı çarpanlarına ayırarak ve
çarpanların hepsinde görünen en yüksek kuvveti kullanan farklı çarpanların bileşkesini alarak
bulunur.
Aşağıdaki hatayı yapmaktan kaçının:
Örnek olarak, eğer ve alırsak, hatayı görebiliriz:
ÖRNEK 5 Rasyonel İfadelerde Toplama ve Çıkarma
Belirtilen işlemleri yapın ve sadeleştirin:
ÇÖZÜM
(a) Burada LCD sadece bu ifadedir:
LCD kullanarak çarpanları yazın
Çarpanları ekleyin
Terimleri pay içinde birleştirin
(b) ve ifadelerinin LCD'si 'dir.
Çarpanlarına ayırın
LCD kullanarak kesirleri birleştirin
Dağılma Özelliği
Payda terimleri birleştirin
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
36
Bileşik Kesirler
Bileşik kesir, payın, paydanın veya her ikisinin de kesirli ifadelerden oluştuğu bir kesirdir.
ÖRNEK 6 Bileşik Kesri Sadeleştirme
Basitleştirin:
ÇÖZÜM 1 Paydaki terimleri bir tek kesir içinde birleştiriyoruz. Aynısını paydada yapıyoruz.
Sonra ters çevirip çarpıyoruz.
ÇÖZÜM 2 İfadedeki tüm kesirlerin LCD'sini buluruz, sonra payı ve paydayı bununla çarparız.
Bu örnekte tüm kesirlerin LCD'si 'dir. Böylece
Pay ve paydayı ile çarpın
Sadeleştirin
Çarpanlarına ayırın
Sonraki iki örnek kesirli ifadelerle çalışma yeteneği gerektiren kalkülüs durumlarını gösterir.
ÖRNEK 7 Bileşik Kesri Basitleştirme
Basitleştirin:
ÇÖZÜM Ortak paydayı kullanarak kesirleri pay içinde birleştirerek başlıyoruz.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
37
Pay içinde kesirleri birleştirin
Kesirlerin 2. Özelliği (böleni ters çevirin ve çarpın)
Dağılma Özelliği
Sadeleştirme
Kesirlerin 5. Özelliği (Ortak kesirleri sadeleştirin)
ÖRNEK 8 Bileşik Kesri Basitleştirme
Basitleştirin:
ÇÖZÜM 1 Paydan ifadesini çarpanlarına ayırın
En küçük üslü 'nin kuvvetini çarpanlarına ayırın, bu örnekte
ÇÖZÜM 2 = bir kesir olduğundan, pay ve paydayı ile
çarparak tüm kesirleri ortadan kaldırabiliriz.
Pay ve Paydayı Rasyonelleştirme
Bir kesir şeklinde bir paydaya sahipse, pay ve payda eşlenik köküyle
çarpılarak payda rasyonelleştirilebilir. Bölüm 1.3'teki Özel Çarpım Formülü 1 ile paydanın ve
eşlenik kökünün çarpımı bir kök içermeyeceğinden bu işlem uygulanır:
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
38
ÖRNEK 9 Paydayı Rasyonelleştirme
Paydayı rasyonelleştirin:
ÇÖZÜM Pay ve paydanın her ikisini 'nin eşlenik kökü ile çarparız.
Pay ve paydayı eşlenik köküyle çarpın.
Özel Çarpım Formülü 1
Özel Çarpım Formülü 1
ÖRNEK 10 Payı Rasyonelleştirme
Payı rasyonelleştirin:
ÇÖZÜM Payı ve paydayı eşlenik köküyle çarparız.
Payı ve paydayı eşlenik köküyle çarpın.
Özel Çarpım Formülü 1
Kesirlerin 5. Özelliği (ortak çarpanları
sadeleştirme)
Ortak Hatalardan Kaçınma
Toplama operatörüne çarpımın özelliklerini uygularken hata yapmayın. Cebirde ortak
hataların çoğu böyle hataları içerir. Aşağıdaki tablo çarpmanın birkaç özelliğini belirtir ve
bunların toplamaya uygulanmasındaki hataları gösterir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
39
Sağ sütundaki eşitliklerin yanlış olduğunu kanıtlamak için, basitçe a ve b yerine sayıları koyun
ve her iki tarafı hesaplayın. Örneğin, dördüncü hatada a=2 ve 2 ve b=2 alırsak, sol tarafı şu
şekilde iken
sağ tarafı şu şekilde buluruz
olduğundan, verilen eşitlik yanlıştır. Siz de diğer eşitliklerin her birindeki hatayı benzer
şekilde kanıtlamalısınız.
1.5 Denklemler
Bir denklem iki matematiksel ifadenin eşit olduğuna dair bir deyimdir. Örneğin:
3 + 5 = 8
bir denklemdir. Cebirde çalıştığımız çoğu denklemde, sayıları belirten semboller (genellikle
harfler) olan değişkenler bulunur.
4𝑥𝑥 + 7 = 19
denkleminde x harfi bir değişkendir. Denklemde x’ i “bilinmeyen” olarak düşünüyoruz ve
amacımız denklemi doğru yapan (gerçekleyen) x değerini bulmaktır. Denklemi doğru kılan
bilinmeyen değerlere denklemin çözümleri veya kökleri denir ve çözümleri bulma işlemine
denklemin çözümü denir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
40
Tam olarak aynı çözümlere sahip iki eşitlik denklemi eş değer denklemler olarak
adlandırılır. Bir denklemi çözmek için değişkenin “eşit” işaretinin bir tarafında tek başına
durduğu daha basit eşdeğer bir denklem bulmaya çalışıyoruz.
Aşağıda bir denklemi çözmekte kullandığımız özellikler vardır. (Burada A, B ve C
herhangi bir cebir ifadesini ve ⇔ sembolü eşdeğerdir anlamına gelir.)
Bu özellikler eşitliği çözerken bir denklemin her iki tarafında da aynı işlemi
gerçekleştirmenizi gerektirir. Bu nedenle bir denklemi çözerken “−7 eklemeyi” söylersek, bu
“denklemin her iki yanına −7 ekleme” nin kısa bir yoludur.
Doğrusal Denklemlerin Çözümü
Denklemin en basit türü her terimin değişkeninin sabit veya sıfırdan farklı bir değişkeni
olduğu bir denklem olan doğrusal denklemdir veya birinci dereceden denklemdir.
Doğrusal Denklemler
Tek değişkenli doğrusal denklem 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 0 biçiminde tanımlanmaktadır. Burada a ve
b reel (gerçel) sayılar ve x değişkendir.
Aşağıda doğrusal denklemler ile doğrusal olmayan denklemler arasındaki farkı görmek için
bazı örnekler vardır.
Doğrusal denklemler Doğrusal olmayan denklemler
Örnek 1 Doğrusal Denklemlerin Çözümü
denklemini çözünüz.
Çözüm Bunu, bir tarafta x değişkeni ve diğer tarafta da sabitleri içeren tüm terimlerle eş değer
bir denklem haline getirerek çözeriz.
Değişkenin karesini içerir, doğrusal değil.
Değişkenin kare kökünü içerir, doğrusal değil. Değişkenin tersini içerir, doğrusal değil.
Verilen denklem
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
41
Cevabı Kontrol Et: x = 3 için denklemin sol yanı = 7(3)− 4 = 17
denklemin sağ yanı = 3(3) + 8 = 17
Bilimlerdeki birçok formül çeşitli değişkenleri içerir ve değişkenlerden birini diğerleri
açısından ifade etmek genellikle gereklidir. Sonraki örnekte, Newton ‘un Yerçekimi Kanunu
‘ndaki değişkene çözüm buluyoruz.
Örnek 2 Diğerleri Cinsinden Bir Değişken İçin Çözüm
Aşağıdaki denklemi M değişkeni cinsinden çözünüz.
Çözüm Bu denklem birden fazla değişkene sahip olsa da M ‘yi bir tarafta bırakarak diğer
değişkenlere sayı gibi davranarak çözeriz.
Çözüm ‘dir.
Örnek 3 Diğerleri Cinsinden Bir Değişkeni Çözme
Şekil 1 ‘de gösterilen kapalı dikdörtgen kutunun alanı formülüyle
hesaplanır. h yükseklik, l boy ve w eni temsil etmektedir.
“4 ekle” “sadeleştir”
“3x çıkar”
“sadeleştir”
“14 ile çarp”
“sadeleştir”
Sağ tarafta M çarpanlarına ayırıldı.
𝐺𝐺𝐺𝐺𝑟𝑟2 ‘nin tersi ile çarp.
sadeleştir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
42
Şekil 1. Bir kapalı dikdörtgen kutu
Bu denklemde w değişkenini diğerleri cinsinden elde ediniz.
Çözüm Bu denklem birden fazla değişkene sahip olsa da w değişkenini bir tarafta bırakarak
diğer değişkenlere sayı gibi davranarak çözeriz.
Çözüm:
İkinci Derece Denklemlerin Çözümleri
2𝑥𝑥 + 1 = 5 veya 4 − 3𝑥𝑥 = 2 gibi doğrusal denklemler birinci derecedendir. 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0
veya 2𝑥𝑥2 + 3 = 5𝑥𝑥 gibi kuadratik (karesel) denklemler ikinci derecedendir.
İkinci Derecen Denklem
Bir ikinci derece denklemin genel formu
𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0
biçimindedir. Burada a, b ve c reel sayı olup 𝑎𝑎 ≠ 0 ‘dır.
Bazı kuadratik denklemler, reel sayıların aşağıdaki temel özelliklerini ve çarpanlarına ayırmayı
kullanarak çözülebilir.
Sıfırla-Çarpım Özelliği
0=AB ancak ve ancak 0=A veya 0=B ’dır.
Bu özellik bir kuadratik (veya diğer) denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırabilirsek
her çarpanı sırayla sıfıra eşitleyerek çözebileceğimiz anlamına gelir. Bu yöntem
yalnızca denklemin sağ tarafı sıfır olduğunda çalışır.
Örnek 4: Çarpanlara ayırma yöntemiyle ikinci dereceden denklem çözme
2452 =+ xx denklemini çözünüz.
Çözüm: Denklemin sağ tarafını sıfır olacak biçimde yeniden yazmalıyız.
2452 =+ xx
02452 =−+ xx “24 çıkar”
0)8)(3( =+− xx “çarpanlarına ayır”
w içeren terimler bir araya toplanır. 2lh çıkar.
sağ tarafta w çarpanlarına ayrılır.
2l + 2h ‘a böl.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
43
𝑥𝑥 − 3 = 0 veya 𝑥𝑥 + 8 = 0 “sıfırla çarpım özelliği”
𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 = 8 “çözüm”
Kontrol: 24159)3(532 =+=+ , 244064)8(5)8( 2 =−=−++−
Örnek 4’de denklemin bir tarafının neden 0’a eşit olması gerektiğini gördünüz mü? Denklem
𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) = 24 biçiminde çarpanlarına ayırılması çözümü bulmaya yardımcı olmaz. Çünkü 24
sayısı sonsuz yolla çarpanlarına ayırabilir (6.4,1/2.48,-60.-2/5).
𝑐𝑐 bir sabit olmak üzere 𝑥𝑥2 − 𝑐𝑐 = 0 denkleminin çarpanlarına ayırılışı �𝑥𝑥 − √𝑐𝑐��𝑥𝑥 + √𝑐𝑐� = 0
biçimdedir. Çözümler: 𝑥𝑥 = √𝑐𝑐, 𝑥𝑥 = −√𝑐𝑐’dir. Genellikle bu çözümler 𝑥𝑥 = ±√𝑐𝑐 olarak yazılır.
Basit Bir Kuadratik Denklem Çözümü
𝑥𝑥2 = 𝑐𝑐 denkleminin çözümleri 𝑥𝑥 = √𝑐𝑐, 𝑥𝑥 = −√𝑐𝑐 ‘dir.
Örnek 5: a) 𝑥𝑥2 = 5 b) (𝑥𝑥 − 4)2 = 5 denklemlerini çözünüz.
Çözüm: a) 𝑥𝑥 = ±√5
b) Her iki tarafın karekökü alınıp denklem düzenlenirse;
(𝑥𝑥 − 4)2 = 5
𝑥𝑥 − 4 = ±√5
𝑥𝑥 = 4 ± √5 “4 ekle”
Çözümler 𝑥𝑥 = 4 − √5 ve 𝑥𝑥 = 4 + √5 ‘dir.
Örnek 5’te görüldüğü gibi (𝑥𝑥 ± 𝑎𝑎)2 = 𝑐𝑐 biçimindeki bir denklemin çözümü her iki tarafın
karekökü alınarak bulunur. Bu formdaki denklemin sol tarafı tam kare’dir (perfect square).
Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklem kolayca çarpanlarına ayrılamıyorsa o zaman kareye
tamamlama tekniğini kullanarak denklemi çözebiliriz. Bu, bir ifadeyi tam kare yapmak için bir
sabit eklediğimiz anlamına gelmektedir. Örneğin, 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 ifadesini tam kare yapmak için 9
eklemeliyiz. Çünkü 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 = (𝑥𝑥 − 3)2’dir.
