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功 与 能功 与 能第四章第四章
§1 、 §1 、 动能定理一、动能 Ek
1. 恒力的功F Δr= .
F F
Δr
二、功 A
Ek =12
mv2 状态量、标量。
功是力的空间累积效应过程量、标量。
单位: J
单位: J
ΔrA =F cos
.F drA =
2. 变力的功
元功:
.F= ds= .F drdA
= F cosds
drF
F= ds cos
F cos
sdso
示功图
F
1 2ss
取 ds足够小,在这段位移内力的变化可略,即 F 恒定。
寻找 : F = f1(s), = f2(s).
dzdyFx Fz= +dx Fy+
合力的功等于各分力功之和。
dzdx ddr i j k= ++ y
=A F dr.dz++Fx dx Fy dy Fz=
dA = F . dr而:
.F drA = F= ds cos
k又: Fx=F Fy+i Fzj +
dz++Fx dx Fy dy Fz=
功的几何意义:
功在数值上等于示功图曲线下的面积。
3. 功率平均功率 : ΔA=N Δt
瞬时功率 : =NΔΔ
Δ
At tlim
0= dA
dt = F dr.dt
.= F v
F (s)
sds
o
示功图
F
1 2ss
sA = F (s) dss 1
2
三、动能定理
= 1 2
2 21m mvv 2
0
.F drA = F= ds cosmat ds=Ft ds=
m ds= dtdv mv dv=
= Ek2 Ek1 = ΔEk
合力的功 = 力的作用前后动能的增量A = ΔEk
功是能量交换、变化的一种量度,功是过程量,与能量变化的结果相联系。
drF
[ 例 1][ 例 1] 如图,当质点从 A 点沿逆时针方向走过 3/4 圆周到达 B 点,重力作多少功?解:
=A F dr.A
B
+Fx dx Fy dy= A A
B B
=-mgR Fy dy=
A
B
·A
B· ·R
从 H 深的井中把 m kg 的水匀速地提上来。但每升高 1m ,漏水 k kg,把水提到井口,作功为多少?
[ 例 2][ 例 2]
解: ∵ 匀速 ∴ T = m’gA = Tdh
= mgH - kgH212
= (m - kh )g dhH
0
m’g
T
势能
mg dy==( +mg j ).(dxi dy j )
yy= ( )abmg mg
dA dr=G.
y
xo
y ya
ab
b
dr
G
一、保守力的功
mg dy=A
1. 重力的功
若物体从 a 出发经任意路径回到 a 点,则有 :A dr= G. = 0
在重力场中,物体沿任意闭合路径一周,重力所作的功为零。
§2、§2、
保守力的定义:
dsF . = 0或:若则 F 为保守力。
若 F 对物体所作的功决定于始末位置而与路径无关,则称 F 为保守力。
:沿任意闭合路径积分.
由动能定理 A = k
得到: 功是能量交换、变化的一种量度,而保守力所作的功只取决于始末位置,说明该能量只与位置有关,称为位能即势能。
∴ 只有保守力才能引入势能的概念。
保守力的功等于系统势能增量的负值。
pΔ E=pb pa( )= EE a b yy )A 保= mgmg(
∴ 重力是保守力A dr= G. = 0∵
A 保 pE=
2. 弹性力的功F kx=
kx dx=Fdx=dAkx= ab( )1
221 kx 2 2
= E pΔ
x
自然长度弹簧
x
F
o
kx dx= b
a A x
x
Epa = kx21 2
a
pb pa= ( )EEA 保
∴ 弹性力是保守力A dr= F 弹
. = 0∵
3. 万有引力的功
=dA F dr .
MmrG= 3 r dr
MmGA 2= rr
a
b drr
))( (=ab
GMmGMmrr
MmrG r= 3 dr .
r
a
b
r
dr
F
太阳
地球M
mr
a
b
θ
dr
r dr.
