功 与 能功 与 能第四章第四章

§1 、 §1 、 动能定理一、动能 Ek

1. 恒力的功F Δr= .

F F

Δr

二、功 A

Ek =12

mv2 状态量、标量。

功是力的空间累积效应过程量、标量。

单位： J

单位： J

ΔrA =F cos

.F drA =

2. 变力的功

元功：

.F= ds= .F drdA

= F cosds

drF

F= ds cos

F cos

sdso

示功图

F

1 2ss

取 ds足够小，在这段位移内力的变化可略，即 F 恒定。

寻找 : F = f1(s), = f2(s).

dzdyFx Fz= +dx Fy+

合力的功等于各分力功之和。

dzdx ddr i j k= ++ y

=A F dr.dz++Fx dx Fy dy Fz=

dA = F . dr而：

.F drA = F= ds cos

k又： Fx=F Fy+i Fzj +

dz++Fx dx Fy dy Fz=

功的几何意义：

功在数值上等于示功图曲线下的面积。

3. 功率平均功率 : ΔA=N Δt

瞬时功率 : =NΔΔ

Δ

At tlim

0= dA

dt = F dr.dt

.= F v

F (s)

sds

o

示功图

F

1 2ss

sA = F (s) dss 1

2

三、动能定理

= 1 2

2 21m mvv 2

0

.F drA = F= ds cosmat ds=Ft ds=

m ds= dtdv mv dv=

= Ek2 Ek1 = ΔEk

合力的功 = 力的作用前后动能的增量A = ΔEk

功是能量交换、变化的一种量度，功是过程量，与能量变化的结果相联系。

drF

[ 例 1][ 例 1] 如图，当质点从 A 点沿逆时针方向走过 3/4 圆周到达 B 点，重力作多少功？解：

=A F dr.A

B

+Fx dx Fy dy= A A

B B

=-mgR Fy dy=

A

B

·A

B· ·R

从 H 深的井中把 m kg 的水匀速地提上来。但每升高 1m ，漏水 k kg，把水提到井口，作功为多少？

[ 例 2][ 例 2]

解： ∵ 匀速 ∴ T = m’gA = Tdh

= mgH - kgH212

= (m - kh )g dhH

0

m’g

T

势能

mg dy==( +mg j ).(dxi dy j )

yy= ( )abmg mg

dA dr=G.

y

xo

y ya

ab

b

dr

G

一、保守力的功

mg dy=A

1. 重力的功

若物体从 a 出发经任意路径回到 a 点，则有 :A dr= G. = 0

在重力场中，物体沿任意闭合路径一周，重力所作的功为零。

§2、§2、

保守力的定义：

dsF . = 0或：若则 F 为保守力。

若 F 对物体所作的功决定于始末位置而与路径无关，则称 F 为保守力。

：沿任意闭合路径积分．

由动能定理 A = k

得到： 功是能量交换、变化的一种量度，而保守力所作的功只取决于始末位置，说明该能量只与位置有关，称为位能即势能。

∴ 只有保守力才能引入势能的概念。

保守力的功等于系统势能增量的负值。

pΔ E=pb pa( )= EE a b yy )A 保= mgmg(

∴ 重力是保守力A dr= G. = 0∵

A 保 pE=

2. 弹性力的功F kx=

kx dx=Fdx=dAkx= ab( )1

221 kx 2 2

= E pΔ

x

自然长度弹簧

x

F

o

kx dx= b

a A x

x

Epa = kx21 2

a

pb pa= ( )EEA 保

∴ 弹性力是保守力A dr= F 弹

. = 0∵

3. 万有引力的功

=dA F dr .

MmrG= 3 r dr

MmGA 2= rr

a

b drr

))( (=ab

GMmGMmrr

MmrG r= 3 dr .

r

a

b

r

dr

F

太阳

地球M

mr

a

b

θ

dr

r dr.