Kareye Tamamlama (Tam Kare Yapmak)
𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 ifadesini tam kare yapmak için x katsayısının yarısının karesi
�𝑏𝑏2�
2eklenir. Bu durumda;
𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + �𝑏𝑏2�
2
= �𝑥𝑥 +𝑏𝑏2�
2
olur.
Kare tamamlanırken, 𝑥𝑥2 katsayısının 1 olduğundan emin olun.
öyle değilse, bu katsayıyı, 𝑥𝑥 içeren her iki terimden de hesaba katmalısınız:
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
44
𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 �𝑥𝑥2 +𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑥𝑥�
Ardından, parantez içindeki ifadeyi kareye tamamlayın. Teriminin parantez içine eklenen
terimin a ile çarpıldığını unutmayın.
Örnek 6: Kareye Tamamlayarak Kuadratik Denklemi Çözme
a) 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 13 = 0 b) 3𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 6 = 0 denklemlerini tam kare yaparak
çözünüz.
Çözüm: a) 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 = −13 “13 çıkar”
𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 16 = −13 + 16 “Kare yapmak için (−8 2⁄ )2 = 16 ekle”
(𝑥𝑥 − 4)2 = 3 “tam kare”
𝑥𝑥 − 4 = ±√3 “karekök al”
𝑥𝑥 = 4 ± √3 “4 ekle”
b) Denklemin her iki yanından 6 çıkarıldıktan sonra
3𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 = −6
3(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥) = −6 “sol taraf 3 çarpan parantezine al”
3(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 4) = −6 + 3.4 “Tam kare için parantezin içine (−4/2)2 = 4 ekle ve sol
taraf 3 parantezinde olduğun için sağ tarafa da 3.4=12 ekle”
3(𝑥𝑥 − 2)2 = 6 “Tam kare”
(𝑥𝑥 − 2)2 = 63
= 2 “3’e böl”
𝑥𝑥 − 2 = ±√2 “karekök al”
𝑥𝑥 = 2 ± √2 “2 ekle”
Genel 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 kuadratik denkleminin kökleri için genel bir formül elde etmede tam
kare tekniğini kullanabiliriz.
Kuadratik Formül
𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 (𝑎𝑎 ≠ 0) denkleminin kökleri;
𝑥𝑥 =−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐
2𝑎𝑎
dır.
İspat: sol tarafta 𝑥𝑥2 teriminin katsayısını 1 yapmak için denklem 𝑎𝑎 ile bölünürse;
𝑥𝑥2 +𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑥𝑥 = −
𝑐𝑐𝑎𝑎
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
45
Şimdi kareye tamamlamak için � 𝑏𝑏2𝑎𝑎
�2 her iki tarafa eklenildiğine,
𝑥𝑥2 +𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑥𝑥 + �
𝑏𝑏2𝑎𝑎�
2
= −𝑐𝑐𝑎𝑎 + �
𝑏𝑏2𝑎𝑎�
2
�𝑥𝑥 +𝑏𝑏
2𝑎𝑎�2
=−4𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑏𝑏2
4𝑎𝑎2
Tam kare ifadesi elde edilir. Burada her iki tarafın karekökü alınır ve b/2a çıkarılırsa;
𝑥𝑥 =−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐
2𝑎𝑎
olarak bulunur.
Örnek 7: Kuadratik formülü kullanma
a) 3𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1 = 0 b) 4𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 + 9 = 0 c) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 2 = 0 denklemlerinin
her biri için tüm çözümleri bulunuz.
Çözüm: a) Bu denklemde 𝑎𝑎 = 3, 𝑏𝑏 = −5, 𝑐𝑐 = −1 olduğundan formül gereği,
𝑥𝑥 =−(−5) ± �(−5)2 − 4(3)(−1)
2(3) =5 ± √37
6
𝑥𝑥 =�5 + √37�
6 ≈ 1.8471, 𝑥𝑥 =�5 − √37�
6 ≈ −0.1805
b) 𝑎𝑎 = 4, 𝑏𝑏 = 12, 𝑐𝑐 = 9 olduğundan
𝑥𝑥 =−12 ± �122 − 4(4)(9)
2(4) = −32
Denklemin tek kökü vardır.
c) 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 = 2, 𝑐𝑐 = 2 olup;
𝑥𝑥 =−2 ± �22 − 4(1)(2)
2(1) =−2 ± √−4
2 = −1 ± √−1
Herhangi bir reel sayının karesi negatif olamaz. √−1 sayısı reel sayı sisteminde tanımlı
değildir. Bu denklemin reel çözümü yoktur. Bölüm 3.5’te karmaşık sayı sistemini çalışacağız.
Bu sistemde negatif sayıların karekökleri mevcuttur. Örnek 7 (c) karmaşık sistemde bir çözüme
sahiptir.
𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 denklemi için oluşturulan kuadratik formülde 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 ifadesine
diskriminant denir. D(veya ∆) sembolü ile gösterilir. Eğer 𝐷𝐷 < 0 ise √𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 tanımlı değildir
ve denklemin reel çözümü yoktur. Eğer 𝐷𝐷 = 0 ise denklemin birbirine eşit iki reel çözümü
vardır. Eğer 𝐷𝐷 > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki reel çözümü vardır.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
46
DİSKRİMİNANT
İkinci dereceden 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 denkleminin diskriminantı 𝐷𝐷 = 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 bçiminde
tanımlanmaktadır.
1. 𝐷𝐷 > 0 ise denklemin iki farklı reel(gerçel) kökü(çözümü) vardır.
2. 𝐷𝐷 = 0 ise denklemin birbirine eşit olan iki reel kökü vardır.
3. 𝐷𝐷 < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.
Örnek 8: Diskriminant Kullanma
Denklemlerinin diskriminantını kullanarak kaç tanesinde reel çözüm olduğunu bulunuz.
Çözüm: a) 𝐷𝐷 = 42 − 4(1)(−1) = 20 > 0 → iki farklı reel kök var.
𝑏𝑏) 𝐷𝐷 = (−12)2 − 4(4)(9) = 0 → eşit iki reel kök var.
𝑐𝑐) 𝐷𝐷 = (−2)2 − 4 �13� (4) = −4/3 → reel kök yoktur.
Şimdi gerçek hayattaki bir durumu ikinci dereceden bir denklem ile modelleyelim.
Örnek 9: Mermi Yörüngesi
Başlangıçta 𝑉𝑉0 hızına sahip olarak fırlatılan ya da yukarı doğru atılan bir nesne 𝑡𝑡 saniye sonunda
ℎ yüksekliğinde olduğuna göre ℎ ve 𝑡𝑡 için;
ℎ = −16𝑡𝑡2 + 𝑉𝑉0𝑡𝑡
formülü ile verilmektedir. Mermi ateşlendiğinde ilk hızının 800 𝑓𝑓𝑡𝑡/𝑠𝑠𝑠𝑠 olduğu varsayılsın.
Merminin izlediği yol şekil 1 de gösterildiğine göre
a) Mermi yere ne zaman düşer?
b) 6400 ft yüksekliğe ne zaman ulaşır?
c) Ne zaman 2 mil yüksekliğe ulaşır?
d) Merminin ulaştığı en yüksek nokta kaç ft’ dir?
Çözüm: a) 𝑉𝑉0 = 800 olduğundan
ℎ = −16𝑡𝑡2 + 800𝑡𝑡
olur. Mermi yere geldiğinde ℎ = 0 olacağından,
0 = −16𝑡𝑡2 + 800𝑡𝑡
denklemi çözülmelidir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
47
0 = −16𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 50)
𝑡𝑡 = 50 veya 𝑡𝑡 = 0 dır. 𝑡𝑡 = 0 başlangıç olduğundan cisim yere 50 𝑠𝑠𝑠𝑠 sonra ulaşır.
b) ℎ = 6400 alınırsa;
6400 = −16𝑡𝑡2 + 800𝑡𝑡
Tüm terimler sol tarafa toplanırsa;
Mermi 6400 ft yüksekliğe 10 sn sonra(çıkışta) ve daha sonra 40 sn (inişte) sahip olur.
c) 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2 × 5280 = 10.560 𝑓𝑓𝑡𝑡
𝐷𝐷 = (−50)2 − 4(1)(660) = −140 < 0
Denklemin reel çözümü yoktur. Mermi asla 2 mil yüksekliğe ulaşamaz
d) Mermi hareketi boyunca aldığı yollarda bir iniş ve bir çıkış vardır. Yalnız en yüksek
noktada istisna olarak tek bir çıkış söz konusudur. Bu ise t için aşağıdaki denklemin
her sadece bir çözümü olduğunu gösterir;
ℎ = −16𝑡𝑡2 + 800𝑡𝑡
16𝑡𝑡2 − 800𝑡𝑡 + ℎ = 0
Denklemin tek bir çözüme sahip olması için diskriminantı sıfır olmalıdır.
Mermi maksimum 10.000 ft yüksekliğe ulaşabilir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
48
DİĞER DENKLEM TİPLERİ
Şimdiye kadar doğrusal ve kuadratik denklemlerin nasıl çözüleceğini gördük. Şimdi daha
yüksek kuvvete sahip, kesirli ve köklü ifade içeren denklem türlerini inceleyeceğiz.
Örnek 10: Kesirli(rasyonel) ifade içeren Denklem
Çözüm: Paydaları yok etmek için denklemin eşitliğin her iki tarafını paydaların en küçük ortak
katı ile çarpılmalıdır:
Örnek 11: Köklü İfade İçeren Denklem
2𝑥𝑥 = 1 − √2 − 𝑥𝑥 denklemini çözünüz.
Çözüm: Karekökü yok etmek için, köklü ifade eşitliğin bir tarafında yalnız bırakıldıktan sonra
her iki tarafın karesi alınarak aşağıdaki biçimde çözüm gerçekleştirilir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
49
𝑥𝑥 = − 14 ve 𝑥𝑥 = 1 potansiyel çözümlerdir. Orijinal denklemde bu çözümler kontrol
edilmelidirler.
𝑥𝑥 = 1 çözüm değildir.
𝑎𝑎𝑊𝑊2 + 𝑏𝑏𝑊𝑊 + 𝑐𝑐 = 0 bir denklem formu W cebirsel bir ifadedir. Bu denklem ikinci
derecedendir. Bir sonraki iki örnekte göreceğiniz gibi cebirsel ifadeyi uygun bir şekilde yerine
koyarak denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülüp çözüm gerçekleştirilir.
Örnek 12: Dördüncü dereceden denklem –Kuadratik Form
𝑥𝑥4 − 8𝑥𝑥2 + 8 = 0 denkleminin tüm çözümlerini bulunuz
Çözüm: 𝑊𝑊 = 𝑥𝑥2 yazılırsa W yeni kuadratik denklemin değişkeni olur.
Bir denklemi çözdüğümüzde bir veya daha fazla
yabancı(gereksiz) bulabiliriz. Yani bu çözümler orijinal
denklemi sağlamayan çözümlerdir. Bir denklemin her iki
tarafında kare alındığında yabancı(gereksiz) çözümler
ortaya çıkabilir. Çünkü kare alma işlemi yanlış olan bir
denklemi doğru hale getirebilir. Örneğin; −1 ≠ 1 dir.
Fakat, (−1)2 = (1)2’dir. İşte bu gibi durumlarda
cevaplar orijinal denklemde kontrol edilmelidir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
50
Örnek 13: Kesirli Kuvvete Sahip Denklem
𝑥𝑥1/3 + 𝑥𝑥1/6 − 2 = 0 denklemini çözünüz.
Çözüm: 𝑊𝑊 = 𝑥𝑥1/6 olarak alınırsa 𝑊𝑊2 = �𝑥𝑥1/6�2= 𝑥𝑥1/3 olur.
Cevap kontrol edildiğinde çözüm sadece 𝑥𝑥 = 1’dir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
51
Örnek 14: Mutlak Değerli Denklem
|2𝑥𝑥 − 5| = 3 denklemini çözünüz.
Çözüm: Mutlak değer tanımından;
1.6 Denklemlerle Modelleme
Fen bilimleri, ekonomi, finans, tıp ve diğer çeşitli alanlardaki birçok problem bir cebir
problemi diline dönüştürülebilir. Bu nedenle, cebir oldukça yararlıdır. Bu bölümde gerçek-
yaşam problemlerini çözmek için denklemleri matematiksel modeller olarak kullanacağız.
Model Oluşturma ve Kullanma
Aşağıdaki kılavuzu, kelimelerle tanımlanan durumları modelleyen denklemleri oluşturmada
bize yardımcı olması için kullanacağız. Kılavuzun denklemleri oluşturmada nasıl yardımcı
olabileceğini göstermek için, bu bölümdeki her örnek üzerinde çalışırken kılavuzdaki adımları
kenara yazacağız.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
52
Aşağıdaki örnek, bu kılavuzun kelime içeren bir problemi nasıl cebirin diline çevirmede
kullanıldığını örneklemektedir.