= r dr∴ 万有引力是保守力A dr= F 万
. = 0∵ = r dr cos
pb pa )(= EEA 保))( (=
ab
GMmGMmrr
= E pΔ
则: a 点的势能为:
paE = GMmra
保守力所的功 = 系统势能增量的负值。
A 保 pE=
则 a 点的势能为: 物体在 a 点的势能等于将物体从该点移到
零势能处保守力所作的功。
Epa dr= a F.(0)
A 保 pΔ E=Epbdr =a F.
bEpa )(
Epa dr= a F. b + Epb
若取 Epb = 0Epa dr= a F. b
讨论:
3. 势能是物体位置的单值函数。2. 保守力才有势能的概念。1. 势能为系统所有。
A A A非保内外 保内 = Ekb Eka++
质点的动能定理:
将动能定理推广到质点系 :
A A外 内+A = = A A A非保内外 保内++
功能原理
A papb EE= )(保内∵
F F外 内+F : :F F F非保内外 保内++
二、二、
A = Ekb Eka
A A非保内外 = Ekb Eka+ papb EE )(
系统的功能原理:
A papb EE= )(保内∵
A+A 外 非保内 = E
A A A非保内外 保内 = Ekb Eka++
kakb EEE E= ( )+ pb ( + )paA A非保内外 += E
一、机械能守恒定律:
=若: AA 非保内外 + 0E ==+则: EEE kbpb kapa+ C
机械能守恒定律 : 如果一个系统只有保守内力作功,则系统的总机械能保持不变。
机械能守恒定律
或:如果外力和非保守内力所的功之和为零,则系统的总机械能保持不变。
A kakb EEE E= ( )++A 外 非保内 pb ( + )pa由
动能和势能之间可相互相转换,但总量不变。
§3 、§3 、
或: Ek + Ep = 0
由动能定理 A = k
二、能量守恒定律 (孤立系统)
A 、功是能量交换、变化的一种量度,功是过程量,与能量变化的结果相联系。
B 、无功则能量不生不灭,但能互相转换 。
= A A A非保内外 保内++A = k
找到 A pE= 保内
得 E + EA =+A 外 非保内 pk
通过对力和功的分解
应能找到 A 非保内 = U可得 E + E= U +A 外 pk
由 E + EA =+A 外 非保内 pk
则:当 A 外 = 0 时(系统不与外界交换能量)
得: U +Ek + Ep = 0 即: U + Ek + Ep = 常量
得:孤立系统各能量之间可相互相转换但总量不变。
重力势能 Ep = mgh
求:弹簧为平衡位置物体的动能为 Ek0
取弹簧原长位置为零势能位置
设:弹簧为任意位置物体的动能为 Ek
f0 = - kx0 = - mg sin
∵ 只有保守内力作功 ∴机械能守恒 = Ek+ kx - mgxsin 1
22Ek0 + kx - mgx0sin 1
220
弹性势能 Ep = kx21 2
Ek 0 = Ek + kx – kxx0 + kx12 0
2 212
o
x
弹簧自然长度
弹簧平衡长度
x0m
弹簧任意长度
x0 xm
弹簧任意长度
o
xx0 x
m
Ek 0 = Ek + kx – kxx0 + kx12 0
2 212
Ek 0 = Ek + k (x–x0 )12
2
Ek 0 = Ek + Ep 弹
x–x0 : 离开平衡位置位移
若 将弹簧的平衡位置设为坐标原点和零注意:式中无重力势能项 .