= r dr∴ 万有引力是保守力A dr= F 万

. = 0∵ = r dr cos

pb pa )(= EEA 保))( (=

ab

GMmGMmrr

= E pΔ

则： a 点的势能为：

paE = GMmra

保守力所的功 = 系统势能增量的负值。

A 保 pE=

则 a 点的势能为： 物体在 a 点的势能等于将物体从该点移到

零势能处保守力所作的功。

Epa dr= a F.(0)

A 保 pΔ E=Epbdr =a F.

bEpa )(

Epa dr= a F. b + Epb

若取 Epb = 0Epa dr= a F. b

讨论：

3. 势能是物体位置的单值函数。2. 保守力才有势能的概念。1. 势能为系统所有。

A A A非保内外 保内 = Ekb Eka++

质点的动能定理：

将动能定理推广到质点系 :

A A外 内+A = = A A A非保内外 保内++

功能原理

A papb EE= )(保内∵

F F外 内+F ： ：F F F非保内外 保内++

二、二、

A = Ekb Eka

A A非保内外 = Ekb Eka+ papb EE )(

系统的功能原理：

A papb EE= )(保内∵

A+A 外 非保内 = E

A A A非保内外 保内 = Ekb Eka++

kakb EEE E= ( )+ pb ( + )paA A非保内外 += E

一、机械能守恒定律：

=若： AA 非保内外 + 0E ==+则： EEE kbpb kapa+ C

机械能守恒定律 : 如果一个系统只有保守内力作功，则系统的总机械能保持不变。

机械能守恒定律

或：如果外力和非保守内力所的功之和为零，则系统的总机械能保持不变。　

A kakb EEE E= ( )++A 外 非保内 pb ( + )pa由

动能和势能之间可相互相转换，但总量不变。

§3 、§3 、

或： Ek + Ep = 0

由动能定理 A = k

二、能量守恒定律 （孤立系统）

A 、功是能量交换、变化的一种量度，功是过程量，与能量变化的结果相联系。

B 、无功则能量不生不灭，但能互相转换 。

= A A A非保内外 保内++A = k

找到 A pE= 保内

得 E + EA =+A 外 非保内 pk

通过对力和功的分解

应能找到 A 非保内 = U可得 E + E= U +A 外 pk

由 E + EA =+A 外 非保内 pk

则：当 A 外 = 0 时（系统不与外界交换能量）

得： U +Ek + Ep = 0 即： U + Ek + Ep = 常量

得：孤立系统各能量之间可相互相转换但总量不变。

重力势能　 Ep = mgh

求：弹簧为平衡位置物体的动能为 Ek0

取弹簧原长位置为零势能位置

设：弹簧为任意位置物体的动能为 Ek

f0 = - kx0 = - mg sin

∵ 只有保守内力作功 ∴机械能守恒 = Ek+ kx - mgxsin 1

22Ek0 + kx - mgx0sin 1

220

弹性势能 Ep = kx21 2

Ek 0 = Ek + kx – kxx0 + kx12 0

2 212

o

x

弹簧自然长度

弹簧平衡长度

x0m

弹簧任意长度

x0 xm

弹簧任意长度

o

xx0 x

m

Ek 0 = Ek + kx – kxx0 + kx12 0

2 212

Ek 0 = Ek + k (x–x0 )12

2

Ek 0 = Ek + Ep 弹

x–x0 : 离开平衡位置位移

若 将弹簧的平衡位置设为坐标原点和零注意：式中无重力势能项 .