ÖRNEK 1. Araba Kiralama
Araba kiralama şirketi bir arabayı kiralamak için günlük 30$ ve mil başına 15 cent ücret
istemektedir. Helen iki gün için araba kiralamıştır ve 108$ fatura gelmiştir. Ne kadar mil
boyunca arabayı kullanmıştır?
ÇÖZÜM
Değişkeni Tanımla. Bizden Helen ‘in sürdüğü mil miktarını bulmamız istenmektedir. Böylece
x = sürülen mil miktarı
Kelimeleri Cebire Dönüştür. Problemde verilen tüm bilgiyi cebir diline dönüştürelim.
Kelimelerle Cebirle
Sürülen mil miktarı x
Mesafe maliyeti (mil başına 0.15$) 0.15x
Günlük maliyet (günlük 30$) 2(30)
Modeli Kur. Şimdi modeli oluşturalım.
mesafe maliyeti + günlük maliyet = toplam maliyet
0.15 x + 2(30) = 108
Çöz. x için çözümü bulalım.
60 çıkar
0.15 böl
hesapla
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
53
Helen, kiralık arabasını 320 mil boyunca sürmüştür.
Takip eden örnek ve alıştırmalarda, birçok farklı gerçek-yaşam durumunda ortaya çıkan
problemleri modelleyen denklemleri oluşturacağız.
Faiz Problemleri
Bir bankadan borç para aldığınızda veya bir banka paranızı tasarruf hesabında sizin için tutarak
sizden borç aldığında, her iki durumda da borçlu paranın kullanım sebebiyle ödeme yapmak
zorundadır. Ödenecek ücret, faiz olarak isimlendirilir. En temel faiz türü, mevduata yatırılmış
ve borçlanılmış toplam miktarın yıllık yüzdesi olan basit faizdir. Depozito veya borç miktarı,
P anapara olarak isimlendirilir. Paranın kullanımı için ödenen yıllık yüzde, r faiz oranıdır.
Hesapta bulunan paranın toplam yıl sayısı t değişkeni ve toplam kazanılan faizi ise I değişkeni
ile göstereceğiz. Aşağıdaki basit faiz formülü, r faiz oranından t yıl için yatırılan P anaparadan
kazanılan I faiz miktarını vermektedir.
𝐼𝐼 = 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑡𝑡
Bu formülü kullanırken, r ‘yi yüzdeden ondalık sayıya çevirmeyi unutmayınız. Örneğin, %5,
ondalık formunda, 0.05 ‘dir. Böylece %5 faiz oranında, 3 yıllık zaman diliminde 1000$
depozitoya ödenecek faiz: 𝐼𝐼 = 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑡𝑡 = 1000(0.05)(3) = 150$.
ÖRNEK 2. Yatırımdaki Faiz
Mary ‘e 100.000$ miras kalmıştır ve bunu iki mevduat sertifikasına yatırmıştır. Bir sertifika %6
diğeri ise %412 yıllık basit faiz ödemektedir. Eğer Mary ‘nin toplam faizi yıllık 5025$ ise, her
bir faiz oranına ne kadar para yatırmıştır?
ÇÖZÜM
Değişkeni Tanımla. Problem, Mary ‘nin her bir faiz oranına yatırdığı miktarı bizden
istemektedir. Bu yüzden,
𝑥𝑥 = %6 ‘dan yatırılan miktar
Kelimeleri Cebire Dönüştür. Mary ‘e kalan toplam miras miktarı 100.000$ olduğundan, %412
oranından 100.000 −𝑥𝑥 para yatırdığı anlaşılmaktadır. Verilen tüm bilgiyi, cebir diline
dönüştürülelim.
Kelimelerle Cebirle
%6 ‘dan yatırılan miktar x
%412 ‘dan yatırılan miktar 100.000 −x
%6 ‘dan kazanılan faiz 0,06 x
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
54
%412 ‘dan kazanılan faiz 0,045(100.000 −x)
Modeli Kur. Mary ‘nin toplam kazandığı faizin 5025$ olduğu gerçeğini kullanarak modeli
kurarız.
%6 ‘dan faiz + %412 ‘dan faiz = toplam faiz
Çöz. x için çözümü bulalım.
Böylece, Mary %6 ‘dan 35.000$ yatırmış ve kalan miktar olan 65.000$ ‘ı %412 ‘dan yatırmıştır.
Cevabı Kontrol Et: toplam faiz = 35.000$ ‘ın %6 sı + 65.000$ ‘ın %412 ‘sı
= 2100$ + 2925$ = 5025$
Alan ve Uzunluk Problemleri
Fiziksel bir durumu modellemek için cebiri kullandığımızda, bazen geometriye ait temel
formülleri kullanmamız gerekir. Örneğin, bir alan veya çevre uzunluğu formülüne veya benzer
üçgenlerin kenarlarıyla ilişki kuran formüle veya Pisagor Teoremine ihtiyaç duyarız. Bu
formüllerin çoğu, kitabın ön-arka sayfasında listelenmiştir. Sonraki iki örnek, bazı gerçek-
yaşam problemlerini çözmek için bu geometrik formülleri kullanmaktadır.
ÖRNEK 3. Bir Bahçenin Boyutları
Kare bir bahçe, Şekil 1 ‘de gösterildiği gibi dış kenarı etrafında 3 ft genişliğe sahip bir yürüme
yolu bulundurmaktadır. Eğer yürüme yolu da dahil olmak üzere tüm bahçenin alanı 18.000 ft2
ise, ekili alanın boyutları nedir?
Dağılma Özelliği x ifadelerini birleştir
4500 çıkar
0,015 ‘e böl
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
55
Şekil 1
ÇÖZÜM
Değişkeni Tanımla. Ekili alanın uzunluğu ve genişliğini bulmamız istenmektedir. Böylece
𝑥𝑥 = ekili alanın uzunluğu
Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekil 1 ‘deki bilgiyi cebirin diline dönüştürelim.
Kelimelerle Cebirle
Ekili alan uzunluğu x
Tüm bahçenin uzunluğu x + 6
Tüm bahçenin alanı (𝑥𝑥 + 6)2
Modeli Kur. Şimdi modeli kurarız.
Tüm bahçenin alanı = 18.000 ft2
Çöz. x için çözümü bulalım.
Bahçenin ekili alanı, yaklaşık 128 ft ‘e 128 ft ‘dir.
ÖRNEK 4. İnşaat Sahasının Boyutları
Dikdörtgen şeklindeki bir inşaat sahasının uzunluğu genişliğinden 8ft büyüktür ve alan
büyüklüğü 2900 ft2 ‘dir. Sahanın boyutlarını bulunuz.
ÇÖZÜM
Değişkeni Tanımla. Sahanın uzunluğu ve genişliğini bulmamız istenmektedir. Böylece
𝑤𝑤 = sahanın genişliği
Kelimeleri Cebire Dönüştür. Problemde verilen bilgiyi cebirin diline dönüştürelim (Şekil 2
bakın).
Kelimelerle Cebirle
Sahanın genişliği w
Sahanın uzunluğu w + 8
Kare kökünü al 6 çıkar
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
56
Şekil 2
Modeli Kur. Şimdi modeli kurarız.
Sahanın genişliği × Sahanın uzunluğu = Sahanın alanı
𝑤𝑤(𝑤𝑤 + 8) = 2900
Çöz. x için çözümü bulalım.
Sahanın genişliği pozitif bir sayı olması gerektiğinden, w = 50 ft olması gerektiğini anlarız.
Sahanın uzunluğu ise (𝑤𝑤 + 8) = 50 + 8 = 58 ft ‘dir.
ÖRNEK 5. Benzer Üçgenleri Kullanarak Bir Binanın Yüksekliğinin Bulunması
6ft uzunluğundaki bir adam, dört katlı bir binanın yüksekliğini bulmak istemektedir. Binanın
gölgesini ölçüp, bunun 28ft uzunluğunda olduğunu buluyor. Bu arada kendi gölgesinin
uzunluğu ise 312 ft ‘dir. Binanın yüksekliğini bulunuz.
ÇÖZÜM
Değişkeni Tanımla. Problem binanın yüksekliğini bulmamızı istemektedir. Böylece
𝑤𝑤 = binanın yüksekliği
Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekil 3 ‘deki üçgenlerin benzer olduğu gerçeğini kullanırız.
Hatırlanırsa, herhangi bir iki benzer üçgenin karşılıklı kenarlarının oranı eşittir. Şimdi, bu
gözlemi cebirin diline çevirelim.
Genişletme işlemi 2900 çıkar
Çarpanlarına ayır
Sıfır-Çarpım Özelliği
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
57
Şekil 3
Kelimelerle Cebirle
Binanın yüksekliği h
Büyük üçgendeki yüksekliğin
tabana oranı
ℎ28
Küçük üçgendeki yüksekliğin
tabana oranı
63.5
Modeli Kur. Büyük ve küçük üçgenler benzer olduğundan, aşağıdaki denklemi elde ederiz.
Büyük üçgendeki yüksekliğin tabana oranı = Küçük üçgendeki yüksekliğin tabana oranı
Çöz. h için çözümü bulalım.
Böylece, binanın yüksekliği 28ft ‘dir.
Karışım Problemleri
Birçok gerçek-dünya problemi farklı tip maddelerin karıştırılmasını içerir. Örneğin,
inşaat işçileri çimento, çakıl ve kumu karıştırabilir; meyve suyu konsantresi farklı tip meyve
sularının karıştırılmasını gerektirebilir. Karışımları ve konsantrasyonları içeren problemler, bir
maddenin x miktarının V hacimli bir çözeltide çözüldüğünde maddenin C konsantrasyonunun
aşağıdaki denklemle elde edildiği gerçeğini kullanırlar.
Böylece eğer 10g şeker 5L suda çözülürse, bu takdirde şeker konsantrasyonu 𝐶𝐶 = 105
= 2𝑔𝑔/𝐿𝐿
‘dir. Bir karışım problemini çözmek genellikle çözeltide bulunan bir maddenin x miktarını
analiz etmemizi gerektirir. Bu denklemi x için çözdüğümüzde, 𝑥𝑥 = 𝐶𝐶𝑉𝑉 olduğunu görürüz.
28 ile çarp
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
58
Dikkat edilirse, birçok karışım probleminde C konsantrasyonu gelecek örnekte olduğu gibi
yüzde olarak ifade edilir.
ÖRNEK 6. Karışımlar ve Konsantrasyon
Soft içecek imalatçısı, sadece %5 portakal suyu içerse de portakal sodasının doğal olarak
tatlandırıldığı şeklinde pazarlama yapmaktadır. Yeni yasal düzenleme, doğal olarak
adlandırılması için bir içeceğin en azından %10 meyve suyu içermesi gerektiğini şart
koymaktadır. Bu imalatçı yeni düzenlemeye uyum sağlamak için portakal sodasının 900 gal
‘ına ne kadar saf portakal suyu eklemelidir?
ÇÖZÜM
Değişkeni Tanımla. Problem eklenecek saf portakal suyu miktarını bizden istemektedir.
Böylece
𝑥𝑥 = eklenecek saf portakal suyu miktarı (galon olarak)
Kelimeleri Cebire Dönüştür. İki farklı maddenin karıştırılacağı bu tip problemlerde, verilen
bilgiyi organize etmek için bir diyagram çizilmesi yardımcı olacaktır (Şekil 4 bakın).
Hacim 900 galon x galon 900 + x galon
Portakal suyu 900 galonun x galonun 900 galonun %10 ‘u
miktarı %5 ‘i = 45 galon %100 ‘ü = x galon =0,1(900 + x) galon
Şekil 4
Şekildeki bilgi, cebir diline aşağıdaki gibi çevrilir.
Kelimelerle Cebirle
Eklenecek portakal suyu miktarı x
Karışımın miktarı 900 + x
İlk varildeki portakal suyu miktarı (0,05)900 = 45
İkinci varildeki portakal suyu miktarı 1 . x = x
Karışımdaki portakal suyu miktarı 0.10(900 + x)
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
59
Modeli Kur. Modeli kurmak için, karışımdaki portakal suyu toplam miktarının ilk iki varildeki
portakal suyuna eşit olduğu gerçeğini kullanalım.
İlk varildeki portakal + İkinci varildeki portakal = karışımdaki portakal
suyu miktarı suyu miktarı suyu miktarı
Çöz. x için çözümü bulalım.
Böylece, imalatçı sodaya 50 gal saf portakal suyu eklemelidir.
Cevabı Kontrol Et:
Karışımdan önce meyve suyu miktarı = 900 gal ‘ın %5 ‘i + 50 gal saf portakal suyu
= 45 gal + 50 gal = 95 gal
Karışımdan sonra meyve suyu miktarı = 950 gal ‘ın %10 ‘u = 95 gal
Miktarlar eşittir.
