Prof.ssa Paola Zuccolotto - Statistica - Indici di variabilità
Scostamenti medi
Gli scostamenti medi sono indici basati sulladifferenza tra i valori della distribuzione euna media.
Poichè le differenze tra i valori e una mediasono positive e negative, tipicamentevengono considerate in valore assoluto oelevate al quadrato.
Si possono calcolare solo se il carattere èquantitativo.
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Scostamenti medi
Gli scostamenti medi differiscono a secondadel trattamento delle differenze e a secondadella media utilizzata. I più comuni sono
Tipo di media Mediana Media aritmetica
Trattamento differenze
valore assoluto scostamento medio assoluto dalla mediana
scostamento medio assoluto dalla media
elevamento al quadrato - scarto quadratico medio
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Scostamento medio dalla mediana
∑ −= MexN
1S iMe
iiMe fMexS ⋅−= ∑
iiMe nMexN
1S ⋅−= ∑
semplice
ponderato
Scostamento medio dalla mediana
Ricordiamo la tabella relativa agli 11 vini«Dolcetto» presenti nel datasetAltroconsumo, descritti secondo trecaratteri.
Denominazione Analisi totTitolo alcolometrico
(% vol)
Zuccheri riduttori
(g/l)
Den Val_chim Grado Chim1
Dolcetto1 7 12.50 3.4
Dolcetto2 9 13.00 2.8
Dolcetto3 8 12.5 2.2
Dolcetto4 8 12.5 2.7
Dolcetto5 9 13 2.5
Dolcetto6 9 12.5 2.1
Dolcetto7 8 12.5 2.2
Dolcetto8 9 12 2.3
Dolcetto9 8 12 5.7
Dolcetto10 8 12.5 5.3
Dolcetto11 8 13.5 1.7
Scostamento medio dalla mediana
Nelle lezioni precedenti avevamo calcolatola mediana del carattere Grado, che erarisultata pari a Me=12.5
Denominazione Analisi totTitolo alcolometrico
(% vol)
Zuccheri riduttori
(g/l)
Den Val_chim Grado Chim1
Dolcetto1 7 12.50 3.4
Dolcetto2 9 13.00 2.8
Dolcetto3 8 12.5 2.2
Dolcetto4 8 12.5 2.7
Dolcetto5 9 13 2.5
Dolcetto6 9 12.5 2.1
Dolcetto7 8 12.5 2.2
Dolcetto8 9 12 2.3
Dolcetto9 8 12 5.7
Dolcetto10 8 12.5 5.3
Dolcetto11 8 13.5 1.7
Scostamento medio dalla mediana
Ora calcoliamo lo scostamento medio dallamediana per il carattere Grado.
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Denominazione Titolo alcolometrico
(% vol)
Den Grado Grado - Me |Grado - Me|
Dolcetto1 12.5 0 0
Dolcetto2 13 0.5 0.5
Dolcetto3 12.5 0 0
Dolcetto4 12.5 0 0
Dolcetto5 13 0.5 0.5
Dolcetto6 12.5 0 0
Dolcetto7 12.5 0 0
Dolcetto8 12 -0.5 0.5
Dolcetto9 12 -0.5 0.5
Dolcetto10 12.5 0 0
Dolcetto11 13.5 1 1
Scostamento medio dalla mediana
Ora calcoliamo lo scostamento medio dallamediana per il carattere Grado.
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Denominazione Titolo alcolometrico
(% vol)
Den Grado Grado - Me |Grado - Me|
Dolcetto1 12.5 0 0
Dolcetto2 13 0.5 0.5
Dolcetto3 12.5 0 0
Dolcetto4 12.5 0 0
Dolcetto5 13 0.5 0.5
Dolcetto6 12.5 0 0
Dolcetto7 12.5 0 0
Dolcetto8 12 -0.5 0.5
Dolcetto9 12 -0.5 0.5
Dolcetto10 12.5 0 0
Dolcetto11 13.5 1 1
Somma = 3
Denominazione Titolo alcolometrico
(% vol)
Den Grado Grado - Me |Grado - Me|
Dolcetto1 12.5 0 0
Dolcetto2 13 0.5 0.5
Dolcetto3 12.5 0 0
Dolcetto4 12.5 0 0
Dolcetto5 13 0.5 0.5
Dolcetto6 12.5 0 0
Dolcetto7 12.5 0 0
Dolcetto8 12 -0.5 0.5
Dolcetto9 12 -0.5 0.5
Dolcetto10 12.5 0 0
Dolcetto11 13.5 1 1
Somma = 3
Scostamento medio dalla mediana
Ora calcoliamo lo scostamento medio dallamediana per il carattere Grado.
