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Sistemas dinamicos
Formas canonicas de sistemas LTI
1
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Contenido
1. La forma canonica diagonal
2. Transformacion de coordenadas y controlabilidad
3. Transformacion de coordenadas y observabilidad
4. Descomposicion canonica controlable
5. Descomposicion canonica observable
6. Descomposicion canonica
2
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LA FORMA CANONICA DIAGONAL
3
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La forma canonica diagonal
Sean 1, 2, + j, y j los valores propios de A y v1, v2, v3, v4, los vectores propios
correspondientes. Definiendo . Entonces
tenemos
4
1 2 3 4V v v v v
1
2 1
0 0 0
0 0 0:
0 0 0
0 0 0
J V AVj
j
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La forma canonica diagonal
Aplicando la siguiente transformacion de similaridad a la matriz diagonal J
5
1A T JT1
1 0 0 0
0 1 0 0:
0 0 1 1
0 0
T
j j
1
2
0 0 0
0 0 0:
0 0
0 0
A
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TRANSFORMACION DE COORDENADAS Y CONTROLABILIDAD
6
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Cambio de coordenadas y controlabilidad
Sea el par (A,B) controlable
7
2 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆnQ B AB A B A B
1 2 1 1 1nTB TAT TB TA T TB TA T TB
2 1nT B AB A B A B
Q TQ
La controlabilidad es una propiedad invariante frente al cambio de coordenadas
Rango completo
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La clase de los los sistemas controlables
Se sabe que para todo par (A,B) controlable entonces la matriz de controlabilidad Q es de rango completo.
8
2 1, nQ A B B AB A B A B
La respuesta es SI
¿Existe una forma simple unica que represente a todos los sistemas controlables?
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Forma canonica del controlador
Si el par (A,B) es controlable entonces existe una transformacion de coordenadas T con la propiedad
9
0 1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1C
n
A
0
0
0
1
CB
1CA TAT
CB TB
1CC CT
CD D
como se demuestra a continuacion
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Forma canonica del controlador
En virtud de la suposicion de controlabilidad, la matriz de controlabilidad Q es no singular y entonces existe un unico vector fila h el cual resuelve la ecuacion lineal
10
1, , , nQ B AB A B 0, ,0,1hQ
0ihA B 20 ni
1 1nhA B
10, ,0,1h Q
,
1, , , nhB hAB hA B
0, ,0,1
1, , , nhQ h B AB A B
con
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Forma canonica del controlador
Definiendo la matriz no singular
11
1n
h
hAT
hA
Para demostrar que T es una matriz no singular, observese la matriz nn
1
1
, , , n
n
h
hAN TQ B AB A B
hA
2 1
2 1
2 1 2 4 2 3
1 2 3 2 2
n n
n n
n n n n
n n n n
hB hAB hA B hA B
hAB hA B hA B hA B
hA B hA B hA B hA B
hA B hA B hA B hA B
0 0 0 1
0 0 1 *
0 1 * *
1 * * *
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Forma canonica del controlador
Ya que por suposicion Q es no singular, entonces T es tambien no singular y z = Tx es una transformacion de coordenadas lineal
12
1T NQ1n
hx
hAxz
hA x
Txz
1 2z h x hAx hBu hAx z
2 1 2 11
n n n nn nz hA x hA x hA Bu hA x z
1n n nnz hA x hA Bu hA x u
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Forma canonica del controlador
13
11 0det n n
nsI A s s
11 1 0
n nnA A A I
Por el teorema de Caley-Hamilton
Sea el polinomio caracteristico de la matriz A:
11 1 0
n nnhA x hA x hAx hx
zz
n
1210
1000
0100
0010
u
1
0
0
0
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¿Pero que nos dice realmente esta estructura?–Bien, definamos una variable escalar x = x1 y con,
–Entonces, notamos que,
Forma canonica del controlador
14
1 2x x x
x Ax bu
1 2 3x x x x
10 1 1
n nn nx x x x x u
La ecuacion matricial se reduce a la ecuacion escalar
11 1 0
n nnx t x t x t x t u t
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ESTO ES IMPORTANTE
Entonces, cuando estudiamos el sistema lineal SISO controlable podemos hacer siempre un cambio de coordenadas que convierta al sistema en uno de orden n cuya variable de estado es un escalar
Tambien es claro que si, en forma inversa, uno comienza con un sistema escalar de orden n uno puede llevarlo a la forma (A,B,C,D) con el par (A,B) en la forma canonica del controlador.
