29
2 Onde Meccaniche Le onde sono un fenomeno perturbativo che si propaga trasportando energia.
La velocità v con la quale la perturbazione si propaga dipende dal mezzo in cui l’onda si
propaga. Si possono distinguere due casi:
Onde materiali, o meccaniche: sono perturbazioni del mezzo materiale in cui si propagano e la velocità di propagazione dipende dalla proprietà elastiche del mezzo.
Onde non materiali: sono una perturbazione di campi, tipicamente elettromagnetici 1. La velocità di propagazione dipende dalle propprietà elettromagnetiche del mezzo
in cui la perturbazione si propaga, esplicitate attraversoi e (0 e 0 nel vuoto).
Le onde possono essere trasversali o longitudinali, a seconda che la perturbazione sia ortogonale alle direzione del moto o ad essa congruente
La propagazione di un'onda può avvenire in una sola direzione: onde piane (oppure unidimensionali), ovvero in tutte le direzioni: onde sferiche (o anche cilindriche).
La propagazione determina la forma del fronte d'onda che in generale è piano o sferico
Figure 1.2 ‐ a) Onde trasversali in una corda. b) Onde longitudinali in una molla. c) Impulso su una corda
1 Il campo elettrico E ed il campo magnetico B sono generati da densità di carica e di corrente. E e B sono tra loro collegati dalle Equazioni di Maxwell. Le proprietà del mezzo in cui si propagano i campi sono rappresentate dalla permeabilità magnetica e dalla costante dielettrica . Le onde elettromagnetiche sono una conseguenza delle Equazioni di Maxwell e la loro velocità di propagazione dipende da e secondo la relazione: v2 = 1/( ). Nel vuoto v = c = 1/( ) ≡ 2.99792458·108 m/s = costante universale.
30
2.1 Funzione d'onda ed equazione delle onde
La forma della perturbazione e la sua dipendenza da P(x,y,z) e t la descrivo con una funzione detta funzione d'onda
cartesianecoordinatein),,,(=),( tzyxtP
),( tP è una funzione d'onda, cioè rappresenta un'onda che si propaga, se è soluzione
dell'equazione di d'Alambert
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22 1
=1
=tzyxt
vv
Questa equazione, in coordinate cartesiane, fornisce un'onda piana con una sola direzione di propagazione. Se scegliamo x nella direzione di propagazione (rotazione del generico sistema cartesiano di coordinate) l'equazione precedente diventa ``unidimensionale'' o piana 2:
2
2
22
2 ),(1=
),(
t
tx
x
tx
v
La stessa equazione vale anche ovviamente per un caso prettamente monodimensionale come quello della corda tesa. Si dimostra che le soluzioni “unidimensionali” sono del tipo:
)(=),(oppure)(=),( txtxtxtx vv
le variabili x e t non sono indipendenti, ma compaiono sempre accoppiate nella forma x ± vt. Nel caso )(=),( txtx v l’onda si dice progressiva perché si propaga nella direzione delle
x posotive, se invece )(=),( txtx v l’onda si propaga nel verso opposto ed è detta
regressiva. Dimostrazione: poniamo txu v= , onda progressiva
)('=)(
=)(
=)(
=)(
=),(
uu
u
x
u
u
u
x
u
x
tx
x
tx
v
)("=)('
=)('
=)(
2
2
ux
u
u
u
x
u
x
u
))(('=)(
=)( v
ut
u
u
u
t
u
22
2
"=)()('),( vv
t
u
t
tx
2
2
22
2
2
22
2
2 1==
txxt
vv
2 Onda piana: tutti i punti su un piano costx = , detta superficie di propagazione, hanno lo stesso valore di
),( tx per ogni y e z .
31
Analogamente per l'onda regressiva in cui txu v= . La funzione d'onda piana )(=),( txtx v può rappresentare una grandezza qualunque che si propaga con velocità
v, dando origine ad un'onda. In particolare può essere scalare o vettoriale.
Esempi:
etrasversalpiananeticaelettromagonda)(=),(
etrasversalpiananeticaelettromagonda)(=),(
etrasversalospostamentdimeccanicaonda)(=),(
alelongitudinospostamentdiacusticaonda)(=),(
alelongitudindensitàdiacusticaonda)(=),(
alelongitudinpressionediacusticaonda)(=),(
txBtx
txEtx
txytx
txstx
txtx
txptx
vvvvvv
L'equazione delle onde da cui derivano è sempre la stessa equazione di d'Alambert.
Notiamo che per la linearità dell'equazione delle onde vale il principio di sovrapposizione
degli effetti. Quindi se )( txi v sono funzioni d'onda, anche
)(=)(=),( txtxtx ii
vv
rappresenta un'onda.
Questa proprietà fondamentale ci permette di trattare fenomeni come l'interferenza, l'onda stazionaria e i battimenti. Ma soprattutto, ci permette di utilizzare la serie o la trasformata di Fourier per trattare forme d'onda complicate attraverso:
• la serie di Fourier se la forma d'onda è periodica • la trasformata di Fourier se la forma d'onda è impulsiva
Consideriamo il caso di un'onda impulsiva su una corda tesa e analizziamo la propagazione descritta da )( tx v , facendo riferimento alla Figura 2‐2.
Spostando il sistema di coordinate in txx v' e posto ttt =' si dimostra
facilmente che
)(=)]()[(=)','(
aprogressivèondalesempio,lnelcomese,)','(=),(
txtttxtx
txtx
vvv
quindi la funzione d'onda )( tx v rappresenta un'onda progressiva mentre )( tx v
rappresenta un'onda regressiva.
Esempio di funzioni d'onda. Perché ),( tx sia una funziona d'onda è condizione necessaria
e sufficiente che le variabili x e t siano legate dalla relazione tx v e tx v . Nessuna delle due variabili può apparire in modo indipendente da una di queste relazioni. Esempi:
)(cos= txkA v è una funzione d'onda e k serve per mettere a posto le
dimensioni.
ondadfunzioneunaè 1)(
=2tx
A
v
32
Figura 2.2 ‐ Propagazione di un impulso su una corda
La velocità v è detta velocità di fase dell'onda. Essa è la velocità di propagazione di ogni specifico punto della forma d'onda.
2.2 Onde piane armoniche
Le onde piane armoniche sono espresse dalle funzioni seno e coseno.
][sino)]([sin=),(
][coso)]([cos=),(
txktxktx
tkxtxktx
mm
mm
vv
In generale al gruppo )( txk si aggiunge una fase che indica appunto il valore
dell'argomento in 0== xt . Ovviamente la è diversa se si usano il seno o il coseno e il suo
valore dipende dallo specifico sistema di riferimento che è stato scelto.
Si noti che la funzione d’onda ),( tx è periodica sia rispetto alla coordinata spaziaòe x,
che a quella temporale t. La periodicità temporale T è detta periodo e quella spaziale è detta lunghezza d’onda.
ttnxtx
ttnxtx
xnTtxtx
xnTtxtx
tttt
xcostxxcostx
),(=),(
|),(=|),(
),(=),(
|),(=|),(
00=0=
00==0==
33
Figura 3.2 ‐ Onde piane armoniche
Siccome per x il valore della funzione si ripete al variare di t di un numero intero di periodi T si ha:
)(2=)())((cos=)(cos ntnTtTntxktxk
2=2
=2= ovveroT
nTn
2
=ovvero1
=ovvero TT
Lo stesso si può fare per t considerando la lunghezza d'onda . Infatti:
)(2=)()(cos=)(cos nxknxktnxktxk
k
knnk
2
=2
=2= ovvero
Esplicitando T e nella funzione d'onda si scrive:
T
txt
Txtx mm
2cos=
22cos=),(
34
2.2.1 Velocità e accelerazione trasversali
Nel caso di un’onda trasversale armonica che propaga su una corda tesa è immediato ricavare la velocità e l’accelerazione trasversali di un generico punto della corda al passaggio della perturbazione. Con semplici passaggi abbiamo:
0=)(cos=),(=),( yytkxytxytx mm
mmymcostxy ytxkydt
txdy
t
txytx =)(sin=|
),(=
),(=),( ,= vv
mmymcostxyy
y yatxkydt
txd
t
txtxa 2
,2
= =)(cos=|),(
=),(
=),(
vv
2.2.2 Digressione sulla fase
E’ importante notare che l’eventuale fase che compare nell’argomento della funzione
armonica seno o coseno è equivalente ad uno spostamento dell’origine del sistema di assi cartesiani. Partendo infatti dalla funzione d’onda scriviamo:
=22
cos=cos=)(,
Txytxkyt mm
Si tratta ora di associare la fase ad uno spostamento dell’origine della cordinata
spaziale o di quella temporale. Nei due casi, con semplici passaggi, otteniamo:
t
Txxytx m
22
cos=),( 0
dove
2==
200 xx
oppure
0
22cos=),( tt
Txytx m
dove
TttT
2
==2
00
2.3 Velocità di propagazione su una corda tesa
I parametri caratteristici del mezzo di propagazione sono la tensione T N e la densità
lineare ][]/[=/ 23 mSmkgmkgl dove è la densità del materiale di cui è fatta la corda
e ][ 2mS è la sua sezione . La velocità di propagazione v sm/ dipende solo dalle proprietà
del mezzo in cui l’onda propaga, v sm/ può essere funzione solo di T e l .
35
Sulla base di questa considerazione la velocità di propagazione dell’onda può essere ricavata utilizzando tre metodi completamente differenti che vengono sviluppati nel seguito.
2.3.1 Analisi dimensionale
Un'analisi dimensionale ci dice che la soluzione può essere solo del tipo l
T
=v . Infatti 3
]=[=e]=[ 1232 mkgmmkgSsmkgNT l
222221
2
==
smsm
mkg
smkgT
l
v
2.3.2 Equilibrio dinamico delle forze – 1° metodo
Primo ricavo analitico. Si considera un elementino di corda tesa, la cui proiezione è dx, al passaggio della perturbazione. La deformazione prodotta dall’impulso rompe l’equilibrio
delle forze agenti sull’elementino di corda, la risultante F delle forze agenti sull’elementino
non è più nulla e produce quindi un’accelerazione, cioè un movimento: la perturbazione si propaga.
Con riferimento alla Figura 4.2, detta F la risultante delle forze agenti sull’elementino di
corda tesa si ottiene:
jFiFTTF yx
==
sinsin=;coscos= TFTF yx
Figura 4.2 ‐ Elemento dl di un corda sottoposto alla tensione T . TTT |=|=||
.