2727.011
3Mex
N
1S iMe ==−= ∑
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Scostamento medio dalla mediana
Se disponiamo della distribuzione difrequenze per un carattere quantitativoraggruppato in classi, lo scostamentomedio dalla mediana si calcola facendoriferimento alla formula ponderata.
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Scostamento medio dalla mediana
Ricordiamo l’esempio della distribuzione delcarattere SO2 totale in mg/l (Chim5), per ilquale la mediana era risultata pari aMe=73.7358
Chim5 ni fi
20 |- 40 mg/l 15 0.053
40 |- 80 mg/l 150 0.530
80 |- 100 mg/l 76 0.269
100 |- 120 mg/l 32 0.113
120 |- 150 mg/l 10 0.035
Totale 283 1.000
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Scostamento medio dalla mediana
Ricordiamo l’esempio della distribuzione delcarattere SO2 totale in mg/l (Chim5), per ilquale la mediana era risultata pari aMe=73.7358
Chim5 vc |vc - Me| |vc - Me|∙ni |vc - Me|∙fi ni fi
20 |- 40 mg/l 30 43.7358 656.0370 2.3182 15 0.053
40 |- 80 mg/l 60 13.7358 2060.3700 7.2805 150 0.530
80 |- 100 mg/l 90 16.2642 1236.0792 4.3678 76 0.269
100 |- 120 mg/l 100 26.2642 840.4544 2.9698 32 0.113
120 |- 150 mg/l 135 61.2642 612.6420 2.1648 10 0.035
Totale 5405.5826 19.1010 283 1.000
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Scostamento medio dalla mediana
Ricordiamo l’esempio della distribuzione delcarattere SO2 totale in mg/l (Chim5), per ilquale la mediana era risultata pari aMe=73.7358
Chim5 vc |vc - Me| |vc - Me|∙ni |vc - Me|∙fi ni fi
20 |- 40 mg/l 30 43.7358 656.0370 2.3182 15 0.053
40 |- 80 mg/l 60 13.7358 2060.3700 7.2805 150 0.530
80 |- 100 mg/l 90 16.2642 1236.0792 4.3678 76 0.269
100 |- 120 mg/l 100 26.2642 840.4544 2.9698 32 0.113
120 |- 150 mg/l 135 61.2642 612.6420 2.1648 10 0.035
Totale 5405.5826 19.1010 283 1.000
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Scostamento medio dalla mediana
Ricordiamo l’esempio della distribuzione delcarattere SO2 totale in mg/l (Chim5), per ilquale la mediana era risultata pari aMe=73.7358
Chim5 vc |vc - Me| |vc - Me|∙ni |vc - Me|∙fi ni fi
20 |- 40 mg/l 30 43.7358 656.0370 2.3182 15 0.053
40 |- 80 mg/l 60 13.7358 2060.3700 7.2805 150 0.530
80 |- 100 mg/l 90 16.2642 1236.0792 4.3678 76 0.269
100 |- 120 mg/l 100 26.2642 840.4544 2.9698 32 0.113
120 |- 150 mg/l 135 61.2642 612.6420 2.1648 10 0.035
Totale 5405.5826 19.1010 283 1.000
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Scostamento medio dalla mediana
Chim5 vc |vc - Me| |vc - Me|∙ni |vc - Me|∙fi ni fi
20 |- 40 mg/l 30 43.7358 656.0370 2.3182 15 0.053
40 |- 80 mg/l 60 13.7358 2060.3700 7.2805 150 0.530
80 |- 100 mg/l 90 16.2642 1236.0792 4.3678 76 0.269
100 |- 120 mg/l 100 26.2642 840.4544 2.9698 32 0.113
120 |- 150 mg/l 135 61.2642 612.6420 2.1648 10 0.035
Totale 5405.5826 19.1010 283 1.000
1010.19fMexS iiMe =⋅−= ∑
1010.19283
5826.5405nMex
N
1S iiMe ==⋅−= ∑
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Scostamento medio dalla media
Lo scostamento medio dalla media(aritmetica) si calcola in modo del tuttoanalogo.
