3_topos_rizon

7/17/2019 3_topos_rizon

http://slidepdf.com/reader/full/3toposrizon 1/9

3. 1

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Μάθηµα 3

Γενικευµένος τόπος ριζών –

Συστήµατα µε θετική ανάδραση

∆. Καλλιγερόπουλος



3. 2

Γενικευµένος τόπος ριζών

Έστω ανοιχτό σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς:)(

)()(

sQ

s P sG =

µε m z z ,...,1 ρίζες και n p p ,...,1 πόλους ( mn > )

Ορισµός

Γενικευ µένος τόπος ριζών (total root locus) ενός κλειστού

συστήµατος ελέγχου µε δεδοµένη συνάρτηση µεταφοράς

ανοιχτού συστήµατος G( s) και µεταβλητή παράµετρο το κέρδος

K , ονοµάζεται ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του κλειστού συστήµατος ελέγχου στο µιγαδικό επίπεδο, για διάφορες τιµές

του κέρδους K , µε ∞<<∞− K , δηλαδή για 0> K και 0< K .

Οι πόλοι n s s s ,...,, 21 αυτού του κλειστού συστήµατος αποτελούν λύση της

χαρακτηριστικής του εξίσωσης για 0> K και 0< K .

Γενική χαρακτηριστική εξίσωση

0)()()(0 =+= s KP sQ sQ

ή 0)(1 =+ s KG , δηλαδή 1)( −= s KG .

Από τη σχέση αυτή προκύπτουν αντίστοιχα τα γενικά κριτήρια µέτρων και

γωνιών, που διαφοροποιούνται για 0> K και 0< K .



3. 3

Ο γενικευµένος τόπος ριζών προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών τόπων ριζών

κλειστών συστηµάτων, µε αρνητική και µε θετική αντίστοιχα ανάδραση.

0> K 0< K ή 0' >−= K K

)()(

)(

)(1

)()(0

s KP sQ

s KP

s KG

s KG sG

+=

+=

)()(

)(

)(1

)()(

'

'

'

'

0 s P K sQ

s P K

sG K

sG K sG

−=

−=

0)()()(0 =+= s KP sQ sQ 0)()()( '

0

=−= s P K sQ sQ

1)(

)()( −==

sQ

s P K s KG

Οπότε:

ο φ φ φ φ φ 180)...()...(

121=++−+++

mn z z p p p

και m

n

z z

p p p K

∆⋅⋅∆

∆⋅⋅∆⋅∆=

...

...

1

21

1)(

)()( '' +==

sQ

s P K sG K

Οπότε:

ο ο φ φ φ φ φ 3600)...()...(

121ή

mn z z p p p =++−+++

και m

n

z z

p p p K

∆⋅⋅∆

∆⋅⋅∆⋅∆=

...

...

1

21'

Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν οι κανόνες σχεδιασµού του γενικευµένου

τόπου ριζών.



3. 4

Πίνακας κανόνων σχεδιασµού του γενικευµένου τόπου ριζών

Για Κ > 0 Για Κ < 0

1. Οι πόλοι n p p p ,...,, 21 του

ανοιχτού συστήµατος είναι

αφετηρίες των n κλάδων του

τόπου ριζών για 0= K .

Οι πόλοι n p p p ,...,, 21 του

ανοιχτού συστήµατος είναι

καταλήξεις των n κλάδων

του τόπου ριζών για 0= K .

2. Οι ρίζες m z z ,...,1 του ανοιχτού

συστήµατος αποτελούν

καταλήξεις των m κλάδων του

τόπου ριζών για ∞= K .

Οι ρίζες m z z ,...,1 του ανοιχτού

συστήµατος αποτελούν

αφετηρίες των m κλάδων του

τόπου ριζών για ∞= K .

3. Πάνω στον πραγ µατικό άξονα,

τµήµα του τόπου ριζών είναι

κάθε περιττό διάστηµα µεταξύ

πόλων ή ριζών του ανοιχτού

συστήµατος.

Πάνω στον πραγ µατικό άξονα,

τµήµα του τόπου ριζών είναι

κάθε άρτιο διάστηµα µεταξύ

πόλων ή ριζών του ανοιχτού

συστήµατος.

4. Τα ση µεία διακλάδωσης του

τόπου ριζών προκύπτουν από τη

σχέση:

.0)(=

ds

sdG

και είναι όσα εµπίπτουν στα

περιττά τµήµατα.

Τα ση µεία διακλάδωσης του

τόπου ριζών προκύπτουν από

τη σχέση:

.0)(=

ds

sdG

και είναι όσα εµπίπτουν

στα άρτια τµήµατα.



3. 5

5. Oι mn − ελεύθεροι κλάδοι του

τόπου ριζών που οδηγούνται στο

άπειρο, προσεγγίζουν mn −

ασύ µπτωτες ευθείες που ορίζονται από τις σχέσεις:

mn

z z p p p s mn

−

++−+++=

)...()...( 121ασ.

και mn

o

−

+=

180)12(ασ.

λ φ

µε 1,...,1,0 −−= mnλ .

Oι mn − ελεύθεροι κλάδοι του

τόπου ριζών που οδηγούνται στο

άπειρο, προσεγγίζουν mn −

ασύ µπτωτες ευθείες που ορίζονται από τις σχέσεις:

mn

z z p p p s mn

−

++−+++=

)...()...( 121ασ.