Bir İşi Yapmak İçin Gereken Zaman Problemleri
Bir işi birkaç kişi ile tamamlamanın ne kadar zaman alacağını belirlemeyi içeren bir
problem çözdüğümüzde, eğer bir kişi veya makine bir görevi yerine getirmek için H birim
zamana ihtiyaç duyarsa, birim zamanda görevin tamamlanma kısmı 1/𝐻𝐻 kadar olur bilgisini
kullanırız. Örneğin eğer bir işçi çimenleri 5 saate biçiyorsa, bu takdirde söz konusu işçi 1 saatte
çimenlerin 1/5 ‘ini biçecektir.
ÖRNEK 7. Bir İşi Yapmak İçin Gerekli Zaman
Beklenen yoğun sağanak yağış nedeniyle, barajdaki su seviyesi 1ft kadar azaltılmalıdır. A
boşaltma kanalını açmak, 4 saatte su seviyesini bu miktara indirmektedir. Oysaki daha küçük
olan B boşaltma kanalını açmak, aynı işi 6 saate yapmaktadır. Her iki boşaltma kanalı da
açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak ne kadar zaman alır?
ÇÖZÜM
Değişkeni Tanımla. Her iki boşaltma kanalı açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak için gereken
zamanı bulmamız istenmektedir. Böylece
𝑥𝑥 = her iki boşaltma kanalı açıldığında su seviyesini 1ft kadar azaltmanın aldığı (saat olarak)
zaman
Şekil 4 ‘den
Dağılma özelliği
0.1x ve 45 çıkar
0.9 ‘a böl
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
60
Kelimeleri Cebire Dönüştür. Bu problemde x değişkenini diğer niceliklerle ilişkilendiren bir
denklem bulmak kolay değildir. Açıkçası x basitçe 4 + 6 değildir. Çünkü bu, iki boşaltma
kanalının birlikte su seviyesini azaltmak için tek başına olduklarından daha fazla zamana ihtiyaç
duyması anlamına gelirdi. Bunun yerine, her bir boşaltma kanalı tarafından 1 saate işin ne
kadarlık kısmının yapılabileceğine bakarız.
Kelimelerle Cebirle
A ve B ‘nin birlikte su seviyesini 1ft azaltmak için gerek duyduğu süre x saat
1 saate A ‘nın düşürdüğü su seviyesi miktarı 14 ft
1 saate B ‘nin düşürdüğü su seviyesi miktarı 16 ft
1 saate A ve B ‘nin birlikte düşürdüğü su seviyesi miktarı 1𝑥𝑥 ft
Modeli Kur. Şimdi modeli kuralım.
A tarafından yapılan kısım + B tarafından yapılan kısım = Her ikisi tarafından yapılan kısım
Çöz. x için çözümü bulalım.
Her iki boşaltma kanalı açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak 2 25 saat veya 2 saat 24 dakika zaman
alacaktır.
Uzaklık, Oran ve Zaman Problemleri
Bir sonraki örnek uzaklık, oran (hız) ve zaman ile ilgilidir. Burada akılda tutulması
gereken formül:
Uzaklık = oran × zaman
formülde, oran ya sabit hız ya da hareket eden bir nesnenin ortalama hızıdır. Örneğin, 4 saat
süresince 60 mi/h ile araba sürmek 60 × 4 = 240 mi bir uzaklığa sizi götürür.
ÖRNEK 8. Uzaklık-Hız-Zaman Problemi
Bir jet, 4200 km mesafesindeki New York ‘dan Los Angeles ‘a uçmaktadır. Dönüş yolculuğu
için hız gidiş hızından 100 km daha fazladır. Toplam seyahat 13 saat sürerse, New York ‘dan
Los Angeles ‘a giderken jeti hızı ne kadardı?
ÇÖZÜM
EKOP ile çarp, 12x Topla
5 ‘e böl
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
61
Değişkeni Tanımla. New York ‘dan Los Angeles ‘a giderken jeti hızı bizden istenmektedir.
s = New York ‘dan Los Angeles ‘a hız
Böylece s +100 = Los Angeles ‘dan New York ‘a hız
Kelimeleri Cebire Dönüştür. Bilgiyi bir tabloda organize edelim. Şehirler arasının 4200 km
olduğunu bildiğimizden, ilk önce “Uzaklık” sütununu doldururuz. Ardından s değişkenine göre
her iki hızı (oran) da ifade etmiş olduğumuzdan, “Hız” sütununu doldururuz. Son olarak,
aşağıdaki formülü kullanarak “Zaman” sütununu hesaplarız.
Zaman = Uzaklıkoran
Modeli Kur. Toplam seyahat 13 saat almaktadır, bu yüzden aşağıdaki model söz konusudur.
Çöz. Ortak payda ile çarparak s (s+100), şu elde edilir:
Her ne kadar bu denklem büyük sayılarla çarpanlarına ayrılsa da, ikinci dereceden formül ve
bir hesaplayıcı yardımıyla hızlıca hesaplanabilir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
62
s hızı temsil ettiğinden, negatif cevap red edilir ve jetin New York ‘dan Los Angeles ‘a hızının
600 km/saat olduğu sonuncuna varılır.
ÖRNEK 9. Kuş Uçuşundaki Enerji Tüketimi
Kuş bilimciler, bazı kuş türlerinin gün ışığı saatlerinde büyük su kütleleri üzerinden uçmaktan
kaçınma eğilimi gösterdiklerini belirlemişlerdir. Çünkü, gündüzleri hava genellikle toprak
üzerine yükselmekte ve su üzerine düşmektedir. Böylece su üzerinde uçmak daha çok enerji
gerektirmektedir. Bir ada üzerinde kıyı şeridine en yakın nokta olan B ‘den 5 mi uzaklığındaki
A noktasından bir kuş serbest bırakılmıştır. Kuş kıyıdaki C noktasına uçmaktadır ve ardından
kıyı boyunca uçarak Şekil 5 ‘de gösterildiği gibi D yuva alanına hareket etmektedir. Kuşun 170
kcal ‘lık enerji stoğu olduğunu varsayalım. Kuş kara üzerinde uçarken 10 kcal/mi ve su üzerinde
14 kcal/mi kullanmaktadır.
a) Kuşun uçuş boyunca tam olarak 170 kcal enerji kullanabilmesi için C noktası nereye
yerleştirilmelidir?
b) Kuş A noktasından D noktasına doğrudan uçmaya yetecek kadar enerjiye sahip midir?
Şekil 5
ÇÖZÜM
Değişkeni Tanımla. C ‘nin yerini bulmamız bizden istenmektedir. Böylece
x = B ‘den C ‘ye uzaklık
Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekle ve aşağıdaki bilgiye dayanarak aşağıdaki tablo oluşturulur.
kullanılan enerji = mil başına enerji × uçulan mi
Kelimelerle Cebirle
B ‘den C ‘ye uzaklık x
Su üzerinde uçulan uzaklık (A ‘dan C ‘ye) �𝑥𝑥2 + 25
Kara üzerinde uçulan uzaklık (C ‘dan D ‘ye) 12 − 𝑥𝑥
Pisagor Teoreminden
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
63
Su üzerinde harcanan enerji 14�𝑥𝑥2 + 25
Kara üzerinde harcanan enerji 10(12 − 𝑥𝑥)
Modeli Kur. Şimdi modeli kuralım.
toplam kullanılan enerji = su üzerinde kullanılan enerji + karada kullanılan enerji
Çöz. Bu denklemi çözmek için, ilk olarak eşitliğin sol tarafına tüm diğer terimler getirilir ve
ardından her iki tarafın karesi alınarak karekök yok edilir.
Bu denklem çarpanlarına ayrılabilir, ancak sayılar çok büyük olduğundan ikinci dereceden
formül ve bir hesaplayıcı yardımıyla daha kolaydır.
C noktası B noktasından 6 23 mi veya 3 3
4 mi uzakta olmalıdır, böylece kuş uçuş esnasında tam
olarak 170 kcal enerji kullanır.
b) Pisagor Teoreminden, A ‘dan D ‘ye doğrudan uçuş uzunluğu √52 + 122 = 13 mi ‘dir. Bu
rota için kuşun ihtiyacı olan enerji miktarı 14 × 13 = 182 kcal ‘dır. Bu, kuşun mevcut
enerjisinden daha fazladır. Dolayısıyla bu rotayı kullanmaz.
1.7 EŞİTSİZLİKLER
Cebirdeki bazı problemler denklemler yerine eşitsizliklere neden olur. Eşitsizlik, eşitlik
işaretinin yerine sembollerden biri olması dışında sadece bir denklem gibi görünür <, >, ≤ ve
≥. Aşağıda eşitsizliğe örnek verilebilir:
Karekök terimini sağ tarafta bırak
Sol tarafı sadeleştir
Her iki yanın karesini al
Genişlet (Aç)
Tüm terimler sağ tarafa
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
64
4𝑥𝑥 + 7 ≤ 19
Yukarıdaki tablo bazı sayıların eşitsizliği sağladığını ve bazı sayıların eşit olmadığını
göstermektedir.
Değişken içeren bir eşitsizliği çözmek demek; eşitsizliği sağlayan değişkenin tüm değerlerini
bulmak demektir. Eşitliklerden farklı olarak, bir eşitsizlik genelde gerçek sayı doğrusu üzerinde
bir aralık veya aralıkların birleşmesinden oluşan sınırsız sayıda çözüme sahiptir.
Aşağıdaki örnek denklemle ile eşitsizlik farkını göstermektedir.
Eşitsizlikleri çözmek için, eşitsizlik işaretinin bir tarafındaki değişkeni izole etmek için
aşağıdaki kuralları kullanırız. Bu kurallar, iki eşitsizlik eşit olduğunu söyler (⇔ sembolü eşittr
(eşdeğerdir anlamına gelir). Bu kurallardaki A, B ve C sembolleri gerçek sayılar veya cebirsel
ifadeler için kullanılmaktadır. Burada ≤ sembolü içeren eşitsizliklerin kurallarını
belirtmekteyiz, ancak dört eşitsizlik sembolü için de geçerlidir.
Eşitsizlik Kuralları Tanımlama
1. 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 ≤ 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 Ekleme. Eşitsizliğin her bir yanına aynı
değeri eklemek eşitsizliğin değerini
değiştirmez.
2. 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 ≤ 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 Çıkarma. Eşitsizliğin her bir yanından aynı
değeri çıkarmak eşitsizliğin değerini
değiştirmez.
Denklem:
Eşitsizlik:
Çözüm Grafik
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
65
3.Eğer C > 0 ise, 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐶𝐶𝐴𝐴 ≤ 𝐶𝐶𝐵𝐵 Çarpma. Eşitsizliğin her bir yanını pozitif
bir değer ile çarpmak eşitsizliğin yönünü
değiştirmez.
4.Eğer C < 0 ise, 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐶𝐶𝐴𝐴 ≥ 𝐶𝐶𝐵𝐵 Çarpma. Eşitsizliğin her bir yanını negatif
bir değer ile çarpmak eşitsizliğin yönünü
değiştirir.
5.Eğer A > 0 ve B > 0 ise, , 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⇔ 1𝐴𝐴
≥ 1𝐵𝐵 Tersini Almak. Eşitsizliğin her iki tarafının
tersi alınırken pozitif değerler eşitsizliğin
yönünü değiştirir.
6. Eğer 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝐶𝐶 ≤ 𝐷𝐷 ise 𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 ≤ 𝐵𝐵 + 𝐷𝐷 Eşitsizlikler Toplanabilir
Kural 3 ve 4'e özel dikkat edin. Kural 3, bir eşitsizliğin her bir yanını pozitif bir sayı ile
çarpabildiğimizi (veya bölebildiğimizi) söyler; ancak Kural 4, bir eşitsizliğin her iki yanını
negatif bir sayı ile çarparsak, eşitsizlik yönünü tersine çevirdiğimizi söyler. Örneğin, aşağıdaki
eşitsizlikle başlarsak;
3 < 5
ve bu eşitsizliği 2 ile çarparsak
6 < 10 elde edilir
Eğer -2 ile çarparsak
-6 > -10 olur.
Doğrusal Eşitsizliklerin Çözümü
Her terim sabit veya değişkenin bir katı olduğunda bir eşitsizlik doğrusaldır. Doğrusal eşitsizliği
çözmek için, eşitsizlik işaretinin bir tarafındaki değişkeni izole etmek gerekmektedir.
ÖRNEK 1: Doğrusal Eşitsizliklerin Çözümü
3𝑥𝑥 < 9𝑥𝑥 + 4 eşitsizliğini çözünüz ve sonucu çiziniz.
ÇÖZÜM
3𝑥𝑥 < 9𝑥𝑥 + 4 Verilen eşitsizlik
3𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥 < 9𝑥𝑥 + 4 − 9𝑥𝑥 9x çıkartılır
−6𝑥𝑥 < 4 Basitleştirme
− �− 16� 6𝑥𝑥 > 4 �− 1
6� Her iki tarafı �− 1
6�çarpıp eşitsizliğin yönünü değiştir.
𝑥𝑥 > − 23
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
66
Çözüm kümesi − 23 den büyük olan bütün sayıları içermektedir. Diğer bir ifadeyle eşitsizliğin
çözüm kümesi �− 23
, ∞� aralığıdır.
