Download - 3_topos_rizon
![Page 1: 3_topos_rizon](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082819/563db985550346aa9a9e2102/html5/thumbnails/1.jpg)
7/17/2019 3_topos_rizon
http://slidepdf.com/reader/full/3toposrizon 1/9
3. 1
Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου
Μάθηµα 3
Γενικευµένος τόπος ριζών –
Συστήµατα µε θετική ανάδραση
∆. Καλλιγερόπουλος
![Page 2: 3_topos_rizon](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082819/563db985550346aa9a9e2102/html5/thumbnails/2.jpg)
7/17/2019 3_topos_rizon
http://slidepdf.com/reader/full/3toposrizon 2/9
3. 2
Γενικευµένος τόπος ριζών
Έστω ανοιχτό σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς:)(
)()(
sQ
s P sG =
µε m z z ,...,1 ρίζες και n p p ,...,1 πόλους ( mn > )
Ορισµός
Γενικευ µένος τόπος ριζών (total root locus) ενός κλειστού
συστήµατος ελέγχου µε δεδοµένη συνάρτηση µεταφοράς
ανοιχτού συστήµατος G( s) και µεταβλητή παράµετρο το κέρδος
K , ονοµάζεται ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του κλειστού συστήµατος ελέγχου στο µιγαδικό επίπεδο, για διάφορες τιµές
του κέρδους K , µε ∞<<∞− K , δηλαδή για 0> K και 0< K .
Οι πόλοι n s s s ,...,, 21 αυτού του κλειστού συστήµατος αποτελούν λύση της
χαρακτηριστικής του εξίσωσης για 0> K και 0< K .
Γενική χαρακτηριστική εξίσωση
0)()()(0 =+= s KP sQ sQ
ή 0)(1 =+ s KG , δηλαδή 1)( −= s KG .
Από τη σχέση αυτή προκύπτουν αντίστοιχα τα γενικά κριτήρια µέτρων και
γωνιών, που διαφοροποιούνται για 0> K και 0< K .
![Page 3: 3_topos_rizon](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082819/563db985550346aa9a9e2102/html5/thumbnails/3.jpg)
7/17/2019 3_topos_rizon
http://slidepdf.com/reader/full/3toposrizon 3/9
3. 3
Ο γενικευµένος τόπος ριζών προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών τόπων ριζών
κλειστών συστηµάτων, µε αρνητική και µε θετική αντίστοιχα ανάδραση.
0> K 0< K ή 0' >−= K K
)()(
)(
)(1
)()(0
s KP sQ
s KP
s KG
s KG sG
+=
+=
)()(
)(
)(1
)()(
'
'
'
'
0 s P K sQ
s P K
sG K
sG K sG
−=
−=
0)()()(0 =+= s KP sQ sQ 0)()()( '
0
=−= s P K sQ sQ
1)(
)()( −==
sQ
s P K s KG
Οπότε:
ο φ φ φ φ φ 180)...()...(
121=++−+++
mn z z p p p
και m
n
z z
p p p K
∆⋅⋅∆
∆⋅⋅∆⋅∆=
...
...
1
21
1)(
)()( '' +==
sQ
s P K sG K
Οπότε:
ο ο φ φ φ φ φ 3600)...()...(
121ή
mn z z p p p =++−+++
και m
n
z z
p p p K
∆⋅⋅∆
∆⋅⋅∆⋅∆=
...
...
1
21'
Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν οι κανόνες σχεδιασµού του γενικευµένου
τόπου ριζών.
![Page 4: 3_topos_rizon](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082819/563db985550346aa9a9e2102/html5/thumbnails/4.jpg)
7/17/2019 3_topos_rizon
http://slidepdf.com/reader/full/3toposrizon 4/9
3. 4
Πίνακας κανόνων σχεδιασµού του γενικευµένου τόπου ριζών
Για Κ > 0 Για Κ < 0
1. Οι πόλοι n p p p ,...,, 21 του
ανοιχτού συστήµατος είναι
αφετηρίες των n κλάδων του
τόπου ριζών για 0= K .
Οι πόλοι n p p p ,...,, 21 του
ανοιχτού συστήµατος είναι
καταλήξεις των n κλάδων
του τόπου ριζών για 0= K .
2. Οι ρίζες m z z ,...,1 του ανοιχτού
συστήµατος αποτελούν
καταλήξεις των m κλάδων του
τόπου ριζών για ∞= K .