και mn

o

−=

180)2(ασ.

λ φ

µε 1,...,1,0 −−= mnλ .

6. Τα σηµεία τοµής του τόπου

ριζών µε το φανταστικό άξονα

),( 00 K υπολογίζονται από τη

χαρακτηριστική εξίσωση για

j s = :

0)()()(0 =+=ω j KP jQ jQ , οπότε

0)(Re 0 =ω jQ και 0)(Im 0 = jQ .

Τα σηµεία τοµής του τόπου ριζών

µε το φανταστικό άξονα ),( 00 K

υπολογίζονται από τη

χαρακτηριστική εξίσωση για

j s = :

0)()()(0 =+= j KP jQ jQ , οπότε

0)(Re 0 = jQ και 0)(Im 0 =ω jQ .

7. Το κριτήριο γωνιών είναι:

ο φ φ φ φ φ 180)...()...(121

=++−+++mn z z p p p

ή γενικότερα ο λ 180)12( +

Το κριτήριο γωνιών είναι:

ο φ φ φ φ φ 360)...()...(121

=++−+++mn z z p p p

ή γενικότερα ο λ 180)2(

8. Το κριτήριο µέτρων είναι:

m

n

z z

p p p K

∆⋅⋅∆

∆⋅⋅∆⋅∆=

...

...

1

21 .

Το κριτήριο µέτρων είναι:

m

n

z z

p p p K

∆⋅⋅∆

∆⋅⋅∆⋅∆−=

...

...

1

21



3. 6

Παραδείγµατα

Παράδειγµα 1: ∆ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς:)4)(2(

1)(

++=

s s s sG .

Ασύµπτωτες: 23

420ασ. −=−−= s , ο ο ο

λ λ λ φ 603

180180ασ. ⋅==

−=

mn,

δηλαδή για 0> K (και 12 += ν λ περιττό) είναι ο ο ο φ 300,180,60ασ. =

και για 0< K (και ν λ 2= άρτιο) είναι ο ο ο φ 240,120,0ασ. = .

Σηµείο διακλάδωσης: 0)(=

ds

sdG, οπότε 08123 2 =++ s s

Οπότε:⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−

>−

= 02.3

08.02,1.διακ

K

K s για

για .

Σηµεία τοµής µε το φανταστικό άξονα:

Χαρακτηριστική εξίσωση: 086 23 =+++ K s s s

Για j s = είναι:

086 223 =++−− K j j ω ω ω ή 0)8()6( 22 =−+− ω ω ω j K ,

οπότε πρέπει: 82=ω και 26ω = K ,

άρα: 8.20 =ω , 480 = K .

Σύστηµα ευσταθές για 480 << K και ασταθές για κάθε 48> K και 0< K .



3. 7

Παράδειγµα 2: ∆ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς:3

)4)(2()(

s

s s sG

++= .

Μία ασύµπτωτος: ο ο ο

λ λ λ φ 1801

180180ασ. ⋅==

−=

mn,

δηλαδή για 0> K ο φ 180ασ. = και για 0< K ο φ 0ασ. = .


ds

sdG, οπότε 03)86()62( 223 =++−+ s s s s s

ή 0)2412( 22 =++ s s s . Οπότε: 02,1.διακ = s και ⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

>−=

05.2

05.94,3.διακ

K

K s

για

για .


Χαρακτηριστική εξίσωση: 086)86( 2323 =+++=+++ K Ks Ks s s s K s

Για j s = είναι: 08623 =++−− K Kj K j ω ω ω ή 0)6()8( 22 =−+− ω ω ω K j K ,

οπότε πρέπει: 82 =ω και 26 ω = K , άρα: 8.20 = , 35.10 = K .

Γωνίες εξόδου (για 0> K ) και εισόδου (για 0< K ) στον πολλαπλό πόλο 03,2,1 = p :

Για 0> K : ο φ φ φ 180)(321

=+− z z p ,ο φ φ 0

21== z z άρα ο

ο

φ 603

180== p

Για 0< K : ο φ φ φ 360)(321 =+− z z p , ο φ φ 0

21 == z z άρα ο

ο

φ 1203

360 == p .

Σύστηµα ευσταθές για 35.1> K και ασταθές για κάθε 35.1< K .



3. 8

Παράδειγµα 3: ∆ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς:1

)4)(2()(

−

++=

s

s s sG .

Μία ασύµπτωτος: ο ο ο

λ λ λ φ 1801

180180ασ. ⋅−=

−=

−=

mn,

δηλαδή για 0> K ο φ 180ασ. −= και για 0< K ο φ 0ασ. = .


ds

sdG, οπότε 0)86()1)(62( 2 =++−−+ s s s s

ή 01422 =−− s s . Οπότε:⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

<=

09.2

09.42,1.διακ

K

K s

για

για .


Χαρακτηριστική εξίσωση: 018)16()86()1( 22 =−+++=+++− K s K Ks s s K s

Για j s = είναι:

018)16(2 =−+++− K j K K ω ω ή 0)16()18( 2 =++−+− K j K K ω ω ,

οπότε πρέπει: 0)16( =+ K και 182 −= K K ω , άρα: 001 = , 125.001 = K ή

17.002 −= K και 9.13182 =

−=

K

K ω άρα 7.302 =ω .

Σύστηµα ευσταθές για 125.0> K και 17.0−< K

και ασταθές για κάθε 125.017.0 <<−

K .

3_topos_rizon

Documents