Download - 3. gyakorlat
3. gyakorlat
INCK401Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita2014/2015. I. félév
AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI
Nulladrendű logika
Egy olyan logikai rendszer, amely a nulladrendű nyelvből, a nyelvhez kapcsolódó nulladrendű
interpretációból, az interpretációra támaszkodó nulladrendű
szemantikai szabályokból, a nulladrendű centrális logikai
fogalmakból
épül fel.
A nulladrendű nyelv
L(0)= LC,Con,Form⟨ ⟩
ahol LC={¬,⊃,∧,∨,≡,(,)} (a nyelv logikai
konstansainak halmaza) Con≠∅ a nyelv nemlogikai konstansainak
(állítás- vagy kijelentés-paramétereinek) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza
LC∩Con=∅ A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form
halmazt az alábbi induktív definíció adja meg:
A Form halmaz induktív definíciója
a. Con⊆Form (Con elemei az atomi formulák)
b. Ha A∈Form, akkor ¬A∈Form.c. Ha A,B∈Form, akkor
(A⊃B)∈Form, (A∧B)∈Form, (A∨B)∈Form, (A≡B)∈Form.
Példák formulákra
atomi formula (eleme a Con halmaznak)
p, q, r, s, t,… atomi formulából képzett formula
¬p, ¬q, ¬r, …… formulákból képzett formula
(A ⊃ B), (A ∧ ¬ B),… formulából képzett formula
¬ (A ⊃ B), (¬ (A ∧ ¬ B) ∨C),…..
Példák formulákra
Legyen Con = {p, q}. Ekkor Form = {p, q,
¬p, ¬q, (p ⊃ q), (p ∨ q), (p ∧ q), (p ≡ q), ¬(p ⊃ q), ¬(p ∨ q), ¬(p ∧ q), ¬(p ≡ q), ((p ⊃ q) ⊃ (p ∨ q)), ((p ⊃ q) ∧ (p ∨ q)),
… ….
}
1. feladat
Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja a formulában szereplő zárójelek számát!
f: Form ->NHa p∈Con, akkor f(p) = 0Ha p∈Con, akkor f(¬p) = 0Ha A∈Form, akkor f(¬A) = f(A)Ha A,B∈Form, akkor f( (A*B) ) = f(A)+f(B)+1, ahol * ∈{∧, ∨, ⊃, ≡}
1. feladat - példa
Alkalmazd lépésenként azt a függvényt, amely minden nulladrendű formula esetén megadja a formulában szereplő zárójelek számát, a((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t) nulladrendű formulára (Con = {p, q, r, s, t})!
f(((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t))=f((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) )+f(t)+1== f(¬(¬t ∨ r))+f(s)+1+0+1=f((¬t ∨ r))+0+1+0+1 =f(¬t)+f(r)+1+0+1+0+1=0+0+1+0+1+0+1=3
2. feladat
Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok számát! (a definiálandó függvény adja meg a formula logikai összetettségét.)
f: Form ->NHa p∈Con, akkor f(p) = 0Ha p∈Con, akkor f(¬p) = 1Ha A∈Form, akkor f(¬A) = f(A)+1Ha A,B∈Form, akkor f( (A*B) ) = f(A)+f(B)+1,
ahol * ∈ {∧, ∨, ⊃, ≡}
2. feladat - példa
Alkalmazd lépésenként azt a függvényt, amely minden nulladrendű formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok számát, a ((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t) nulladrendű formulára (Con = {p, q, r, s, t})!
f(((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t))=f((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) )+f(t)+1==f(¬(¬t ∨ r))+f(s)+1+0+1=f((¬t ∨ r))+1+0+1+0+1==f(¬t)+f(r)+1+1+0+1+0+1=1+0+1+1+0+1+0+1=5
Formula részformuláinak halmaza
Legyen A∈Form az L(0) nyelv tetszőleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz [jelölés: RF(A)], amelyre teljesül, hogy A∈RF(A), azaz az A formula részformulája
önmagának; ha ¬B∈RF(A), akkor B∈RF(A); ha (B⊃C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A); ha (B∧C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A); ha (B∨C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A); ha (B≡C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A).
Példa részformulákra
Legyen D=(¬(A ∨ ¬B) ∧ ¬A).Ekkor RF(D) = {
(¬(A ∨ ¬B) ∧ ¬A),¬(A ∨ ¬B), ¬A,(A ∨ ¬B),A, ¬B,B}
Közvetlen részformula
Ha p atomi formula (azaz p∈Con), akkor nincs közvetlen részformulája;
¬A egyetlen közvetlen részformulája A;
Az (A⊃B),(A∧B),(A∨B),(A≡B) formulák közvetlen részformulái az A és a B formulák.
Példa közvetlen részformulákra
p∈Con, KRF(p) = ∅. KRF(¬A) = {A}; KRF(A⊃B) = {A, B} KRF(¬A⊃(B∧A)) = {¬A,
(B∧A)}
Részformula vs. közvetlen részformula
formula részformula
közvetlen részformul
a¬A {¬A, A} {A}
(A⊃B) {(A⊃B) ,A, B} {A, B}
(¬A⊃(B∧A))
{(¬A⊃(B∧A)),¬A, (B∧A),
A, B}{¬A, (B∧A)}
Részformula másik definíciójaEgy A formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz [jelölés: RF(A)], amelyre teljesül, hogy A∈RF(A), (azaz az A formula
részformulája önmagának); ha Aʹ∈RF(A) és B közvetlen részformulája
Aʹ- nek, akkor B∈RF(A) (azaz, ha egy Aʹ formula részformulája A-nak, akkor Aʹ összes közvetlen részformulája is részformulája A-nak).
Feladat
3. Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja, hogy a formulának legfeljebb hány részformulája lehet!
Feladat: Soroljuk fel az alábbi formulák összes részformuláit! Húzzuk alá a közvetlen részformulákat!
a. (((X ⊃ Y) ∧ (Y ⊃ Z)) ⊃ (¬X ∨ Z))b. ((X ⊃ Y) ⊃ ((X ⊃ ¬Y) ⊃ ¬Y))c. ((¬X ∨ Y) ⊃ ¬Z)d. ¬((X ∨ Y) ∧ ¬X)e. ¬((X ∨ Y) ∨ Z)f. ¬((X ∨ Y) ⊃ (X ∧ Y))
g. ((X ∧ Y) ≡ (Y ∧ X))
Szerkezeti fa
Az A formula szerkezeti fáján egy olyan véges rendezett fát értünk, amelynek csúcsai formulák gyökere az A formula, ¬B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a
B formula, (B⊃C),(B∧C),(B∨C),(B≡C) alakú
csúcsainak két gyermekét a B, illetve a C formulák alkotják,
levelei prímformulák (atomi formulák).
Példa szerkezeti fára
¬((¬A⊃(B∧A)) ∨ ¬(A ⊃ ¬B))
((¬A⊃(B∧A)) ∨ ¬(A ⊃ ¬B))
(¬A⊃(B∧A)) ¬(A ⊃ ¬B)
¬A (B∧A)
A B A
(A ⊃ ¬B)
A ¬B
B
Feladat
4. HF. Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja, hogy a formula szerkezeti fájának hány csúcsa van!
Segédletek logikából
Dr. Mihálydeák Tamás: http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/
Logika_html_2011_11_15.zip http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_my_twt-treeview.
html http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Inf_log_ea_06_07_1.pdf
Dr. Várterész Magda: http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/matlog.pdf http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/megoldas.pdf
Lengyel Zoltán: http://www.inf.unideb.hu/~lengyelz/docs/logika.pdf