Autor: Mario A. Jordán
Fundamentos de Control Realimentado
NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2013. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la
Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5
Clases 7, 8 y 9 - Versión 1 - 2014
Contenido
Estabilidad - Generalidades
Función de Transferencia de Laplace de un Sistema de Control
Diagramas en Bloques
Criterio de Estabilidad de Routh
2
Aplicación al Diseño de un Sistema de Control
Función de transferencia y respuestas temporales
Salida de un sistema dinámico:
3
Respuesta Impulsiva:
Respuesta al escalón:
Y(s) = G(s) U(s)
U(s)=1 G(s) = H(s) L -1 G(s) = h(t)
U(s)=1/s Y(s) = G(s)/s L -1 G(s)/s = y(t)
Relación entre las respuestas impulsiva y al escalón:
dy/dt = h(t)
Operaciones con bloquesSean los siguientes sistemas dinámicos aislados en bloques:
U2(s)U2/U1=G1
Y2/U2=G2
U2=Y2 / G2
Y2/U1=G1G2
Bloques en serie (Lazo abierto)
Y1(s)
Y2(s)
Bloques en cascadaY1/U=G1
Y2/U=G2Y=Y1 + Y2
Y/U=G1 + G2
Bloques en lazo cerradoU1=R - Y2
Y/U1=G1Y=G1 (R-Y2)
Y/R=G1/(1 + G1G2)Y2/Y=G2
Y=G1R-G1G2Y
4
Operaciones con bloquesTraslado de un bloque hacia atrás a través de un nodo
Traslado de un bloque hacia adelante a través de un nodo
5
Operaciones con bloquesTraslado de bloques hacia delante a través de un sumador
Traslado de un bloque hacia adelante a través de un sumador
6
Operaciones con bloquesTraslado de un bloque desde la realimentación hacia afuera y hacia adentro
Traslado de un bloque desde afuera hacia adentro del lazo
7
Operaciones con bloques
Ejemplo 1
8
Operaciones con bloquesEjemplo 2
9
Regla de Mason para hallar FT-LC
Trayecto de lazo
Ganancia de realimentaciónTrayecto directo
Nodos
Diagrama en bloques Diagrama en flujo 3 Ejemplos distintos
10
Entrada y salida
Unión de nodos
Ganancia de lazo: G1G2G4
Ganancia de trayecto directo: G1G2
Regla de Mason para hallar FT-LC
Ganancia del Trayecto directo i-ésimo
Determinante del sistema = 1 – SUMA de todas las ganancias de lazos individuales + SUMA de los productos de ganancias de cada par de lazos que no se tocan – SUMA de los productos de ganancias de cada triplete de lazos que no se tocan + …
Determinante del sistema que resulta de anular en todos los términos que se conectan con el trayecto directo i-ésimo, ya sea en algún sub-tramo o todo el tramo.
11
Regla de Mason para hallar FT-LC
Ejemplo
12
Trayecto directo Ganancia del trayecto
Trayecto de lazo Ganancia de lazo
Regla de Mason para hallar FT-LC13
Regla de Mason para hallar FT-LC14
Trayecto directo Ganancia del trayecto
Trayecto de lazo Ganancia de lazo
1
Estabilidad de sistemas dinámicos
Criterios de Estabilidad
Diagrama de Nyquist
Diagramas de Bode (frecuencia de cruce)
Raíces de la Ecuación Característica
Criterio de Routh
Función de Liapunov
Análisis Diseño
٢٢
٢ ٢
٢ ٢
٢ ٢
Lugar de las raíces ٢ ٢
Un sistema lineal invariante en el tiempo es estable si todas las raíces del polinomio denominador de su Función de Transferencia de Laplace tienen parte real negativa.
(2do orden)
De otra manera el sistema es inestable.
Definición
(2do. orden)
15
Estabilidad de sistemas dinámicosCriterio de las raíces de la Ecuación Característica. Sea:
…+ C1 e-p1t +C2 t e-p1t +C3 t2 e-p1t+ …
+……+
… …
+……+
para todos los polos con:
16
Estabilidad de sistemas dinámicosDefiniciones
ESTABILIDAD INTERNA: Todos los polos del sistema dinámico están estrictamente en el semiplano izquierdo
ESTABILIDAD NEUTRA: Un sistema dinámico es neutralmente estable cuando además de sus polos estables posee un polo en el origen y/o un par de polos imaginarios conjugados.
INESTABILIDAD: Un sistema dinámico es inestable cuando posee algún polo en el semiplano derecho y/o polos sobre el eje imaginario con multiplicidad (ejemplo un Integrador doble o un par de polos imaginarios conjugados múltiples).
ESTABILIDAD INVERSA: Un sistema es inversamente estable cuando posee todos sus ceros en el semiplano derecho.