ÖRNEK 2 : Eşzamanlı Eşitsizlik Çözme
Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz.
4 ≤ 3𝑥𝑥 − 2 < 13
ÇÖZÜM
Çözüm kümesi her iki eşitsizliği sağlayacak x değerlerini içermelidir.
4 ≤ 3𝑥𝑥 − 2 ve 3𝑥𝑥 − 2 < 13. Kural 1 ve 3 kullanılarak
4 ≤ 3𝑥𝑥 − 2 < 13
6 ≤ 3𝑥𝑥 < 15
2 ≤ 3𝑥𝑥 < 5
Çözüm aralığı [2,5) dir.
Doğrusal Olmayan Eşitsizliklerin Çözümü
Değişkenlerin ikinci yada diğer kuvvetlerinin eşitsizliğini çözmek için aşağıdaki kurallar takip
edilmelidir.
Kesirlerin yada Çarpımların İşareti
Eğer çarpım yada kesirler çift sayıda negatif çarpana sahip ise, değeri pozitiftir.
Eğer çarpım yada kesirler tek sayıda negatif çarpana sahip ise, değeri negatiftir.
Örneğin 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 ≤ −6 eşitsizliğini çözerken, çarpanlara ayırabilmek için bütün
terimleri eşitsizliğin sol tarafına taşırız.
(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3) ≤ 0
Eşitsizlik (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3) çarpımının negatif yada sıfır olması gerektiğini söyler. Bu
nedenle çözüm için her bir çarpanın negatif yafa pozitif olma durumu düzenlenmelidir.
Çarpımın işareti çarpanların işaretine bağlıdır.
DOĞRUSAL OLMAYAN EŞİTSİZLİKLERİ ÇÖZERKEN KILAVUZ
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
67
1. Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Gerekirse, sıfır olmayan tüm terimlerin
eşitsizlik işaretinin bir tarafında görünmesi için eşitsizliği yeniden yazılır. Eşitsizliğin
sıfır olmayan tarafı kesirli ifade içeriyorsa, bunları ortak bir payda getirilmesi gerekir.
2. Çarpanlara Ayırma. Eşitsizliğin sıfırdan farklı tarafı çarpanlara ayrılır.
3. Aralık Bulma. Her çarpanın sıfır olduğu değerler belirlenir. Bu sayılar reel sayı
doğrusuna aralıklar yerleştirilir. Bu sayılarla sağlanan aralıklar yazılır.
4. Tablo yada Diyagram Yapma. Her aralıkta her çarpanın işaretlerinin bir tablo veya
diyagramını oluşturmak için test değerlerini kullanılır. Tablonun son satırında, bu
çarpanların çarpımının (veya bölümün) işareti belirlenir.
5. Çözüm. İşaret tablolarının son satırındaki eşitsizlik çözümü belirlenir. Eşitsizliğin
aralıkların bitiş noktalarının bir kısmı veya tamamı tarafından sağlanıp sağlanmadığı
kontrol edilir. (Eşitsizlik ≤ ya da ≥ içeriyorsa bu durum ortaya çıkabilir).
ÖRNEK 3: İkinci Dereceden Eşitsizliklerin Çözümü
Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz.
𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 ≤ −6
ÇÖZÜM: Yukardaki kurallar takip edilirse;
Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Bütün terimler sol tarafa alınır.
𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 ≤ −6
𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 ≤ 0
Çarpanlara Ayırma. Eşitsizliğin sol tarafı çarpanlara ayrılır.
(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3) < 0
Aralık Bulma. Sol taraftaki çarpanlar x – 2 ve x – 3 dür. Bu çarpanlar sırasıyla x, 2 ve 3 iken
sıfır olur. Şekilde görüldüğü gibi reel sayı doğrusu üç aralığa ayrılırsa
(−∞, 2), (2,3), (3, ∞)
(𝑥𝑥 − 2) 𝑣𝑣𝑒𝑒 (𝑥𝑥 − 3) çarpanları sırasıyla 2 ve 3 de işaret değiştirmektedir.
Tablo yada Diyagram Yapma. Bulunan her aralıkta her bir çarpanın işaretini belirlemek için
test değerlerini kullanılır. Her aralıkta bir sayı seçilir. Seçilen sayı ile x - 2 ve x - 3 çarpanlarının
işaretleri kontrol edilir. (−∞, 2) aralığı için 1 test değeri seçilirse,
x – 2 = 1 – 2 = -1 < 0
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
68
x – 3 = 1 – 2 = -1 < 0
Her içi çarpanda bu aralıkta negatiftir. Her aralık için tek bir test değerinin kullanılması
yeterlidir.
(2,3), (3, ∞) aralıkları için 𝑥𝑥 = 2 12 ve 𝑥𝑥 = 4 değerleri kullanarak aşağıdaki tablo
oluşturulabilir.
Çözüm. Eğer tablo yada diyagram okunursa (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3), (2,3) aralığında negatif
olmaktadır. (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi;
{𝑥𝑥| 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3} = [2, 3]
2 ve 3 sınırları eşitsizliği sıfırdan küçük ve eşit yaptığı için dahil edilmesi gerekmektedir.
ÖRNEK 4: Tekrarlı Çarpanlarda Eşitsizlik Çözümü
Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz.
𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)2(𝑥𝑥 − 3) < 0
ÇÖZÜM: Sıfırdan farklı bütün terimler tek tarafta ve çarpanlara ayrılmış durumdadır.
Aralık bulma. Sol taraftaki çarpanlar 𝑥𝑥, (𝑥𝑥 − 1)2 𝑣𝑣𝑒𝑒 (𝑥𝑥 − 3) dür. Bu çarpanlar sırasıyla
𝑥𝑥 = 0,1,3 de sıfır olmaktadır. Bu sayılar reel sayı doğrusuna aşağıdaki aralıklar yerleştirilirse,
(−∞, 0), (0,1), (1,3), (3, ∞)
Tablo Yapma. Aşağıdaki diyagram her bir çarpan için her bir aralıkta test noktaları konarak
düzenlenir.
x- 2 x - 3
( x- 2) (x - 3)
Aralık
x- 2
x - 3
(x- 2) (x - 3)
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
69
Çözüm. Tablodan 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)2(𝑥𝑥 − 3) < 0 eşitsizliğinin x için çözümü (0,1) 𝑦𝑦𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑎𝑎(1,3)dir.
(0,1) ∪ (1,3)
ÖRNEK 6: Kesirli Eşitsizliklerin Çözümü
Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz. 1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 ≥ 1
ÇÖZÜM:
Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Bütün terimler sol tarafa alınıp ortak payda da
basitleştirilir. 1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 ≥ 1
1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0
1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 −
1 − 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 ≥ 0
1 + 𝑥𝑥 − 1 + 𝑥𝑥
1 − 𝑥𝑥 ≥ 0
2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 ≥ 0
Aralık Bulma. Sol taraftaki çarpanlar 2𝑥𝑥 ve 1 − 𝑥𝑥 dir. Bu çarpanlar x 0 ve 1 de sıfır
olmaktadır. Bu sayılar reel sayı doğrusuna aşağıdaki aralıklar yerleştirilirse,
(−∞, 0), (0,1), (1, ∞)
Tablo Yapma. Aşağıdaki diyagram her bir çarpan için her bir aralıkta test noktaları konarak
düzenlenir.
x
(𝑥𝑥 − 1)2
(𝑥𝑥 − 3)
𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)2(𝑥𝑥 − 3)
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
70
Çözüm. Tablodan 2𝑥𝑥1−𝑥𝑥
≥ 0 [0,1) aralığı için geçerlidir. 0 eşitsizliği 1 den büyük ve eşit
yaptığı için sağlamaktadır. Bununla birlikte 1 dahil değildir. Çünkü kesir 1 noktasında tanımlı
değildir. Çözüm aralığı [0,1) dir.
Örnek 5 bize sınır noktalarının orijinal eşitsizliğin çözümü için kontrol edilmesi
gerektiğini göstermektedir.
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Mutlak değerli eşitsizlikleri çözmek için aşağıdaki özellikleri kullanırız.
Özellik 1’i ispat etmek için |𝑥𝑥| < 𝑐𝑐 , x'den 0'a olan uzaklığın c'den küçük olduğunu söylediğini
unutmayın. Aşağıdaki şekilden, x'in -c ve c arasında olması durumunda bunun doğru olduğunu
görebilirsiniz.
2𝑥𝑥
1 − 𝑥𝑥
2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥
Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Özellikleri
Eşitsizlik Eşitlik Formu Grafik
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
71
ÖRNEK 6: Mutlak Değerli Eşitsizlik Çözümü
Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz.
|𝑥𝑥 − 5| < 2
ÇÖZÜM 1: |𝑥𝑥 − 5| < 2 eşitsizliği
−2 < 𝑥𝑥 − 5 < 2 eşittir.
3 < 𝑥𝑥 < 7
Çözüm aralığı (3,7) dir.
ÇÖZÜM 2: Geometrik olarak şekilden de görüldüğü gibi Geometrik olarak, çözüm seti, 5'den
2 birim uzakta olan tüm sayılardan oluşur.
Çözüm aralığı (3,7) dir.
ÖRNEK 7: Mutlak Değerli Eşitsizlik Çözümü
Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz.
|3𝑥𝑥 + 2| ≥ 4
ÇÖZÜM: Özellik 4 ü kullanarak
|3𝑥𝑥 + 2| ≥ 4
3𝑥𝑥 + 2 ≥ 4 yada 3𝑥𝑥 + 2 ≤ −4
3𝑥𝑥 ≥ 2 3𝑥𝑥 ≤ −6
𝑥𝑥 ≥ 23 𝑥𝑥 ≤ −2
Çözüm kümesi
�𝑥𝑥| 𝑥𝑥 ≤ −2 ≤ 𝑦𝑦𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑥𝑥 ≥23
� = (−∞, −2] ∪ �23 , ∞)
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
72
Eşitsizliklerle Modelleme
Gerçek hayat problemlerini modellemek sıklıkla eşitsizliklere yol açtığından, genellikle bir
niceli diğerinden daha fazla (veya daha az) belirlemeyle ilgileniyoruz.
ÖRNEK 8: Karnaval Biletleri
Bir karnavalın bilet için iki planı vardır.
Plan A: 5 $ giriş ücreti ve her binişe 25 ¢
Plan B: 2 $ giriş ücreti ve her binişe 50 ¢
Plan A için kaç tane binmeniz Plan B'den daha ucuza almanız gerekir?
ÇÖZÜM: Değişkeni Tanımla. Plan A'nın Plan B'den daha ucuz olduğu binişlerin sayısı
soruluyor. Bu nedenle
x = biniş sayısı
Kelimeleri cebire çevirme. Sorudaki bilgiler aşağıdaki şekilde organize edilebilir.
Kelime Cebirsel İfade
Biniş sayısı x
Plan A ücreti 5 + 0.25 x
Plan B ücreti 2 + 0.50 x
Model Kurma.
Plan A ücreti < Plan B ücreti
5 + 0.25𝑥𝑥 < 2 + 0.50𝑥𝑥
Çöz.
3 + 0.25x < 0.50x
3 < 0.25𝑥𝑥
12 < 𝑥𝑥
Sonuç olarak 12'den fazla yolculuk yapmayı planlıyorsanız, Plan A daha ucuzdur.
ÖRNEK 9: Fahrenheit ve Celsius Ölçekleri Arasındaki İlişki
1.8 KOORDİNAT GEOMETRİSİ
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
73
Koordinat Düzlemi, Uzaklık ve Orta Nokta Formülleri, İki Değişkenli Denklemlerin Grafikleri,
Kesişimler, Çemberler, Simetri
Koordinat düzlemi, cebir ve geometri arasındaki bağlantıdır. Koordinat düzleminde, cebirsel
denklemlerin grafiklerini çizebiliriz. Grafikler, böylece bize denklemdeki değişkenlerin
arasındaki ilişkiyi "görmemizi" sağlar. Bu bölümde, koordinat düzlemini işleyeceğiz.
Koordinat Düzlemi
Nasıl ki bir doğru üzerindeki noktalar reel sayılarla koordinat doğrusu şeklinde
tanımlanabilirse, bir düzlemdeki noktalar da sıralı sayı çiftleri ile koordinat düzlemi veya
Cartesian düzlem olarak tanımlanabilir. Bunu yapmak için, her doğrunun 0'da kesiştiği iki dik
reel doğru çizeriz. Genellikle, bir doğru sağa doğru pozitif yönlü yataydır ve x-ekseni denir,
diğer çizgi yukarı doğru pozitif yönlü dikeydir ve y-ekseni denir. X-ekseni ve y-ekseninin
kesişim noktası orijin O adını alır ve iki eksen düzlemi dört kadrana (quadrant) böler, Şekil
1'de I, II, III ve IV ile gösterilmiştir. (Koordinat eksenlerinin üzerindeki noktalar herhangi bir
kadrana ait değildir).