Sviluppando le funzioni sin , tan e cos in serie di Taylor si ha:
3 S
TST
T
l == lS =
36
dispari5!3!
=tan
pari4!2!
1=cos
dispari5!3!
=sin
53
42
53
Facendo ora l’ipotesi che la perturbazione sia piccola, cioè che 1 , i secondi termini e tutti i termini successivi sono trascurabili 4 e risulta quindi:
1=cos
=tan=sin
Notiamo che l’approssimazione << 1 è valida se l’ampiezza della perturbazione prodotta dall'onda è molto piccola rispetto alla lunghezza d'onda. In queste condizione si ha:
tantan=tantan=0= TTTFF yx
D'altra parte possiamo esprimere tan in funzione di tan , facendo ancora uno sviluppo al primo ordine poiché i due valori sono molto vicini (dl molto piccolo e trattabile come un infinitesimo). In pratica:
x
y
x
sdx
x
=tanancheetan
tan=tan
e sostituendo si ottiene
0=tantan= 2
2
dxx
yTdx
x
y
xTFy
Poiché la componente verticale yF della forza risultante è diversa da zero, essa produce
un'accelerazione della massa dell'elementino: amF
= e quindi
dxdmdxt
y
t
ydmF lly
con==2
2
2
2
Eguagliando i termini ed eliminando dx si ottiene
2
2
22
2
2
2
2
2 1==
t
y
x
y
t
y
x
yT l
v
avendo posto
l
T
=v
2.3.3 Equilibrio dinamico delle forze – 2° metodo
Si ricava la velocità dalla considerazione che la forza che agisce sul ventre dell'onda è di tipo centripeto, come quella di un moto circolare.
Con riferimento alla figura 5.2 si scrive:
4 per o50.1= l'errore sul seno e sulla tangente è circa del 1.7 00
0 / e sul coseno è 5%
37
R
lTTFF y
=sin2==
Poiché la forza è di tipo centripeto, possiamo anche scrivere
Rl
RmF ly
22
==vv
Eguagliando le due espressioni di yF e semplificando l e R si ottiene infine
ll
l
TTT
=== 22 vvv
L'elementino non si muove lungo la direzione di propagazione x e quindi è un'onda
trasversale.
Figura 5.2 ‐ Propagazione di un impulso su una corda. In figura sono illustrate le
forze di tensione su un tratto l centrato sul ventre dell’onda.
2.3.4 Propagazione dell'energia in una corda
La perturbazione che si propaga (onda) trasporta energia. Consideriamo il caso di un'onda armonica che si propaga su una corda tesa con
parametri caratteristici T e l .
k
tkxcosytxytx m
=0=con=),(=),( v
Anche la velocità e l'accelerazione trasversali si propagano con al stessa velocità di propagazione v
mmymy ytkxyt
txy =sin=),(
= ,vv
mmymy
y yatkxyt
a 2,
2 =cos== v
E' interessante notare che velocità e accelerazione si possono scriver anche come:
2
dianticipoin 2
cos= ,
tkxmyy vv
fasedieopposizionincos= , txkaa myy
38
Al passaggio della perturbazione ogni elementino della corda riceve energia dall'elemento che lo precede, l'immagazzina e la ritrasmette a quello successivo: l'energia è trasportata.
Ogni elementino immagazzina energia sotto forma di energia cinetica K ed energia potenziale U .
Figura 6.2 ‐ (a) Elementi A e B di una corda separati da /4T . (b) Ingrandimento di
un elemento della corda.
Consideriamo un'onda armonica agli istanti 0=t e 4/= Tt e analizziamo gli elementi nei punti 0=x e 4/= x . Al passare della perturbazione il punto A si muove in A' e B in B'.
Si nota che in A e B' sono nulle sia l'energia potenziale (allungamento elastico dell'elemento) che l'energia cinetica (associata alla velocità trasversale dell'elemento). Viceversa in A' e B entrambe hanno il valore massimo.
L'energia che transita non è costante, ma varia nel tempo da zero ad un valore massimo secondo una legge del tipo cos2 o sin2.
Consideriamo un elementino dl (vedi figura 6.2) e calcoliamo il valore dell'energia cinetica dK e potenziale dU ad esso associate.
39
moinfinitesiessendo=
sin2
1==
sin2
1=
2
1=
222
22
dxdt
dx
txkydt
dKP
txkydxdmdK
mlK
mly
v
v
v
11==2
x
ydxTdxdlTdU
avendo posto 2
22 1==
x
ydxdydxdl . Poiché 1
x
y possiamo sviluppare la
radice quadrata con Taylor, fermandoci al primo ordine: znz n 1=1 per 1z . Applicando lo sviluppo al nostro caso si ottiene:
22
2
11=1
x
y
x
y
e quindi
222
sin2
1=
2
1=
2
1= txkkydxTdx
x
yT
x
ydxTdU m
txkykTdt
dUP mU sin
2
1= 222v
Si nota subito che UP e KP sono identiche! Infatti hanno la stessa dipendenza temporale e
spaziale attraverso la funzione txk sin2 e hanno anche la stessa ampiezza:
2222
2
1=
2
1mlm yykT vv
Infatti dalle relazioni: l
T
=v e
k
=v si ottiene:
v
v =e= 2 kT l
2222
2222
2
1=
2
1=
2
1mlmlm yyykT v
vvvv
UKUKtot PPPPPP 2=2===
txkyml sin= 222v
txkykT m sin= 222v
In conclusione, relativamente ad un'oda armonica descritta dalla funzione d’onda (x,t) :
txkytx m cos=),(
40
la potenza ),( txP si propaga con la stessa velocità k
=v e ha la forma
2cos=sin=),( 22 txkPtxkPtxP maxmax
2222 == mmlmax ykTyP vv
Figura 7.2 ‐ Propagazione di un'onda e della potenza ad essa associata.
La potenza media trasportata è la media della potenza trasportata in un periodo:
22220
0 2
1=
2
1=
2
1=),(
1=][ mmlmax
Tt
tykTyPdttxP
TWP vv
In generale si definisce intensità la potenza media che transita per unità di superficie. Detta S la superficie:
S
P
m
WI =
2
2.3.5 Onda longitudinale in una barra di sezione S
I due parametri in questo caso sono il modulo di Young E e la densità volumica :
32
/
/
mkgmN
ll
SFE
La perturbazione è longitudinale, del tipo )(=),( txtx v . L'analisi dimensionale ci
dice che E
=v , ma questa relazione la possiamo anche dimostrare.
41
Poiché il problema è unidimensionale, prendo un elementino della barra di sezione S e di spessore dx, come indicato nella Figura 8.2.
Figura 8.2 ‐ Propagazione di un'onda in una barra di sezione S .
A causa dell'onda (perturbazione che si propaga), all'istante t si ha:
dxx
dxtxtxxdxxdxxdx
tdxxdxxdxx
txxx
=),(),(=
),(
),(
Adesso l'unica cosa che dobbiamo fare è inserire queste relazioni nel nostro problema, considerando che:
x
SEFxE
SF
l
l
=cuida=/
=
La variazione della forza F ai capi dell'elementino è quella che, secondo Newton, produce l'accelerazione della massa dm dell'elementino stesso. Scriviamo quindi:
2
2
2
2
==),(
=,,=t
dxSdxx
SEdxx
txFtxFtdxxFdF
Eliminando S e dx si ha infine:
EE
txtxE ==con
1== 2
2
2
22
2
2
2
2
2
vvv
Analogamente a quanto visto per la corda in cui si propaga un'onda meccanica
trasversale, possiamo ricavare ),( txP , P e I per una barra in cui si propaga un'onda
meccanica longitudinale. Semplicemente nel caso dell'onda armonica, basta pensare che y
e hanno le stesse dimensioni ][m e che EST = e S
l = . Partendo quindi dalla funzione
d’onda )(cos=),( tkxtx m e facendo le sostituzioni di cui sopra si ottiene:
)(sin=),( 2 tkxPtxP max con 2222 == mmmax kSESP vv
Relativamente alla potenza media e all’intensità si avrà:
42
2222
2222max
2
1=
2
1=
2
1=
2
1=
2
1
mm
mm
kES
PI
kSESPP
vv
vv
Verifica dimensionale:
][=][][][][
][=][][][][
][=][=][=][
32221222
3222123
32121
smkgmmsmmmsmkg
smkgmssmmmkg
smkgsmsmkgsJWP
2.4 Interferenza di onde armoniche
Consideriamo il fenomeno dell'interferenza tra due onde armoniche copropaganti
(trasversali o longitudinali) )(1 tx v e )(2 tx v . Anche la loro somma 21=),( tx è
u'onda che è soluzione della stessa equazione delle onde, purché le onde siano della stessa
natura. Infatti la velocità v dipende dal mezzo di propagazione e la somma vale per la
linearità dell'equazione: sovrapposizione degli effetti 5 . Corollario: l'onda ),(=),( txtx i
può essere riscomposta nelle onde che l'hanno generata.
Consideriamo due onde armoniche copropaganti di uguale frequenza e uguale
ampiezza 0 . La differenza sarà soltanto relativa alla fase.
12201021 sinsin=),( tkxtkxtx
210 sinsin=),( tkxtkxtx
Ricordando che
2cos
2
1sin2=sinsin
otteniamo che:
2
cos2
sin2=),( 12210
tkxtx
Se ora definiamo 0= 12 e 2
= 21 possiamo riscrivere la nostra
espressione come:
tkxtx sin
2cos2=),( 0
e chiamando A l’ampiezza della funzione d’onda,
2cos2= 0
A , otteniamo:
tkxAtx sin=),( 21
5 La presenza di più sorgenti non deve modificare il comportamento delle singole sorgenti .
43
In sostanza la somma 21=),( tx ha le stesse caratteristiche ( ke ) delle due funzioni d’onda co‐propaganti che l’hanno generata, con un’ampiezza che dipende dalla differenza di fase tra le due onde.
Analizziamo l'influenza dello sfasamento si notano i seguenti casi estremi:
faseinonde2=2=
fasedieopposizioninonde0=1)(2=
0
Am
Am
Se le ampiezze delle due onde sono uguali, abbiamo certe condizioni di differenza di fase
in cui l'ampiezza della risultante è 0 e altre in cui è doppia: 02A . In generale l'ampiezza
sarà un valore intermedio.
Se le ampiezze sono diverse non si può mai avere la condizione 0=A e l'ampiezza varierà da un minimo ad un massimo:
02010201 A
Si noti che questa relazione deriva dal vatto che si può sempre, per il pricipio della sovrapposizione degli effetti, scomporre l’onda che ha maggiore ampiezza in due conde di cui una con ampiezza uguale a quella della seconda onda.