L’unica differenza è che gli scarti vengonocalcolati dalla media aritmetica anzichèdalla mediana.
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Scostamento medio dalla media
∑ −= MxN
1S iM
iiM fMxS ⋅−= ∑
iiM nMxN
1S ⋅−= ∑
semplice
ponderato
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Scostamento medio dalla media
L’idea di base è molto chiara da un punto divista grafico. Ricordiamo l’esempio delledue aziende proprietarie di terreni.
Azienda 1
terreno 1 4terreno 2 3terreno 3 4.2terreno 4 2.8
Azienda 2
terreno 1 7terreno 2 6.5terreno 3 0.3terreno 4 0.2
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Scostamento medio dalla media
Calcolare lo scostamento medio dallamedia equivale a fare la media dellelunghezze dei segmenti tratteggiati.
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Scostamento medio dalla media
media=3.50.5
0.5
0.7
0.7
6.04
4.2Mx
N
1S iM ==−= ∑
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Scostamento medio dalla media
media=3.5
3.53
3.23.3
25.34
13Mx
N
1S iM ==−= ∑
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Scarto quadratico medio
Lo scarto quadratico medio (odeviazione standard) è sicuramente ilpiù noto ed utilizzato indice di variabilitàper caratteri quantitativi.
Il concetto su cui si basa è analogo alloscostamento medio dalla media, solo che lelunghezze dei segmenti tratteggiativengono elevate al quadrato.
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Scarto quadratico medio o deviazione standard
( )∑ −=σ2
i MxN
1
( )∑ −=σ i
2
i fMx
( )∑ −=σ i
2
i nMxN
1
semplice
ponderato
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Scarto quadratico medio o deviazione standard
media=3.50.25
0.25
0.49
0.49
( ) 6083.037.04
48.1Mx
N
1 2
i ===−=σ ∑
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Scarto quadratico medio o deviazione standard
media=3.5
12.259
10.2410.89
( )
2550.3595.10
4
38.42Mx
N
1 2
i
==
=−=σ ∑
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Scarto quadratico medio o deviazione standard
Calcoliamo lo scarto quadratico medio delladistribuzione dei prezzi dei 283 vini.
Prezzo ni fi
1 |− 3 € 37 0.131
3 |− 5 € 100 0.353
5 |− 7 € 62 0.219
7 |− 9 € 39 0.138
9 |− 11 € 15 0.053
11 |− 13 € 14 0.049
13 |− 15 € 12 0.042
15 |− 17 € 3 0.011
17 |− 19 € 1 0.004
Totale 283 1.000
Prezzo vc ni vc∙ni (vc-M)^2∙ni
1 |- 3 € 2 37 74 604.617
3 |- 5 € 4 100 400 417.140
5 |- 7 € 6 62 372 0.111
7 |- 9 € 8 39 312 149.456
9 |- 11 € 10 15 150 234.939
11 |- 13 € 12 14 168 496.902
13 |- 15 € 14 12 168 759.881
15 |- 17 € 16 3 48 297.461
17 |- 19 € 18 1 18 142.984
Totale 283 1710 3103.491
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Scarto quadratico medio o deviazione standard
Prima di tutto calcoliamo la mediaaritmetica.
0424.6283
1710M ==
Prezzo vc ni vc∙ni (vc-M)^2∙ni
1 |- 3 € 2 37 74 604.617
3 |- 5 € 4 100 400 417.140
5 |- 7 € 6 62 372 0.111
7 |- 9 € 8 39 312 149.456
9 |- 11 € 10 15 150 234.939
11 |- 13 € 12 14 168 496.902
13 |- 15 € 14 12 168 759.881
15 |- 17 € 16 3 48 297.461
17 |- 19 € 18 1 18 142.984
Totale 283 1710 3103.491
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Scarto quadratico medio o deviazione standard
Poi possiamo calcolare lo scarto quadraticomedio.