ŞEKİL 1 ŞEKİL 2
Koordinat düzlemindeki herhangi bir P noktasının yeri Şekil 1'de gösterildiği gibi bir tek (a,b)
sıralı sayı çifti ile saptanabilir. İlk sayı a'ya, P'nin x-koordinatı denir, ikinci sayı b'ye P'nin y-
koordinatı denir. P'nin koordinatlarını "adresi" olarak düşünebiliriz, çünkü düzlemdeki yerini
belirtirler. Şekil 2'de birkaç nokta koordinatlarıyla gösterilmiştir.
ÖRNEK 1 Koordinat Düzleminde Bölgelerin Grafiğini Çizme
Her kümede verilen bölgeleri tanımlayın ve çizin.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
74
ÇÖZÜM
(a) x-koordinatları 0 veya pozitif olan noktalar, Şekil 3(a)'da gösterildiği gibi y-ekseni üzerinde
veya onun sağında yayılır.
(b) y-koordinatı 1 olan tüm noktaların kümesi, Şekil 3(b)'de gösterildiği gibi x-ekseninin bir
birim üzerinde yatay bir doğrudur.
(c) Bölüm 1.7'den yalnızca ve yalnızca −1 < 𝑦𝑦 < 1 olduğunda |𝑦𝑦| > 1 olduğunu hatırlayalım.
Bu nedenle, verilen bölge y-koordinatı -1 ve 1 arasında uzanan düzlemdeki bu noktalardan
oluşur. Böylece, bölge yatay doğru y=1 ve y=-1 arasında (fakat üzerinde değil) uzanan tüm
noktalardan oluşur. Bu doğrular, küme içinde yayılan noktaları değil, bu doğruların üzerindeki
noktaları belirtmek için kesikli çizgiler ile Şekil 3(c)'de gösterilmektedir.
ŞEKİL 3
Uzaklık ve Orta Nokta Formülleri
Şimdi düzlemdeki iki nokta 𝐴𝐴(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) ve 𝐵𝐵(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) arasındaki 𝑑𝑑(𝐴𝐴, 𝐵𝐵) uzaklığı için bir
formül buluyoruz. Bölüm 1.1'den hatırlayacağımız üzere, sayı doğrusunda a ve b arasındaki
uzaklık 𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = |𝑏𝑏 − 𝑎𝑎| olmaktadır. Şekil 4'te görüyoruz ki, yatay doğru üzerinde 𝐴𝐴(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1)
ve 𝐶𝐶(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦1) noktaları arasındaki uzaklık |𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1| olmalıdır ve düşey doğru üzerinde 𝐵𝐵(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2)
ve 𝐶𝐶(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦1) arasındaki uzaklık |𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1| olmalıdır.
ŞEKİL 4
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
75
ABC üçgeni dik üçgen olduğu için, Pisagor Teoremi aşağıdaki ifadeyi verir
UZAKLIK FORMÜLÜ
Düzlemde 𝐴𝐴(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) ve 𝐵𝐵(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) noktaları arasındaki uzaklık
ÖRNEK 2 Uzaklık Formülünün Uygulanması
𝑃𝑃(1, −2) veya 𝑄𝑄(8,9) noktalarının hangisi 𝐴𝐴( ,3) noktasına daha yakındır?
ÇÖZÜM Uzaklık formülünden;
Bu, 𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝐴𝐴) < 𝑑𝑑(𝑄𝑄, 𝐴𝐴) olduğunu gösterir, böylece P, A'ya daha yakındır (Bakınız Şekil
5)
Şimdi de 𝐴𝐴(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) noktasını 𝐵𝐵(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) noktası ile birleştiren doğru parçasının M orta
noktasının (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) koordinatlarını bulalım. Şekil 6'da APM ve MQB üçgenlerinin eş olduğuna
dikkat edin, çünkü 𝑑𝑑(𝐴𝐴, 𝑀𝑀) = 𝑑𝑑(𝑀𝑀, 𝐵𝐵) ve yöndeş açıları eşittir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
76
ŞEKİL 6
Bundan 𝑑𝑑(𝐴𝐴, 𝑃𝑃) = 𝑑𝑑(𝑀𝑀, 𝑄𝑄) sonucu çıkar, bu nedenle 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥
Bu denklemi x için çözdüğümüzde, 2𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 dir, böylece 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1+𝑥𝑥22
olur. Benzer
şekilde, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1+𝑦𝑦22
olur.
ORTA NOKTA FORMÜLÜ
𝐴𝐴(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) 'dan 𝐵𝐵(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2)'ye doğru parçasının orta noktası
ÖRNEK 3 Orta Nokta Formülünün Uygulanması
Köşe noktaları 𝑃𝑃(1,2), 𝑄𝑄(4,4), 𝑅𝑅(5,9) ve 𝑆𝑆(2,7) olan dörtgenin paralelkenar olduğunu
iki köşegenin birbirini iki eşit parçaya böldüğünü kanıtlayarak gösterin.
ÇÖZÜM Eğer iki köşegen aynı orta noktaya sahipse, birbirini kesmelidir. PR
köşegeninin orta noktası
ve QS köşegeninin orta noktası
Böylece her köşegen diğerini keser, Şekil 7'de gösterilmektedir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
77
ŞEKİL 7
İki Değişkenli Denklemlerin Grafiği
İki değişkenli denklem, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 + 1 gibi, iki miktar arasındaki ilişkiyi açıklar. Eğer x ve y için
değerler denklemde yerine konulduğunda denklemi gerçekleştiriyorsa, (x,y) noktası denklemi
sağlar. Örneğin, (3,10) noktası 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 + 1 denklemini sağlar, çünkü 10=32+1, fakat (1,3)
noktası sağlamaz, çünkü 3 ≠ 12 + 1.
BİR DENKLEMİN GRAFİĞİ
x ve y 'li bir denklemin grafiği, koordinat düzleminde denklemi sağlayan tüm (x,y) noktalarının
kümesidir.
Bir denklemin grafiği bir eğridir, bu nedenle bir denklemin grafiğini çizmek için,
yapabildiğimiz kadar çok noktayı işaretleriz, sonrasında düzgün bir eğri ile bunları birleştiririz.
ÖRNEK 4 Noktaları İşaretleyerek Grafik Çizmek
2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3 denkleminin grafiğini çizin.
ÇÖZÜM Öncelikle y için verilen denklemi çözelim
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 3
Bu bize aşağıdaki tabloda y-koordinatlarını hesaplamamamıza yardım eder:
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
78
Tabii ki, grafikte sonsuz sayıda nokta vardır, ve bunların hepsini göstermek mümkün değildir.
Fakat, ne kadar çok nokta işaretlersek, denklem ile verilen grafiğin neye benzediğini o kadar
iyi hayal edebiliriz. Şekil 8'de bulduğumuz noktaları işaretliyoruz; bir doğru üzerinde
yayıldıkları görünmektedir. Böylece, bir doğru ile birleştirilen noktalarla grafiği tamamlarız.
(Bölüm 1.10'da bu denklemin grafiğinin gerçekten bir doğru olduğunu kanıtlıyoruz.)
ŞEKİL 8
ÖRNEK 5 Noktaları İşaretleyerek Grafik Çizmek
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 2 denkleminin grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM Denklemi sağlayan noktaların bazıları aşağıdaki tabloda bulunmaktadır. Şekil 9'da
bu noktaları işaretleriz ve düzgün bir eğriyle bunları birleştiririz. Bu şekildeki eğri parabol
olarak adlandırılır.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
79
ŞEKİL 9
Parabollerin ayrıntılı bir tartışması ve geometrik özellikleri Bölüm 10'da verilmektedir.
ÖRNEK 6 Mutlak Değer Denkleminin Grafiği
ÇÖZÜM Değerlerin bir tablosunu yapıyoruz:
Şekil 10'da bu noktaları işaretliyoruz ve bunları denklemin grafiğini çizmek için kullanıyoruz.
ŞEKİL 10
Kesişimler
Grafiğin x-eksenini kestiği noktaların x-koordinatları, grafiğin x-kesişimleri olarak adlandırılır
ve grafiğin denkleminde y=0 yazarak elde edilir. Grafiğin =0 yazarak elde edilir. Grafiğin y-
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
80
eksenini kestiği noktaların y-koordinatları, grafiğin y-kesişimleri olarak adlandırılır ve grafiğin
denkleminde x=0 yazılarak elde edilir.
KESİŞİMLERİN TANIMI Kesişimler Nasıl Bulunduğu Grafikteki yerleri x-kesişimleri: Denklemin grafiğinin x-eksenini kestiği noktaların x-koordinatlarıdır.
y=0 yazılır ve x için çözülür
y-kesişimleri: Denklemin grafiğinin y-eksenini kestiği noktaların y-koordinatlarıdır.
x=0 yazılır ve y için çözülür
ÖRNEK 7 Kesişimleri Bulma
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 2 denkleminin grafiğinin x- ve y-kesişimlerini bulunuz.
ÇÖZÜM x-kesişimini bulmak için, y=0 yazarız ve x için çözeriz. Böylece
y=0 yazın
Her iki tarafa 2 ekleyin
Karekökünü alın
x-kesişimleri √2 ve −√2
y-kesişimlerini bulmak için, x=0 yazarız ve y için çözeriz. Böylece
x=0 yazın
y-kesişimi -2'dir.
Bu denklemin grafiği Örnek 5'te çizilmişti. Şekil 11'de x- ve y-kesişimleri gösterilerek tekrar
verilmiştir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
81
ŞEKİL 11
Çemberler
Bir denklemin x ve y içinde grafiğinin nasıl bulunacağını tartışmıştık. Bu problemin tersi
bir grafiğin denklemini bulmaktır, bu da xy-düzleminde verilen bir eğriyi gösteren bir
denklemdir. Böyle bir denklem, diğer noktalarla değil, eğri üzerindeki noktaların
koordinatlarıyla sağlanır. Bu Descartes ve Fermat tarafından formüle edilen analitik
geometrinin temel prensibinin diğer yarısıdır. Eğer geormetrik bir eğti cebirsel denklemlerle
gösterilebilirse, cebir kuralları eğriyi analiz etmek için kullanılabilir fikrine dayanır.
Bu tip problemlerin bir örneği olarak, r yarıçaplı ve merkezi (h,k) olan bir çember
denklemini bulalım. Tanım gereği, çember, C(h,k) merkezinden uzaklığı r olan tüm P(x,y)
noktaların bir kümesidir (bakınız Şekil 12). Böylece yalnızca ve yalnızca d(P,C)=r ise P
çemberin üzerindedir. Uzaklık formülünden;
Her iki tarafın karesi alınır.
Bu istenen denklemdir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
82
ŞEKİL 12
ÇEMBER DENKLEMİ
(h,k) merkezli ve r yarıçaplı bir çemberin denklemi
Buna çemberin denklemi için standart form denir. Eğer çemberin merkezi orijin (0,0)
ise, denklem
ÖRNEK 8 Çemberin Grafiğini Çizme
Her denklemin grafiğini çizin.
ÇÖZÜM
(a) Denklemi 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 52 olarak yeniden yazdığımızda, merkezi orijinde yarıçapı 5
olan bir çember denklemi olduğunu görürüz. Grafiği Şekil 13'te gösterilmektedir.
(b) Denklemi (𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 + 1)2 = 52 olarak yeniden yazdığımızda, merkezi (2,-1)
noktasında, yarıçapı 5 olan çember denklemi olduğunu görürüz. Grafiği Şekil 14'te
gösterilmektedir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
83
ŞEKİL 13 ŞEKİL 14
ÖRNEK 9 Bir Çemberin Denklemini Bulmak
(a) Yarıçapı 3 ve merkezi (2,-5) olan bir çemberin denklemini bulun.
(b) Çapının uç noktaları P(1,8) ve Q(5,-6) olan çemberin denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM
(a) r=3, h=2 ve k=-5 olan çember denklemini kullandığımızda, aşağıdaki ifadeyi elde
ederiz
(𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 + 5)2 = 9
Grafik Şekil 15'te gösterilmektedir.
ŞEKİL 15
(b) Öncelikle merkezin PQ çapının orta noktası olduğunu görüyoruz, bu nedenle Orta
Nokta Formülünden, merkez;
�1 + 5
2 ,8 − 6
2 � = (3,1)
Yarıçap r, P'den merkeze olan uzaklıktır, böylece Uzaklık Formülünü kullanarak,
𝑒𝑒2 = (3 − 1)2 + (1 − 8)2 = 22 + (−7)2 = 53
Bu nedenle, çemberin denklemi
(𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 = 53
Grafik Şekil 16'da gösterilmektedir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
84
ŞEKİL 16
Önceki örnekteki çember denklemini genişletelim.
(𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 = 53 Standart form
𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 + 𝑦𝑦2 − 2𝑦𝑦 + 1 = 53 Kareleri açın
𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2 − 2𝑦𝑦 = 43 Genişletilmiş formu elde etmek için 10 çıkarın
Çemberin denkleminin genişletilmiş şekilde verildiğini varsayıyoruz. Merkezini ve
yarıçapını bulmak için, standart formdaki denkleme dönmeliyiz. Bu demektir ki önceki
hesaplamadaki adımları tersine çevirmeliyiz ve bunu mükemmel kare haline getirmek için 𝑥𝑥2 −
6𝑥𝑥 gibi bir ifadeyi eklemeyi bilmemiz gerekiyor. Yani kareye tamamlamamız gerekiyor,
sonraki örnekteki gibi.
Kareye tamamlama cebirdeki bir çok konuda kullanılmaktadır. Bölüm 1.5'te kuadratik
denklemleri çözmek için kareye tamamlamayı kullandık.
ÖRNEK 10 Bir Çember Denklemini Tanımlamak
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 7 = 0 denkleminin bir çember belirttiğini göster,n ve bu
çemberin merkezini ve yarıçapını bulun.
ÇÖZÜM ncelikle x-terimleri ve y-terimlerini gruplarız. Sonra her grup içinde kareye
tamamlarız. Bu, 𝑥𝑥2 + +2𝑥𝑥 için (12
. 2)2 = 1 ekleyerek kareye tamamlarız ve 𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 için
[12
. (−6)]2 = 9 ekleyerek kareye tamamlarız, demektir.
Terimleri gruplayın
Her iki tarafa 1 ve 9 ekleyerek
kareye tamamlayın.
Çarpanlara ayırın ve basitleştirin.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
85
Eşitliği sağlamak için her iki tarafa aynı sayıları eklemeliyiz.
Bu denklemi çemberin standart denklemiyle karşılaştırdığımızda görüyoruz ki h=-1,
k=3 ve r=√3, böylece verilen denklem merkezi (-1,3) ve yarıçapı √3 olan çemberi gösterir.
Simetri
Şekil 17 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2'nin grafiğini göstermektedir. Grafiğin y-ekseninin solunda kalan
kısmının y-ekseninin sağında kalan kısmının yansıması olduğuna dikkat edin. Buradan
çıkarılacak sonuç, (x,y) noktası ve (-x,y) grafiğin üzerindeyse ve bu noktalar birbirinin y-
eksenindeki yansımalarıdır. Bu durumda, grafik y-eksenine göre simetriktir deriz. Benzer
şekilde, (x,y) noktası ve (x,-y) grafiğin üzerindeyse, grafik x-eksenine göre simetriktir deriz.
(x,y) ve (-x,-y) grafiğin üzerindeyse, grafik orijine göre simetriktir.
ŞEKİL 17
SİMETRİNİN TANIMI Simetri Türü Simetrinin Nasıl
Test Edildiği Grafiğin neye benzediği (bu bölümdeki şekiller)
Geometrik anlamı
x-eksenine göre simetri
y,--y ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez
x-ekseninde yansıtıldığında grafik değişmez
y-eksenine göre simetri
x,-x ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez
y-ekseninde yansıtıldığında grafik değişmez
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
86
Orijine göre simetri
y,--y ile ve x,-x ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez
Orijinde 180𝑜𝑜 döndürüldüğünde grafik değişmez.
Bu bölümde geri kalan örnekler denklemlerin grafiğini çizerken simetrinin bize nasıl
yardım ettiğini gösterir.
ÖRNEK 11 Grafik Çizmek için Simetrinin Kullanılması
𝑥𝑥 = 𝑦𝑦2 denklemini simetri için test edin ve grafiğini çizin
ÇÖZÜM Eğer 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦2 denkleminde -y, y ile yer değiştirirse,
𝑥𝑥 = (−𝑦𝑦)2 y'yi -y ile yer değiştirin.
𝑥𝑥 = 𝑦𝑦2 Basitleştirin
ve böylece denklem değiştirilmez. Bu nedenle, grafik x-eksenine göre simetriktir. Fakat
x'i -x ile değiştirmek −𝑥𝑥 = 𝑦𝑦2 denklemini verir, bu orijinal denklem ile aynı değildir, bu
nedenle grafik y-eksenine göre simetrik değildir.
Şekil 18'de gösterildiği gibi, öncelikle noktaları y>0 için işaretleyerek ve sonra x-
ekseninde grafiği yansıtarak, grafiği çizmek için x-eksenine göre simetriyi kullanıyoruz.
ŞEKİL 18
ÖRNEK 12 Grafik Çizmek için Simetrinin Kullanılması
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥 denklemini simetri için test edin ve grafiğini çizin.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
87
ÇÖZÜM Eğer denklemde x'i -x ile ve y'yi -y ile değiştirirsek, aşağıdaki ifadeleri elde
ederiz
−𝑦𝑦 = (−𝑥𝑥)3 − 9(−𝑥𝑥) x'i -x ile ve y'yi -y ile değiştirin
−𝑦𝑦 = −𝑥𝑥3 + 9𝑥𝑥 Basitleştirin
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥 -1 ile Çarpın
ve böylece denklem değiştirilmez. Bu, grafik orijine göre simetriktir demektir.
Öncelikle x>0 için noktaları işaretleyerek çizeriz, sonra orijine göre simetriyi kullanırız (bakınız
Şekil 19).
ŞEKİL 19
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
88
1.10 Doğrular
Bu bölümde bir koordinat düzleminde bulunan düz doğruların denklemlerini bulacağız. Denklem
doğrunun nasıl bir eğim gösterdiğine göre bağlı olacağı için öncelikle doğrunun doğrunun eğimi
kavramını ele alacağız.
Bir Doğrunun Eğimi
Öncelikle bir doğrunun dikliğini ölçmek için veya soldan sağa gidildiğinde ne kadar hızlı yükseldiğini ve
alçaldığını gösteren bir yol bulmalıyız. Sağa giderken ki hareket mesafesine “yatay gidiş”, buna karşılık
gelen yükseliş veya düşüş ise “yükselti” olarak adlandırılacaktır. Bir doğrunun eğimi yatay gidişin
yükselişe oranı ile hesaplanır.
Yüksellti
EĞİM=
Yatay gidiş
Şekil 1 bize eğimin önemli olduğu durumları göstermektedir. Bir çatının veya merdivenlerin açısı için
veya yol eğimi için meyil terimini kullanılır.
Eğer bir doğru koordinat düzlemi üzerinde yer alıyorsa doğru üzerindeki her hangi iki nokta arasındaki
“yatay gidiş” x koordinatı boyunca hareketi, “ yükselti” ise y koordinatı üzerindeki hareketi ifade eder.
(Bknz şekil2) Bu da bize aşağıdaki eğim tanımını verir.
Eğim Eğim Eğim
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
89
Doğrunun Eğimi:
ve de noktalarından geçen düşey olmayan bir doğrunun eğimi
olur
Düşey doğrunun eğimi tanımlanmamıştır.
Eğim, doğru üzerindeki hangi iki noktanın seçildiğinden bağımsızdır. Bunun doğru olduğu şekil 3 teki
benzer üçgenlerden anlaşılabilir.
Şekil 4 eğimleri ile etiketlenmiş farklı doğruları göstermektedir. Pozitif eğimli olanlar sağa gittikçe yukarı
gitme eğilimindedir, negatif olanlar ise sağa gidildikçe aşağı hareket etmektedir. En dik doğrular eğimi
mutlak değerce en büyük doğrulardır, yatay doğruların eğimi sıfır olur.
Eğim
Yükselti
Y koordinatındaki
Değişim (pozitif)
Yükselti
Y koordinatındaki
Değişim (negatif)
Yükselti
Yatay Gidiş
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
90
Şekil 4 Farklı eğimli doğrular.
Örnek 1
İki noktası bilinen doğrunun eğimini bulmak
ve noktalarından geçen doğrunun eğimini bulun.
Çözüm:
Herhangi iki nokta tek bir doğru tanımlayacağından dolayı, bu iki noktadan tek bir doğru geçer.
Eğimin tanımından
bulunur.
Bu şu demektir; sağa 3 birim ilerlediğimizde doğru 2 birim yükselir. Doğru şekil 5 te çizilmiştir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
91
Doğru Denkleminin Nokta Eğim Formu
Şimdi verilen bir noktasından geçen ve eğimi m olan bir noktanın eğimini bulmaya
çalışalım. olan bir noktası , ancak ve ancak P1 ve den geçen doğrunun eğimi m e
eşitse bu doğru üzerindedir. (Şekil6) Böylece
Bu denklem formunda da yazılabilir. Denklem ancak ve
olduğunda sağlanır. Bu yüzden verilen doğrunun denklemine eşittir.
Nokta Eğim Formu ile Doğru Denklemi:
noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi :
olur
Örnek 2
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denkleminin bulunması
a) (1,-3) noktasından geçen ve eğimş -1/2 olan doğrunun denklemini bulun.
b) Doğruyu çizin
Çözüm
a) ve iken , nokta eğim formu kullanılarak
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
92
bulunur.
b) Eğimin -1/2 olması sağa iki birim ilerlediğimizde doğrunun düşeyde 1 birim aşağı düşmesi anlamına
gelir.
Buna bağlı olarak şekil 7 yi çizebiliriz.
Örnek 3
İki noktası bilinen doğrunun denkleminin bulunması
(-1,2) (3,-4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun
Doğrunun eğimi
olur
Nokta eğim formu kullanılarak ve de
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
93
Doğru Denkleminin Eğim-Kesim Formu
Varsayalım dikey olmayan bir doğrunun eğimi m ve de y-kesim noktası b olsun (Şekil 8). Bu doğrunun
y y eksenini (0,b) noktasında kestiğini gösterir, böylece doğrunun eğim kesim formu:
olur
Bu da daha basit olarak yazılabilir. Buna da doğrunun denkleminin eğim-kesim
formu denir.
Doğru Denkleminin Eğim-Kesim Formu:
y-kesimi b ve eğimi m olan bir doğrunun eğimi
Örnek 4
Eğim- kesim formundaki doğrular
a) Eğimi 3, y-kesimi -2 olan doğrunun denklemini bulun
b) doğrusunun eğimini ve y kesimini bulun
Çözüm
a) m=3 ve b=-1 olduğundan eğim kesim formu ile
yazılır
b) Denklemi önce formunda yazarız.
Doğru denkleminin eğim kesim formundan , eğimin m=2/3 ve y-kesiminin b=1/3 olduğunu görürüz.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
94
Düşey ve Yatay Doğrular
Eğer bir doğru yatay ise eğimi m=0 dır ve dolayısıyla denklemi y=b dir , burada b ise y- kesimidir. (Şekil
9)
Düşey doğrunun eğim, yoktur ancak denklemini x=a şeklinde yazabiliriz, burada a x-kesiminidir, çünkü
doğru üzerindeki bütün noktaların x koordinatı a dır.
Yatay ve Düşey Doğrular:
(a,b) noktasından geçen düşey doğrunun denklemi x=a dır.
(a,b) noktasından geçen yatay doğrunun denklemi x=b dir
Örnek
Yatay ve düşey doğrular
a) (3,5) ten geçen düşey doğrunun denklemi x=3 tür
b) x=3 denkleminin grafiği x kesimi 3 olan bir düşey doğrudur.
c) (8,-2) ten geçen yatay doğrunun denklemi y=-2 dir
d) y=-2 denkleminin grafiği , y kesiminin -2 olduğu yatay doğrudur. (Şekil 10)
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
95
Bir Doğrunun Genel Denklemi
Bir doğrusal denklem
Formundaki bir denklemdir. Burada A,B,C sabitlerdir ve A ve B nin her ikisi aynı anda sıfır olmamalıdır.
Bir doğrun denklemi “doğrusal bir denklemdir”
- Düşey olmayan bir doğrunun denklemi y=mx+b veya –mx+y-b=0 şeklindedir . Bu da A= -m ,
B=1 , C=- b olan bir doğrusal denklemdir.
- Bir düşey doğrunun denklemi x=a veya x-a =0 dır. Bu da A=1 , B=0 , C=-a olan doğrusal bir
denklemdir.
- Doğrusal bir denklemin grafiği bir doğrudur.
Bu da bir doğru denkleminin eğim-kesim formudur. Burada ve
- Eğer B=0 ise denklem
veya olur ki bu da bir düşey doğrudur.
Böylece,
Doğrunun genel Denklemi:
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
96
Her doğru doğru denkleminin grafiği :
olur . (A ve B nin her ikisi birden sıfır olmamalı)
Örnek 6
Doğrusal bir denklemin grafiğinin çizilmesi
denklemininin grafiğini çiziniz.
Çözüm 1
Denklem doğrusal olduğundan dolayı grafiği de doğru şeklindedir. Grafiği çizmek için doğru üzerinde
iki nokta bulmak yeterlidir. Kesim noktaları bulunması en kolay noktalardır.
x-kesimi y=0 yazılarak olur ve x=6 olur.
y-kesimi x=0 yazılarak olur ve y=-4 olur.
Bu noktalar ile şekil 11 deki grafiği çizeriz.
Çözüm 2
Denklemi eğim-kesim formunda
Bu denklem formundadır, böylece eğim ve y kesimi de b=-4 olur.