2.4.1 Onda stazionaria
Consideriamo ora il caso di due onde di uguali caratteristiche e ampiezza ma contro‐propaganti. La funzione d’onda sarà:
2010=),( tkxtkxtx
Riprendendo il procedimento utilizzato precedentemente possiamo scrivere l'onda come:
2cossin2=
2cossin2=),(
0
0
tkx
tkxtx
Consideriamo il caso m20== 21 . Questa condizione implica che 0= e 0= .
L’espressione della funzione d’onda diventa:
tkxtx cossin2=),( 0
Notiamo che nei punti 2
0=
x la ),( tx è nulla con le sue derivate. Infatti le singole
onde nel punto 2
=
mx hanno espressione:
tmtx
tmtm
tx
mx
mx
sin==|),(
sin=2
2sin=|),(
0
2=
2
00
2=
1
44
Figura 9.2 ‐ Onde stazionarie a diversi t . Nella figura si è preso 021
Mentre nel punto 2
=
mx l’espressione dell'onda risultante ),( tx diventa:
0
sinsin1=
sinsin=|),(
0
0
2=
tt
tmtmtx
m
mx
E’ importante notare che ),( tx è nulla in quanto somma di grandezze uguali ed opposte.
Lo stesso vale per la velocità e l'accelerazione. Infatti per la velocità si ha:
0=
coscos1=
coscos=|=
0
0
2=
tt
tmtmt
m
mx
v
e per l'accelerazione
0=
sinsin1=
sinsin=|=
10
2
02
2=2
2
tt
tmtmt
a
m
mx
La condizione 0=),(=),(=),( txatxtx v è la condizione di nodo e si ha per 2
=
mx
con 0,1,2,=m .
45
La condizione di ventre, che si ha per 4
12=22
12=
m
mx , implica invece che
),(=),(=),( txatxtx v abbiano valore pari al doppio di quello della singola onda. Infatti,
sostituendo si ricava:
ventrexventrexventrex
ventrexventrexventrex
ventrexventrexventrex
tttxa
tttx
txtxtx
=22
2
=21
2
=
=2
=1
=
=2=1=
|2=|2=|),(
|2=|2=|),(
|),(2=|),(2=|),(
v
Nota: Alcune formule trigonometriche utilizzate nelle semplificazioni precedenti:
sinsincoscos=cos
sincoscossin=sin
1=)cos(
mm
2.4.2 Onde su una corda tesa
Per imporre un nodo alla corda tesa basta fissarla in un punto P in modo che non si possa
muovere e quindi imporre in quel punto che 0=),( tx , 0=),( txv e 0=),( txa .
Corollario: l'onda che si propaga nella direzione delle x positive arrivata in P si riflette sfasandosi di .
Per imporre un ventre alla corda tesa sarebbe necessario fissarla in modo che mantenga la tensione ma si possa liberamente muovere in y (o ) senza alcun attrito. Corollario: l'onda che si propaga nella direzione delle x positive arrivata in P si riflette ma non cambia fase.
Pizzicando una corda di lunghezza L fissata tra 2 nodi, dopo un breve transitorio in cui si annullano interferendo le altre frequenze, si formano le onde stazionarie che soddisfano alle condizioni al contorno imposte nei due nodi.
Poiché i punti estremali della corda rappresentano i nodi, la lunghezza della corda corrisponde almeno a mezza lunghezza d'onda. Infatti
m
LmL m
m 2=ovvero
2=
Conoscendo la velocità l
T
=v , la frequenza dell'oscillazione fondamentale è data da
11 =
v
. Le armoniche superiori sono date dalla relazione
L
m
mm 2
==vv
L'ampiezza dell'oscillazione del moto armonico è data da
46
xkxxmA mm
sin2=2
sin2=2
sin2= 001
0
Nel caso in cui le condizioni siano di nodo‐ventre si ha:
...,2,1,012dove12
45
4
3
44 531
mmnLm
LLL
n
Le frequenze corrispondenti sono
2
1-n=m=
4=
4
1)(2==
.........
1=m3=4
3=
4
1)(2==
0=m4
=4
1)(2==
1
13
3
11
nL
n
L
m
LL
mLL
m
nn
vvv
vvv
vvv
In questo caso 1 è l'armonica fondamentale, detta anche 0 , e le altre sono solo dispari. Il
numero dell'armonica è dato da n e NON da m .
2.5 Strumenti musicali
Gli strumenti musicali permettono di generare onde stazionarie su una corda tesa (strumenti a corda) ovvero in una colonna d'aria che può essere:
• aperta‐aperta corrispondente a nodo‐modo di pressione e densità
• aperta‐chiusa corrispondente a nodo‐ventre di pressione e densità
Oltre all'armonica fondamentale, lo strumento genera anche le armoniche superiori (solo le dispari nel caso nodo‐ventre) con ampiezze e fasi che derivano da come lo strumento è concepito.
Figura 10.2 ‐ Forma d'onda prodotta da a) un flauto e b) un oboe che producono la stessa nota con la medesima prima armonica
47
La vibrazione della corda o della colonna d'aria trasferiscono energia all'aria circostante producendo un'onda sonora che si propaga. Le frequenze (fondamentale e armoniche) non possono cambiare, mentre le lunghezze d'onda dipendono dalla velocità di propagazione imposta dal mezzo (aria).
2.5.1 Note musicali
L'orecchio percepisce suoni ``simili'' se le frequenze associate sono legate da una potenza di 2. Da questo deriva la divisione delle frequenze in ottave, ciascuna delle quali è divisa in 12 semitoni o note.
HzLaLaHzLadef
110=42=2440=4 2
Figura 11.2 ‐ Scala musicale e rispettivi strumenti
In ogni ottava i 12 semitoni sono collegati secondo una progressione geometrica di
ragione 12
1
2 . Ogni 12 semitoni la frequenza raddoppia e si completa un'ottava, ottava che parte sempre dal Do. Le stesse note in due ottave successive hanno frequenze una doppia dell'altra.
Esempio: Frequenza del Do5 che è 3 semitoni più alta di quella del La4.
Hzff LaDo 523.252= 12
3
45
48
2.6 Riflessione e Trasmissione
Consideriamo un'onda su di una corda tesa infinita la cui densità lineare l cambia ad
un certo punto, 0=x , dal valore 1l al valore 2l . La tensione T sarà comune in tutta la
corda.
Per la continuità della funzione d'onda ),( tx , con tutte le sue derivate, e della forza
),( txF che la produce, si avrà che, nel punto di discontinuità del mezzo, 0=x , l'onda
incidente txtx i ,=),( si dividerà in due onde, una che passa al secondo mezzo, ),( txt
(detta trasmessa o rifratta) ed una che viene riflessa, ),( txr , che trona indietro con
ir vv = , propagando nello stesso messo dell'onda incidente.
Figura 12.2 ‐ Riflessione e trasmissione di un'onda all'interfaccai tra due mezzi.
In sintesi:
• T e sono comuni per tutte le corde • v, e k dipendono dal mezzo in cui propaga l'onda.
La continuità della funzione d'onda nel punto di discontinuità del mezzo, 0=x , impone le seguenti condizioni alle funzioni d'onda e alle forze che la producono:
x
txTtxFtFtFtFttt tritri
),(
=),(con)(0,)(0,=)(0,)(0,)(0,=)(0,
Facendo i conti si ottiene
ttxkt
ttxkt
ttxkt
txtt
rxrr
ixii
sin=|sin=)(0,
sin=|sin=)(0,
sin=|sin=)(0,
00=20
00=10
00=10
tTkxx
txTtF
tTkxx
txTtF
tTkxx
txTtF
tt
t
rr
r
ii
i
cos=0=|),(
=)(0,
cos=0=|),(
=)(0,
cos=0=|),(
=)(0,
02
01
01
49
Sostituendo nel sistema iniziale si ottiene: tritri kkk 020101000 ==
che possiamo riscrivere come tritri kk 02001000 ==
Possiamo ora definire
i
tdef
i
rdef
tr0
0
0
0 ==
e sostituendo nuovamente otteniamo per la riflessione
12
1221
21
2121
2
00202001
<per0>
>per0<=
=
)(1=)(1
==
kkr
kkrkk
kkr
kkkkr
rkrk
kkk
i
ritri
mentre per la trasmissione
sempre0>
2=
2=
=)(2
=
21
1
121
2
020001
tkk
kt
ktkk
tktk
kk
i
ttii
Notando che k e l dipendono entrambi dal mezzo e sono legati da una costante 6 si
ha anche
21
1
21
21
2=
=
ll
l
ll
ll
t
r
Consideriamo i casi limite per 2k e 02 k , che è lo stesso che dire che 2l
e 02 l .
tozasfasamenetotalesenriflessionventre,1=lim
diπsfasamentoetotaleconriflessionnodo,1=lim
02
2
r
r
r
l
l
6
ll
l
CT
kTv
k
=2
=/
2=
2=
2=
50
Figura 13.2 ‐ (a) Riflessione di un impulso su una parete fissa. L'onda riflessa è sfasata di
rispetto all'onda incidente. (b) Riflessione di un impulso su un'estremità libera.
ventre:ppiaampiezzadondandou
oinfasesasisommannteeriflesondaincide2=lim
smissionenonsihatra0=lim
02
2
t
t
t
l
l
r e t non hanno un nome specifico. Si definiscono invece i coefficienti di riflessione R e di trasmissione o rifrazione T come i rapporti:
i
t
i
tdef
i
r
i
rdef
I
I
P
PT
I
I
P
PR
==
==
Con semplici passaggi si ottiene:
2= rR
1
22
1
22 ==l
ltk
ktT
51
basta ricordare che v20
2
2
1= lP ovvero v2
02
2
1 SP e che:
‐ nel calcolo di R , l e v sono gli stessi per le due onde
‐ nel calcolo di T , oltre al rapporto
2
0
0
i
t
si ha 1
2
1
2
2
1
11
22 ==k
k
l
l
l
l
vv
vv
Si verifica infine che 1=RT . Infatti:
14
=
2=
221
212
21
221
221
21
1
22
21
221
kk
kk
kk
kk
kk
k
k
k
kk
kkTR
2.7 Accenno alla serie di Fourier (e trasformata)
Una funzione periodica )(=)( mTtftf con m intero può sempre essere scritta come
la somma di funzioni armoniche.