Prezzo vc ni vc∙ni (vc-M)^2∙ni
1 |- 3 € 2 37 74 604.617
3 |- 5 € 4 100 400 417.140
5 |- 7 € 6 62 372 0.111
7 |- 9 € 8 39 312 149.456
9 |- 11 € 10 15 150 234.939
11 |- 13 € 12 14 168 496.902
13 |- 15 € 14 12 168 759.881
15 |- 17 € 16 3 48 297.461
17 |- 19 € 18 1 18 142.984
Totale 283 1710 3103.491
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Scarto quadratico medio o deviazione standard
Poi possiamo calcolare lo scarto quadraticomedio.
( )
3116.39664.10
283
491.3103nMx
N
1i
2
i
==
=−=σ ∑
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Il dataset: caratteri relativi a giudizi sensoriali
Sat
co
l
Rif
l vio
l
Rif
l G
ran
Int
olf
Flo
r
Fru
tt
Sp
ez
Veg
et
Str
utt
Perc
sfe
rica
Acid
Am
aro
Astr
ing
Ric
c a
rom
Pers
ist
AT
TR
AE
NZ
A
FR
AN
CH
EZ
ZA
OL
FA
TT
IVA
QU
AL
ITA
’ O
LF
AT
TIV
A
AR
MO
NIA
GU
ST
AT
IVA
FR
AN
CH
EZ
ZA
RE
TR
OL
F
QU
AL
ITA
’ R
ET
RO
LF
GIU
DIZ
IO G
LO
BA
LE
V1 V2 V3 O1 O2 O3 O4 O5 G1 G2 G3 G4 G5 GO PAI ATT FO QO AG FRO QRO Val_fin
7 6 2 7 4 5.5 4 3 6.5 5.5 4 2.5 4.5 7 6.5 7.5 6.5 6.5 6.5 7 7 6.5
8 7 1.5 7 4.5 6 4 3 7 6.5 3 2 5 7 7 7.5 7 7 6.5 7 7 7
7 6 4 7 3.5 6 4 3 7 6.5 3 2 4 7 6.5 7 7 7 7 7 7 7
7 6.5 1 7 4.5 5 3 3 6 6.5 4 1.5 3.5 6 6 7 6.5 6.5 7 7 6.5 7
7 6.5 1.5 7 4 6.5 4 4 6.5 6 4 3 3.5 6 6.5 7 7 7 6.5 6 6 6
8 6.5 3 7.5 4 6 4.5 3 7 6 4 2.5 5 6.5 7 8 7 7 6.5 7 6.5 6.5
8 7 2 7 3 5 3 4 6 6 4 3 3 6 6 7 6 7 7 7 7 7
8 7 3 6 4 5 3 5 7 7 4 3 4 6 7 7 6 7 6 7 6 7
8 7 2 7 4 5 5 2 7 6 5 3 4 6 7 7 6 7 7 7 7 7
7 4 4 7 4 5 4 3 7 6 3 3 4 6 6 7 7 7 6 7 7 6
7 3.5 5 7 3.5 5.5 4.5 4 6 6 3 2.5 5 7 7 7 6 6.5 7 6.5 6.5 6.5
6 4.5 4 7 2 5 4 4 6.5 6 3 3 4 6.5 6 6.5 6 6 6 6 6 6
7.5 6 4 7 3.5 5.5 4.5 3 6.5 6 4 2 4.5 6.5 6.5 7 7 7 7 7 6.5 7
7 4 4 7 3 5 4 4 7 6 4 2 4 7 7 7 7 7 6 7 7 7
7 5 3 7 3 4 2 4 6 5 4 3 5 6 7 7 6 6 5 7 6 6
7 5 2 7 4 4 2 4 7 6 5 2 4 7 6 7 7 7 6 7 7 7
Giu
diz
i vis
ivi
Giu
diz
i o
lfatt
ivi
Giu
diz
i g
usta
tivi
Normalmente si chiede di esprimere un giudizio su una scala con un numero dispari di modalità (ad es. da 1 a 9)
� ��� � ���
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Profilo sensoriale medio
Nelle lezioni precedenti avevamo calcolatole medie dei giudizi sensoriali (leggeraforzatura)
Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring
V1 V2 V3 O1 O2 O3 O4 O5 G1 G2 G3 G4 G51 8 8 2 7 3 3 6 5 7 5 2 1 4
2 6 6 4 9 6 4 5 5 8 8 1 1 1
3 8 7 3 9 6 3 5 4 6 7 1 1 4
4 7 5 5 8 6 4 5 5 5 6 3 3 1
5 9 5 4 7 3 3 4 2 7 5 1 3 3
6 8 6 2 7 4 2 3 3 6 5 4 1 2
7 6 5 4 9 3 2 6 3 7 6 4 1 1
8 7 9 2 8 2 4 2 3 6 8 3 4 1