15
sistema escalar de orden n (A,B,C,D)
sistema escalar de orden n (A,B,C,D)
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Otras formas canonicas controlables
Existen otras formas canonicas alternativas para el par controlable (A,B).
» La forma canonica de controlabilidad o forma canonica primera de Luenberger-Brunovsky:
16
0
1
2
1
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 1
C
n
n
A
1
0
0
0
CB
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Otras formas canonicas controlables
Investigar otras formas canonicas alternativas para el par controlable (A,B).
17
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TRANSFORMACION DE COORDENADAS Y OBSERVABILIDAD
18
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Cambio de coordenadas y observabilidad
Sea el par (A,C) observable
19
1O OT
La observabilidad una propiedad invariante frente al cambio de coordenadas
Rango completo
1 1
1 1 1
11 2 1 2 1
1 1 1 1 1
ˆ
n n
CT CT
CT TAT CAT
O OTCT TA T CA T
CT TA T CA T
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Forma canonica del observador
Si el par (A,C) es observable entonces existe una transformacion de coordenadas T con la propiedad
20
0
1
2
1
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 1
O
n
n
A
0 0 0 1OC
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Manipulando las ecuaciones del sistema en la forma canonica del observador es posible llegar a la siguiente expresion:
Asi, un sistema observable puede ser llevado a la forma de una ecuacion diferencial para la salida en terminos de la entrada y sus derivadas.
Forma canonica del observador
21
1 1 1 11 1 0 1 1 0
n n n nn n ny y y y b u b u b u b u
donde bn esta definido por D = [bn].
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Otras formas canonicas observables
» Una forma alterna de la forma canonica del par observable (A,C) es la forma canonica de observabilidad o forma canonica primera de Luenberger-Brunovsky.
22
0 1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1O
n
A
1 0 0 0OC
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Otras formas canonicas observables
Investigar otras formas canonicas alternativas para el par observable (A,C).
23
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DESCOMPOSICION CANONICA CONTROLABLE
24
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Descomposicion canonica controlable
Si el par (A,B) no es controlable, entonces existe una matriz invertible T y un entero positivo p < n, con la propiedad de que
25
11p pA R
12p n pA R
22n p n pA R 1
p mB R
11 12 1
220 0c c
c c
x xA A Bu
x xA
1 2c
c
xy C C Du
x
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Descomposicion canonica controlable
Sea rank[Q] = p < n, y sean:
» U1 una matriz de nxp cuyas columnas formen una base para el espacio columna de Q , y
» U2 una matriz nx(n-p) cuyas columnas con las de U1 formen
una base para Rn, es decir el espacio columna de [U1 U2] = Rn.
Sea la transformacion de estado [U1 U2]z = x,
26
1 2[ ]U U A B z x x u
1 2[ ]A U U B z u
1 2[ ]AU AU B z u Demostracion
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Descomposicion canonica controlable
Por construccion, U1 es A-invariante, y [U1 U2] es una base en Rn, entonces, existen matrices , tal que
Por lo tanto,
27
12
~A 22
~A
1 1 11AU U A 122 1 2 1 12 2 22
22
AAU U U U A U A
A
uzz BUUA
AA 121
22
1211~
0
~~
Demostracion
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Descomposicion canonica controlable
Por construccion, U1 contiene a B, entonces, existe una matriz B1 pxm tal que B = U1B1 o,
Por lo tanto,
28
11 11 2 1 20 0
B BB U U U U B
111 12
2200
BA A
A
z z u
LQQD
Forma controlable de Kalman
/51
El subsistema controlable
El subsistema:
es controlable. Es decir,
29
11 11 1 11 1[ ]prank B A B A B p
11 1c cx A x B u t
1 cy C x Du
11p pA R
Esto resulta de la forma como se construyeron las matrices A11 y B1
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La funcion de transferencia