realie
superiori armoniche=
lefondamentapulsazione2
=
)(dimediovalor)(1
=
sincos=)(
1
1
0
00
1=0
nn
n
Tt
t
nnnnn
ba
nT
tfdttfT
a
tbtaatf
Per l'ortogonalità delle funzioni seno e coseno è facile dimostrare che
dtttfT
b
dtttfT
a
n
Tt
tn
n
Tt
tn
sin)(2
=
cos)(2
=
0
0
0
0
Un altro modo di scrivere la f(t) si ottiene dall’egaglianza, che vale sempre utilizzando
opportuni valori delle costanti, tctbta cos=sincos . Possiamo quindi scrivere:
n
nn
nnn
nnnn
a
b
baC
aC
tCCtf
arctan=
=
=
cos=)(
22
00
1=0
52
Se notiamo infine che 2
=cos
ii ee (forma di Eulero), l'espressione precedente
può essere scritta come
dtetfT
c
tCecec
cc
eC
c
ectf
tniTt
tn
nnn
tni
n
tni
n
nn
nn
nin
n
tni
nn
n
)(1
=
cos=
=
=
faselacontengonoperchècomplessi2
=)(
0
0
*
=
Se la periodicità è in x allora )(=)( mxfxf . Tutto rimane uguale, basta sostituire t con x , T con e con k . Lo sviluppo in serie di Fourier diventa quindi
dxexfcecxf
xkCCxf
xkbxkaaxf
xnikx
xn
xnki
nn
nnnn
nnnnn
)(1
==)(
cos=)(
sincos=)(
0
0=
1=0
1=0
Nel caso di in cui la funzione f(t) non sia periodica, la serie di Fourier si trasforma nella
trasformata di Fourier, )( , che è collegata bi‐unuvocamente alla funzione f(t). In particolare si può pensare che una funzione non periodica sia una funzione periodica con il periodo T che tende all’infinito. Facendo i fari passaggi al limite si ottiene:
dtetf
detf
ti
ti
)()(
)()(
Poiché il periodo T è infinito, la differenza tra due pulsazioni successive, = diventa infinitesima, d In sostanza i coefficienti cn sono sostituiti dalla densità spettrale
)( (trasformata di Fourier della funzione di partenza) moltiplicata per de la sommatoria che fornisce la funzione f(t) diventa un integrale. Ovviamente, come nel caso della serie di Fourier, possiamo fare la trasformata di Fourier, )(k di una f(x) non periodica.
53
3 Onde Acustiche
3.1 Onde acustiche in una colonna di gas
Supponiamo di avere una colonna infinita di gas e di applicare una perturbazione (onda) con un pistone. Questa perturbazione si propaga nel tubo e genera un'onda acustica. Le molecole del gas subiscono un moto oscillatorio attorno alla loro posizione di equilibrio.
Figure 1: Perturbazione in una colonna di gas.
La perturbazione sarà di: posizione (spostamento), di pressione e di densità. Quindi
possiamo descrivere la perturbazione con una delle differenti rappresentazioni.
54
Figure 2: Perturbazione di posizione, pressione e densità.
Consideriamo ora un elementino della colonna di sezione S e lunghezza dx tale che
=dx e ),( txsdx? dove s è lo spostamento causato dalla perturbazione.
Figure 3: Elementino di una colonna di gas sottoposto a perturbazione.
Al passaggio della perturbazione varia il volumetto, perché varia la distanza tra le sue
facce. Di conseguenza varia anche al densità, ma non la massa dm in esso contenuta. Da questa constatazione ricaviamo che
55
x
txstx
),(
=),( 0
Vediamo come ricaviamo questa relazione. La massa dell'elementino la scriviamo come
),(,
2
,,== 0 txsxtdxxsdxxS
txtdxxSdxdm
La densità la possiamo scrivere come ),(=),( 0 txtx
e sostituendo nell'espressione della massa dell'elementino otteniamo:
),(=2
),(),(
0
00
txtxdx
xtx
per il primo fattore e per il secondo possiamo scrivere
x
sdxtxsdx
x
txstxsdx 1=),(
),(),(
La massa dell'elementino la possiamo scrivere quindi come
0=
),(1),(==
00
00
x
sSdx
x
txstxSdxSdxdm
e quindi si ottiene
x
txstx
x
txstx
),(=),(
),(),(= 0000
come si voleva dimostrare.
3.1.1 Equilibrio dinamico dell'elementino dm
dxx
txpS
txpdxx
ptxpS
txptdxxpS
txptdxxpStxFtdxxFdF
),(=
),(),(=
),(),(=
),(),(=),(),(=
ma in x vale la legge di elastictà e nell'intorno di x si ha anche costV = e quindi
V
dVddVVdVdcostV =0=0==
La costante di comprimibilità è definita da
VdVdp
= e quindi
x
txsd
V
dVpdp
),(
=====0
0
0
da cui segue
x
txsp
),(
=
dove ),( tx e ),( txp sono in fase.
56
Sostituendo si ottiene
dxt
txsS
t
txsdm
dxx
txsS
dxx
txs
xSdF
2
2
0
2
2
2
2
),(=
),(=
),(=
),(=
Eliminando da entrambe i membri dx e S si ottiene
02
2
2
2
2
0
2
2
=con),(1
=
),(
1=
),(
vt
txs
v
ttxsx
txs
Oltre all'onda di spostamento ),( txs abbiamo anche le onde di pressione ),( txp e di
densità ),( tx , ovviamente co‐propaganti con la stessa velocità:
2
2
22
2
2
2
22
2
),(1=
),(
),(1=
),(
t
tx
vx
txt
txp
vx
txp
Dimostriamo per la pressione:
2
2
2
2
2
2
==x
s
xx
s
xx
p
2
2
2
2
22
2
22
2
2=
1=
1=
1
x
s
xt
s
vxx
s
tvt
p
v
Siccomei secondi termini sono uguali, allora lo sono anche i primi. La stessa dimostrazione la possiamo fare per la densità. Abbiamo visto che anche la potenza trasferita dall'onda si propaga e rispetta
l'equazione delle onde. Nel caso specifico, siccome abbiamo l'onda di pressione ),( txp ,
possiamo subito scrivere l'onda di potenza t
sStxptxP
),(=),( istantanea notando che
Stxp ),( è la forza e t
s
è lo spostamento nell'unità di tempo cioè la velocità. Espressa in
),( txs :
t
txs
x
txsStxP
),(),(
=),(
Se consideriamo un'onda armonica )(sin=),( tkxstxs m ricaviamo
2
sin=cos==),( tkxkstkxks
x
stxp mm
57
2
sin=cos==),( 000
tkxkstkxksx
stx mm
dalle quali possiamo definire
mm
mm
ks
ksp
0=
=
Le onde di pressione e densità sono in fase tra di loro e in anticipo di 2
rispetto all'onda
di spostamento. L'onda di potenza diventa:
)(cos=
)(cos=
=)(cos=
)(cos)(cos=),(
2220
222
22
2
tkxvSsm
tkxvkSs
tkxv
Ss
tkxstkxksStxP
m
m
mm
Possiamo calcolare anche la potenza media:
S
v
p
vkSs
vSsP
m
m
m
0
2
22
220
2=
2
1=
2
1=
L'intesità dell'onda acustica è quindi data da
20
2
2==
m
W
v
p
S
PI m
L'orecchio umano percepisce come suono la frequenza tra 20 Hz e 20 kHz di intensità
compresa (a 1 kHz) tra la soglia di udibilità I = 212 /10 mW e la soglia del dolore I = 2/1 mW .
3.1.2 Accenni di termodinamica L'equazione da cui partiamo è quella dei gas perfetti ][= JnRTpV
La costante ][8.31== 11 molJkkNR A è detta costante di gas. La trasformazione che avviene nel volumetto di massa dm al passaggio della
perturbazione ondosa è, in senso termodinamico, adiabatica, cioè avviene senza scambio di energia con il mondo esterno. Per le trasformazioni adiabatiche la relazione tra p e V è
data da
V
dV
V
dVpdppVdcostpV ==0==
e quindi la relazione tra la costante di comprimibilità e la pressione è data da 0= P
e quindi
0
0=p
v
58
Applicando la legge dei gas perfetti e notando che la massa M , associata la volume V , è
301 An 7 e che vale sempre la relazione V
M= si ha:
TTA
R
nA
nRT
VM
V
nRTv
=10=10
== 33
La costante per l'aria in condizioni standard 8 è 20.055. Riportiamo ora le velocità di propagazione del segnale sonoro in diversi gas
smvA
smvA
smvA
smvA
smvA
smvA
Cariaaria
Cariaaria
CHeHe
CHH
COO
CNN
/343=28.926=20.055=
/331=28.926=20.055=
/970=4=58.9=
/1260=2=76.3=
/315=32=19.07=
/337=28=20.28=
20°
0°
0°
0°22
0°22
0°22
3.2 Onde sferiche Il fronte d'onda è una sfera centrata sulla sorgente (puntiforme).
Figure 4: Onda sferica centrata su una sorgente puntiforme.
7le moli sono definite in grammi e la massa in kg 8
1.4=
/1.29=
1.0132510=
273.15=deg0=
3
5
mkg
Pap
KCT
59
La scelta tra onde piane o sferiche dipende dalla distanza della sorgente e dalla zona di osservazione. Per noi sulla terra le onde luminose che ci arrivano dal sole sono piane! Nel caso sferico
)(sin=),( 00 tkrrtrr
e soddisfa un'equazione delle onde in coordinate sferiche
2
2
22
2 ),(1=
),(
t
trr
vr
trr
in cui
r
rrrtkr
r
rrtr 0
000000 )(=)()(sin)(
=),(
L'intensità della perturbazione dipende dal quadrato dell'ampiezza della perturbazione
)()( 20 rrI e quindi
)(=)( 02
20 rI
r
rrI
Per ricordarlo basta pensare che la potenza media che attraversa un fronte d'onda (sferico) è la stessa qualunque sia il fronte d'onda che consideriamo (supponendo nulla l'attenuazione). Vediamo ora la potenza media
222
211 )4(=)4(= rrIrrIP
da cui l'intensità diventa
)(=)(4
4=)( 12
2
21
122
21
2 rIr
rrI
r
rrI
Figure 5: Potenza media di un'onda sferica.
La potenza che si propaga in un certo angolo solido si conserva (a meno
dell'attenuazione). Se l'angolo solido è tutto lo spazio (sfera) esso vale 4 .