重力势能隐含于弹性势能中。势能点，机械能守恒式中不再有重力势能项。

设地球半径为 R 。一质量为 m 的物体，从静止开始在距地面 R 处自由下落。 求：它到达地球表面时的速度。解： GMm=E pa R2

GMm=E pb R

由机械能守恒定律：

GM=vR

GMmGMmR 2

2

21=+R 0 + mv M

R

R

ma

b地球

[ 例 1 ][ 例 1 ]

设两个粒子之间相互作用力为排斥力，其大小与它们之间的距离 r 的函数关系为：f = k/r4 ， 试求两个粒子相距为 r 时的势能 ( 设相互作用为零的地方势能为零 ) 。解：

[ 例 2 ][ 例 2 ]

当 r →∞ 时 , f = 0

dr= r kr -4∞

Ep dr= r f .∞

= kr -3r

∞

31

= 3r3k

如图，已知： M 、 m 、 h 、 ，试求：由静止开始从 运动到 时小车的速率。

[ 例 3 ][ 例 3 ]

M

m

h

s

l 解：∵∴

mgH = mv2+ MV221

21

H = －sin

hsin

h

=s h22 + l 2 =s sd l ldtd td

M

mH v

V

v = Hdtd = l d

tdsl

= s dtd

= cos2·V

……

[ 例 4][ 例 4] 如图所示，质量为 m 与 M 的两木块，与弹簧接触，现用两木块将弹簧压缩 l 距离然后由静止释放 , 求两木块的最大动能。

m Mv Vk解： ∵ F = 0

∴ P = 0∵只有弹力作功 ∴ E = 0

mv + MV = 012 kx2 1

2 mv212 MV2= +

……

( 极为短暂时间的相互作用 )

选择系统，使 F 冲力为内力，其他力均可略

即：碰撞期间动量守恒

、碰撞

解方程缺条件

∵ F = 0 ∴ P = 0

m1 m2

v10 v20

m1 m2

v1 v2F2F1

碰撞期间

m1v1 + m2v2 = m1 v10 + m2 v20

§4§4

完全非弹性碰撞 Ek ＜ 0

m1v1 + m2v2 = m1 v10 + m2 v20

分类： 弹性碰撞 Ek = 0非弹性碰撞 Ek ＜ 0

碰撞后物体一起运动

Ek = 0

( m1+ m2 )v = m1v10 + m2v20

即：弹性碰撞

完全非弹性碰撞

已知子弹质量是 m ，木块质量是 M ，弹簧的倔强系数是 k ，子弹射入木块后，弹簧被压缩的距离为 s ，求子弹的速度。设木块与平面间的滑动摩擦系数为。

[ 例 1][ 例 1]

M

mv

解： ∵ m 和 M 碰撞

∵有摩擦∴ 用功能原理

∴p = 0

A+A 外 非保内 = Emv = (m+M )V

-(m+M )gs = ks2 - (m+M )V221

21

[ 例 2][ 例 2] p129-4-10 质量为 m1 和 m2 的物体同倔强系

数为 k 的弹簧连结，安放在光滑的水平面上，弹簧开始处在自由长度。现有一质量为 m3 的子弹以速度 v 沿弹簧长度方向水平射入 m1 物体内，求弹簧最大压缩量。

m2 m1

m3

v解： ∵ m1 和 m3 碰撞

m3v = (m1+ m3 )v1

∵有弹簧 ∴E2 = 0弹簧最大压缩时，物体速度相同

∴p1 = 0

∴p2 = 0以后∵ F 外 = 0

m3v = (m1+ m3 )v1

(m1+ m3 )v1 = (m1+ m2 + m3 )v2

(m1+m3)v1 = (m1+m2+m3)v2+ kx12

12

12

22 2

m2 m1

m3

v

x = m3v — 2

1

k (m1+m2+m3)1

k (m1+m3)1

[ 3][ 3]F AB

F ≠ 0

M = 0 , L = 0 L = r mv LA = LB , EkA < EkB [ E ]

保守力的定义： dsF . = 0若： 则称 F 为保守力。

A 保 pΔE=

则 a 点的势能为：Epa dr= a F.(0)

系统的功能原理：

=若： AA 非保内外 + 0E ==+则： EEE kbpb kapa+ C

A kakb EEE E= ( )++A 外 非保内 pb ( + )pa = E