9 5 8 3 8 4 4 5 6 7 6 4 2 2
10 7 9 1 9 2 5 5 3 5 6 3 1 3
11 9 5 3 6 5 2 3 2 5 5 3 2 3
12 7 6 5 7 4 4 2 2 5 6 3 3 3
13 6 5 4 9 6 2 2 4 9 6 1 2 1
media 7.15 6.46 3.23 7.92 4.15 3.23 4.08 3.62 6.38 6.08 2.54 1.92 2.23
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Profilo sensoriale medio
Quindi utilizzando le medie avevamotracciato un grafico radiale perrappresentare il profilo sensoriale mediodel vino
Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring
media 7.15 6.46 3.23 7.92 4.15 3.23 4.08 3.62 6.38 6.08 2.54 1.92 2.23
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Profilo sensoriale medio e sua variabilità
Anche in questo caso ha senso valutarenon solo la media dei giudizi, ma anche laloro variabilità. Ancora una volta,trattandosi di caratteri qualitativi ordinali,calcolare lo scarto quadratico medio è unaforzatura, ma spesso è ammessa.
Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring
media 7.15 6.46 3.23 7.92 4.15 3.23 4.08 3.62 6.38 6.08 2.54 1.92 2.23
sqm 1.17 1.50 1.19 1.00 1.46 0.97 1.44 1.27 1.21 1.00 1.15 1.00 1.12
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Profilo sensoriale medio e sua variabilità
Spesso si usa rappresentare le oscillazioniattorno alla media calcolando gli indici
media - σ
media + σ
Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring
media 7.15 6.46 3.23 7.92 4.15 3.23 4.08 3.62 6.38 6.08 2.54 1.92 2.23
sqm 1.17 1.50 1.19 1.00 1.46 0.97 1.44 1.27 1.21 1.00 1.15 1.00 1.12
media + sqm 8.32 7.96 4.42 8.92 5.61 4.20 5.52 4.89 7.60 7.07 3.69 2.92 3.35
media - sqm 5.99 4.96 2.04 6.93 2.69 2.26 2.64 2.34 5.17 5.08 1.39 0.93 1.11
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Profilo sensoriale medio e sua variabilità
Spesso si usa rappresentare le oscillazioniattorno alla media calcolando gli indici
media - σ
media + σ
Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring
media 7.15 6.46 3.23 7.92 4.15 3.23 4.08 3.62 6.38 6.08 2.54 1.92 2.23
sqm 1.17 1.50 1.19 1.00 1.46 0.97 1.44 1.27 1.21 1.00 1.15 1.00 1.12
media + sqm 8.32 7.96 4.42 8.92 5.61 4.20 5.52 4.89 7.60 7.07 3.69 2.92 3.35
media - sqm 5.99 4.96 2.04 6.93 2.69 2.26 2.64 2.34 5.17 5.08 1.39 0.93 1.11
Prof.ssa Paola Zuccolotto - Statistica - Indici di variabilità
Profilo sensoriale medio e sua variabilità
Il grafico radiale può essere rappresentatosovrapponendo due grafici:
quello relativo ai valori di media - σ
quello relativo ai valori di media + σ
La fascia compresa tra i due profili mostrala variabilità dei singoli giudizi.