Οι ρίζες m z z ,...,1 του ανοιχτού
συστήµατος αποτελούν
αφετηρίες των m κλάδων του
τόπου ριζών για ∞= K .
3. Πάνω στον πραγ µατικό άξονα,
τµήµα του τόπου ριζών είναι
κάθε περιττό διάστηµα µεταξύ
πόλων ή ριζών του ανοιχτού
συστήµατος.
Πάνω στον πραγ µατικό άξονα,
τµήµα του τόπου ριζών είναι
κάθε άρτιο διάστηµα µεταξύ
πόλων ή ριζών του ανοιχτού
συστήµατος.
4. Τα ση µεία διακλάδωσης του
τόπου ριζών προκύπτουν από τη
σχέση:
.0)(=
ds
sdG
και είναι όσα εµπίπτουν στα
περιττά τµήµατα.
Τα ση µεία διακλάδωσης του
τόπου ριζών προκύπτουν από
τη σχέση:
.0)(=
ds
sdG
και είναι όσα εµπίπτουν
στα άρτια τµήµατα.
![Page 5: 3_topos_rizon](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082819/563db985550346aa9a9e2102/html5/thumbnails/5.jpg)
7/17/2019 3_topos_rizon
http://slidepdf.com/reader/full/3toposrizon 5/9
3. 5
5. Oι mn − ελεύθεροι κλάδοι του
τόπου ριζών που οδηγούνται στο
άπειρο, προσεγγίζουν mn −
ασύ µπτωτες ευθείες που ορίζονται από τις σχέσεις:
mn
z z p p p s mn
−
++−+++=
)...()...( 121ασ.
και mn
o
−
+=
180)12(ασ.
λ φ
µε 1,...,1,0 −−= mnλ .
Oι mn − ελεύθεροι κλάδοι του
τόπου ριζών που οδηγούνται στο
άπειρο, προσεγγίζουν mn −
ασύ µπτωτες ευθείες που ορίζονται από τις σχέσεις:
mn
z z p p p s mn
−
++−+++=
)...()...( 121ασ.
και mn
o
−=
180)2(ασ.
λ φ
µε 1,...,1,0 −−= mnλ .
6. Τα σηµεία τοµής του τόπου
ριζών µε το φανταστικό άξονα
),( 00 K υπολογίζονται από τη
χαρακτηριστική εξίσωση για
j s = :
0)()()(0 =+=ω j KP jQ jQ , οπότε
0)(Re 0 =ω jQ και 0)(Im 0 = jQ .
Τα σηµεία τοµής του τόπου ριζών
µε το φανταστικό άξονα ),( 00 K
υπολογίζονται από τη
χαρακτηριστική εξίσωση για
j s = :
0)()()(0 =+= j KP jQ jQ , οπότε
0)(Re 0 = jQ και 0)(Im 0 =ω jQ .
7. Το κριτήριο γωνιών είναι:
ο φ φ φ φ φ 180)...()...(121
=++−+++mn z z p p p
ή γενικότερα ο λ 180)12( +
Το κριτήριο γωνιών είναι:
ο φ φ φ φ φ 360)...()...(121
=++−+++mn z z p p p
ή γενικότερα ο λ 180)2(
8. Το κριτήριο µέτρων είναι:
m
n
z z
p p p K
∆⋅⋅∆
∆⋅⋅∆⋅∆=
...
...
1
21 .
Το κριτήριο µέτρων είναι:
m
n
z z
p p p K
∆⋅⋅∆
∆⋅⋅∆⋅∆−=
...
...
1
21
![Page 6: 3_topos_rizon](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082819/563db985550346aa9a9e2102/html5/thumbnails/6.jpg)
7/17/2019 3_topos_rizon
http://slidepdf.com/reader/full/3toposrizon 6/9
3. 6
Παραδείγµατα
Παράδειγµα 1: ∆ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς:)4)(2(
1)(
++=
s s s sG .
Ασύµπτωτες: 23
420ασ. −=−−= s , ο ο ο
λ λ λ φ 603
180180ασ. ⋅==
−=
mn,
δηλαδή για 0> K (και 12 += ν λ περιττό) είναι ο ο ο φ 300,180,60ασ. =
και για 0< K (και ν λ 2= άρτιο) είναι ο ο ο φ 240,120,0ασ. = .