重力势能隐含于弹性势能中。势能点,机械能守恒式中不再有重力势能项。
设地球半径为 R 。一质量为 m 的物体,从静止开始在距地面 R 处自由下落。 求:它到达地球表面时的速度。解: GMm=E pa R2
GMm=E pb R
由机械能守恒定律:
GM=vR
GMmGMmR 2
2
21=+R 0 + mv M
R
R
ma
b地球
[ 例 1 ][ 例 1 ]
设两个粒子之间相互作用力为排斥力,其大小与它们之间的距离 r 的函数关系为:f = k/r4 , 试求两个粒子相距为 r 时的势能 ( 设相互作用为零的地方势能为零 ) 。解:
[ 例 2 ][ 例 2 ]
当 r →∞ 时 , f = 0
dr= r kr -4∞
Ep dr= r f .∞
= kr -3r
∞
31
= 3r3k
如图,已知: M 、 m 、 h 、 ,试求:由静止开始从 运动到 时小车的速率。
[ 例 3 ][ 例 3 ]
M
m
h
s
l 解:∵∴
mgH = mv2+ MV221
21
H = -sin
hsin
h
=s h22 + l 2 =s sd l ldtd td
M
mH v
V
v = Hdtd = l d
tdsl
= s dtd
= cos2·V
……
[ 例 4][ 例 4] 如图所示,质量为 m 与 M 的两木块,与弹簧接触,现用两木块将弹簧压缩 l 距离然后由静止释放 , 求两木块的最大动能。
m Mv Vk解: ∵ F = 0
∴ P = 0∵只有弹力作功 ∴ E = 0
mv + MV = 012 kx2 1
2 mv212 MV2= +
……
( 极为短暂时间的相互作用 )
选择系统,使 F 冲力为内力,其他力均可略
即:碰撞期间动量守恒
、碰撞
解方程缺条件
∵ F = 0 ∴ P = 0
m1 m2
v10 v20
m1 m2
v1 v2F2F1
碰撞期间
m1v1 + m2v2 = m1 v10 + m2 v20
§4§4
完全非弹性碰撞 Ek < 0
m1v1 + m2v2 = m1 v10 + m2 v20
分类: 弹性碰撞 Ek = 0非弹性碰撞 Ek < 0
碰撞后物体一起运动
Ek = 0
( m1+ m2 )v = m1v10 + m2v20
即:弹性碰撞
完全非弹性碰撞
已知子弹质量是 m ,木块质量是 M ,弹簧的倔强系数是 k ,子弹射入木块后,弹簧被压缩的距离为 s ,求子弹的速度。设木块与平面间的滑动摩擦系数为。
[ 例 1][ 例 1]
M
mv
解: ∵ m 和 M 碰撞
∵有摩擦∴ 用功能原理
∴p = 0
A+A 外 非保内 = Emv = (m+M )V
-(m+M )gs = ks2 - (m+M )V221
21
[ 例 2][ 例 2] p129-4-10 质量为 m1 和 m2 的物体同倔强系
数为 k 的弹簧连结,安放在光滑的水平面上,弹簧开始处在自由长度。现有一质量为 m3 的子弹以速度 v 沿弹簧长度方向水平射入 m1 物体内,求弹簧最大压缩量。
m2 m1
m3
v解: ∵ m1 和 m3 碰撞
m3v = (m1+ m3 )v1
∵有弹簧 ∴E2 = 0弹簧最大压缩时,物体速度相同
∴p1 = 0
∴p2 = 0以后∵ F 外 = 0
m3v = (m1+ m3 )v1
(m1+ m3 )v1 = (m1+ m2 + m3 )v2
(m1+m3)v1 = (m1+m2+m3)v2+ kx12
12
12
22 2
m2 m1
m3
v
x = m3v — 2
1
k (m1+m2+m3)1
k (m1+m3)1
[ 3][ 3]F AB
F ≠ 0
M = 0 , L = 0 L = r mv LA = LB , EkA < EkB [ E ]
保守力的定义: dsF . = 0若: 则称 F 为保守力。
A 保 pΔE=
则 a 点的势能为:Epa dr= a F.(0)
系统的功能原理:
=若: AA 非保内外 + 0E ==+则: EEE kbpb kapa+ C
A kakb EEE E= ( )++A 外 非保内 pb ( + )pa = E