60
Se c'è attenuazione essa si scrive come re e moltiplica l'intensità. è la costante
di attenuazione ][ 1m . Nota l'intensità in 0= rr , o la P della sorgente puntiforme si
scrive, con l'attenuazione:
r
rro
er
PrI
erIr
rrI
2
02
2
4=)(
)(=)(
avendo posto ormenteèpuntif0selasorgeconr)(4= 00
20 rIrP
In generale, se la sorgente emette una potenza media P in un angolo solido [sterad] 4 si ha:
rer
PrI
2=)(
Nelle onde acustiche l'intensità si esprime in rapporto ad una intensità di riferimento, che
convenzionalmente, coincide con la soglia di udibilità del suono ed è pari a 2120 /10= mWI
def .
L'intensità in rapporto alla soglia convenzionale di udibilità si chiama livello sonoro L quando è espresso in dB
2120
010
0
/10=10=][= mWII
IlogdB
I
IL
defdefdef
Figure 6: Livello sonoro per l'orecchio umano.
3.3 Interferenza di onde sferiche armoniche Abbiamo visto il fenomeno nel caso dele onde piane e notato che non è altro che
uno degli effetti della linearità (sovrapposizione degli effetti)
61
)2
(cos2=
2=
=
>
)(sin)2
(cos2=
)(sin)(sin=
),(),(=),(
0
21
12
12
0
2010
21
A
tkx
tkxtkx
txtxtx
La somma è un'onda con ampiezza che dipende dalla differenza di fase tra le onde co‐propaganti ed in particolare
in:ondeinfase2=per2truttivainterf.dis:s.difaseondeinoppo1)(2=per0= 0 mmA
Se le ampiezza non sono uguali, l'ampiezza dell'onda di interferenza non varierà più da 0
a 02 ma :
||)(|| 02010201 A
con il minimo e il massimo agli stessi . Nel caso delle onde sferiche è lo stesso ,basta pensare ai fronti d'onda sferici, che
rappresentano le superfici di propagazione sulle quali la fase dell'onda è costante. Per semplici considerazioni geometriche ci saranno punti dello spazio in cui l'intensità è costruttiva e altri in cui è distruttiva.
Figure 7: Interferenza di onde sferiche. Nei punti cP le onde sono in fase mentre nei
punti dP sono in opposizione di fase.
Preso un punto P , la differenza di cammino percorso dalle due onde è |=| 21 rrL
e la differenza di fase tra le onde dipende da L . Infatti:
ivazadistruttinterferen2
12=ivazacostruttinterferen==
2
m
LmLL
62
3.4 Onde Stazionarie Come nel caso della corda, due onde armoniche simili contropropaganti danno
origine a onde stazionarie. Nel caso delle canne oltre alle condizioni di nodo‐nodo è possibile anche la configurazione nodo‐ventre (vd. Figura 8).
Figure 8: Onde stazionarie in una canna. A sinistra è rappresentata l'onda di
pressione nel caso di nodo‐nodo (a) e nodo ventre(b). A destra l'onda di spostamento nel caso ventre‐ventre (a) e ventre‐nodo (b). Si noti che la canna aperta presenta una
condizione di nodo per l'onda di pressione e di ventre per l'onda di spostamento. Viceversa per la canna chiusa.
3.5 Battimenti I battimenti sono l'effetto sonoro che si percepisce nel caso di onde co‐propaganti di
frequenza molto simile. Consideriamo due onde piane di questo tipo, di eguale ampiezza, e vediamo cosa percepisce un osservatore che si trovi in un punto fisso P. In un punto P qualunque ma fissato, l'ampiezza dell'onda varia secondo la legge dell'oscillatore armonico
tt costx sin=|)( 0= con opportuna scelta di 0=t per non avere una fase aggiuntiva.
Consideriamo ora due onde di ampiezza uguale e frequenza diversa ma simile, 1 e
2 . Siccome l'effetto è sonoro, prendiamo per esempio due onde di pressione
tptp mcostx 1=1 sin=|)( e tptp mcostx 2=2 sin=|)( allora:
63
tptA
ttp
ttp
ttptp
m
m
m
m
cos2=)(2
|=
2=sincos2=
2sin
2cos2=
sinsin=)(
21
2121
2121
21
Figure 9: Battimenti di due onde sonore. La risultante ha pulsazione .
L'ampiezza dell'oscillazione di frequenza 2
che percepiamo in P varia nel tempo da
0 a mp2 come )(tA . Siccome il nostro orecchio è sensibile all'intensità, non facendo
nessuna analisi di fase, possiamo scrivere l'intensità in P come
22 δpendedapoichèIdipcos= tII max
Poiché il periodo della funzione tcos 2 è la metà di quello di tcos , la frequenza con cui varia l'intensità, frequenza di battimento
|=|2
2= 21
bat
3.6 Effetto Doppler Se la sorgente e l'ascoltatore sono in moto tra di loro, cioè la loro distanza varia con
una velocità che è minore di quella di propagazione ma non trascurabile, la frequenza percepita dall'ascoltatore è diversa da quella che viene emessa dalla sorgente.
64
Figure 10: Effetto Doppler.
E' importante fissare le convenzioni di segno. Le formule che si ottengono dipendono
dalle convenzioni di segno! Usiamo le convenzioni implicitamente usate dal Mazzoldi che prendono come
positive tutte le velocità se congruenti con la velocità di propagazione v (vd. Figura 11). Sia S la sorgente e R il rivelatore (o ascoltatore).
Figure 11: Convenzioni di segno per le velocità nell'effetto Doppler.
Con queste convenzioni per sv positiva la distanza tra S e R si riduce mentre per Rv
positiva la distanza tra S e R aumenta. 1. R fermo e S si avvicina a R. Allora 0=rv e 0>Sv .
La distanza temporale tra due fonti d'onda emessi da una sorgente ferma è 0T ,
mentre la loro distanza spaziale è 0 .Possiamo immaginare che R riveli la frequenza
``contando'' i fronti d'onda che lo raggiungono nell'unità di tempo (p.es. 1 s). Se nel tempo
0T la sorgente si avvicina di 0TvS , perché si muove verso R con velocità sv , i due fronti
d'onda successivi arriveranno a R, muovendosi entrambi con velocità v , avendo una
65
distanza ridotta 00= TvsR e la frequenza percepita da R quando lo raggiungeranno con
velocità v sarà
0
00
00
====
sssR
R vv
vvv
v
Tv
vv
Se S si allontana, sv è negativa e la relazione resta la stessa.
2. S fissa e R si allontana (per avere 0>rv secondo le nostre convenzioni) allora
0=sv , 0>Rv e vvr < .
Poiché S è ferma, la distanza tra i fronti d'onda non cambia, ma poiché l'osservatore si allontana da S e quindi dai fronti d'onda che stanno arrivando, per l'osservatore è come se
la velocità di propagazione dell'onda fosse ridotta di Rv e quindi
00
==
v
vvvv RRR
3. Se si muovono entrambi, sempre secondo le convenzioni di segno applicate, si
scrive la relazione generale
.= 0S
RR vv
vv
Poiché le onde sono sferiche e si propagano in tutte le direzioni con superfici sferiche di
propagazione, è evidente che con Rv e Sv si intendono le componenti di Rv e Sv nella
direzione della retta congiungente S e R e con il verso da S a R per le convenzioni di segno prese.
3.7 Velocità di fase e velocità di gruppo In tutte le nostre ipotesi il mezzo è perfettamente elastico, o meglio non dispersivo,
cioè il comportamento non dipende dalla frequenza dell'onda e v è la stessa per tutte le frequenze. Se il mezzo è ``dispersivo'' e l''onda è formata da un pacchetto che, con Fourier,
contiene molte frequenze, allora k
vp
= è la velocità di fase che dipende da . In generale
si usa scrivere )(= k con kkvk )(=)( . Si definiscono quindi
gruppovelocitàdi
)(=
fasevelocitàdi)(
=
dk
kdv
k
kv
g
p
66
Esercizi e temi d’esame sulle onde meccaniche ( 2012‐2007 )
1. Si consideri un’onda trasversale, di equazione y(x,t) = ym cos(kx‐t+/3), che si propaga su una corda infinita. Sapendo che: la densità della corda è � = 7.80∙103 [kg/m3], la sua sezione S = 1.00
[mm2], la frequenza dell’onda � = 200 Hz, la sua lunghezza d’onda �= 1.00 m e che la potenza media trasportata dall’onda è Pt = 100 W, si determini:
a) le grandezze: , k, v e ym; [1.26∙103 s‐1, 6.28 m‐1, 200 m/s, 9.0 mm]
b) la velocità e l’accelerazione trasversale dell’onda, vy(x,t) e ay(x,t);
[ )3/cos(),(;)3/sin(),( 2 tkxytxatkxytxv mymy ]
c) disegnare su uno stesso grafico le grandezze: y(x,0), vy (x,0), ay (x,0).