Grafiği çizmek için y kes,m noktasını işaretler ve gösterildiği gibi 3 birim sağa 2 birim yukarı giderek
grafiği şekil 12 deki gibi çizeriz.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
97
Paralel ve Dik Doğrular
Eğim bir doğrunun dikliğini ölçtüğünden, paralel doğruların aynı eğime sahip olduklarını söylemek
makul olacaktır.
Paralel Doğrular:
İki tane düşey olmayan doğru ancak ve ancak eğimleri birbirine eşitse paraleldir.
İspat:
Şekil 13 teki ve doğruları ve eğimlerine sahiptir. Eğer doğrular paralel ise sağdaki
ABC ve DEF üçgenleri benzerdir.
Eğimler eşitse üçgenler benzerdir. Böylece ve doğrular paraleldir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
98
Örnek 7
Verilen bir doğruya paralel bir doğrunun denklemini bulmak
(5,2) noktasından geçen ve doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini
bulun.
Çözüm
Önce verilen doğrunun denklemini eğim kesim formunda yazalım
Doğrunun eğimi olur. Böylelikle istenen doğrunun eğiminin de olacağı
aşikardır. Doğru denkleminin nokta eğim formundan
Böylece istenen doğrunun denklemi olur.
Dik kesen doğrular için şart paralel doğrular için olan kadar açık değildir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
99
Birbirine dik doğrular
Eğimleri m1 ve m2 olan iki doğru ancak ve ancak olduğunda yani
Eğimlerin birbirinin tersinin eksilisi yani
olduğunda birbirlerine diktir denir.
Örnek 8
Birbirine dik doğrular
ve noktalarının bir dik üçgenin köşeleri olduğunu gösterin.
Çözüm
PR ve QR doğrularının eğimleri sırası ile
olur
olduğundan bu doğrular birbirine diktir. Böylece PQR şekil 15 deki gibi dik üçgendir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
100
Örnek 9
Verili bir doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmak
doğrusuna dik olan ve orijinden geçen doğrunun denklemini bulun.
Çözüm
Örnek 7 de doğrusunun eğiminin olduğunu gördük . Bu durumda
buna dik doğrunun eğimi bu doğrunun tersinin negatifi yani olur. İstenen doğru (0,0) dan geçtiğine
göre nokta eğim formuna göre doğrunun denklemi
olur.
dakika
Doğrusal Denklemlerle Modelleme: Değişimin oranı olarak Modelleme
İki büyüklük arasındaki ilişkiyi modellemek için bir doğru kullanıldığında, bu doğrunun eğimi
büyüklüklerden birinin diğerine göre değişim oranını göstermektedir. Örneğin şekil 17 a daki grafik
doldurulan bir tanktaki gaz miktarını göstermektedir. Belirtilen noktalar arasındaki eğim
Doğrunun eğimi tankın dolum oranını verir ki bu dakikada 2 galondur. Şekil 17 b deki grafiğe göre ise
tank dakikada 0,03 galon oranıyla boşalmaktadır, eğim -0,03 tür.
dakika
galon
Gal/ dakika
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
101
Rate of Change
Değişim oranı olarak eğim
Bir nehir üzerinde rezervuar oluşturmak için bir baraj inşa edilmektedir. Rezervuardaki su miktarı w şu
denklem ile verilmiştir.
Burada t barajın kurulmasından sonra kaç yıl geçtiği w ise barajdaki su seviyesinin feet cinsinden
değerini göstermektedir.
a) Bu denklemin grafiğini çizin
b) Bu doğrunun eğimi ve w kesimi ne ifade etmektedir.
Çözüm
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
102
a) Bu denklem bir doğrudur ve bu yüzden grafik te doğru şeklinde olmalıdır. İki nokta bir
doğru belirleyeceğinden buna göre doğru çizilir.
t=0 iken olduğundan (0,28) doğru üzerindedir.
t=2 iken olduğundan (2,37) doğru üzerindedir.
Bu noktalarca oluşturulan doğru şekil 18 de verilmiştir.
b) Eğim su seviyesinin zamana göre değişim oranını gösterir.
Buna göre su seviyesi yılda 4,5 feet yükselir. w-kesimi 28 dir ve bu t=0 da olur , bu da baraj inşa
edildiğindeki su seviyesini gösterir.
Örnek 12
Sıcaklık ile yükseklik arasındaki doğrusal ilişki
a) Kuruyan hava yükseldikçe genleşir ve soğur. Eğer zeminde sıcaklık 200C ve de 1 km yükseklikte
sıcaklık 100C ise T sıcaklığı ile (0C) h yüksekliği arasındaki (km) ilişkiyi ifade edin. (İlişkinin
doğrusal olduğunu varsyın)
b) Denklemin grafiğini çizin , eğim neyi temsil etmektedir?
c) 2,5 km yüksekliğinde sıcaklık ne olur.
Çözüm
a)
T ve h arasındaki ilişkinin doğrusal olduğu varsayımından yola çıkarsak, denklemin formunun
şeklinde olması gerekir.
Burada m ve b katsayıdır. h=0 olduğunda T=20 olmaktadır. Bu yüzden
böylece
h=1 iken T=10 olur. Böylece
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
103
İstenen ifade
şeklindedir.
b) Grafik şekil 19 da çizilmiştir. Eğim ve bu ifade yerden yüksekliğe göre
sıcaklığın değişim oranını gösterir. Buna göre her bir kilometre yükselmek sıcaklığı 10 0C
düşürür.
c) h=2,5 km olduğunda sıcaklık
olur.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
104
1.11 Değişimleri Kullanarak Modeller Oluşturma
Bilim adamları, gerçek dünya olayı için matematiksel bir model hakkında konuştuklarında,
genellikle iki nicelik arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir denklemi ifade eder. Örneğin, model bir
hayvan türünün nüfusunun zamanla nasıl değiştiğini veya sıcaklığı değiştikçe bir gazın
basıncının nasıl değiştiğini tarif edebilir. Bu bölümde varyasyon(değişim) adı verilen bir çeşit
modelleme çalışıyoruz.
İki tip matematiksel model çok sık ortaya çıkar ve özel isimler verilir. İlkine doğrudan değişme
denir ve bir nicelik diğerinin sabit bir katı olduğunda ortaya çıkar, bu bağımlılığı modellemek
için 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 biçiminde bir denklem kullanırız.
Eğer 𝑥𝑥 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑦𝑦 nicelikleri arasında;
𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 , 𝑘𝑘 ≠ 0 bir sabit
denklemi varsa 𝑦𝑦 doğrudan 𝑥𝑥 ile değişmektedir veya 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ile doğru orantılıdır ya da basitçe
orantılıdır denir. 𝑘𝑘 sabitine ise orantı sabiti denir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
105
𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 biçiminde bir denklem grafiğinin 𝑚𝑚 eğimi 𝑏𝑏 ise keseni
olduğunu hatırlayın. Dolayısıyla 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 doğrusu, doğru orantılı
değişimi tanımlar ve 𝑘𝑘 eğimi 𝑦𝑦 ise ekseni kestiği noktayı gösterir
(bkz.Şekil-1).
Örnek 1: Bir gök gürültülü fırtınada gök gürültüsü duymadan
önce yıldırım görürsünüz çünkü ışık sesden daha hızlı
ilerlemektedir. Sizinle fırtına arasındaki mesafe doğrudan
yıldırım ile gök gürültüsünün arasındaki zaman aralığı olarak
değişir.
a) 5400 ft.'lik bir fırtınadan gelen yıldırımın size ulaşması için 5 saniye sürdüğünü varsayalım.
Oransallık sabitini belirleyin ve varyasyon denklemini yazın.
b) Bu denklemin grafiğini çizin. Orantı sabiti neyi temsil eder?
c) Şimşek ile yıldırım arasındaki zaman aralığı 8 saniyeyse, fırtına ne kadar uzaktadır?
Çözüm: a) 𝑑𝑑 sizin fırtınadan uzaklığını ve 𝑡𝑡 zaman aralığını göstersin Böylece:
𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑡𝑡
olur. Burada 𝑘𝑘 sabittir bu sabiti bulmak için 𝑡𝑡 = 5 iken 𝑑𝑑 = 5400 olduğu kullanılırsa;
Böylece 𝑑𝑑 = 1080𝑡𝑡 denklemi elde edilmiş olur.
b) 𝑑𝑑 = 1080𝑡𝑡 denkleminin grafiği şekil-2 de gösterilmiştir. Doğru
orijinden geçmektedir. 1080 eğimine sahiptir. 𝑘𝑘 = 1080 sabiti
sesin yaklaşık hızıdır(ft/s cinsinden).
c) 𝑡𝑡 = 8 olduğunda
𝑑𝑑 = 1080.8 = 8640
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
106
olur. Fırtına 8640 ft uzaklıktadır.
Matematiksel modellemede sıklıkla kullanılan bir başka denklem 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥⁄ ’dir. Burada 𝑘𝑘 bir sabittir. Eğer 𝑥𝑥 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑦𝑦 nicelikleri arasında;
𝑦𝑦 =𝑘𝑘𝑥𝑥 , 𝑘𝑘 ≠ 0
denklemi varsa 𝑦𝑦 ters olarak 𝑥𝑥 ile değişmektedir veya 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ile ters orantılıdır denir. 𝑘𝑘 sabitine
ise orantı sabiti denir. Şekil- 3 de 𝑥𝑥 > 0 ve 𝑘𝑘 > 0 için ters değişim grafiği gösterilmiştir.
Örnek 2: Ters Değişme
Boyle Yasası, bir gaz örneğinin sabit bir sıcaklıkta sıkıştırılmasında gazın basıncının gazın
hacmiyle ters orantılı olduğunu belirtmektedir.
a) 25 ° C'de 0.106 𝑚𝑚3 'lük bir hava örnekleminin basıncının 50 kPa olduğunu varsayalım.
Orantı sabitini bulun ve tersini ifade eden denklemi yazın
b) Örnek 0.3 𝑚𝑚3' lük bir hacme kadar genişlerse, yeni basıncı bulun.
Çözüm: a) 𝑃𝑃 örnek gaz numunesinin basıncı olsun ve 𝑉𝑉 ise hacmi olsun. Sonra, Boyle yasası
tanımından;
𝑃𝑃 =𝑘𝑘𝑉𝑉
denklemi oluşur. 𝑘𝑘 sabittir bu sabiti bulmak için gerçek değerler 𝑃𝑃 = 50, 𝑉𝑉 = 0.106 orijinal
denklemde yerine konulursa orijinal denklem;
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
107
𝑃𝑃 =5.3𝑉𝑉
olarak elde edilir.
b) V=0.3 olduğunda yeni basınç;
𝑃𝑃 =5.30.3 ≈ 17.7
olur.
Fiziksel bir nicelik çoğunlukla birden fazla başka niceliğe bağlıdır. Bir nicelik iki veya daha
fazla diğer nicelikle orantılıysa, bu ilişki ortak değişim olarak adlandırırız.
Eğer 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑧𝑧 nicelikleri arasında;
𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑦𝑦 , 𝑘𝑘 ≠ 0
denklemi varsa 𝑧𝑧, 𝑥𝑥 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑦𝑦 ile ortak değişmektedir veya 𝑧𝑧, 𝑥𝑥 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑦𝑦 ile orantılıdır denir. 𝑘𝑘 sabitine
ise orantı sabiti denir.
Bilimlerde, üç veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiler yaygındır ve tartıştığımız farklı
oransallıkların kombinasyonu mümkündür. Örneğin;
𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑦𝑦 , 𝑘𝑘 ≠ 0
Biçiminde ise 𝑧𝑧, 𝑥𝑥 ile doğru orantılı ve 𝑦𝑦 ile ters orantılıdır denir.
Örnek 3: Newton'un Yerçekimi Kanunu
Newton'un Yerçekimi Kanunu, 𝑚𝑚1ve 𝑚𝑚2 kütleli nesnelerin, kütleleri ile ortak olarak orantılı
olan ve nesneler arasındaki mesafenin (𝑒𝑒) karesi ile ters orantılı olan bir 𝐹𝐹 kuvveti ile
birbirlerini çektiğini söylüyor. Newton'un Yerçekimi Yasasını bir denklem olarak ifade ediniz.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
108
Çözüm: Genel yer çekimi sabiti G ile gösterilsin. Kanunun
tanımından ters ve doğru oransallıklar düşünülürse
denklem;
𝐹𝐹 = 𝐺𝐺𝑚𝑚1𝑚𝑚2
𝑒𝑒2
olarak yazılır. Eğer 𝑚𝑚1ve 𝑚𝑚2 kütleleri sabitlenirse 𝐹𝐹 =
𝐶𝐶 𝑒𝑒2⁄ olur.(𝐶𝐶 = 𝐺𝐺. 𝑚𝑚1. 𝑚𝑚2) olur. Şekil-4’te 𝐶𝐶 = 1 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑒𝑒 > 0
için bu denklemin grafiği gösterilmiştir. Yerçekimi etkisinin
artan mesafe ile nasıl azaldığını gözlemleyin.