ESTABILIDAD BIBO: Un sistema es BIBO si para cualquier entrada acotada y una condición inicial acotada, su salida es acotada.
17
Estabilidad Neutra – Ejemplo 1
G(s)=1/s
G(s)=1/s2
jw
s
jw
s
InestableNeutralmente estable
Respuesta al impulso unitario
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Tiempo (seg)
Am
plitu
d18
Estabilidad Neutra – Ejemplo 2
G(s)=10/(s2+4)
T(s)=1/(s2+4)2
jw
s
jw
s
Inestable
Neutralmente estable
0 5 10 15 20 25 30 35-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
40
Respuesta al impulso unitario
Tiempo (seg)
Am
plitu
d19
Estabilidad Inversa – Ejemplo 3
I I
s2 + 5 s + 6
s2 + 3 s + 1.61
Respuesta al impulso unitario
Tiempo (seg)
Am
plitu
d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
s2 + 5 s + 6
s2 + 3 s - 1.61
s2 + 3 s - 1.61
s2 + 5 s + 6
s2 + 3 s + 1.61
s2 + 5 s + 6
jw
s
jw
s
jw
sI E
I E
I E
jw
s
20
FT inversa
FT inversa
Criterio de Estabilidad de RouthDe la Teoría de Polinomios se sabe que:Una condición necesaria para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que todos sus coeficientes sean del mismo signo. Esta condición no es suficiente.
El criterio de Routh (E. Routh 1874) dice que:Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que los signos de la primera columna del denominado “Arreglo de Routh” sean todos estrictamente positivos.
El criterio de Hurwitz (A. Hurwitz 1895) dice que:Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que los determinantes de las sub-matrices principales de una matriz construida con el arreglo de Routh, sean positivos.
El criterio de Jury (E. Jury, 1923):Es un conocido criterio de estabilidad similar al de Routh pero para sistemas de tiempo discreto.
21
Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila
Criterio de RouthSea un sistema dinámico con FT G(s)= b(s)/a(s) con denominador mónico:
a(s) = sn+ a1 sn-1 + a2 sn-2 +…+ an-1 s + a0
Se construye un ARREGLO ordenando las dos primeras filas con coeficientesdel polinomio:
En donde el ARREGLO ordenando es:
Cambios designos?
?
22
Criterio de Routh – Cálculo de CoeficientesLa tercera fila se construye a partir de determinantes
23
Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila
Criterio de Routh – Cálculo de CoeficientesDe igual manera, la cuarta fila se construye a partir de determinantes
De manera similar con la quinta y sexta fila hasta que se llegue a la (n+1)-iésimafila, que lo general constará de un primer elemento no-nulo seguido de elementos ceros.
El aspecto del arreglo de Routh es una matriz triangular superior.
24
Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila
0
El número de cambios de signo en la primera columna marca la cantidad de polos inestables
Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes
Ejemplo: si la secuencia de signos es +++ - ++++, existen 2polos inestables en el sistema dinámico
Si el último elemento de la columna es cero, el sistemaposee un polo en el origen
Si una fila es cero y no existen cambios de signo, entonces el sistema posee un par de polos imaginarios conjugados
Existen dos casos patológicos que nos impiden calcular el arreglo. Estos casos se salvan con modificaciones.
25
Criterio de Routh – Caso: normalEjemplo
Existen dos raíces inestables !
26
1er Caso Patológico: un elemento nulo
Ejemplo:
Fila s3 se reemplaza!
Coef. positivo
Coef. negativo
Coef. positivo
Donde e es un númeropequeño y positivo
Por lo tanto, existen dos polos en el semiplano derecho
Se continúa con fila nueva(se divide por 3 a toda la fila)
27
2do. Caso Patológico: una fila nula
Ejemplo:
Fila s1 es nula!
No existen cambios de signo: Sistema Dinámico estable??
Polinomio auxiliar
28
2do. Caso Patológico: una fila nula
El mismo ejemplo:
El sistema no es internamente estable, pero si neutralmente estable. Su respuesta temporal no se extingue y oscila en el tiempo.
Si e es positivo, no existe cambio de signo
Por el contrario, si e es negativo, existen dos cambios de signo
Para e=0, existe un par de polos conjugados en el eje imaginario.