2. Due corde identiche, aventi la stessa lunghezza L, sono vincolate ai loro estremi. La tensione della seconda corda è maggiore del 2% di quella della prima. La frequenza di oscillazione fondamentale della prima corda è di 880 Hz. Il livello sonoro a 10,0 m di distanza dalle corde è pari a 40 dB e la temperatura dell’aria è pari a 20°C. Si determinino:
a) le lunghezze d’onda delle onde acustiche emesse dalle due corde quando vibrano alla loro
frequenza fondamentale; [ 1 = 0.390 m, 2 = 0.386m]
b) le frequenze di battimento tra le onde emesse dalle due corde sulla fondamentale e sulle
successive due armoniche; [ 1=8.8 Hz, 2=17.5 Hz, 3=26.3 Hz]
c) la distanza alla quale il suono emesso dalle corde risulta appena percettibile (si trascuri l’attenuazione per assorbimento dell’aria). [ D0 = 1 km ]
3. Una corda di contrabbasso è lunga 80 cm, ha una massa pari a 4.00 g ed è accordata sul la2 (110
Hz). Supponendo: i) che tutta la potenza dell’onda acustica sia emessa in un angolo solido =2 e sia trasportata dal modo fondamentale, ii) che la temperatura ambiente sia 15 °C e sia 0 = 1.29 kg/m3, iii) che un ascoltatore alla distanza di 50 m percepisca un livello sonoro di 50 dB, si determini a) la tensione applicata alla corda e la velocità di propagazione sulla corda [ T=155 N, v=176
m/s ] b) la potenza media emessa dal violoncello sul la2 ; [ P = 1.57 mW ] c) il livello sonoro percepito a 20 m dallo strumento; [ L = 58 dB ]
d) l’ampiezza dell’onda di pressione alla distanza dell’ascoltatore. [ p50m = 9.4 mPa ]
4. Una sirena emette un’onda acustica sferica entro un angolo solido di π/2 steradianti. Un ascoltatore posto a distanza R dalla sirena rileva livello sonoro pari a 110 dB. Avvicinandosi di 10 m alla sirena l’ascoltatore rileva un livello sonoro pari a 115 dB. a) Determinare la potenza della sorgente e la distanza R dall’ascoltatore; [ PS = 82 W; R = 22‐8
m ] b) Tenendo conto dell’attenuazione per assorbimento dell’aria (3dB/km), determinare il livello
sonoro percepito ad una distanza di 2.0 km dalla sorgente. [ L2km = 65.2 dB ]
5. In assenza di gravità, due corde semi‐infinite sono collegate tra loro e sottoposte alla stessa
tensione. Un’onda armonica progressiva di frequenza = 100 Hz si propaga da sinistra a destra, provenendo dalla prima corda. Sapendo che: i) la densità lineica della prima corda, l1=9 g/m, è un fattore 9 più grande di quella della seconda, ii) la velocità di propagazione sulla prima corda è v1 = 100 m/s, iii) la potenza media dell’onda trasmessa è Pt = 3 W, determinare:
a) la tensione applicata alle corde; [ T = 90 N ]
b) i coefficienti di trasmissione e riflessione di potenza; [ R = 1/4 = 0..25 , T = 3/4 = 0.75 ]
c) i coefficienti di trasmissione e riflessione di ampiezza; [ r = 1/2 = 0.5 , t = 3/2 = 1.5 ]
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d) le funzioni d’onda delle tre onde, incidente, trasmessa e riflessa, indicando i valori di tutti i
parametri che in esse compaiono.[=628 s‐
1; ;)(cos;)(cos 1,1, txktxk mrrmii
)(cos 2, txkmtt ; i,m=4.75 mm, r,m=2.37 mm,t,m=7.12 mm, k1=6.28 m‐1, k2=2.09 m‐1]
6. Un ascoltatore munito della necessaria strumentazione lascia cadere, a t = 0, una piccola sirena a batteria, che emette un segnale a 525 Hz, da un grattacielo alto 100 m. Sapendo che la temperature ambiente è 20 °C, trascurando l’attrito dell’aria e supponendo che all’impatto con il suolo la sirena smetta di funzionare si determini:
a) La frequenza più bassa percepita dall’ascoltatore [min =4 65 Hz] b) Il tempo t al quale l’ascoltatore sente il segnale interrompersi [t = (4.52+0.29) s = 4.82 s ] c) La distanza dal suolo della sirena nel momento in cui l’ascoltatore percepisce la frequenza di
480 Hz. [ d = 42 m, non 47 m che è senza ritardo, t = (3.28+0.15) s = 3.43 s ]
39. In assenza di gravità, un’onda armonica di frequenza = 200 Hz si propaga, alla velocità v = 200 m/s, su una corda infinita sottoposta ad una tensione di 100 N. Sapendo che nel punto x=0 la densità lineare della corda cambia, la velocità di propagazione si dimezza e che l’ampiezza dell’onda incidente è pari a 1.2 cm:
a) determinare il valore della densità lineare dei due tratti di corda; [1 = 2.5 g/m e 2 = 10 g/m] b) scrivere le funzioni d'onda delle tre onde (incidente, trasmessa e riflessa) indicando i valori di
tutte le grandezze che in esse compaiono [ ym,i = 1.2 cm, ym,t = 0.8 cm, ym,r = ‐0.4 cm, k1 = 6.28
m‐1, k2 = 12.57 m‐1, 1=2=1257 s
‐1, t=2/3, r=‐1/3, T=8/9, R=1/9 c) calcolare la potenza media trasportata dalle onde incidente, trasmessa e riflessa. [Pi=56.8W,
Pt=50.5W, Pr=6.3W]
8. La corda di un violoncello è lunga 70 cm, ha una massa pari a 1.20 g ed è accordata sul La3 (220
Hz). Supponendo: i) che tutta la potenza dell’onda acustica sia emessa in un angolo solido =2 e sia trasportata dal modo fondamentale, ii) che la temperatura ambiente sia 20 °C e sia 0 = 1.29 kg/m3, iii) che un ascoltatore alla distanza di 50 m percepisca un livello sonoro di 60 dB, si determini
a) La tensione applicata alla corda e la velocità di propagazione sulla corda [T = 162.6 N, v = 308 m/s]
b) La potenza media emessa dal violoncello sul La3 [P = 15.7 mW] c) L’intensità e l’ampiezza dell’onda di pressione a 20 m dallo strumento [I20m = 6.25∙10
‐6 W/m2,
pm = 74 mPa ] d) Si dimostri che i risultati non sono inficiati dalla tipica attenuazione del suono in aria. [‐
5dB/km in 50 m danno una variazione del 5,6% dell’intensità e del 2.9% dell’ampiezza ]
9. Data un’onda trasversale, di equazione y(x,t)=ym cos(kx‐t+/3), che si propaga su una corda
cilindrica infinita, sapendo che: = 7.8‧103 [kg m‐3], Sc = 1 [mm2], = 200 Hz, = 1 m e che la
potenza media trasportata dall’onda è 100W, si determini:
a) le grandezze: , k, v e ym. b) la velocità e l’accelerazione trasversale dell’onda
c) la potenza istantanea che transita nel punto x = /4 all’stante t = T/2 d) disegnare su uno stesso grafico le grandezze y(x,0), vy (x,0), ay (x,0) e Ptot (x,0)
38. Data un’onda longitudinale, di equazione (x,t) = m cos(kx‐t‐/3), che si propaga in una barra
cilindrica infinita, sapendo che: = 7.8‧103 [kg m‐3], Sb = 1[dm2], = 200Hz, ‧1011 [Pa] e che la potenza media trasportata dall’onda è 100 W, si determini:
a) le grandezze: , k, v, T, e m. b) la velocità e l’accelerazione longitudinale dell’onda
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c) la potenza istantanea che transita nel punto x = /4 all’stante t = T/2 d) disegnare su uno stesso grafico le grandezze (x,0), v(x,0), a(x,0) e Ptot(x,0)
11. Data un onda trasversale armonica che si propaga su una corda tesa e infinita, sapendo che
l = 5 g/m, v = 200 m/s, = 800 Hz e ym = 1 cm, scrivere l’equazione dell’onda e determinare:
a) la tensione a cui è sottoposta la corda
b) la potenza media che l’onda trasporta
c) la lunghezza d’onda
d) la velocità e l’accelerazione trasversale
12. Un’onda trasversale armonica di ampiezza ym = 1 cm e frequenza 80 Hz propaga su una corda infinita trasportando la potenza di 10W. Sapendo che il valore del numero d’onda è k = 25.1 [m‐1], determinare:
a) la lunghezza d’onda e la velocità di fase dell’onda b) la tensione a cui è sottoposta la corda e la sua densità lineare c) l’ ampiezza che deve avere un’onda a 20Hz per trasportare la metà della potenza
(cioè 5W).
13. Una corda orizzontale (senza peso) di massa pari a 600 g e lunghezza pari a 50 m è sottoposta ad una tensione di 592 N. Un’estremità della corda viene fatta oscillare verticalmente con un’ampiezza di oscillazione pari a 1,14 cm. Il moto dell’estremità è continuo e viene ripetuto 120 volte al secondo. Si determinino:
a) la funzione d’onda che descrive l’onda progressiva originata all’estremità oscillante
b) il valore massimo del modulo della velocità trasversale della corda
c) il valore massimo della componente trasversale della tensione
d) la potenza massima trasportata dalla corda
14. Un’onda armonica progressiva propaga su una corda omogenea infinita, in assenza di gravità. Rispetto ad un certo sistema di riferimento la funzione d’onda è data da y(x,t)= 0.01 sin(12.56 x ‐ 62.8 t ‐ 1.57), dove le lunghezze sono espresse in metri e i tempi in secondi. Sapendo che la
ipotetica corda ha un diametro di 1 mm ed è fatta di acciaio (=7.8 kg/dm3), determinare:
a) la lunghezza d’onda, la frequenza e la velocità di fase dell’onda.
b) la tensione applicata alla corda
c) la potenza media trasportata dall’onda
d) l’ampiezza in centimetri della perturbazione ondosa a 1 m dal punto di riferimento e al tempo t = 1 s.
15. Un’onda armonica progressiva propaga su una corda omogenea tesa semi infinita. La funzione d’onda è data da y(x,t) = 0,25 cos(17,3 x‐ 82 t), dove le lunghezze sono espresse in metri e i tempi in secondi. La corda è collegata in x = 0 con una seconda corda omogenea semi infinita collocata alla sua destra e sottoposta alla stessa tensione.
a) determinare lunghezza d’onda, frequenza e velocità di fase dell’onda progressiva.
b) sapendo che la potenza dell’onda riflessa è ¼ della potenza dell’onda incidente e che l’ampiezza dell’onda trasmessa è pari a metà di quella dell’onda incidente determinare: lunghezza d’onda, frequenza e velocità dell’onda trasmessa.
c) Quale tratto di corda è caratterizzato dalla densità di massa maggiore?
6. Un’onda armonica con = 200 rad/s si propaga su una corda infinita sottoposta ad una tensione di 100 N. Sapendo che nel punto x = 0 la densità lineare della corda aumenta di un
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fattore 9, che l‘onda trasmessa trasporta una potenza media di 3 W e che l’ampiezza dell’onda incidente è pari a 1 cm: a) calcolare la potenza media trasportata dall'onda incidente e riflessa; b) calcolare la velocità di propagazione delle onde incidente, trasmessa e riflessa e la
lunghezza d’onda ad asse associata; c) scrivere le funzioni d'onda delle tre onde, indicando i valori delle grandezze che in esse
compaiono.
7. Un’onda progressiva armonica propaga su una corda infinita. La corda è sottoposta ad una tensione di 400 N ed è caratterizzata da una densità lineare di 1.6 kg/m. La frequenza dell’onda è pari a 60.0 Hz e la potenza media trasportata è di 180.00 W. All’istante t=0 s lo spostamento della corda nell’origine è di 0.72 cm. Determinare: a) la lunghezza d’onda e la velocità di propagazione dell’onda. b) la funzione d’onda, indicando i valori di tutti i parametri che in essa compaiono. c) la funzione d’onda che sovrapposta all’onda data dà luogo a un’onda stazionaria.