Σηµείο διακλάδωσης: 0)(=
ds
sdG, οπότε 08123 2 =++ s s
Οπότε:⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
>−
= 02.3
08.02,1.διακ
K
K s για
για .
Σηµεία τοµής µε το φανταστικό άξονα:
Χαρακτηριστική εξίσωση: 086 23 =+++ K s s s
Για j s = είναι:
086 223 =++−− K j j ω ω ω ή 0)8()6( 22 =−+− ω ω ω j K ,
οπότε πρέπει: 82=ω και 26ω = K ,
άρα: 8.20 =ω , 480 = K .
Σύστηµα ευσταθές για 480 << K και ασταθές για κάθε 48> K και 0< K .
![Page 7: 3_topos_rizon](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082819/563db985550346aa9a9e2102/html5/thumbnails/7.jpg)
7/17/2019 3_topos_rizon
http://slidepdf.com/reader/full/3toposrizon 7/9
3. 7
Παράδειγµα 2: ∆ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς:3
)4)(2()(
s
s s sG
++= .
Μία ασύµπτωτος: ο ο ο
λ λ λ φ 1801
180180ασ. ⋅==
−=
mn,
δηλαδή για 0> K ο φ 180ασ. = και για 0< K ο φ 0ασ. = .
Σηµείο διακλάδωσης: 0)(=
ds
sdG, οπότε 03)86()62( 223 =++−+ s s s s s
ή 0)2412( 22 =++ s s s . Οπότε: 02,1.διακ = s και ⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
>−=
05.2
05.94,3.διακ
K
K s
για
για .
Σηµεία τοµής µε το φανταστικό άξονα:
Χαρακτηριστική εξίσωση: 086)86( 2323 =+++=+++ K Ks Ks s s s K s
Για j s = είναι: 08623 =++−− K Kj K j ω ω ω ή 0)6()8( 22 =−+− ω ω ω K j K ,
οπότε πρέπει: 82 =ω και 26 ω = K , άρα: 8.20 = , 35.10 = K .
Γωνίες εξόδου (για 0> K ) και εισόδου (για 0< K ) στον πολλαπλό πόλο 03,2,1 = p :
Για 0> K : ο φ φ φ 180)(321
=+− z z p ,ο φ φ 0
21== z z άρα ο
ο
φ 603
180== p
Για 0< K : ο φ φ φ 360)(321 =+− z z p , ο φ φ 0
21 == z z άρα ο
ο
φ 1203
360 == p .
Σύστηµα ευσταθές για 35.1> K και ασταθές για κάθε 35.1< K .
![Page 8: 3_topos_rizon](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082819/563db985550346aa9a9e2102/html5/thumbnails/8.jpg)
7/17/2019 3_topos_rizon
http://slidepdf.com/reader/full/3toposrizon 8/9
3. 8
Παράδειγµα 3: ∆ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς:1
)4)(2()(
−
++=
s
s s sG .
Μία ασύµπτωτος: ο ο ο
λ λ λ φ 1801
180180ασ. ⋅−=
−=
−=
mn,
δηλαδή για 0> K ο φ 180ασ. −= και για 0< K ο φ 0ασ. = .
Σηµείο διακλάδωσης: 0)(=
ds
sdG, οπότε 0)86()1)(62( 2 =++−−+ s s s s
ή 01422 =−− s s . Οπότε:⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
<=
09.2
09.42,1.διακ
K
K s
για
για .
Σηµεία τοµής µε το φανταστικό άξονα:
Χαρακτηριστική εξίσωση: 018)16()86()1( 22 =−+++=+++− K s K Ks s s K s
Για j s = είναι:
018)16(2 =−+++− K j K K ω ω ή 0)16()18( 2 =++−+− K j K K ω ω ,
οπότε πρέπει: 0)16( =+ K και 182 −= K K ω , άρα: 001 = , 125.001 = K ή
17.002 −= K και 9.13182 =
−=
K
K ω άρα 7.302 =ω .
Σύστηµα ευσταθές για 125.0> K και 17.0−< K
και ασταθές για κάθε 125.017.0 <<−
K .
![Page 9: 3_topos_rizon](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082819/563db985550346aa9a9e2102/html5/thumbnails/9.jpg)
7/17/2019 3_topos_rizon
http://slidepdf.com/reader/full/3toposrizon 9/9