29
De la fila s2 se calcula:
Ejemplo: Diseño de un Sistema de Control Proporcional
Objetivos del Diseño:
Criterio de Routh – Aplicación
Objetivo 1: Encontrar la ganancia crítica (simbolizada por K*) para este proceso, es definir a este sistema en el límite de estabilidad, es decir, definirlo como marginalmente estable
Objetivo 2: Buscar un ganancia K que otorgue al sistema controlado estabilidad y una buena performance
Controlador Proceso
Realimentación unitaria
Comando
Salida controlada
30
Criterio de Routh – Aplicación31
Respuesta Impulsiva de la Planta o Proceso
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x 1024
0
G(s) = s (s-1) (s+6)
(s+1)
El proceso Sin Control, es Inestable !Posee un polo inestable y un integrador
Criterio de Routh – Diseño de un SCFunción de Transferencia de la Sistema de Control:
Polinomio característico del Sistema de Control se calcula de:
Al aplicar el Test de Routh de estabilidad para el Lazo de Control:
Resultan estricciones para la estabilidad:
32
Criterio de Routh – Diseño de un SCRestricción de estabilidad:
La ganancia crítica K* es: *
Raíces para K*=7.5:p1=-5.0000 p2=-0.0000 + 1.2247ip3=-0.0000 - 1.2247i
jw
s
Raíces para K=13:p1=-4.0647 p2=-0.4677 + 1.7261ip3=-0.4677 - 1.7261iRaíces para K=25:p1=-1.9084p2=-1.5458 + 3.2727ip3=-1.5458 - 3.2727i
33
05 10 15 20 25 30
-0.5
0
1
1.5
2
2.5
3Respuesta al escalón
Tiempo (seg)
Am
plitu
d
0
0.5
Criterio de Routh – Performance del SC
K*=7.5
K=13
K=25
34
Proceso
Ejemplo: Dos parámetros de diseño – Control PI
Criterio de Routh – Diseño de un SC
Controlador
Realimentación unitaria
Comando
Salida controlada
35
Ejemplo: Dos parámetros de diseño – Control PI
Criterio de Routh – Diseño de un SC36
Parámetros estabilizantes
Optimización en 2 parámetros
Función de costo para diseño:
z = min |1(t)-y(t; K, Ki)| dt0
K, Ki
% PROGRAMA DE CÁLCULO DE LA FUNCIÓN zclose all; for Ki=1:7; K1=round((Ki/3)-2); K=(Ki/3)-2; if K>K1; K1=K1+1; end for K=K1:7; T=tf([K Ki],[1 3 (2+K) Ki]); T1=tf([1],[1 0]); E=T1*(1-T); t=0:0.01:10; y=impulse(E,t); z=cumsum(abs(y)); z1=size(z); z1=z1(1); [K, Ki, z(z1)] figure (1); step(T,10); hold on (1) figure (2); impulse(E, 10); hold on (2) end end
Diseño de un PI optimizado
donde y(t) es la respuesta al escalón del sistema de control a la entrada 1(t).
La integral es convergente en la zona de estabilidad de K y Ki.
En las siguientes transparencias se busca selectivamente un par K y Ki según elgradiente de z en el dominio paramétrico.
37
Diseño de un PI optimizado
1
2
3
4
5
6
Optimización en 2 parámetros
38
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
K Ki
2 10 34 33 7
4 3
Optimización en 2 parámetros
Diseño de un PI optimizado39
Mínimo de z
1
2
3
4
5
6
7
Diseño de un PI optimizadoOptimización en 2 parámetros
40
K Ki
4 44 25 33 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
5 3
Optimización en 2 parámetros
Diseño de un PI optimizado41
Mínimo de z
1
2
3
4
5
6
7
Diseño de un PI optimizadoOptimización en 2 parámetros
42
K Ki
5 26 35 4
Diseño de un PI optimizado
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
5 4
Optimización en 2 parámetros
43
Mínimo de z
1
2
3
4
5
6
Diseño de un PI optimizadoOptimización en 2 parámetros
44
K Ki
6 27 36 4
Optimización en 2 parámetros
Diseño de un PI optimizado
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plit
ud
e
6 4
45
Respuesta Óptima
Mínimo de z
Comparación del SC PI y la Planta sin Control
Diseño de un PI optimizado
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plit
ud
e
46
Respuesta óptima del sistema de control
Respuesta del proceso
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Construyamos un control a lazo abierto y comparemos la performance de ambos sistemas de control.
Planta con Control a Lazo Abierto47
Respuesta óptima del sistema de control de lazo cerrado
U(s) (s+1) (s+2)
2Y(s)
Para ello modifiquemos el proceso incorporando un amplificador de valor 2
Respuesta del sistema de control de lazo abierto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Pensemos en un desplazamiento del polo del proceso de s=-1 a s=-0.5
Controles a Lazo Cerrado y Abierto48
Si comparamos las respuestas al escalón notamos la diferencia
Respuestas óptimas del sistema de control de lazo cerrado tras la variación paramétrica
Respuesta del sistema de control de lazo abierto tras la variación paramétrica
* La variación de la Función de Transferenciadel proceso, no afecta en demasía al SC a LC
* Pero sí significativamente al SC a LA
Conclusión:
1(t) escalón unitario