18. Un filo metallico con gli estremi fissi lungo L=60 cm ha una massa M=0.6 g ed e' teso con una tensione T=90 N. Calcolare la frequenza fondamentale del sistema. Calcolare quanto deve valere
la tensione per produrre una seconda armonica '=450 Hz e come cambiano i risultati se sul filo viene avvolto un altro filo metallico in modo da fare raddoppiare la massa. Se la temperatura dell’aria è di 20 °C, calcolare al lunghezza d’onda in aria per la fondamentale e la seconda armonica nella prima ipotesi del problema (v=343 m/s).
19. Una canna d’organo risuona alle tre successive frequenze di 256.9 Hz e 330.3 Hz e 403.7 Hz. Stabilire in base ai dati se la canna è aperta‐aperta oppure aperta‐chiusa e determinarne la frequenza fondamentale.
20. La corda di una chitarra, lunga L = 60 cm e di massa M = 1.5 g, è accordata sul “la”, con fondamentale a 110 Hz. a) Calcolare il valore della tensione applicata alla corda.
b) Calcolare il valore della la tensione per produrre una seconda armonica '2 = 240 Hz. c) Calcolare le lunghezze d’onda in aria delle prime 3 armoniche emesse nei due casi (con
va=343 m/s). d) Discutere i risultati precedenti nel caso in cui, a parità di tensioni applicate, sul filo venga
avvolto un altro filo sottile che ne raddoppi la massa.
21. Un filo metallico con gli estremi fissi lungo L = 60 cm ha una massa M = 0.6 g ed e' teso con una tensione T = 90 N. Calcolare la frequenza fondamentale del sistema e le due armoniche successive. Se la temperatura dell’aria è di 20 °C, calcolare al lunghezza d’onda in aria per la fondamentale e la seconda armonica (v = 343 m/s). Sapendo inoltre che un organo che risuona
sulla fondamentale della corda risuona anche alle frequenze = 350 Hz e = 450 Hz stabilire se la canna dell’organo è aperta oppure chiusa.
22. Un filo metallico con gli estremi fissi ha una massa m = 1.2 g, è lungo L = 60 cm ed è teso con una tensione T = 115.2 N. Calcolare la frequenza fondamentale del sistema e la più alta armonica prodotta dallo stesso che può essere udita da un ascoltatore che riesce a percepire al massimo la
frequenza = 15 kHz. Calcolare quanto deve valere la tensione applicata alla corda per produrre in aria una lunghezza d’onda di 155 cm, sapendo che la velocità del suono a 20 °C è 343 m/s. Calcolare infine la frequenza delle prime tre armoniche in quest’ultime condizioni.
23. Tre successive armoniche di una canna d'organo sono rispettivamente: 171.5 Hz, 285.8 Hz e 400.2 Hz. Stabilire in base ai dati:
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a) se la canna, che da un lato è sempre aperta, all’altro estremo è aperta o chiusa e di che armoniche si tratta;
b) determinarne la lunghezza sapendo che la temperatura dell’aria è di 20 °C (vS=343 m/s).
24. Due corde infinite caratterizzate dalla stessa densità lineare di massa =0.1 kg/m e sottoposte alla stessa tensione T=100 N giacciono nello stesso piano, l’una disposta perpendicolarmente all’altra. Le corde sono annodate tra loro nell’origine. Su uno dei quattro rami di corda propaga un’onda armonica diretta verso l’origine. Le oscillazioni avvengono in direzione perpendicolare al
piano formato dalle due corde, con ampiezza pari a 3 cm e frequenza =5 Hz. Determinare:
a) le lunghezze d’onda, le frequenze e le velocità di fase delle onde trasmesse e dell’onda riflessa.
b) le ampiezze delle onde trasmesse e dell’onda riflessa
c) la potenza media delle onde trasmesse e dell’onda riflessa
25. In assenza di gravità, un’onda armonica di frequenza = 200 Hz si propaga, alla velocità v = 200 m/s, su una corda infinita sottoposta ad una tensione di 100 N. Sapendo che nel punto x=0 la densità lineare della corda cambia, la velocità di propagazione si dimezza e che l’ampiezza dell’onda incidente è pari a 1.2 cm:
a) determinare il valore della densità lineare dei due tratti di corda; [1 = 2.5 g/m e 2 = 10 g/m]
b) scrivere le funzioni d'onda delle tre onde (incidente, trasmessa e riflessa) indicando i valori di tutte le grandezze che in esse compaiono [ ym,i = 1.2 cm, ym,t = 0.8 cm, ym,r = ‐0.4 cm, k1 = 6.28
m‐1, k2 = 12.57 m‐1, 1=2=1257 s
‐1, t=2/3, r=‐1/3, T=8/9, R=1/9]
c) calcolare la potenza media trasportata dalle onde incidente, trasmessa e riflessa. [Pi=56.8W,
Pt=50.5W, Pr=6.3W].
26. Una sorgente sonora emette un’onda sferica di potenza media pari a 1 W in un angolo solido
pari a /4. Determinare la distanza alla quale un osservatore percepirebbe un livello sonoro L=50 dB (L è l’intensità riferita all’intensità di riferimento I0=10
‐12 W/m2) se l’attenuazione dell’aria fosse nulla. Sapendo che alla frequenza emessa l’attenuazione dell’aria è pari a ‐3 dB/km, determinare il livello sonoro effettivamente percepito dall’osservatore che si trova nella posizione calcolata in precedenza.
27. Una sorgente emette un’onda acustica sferica entro un angolo solido pari a 2 steradianti. A una certa distanza R dalla sorgente un osservatore rileva livello sonoro pari a 112dB. Avvicinandosi di 5.70 m alla sorgente l’osservatore rileva un livello sonoro pari a 117dB. a) Si determini la potenza della sorgente e la distanza R dall’osservatore. b) Tenendo conto dell’attenuazione per assorbimento dell’aria (3dB/km), si determini il livello
sonoro percepito ad una distanza di 5 km dalla sorgente.
28. Un altoparlante ha una superficie di 500 cm2 ed emette energia sonora con la potenza di 1W a) Determinare il livello sonoro nelle immediate vicinanze dell’altoparlante b) Supponendo che l’altoparlante emetta l’energia sonora uniformemente, in tutte le
direzioni all’interno di una semisfera, a quale distanza il livello sonoro risulta essere pari a 20 dB?
c) Supponendo ora che il suono subisca inoltre un’attenuazione per assorbimento di 3 dB/km determinare il livello sonoro effettivamente percepito alla distanza valutata al punto b). Il suono risulta essere udibile?
29. Una sorgente sonora emette un’onda sferica di potenza media pari a 1 W in un angolo solido
pari a /2. Determinare la distanza alla quale un osservatore percepirebbe un livello sonoro L=40
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dB (L è l’intensità riferita all’intensità di riferimento I0=10‐12 W/m2) se l’attenuazione dell’aria
fosse nulla. Sapendo che alla frequenza emessa l’attenuazione dell’aria è pari a 6 dB/km, determinare il livello sonoro effettivamente percepito dall’osservatore che si trova nella posizione calcolata in precedenza.
30. Una sorgente sonora emette un’onda sferica di potenza media pari a 10 W in un angolo solido
pari a /4. Sapendo che alla frequenza emessa l’attenuazione dell’aria è pari a 3 dB/km, determinare il livello sonoro L percepito da un osservatore che si trovi alla distanza di 4500 m (si ricorda che il livello sonoro L è l’intensità riferita all’intensità di riferimento I0=10
‐12 W/m2).
31. Una sorgente sonora emette un’onda sferica di potenza media pari a 10 W in un angolo solido
pari a /8. Sapendo che alla frequenza emessa l’attenuazione dell’aria è pari a 3 dB/km, determinare il livello sonoro L percepito da un osservatore che si trovi alla distanza di 3000 m (si ricorda che il livello sonoro L è l’intensità riferita all’intensità di riferimento I0=10
‐12 W/m2).
32. Una sorgente sonora emette un’onda sferica di potenza media pari a 5 W su un ottavo di angolo
solido. In assenza di attenuazione, un osservatore posto ad un distanza D percepirebbe un livello
sonoro L1 = 45 dB. Calcolare l’attenuazione del mezzo se lo stesso osservatore percepisce un
livello sonoro reale L = 38 dB.
33. Una sorgente sonora emette un’onda sferica di potenza media pari a 1 W in un angolo solido di
steradianti. Sapendo che alla frequenza emessa l’attenuazione dell’aria è pari a 5 dB/km:
a) Determinare la distanza alla quale un osservatore percepirebbe un livello sonoro L=50 dB se l’attenuazione dell’aria fosse nulla.
b) determinare il livello sonoro effettivamente percepito dall’osservatore che si trova nella posizione calcolata in precedenza.