La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema controlable
30
1 11 11 1H s C sI A B D C sI A B D
Esto implica que solo el subsistema controlable afecta la relacion de entrada-salida (IO) del sistema original
/51
La funcion de transferencia
31
Demostracion: La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema controlable
11
1111 12
122 22
0 0
sI A MsI A A
sI A sI A
1 111 12 22( ) ( )s s M I A A I A
1
11 12 11 2
220 0
sI A A BC C D
sI A
1
11 11 2 1
2200
sI A M BC D
sI A
C
11 11 1( )C sI A B D
Demostracion
/51
Ejemplo
32
1 1 0 0 1
0 1 0 1 0 , 1 1 1
0 1 1 0 1
x x u y x
0 1 1 1
1 0 1 0 2 3
0 1 1 1
Q
1
0 1 1
1 0 0
0 1 0
T
2Q B AB A B
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Ejemplo
33
111 1
11
1 0 0 1 0
1 1 0 , 0 1
0 0 1 0 0
1 2 1
A T T B TB
C CT
A
1 0 1 0, 1 2
1 1 0 1C C Cx x u y x
Esta ecuación es controlable y tiene la misma matriz de transferencia
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DESCOMPOSICION CANONICA OBSERVABLE
34
/51
Descomposicion canonica observable
Si el par (A,C) no es observable, entonces existe una matriz invertible T y un entero positivo p < n, con la propiedad de que
35
11p pA R
12p n pA R
22n p n pA R 1
p mB R
11 1
21 22 2
0o o
o o
x xA Bu
x xA A B
1 0 o
o
xy C Du
x
/51
El subsistema observable
El subsistema:
es observable. Es decir,
36
11 1 11 1 11[ ]p Trank C C A C A p
11 1o ox A x B u
1 oy C x Du
11p pA R
Esto se puede deducir de la dualidad Demostracion
/51
La funcion de transferencia
La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema observable
37
1 11 11 1H s C sI A B D C sI A B D
Esto implica que solo el subsistema observable afecta la relacion de entrada-salida (IO) del sistema original
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DESCOMPOSICION CANONICA
38
/51
Descomposicion canonica
Idea:
» Aplicar la descomposición controlable
» Aplicar la descomposición observable al subsistema controlable
» Aplicar la descomposición observable al subsistema no controlable
Sistema:
39
uxy
uxx
DC
BA
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Primer paso
Aplicar la descomposición controlable
40
11 12 1
220 0c c
c c
x xA A Bu
x xA
1 2c
c
xy C C Du
x
/51
Paso 2
Aplicar la descomposición observable al subsistema controlable
41
121
21 122
0
0 0 0
co co co co
co c co co co
c c c
x A A x B
x A A A x B u
x A x
0co
co c co
c
x
y t C C x Du
x
/51
Paso 3
Aplicar la descomposición observable al subsistema no controlable
42
121
21 123 124
21
0 0
0 0 0 0
0 0 0
co co co co
co c co co co
co co co
co c co co
x A A x B
x A A A A x Bu
x A x
x A A x
0 0
co
coco co
co
co
x
xy C C Du
x
x
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La descomposicion canonica
Propiedades de la descomposicion canonica:
» El sistema es controlable y observable
»
» Las dimensiones de los bloques no cambian
» Las propiedades de los modos no cambian
43
, ,co co coA B C
1co co coH s C sI A B D
/51
La descomposicion canonica
44
CO
CO
C O
C O
u t
y t
121
21 123 124
21
0 0
0 0 0 0
0 0 0
co co co co
co c co co co
co co co
co c co co
x A A x B
x A A A A x Bu
x A x
x A A x
0 0
co
coco co
co
co
x
xy C C Du
x
x
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La descomposicion canonica
45
uxy
uxx
DC
BA
G(s) es invariante bajo la transformacion de estado del subsistema controlable y obserbable
1
1co co co
s s
s
G C I A B D
C I A B D
2)
1)
Resumen
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La descomposicion canonica
46
Los subsistemas controlable y observable son la esencia de la dinamica del sistema
3)
4)
Resumen
es el descriptor de orden minimo de la funcion de transferencia , , ,co co coA B C D
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Fuentes
A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml
Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007
Marino and Tomei, “Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive, & Robust”, Prentice-Hall, 1995.
47
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FIN
48