34. La corda di un violino, lunga L = 40 cm e di massa M = 2.5 g, è accordata sul “la3”, con fondamentale a 220 Hz. Calcolare:
a) la tensione applicata alla corda; [ T=194 N ]
b) la lunghezza d’onda in aria delle prime 3 armoniche, supponendo di sonare il violino alla
temperatura esterna di 0 °C; [ 1=1.50 m, 2=0.75 m, 3=0.50 m ]
c) l’intensità e l’ampiezza dell’onda di pressione alla distanza di un ascoltatore che percepisce un livello sonoro pari a 70 dB. Si supponga che tutta la potenza trasportata dall’onda sia
associata al modo fondamentale e che la densità dell’aria sia o = 1.29 kg/m3. [ I=10‐5 W/m2,
pm=92∙10‐3 Pa ]
35. Una canna d’organo, che opera alla temperatura ambiente di 20 °C, è accordata per emettere sull’armonica fondamentale una frequenza pari 110 Hz (la2). Sapendo che tra le armoniche emesse dalla canna esiste anche il la4 (440 Hz), determinare:
a) la lunghezza della canna giustificando la risposta; [aperta/aperta, v = 343 m/s, 3.12 m, L =
1.56 m]
b) il livello sonoro percepito da un ascoltatore a 20 m, sapendo che la potenza è emessa in un
angolo solido di 2 steradianti ed è pari a 0.50 W; [ 83 dB ]
c) l’ampiezza dell’onda di pressione alla distanza dell’ascoltatore. [ pm = 0.42 Pa ]
36. Una sirena emette un’onda acustica di frequenza 400 Hz e potenza 1.0 W entro un angolo solido di π/4 steradianti. Un ascoltatore si trova a una distanza R ignota dalla sorgente. Avvicinandosi di 100 m alla sorgente l’ascoltatore rileva un incremento di intensità di 5 dB. Trascurando
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l’attenuazione per assorbimento dell’aria e assumendo che la temperatura dell’aria sia 20 oC, si
determini:
a) la distanza R dell’ascoltatore dalla sorgente; [R=228m]
b) il livello sonoro percepito dall’ascoltatore alla distanza R; [L(R)=73.9 dB]
c) il livello sonoro percepito alla distanza R dalla sorgente nel caso in cui l’ascoltatore si stia avvicinando ad essa con una velocità di 200 km/h . [L’(R)=(73.9+0.65)dB=74.5 dB]
37. Una canna d’organo è accordata per emettere sull’armonica fondamentale una frequenza pari
220 Hz (la3). Sapendo che tra le armoniche emessa dalla canna esiste anche il la5 a 880 Hz, e che la temperatura dell’aria è di 20° C, determinare:
a) la lunghezza della canna; giustificando la risposta; [ L = 0.78 m]
b) il livello sonoro percepito da un ascoltatore a 20 m, sapendo che la potenza è emessa in un
angolo solido di 2 ed è pari a 100 mW; [I = 4.0 ∙10‐5 W/m2, L = 76.0 dB]
c) l’ampiezza delle onde di pressione e di spostamento alla distanza dell’ascoltatore. [ pm = 0.19 Pa, sm = 0.31 m ]
38. Due corde identiche, aventi la stessa lunghezza, sono vincolate ai loro estremi. La tensione della seconda corda e dell’1% maggiore di quella della prima. La frequenza di oscillazione fondamentale della prima corda è di 440 Hz. Il livello sonoro a 2,0 m di distanza dalle corde è pari a 40 dB e la temperatura dell’aria è pari a 0oC. Si determinino:
a) le lunghezze d’onda delle onde acustiche emesse dalle due corde quando vibrano alla loro
frequenza fondamentale; [ 1=0.752 m , 2=0.748 m b) le frequenze di battimento tra le onde emesse dalle due corde sulla fondamentale e sulle
successive due armoniche; [ b1=2.2 Hz, b2=4.4 Hz, b3=6.6 Hz ] c) la distanza alla quale il suono emesso dalle corde risulta appena percettibile. [ 200 m ]
39. In assenza di gravità, un’onda armonica di frequenza = 200 Hz si propaga, alla velocità v = 200 m/s, su una corda infinita sottoposta ad una tensione di 100 N. Sapendo che nel punto x=0 la densità lineare della corda cambia, la velocità di propagazione si dimezza e che l’ampiezza dell’onda incidente è pari a 1.2 cm:
a) determinare il valore della densità lineare dei due tratti di corda; [1 = 2.5 g/m e 2 = 10 g/m] b) scrivere le funzioni d'onda delle tre onde (incidente, trasmessa e riflessa) indicando i valori di
tutte le grandezze che in esse compaiono [ ym,i = 1.2 cm, ym,t = 0.8 cm, ym,r = ‐0.4 cm, k1 = 6.28
m‐1, k2 = 12.57 m‐1, 1=2=1257 s
‐1, t=2/3, r=‐1/3, T=8/9, R=1/9 c) calcolare la potenza media trasportata dalle onde incidente, trasmessa e riflessa. [Pi=56.8W,
Pt=50.5W, Pr=6.3W]
40. La corda di un violoncello è lunga 70 cm, ha una massa pari a 1.20 g ed è accordata sul La3 (220
Hz). Supponendo: i) che tutta la potenza dell’onda acustica sia emessa in un angolo solido =2 e sia trasportata dal modo fondamentale, ii) che la temperatura ambiente sia 20 °C e sia 0 = 1.29 kg/m3, iii) che un ascoltatore alla distanza di 50 m percepisca un livello sonoro di 60 dB, si determini
a) La tensione applicata alla corda e la velocità di propagazione sulla corda [T = 162.6 N, v = 308 m/s]
b) La potenza media emessa dal violoncello sul La3 [P = 15.7 mW] c) L’intensità e l’ampiezza dell’onda di pressione a 20 m dallo strumento [I20m = 6.25∙10
‐6 W/m2,
pm = 74 mPa ] d) Si dimostri che i risultati non sono inficiati dalla tipica attenuazione del suono in aria. [‐
5dB/km in 50 m danno una variazione del 5.6% dell’intensità e del 2.9% dell’ampiezza ]
73
41. Una sirena di massa M = 1,00 kg è sospesa ad una molla ed oscilla verticalmente senza attenuazione lungo l’asse y compiendo 2,00 oscillazioni al secondo. Lo spostamento iniziale dalla posizione di equilibrio è di 1,00m e la velocità iniziale è di 10,0 m/s. La frequenza emessa dalla sirena è pari a 440 Hz e la temperatura dell’aria è 20oC. Indicando i valori di tutte le costanti che compaiono nelle espressioni, si determino:
a) l’equazione differenziale che regge il moto; [ 0 kyyM , k=158 N/m]
b) l’ampiezza e la fase del moto oscillatorio; [1.28 m, 0.89 rad] c) la frequenza massima e la frequenza minima della sirena percepite da un ascoltatore fermo
posto al di sotto di essa; [462 Hz, 420 Hz]
42. Un ascoltatore munito della necessaria strumentazione lascia cadere, a t = 0, una piccola sirena a batteria, che emette un segnale a 525 Hz, da un grattacielo alto 100 m. Sapendo che la temperature ambiente è 20 °C, trascurando l’attrito dell’aria e supponendo che all’impatto con il suolo la sirena smetta di funzionare si determini:
a) La frequenza più bassa percepita dall’ascoltatore [min =4 65 Hz] b) Il tempo t al quale l’ascoltatore sente il segnale interrompersi [t = (4.52+0.29) s = 4.82 s ] c) La distanza dal suolo della sirena nel momento in cui l’ascoltatore percepisce la frequenza di
480 Hz. [ d = 42 m, non 47 m che è senza ritardo, t = (3.28+0.15) s = 3.43 s ]
43. Un osservatore fermo ai bordi di un rettilineo sente il suono della sirena di un'auto della polizia
che passa a velocità costante. Mentre l'auto si avvicina la frequenza percepita è 1=548 Hz, quando si allontana e' 2=460 Hz. Calcolare la frequenza del suono emesso dalla sirena e la velocità dell'auto in kilometri all’ora (vS=343 m/s). [500 Hz, 107 km/h]
44. Rimanendo fermi ad un semaforo si sente il suono della sirena di un'auto della polizia che passa.
Mentre l'auto si avvicina la frequenza percepita è 1 = 580 Hz, quando si allontana è 2 = 505 Hz. Calcolare la velocità dell'auto assumendo che quella del suono sia 343 m/s.
45. Un sommergibile è in pattuglia fermo nell’oceano atlantico. Utilizza un sonar con una frequenza
di 5 kHz. La temperatura dell’acqua è di 20 °C (=2.2 109 N/m2, = 1000 kg/m3). Un secondo sommergibile si avvicina con una velocità di 5 m/s. Calcolare la frequenza ricevuta dal sommergibile in avvicinamento e quella riflessa ricevuta dal sommergibile di pattuglia. [5017 Hz, 5034 Hz]
46. Un osservatore fermo ai bordi di un rettilineo sente il suono della sirena di un'auto della polizia
che passa a velocità costante. Mentre l'auto si avvicina la frequenza percepita è 1=541 Hz, quando si allontana e' 2=465 Hz. Calcolare la frequenza del suono emesso dalla sirena e la velocità dell'auto in chilometri all’ora (vs=343 m/s).
47. Un’automobile si avvicina con velocità costante a un mezzo di soccorso fermo con la sirena accesa e lo oltrepassa proseguendo nella sua corsa. Sapendo che mentre l’auto si avvicina il guidatore percepisce una frequenza di 615Hz e quando si allontana una frequenza pari a 540Hz e assumendo che la velocità del suono sia pari a 343 m/s si determini la velocità dell’auto in moto. [ 22.3 m/s = 80 km/h ]
48. Un mezzo di soccorso con la sirena accesa si muove con una velocità di 70 km/h. La sirena
emette un’onda acustica con frequenza =1000 s‐1. Assumendo che la velocità del suono nell’aria sia pari a 343 m/s determinare:
a) la frequenza percepita da un osservatore fermo che veda il mezzo venire verso di lui.
b) la frequenza percepita dal guidatore di un’automobile che si muova incontro al mezzo di soccorso con una velocità relativa pari a 160 km/h.
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49. Un sommergibile di pattuglia è fermo nell’oceano pacifico. Utilizza un sonar con una frequenza
di 6 kHz. La temperatura dell’acqua è di 20 °C (= 2.2 109 N/m2, = 1000 kg/m3). Un secondo sommergibile si avvicina alla velocità di 20 nodi (1 nodo = 1.852 km/ora). Calcolare la frequenza ricevuta dal sommergibile in avvicinamento e quella riflessa ricevuta dal sommergibile di pattuglia.
50. Rimanendo fermi ad un semaforo si sente il suono della sirena di un'auto della polizia che passa.
Mentre l'auto si avvicina la frequenza percepita è 1 = 560 Hz, quando si allontana è 2 = 500 Hz. Calcolare la velocità dell'auto, in km all’ora, assumendo che quella del suono sia 343 m/s.
51. Un osservatore fermo ai bordi di un rettilineo sente il suono della sirena di un'auto della polizia
che passa a velocità costante. Mentre l'auto si avvicina la frequenza percepita è 1=538.6 Hz, quando si allontana è 2=466.6 Hz. a) Calcolare la frequenza del suono emesso dalla sirena e la velocità dell'auto in kilometri
all’ora, sapendo che la temperatura dell’aria è di 30 °C. b) Supponendo che la frequenza emessa dalla sirena e la velocità dell’auto siano sempre le
stesse, calcolare i valori delle due frequenze che percepirebbe l’osservatore alla temperatura di 0 °C.
21. Un’auto procede in autostrada alla velocità costante di 90 km/h mentre viene superata da
un’auto della polizia con la sirena accesa. Sapendo che la temperatura esterna è di 0 °C e che le
frequenze sonore percepite in avvicinamento e dopo il sorpasso sono rispettivamente pari a 578
e 528 Hz, determinare la velocità, in km/h, dell’auto della polizia e la frequenza emessa dalla
sirena.
53. Due corde identiche di un pianoforte sono tese con la stessa tensione T = 100 N in modo da produrre entrambe la frequenza fondamentale di 440 Hz. Determinare di quanto si deve aumentare la tensione di una delle due corde per udire battimenti a 4 Hz. [1.8 N]